Control Estocastico

DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS

TITULOControl estocástico

NOMBRESAlejandro Cuevas Iturbe

Alexia S. Ontiveros BrionesCristopher Rodriguez Pacheco Luis Alberto Resendiz ArellanoGerardo Iván Miranda Salazar

FECHA19 / 05 / 2014

MATERIATemas selectos de control

PROFESORIrving Sanchez Lima

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INDICE

Portada 1

Índice 2

Introducción 3

Justificación 3

Marco teorico 4

Cuestionario 13

Conclusión 14

Bibliografía 16

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INTRODUCCIÓN:

Un proceso estocástico puede ser considerado como una funcióon de dos variables

donde t es la variable tiempo con su signicado habitual y w es una variable aleatoria. Si consideramos un valor fijo de w, esto es w = w0 y dejamos la variable t libre, lo que denotaremos como

estaremos hablando de una ((realización)) del proceso. Esta realización es una función temporal común sin ningún tipo de carácter aleatorio una vez que se conoce que w = w0. Si por otra parte se considera un instante de tiempo fijo, es decir t = t0, que denotaremos como

tendremos una variable aleatoria. Se puede considerar por tanto, que la evolución del proceso está dictada por un generador de señales aleatorias.

Se denomina proceso estocástico determinista, a aquél cuya evolución puede ser predicha exactamente con un predictor lineal en base a medidas pasadas. En estos procesos, el carácter estocástico sólo se maniesta en la aleatoriedad de las condiciones iniciales.

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MARCO TEORICO:

Un caso típico de modelización son las perturbaciones que puede tener una planta, ya sea por una imprecisión en la medición, la aparición de una carga o variación propia de la planta.

- Perturbación de carga: carga mecánica de un motor, olas en un barco, etc. Son generalmente lentas o de bajas frecuencias.

- Error de medición: puede ser un error estático de calibración o con componentes de alta frecuencia muy importantes. Una solución habitual es filtrar esta señal con el consiguiente retardo de la misma.

- Variación de Parámetros: debidas a una variación del punto de trabajo o a derivas del propio sistema.

El último tipo de perturbación se estudia como un cambio en el modelo de la planta en cambio los dos primeros se pueden modelizar como una dinámica adicional al sistema original.

Figura 1 Cuatro tipos diferentes de perturbaciones: de corta duración, carga constante, deriva y periódica.

Estas perturbaciones se podrían pensar como la respuesta impulsional de un sistema Gn

Figura 2 Diagrama de bloques de una perturbación y su efecto sobre la planta

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Las perturbaciones se pueden estudiar como entrada salida o como variables de estado.

El proceso estocástico es una variable estocástica que varía en el tiempo. La variable estadística depende de dos parámetros: la realización y la muestra temporal.

Ejemplo proceso determinístico con valor inicial aleatorio.

Este proceso es llamado proceso estocástico completamente determinístico ya que se puede predecir completamente.

- Función de Distribución.

- Función Densidad.

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- Esperanza.

- Momentos.

- Varianza.

- Correlación.

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- Covarianza.

- Densidad Espectral Cruzada.

Si tiene algún pico significa que existe una componente periódica

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El procesos Estocástico Discreto son procesos en donde la aleatoriedad interviene en algunos instantes de tiempo

Un proceso estacionario es aquel proceso aleatorio X (t) y se dice

estacionario, si es independiente de t y por lo tanto:

Para un proceso estacionario, la función de autocorrelación depende sólo de la diferencia t1 – t2 , es decir:

Si los procesos aleatorios X(t) e Y (t) son cada uno estacionarios y además son conjuntamente estacionarios, entonces la matriz de correlación puede escribirse como:

aquí las propiedades estadísticas no dependen del tiempo en sí, sino de la distancia entre muestras temporales.

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- Propiedades.

Un proceso independiente es cuando se debe cumplir que para todo instante de tiempo,

se podría expresar en función de la densidad o distribución. Si se trata de dos procesos X e Y se dice que son independientes si

Un proceso es incorrelado consigo mismo cuando

Un proceso independiente es incorrelado. No siempre ocurre al revés. Dos procesos son incorrelados si

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Si un proceso tiene una distribución Gaussiana, es estacionario e independiente se denomina proceso blanco.

La mayoría de los procesos estacionarios pueden generarse a partir del filtrado del ruido blanco. Es como el impulso de los sistemas deterministas.

Para un proceso estocástico es posible calcular la media temporal de cada realización como sigue:

Esta media es obviamente una variable aleatoria que depende del intervalo de observación –T ≤ t ≤ T.

Si se calcula la correlación promediada temporalmente, para cada realización,

que constituye un proceso estocástico.

Sería de mucha utilidad que la media temporal coincida con la media del proceso estudiado así como su correlación. De este modo bastaría con conocer una sola realización para conocer todo el proceso.

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Un proceso aleatorio se dice ergódico si se verifican las siguientes condiciones:

- Proceso de Wiener.

Se dice que un proceso x es un proceso de Wiener si el proceso z = x(t) – x(t) es en realidad una variable aleatoria independiente. Además se debe cumplir que

- Proceso de Markov.

Un proceso estocástico se dice de Markov de primer orden si la probabilidad condicionada de un elemento solo depende de su valor anterior es decir

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el valor futuro de x solo depende de su valor actual y de v. Si v es ruido blanco genera una proceso de Markov. Si x depende de valores anteriores se puede hacer lo siguiente

lo que matricialmente resulta

- Modelo ARMA.

Una perturbación estocástica se puede modelar como generada por ruido blanco

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Cuestionario:

1. ¿Cuál es la definición de un proceso estacástico?

2. ¿Cuáles son los modelos de perturbación?

3. ¿Cuándo se le puede llamar a un proceso estocástico completamente determinístico?

4. ¿Cuándo se dice que un proceso es estacionario?

5. ¿Qué condiciones debe cumplir un proceso blanco?

6. ¿Cuál es la fórmula del proceso estacástico Ergódicos para calcular la media temporal?

7. ¿Qué se debe cumplir para hacer un proceso de Wiener?

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CONCLUSIONES:

Alejandro Cuevas Iturbe

Los controles estocásticos son métodos útiles para poder encontrar factores determinantes dentro de procesos de control que desconocemos y poder rectificar el sistema.

Lo complicado de esto es determinar el tipo de proceso que tenemos analizando las las condiciones que cumple y con eso llevar a cabo la rectificación que puede resolver ese proceso.

Una comparación burda que hago del proceso estocásticoy sus soluciones es con el juego sudoku, ya que solo puedes ver solo ciertos numeros y llevas a cabo razonamimentos dependiendo de la condición.

Alexia S. Ontiveros Briones

Cristopher Rodriguez Pacheco

Al realizar el trabajo aprendí a cerca de las perturbaciones que se pueden estudiar como entrada/salida o como variables de estado. También pude aprender que a través de las perturbaciones se puede detectar el malfuncionamiento de los sistemas esto es inportante aprenderlo para tener un mayor conocimiento para la teoría de estados.

Luis Alberto Resendiz Arellano

Gerardo Iván Miranda Salazar

La principal dificultad de los problemas de control óptimo estocástico es resolver la ecuación de HJB, ya que no hay una teoría general disponible para esto. No obstante, para el caso de las aplicaciones que nos ocupan en este artículo, es posible encontrar soluciones analíticas y cerradas de dicha ecuación siempre que se incorpore en los supuestos

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que la dinámica de los precios sigue el movimiento geométrico browniano y la función de utilidad es del tipo U(c,t) = e-ptV(c) donde V es un miembro de la familia de funciones de tipo HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion).

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Bibliografía:

Astrom Karl J Computer Controlled Systems. Theory and Design, Prentice Hall – 1984Haykin Simon Communication Systems, Jhon Wiley & Sons, Inc., New York - 1994http://materias.fi.uba.ar/6631/material/Clase_03_Estocastico.pdfhttp://www.esi2.us.es/~danirr/apuntesIC4.pdf

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