Chuyên đề I: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính. - Chương 1 - Ma trận...2. Ma trận vuông: Một ma trận ij mxn Aa được gọi là ma trận

Giáo trình ĐẠI SỐ – Toán A GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Khóa TOÁN CAO CẤP 2016 – 2017 1

Chuyên đề I:

Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính.

I.1.Ma trận.

I.1.1.Định nghĩa:

Cho m, n là hai số nguyên dương. Ta gọi một ma trận A cấp m x n là một bảng

gồm m.n phần tử ija K i 1,m; j 1,n được sắp xếp thành m dòng và n cột như sau:

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a a

a a aA

a a a

Kí hiệu: ij mxnA a .

Các phần tử ở dòng thứ i và cột thứ j được gọi là phần tử ija .

I.1.2.Các khái niệm khác:

1. Ma trận không:

Một ma trận cấp m x n được gọi là ma trận không nếu mọi phần tử đều bằng 0.

2. Ma trận vuông:

Một ma trận ij mxnA a được gọi là ma trận vuông nếu m = n. Lúc đó ta gọi A là

ma trận vuông cấp n, kí hiệu ij nA a .

3. Ma trận đơn vị:

Cho ma trận vuông ij nA a . A được gọi là ma trận đon vị nếu mọi phần tử nằm

trên đường chéo chính bằng 1 còn các phần tử khác đều bằng 0. Lúc đó A được kí hiệu là

nI : ma trận đơn vị cấp n.



Ví dụ: 2 3

1 0 01 0

I ; I 0 1 00 1

0 0 1

4. Ma trận chéo:

Cho ij nA a . A được gọi là ma trận chéo nếu mọi phần tử không thuộc đường

chéo chính đều bằng 0.

Ví dụ:

1 0 0

A 0 2 0

0 0 9

là ma trận chéo.

5. Ma trận tam giác:

Cho ij nA a . A là ma trận tam giác trên nếu mọi phần tử nằm dưới đường chéo

chính đều bằng 0. A là ma trận tam giác dưới nếu mọi phần tử nằm trên đường chéo

chính đều bằng 0. A là một ma trận tam giác nếu nó là ma trận tam giác trên hoặc dưới.

Ví dụ:

1 9 0

A 0 8 5

0 0 9

là ma trận tam giác trên.

2 0 0

B 7 3 0

2 8 5

là ma trận tam giác dưới.

6. Ma trận dòng, cột:

Ma trận ij 11 12 1n1xnA a a a ... a được gọi là ma trận dòng.

Ma trận

11

21

ij mx1

m1

b

bB b

...

b

được gọi là ma trận cột.



7. Ma trận bậc thang:

Ma trận bậc thang là ma trận bậc thang có phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên

nằm về bên trái so với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới.

Ví dụ:

3 5 2 7 12 3

0 0 1 9 2 1A

0 0 0 0 4 2

0 0 0 0 0 0

là ma trận bậc thang.

8. Hai ma trận ij mxnA a và ij mxn

B b được gọi là bằng nhau nếu ij ija b với mọi i,

j.

9. Cho ma trận vuông

11 12 1n

21 22 2n

ij n

n1 n2 nn

a a a

a a aA a

a a a

Các phần tử 11 22 nna , a , ...., a gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính.

Các phần tử ija i j gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ.

I.1.3.Các phép toán trên ma trận.

I.1.3.1.Cộng ma trận.

-Định nghĩa: Cho hai ma trận cùng cấp ij mxnA a và ij mxn

B b . Tổng của

hai ma trận A, B là một ma trận ij mxnC c với ij ij ijc a b . Kí hiệu A B C.

Ví dụ:

1 0 2 0 7 9 1 0 0 7 2 9 1 7 11

4 1 5 2 3 8 4 2 1 3 5 8 2 2 13

7 2 3 0 1 1 7 0 2 1 3 1 7 3 4

-Tính chất: Cho A, B, C, 0 là các ma trận cùng cấp, khi đó:

(i) A B C A B C (tính kết hợp)



(ii) A B B A (tính giao hoán)

(iii) A 0 0 A A

(iv) A A A A 0

I.1.3.2.Nhân một phần tử của trường K với ma trận.

-Định nghĩa: Cho ij mxnA a , k K. Phép nhân một phần tử của trường K với

ma trận A cho ta một ma trận ij mxnB b với ij ijb k.a

-Kí hiệu:

11 1n

m1 nn

ka ... ka

kA B ... ... ...

ka ... ka

Đặc biệt khi k 1 K, thay cho (-1)A ta sẽ viết –A và gọi nó là ma trận đối của A.

-Tính chất: Cho A, B là các ma trận cùng cấp, , K. Khi đó:

(i) A B A B

(ii) A A A

(iii) A A A

(iv) 1.A A

I.1.3.3.Phép nhân hai ma trận

-Định nghĩa: Cho ij mxnA a là ma trận cấp m x n trên K và jk nxp

B b là ma

trận cấp n x p trên K. Ta gọi tích của A với B, kí hiệu AB, là một ma trận ik mxpC c

cấp m x p trên K mà các phần tử của nó được xác định như sau:

n

ik ij jk

j 1

c a b ; i 1,m, j 1,p.



Ví dụ: Cho

1 31 2 1

A , B 2 1 .3 1 2

3 1

Tính AB, BA?

1 31.1 2.2 1 .3 1.3 2.1 1 . 11 2 1 2 6

AB 2 13.1 1.2 2.3 3.3 1.1 2. 13 1 2 11 8

3 1

1 3 10 5 51 2 1

BA 2 1 5 5 03 1 2

3 1 0 0 5

*Nhận xét:

1) Điều kiện để phép nhân hai ma trận thực hiện được là số cột của ma trận 1

bằng số dòng của ma trận 2.

2) Phép nhân hai ma trận không có tính giao hoán.

I.1.3.4.Chuyển vị ma trận.

-Định nghĩa: Cho ij mxnA a . Chuyển vị của ma trận A là ma trận B có cấp n x

m và cá phần tử được xác định như sau: ij jib a

Ta kí hiệu ma trận chuyển vị của ma trận A là tA . Nói một cách khác chuyển vị

của ma trận A là ma trận B được suy ra bằng cách đổi dòng thành cột và đổi cột thành

dòng.

Ví dụ: t

3x4

4x3

1 2 11 1 0 2

1 3 0A 2 3 5 0 A

0 5 31 0 3 4

2 0 4

I.1.3.5.Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.

Các phép biến đổi ma trận A thành ma trận A’ sau được gọi là các phép biến đổi

sơ cấp trên dòng.



-Loại 1: Đổi chỗ hai dòng cho nhau, kí hiệu: i jd dA A'

-Loại 2: Biến dòng i thành c lần dòng i c 0 , kí hiệu: i id cdA A'

-Loại 3: Biến dòng i thành dòng i cộng c lần dòng j c 0, i j , kí hiệu:

i i jd d cdA A'

I.1.4. Ma trận đối xứng và ma trận phản xứng.

-Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n.

+) A gọi là ma trận đối xứng nếu tA A.

+) A gọi là ma trận phản xứng nếu tA A.

Ví dụ:

Cho t

1 2 0 1 2 0

A 2 3 1 A 2 3 1 A

0 1 1 0 1 1

Vậy A là ma trận đối xứng.

Cho t

0 2 1 0 2 1

B 2 0 3 B 2 0 3 B

1 3 0 1 3 0

Vậy B là ma trận phản xứng.

I.1.5.Hạng của ma trận.

Cho ma trận ij mxnA a và ij mxn

B b là ma trận bậc thang nhận được từ A

bằng một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó số dòng (cột) khác không của B

được gọi là hạng của A, kí hiệu là rank A hoặc r A .

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận

1 2 3

A 4 5 6

3 3 9

Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang:



3 3 22 2 1

3 3 1

d d 3dd d 4d

d d 3d

1 2 3 1 2 3 1 2 3

A 4 5 6 0 3 6 0 3 6 B

3 3 9 0 9 18 0 0 0

Ma trận bậc thang B có hai dòng khác 0 nên rank(A) = 2.

I.1.6.Ma trận nghịch đảo.

1) Định nghĩa:

Cho ma trận ij nA a ta nói A khả nghịch nếu B thỏa mãn

nBA AB I

Ta nói B là ma trận nghịch đảo cua A, kí hiệu 1B A .

A khả nghịch nếu và chỉ nếu det A 0.

2) Tính chất:

Nếu A, B là hai ma trận khả nghịch thì:

11

1 1 1

1 tt 1

1 1

(i) A A

(ii) AB B A

(iii) A A

1(iv) cA A

c

(v) Nếu A khả nghịch thì 11det A det A

3) Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp.

Người ta chứng minh được kết quả sau: Cho A là ma trận khả nghịch, khi đó

những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành nI thì chúng cũng biến

nI (theo

thứ tự đó) thành 1A .

Từ đó ta có phương pháp tìm ma trận nghịch đảo như sau:



Để tìm ma trận 1A với

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

a a ... a

a a ... aA

... ... ... ...

a a ... a

Ta lập ma trận

11 12 1n

21 22 2n

n

n1 n2 nn

a a ... a 1 0 ... 0

a a ... a 0 1 ... 0A | I

... ... ... ... ... ... ... ...

a a ... a 0 0 ... 1

Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đối với nA | I để biến A thành nI khi đó

nI

biến thành 1A .

Ví dụ: Tìm 1A với

1 3 2

A 1 4 2

1 3 3

Ta có: 2 2 1

3 3 1

d d d

3 d d d

1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0

A | I 1 4 2 0 1 0 0 1 0 1 1 0

1 3 3 0 0 1 0 0 1 1 0 1

1 1 3

1 1 2

d d 2d 1

3d d 3d

1 0 0 6 3 2

0 1 0 1 1 0 I | A

0 0 1 1 0 1

Vậy 1

6 3 2

A 1 1 0

1 0 1

4) Tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức.

Ta gọi ma trận phụ hợp AP của ma trận A là ma trận được xác định như sau:

A jiijP A



Để tìm 1A ta thực hiện hai bước:

- B1: Tính D det A

- B2: Lập ma trận phụ hợp AP . Khi đó

1

A

1A P .

D

Ví dụ: Cho

1 3 2

A 1 4 2

1 3 3

Ta có D det A 1.

1 1 1 2 1 3

11 12 13

2 1 2 2 2 3

21 22 23

3 1 3 2 3 3

31 32 33

4 2 1 2 1 4A 1 6; A 1 1; A 1 1;

3 3 1 3 1 3

3 2 1 2 1 3A 1 3; A 1 1; A 1 0;

3 3 1 3 1 3

3 2 1 2 1 3A 1 2; A 1 0; A 1 1

4 2 1 2 1 4

Khi đó 1

A

6 3 21

A P 1 1 0D

1 0 1

I.1.7.Đa thức ma trận.

-Định nghĩa: Cho A là một ma trận vuông trên K và

n

0 1 np x a a x ... a x K x là một đa thức của biến x với hệ số trên K. Khi đó

ma trận n

0 1 na I a A ... a A

Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A, được gọi là giá trị của đa thức p x

tại x A, kí hiệu p A . Nó cũng được gọi là đa thức ma trận.

A gọi là một nghiệm ma trận cảu đa thức p x nếu đa thức ma trận p A 0

(ma trận không cùng cấp với A).



I.2..Định thức.

I.2.1.Định thức cấp 2.

Cho ma trận ij 2A a , định thức cấp 2 của ma trận A được xác định và kí hiệu

như sau:

11 12

11 22 21 12

21 22

a adetA A a a a a

a a

Ví dụ: Cho 1 2

A3 1

ta có

1 2det A 1.1 2. 3 7.

3 1

I.2.2.Định thức cấp 3.

Cho ij 3A a , định thức cấp 3 của ma trận A được xác định và kí hiệu như sau:

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11

31 32 33

a a a

det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

I.2.3.Định thức cấp n.

Cho ij nA a ta kí hiệu A i, j là ma trận có được từ A bằng cách bỏ dòng i và

cột j

Ví dụ: Cho

1 3 4

A 4 5 6

3 2 3

thì 1 4

A 2,23 3

Phần bù đại số của phần tử ija là một số được xác định và kí hiệu như sau:

i j

ijA 1 det A i, j

Cho ij nA a , định thức cấp n của ma trận A được định nghĩa là:



11 12 1n

n21 22 2n

pj pj

j 1

n1 n2 nn

a a ... a

a a ... adet A a A

... ... ... ...

a a ... a

(khai triển theo dòng p) hoặc

n

iq iq

i 1

det A a A

(Khai triển theo cột q).

Ví dụ: Cho

1 1 2 2

1 2 1 2A .

2 1 2 1

2 2 2 1

Tính detA?

Ta khai triển theo dòng 1:

1 1 1 2

11 12

1 3 1 4

13 14

2 1 2 1 1 2

A 1 1 2 1 3; A 1 2 2 1 0;

2 2 1 2 2 1

1 2 2 1 2 1

A 1 2 1 1 3; A 1 2 1 2 0

2 2 1 2 2 2

Do đó 4

1j 1j

j 1

det A a A 1. 3 1.0 2.3 2.0 3

I.2.4.Các tính chất của định thức.

1) Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng thì định thức không thay đổi.

2) Nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu, tức là i jd dA A'

thì

det A det A'.

3) Từ một dòng (một cột) ta cộng vào một dòng khác (cột khác) sau khi nhân một

số c 0 thì định thức không đổi, tức là i i jd d cdA A'

khi đó det A'=detA.



4) Ta có thể đưa thùa số chung c 0 ra ngoài định thức, tức là i id cdA A'

khi đó det A' cdet A.

5) Cho hai ma trận vuông A, B khi đó det(AB) det A.det B.

I.3.Hệ phương trình tuyến tính.

I.3.1.Phương pháp Cramer:

Hệ phương trình gồm n phương trình và n ẩn:

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

n1 1 n2 2 nn n n

a x a x ... a x b

a x a x ... a x b3.1

...

a x a x ... a x b

Đặt D det A và jD là định thức có được bằng cách thay cột j của D bởi cột tự

do. Khi đó hệ Cramer có nghiệm duy nhất xác định theo công thức:

1 2 n1 2 n

D D Dx , x ,..., x .

D D D

Ví dụ: Giải hệ

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 1

2x 6x x 0

3x 4x 2x 0

Ta có

1 1 1

A 2 6 1 , D det A 11 0.

3 4 2

1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1

D 0 6 1 8, D 2 0 1 7, D 2 6 0 26

0 4 2 3 0 2 3 4 0

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1 2 3

8 7 26x , x , x

11 11 11



*Định lí Kronecker-Capelli

Hệ (3.1) có nghiệm khi và chỉ khi r(A) r(A | B). Hơn nữa:

(i) r(A) r(A | B) n : hệ có nghiệm duy nhất.

(ii) r(A) r(A | B) n : hệ có vô số nghiệm.

(iii) r(A) r(A | B) : hệ vô nghiệm.

I.3.2.Phương pháp Gauss.

B1: Lập ma trận mở rộng của A:

111 12 1n

21 22 2n 2

m1 m2 mn m

ba a ... a

a a ... a bA | B

... ... ... ... ...

a a ... a b

B2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A | B về ma trận A' | B'

trong đó A’ là ma trận bậc thang (rút gọn). Dựa vào định lí Kronecker_capelli để kết luận

nghiệm.


1 2 3

1 2 3

1 2 3

x 2x x 1

2x 5x x 6

x 4x 2x 2

Ma trận hóa hệ trên ta được:

1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 3 7 1 0 0 40

2 5 6 6 0 1 1 4 0 1 1 4 0 1 0 15

1 4 2 2 0 2 3 3 0 0 1 11 0 0 1 11

Hệ có nghiệm duy nhất là 1 2 3x 40, x 15, x 11.


1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x 2x 3x x 1

3x x 5x 3x 1

4x _ 3x 8x 4x 0



Ta có

1 2 3 11 1 2 3 1 1

A | B 3 1 5 31 0 7 4 0 4

4 3 8 4 0 0 0 0 0 2

Suy ra r A | B 3, mà r A 2 r A | B . Vậy hệ vô nghiệm.

Documents

Chuyên đề I: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính. - Chương 1 - Ma trận...2. Ma trận vuông: Một ma trận ij mxn Aa được gọi là ma trận