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CURSO CERO MATEMATICAS´ · PDF filepletamente resueltos as´ı como otros problemas que pueden ayudar al alumno a trabajar los conceptos y m´etodos de modo individual. Esperamos

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  • CURSO CERO

    DE MATEMATICAS

    Materiales del Curso

    Departamento de Matematicas

    Universidad de Castilla-La Mancha

  • Coordinadores

    Juan Belmonte Beitia, E. T. S. de Ingenieros Industriales de Ciudad RealVctor M. Perez Garca, E. T. S. de Ingenieros Industriales de Ciudad Real

    Profesores colaboradores en la elaboracion de los temas

    Juan Angel Aledo, Facultad de Informatica de AlbaceteJuan Belmonte Beitia, E. T. S. de Ingenieros Industriales de Ciudad RealVctor M. Casero Alonso, E. T. S. de Ingenieros Industriales de Ciudad RealGabriel Fernandez Calvo, E. T. S. de Ingenieros de Caminos de Ciudad RealVirgilio Gomez Rubio, Escuela de Ingenieros Industriales de AlbaceteMiguel Angel Lopez Guerrero, Escuela Politecnica de CuencaRaquel Martnez Lucas, Escuela Politecnica de CuencaJulio Munoz Martn, Facultad de C. C. Ambientales y Bioqumica de ToledoHelia Pereira Serrano, E. T. S. de Ingenieros Industriales de Ciudad RealVctor M. Perez Garca, E. T. S. de Ingenieros Industriales de Ciudad RealIgnacio Rieiro Marn, Facultad de Educacion de ToledoAurora Sanchs Puig, Escuela de Ingenieros Industriales de AlbaceteJose Carlos Valverde Fajardo, Escuela de Ingenieros Industriales de AlbaceteDoroteo Verastegui Rayo, Escuela de Ingeniera Minera e Industrial De Almaden

  • Indice general

    Introduccion III

    1. Numeros, expresiones algebraicas y sistemas de ecuaciones linea-les 11.1. Numeros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Descomposicion en fracciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Tipos de sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Metodos elementales de resolucion de sistemas de ecuaciones . . . . 4

    1.6.1. Metodo de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6.2. Metodo de igualacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.3. Metodo de reduccion o eliminacion gaussiana . . . . . . . . . 5

    2. Polinomios y resolucion de ecuaciones 232.1. Fundamentos sobre polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Races de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3. Desigualdades, inecuaciones y valor absoluto 343.1. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. La funcion valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    4. Funciones exponenciales y logartmicas 444.1. Exponenciales generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3. Ecuaciones exponenciales y logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . 46

    5. Funciones trigonometricas 515.1. Definicion de las funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . 515.2. Propiedades de las funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . 525.3. Ecuaciones y funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    6. Matrices, Determinantes y sistemas de ecuaciones 676.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    i

  • 6.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    7. Derivadas, representacion de funciones y aplicaciones 757.1. Concepto de derivada y propiedades fundamentales . . . . . . . . . 757.2. Tabla de derivadas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.3. Algunos resultados sobre derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 777.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.5. Representacion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    7.5.1. Introduccion teorica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.5.2. Representacion grafica de funciones. . . . . . . . . . . . . . . 78

    8. Calculo de primitivas 1108.1. Introduccion y conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.2. Tabla de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.3. Metodos de calculo de primitivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    8.3.1. Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.3.2. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    8.4. Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    9. Introduccion al calculo vectorial 1269.1. Definiciones: Vectores y sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . 1269.2. Operaciones entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    10.El lenguaje de las matematicas 14010.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14010.2. Los cuantificadores logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    10.2.1. Negacion de una expresion con cuantificadores . . . . . . . . 14210.3. Implicaciones y equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.4. Axiomas y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.5. Proposiciones, lemas, teoremas, corolarios . . . . . . . . . . . . . . 14610.6. La demostracion en Matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    10.6.1. Demostracion directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14810.6.2. Demostracion por reduccion al absurdo . . . . . . . . . . . . 14910.6.3. Algunas demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    A. Conicas 155

    ii

  • Introduccion

    En los ultimos anos ha aparecido en la universidad espanola un variado catalogode cursos cero. Estos cursos son cursos de muy diverso formato y duracion destina-dos normalmente a afianzar los conocimientos previos de los alumnos. En principiola formacion recibida en la ESO y el bachillerato debera bastar para afrontar conexito los estudios universitarios, sin embargo la experiencia demuestra que existeun cierto grado de fracaso universitario debido a la insuficiente madurez en losconocimientos de base.

    Conscientes de esta dificultad, desde el departamento de Matematicas de laUniversidad de Castilla-La Mancha hemos querido disenar un curso cero que abar-que todos los contenidos necesarios para el estudio de los grados con un ciertocontenido matematico. El curso se imparte utilizando metodologa de ensenanzaorientada a problemas de modo que el estudiante recibe un breve recordatorioteorico y posteriormente trabaja sobre problemas con la ayuda de los profesores.De este modo el alumno se hace mas consciente de sus puntos debiles y puederecibir orientacion sobre como reparar las carencias.

    El material que ofrecemos en estas paginas, fruto del trabajo colectivo de unbuen grupo de profesores del departamento, pretende ser un material de apoyo alcurso cero, especialmente pensado para complementar la formacion que se recibeen el mismo. En el se contienen los ejercicios que se han trabajado en clase com-pletamente resueltos as como otros problemas que pueden ayudar al alumno atrabajar los conceptos y metodos de modo individual.

    Esperamos que estas hojas os sean de utilidad para que vuestro rendimientoacademico sea el optimo e inicieis vuestra formacion del mejor modo posible en laUniversidad de Castilla-La Mancha.

    iii

  • Version 2013http://matematicas.uclm.es/cursocero

    Captulo 1

    Numeros, expresiones algebraicasy sistemas de ecuaciones lineales

    1.1. Numeros.

    En este primer captulo, trataremos numeros, expresiones algebraicas y ecua-ciones. En matematicas, se utilizan varios conjuntos numericos, donde cada unode ellos esta incluido en el otro:

    Complejos(C)

    Reales(R)

    Racionales(Q)

    Enteros(Z)

    Naturales(N)

    Cero(0)

    Negativos

    Fracciones

    Irracionales(R\Q)Imaginarios(I)

    Centrandonos en los numeros naturales, un numero primo es el que solo esdivisible por el mismo y por la unidad. Todo numero natural, distinto de la unidad,se puede descomponer en producto de factores primos.

    1.2. Expresiones algebraicas

    Una expresion algebraica es una combinacion de letras y numeros ligadas porlos signos de las operaciones: adicion (+), sustraccion(), multiplicacion (), divi-sion (), potenciacion (xy) y radicales ( n

    x).

    Hay una serie de operaciones algebraicas que son necesarias para abordar pro-blemas mas complicados. Entre ellas destacamos:

    Completar cuadrados. Si tenemos un polinomio de la forma ax2 + bx + cla idea es escribirlo de la forma (xm)2 n. Por ejemplo, para el polinomiox2 4x 5, primero obtenemos los terminos con x y luego sumaremos una

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  • Version 2013http://matematicas.uclm.es/cursocero

    constante si hace falta. Pongamos x2 4x en la forma (xm)2 n. Es facilver 1 que x2 4x = (x 2)2 4. Por tanto

    x2 4x 5 =[

    x2 4x]

    5 =[

    (x 2)2 4]

    5 = (x 2)2 9

    Simplificacion de expresiones algebraicas. Consiste en transformar unaexpresion en otra mas sencilla. Por ejemplo, para simplificar la expresion

    x3 9xx3 6x2 + 9x

    podemos realizar las siguientes operaciones:

    x3 9xx3 6x2 + 9x

    =x(x2 9)

    x(x2 6x + 9)=

    x(x + 3)(x 3)x(x 3)2

    =x + 3

    x 3

    1.3. Descomposicion en fracciones simples

    Una fraccion algebraica es una expresion de la forma P (x)/Q(x) donde P (x)y Q(x) son polinomios con Q(x) = 0. Las fracciones P (x)/Q(x) y R(x)/S(x) soniguales si P (x)S(x) = Q(x)R(x).

    Descomponer una fraccion algebraica P (x)/Q(x) en fracciones simples consisteen encontrar una suma de nuevas fracciones que sea equivalente a la original, peroque tengan por denominadores polinomios mas sencillos.

    El caso mas sencillo es el de fracciones de la forma

    p1x + p0q2x2 + q1x + q0

    =C1