1

Curs 2: Particularităţi de calcul şi comportare

Referinţe:

Alvarez, M., Köppel, S., Marti, P., 2000, Rotation Capacity of Reinforced Concrete Slabs, ACI Struct. Jou., V. 97, no. 2, pp. 235-244.

ASRO, 2004, SR EN 1992-1-1. Proiectarea structurilor din beton. Partea 1-1: Reguli generale şi reguli pentru clădiri.

Bae, S., Bayrak, O., 2008, Plastic Hinge Length of Rinforced Concrete Columns, ACI Struct. Jou., V. 105, no. 3, pp. 290-300.

Baker, A.L.L., Amarakone, A.M.N. (1964), Inelastic Hyperstatic Frame Analysis, Flexural Mechanics of Reinforced Concrete, SP 12, Amercan Concrete Institute, Farmington Hils, pp. 85-142.

Caracostea, A.D. (coord.), 1977, Manual pentru calculul construcţiilor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1391 p.

Corley, W.G. (1966), Rotational Capacity of Reinforced Concrete Beams, Journal of the Structural Division, ASCE, V. 92, No. ST5, oct. 1966, pp. 143-181.

Dilger, W. (1966), Veränderlichkeit der Biege- und Schubsteifigkeit bei Stahlbetontragwerkenund ihr Einfluß auf Schnittkraftverteilung und Traglast bei statisch unbestimmter Lagerung. DafStb-Heft 179, Ed. Ernst & Sohn, Berlin.

Mattock, A.H. (1964), Rotational Capacity of Hinging Regions in Reinforced Concrete Beams, Inelastic Hyperstatic Frame Analysis, Flexural Mechanics of Reinforced Concrete, SP 12, Amercan Conctere Institute, Farmington Hils, pp.143-181.

Mattock, A.H. (1967), discussion of “Rotational Capacity of Reinforced Concrete Beams”, Journal of the Structural Division, ASCE, V. 93, No. ST2, apr. 1967, pp. 519-522.

Park, R., Paulay, T., 1975, Reinforced concrete structures, John Wiley & Sons, New York, 769 p.

Paulay, T., Priestley, M.J.N., 1992, Seismic design of reinforced concrete and masonry structures, John Wiley & Sons, New York, 744 p.

Subramanian, N., 2009, Discussion of “Plastic Hinge Length of Reinforced Concrete Columns” by S. Bae and O. Bayrak, ACI Struct. Jou., V. 106, no. 2, pp. 233.

Conţinut

1. Introducere. Tipuri de analiză structurală 2. Comportarea în domeniul postelastic

2.1 Definiţia ductilităţii 2.2 Determinarea ductilităţii de curbură 2.3 Articulaţia plastică 2.4 Calculul rotirii plastice

3. Calculul în domeniul elastic

  2

3.1 Reazeme şi deschideri de calcul 3.2 Rigidităţi

4. Calculul în domeniul postelastic 4.1 Calculul elastic cu redistribuţie limitată 4.2 Calculul plastic

  3

1. Introducere. Tipuri de analiză structurală

2. Comportarea în domeniul postelastic 2.1 Definiţia ductilităţii

 

Comportarea ductilă este caracterizată prin deformaţii importante în domeniul postelastic, fără o reducere semnificativă a rezistenţei (Figura 1 a şi b). Comportarea este caracterizată prin existenţa unui domeniu de comportare elastică (0-1), urmat de un domeniu de comportare plastică (1-2), care poate include ecruisaj (panta este pozitivă) sau nu (comportare perfect plastică, panta este zero). După atingerea punctului de rezistenţă maximă (2) poate urma un domeniu de degradare a rezistenţei (2-3) în care rezistenţa este mult mai mică decât cea maximă, dar totuşi semnificativă (Figura 1a), sau scădera rapidă şi completă a rezistenţei (Figura 1b). Dacă deformaţiile postelastice sunt mici sau dacă rezistenţa scade rapid cu creşterea deformaţiei postelastice, comportarea se numeşte fragilă (Figura 1c).

Deformaţiile postelastice sunt necesare din mai multe motive.

În primul rând, pentru redistribuţia solicitărilor în structurile static nedeterminate, ceea ce permite reducerea vârfurilor de moment, şi în consecinţă o dimensionare mai economică: după ce se atinge limita de curgere (care este egală sau apropiată de valoarea maximă a rezistenţei) în secţiunile cele mai solicitate, acestea se deformează în continuare şi sarcinile suplimentare pot fi suportate de secţiunile mai puţin solicitate, până când numărul şi configuraţia secţiunilor plastice fac ca structura să devină instabilă (mecanism plastic).

Un alt avantaj al comportării ductile este avertizarea iminenţei cedării. Dacă structura are deformaţii importante atunci când solicitarea este apropiată de capacitatea portantă, se pot lua măsuri de urgenţă pentru a salva vieţile ocupanţilor şi bunurile materiale.

În sfârşit, în cazul structurilor supuse la solicitări seismice, structura are posibilitatea de a disipa o parte din energia indusă de cutremur prin deformaţii postelastice, ceea ce permite dimensionarea structurii la forţe mult mai mici decât în cazul comportării elastice.

 

    a) b) c)

Figura 1. Relaţii forţă-deplasare în cazul comportărilor ductile (a şi b) şi fragile (c)

  4

Ductilitatea se manifestă la mai multe niveluri “ierarhice”: la nivelul materialelor (relaţii

), la nivelul secţiunilor (relaţii moment-curbură), la nivelul elementelor (relaţii moment – rotire) sau al structurii în ansamblu (relaţii forţă - deplasare). Existenţa ductilităţii la nivelul ierarhic inferior este întotdeauna o condiţie necesară dar nu întotdeauna o condiţie suficientă pentru asigurarea ductilităţii la nivelul ierarhic superior.

Obiectivul acestui capitol este studiul ductilităţii la nivelul secţiunilor (ductilitatea de curbură) şi elementelor (ductilitate de rotire şi deplasare) şi al redistribuţiei momentelor în structurile ductile de beton armat.

2.2 Determinarea ductilităţii de curbură

2.2.1 Determinarea curburii în stadiul II

Dacă se consideră porţiune de lungime dz dintr-un element de beton armat supus la un moment constant pe această lungime elementară, rotirea între cele două feţe ale porţiunii considerate este (Figura 2):

xd

dz

x

dz

R

dz sc

max, (1)

de unde rezultă:

dxdxR

scsc

max,max,1

(2)

în care R/1 este curbura (rotirea pe unitate de lungime a elementului). Curbura este panta

diagramei de deformaţii.

2.2.2 Curbura de curgere

Curbura de curgere corespunde, în cazul betonului armat, intrării în curgere a armăturilor întinse:

y

syy xd

(3)

Dar înălţimea relativă a zonei comprimate variază puţin pentru diverse secţiuni (ea corespunde înălţimii zonei comprimate în exploatare - stadiul II), iar deformaţia de curgere a armăturii este constantă pentru un tip de oţel dat. În consecinţă curbura de curgere variază în principal cu înălţimea utilă a secţiunii şi este convenabil să se definească o curbură relativă:

3105,2)1(

sy

yy E

fd

(4)

  5

Figura 2. Deformaţia unui element încovoiat

Notă: Pentru un raport tipic e = 7, procente de armare obişnuite = 0,5%...1,5% şi oţeluri cu limite de curgere cuprinse între 300 MPa şi 500 MPa, curbura relativă de curgere variază între 1,5x10-3 şi 3,5x10-3. Ea scade cu limita de curgere a armăturii şi cu procentul de armare şi este mai mare la secţiuni dreptunghiulare decât la secţiuni în

formă de T (în cel de-al doilea caz, y este mai mică pentru că zona comprimată are lăţime mare).

Exemplu 1: Să se determine curbura de curgere pentru o placă din beton C25/30, cu grosime h

= 150 mm, armată cu 10/15 din oţel S500. Acoperirea de beton este c = 15 mm.

Pentru C25/30, Ecm = 31 GPa

Pentru S500, fy = 500 MPa

d = h – c – /2 = 150 – 15 – 10/2 = 130 mm

= 78,5/(150x130) = 0,004 = 0,4 %

e = Es/Ecm = 200/31 = 6,45

e = 0,004x6,45 = 0,026

= e

1

21

e

= 0,026

1

026,0

21 = 0,20

33

10125,310200)2,01(

500

)1(

sy

yy E

fd

fisură  axa neutrăarmătură

d

  6

Nota: Pentru determinarea înălţimii zonei comprimate în stadiul II, vezi cursul “Beton armat şi precomprimat II”.

2.2.3 Curbura ultimă

Curbura ultimă corespunde deformaţiei ultime în betonul comprimat (dacă ruperea nu se produce prin armătura întinsă, pivot A, situaţie ignorată în mod curent):

u

cuu x

(5)

şi curbura relativă este:

u

cuu d

(6)

Dacă armăturile întinse şi comprimate ajung la curgere, ecuaţia de echilibru a forţelor în lungul axei elementului este:

N = 0,8x b fc + As2fy – Asfy (7)

Această ecuaţie, exprimată cu valorile adimensionalizate n, et este:

0,8u = n +- (8)

În final, expresia curburii ultime este:

)(25,1 2

nd cu

u (9)

Nota1: Relaţia (9) a fost dedusă pe baza relaţiei (7), adică în cazul în care atât armăturile întinse cât şi cele comprimate ajung la curgere. În cazul în care armăturile întinse nu ajung la curgere (x>xb), intrarea în domeniul plastic a secţiunii nu are loc şi discutarea ductilităţii este inutilă. Cazul în care armăturile comprimate nu ajung la curgere este cel în care înălţimea zonei comprimate este foarte mică, deci deformaţiile în armătura întinsă sunt mari şi secţiunea se comportă ductil, dar relaţia (9) nu mai este strict valabilă.

Nota2: În relaţia (9) nu apare în mod explicit influenţa ductilităţii armăturii. Se consideră însă în mod implicit că deformaţia ultimă a armăturii este suficient de mare astfel încât cedarea să aibă loc prin pivotul B (betonul comprimat) şi nu prin pivotul A (armătura întinsă). Influenţa ductilităţii armăturii poate fi pusă in evidenţă folosind expresia (2).

Situaţia limită este cea în care cedarea are loc simultan prin betonul comprimat şi armătura întinsă (Fig. 3). Curbura ultimă este limitată de valoarea:

  7

d

udcuu

şi cum cu este constantă pentru betoane obişnuite neconfinate şi relativ mică în raport

cu ud, max(ud) este proporţional cu deformaţia ultimă a armăturii ud.

Înălţimea relativă a zonei comprimate este în acest caz:

udcu

cuu

Pentru betoane obişnuite (fck 50 MPa), deformaţia ultimă a betonului este cu = 0,0035.

Pentru oţel de clasă A: ud = 0,9·uk = 0,9·2,5·10-2 = 2,25·10-2

uA = 3,5/(3,5 + 22,5) = 0,135

Pentru oţel de clasă B: ud = 0,9·uk = 0,9·5·10-2 = 4,5·10-2

uA = 3,5/(3,5 + 45) = 0,072

Pentru oţel de clasă C: ud = 0,9·uk = 0,9·7,5·10-2 = 6,75·10-2

uA = 3,5/(3,5 + 67,5) = 0,049

Condiţia ca ruperea să nu se producă prin pivotul A este :

u uA sau uA

xu

d

ud 

cu

Figura 3. Diagrama de deformaţii când cedarea are loc simultan prin pivoţii A şi B

  8

Se observă că în cazul elementelor cu procente mici de armare (de exemplu plăci), ruperea se va produce prin pivotul A dacă se utilizează armături de clasă A.

Exemplu 2: Să se determine curbura de ultimă pentru placa din exemplul precedent.

n = 0; 2 = 0; = fy/fcd = 0,004x500/(25) = 0,08

3100,35035,0)008,00(25,1

0035,0

du

2.2.4 Ductilitatea de curbură

Ductilitatea este măsurată prin indicele de ductilitate:

y

u

(10)

Înlocuind curburile de curgere şi ultimă prin expresiile lor (3) şi (9), rezultă:

)( 2

nd

d

y

cu

y

u

y

u (11)

Exemplu 3: Să se determine indicele de ductilitate pentru placa din exemplul precedent.

2,1110125,3

10353

3

d

d

y

u

y

u

Dacă se neglijează influenţa curburii de curgere (care variază in limite destul de restrânse), relaţia (11) pune în evidenţă principalii factori care influenţează ductilitatea (Figura 4):

Forţa axială relativă n: o creştere a forţei de compresiune relative diminuează proporţional ductilitatea; de unde necesitatea de a limita forţa de compresiune pentru a asigura o comportare ductilă a secţiunii (de exemplu prin mărirea secţiunii de beton).

Diferenţa între ceficienţii geometrici de armare cu armătură întinsă şi comprimată -2 (echivalent cu diferenţa între coeficienţii mecanici de armare ): dacă această diferenţă este mică, ductilitatea est mare. Trebuie deci limitată cantitatea de armătură întinsă sau asigurată o anumită cantitate de armătură comprimată. În literatură se recomandă ca valoare procentului de armătură întinsă să nu depăşească 1,5% pentru a asigura o ductilitate suficientă, sau se limitează înălţimea zonei comprimate (x/d ≤ 0,25) la o valoare mult mai mică decât cea corespunzătoare valorii de balans. În zonele seismice se recomandă ca, la reazemul grinzilor de cadru, armătura de la partea inferioară (comprimată) să fie egală cu cel puţin ½ din armătrura superioară (întinsă).

Deformaţia ultimă a betonului comprimat cu: aceasta poate fi mărită prin confinarea betonului (vezi cursul „Beton armat şi precomprimat I”).

  9

2.3 Articulaţia plastică

2.3.1 Definiţie

În Figura 5 este prezentată o grindă de beton armat care a atins curbura şi momentul ultim în secţiunea critică. Distribuţia de momente este dată în Figura 5b, iar în Figura 5c distribuţia de curburi. Se observă existenţa unei zone pe care se întind deformaţiile inelastice (zona haşurată în Figura 5c). Această zonă se numeşte articulaţie plastică.

Pentru simplificarea calculelor, se defineşte o lungime convenţională lp, numită lungimea

articulaţiei plastice, pe care curbura plastică se consideră constantă şi egală cu u – y, astfel

încât aria paralelogramului de înălţime lp şi latură u – y să fie echivalentă cu aria haşurată din Figura 5c.

Cercetări privind lungimea articulaţiei plastice şi factorii care o influenţează au fost efectuate încă din anii ’60. Cercetările din anii ’60 s-au axat în special pe cazul grinzilor supuse la încărcări monotone, în vederea stabilirii capacităţii de redistribuire plastică a momentelor (Baker & Amarakone, 1964, Corley, 1966, Mattock, 1964 şi 1967, Dilger, 1966, Bachman, 1970). Alte studii s-au axat pe studierea stâlpilor şi grinzilor supuse la solicitări ciclice de tip seismic (Aoyama, 1964, Agrawal e.a, 1965, Brown & Jirsa, 1971, Park e.a., 1972, Légeron & Paultre, 2000, Bae & Bayrak, 2008).

 

a) b)

Figura 4. a) Influenţa coeficientului de armare asupra ductilităţii; b) Influenţa forţei axiale relative asupra ductilităţii (adaptată după Park&Paulay, 1975)

  10

 

Figura 5. Distribuţia curburilor de-a lungul unei grinzi de beton armat la momentul ultim: a) Grinda, b)Diagarama de momente, c) Diagrama de curburi. (după Park & Paulay, 1975)

 

2.3.2 Factori care influenţează lungimea articulaţiei plastice

Studiile teoretice şi experimentale au pus în evidenţă o serie de factori care influenţează lungimea articulaţie plastice:

- Înălţimea utilă a secţiunii d: majoritatea formulelor empirice consideră că lp creşte proporţional cu d;

- Distanţa până la punctul de inflexiune z: lp creşte proporţional cu z; - longitudinală (vezi capitolul referitor la forţa tăietoare din cursul „Beton armat şi

precomprimat II”), şi implicit alungirea zonei inelastice; - Diametrul armăturii longitudinale: dincolo de punctul de “încastrare”, deformaţiile

mari ale armăturii aflată în domeniul inelastic se transmit pe o anumită lungime (“tensile strain penetration”);

- Marimea forţei axiale de compresiune: în general se consideră că duce la mărirea lp, dar unele rezultate experimentale sunt contradictorii.

2.3.3 Estimarea lungimii articulaţiei plastice

Există numeroase formule propuse de diverşi cercetători. Faptul că nu s-a ajuns încă la un consens este demonstrat de faptul că se mai publică încă studii şi discuţii pe acest subiect (Bae

  11

& Bayrak, 2008, şi discuţiile asupra acestui articol, ale lui Subramanian şi respectiv Elmenshawi, din ACI Structural Journal din martie-aprilie 2009).

De aceea considerăm că, deocamdată, o alternativă rezonabilă este adoptarea unei formule simple de calcul, ca cea propusă de Paulay şi Priestley (Paulay & Priestley, 1992):

lp = 0,08z + 0,022dbfy 0,5h (12)

în care db este diametrul barelor longitudinale şi fy limita de curgere a acestora.

EN 1992-1-1 recomandă pentru grinzi continue sau plăci armate pe o direcţie considerarea unei zone plastice pe reazeme de 1,2d. Aceasta revine la o lungime:

lp = 0,6d (13)

2.4 Calculul rotirii plastice

Calculul rotirii plastice va fi ilustrat pentru o grindă continuă cu două deschideri egale, adaptat după (Park&Paulay, 1975). Elementele de calcul static (diagrame de momente, calcul de curburi) nu vor fi detaliate aici. Relaţiile de calcul necesare au fost preluate din (Caracostea e.a., 1977).

Pentru o grindă continuă cu forţe concentrate la mijlocul deschiderilor (Figura 6a), rezultă din calculul elastic diagrama de momente (b). Momentele ultime sunt Mr,u pe reazem şi Mc,u în câmp. Presupunem că diagrama moment-curbură este de tip elastic-perfect plastic (g), deci momentele de curgere sunt egale cu momentele ultime. Când se atinge momentul de curgere pe reazem (c), aici se formează o articulaţie plastică. În continuare, momentele cresc numai în câmp, până se atinge şi aici momentul ultim (h), şi se formează un mecanism ce cedare cu 3 articulaţii plastice (e).

Condiţia de echilibru trebuie respectată atât în domeniul elastic, cât şi în domeniul plastic, adică:

Mr/2 + Mc = M0 (14)

în care M0 = Pl/4 este momentul corespunzător grinzii simplu rezemate.

Încărcarea la care se produce cedarea este:

Pu =

uc

ur MM

l ,,

2

4 (15)

Notă: Pentru ca articulaţia plastică să se formeze mai întâi pe reazem şi apoi in câmp, trebuie ca raportul între momentele ultime să fie mai mic decât cel dintre momentele rezultate din calcul elastic:

Mr,u / Mc,u ≤ Mr / Mc = 0,188/0,156 = 1,2 (16)

  12

Figura 6. Redistribuirea momentelor si formarea mecanismului de cedare pentru o grinda continua

După intrarea în curgere a armăturii întinse de pe reazem, se formează o articulaţie plastică. Din acest moment şi până la atingerea încărcării ultime (formarea mecanismului de cedare),

grinda se roteşte cu unghiul B în jurul reazemului (Figura 7a).

Rotirea aceasta se poate descompune în rotirea pozitivă ’B (c) dată de momentul de simplă

rezemare (d) şi rotirea negativă”B (e) dată de momentul de pe reazem (f):

B = ’B - ”B (17)

Rotirile ’B şi ”B pot fi calculate cu relaţiile din (Caracostea e.a., 1977), Tabelul IV6. Relaţiile de calcul sunt:

’B = EI

lMM

EI

lP urucu

4

)5,0(

16,,

2 (18)

”B = EI

M ur

3, (19)

Rezultă:

  13

B = EI

lMM uruc

4

)( ,65

, (20)

Rotirea plastică este:

s = 2B = EI

lMM uruc

26

5 )( ,, (21)

Figura 7. Calculul rotirii plastice pe reazem

Trebuie ca rotirea plastică calculată pentru formarea mecanismului de cedare să fie mai mică sau egală cu rotirea plastică capabilă a reazemului:

s ≤ pl, d = (u – y)·2lp (22)

  14

Exemplul 4: Să se verifice capacitatea de rotire plastică pentru o fâşie de placă de beton armat având secţiunea şi armarea plăcii din exemplele 1-3 şi schema statică şi de încărcare din Error! Reference source not found..

Considerăm lungimea articulaţiei plastice lp = 0,6d. Rezultă rotirea plastică capabilă:

pl, d = (u – y) ·2lp = (ud – yd) ·1,2d/d =

= (35,0·10-3 - 3,12·10-3) ·1,2= 38,2·10-3 rad

Armarea este identică în câmp şi pe reazem, deci Mr,u = Mc,u = Mu

Momentul ultim este, dacă considerăm braţul de pârghie z ≈ 0,9d:

Mu = zAsfy = (0,9·0,13)·(78,5·10-6/0,15)·500 = 30,6 kNm/m

Se considră în mod simplificat My = Mu = 30,6 kNm/m

Rigiditatea este:

EI = My/y = Myd/yd = 30,6·10-3·0,13/(3,12·10-3) = 1,276 MNm2/m

Rotirea plastică este:

p = 276,112

106,30

122

)( 3,,6

5,

EI

lM

EI

lMM ucuruc = 2,0·10-3 rad

În concluzie:

p= 2,0·10-3 rad < p, cap = 38,2·10-3

rad

2.5 Ductilitatea de deplasare

Figura 8. Deplasări orizontale, rotiri şi curburi la consola elasto-plastică

Considerăm o consolă verticală acţionată de o forţă concentrată la vârf (Figura 8). Deplasarea de curgere este:

l

x

(x)

y

lp

y p = u - y

  15

y = l

yl

y ldxx

lxdxx

0

22

0 3)(

(23)

Rotirea plastică este:

p = p·lp = (u - y)·lp (24)

Deplasarea plastică este:

p = p (l-0,5lp) = (u - y)·lp(l-0,5lp) (25)

Indicele de ductilitate de deplasare este:

=

l

l

l

l

l

lll pp

y

ppyu

y

p

y

u 5,01)1(313/

)5,0()(11

2

(26)

Exemplul 5 (adaptat după Paulay & Priestley, 1992): Să se determine ductilitatea de curbură

necesară pentru o consolă care trebuie să atingă ductilitatea de deplasare = 6. Consola are

lungimea de 4 m, secţiunea de 80x80 cm2 şi este armată cu 525 pe latură, cu fy = 300 MPa.

Cu relaţia (12), lungimea articulaţiei plastice rezultă:

lp = 0,08z + 0,022dbfy = 0,08x4 + 0,022x0,025x300 = 0,32 + 0,165 = 0,485 m

Rezultă lp/l = 0485/4 = 0,121

Din relaţia (26), explicitând rezultă :

= )121,05,01(121,03

161

5,013

11

l

l

l

l pp

=1+5/0,341 16

Deci, pentru a atinge o ductilitate de deplasare de 6 pentru elementul de beton armat este necesară o ductilitate de curbură de 16 în secţiunea critică a acestuia.

  16

3. Calculul în domeniul elastic

Calculul elementelor la stări limită de serviciu şi la stări limită ultime poate fi efectuat pe baza unei analize liniare bazată pe teoria elasticităţii (SR EN 1992-1-1). Trebuie ţinut seama însă de anumite particularităţi de alcătuire şi comportare ale structurilor de beton armat.

3.1 Reazeme şi deschideri de calcul

Dimensiunile secţiunilor transversale ale elementelor de beton armat (stâlpi şi grinzi) nu sunt neglijabile. În particular, reazemele elementelor de beton armat au dimensiuni de care trebuie ţinut cont în calculul solicitărilor. Standardul european SR EN 1992-1-1 dă următoarele recomnadări pentru determinarea deschiderii utile leff a unui element:

leff = ln + a1 + a2 (27)

în care ln este distanţa între feţele reazemelor (lumina), iar valorile lui a1 şi a2 la fiecare extremitate a traveei pot fi determinate plecând de la valorile corespunzătoare ai din figura 9, în care t este lăţimea elementului de reazem aşa cum este indicat.

a) Elemente simplu rezemate (b) Elemente continue

(c) Reazeme considerate ca (d) Prezenţa unui aparat de reazem încastrări perfecte

Axa reazemului

  17

(e) Consolă

Figura 9. Deschiderea de calcul (leff ) pentru diferite condiţii de reazem (SR EN 1992-1-1)

Plăcile şi grinzile continue pot fi calculate, în general, considerând că reazemele nu împiedică rotirea.

Atunci când o grindă sau o placă formează un ansamblu monolit cu reazemele, se recomandă să se ia ca moment de calcul, momentul de la faţa reazemelor. Pentru momentul şi reacţiunea de calcul transmise la reazem (stâlp, perete etc.), se va reţine cea mai mare dintre valorile obţinute din calculul elastic sau din redistribuiri.

Oricare este metoda de calcul utilizată, atunci când o grindă sau o placă este continuă în dreptul unui reazem considerat a nu împiedica rotirea (de exemplu în dreptul unui perete), momentul de calcul pe reazem, determinat pentru o deschidere egală cu distanţa între axele

reazemelor, poate fi micşorat cu o valoare MEd :

MEd = FEd,sup t / 8 (28)

în care:

FEd,sup este valoarea de calcul a reacţiunii din reazem;

t este lăţimea reazemului (a se vedea figura 1).

3.2 Rigidităţi

Pentru solicitări gravitaţionale, când nu contează efectele de ordinul II, rigiditatea absolută a elementelor nu este importantă; distribuţia solicitărilor fiind controlată de rigidităţile relative ale elementelor. La această situaţie se referă prevederea din SR EN 1992-1-1 care stipulează că analiza liniară poate fi utilizată pentru determinarea solicitărilor, cu respectarea ipotezelor următoare: i) secţiuni nefisurate; ii) relaţii efort-deformaţie liniare; şi iii) valori medii ale modulului de elasticitate. Adică se folosesc rigidităţile nefisurate ale secţiunilor brute de beton (EcIc).

Codul american ACI 3108-08 recomandă folosirea EcIc pentru toate elementele sau a rigidităţii întregi pentru stâlpi şi jumătate din rigiditatea inimii pentru grinzi. Această a doaua variantă ţine cont de gradul mai ridicat de fisurare al grinzilor faţă de stâlpi.

  18

În cazul însă în care intervin efecte semnificative de ordinul II, sau dacă trebuie facută o evaluare mai precisă a deplasărilor orizontale (ca în cazul calculului la acţiunea vântului sau cutremurelor de pământ) rigidităţile trebuie micşorate pentru a ţine seama de fisurarea elementelor (şi chiar de intrarea în curgere a armăturilor în cazul acţiunii seismice).

Pentru calcule de ordinul II pe structură, SR EN 1992-1-1 (Anexa H) recomandă, în lipsa unor calcule mai exacte, să se considere 0,4EcdIc pentru elementele fisurate la SLU (de ex. grinzi)

şi 0,8EcdIc pentru cele nefisurate (de ex. stâlpi). Având în vedere că Ecd = Ecm/CE = Ecm/1,2, rezultă rigidităţi de ordinul 0,33EcmIc respectiv 0,67 EcmIc. Codul american ACI 318 recomandă 0,35EcmIc pentru grinzi, respectiv 0,7 EcmIc pentru stâlpi, deci valori apropiate de cele din norma europeană.

Pentru calculul seismic codul românesc de proiectare seismică P100-1 recomandă 0,5EcIc pentru toate elementele, dacă nu sunt elemente nestructuturale care să conlucreze cu structura, şi EcIc în caz contrar. Valorile recomandate se aplică atât la calculul la SLU cât şi la cel la SLS. Codul ACI 318 recomandă 0,5EcIc pentru toate elementele, sau considerarea rigidităţilor ca pentru calculul de ordinul II (de ex. 0,35EcmIc pentru grinzi, respectiv 0,7 EcmIc pentru stâlpi).

4. Calculul în domeniul postelastic

4.1 Calculul elastic cu redistribuţie limitată

Trebuie luată în calcul influenţa oricărei redistribuiri a momentelor asupra tuturor aspectelor proiectării. Analiza liniar elastică cu redistribuire limitată a momentelor poate fi utilizată pentru verificarea elementelor structurale la SLU.

Momentele la starea limită ultimă, determinate printr-o analiză liniar elastică pot fi redistribuite, cu condiţia ca noua distribuţie de momente să continue să echilibreze încărcările aplicate.

La grinzi şi la plăci continue :

a) solicitate în principal la încovoiere şi

b) al căror raport între deschiderile adiacente este cuprins între 0,5 şi 2,

se poate face o redistribuire a momentelor încovoietoare fără verificarea explicită a capacităţii de rotaţie, cu condiţia ca (SR EN 1992-1-1:2004):

0,44 + 1,25(0,6+0,0014/εcu2)xu/d pentru fck 50 MPa (29a)

0,54 + 1,25(0,6+0,0014/εcu2)xu/d pentru fck > 50 MPa (29b)

0,7 pentru armături din clasa B sau C (30a)

0,8 pentru armături din clasa A (30b)

cu :

  19

δraportul dintre momentul după redistribuire şi momentul elastic

xu înălţimea axei neutre la starea limită ultimă după redistribuire

d înălţimea utilă a secţiunii

Se recomandă să nu se efectueze redistribuiri în cazul în care capacitatea de rotire nu poate fi stabilită în mod sigur (de exemplu la colţurile cadrelor precomprimate).

Pentru calculul stâlpilor, se recomandă să nu se ţină seama de nici o redistribuire a momentelor elastice provenind din efectul de cadru.

Exemplu:

Pentru o placă din beton C25/30, cu xu/d = 0,1 şi εcu2 = 0,0035:

0,44 + 1,25(0,6+0,0014/0,0035)·0,1 = 0,565

Dacă se folosesc armături cu ductilitate înaltă sau normală (de exemplu bare laminate la cald),

atunci 0,7, deci momentul (pe reazem0 se poate reduce cu 30%.

Dacă se folosesc armături cu ductilitate scăzută (de exemplu plase sudate din sârme obţinute

prin tragere la rece), atunci 0,8, deci momentul se poate reduce cu 20%.

Pentru o grindă din beton C25/30, cu xu/d = 0,35 şi εcu2 = 0,0035:

0,44 + 1,25(0,6+0,0014/0,0035)·0,35 = 0,877

Indiferent de tipul armăturilor folosite se poate face o reducere de 12%.

4.2 Calculul plastic

1.1.1 Generalităţi Metodele bazate pe analiza plastică nu trebuie utilizate decât pentru verificările la SLU.

Conformm teoriei plasticităţii, o structură atinge starea limită de rezistenţă atunci când formează suficiente articulaţii pentru a se transforma într-un mecanism, ceea ce are drept consecinţă colapsul. Aceasta înseamnă în mod normal o articulaţie plastică mai mult decât numărul de grade de nedeterminare al structurii. Ductilitatea secţiunilor critice (în care se formează articulaţii) trebuie să fie suficientă pentru ca mecanismul dorit să se producă. Este posibil ca o parte a structurii să ajungă la colaps în timp ce restul structurii rămâne stabil. În acest caz nu se produce prăbuşirea globală a structurii şi numărul de articulaţii necesar pentru a produce colpas parţial este mai mic decât (ID+1.0). Aceaastă situaţie este ilustrată pentru grinda continuă cu mai multe deschideri din Figura 10. Dacă sunt ignorate forţele orizontale ID=[(2m+r)−2n]=[(2×4)+5−(2×5)]=3.

  20

Figura 10. Mecanisme de colaps parţial

Pentru a asigura colaps global şi identificarea încărcării de colaps corecte trebuie îndeplinite următoarele trei condiţii:

(i) condiţia de mecanism în care trebuie să fie suficiente articulaţii plastice pentru a dezvolta

un mecanism, (adică numărul de articulaţii plastice ≥[ID+1]),

(ii) condiţia de echilibru în care momentele încovoietoare pentru orice mecanism de cedare trebuie să fie în echilibru cu încăcarea aplicată care produce,

(iii) condiţia de curgere în care mărimea momentelor încovoietoare oriunde în structură nu poate depăşi momentul plastic capabil al elementului structural respectiv.

Dacă aceste trei condiţii sunt îndeplinite atunci încărcarea determinată este încărcarea de cedare.

Se recomandă ca analiza plastică să fie bazată pe metoda statică (limita inferioară de plasticitate) sau pe metoda cinematică (limita superioară de plasticitate).

Dacă sunt satisfăcute numai condiţiile de echilibru atunci se obţine o aproximaţie superioară (neacoperitoare) în care încărcarea de cedare determinată este mai mare sau egală cu valoarea corectă.

Dacă sunt satisfăcute numai condiţiile de curgere şi de mecanism atunci se obţine o aproximaţie inferioară (acoperitoare) în care încărcarea de cedare determinată este mai mică sau egală cu valoarea corectă.

Efectele încărcărilor anterioare pot fi, în general, neglijate şi se poate admite o creştere monotonă a intensităţii încărcărilor.

  21

Exemplu: Grindă încastrat – rezemată – metoda statică O grindă încastrat – rezemată are deschiderea L (m) şi este solicitată de o încărcare de cedare w (kN/m) ca în Figura 11. Determinaţi poziţia articulaţiilor plastice şi momentul capabil plastic necesar Mp.

Figura 11. Grinda încastrat-rezemată cu încărcare uniform distribuită

Soluţie:

Încărcarea de colaps = w kN/m

Numărul de articulaţii plastice necesar pentru a induce colaps =(ID+1) = 2

Poziţiile posibile ale articulaţiilor plastice sunt la reazumul A şi în câmp, pentru că acestea sunt poziţiile unde apar momentele maxime. Diagrama de momente la cedare este:

Figura 12. Diagrama de momente la cedare

Momentul maxim în câmp (Mp) apare la distanţă „x” de reazemul simplu şi poate fi determinat după cum urmează :

- Deoarece momentul este maxim la distanţă „x” forţa tăietoare în această secţiune este zero şi, dacă facem o secţiune, forţele de legătură sunt doar momentele Mp.

- Scriind o ecuaţie de moment faţă de punctul A se obţine:

2Mp –w(L-x2)/2 = 0

- Scriind o ecuaţie de moment faţă de punctul B se obţine:

Mp –wx2/2 = 0

- Eliminând Mp între cele două ecuaţii se obţine o ecuaţie de gradul 2 în x :

x2 + 2Lx – L2 = 0 → x = 0,414L

  22

Figura 13. Echilibrul pe cele 2 părţi ale grinzii

- Momentul plastic capabil Mp este:

Mp = 0,5wx2 = 0,0858wL2 = wL2 /11.66

Exemplu: Grindă încastrat – rezemată – metoda cinematică Se consideră exemplul precedent – grinda încastrat-rezemată cu sarcină uniform distribuită. Poziţia articulaţiilor plastice a fost identificată la reazemul A şi într-un punct situat la 0.414L de reazemul simplu. presupund că porţiunile de grindă dintre articulaţiile plastice sunt rigide, deformata grinzii când apar articulaţii plastice este cea din figura de mai jos.

Figura 14 – Grinda încastra-rezemată: a) schema statică şi de încărcări; b) poziţia

articulaţiilor plastice; c) deformata Pentru valori mici ale unghiurilor şi rezultă = 0.586L = 0.414L→=1.415

Încărcarea are deplasare zero la reazeme şi la distanţă 0.414L de rezemul B.

Deplasarea medie a încărcării este /2 = 0,586L/2 = 0,293L

Lucrul mecanic intern = Lucrul mecanic extern

Mp +Mp( +) = (w×L)×0,293L

3,415 Mp = 0,293wL

Mp=0,0858wL2

  23

Se observă că s-a obţinut acelaşi rezultat ca în cazul anterior.

1.1.2 Calculul plastic conform EN 1992-1-1

În continuare sunt prezentate condiţiile în care se poate face un calcul plastic şi verificările necesare.

Calculul plastic este admis numai dacă secţiunile critice au suficientă ductilitate astfel încât să se poată forma mecanismul plastic de cedare presupus. Pentru verificarea acestei condiţii este

necesar să se verifice capacitatea de rotire a articulaţiilor plastice pl,d şi să se arate că aceasta

este mai mare decât rotirea plastică calculată s.

Ductilitatea poate fi considerată suficientă, fără a se face o verificare explicită dacă sunt verificate toate condiţiile de mai jos :

i) aria secţiunii armăturilor întinse este limitată în aşa fel încât oricare ar fi secţiunea considerată :

xu/d 0,25 pentru betoane de clasă C50/60

xu/d 0,15 pentru betoane de clasă C55/67

ii) armăturile pentru beton armat sunt de clasă B sau C (nu se admit armături de clasă A);

iii) raportul dintre momentele pe reazemele intermediare şi momentele din câmp este cuprins între 0,5 şi 2.

În cazul în care se verifică capacitatea de rotire, o condiţie preliminară este ca în zonele de articulaţie plastică înălţimea relativă a zonei comprimate să nu depăşească:

xu/d 0,45 pentru betoane de clasă C50/60

xu/d 0,35 pentru betoane de clasă C55/67

Rotirile capabile se pot determina, în mod simplificat, cu ajutorul graficului din Error!

Reference source not found.. Valorile obţinute trebuie corectate cu factorul k pentru a ţine seama de efectul forţei tăietoare:

k = 3/ (31)

În relaţia de mai sus este raportul dintre distanţa între punctul de moment zero şi punctul de moment maxim, după redistribuţie, şi înălţimea utilă a secţiunii d. Se admite calcularea

coeficientului cu relaţia:

= MEd / (VEd d) (32)

  24

Figura 10. Valori de bază ale rotirii plastice admisibile, θpl,d