Control Automatico Compensador Adelanto Rlocus

8/19/2019 Control Automatico Compensador Adelanto Rlocus

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Control Automático

Compensador de adelanto en el lugar de

las raíces


2/50

Contenido

Estrategia para la síntesis de reguladores rlocus

Algoritmo para el diseño usando el plano complejo

Cálculo del compensador de adelanto en el plano S

Por ubicación del cero(s) o cancelación de polo(s) Método de la bisectri

Cálculo del compensador de adelanto en el plano !

Por ubicación del cero(s) o cancelación de polo(s)

Método de la bisectri

Ejemplos " ejercicios

#esumen

#e$erencias


3/50

Cálculo del regulador K(s)

En la práctica% un regulador &(s) e'acto "nico no puede ser calculado por dosraones

En general el lao de regulación no es desegundo orden*

Por raones prácticas% los +alores de

sobreimpulso " de tiempo de estabiliación noson establecidos de $orma e'acta, sino% por+alores límite


4/50

Estrategia para la síntesis de

reguladores en el plano complejo

-* Atacar el problema por partes

Primero% si es necesario% estabiliar el sistema% Segundo% buscar satis$acer los criterios de

sobreimpulso " tiempo de subida% .ercero " $inal% satis$acer los re/uisitos de error deestado estacionario*

0* Para la satis$acción de re/uisitos de sobreimpulso

má'imo " de error de estado estacionario para laperturbación% se trabaja primero con la respuestadirecta*


5/50

Algoritmo para el diseño con

ayuda del lugar de las raíces-* 1ra$icar el lugar de las raíces para la$unción de trans$erencia de lao abierto

12()*

0* Encontrar las regiones para la ubicacióndeseada del par de polos dominantes*

3* 4eterminar la ubicación cualitati+a del par

de polos dominantes introduciendo uncompensador o regulador *)(ˆ K


6/50

Algoritmo para el diseño con

ayuda del lugar de las raíces(2)

5* 1ra$icar para la nue+a $unción de

trans$erencia de lao abierto% %

el lugar de las raíces*

6* Encontrar el +alor de la ganancia K /ue

ubica los polos dominantes en la región

deseada*

7* Simular el comportamiento en el tiempodel lao de regulación

)()(ˆ OG K K


7/50

1. ra!icar el lugar de las raíces para

"(s)

8bicar los polos " ceros en el plano complejo

Encontrar " gra$icar las regiones del eje real

/ue pertenecen al lugar de las raíces Encontrar el centroide " las asíntotas

Encontrar los ángulos de partida " de llegada

1ra$icar cada asta del lugar de las raíces


8/50

2. Encontrar las regiones para la

u#icaci$n del par de polos dominantes

Con+ertir las especi$icaciones del dominio

del tiempo en especi$icaciones de

$recuencia natural n " amortiguamiento

relati+o *

1ra$icar las especi$icaciones de $recuencia

natural " amortiguamiento relati+o*

Seleccionar la región donde se cumplen las

especi$icaciones del dominio del tiempo*


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Ejemplo de regiones para la u#icaci$n de

los polos dominantes de la%o cerrado en el

planos &plano s

j

'

n mín. (tr má.)

n má.

mín. * má.

má.


10/50

E* 9nteriano -:

Ejemplo de regiones para la u#icaci$n de

los polos dominantes de la%o cerrado en

el planos Se muestra un sistemacon los límites de laona en la /ue sedeben ubicar los polosde lao cerrado para+alores de

; :*7

:*-s*


11/50

+. ,eterminar la u#icaci$n cualitati-a

del par de polos dominantes

Seleccionar el compensador o regulador

adecuado de acuerdo a los criterios

conocidos*

9niciar con los reguladores más simples

(con pocos polos " ceros)*


12/50

. ra!icar el lugar de las raíces para la

nue-a !unci$n de trans!erencia de la%o

a#ierto #ealiar el producto K( )*GO( )

8bicar los polos " ceros en el plano complejo

Encontrar " gra$icar las regiones del eje real/ue pertenecen al lugar de las raíces

Encontrar el centroide " las asíntotas

Encontrar los ángulos de partida " de llegada 1ra$icar cada asta del lugar de las raíces


13/50

/. Encontrar el -alor de la ganancia K 0ue

u#ica los polos dominantes en la regi$n

deseada Seleccionar la ubicación $inal para los polosdominantes en la región deseada

Comprobar /ue e$ecti+amente e'iste un par

de polos dominantes " /ue la in$luencia delos polos restantes es despreciable*

Calcular la ganancia K para esa ubicación*

Esto corresponde a la parte proporcional del

controlador*


14/50

. &imular el comportamiento en el

tiempo del la%o de regulaci$n

?eri$icar si se cumplen las especi$icacionesdadas para el sistema completo

Si no se cumplen las especi$icaciones +ol+er

al punto 6 e iterar* Si aun no se cumplen todas las

especi$icaciones con el regulador escogido%+ol+er al punto 3*% escoger otro punto o

seleccionar otro regulador más complejo (P%P4% P9% P94), o agregar otro regulador% "repetir el procedimiento*


15/50

Compensadores y reguladores en

tiempo continuo y discreto Compensador de adelanto

Compensador de atraso

Compensador adelanto@atraso

Compensador de $iltro de muesca

K lead

( λ )=k C ( λ− z' λ− p

')n

11

)( p

z

K lag

npnp p

nznz zC notch k K 22

22

2

2)(

'' z p

11 z p


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,esarrollo de las ecuaciones del

compensador de cancelaci$n a condición de $ase con

el compensador

agregado

Agrupamos el ángulo delcero del compensador

con los ángulos de la

planta

4espejamos el ángulodel polo del

compensador "

e+aluamos para los

primeros +alores de

(ϕ z

'−ϕ p

')⏞

φ

+(∑i=1

q

ϕ zi−∑

i=1

n

ϕ pi)⏞

γ ∠GO( λ

1)

=(2∗l+1)⋅π

−ϕ p'+ϕ z

'+∑

i=1

q

ϕ zi−∑

i=1

n

ϕ pi

⏞

γ̂ 3∠ ĜO

( λ1 )=(2∗l+1)⋅π ¿

−ϕ p'=(2∗l+1)⋅π −γ̂ =±14'º −∠̂GO ( λ1)

ϕ p

'

=±14' º 5 3∠ ĜO ( λ1)¿

l a +ariable representa a s o


17/50

)tan(

6m7e

'

11'

p

ss p

Compensador de adelanto por el

m8todo de cancelaci$n de polo

1'

)(ˆ14'ss

O p sG

)()()(ˆ xOO pssGsG

1

)()(ˆ

1

ssOlead

C

sGs K

k

'

'

ps

zsk K C lead

'Re

ImPlano s

a cancelación no

puede ser e'acta*

Bo cancelar polos

inestables*

7e !s1"− p'# x

' p

1s

' z

x p z '

' p

$


18/50

-=

)tan(

6m7e

'

11'

p

z z p


m8todo de cancelaci$n de polo

1'

)(ˆ14' z z

O p zG

)()()(ˆ xOO p z zG zG

1)()(ˆ

1

z zOlead

C

zG z K

k

Im

'

')( p z

z zk z K C lead

Re x p z '

' p

1 z

1

' p

1

Plano z

7e ! z1 "− p'

#

xEste es un caso particular delmétodo de ubicación del cero.

Puede ser resuelto con las

ecuaciones de ese método;

pero, de esta forma, es

aplicable para realizar un

filtro de muesca

$

' z


19/50


20/50

0:


m8todo de u#icaci$n del cero

$ )( '1' z z p

)tan(

6m7e

'

11'

p

z z p

φ=±14'°−∠GO( z )%

z= z1

1

)()(ˆ

1

z zOlead

C

zG z K k

$

' p ' z

1 z

1

' p

1

Re

ImPlano z

'

'

p z

z zk K C lead

- @

:

7e ! z1 "− p'

#

x

'1 z z

arbitrario z '


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Ejemplo 1

Sintetice un regulador /ue Daga /ue el sistema tenga

ante una entrada escalón una respuesta con

un sobreimpulso MP entre el 3 " el -:

un tiempo de estabiliación tS6E F 3 s Escoja para punto s- un +alor de entre los siguientes

a) -1.0 !- " 1.# b) -1.1$ !- " 1.%$

c) -1.%$ !- " 1.0 d) -1.1$ !- " %.0


22/50

Ejemplo 19 &oluci$n

Escogemos el punto s- > @-*-6 GH@ j -*06 Su parte real es menor de @-% lo cual cumple

con el tiempo de estabiliación menor a 3segundos% (tS6 > 3H(n))

Su parte imaginaria lo coloca entre los límitespara el sobreimpulso entre el 3 " el -:dados por :*6I- F F :*J56

Cancelamos el polo en @-*6 con : > @-*6

El ángulo de la planta reducida en el polo ens > @-*6% % e+aluada en el punto s- es@-60*73K

& ˆ

)(ˆ sG


23/50

Ejemplo 19 Cálculo

El ángulo a agregar es

$ p0 > L-=:K G > 0J*3JK% @330*73KN

Escogemos el +alor $ p0 > 0J*3JK "a /ue éste

se encuentra entre L-=:K* El orden del compensador de adelanto es

entonces -

El polo del compensador de adelanto

p: > @3*67

a ganancia estática del compensador deadelanto es k C > -*J0

& ˆ


24/50

Ejemplo 19 rá!icas

(s G -*6)

&lead(s) > -*J0 @@@@@@@@@@@@@@

(s G 3*67)


25/50


26/50

07

p'=1−% z

1−1%

cos(θ−φ

2 )cos(θ+φ2 )


m8todo de la #isectri%

θ=tan−1 (6m ! z1"1−7e ! z1 ")1

)(14' z zO

zG$

z'=1−% z

1−1%

cos(θ+φ2 )cos(θ−φ2 )

1

)(ˆ

1

z zOlead

C

zG K

k

'

'

p z

z zk K C lead $

C - @ - C

' p ' z

1 z

1

'

1−7e ! z1"

#

1

Re

ImPlano z


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Ejemplo 29 7ealimentaci$n no

unitaria

Sintetice un regulador /ue Daga /ue el

sistema tenga ante una entrada escalón una

respuesta con

8n sobreimpulso MP entre el 6 " el -: 8n tiempo de estabiliación del 0% tS0E F 0 s


28/50

Ejemplo 29 &oluci$n

Calculamos /ue el amortiguamiento relati+odebe satis$acer :*6I O O :*7I

Calculamos /ue el producto @0*6 GH@ j 3 El ángulo de la planta e+aluada en el punto

s- es -70*I

El ángulo a agregar es

Escogemos el +alor $ > -J*-K "a /ue éste seencuentra entre L-=:K*

&

φ=

!

14'°−12.:;1


29/50

Ejemplo 29 &elecci$n del punto s1

Con los parámetros encontrados seleccionamos la

ona % " el ella el punto s- > @0*6 GH@ j 3


30/50

Ejemplo 29 &elecci$n del punto s1

Calculamos un compensador por el método de la

bisectri% con > 6:*0

z'

=−%s1

%

cos(φ+θ2 )cos(

φ−θ2 )

114' s'

p'=−%s

1%

cos(φ−θ2 )cos(

φ+θ2 )

=−%(−2 ./+ j+ )%

cos(1


31/50

Ejemplo 29 >ugar de las raíces

Con el compensador de adelanto aplicado obtenemos

/.

.+/.2+)(

s

s s K lead


32/50

30

Ejemplo +9 Compensador de

adelanto

Encuentre para el sistema en tiempo discreto cu"aplanta 1() se muestra a continuación% con . > :*- s

a) El punto - en el cual el sistema tiene un +alor de

amortiguamiento relati+o > :*J6 " una $recuencianatural 5 radHs*

b) El compensador digital de adelanto% por el método decancelación de polo% /ue site los polos de lao

cerrado del sistema en - > :*76 L :*0i*

'.414


33/50

33

&oluci$n al ejemplo +

a) El punto z1 para & 0.'$, (n & rad!s, * & 0.1

En el tiempo continuo encontramos el punto s-

adecuado " lo con+ertimos con > es.

s-> @ es-Q. > :*J-6 G j:*-I5


34/50

E* 9nteriano 35

&oluci$n al ejemplo + (+)

Se muestra la ona %

para las condiciones

; :*J6 "


35/50

36

Ejemplo 9 Compensador de adelanto

por el m8todo de la #isectri%

Encuentre para el sistema en tiempo discreto delejemplo -% con la planta 1()% con . > :*- s

a) El compensador digital de adelanto% por elmétodo de la bisectri% /ue Daga /ue la respuestade lao cerrado ante un escalón tenga comocaracterísticas dinámicas

8n sobreimpulso MP O -: 8n tiempo de estabiliación del 0 tS O -*5 s

8se un punto - de los siguientes-) :*7J6 L j:*6 0) :*7J6 L j:*06 3) :*J L j:*3 5) :*=

L j0

'.414


36/50

37

&oluci$n al ejemplo

a) +P 10 ) * 0.$, t/ %- 1. s ) n * %.$',

* & 0.1 s, n * . rad!s, r & 0.'$1$

Escogemos por lo tanto al punto z1 & 0.#'$ "0.%$

/ue cumple con las condiciones de /uedar dentro delárea delimitada por el radio r > :*J6 " elamortiguamiento relati+o & :*7

+./@)(@14'1

z z

zG$

θ=tan−1 (6m ! z1"1−7e ! z1 ")= tan−1 ( '.2/1−'.


37/50

3J

&oluci$n al ejemplo 9

compensador de adelanto

Calculamos un compensador de adelanto por el método

de la bisectri*

z'=1−% z

1−1%

cos(θ+φ2 )cos(

θ−φ2 )

=1−%1−'.


38/50

E* 9nteriano 3=

&oluci$n al ejemplo 9 lugar de

las raíces

ugar de las raíces

compensado por el

método de la bisectri%

para el punto -

escogido*

Se muestra la ona %

para las condiciones%

de la parte a) * :*6I

" n * 0*=6J, r >

:*J6


39/50

3I

&oluci$n al ejemplo 7espuesta ante

un escal$n para el sistema compensado

'.+


40/50

5:

Análisis de resultados para el

ejemplo Se puede obser+ar en la $igura anterior% /ue se

cumple el +alor pedido para el tiempo deestabiliación, nicamente el sobreimpulso estáligeramente ma"or /ue el -:*

El problema principal parece ser /ue el tiempo demuestreo .S> :*- s es mu" grande respecto a laconstante de tiempo dominante del sistema + , :*3s% esto a$ecta al sobreimpulso pues la salida tiene

cambios mu" grandes en cada periodo de muestreo*Se puede reducir el sobreimpulso% en este caso%reduciendo el tiempo de muestreo a .S O :*:36 s*


41/50

5-

Ejemplo /9 Compensador de

!iltro de ranura (notc !ilter)

Encuentre para el sistema en tiempo discreto% con la

planta 1()% con un tiempo de muestreo . > :*:6 s% el

compensador en tiempo discreto% /ue Daga /ue la

respuesta de lao cerrado ante un escalón tenga

las características dinámicas siguientes

8n sobreimpulso MP O -:

8n tiempo de estabiliación del 0 tS O 3 s

'.:2+1)51.44/%? (%

'.:


42/50

50

&oluci$n al ejemplo /

a) +P 10 ) * 0.$, t/ %- s ) n * 1.,

* & 0.0$ s, n * %.%# rad!s, r & 0.$$

Encontramos /ue el punto s1 & -1. 2 "1. es la intersecciónde las condiciones dadas* .rans$ormamos al plano z "obtenemos el punto z1 & 0.1 "0.01. Escogemosentonces el punto z1 & 0.1 "0.0 /ue cumple con lascondiciones de /uedar dentro del área delimitada por elradio r > :*I366 " el amortiguamiento relati+o & :*7*


43/50

53

&oluci$n al ejemplo /9

compensador de !iltro de muescaCalculamos un compensador de $iltro de muesca por el método de

cancelación de polos* a /ue el ángulo será aportado por dos

polos% entonces el ángulo de cada polo será la mitad*

Calculamos el +alor del polo doble

Calculamos la ganancia estática del compensador

'.1


44/50

55

&oluci$n al ejemplo /9 lugar de

las raíces

ugar de las raíces

compensado con un

$iltro de muesca% para

el punto - escogido*

Se muestra la ona %

para las condiciones%

de la parte a) * :*7

" n * -*33, r >

:*I37


45/50

56

&oluci$n al ejemplo /9 7espuesta ante

un escal$n para el sistema compensado

2

2

):11


46/50

57

Análisis de resultados para el

ejemplo / Se puede obser+ar en la respuesta ante escalón% /ue

se cumplen los +alores pedidos para elsobreimpulso% el tiempo de estabiliación*

El periodo de muestreo . > :*:6s parece ser mu"pe/ueño para el sistema* E'isten apro'imadamente00 muestreos en un periodo de oscilación* Se puedeDacer . > :*-s con toda con$iana*


47/50

7esumen

Se parte de /ue el sistema es de segundo

orden

Se emplea una estrategia /ue e+ita al

má'imo los e$ectos secundarios de cadaparte sobre las otras

El procedimiento debe tomar en cuenta /ue

el modelo es ine'acto " /ue las

especi$icaciones no pueden ser tampoco

e'actas " recurrir a la iteración


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Ejercicio

Sintetice un regulador /ue Daga /ue el sistema tenga

ante una entrada escalón una respuesta con

un sobreimpulso menor al 6

un tiempo de estabiliación tS0E F :*= s

Escoja un punto s- de entre los siguientes

a) @6*06 GH@ j 6*J6 b) @5*6 GH@ j 3*J6 c) @6*06 GH@ j 6*06

d) @0*06 GH@ j 5 e) @-%6 GH@ j 0*06


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5I

Ejercicios

-) #esuel+a el ejemplo 3 por el método de ubicacióndel cero en #eT-U

0) #esuel+a el ejemplo 3 por el método de ubicaciónde cero en el polo G:*=-=J

3) Calcule el ejemplo 5 por el método de la bisectri%con un tiempo de muestreo .S > :*:36 s


50/50

7e!erencias

2gata% &atsuDiVo* WIn3enier4a de 5ontrol

+oderna X% Pearson% Prentice Yall% 0::3% 5Z

Ed*% Madrid*

4or$% #icDard% [isDop #obert* W/istemas de

control modernoX% -:Z Ed*% Prentice Yall%

0::6% España*

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