COSINUS D ’UN ANGLE AIGU

Construire des triangles rectangles et

comparer les résultats de certains quotients

5

3

,83

R S

T

40°TR

TS 3,83

5

TRTS 0,766

4E

F

G

3,06

40° EG

EF 3,06

4

EGEF 0,765

CB

CA 6

7,83

CBCA0,766

CA

B

6

7

,83

40°

KI

KJ 5

6,53

KIKJ 0,766

K

J

I

5

6,53

40°

Un peu de vocabulaire….

B

C

A

HYPOTENUSE

ABC est un triangle rectangle en C

Côté adjacent à l’angle BAC

Côté adjacent à l'angle ABC

40°40°

C

CBCA0,766

Les triangles rectangles suivants ont tous un angle de 40°.

R

ST 40° TRTS0,766 40°

EFEG

0,765

KIKJ 0,766A

B I

JK

Remarque : Côté adjacent à l’angle de 40°

hypoténuse0,766

E

FG

Et si on changeait la mesure de l’angle …

TR

TS 4,33

5

TRTS 0,866

30°

R

T

S

5

4,33

EG

EF 3,46

4

EGEF 0,865

E

F

G

30°4

3,46

CB

CA 7

8,08

CBCA0,866

30°

B

CA 7

8,08

R

ST 30° TRTS0,866

30°

EFEG

0,865

30°

CBCA 0,866B

C

A

Côté adjacent à l’angle de 30°

hypoténuse 0,866

On remarque que :

Les triangles rectangles suivants ont tous un angle de 30°.

E

FG

Conclusion : Si ABC est un triangle rectangle en A.

Pour un angle ABC donné, le quotient

AB

CBABC

est constant.

Ce nombre ne dépend que de la mesure de l’angle ABC.

C’est le cosinus de l’angle ABC.

cos (ABC) se lira « cosinus de l’angle ABC »

cos (ABC) = Côté adjacent à l'angle ABC

Hypoténuse=

BA

BC

AB

C

C'

A'

Les droites (AC) et (A'C') sont perpendiculaires à la droite (AB)

Donc les droites (AC) et (A'C') sont parallèles.

D'après la propriété de Thalès BC'BC

=BA'BA

Donc BC' x BA = BC x BA'

On divise chacun des deux membres de l'égalité par BC' x BC

BC' x BABC' x BC

=BC x BA'BC' x BC

et on obtient : BABABCBC

==BA'BA'

BC'BC'

Démonstration :

Propriété :Propriété :Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est :

Le plus grand côté

Donc BA < BC

AB

C

Cos ABC = BA

BC

Donc Cos ABC < 1