Curso. Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático

8/10/2019 Curso. Orientaciones Pedaggicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemtico

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RIENTACI NES

PEDAGGICASPARAEL

D

ESARR LL DEL

PENSAMIENT

MATEMTIC


2/221

Orientaciones Pedaggicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemtico

El curso taller Orientaciones Pedaggicas para Desarrollar el Pensamiento Matemticofue diseado por la Coordinacin Estatal de Asesora y Seguimiento para la ReformaCurricular de la Educacin PrimariaHidalgo, Direccin de Educacin Primaria, Direccineneral de la Educacin !"sica, Su#secretara de Educacin !"sica y la Secretara deEducacin P$#lica de Hidalgo%

D IRECTORIO

Lic. J. Francisco Olvera RuizGOBERNADORCONSTITUCIONALDELESTADODEHIDALGO

Profr. Joel Guerrero JurezSECRETARIODEEDUCACINPBLICADEHIDALGO

Profra. Mara Luisa Prez PerusquiaSUBSECRETARIADEEDUCACINBSICA

Mtro. Fernando Cuatepotzo CosteiraSUBSECRETARIODEPLANEACINYEVALUACINSECTORIALDEPOLTICASEDUCATIVAS

Profra. Mara lena !"#ez $otoDIRECTORAGENERALDEEDUCACINBSICA

Profra. Flora Cervantes Re%es

DIRECTORADEEDUCACINPRIMARIA

Profr. Juan Lara $nc&ezDIRECTORDEEDUCACININDGENA

Mtra. Gisela sca'illa LorenzoCOORDINADORAESTATALDEASESORAYSEGUIMIENTOENPRIMARIA

EL ABO RACI N

Mtro. (ndrs )i'as Ros

COORDINACINACADMICA


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Mtro. Ga*riel spino Pallares L..P. +alente $nc&ez $i',n

L..M. Ga*riel spino $alinas Profra. Rosa Mara $e-ovia ernalMtra. Jaqueline Pe#a $nc&ez L..P. )avid $oria Garnica

NDICE

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REFERENCIASBIBLIOGRFICAS...........................................................................18

PRESENTACIN


6/221


Lo que el proceso creativo de la Matemtica implicaes: andar a tientas, conjeturar, hacer hiptesis. A fnde comprender un concepto clave, a fn de ormularuna conjetura y de encontrar una demostracin es

preciso emplear imainacin, intuicin, adivinacin,percepcin prounda, e!perimentacin, asociacin

ortuita de ideas, suerte, tra"ajo duro y pacienciainmensa#

Morris $lein

E( !/ %)(!) !/ $!",) $&?-$%) =+! ()& a )%a) 4$4$- )(! !/ !(?"!() &)%$),)/$%)%+/+-a/ ' !%)(?"$%) ! /a G/)9a/$a%$?( ' ! /a //a"aa S)%$!a !/ C)()%$"$!()!"a(a &!- a%)-!& ! /a -a&)-"a%$?( ,)&$$4a ' %+$a)&a !/ "+() =+! a9$a")& &!a%! (!%!&a-$) !/ !&a--)//) %)(&%$!(! ' !%$$) ! /a& %)",!!(%$a& ,a-a /a 4$a =+! /!,!-"$a( a/ &+2!) a%!- -!(! a /)& -!)& ' ,-)9/!"a& =+! /a $(#"$%a &)%$a/ a a a 4a

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PROPSITO:


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DE LA PRCTICA DOCENTE Y ESCOLAR EN TORNO A LOS

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MATEMTICAENELMARCODELPLANYPROGRAMAS*011.


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ACTIVIDAD . Re&isando a los especialistas

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DEVLIN X!$ K18. PROLOGO !( E/ /!(7+a2! ! /a&

Ma!"#$%a&. U( a&%$(a(! ' %/a-$$%a)- 4$a2! ,)- /a $&)-$a' !/ &!($) a%+a/ ! /a& "a!"#$%a&. Ba-%!/)(a E.Ma()(-),,). P,. 11*

Prlogo

QU SON LAS MATEMTICAS?

No slo nmeros

56u son las matemticas 8i 9acemos esta pregunta a un grupo depersonas elegidas de !orma aleatoria" es muy pro&a&le :ue reci&amos larespuesta 'Las matemticas son el estudio de los n;meros de ser e%acta 9ar 2"00 a?os.

nte tan tremendo error conceptual" apenas 9ay ra@n para sorprendersede :ue las personas asA elegidas tengan diBcultad para percatarse de :ue lain$estigacin matemtica es una acti$idad prspera y de amplitud mundial" o

de :ue acepten la idea de :ue las matemticas impregnan" con !recuencia enuna proporcin considera&le" la mayor parte de las !ormas de $ida de lasociedad actual.

-e 9ec9o" la respuesta a la pregunta '56u son las matemticas< 9acam&iado $arias $eces en el curso de la 9istoria.

Hasta las pro%imidades del 00 a.." las matemticas consistAanrealmente en el estudio de los n;meros. Cue en el perAodo de losmatemticos egipcios y &a&ilonios. Dn esas ci$ili@aciones" las matemticasradica&an casi de manera e%clusi$a en la aritmtica. Dra principalmenteutilitaria" y en gran medida tenAa naturale@a de una especie de 'li&ro de

cocina< ('Haced tal cosa y tal otra con un n;mero y se o&tendr larespuesta


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22

las considera&an una ocupacin intelectual :ue poseAa elementos a untiempo estticos y religiosos. *ales de Mileto introdu>o la idea de :ue lasaBrmaciones matemticas e%presadas de !orma precisa podAan ser

demostradas lgicamente mediante una argumentacin !ormal. Dstainno$acin se?al el nacimiento del teorema" a9ora el !undamento de lasmatemticas. Para los griegos" este en!o:ue culmin con la pu&licacin deLos %lementos de %uclides" reputado como el li&ro de mayor circulacin detodos los tiempos despus de la Fi&lia.

Matemt!"as en mo#!m!ento

Go 9u&o ning;n cam&io de importancia capital en el carcter glo&al de lasmatemticas" ni ning;n a$ance signiBcati$o en su contenido" 9asta mediadoel siglo ,++" cuando GeIton en +nglaterra y Lei&ni@ en lemania in$entaron

independientemente el clculo. Dl clculo es en esencia el estudio delmo$imiento y del cam&io. Las matemticas precedentes 9a&Aan estado engran parte restringidas a las cuestiones estticas de contar" medir y descri&irla !orma. on la introduccin de tcnicas para tratar el mo$imiento y elcam&io" los matemticos !ueron capaces de estudiar el mo$imiento de losplanetas y la caAda de los cuerpos so&re la *ierra" los tra&a>os de lasm:uinas" el Juir de los lA:uidos" la e%pansin de los gases" las !uer@as !Asicascomo el magnetismo y la electricidad" el $uelo" el crecimiento de las plantasy de los animales" la di!usin de las epidemias" la Juctuacin de los&eneBcios econmicos" y tantos otros !enmenos. -espus de GeIton yLei&ni@" las matemticas se con$irtieron en el estudio del n;mero" de laorma, del movimiento, del cam"io y del espacio.

La mayor parte del tra&a>o inicial relacionado con el clculo se dirigi9acia el estudio de la !AsicaK de 9ec9o" muc9os de los grandes matemticosde la poca son considerados tam&in !Asicos. Pero a partir de mediados delsiglo ,+++ apro%imadamente" surgi un inters creciente por las matemticasen sA mismas" y no slo por sus aplicaciones" a medida :ue los matemticosdesea&an comprender lo :ue permanecAa detrs de la enorme potencia :ueel clculo proporciona&a a la 9umanidad. :uA la antigua tradicin griega dela demostracin Bnal co&r pre$alencia" a medida :ue se desarroll granparte de las matemticas puras del presente. Bnales del siglo +. Las

matemticas se 9a&Aan con$ertido en el estudio del n;mero" la !orma" elmo$imiento" el cam&io y el espacio" y de las herramientas matemticasempleadas en su estudio.

La e%plosin de la acti$idad matemtica :ue tu$o lugar en el siglo !uesensacional. Dn el a?o 1400" todo el conocimiento del mundo matemtico9u&iera ca&ido en unos oc9enta li&ros. Hoy se necesitarAan posi&lementeunos cien mil $ol;menes para contener todas las matemticas conocidas.Dste e%traordinario crecimiento no 9a consistido solamente en unacontinuacin de las matemticas pre$iasK 9an nacido muc9as ramas del todo


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lgunos temas" como el lge&ra y la topologAa" se 9an escindido en $arioscamposK en otros casos" como sucede con los de la teorAa de la comple>idad ode la de los sistemas dinmicos" se trata por completo de nue$as reas deestudio.

La "!en"!a $e las estr%"t%ras

-ado este crecimiento tremendo en la acti$idad matemtica" parecidurante un tiempo :ue la ;nica respuesta sencilla a la pregunta '56u sonlas matemticas< !uera decir de modo algo !atuo 'Ds lo :ue 9acen losmatemticos para ganarse la $idaemplo" es el modoms adecuado de descri&ir y anali@ar las propiedades del comportamientogeneral de la adicin y de la multiplicacin. La ley conmutati$a de la adicin"por e>emplo" podrAa escri&irse de esta !orma

)uando se suman dos n*meros, no importa su orden.

#sualmente" sin em&argo" se escri&e del modo sim&lico

m + n n + m

*ales son la comple>idad y el grado de a&straccin de la mayorAa de lasestructuras matemticas :ue el uso de otra cosa :ue no sea la notacinsim&lica serAa pro9i&iti$amente engorroso. Ds por ello por lo :ue eldesarrollo de las matemticas 9a implicado un incesante crecimiento del usode la notacin a&stracta.

S&m'olos $e (rogreso

Dl primer uso sistemtico de una notacin alge&raica reconoci&le parece9a&er sido e!ectuado por -io!anto" :ue $i$i en le>andrAa alrededor del a?o20 d.. 8u tratado Aritm&tica ($ase la Bgura 0.1) del cual se conser$ansolamente seis de los trece $ol;menes originales" es tenido generalmentecomo el primer 'li&ro de te%to del lge&ra


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e%iste no en la partitura impresa" sino en nuestras mentes. Lo mismo escierto para las matemticas los sAm&olos de una pgina son solamente una

representacin de las matemticas. uando son leAdas por un intrpretecompetente (en este caso" alguien !ormado en matemticas)" los sAm&olos dela pgina impresa co&ran $ida. Las matemticas $i$en y palpitan en la mentedel lector al estilo de una sin!onAa a&stracta.

-ada la intensa seme>an@a entre las matemticas y la m;sica" am&as consus propias notaciones sumamente a&stractas y go&ernadas por sus propiasreglas estructurales" no resulta sorprendente :ue muc9os matemticos" lamayorAa de ellos posi&lemente" posean tam&in talento musical.

-e 9ec9o" durante la mayor parte de los dos milenios y medio de laci$ili@acin occidental :ue comien@a con los antiguos griegos" las

matemticas y la m;sica !ueron consideradas como las dos caras de unamisma moneda de am&as se pensa&a :ue proporciona&an la comprensindel orden del #ni$erso. 8olamente con el auge del mtodo cientABco en elsiglo ,++ las dos disciplinas comen@aron a discurrir por caminos separados.

-e&ido" sin em&argo" a todas sus cone%iones 9istricas 9u&o" 9astatiempos recientes" una di!erencia muy o&$ia entre las matemticas y lam;sica. 8i &ien alguien instruido en m;sica puede leer una partitura musicaly escuc9ar la m;sica en su ca&e@a" si esa misma pie@a de m;sica se e>ecutapor un m;sico competente" cual:uiera capa@ de oAr puede apreciar elresultado.


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Go se necesita !ormacin musical para e%perimentar y go@ar de la m;sicacuando se la escuc9a.

-urante la mayor parte de su 9istoria" no o&stante" el ;nico modo deapreciar las matemticas !ue aprender a 'leer< sus sAm&olos. un:ue laestructura y los patrones de las matemticas reJe>an la estructura de lamente 9umana y resuenan con ella" tanto como lo 9acen las estructuras y laspautas de la m;sica" los seres 9umanos no 9an desarrollado el e:ui$alentematemtico de lo :ue el oAdo representa para la m;sica. Las matemticassolamente se pueden '$er< con los 'o>os de la menteos" por e>emplo" !ue iniciado en 1420 por los matemticos !rancesesPierre Catou y Eastn Oulia" pero 9u&o :ue esperar 9asta Bnales de la dcadade los setenta y comien@os de la de los oc9enta para :ue el rpido desarrollode las tcnicas de grBcos de ordenador permitiera a Fenoit Mandel&rot y aotros matemticos $isuali@ar algunas de las estructuras con las :ue 9a&Aantra&a>ado Catou y Oulia. Las Bguras increA&lemente &ellas :ue surgieron de

)!g%ra *+,+Portada de una traduccinlatina del siglo ,++ del csico teto de la

Aritm&ticade -io!anto.

)!g%ra *+-+ ligual :ue lasmatemticas" lam;sica tiene unanotacina&stracta"utili@ada pararepresentarestructuras


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propio. Dn 9onor de uno de los dos pioneros del tema" algunas de talesestructuras reci&en actualmente el nom&re de con>untos de Oulia ($aseBgura0./).

tro e>emplo del uso de los grBcos de ordenador :ue condu>o a unpro!undo descu&rimiento en matemticas tu$o lugar en 143/" cuando losmatemticos -a$id HoQman y Rilliam MeeSs +++ descu&rieron una superBcieminimal de una clase nue$a ($ase la ilustracin 1)" #nas superfcie minimales el e:ui$alente matemtico de una

pelAcula de >a&n inBnita. Las pelAculas de >a&n reales :ue se estiran a lolargo de una trama !orman siempre una superBcie :ue ocupa la menor reaposi&le. Los matemticos consideran anlogos a&stractos de las pelAculas de

>a&n :ue se estiran 9asta el inBnito. *ales superBcies 9an sido estudiadas alo largo de doscientos a?os pero" 9asta :ue HoQman y MeeSs 9icieron sudescu&rimiento" solamente se conocAan tres de tales superBcies. Hoy en dAa"como resultado de las tcnicas de $isuali@acin por ordenador" los

matemticos 9an descu&ierto muc9as de tales superBcies. Eran parte de lo:ue se conoce acerca de las superBcies minimales 9a sido esta&lecidamediante tcnicas matemticas ms tradicionales" :ue implican una sumaconsidera&le de lge&ra y de clculo. Pero" tal como HoQman y MeeSsmostraron" los grBcos de ordenador pueden proporcionar al matemtico laintuicin necesaria para 9allar la correcta com&inacin de esas tcnicastradicionales.

8in sus sAm&olos alge&raicos" gran parte de las matemticas simplementeno e%istirAa. La cuestin es ciertamente pro!unda" y est relacionada con lascapacidades cogniti$as 9umanas. Dl reconocimiento de conceptos a&stractos

y el desarrollo de un lengua>e apropiado para representarlos son en realidadlos dos lados de una misma moneda.


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)!g%ra *+.+#ncon>unto de Oulia.

del guarismo '7e ms llano.-esgraciadamente" el ni$el de a&straccin en las matemticas" y la

necesidad consecuente de una notacin :ue pueda mane>ar esa a&straccin"signiBca :ue una gran parte" casi su totalidad :ui@" de las mismaspermanecer por siempre oculta a los :ue no son matemticosK e incluso laspartes ms accesi&les las descritas en li&ros como steN podrn ser comomuc9o apenas perci&idas" con la mayor parte de su &elle@a interna oculta dela $ista. pesar de ello" eso no es e%cusa para :ue a:uellos de nosotros :ueparece :ue 9emos sido &endecidos con la capacidad para apreciar esa&elle@a interna no intentemos comunicar a otros alguna percepcin de lo :ue

e%perimentamos cierta sensacin de la sencille@" la precisin" la pure@a y laelegancia :ue otorga a los patrones matemticos su $alor esttico.

La 'elle/a o"%lta en los s&m'olos

Dn su li&ro de 140" Mat9ematicians pology (pologAa de unmatemtico)" el competente matemtico ingls E. H. Hardy escri&i

Las estructuras del matemtico" como las del pintor o las del poeta"de&en ser "ellas:las ideas" como los colores o las pala&ras" de&enacoplarse de !orma armoniosa. La &elle@a es la prue&a primera no

9ay lugar permanente en el mundo para matemticas !eas 8erAamuy di!Acil defnir la &elle@a matemtica" pero eso es igualmentecierto para la &elle@a de cual:uier tipo podemos no sa&er del todo lo:ue :ueremos signiBcar al re!erirnos a un poema como &ello" peroeso no nos impide reconocer uno cuando lo leemos.

La &elle@a a la cual se reBere Hardy es en muc9os casos sumamentea&stracta" una &elle@a interior" una &elle@a de una !orma a&stracta y de unaestructura lgica" una &elle@a :ue puede ser o&ser$ada y apreciada tan slopor a:uellos suBcientemente &ien !ormados en la disciplina. Ds una &elle@a'!rAa y austera


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apelacin a ninguna parte de nuestra naturale@a ms d&il" sin lastrampas primorosas de la pintura o de la m;sica" aun:uesu&limemente pura y capa@ de una rigurosa per!eccin como slopuede mostrar el arte ms supremo.

Las matemticas" ciencia de las estructuras" constituyen una !orma demirar al mundo" tanto al !Asico como al &iolgico y al sociolgico :ue9a&itamos" asA como tam&in al mundo interior de nuestras mentes ypensamientos. Los mayores %itos matemticos se 9an reali@ado sin duda enel rea de lo !Asico" donde esa disciplina 9a sido caliBcada correctamentecomo la reina a la $e@ :ue el sir$iente de las ciencias naturales. dems"

como creacin enteramente nue$a" el estudio de las matemticas es endeBniti$a el de la 9umanidad en sA misma. Puesto :ue ninguna de lasentidades :ue !orman el sustrato de las matemticas e%iste el mundo !Asico"los n;meros" los puntos" las lAneas y los planos" las superBcies" las Bgurasgeomtricas" las !unciones y dems entidades son puras a&stracciones :uee%isten solamente en la mente colecti$a de la 9umanidad. La certe@aa&soluta de una demostracin matemtica y la naturale@a de indeBnidapermanencia de la $erdad son reJe>o del estatus pro!undo y !undamental delas estructuras del matemtico tanto en la mente 9umana como en el mundo!Asico.

Dn una poca en la :ue el estudio de los cielos domina&a el pensamientocientABco" Ealileo escri&i

Dl gran li&ro de la naturale@a puede ser leAdo solamente por a:uellos:ue conocen el lengua>e en el cual est escrito. = ese lengua>e es elde las matemticas.

cu?ado una nota similar en una era posterior" cuando el estudio de losprocesos internos del tomo 9a&Aa ocupado las mentes de muc9os cientABcosdurante una generacin" el !Asico de am&ridge Oo9n PolSin9orne escri&i en143

Las matemticas son la lla$e a&stracta :ue a&re la cerradura del

mundo !Asico.Dn la poca actual" dominada por la in!ormacin" la comunicacin y el

cmputo" las matemticas tratan de 9allar nue$as cerraduras :ue a&rir. Hayescasamente pocos aspectos de nuestras $idas :ue no estn a!ectados enmayor o menor medida por las matemticas" puesto :ue las estructurasa&stractas son la esencia primaria del pensamiento" la comunicacin" delclculo" de la sociedad y de la propia $ida.

0a"!en$o #!s!'le lo !n#!s!'le

Hemos contestado a la pregunta '56u son las matemticas


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PermAtanme :ue o!re@ca algunos e>emplos de lo :ue esta respuestasigniBca.

8in matemticas no 9ay modo de entender :u es lo :ue mantiene a una$in a reaccin de gran tama?o en el aire. omo todos sa&emos muy &ien"los o&>etos metlicos de gran tama?o no se mantienen por encima del suelosin algo :ue los soporte. Pero cuando se mira a una aerona$e a reaccin$olando so&re nuestras ca&e@as" no se $e nada :ue la sostenga. 8e necesitanlas matemticas para '$erandoaparte los a$iones" caigan al suelo cuando los soltamos 'La gra$edados como para ser capaces de detectar y demedir alguna muestra de cur$atura del espacio.

onociendo la cur$atura del espacio" podemos utili@ar las matemticas para$er el !uturo 9asta el dAa en :ue el #ni$erso se acer:ue a su Bn empleandolas matemticas" ya 9emos sido capaces de $er en el pasado distante"9aciendo $isi&les los de otro modo in$isi&les momentos de la creacin del#ni$erso" lo :ue llamamos el Fig Fang.

,ol$iendo a la *ierra y al momento presente 5cmo '$emos< lo :ue 9ace:ue las imgenes y los sonidos de un partido de !;t&ol apare@canmilagrosamente en la pantalla de un tele$isor distante #na respuesta es

:ue las imgenes y los sonidos se transmiten mediante ondas de radio" un


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/0

He a:uA algunas estructuras 9umanas :ue podemos '$er


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matemticas.

=" sin em&argo" a medida :ue el papel de las matemticas crece ms yms signiBcati$amente en relacin con el pasado" se oculta cada $e@ ms dela $ista" !ormando un uni$erso in$isi&le :ue soporta gran parte de nuestras

$idas. sA como ocurre :ue cada uno de nuestros actos est go&ernado porlas !uer@as in$isi&les de la naturale@a" como la gra$edad" $i$imos a9ora en eluni$erso in$isi&le creado por las matemticas" su>eto a las leyes asimismoin$isi&les.

Dste li&ro o!rece una tra$esAa por ese uni$erso in$isi&le. Mostrar cmopodemos utili@ar las matemticas para perci&ir algo de su oculta estructura.lgunas de las $istas :ue encuentre en esa e%cursin le parecern e%tra?as ypoco !amiliares" como las de una tierra muy le>ana. Pero a pesar de su !altade !amiliaridad" no $amos a $ia>ar a tra$s de un uni$erso distante se tratadel mundo en :ue $i$imos.


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APUNTES ACERCA DEL PENSAMIENTO MATEMTICO

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del'pensamiento%2tml

As como el atleta, adems de su especialidad deportiva, estudia anatoma, o el piloto,

adems de entrenarse en conduccin conoce mecnica del automvil, el profesor, adems deltrabajo pedaggico, debera tener unas nociones sobre funciones intelectuales y rasgos del

pensamiento asociados a los emisferios cerebrales

E( /)& /$")& a)& /)& (+!4)& ,/a(!a"$!()& ! /a !+%a%$?( "a!"#$%a a()-$7$(a) %a"9$)& ,-)+()& !( /a& %)(%!,%$)(!& a%!-%a ! !&a. Ha &$) $",)-a(! !(!&! %a"9$) ! %)(%!,%$?( !/ -!%)()%!- =+! !/ %)()%$"$!() "a!"#$%) a& %)"))a& /a& )-"a& ! %)()%$"$!() "a!"#$%) a& %)") )a& /a& )-"a& !/%)()%$"$!() -!,-!&!(a( /a& !,!-$!(%$a& ! ,!-&)(a& =+! $(!-a%a( !( !()-()&%+/+-a& ' ,!-))& $&?-$%)& ,a-$%+/a-!& ' =+! a!"#& !& !( /a !&%+!/a )(! $!(!/+7a- 7-a( ,a-! ! /a )-"a%$?( "a!"#$%a ! /a& (+!4a& 7!(!-a%$)(!&.

E/ ,!(&a"$!() "a!"#$%) !& a=+!//a %a,a%$a =+! ()& ,!-"$! %)",-!(!- /a&-!/a%$)(!& =+! &! a( !( !/ "+() %$-%+(a(! ' /a =+! ()& ,)&$9$/$a %+a($$%a-/a& ')-"a/$a-/a& ,a-a !(!(!-/a& "!2)- ' ,)!- %)"+($%a-/a&. C)(&!%+!(!"!(! !&a

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)R*+ICO REPREENTATIVO !( "a!"#$%a ' !/ ,!(&a"$!() /?7$%) =+! !& !(a+-a/!a CONCEPT(AL O IM,-LICA%

A& ,+!& !/ !&a--)//) !/ ,!(&a"$!() "a!"#$%) a a) +( &a/) %+a/$a$4) ! /a&)%$!a $(+&-$a/ a /a &)%$!a !/ %)()%$"$!()J a ,a&a) ! /a -!%),$/a%$?( !$()-"a%$?( ' %)(!($) Ka,-!($a2! %)(+%$&a "a($!&a) !( %)(+%a&)9&!-4a9/!& "!$9/!& ' %+a($$%a9/!& a/ !&a--)//) ! !--a"$!(a& ,a-a a,-!(!- '&!7+$- a,-!($!() Ka,-!($a2! &)%$)%)7($$4) !&a& !--a"$!(a& a( ! &!- !/ )a-a (+!&-)& a,-!($%!& !J

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DEARROLLO DE CAPACIDADE MATEM*TICA

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http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fcarlosyampufe.blogspot.com%2F2009%2F05%2Fapuntes-acerca-del-pensamiento.html&ei=1-D3UpDRFafuyQHVpIGwBQ&usg=AFQjCNF-Nh6oSiEgQHXzsXUxTms3cT3c9A&bvm=bv.60983673,d.aWchttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fcarlosyampufe.blogspot.com%2F2009%2F05%2Fapuntes-acerca-del-pensamiento.html&ei=1-D3UpDRFafuyQHVpIGwBQ&usg=AFQjCNF-Nh6oSiEgQHXzsXUxTms3cT3c9A&bvm=bv.60983673,d.aWchttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fcarlosyampufe.blogspot.com%2F2009%2F05%2Fapuntes-acerca-del-pensamiento.html&ei=1-D3UpDRFafuyQHVpIGwBQ&usg=AFQjCNF-Nh6oSiEgQHXzsXUxTms3cT3c9A&bvm=bv.60983673,d.aWchttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fcarlosyampufe.blogspot.com%2F2009%2F05%2Fapuntes-acerca-del-pensamiento.html&ei=1-D3UpDRFafuyQHVpIGwBQ&usg=AFQjCNF-Nh6oSiEgQHXzsXUxTms3cT3c9A&bvm=bv.60983673,d.aWchttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fcarlosyampufe.blogspot.com%2F2009%2F05%2Fapuntes-acerca-del-pensamiento.html&ei=1-D3UpDRFafuyQHVpIGwBQ&usg=AFQjCNF-Nh6oSiEgQHXzsXUxTms3cT3c9A&bvm=bv.60983673,d.aWchttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fcarlosyampufe.blogspot.com%2F2009%2F05%2Fapuntes-acerca-del-pensamiento.html&ei=1-D3UpDRFafuyQHVpIGwBQ&usg=AFQjCNF-Nh6oSiEgQHXzsXUxTms3cT3c9A&bvm=bv.60983673,d.aWchttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fcarlosyampufe.blogspot.com%2F2009%2F05%2Fapuntes-acerca-del-pensamiento.html&ei=1-D3UpDRFafuyQHVpIGwBQ&usg=AFQjCNF-Nh6oSiEgQHXzsXUxTms3cT3c9A&bvm=bv.60983673,d.aWchttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fcarlosyampufe.blogspot.com%2F2009%2F05%2Fapuntes-acerca-del-pensamiento.html&ei=1-D3UpDRFafuyQHVpIGwBQ&usg=AFQjCNF-Nh6oSiEgQHXzsXUxTms3cT3c9A&bvm=bv.60983673,d.aWchttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fcarlosyampufe.blogspot.com%2F2009%2F05%2Fapuntes-acerca-del-pensamiento.html&ei=1-D3UpDRFafuyQHVpIGwBQ&usg=AFQjCNF-Nh6oSiEgQHXzsXUxTms3cT3c9A&bvm=bv.60983673,d.aWchttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fcarlosyampufe.blogspot.com%2F2009%2F05%2Fapuntes-acerca-del-pensamiento.html&ei=1-D3UpDRFafuyQHVpIGwBQ&usg=AFQjCNF-Nh6oSiEgQHXzsXUxTms3cT3c9A&bvm=bv.60983673,d.aWc


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A,/$%a- %)()%$"$!()& "a!"#$%)& a/ -!&)/4!- ,-)9/!"a&

.POR/(0DEARROLLARELPENAMIENTOMATEM*TICO1

P)-=+! $!(! +( 4a/)- (!%!&a-$) !& $($&,!(&a9/! -!(! a /)& -!)& ! /a 4$aJ

Valor +ormati&o! -a$%a !( /a )-"a ! -a)(a"$!() =+! !(!")& ' 4a")&

)-"a() %)( /a "!$a%$?( !/ a,-!($a2! &! !&a--)//a "!$a(! /a %a,a%$a !#-!a Ra)(a"$!() ' D!")&-a%$?(.

Valor ocial! =+! ,!-"$! a- a %)()%!- a /)& !"#& (+!&-a )-"a !,!(&a"$!() 'a =+! !& +( "!$) ! %)"+($%a%$?( &! !&a--)//a "!$a(! /a%a,a%$a ! #-!a C)"+($%a%$?( Ma!"#$%a.

Valor Instrument al ! ,)- &+ + $/ $a ,a-a -!&)/4!- & $ +a% $)(!&,-)9/!"#$%a& &! !&a--)//a "!$a(! /a %a,a%$a ! #-!a.

R$OL;C01!)PROLM($

La -!&)/+%$?( ! ,-)9/!"a& )-"a ,a-! ! /a a%$4$a %)$$a(a !/ &!- +"a()$!(! =+! !&a--)//a- !&a& %a,a%$a!& !&! !",-a(a !a ,a-a =+! ! a+/) /!&!a #%$/ !(-!(a- ' -!&)/4!- "/$,/!& &$+a%$)(!& ,-)9/!"#$%a& =+! /! )%a-#!(-!(a-.

D!&a--)//a- +( ,!(&a"$!() /?7$%) &$7($$%a !/ !&a--)//) ! a%$4$a!&&!%+!(%$aa& ' -!/a%$)(aa& a&a //!7a- a a- -!&,+!&a %)!-!(! a +(a &$+a%$?(,-)9/!"#$%a ,/a(!aa.

D! !&a )-"a /a "a!"#$%a !& +( /!(7+a2! =+! ))& !9!")& a,-!(!- ,a-a!&!(4)/4!-()& ' %)"+($%a-()& %)( !/ "+() ' =+! () &! -aa ,+!& &)/) ! -!&)/4!-),!-a%$)(!& a-$"


36/221


/

REOLVIENDO PRO,LEMA (TILI2ANDO LO 3EMI+ERIO I2/(IERDO 4DEREC3O

P+!& 9$!( () ))& -!&)/4!")& ,-)9/!"a& ! /a "$&"a )-"a ) ,/a(!a")& /a&)/+%$?( ! +(a "a(!-a -7$a a/7+()& (!%!&$a")& &a9!- /)& ,a&)& ,)-"!()-$a)& '/a &!%+!(%$a /?7$%a =+! !9!")& &!7+$- ,a-a -!&)/4!- +( ,-)9/!"a &$( !"9a-7) )-)&-aa( ! $"a7$(a-&! ' D$9+2a( !/ ,-)9/!"a ,a-a ,)!- !(!(!-/) ' a-/! &)/+%$?($(+$$4a &!7( /a !)-a ! /)& !"$&!-$)& %!-!9-a/!& ()&)-)& !(!")& /a a%+/a !,)!- ,!(&a- ! "a(!-a a(a/$%a ' ! "a(!-a %-!a$4a &$( =+! !&)& &! %)(4$!-a( !(

,!(&a"$!()& a(a7?($%)&. La $!a +(a"!(a/ !& =+! a/ ")"!() ! -!&)/4!-,-)9/!"a& &!,a")& +$/$a- /a %-!a$4$a ' !/ 5insigt67 ) !/ //a"a) 5c6ispa#o75prendi el 8oco7 (+!&-a $"a7$(a%$?( !( /a %)",-!(&$?( ! /)& ,-)9/!"a&"a!"#$%)& ) &!a !/ +&) ! (+!&-) !"$&!-$) !-!%) ' !/ a(#/$&$& /a -a%$)(a/$a&!%+!(%$a/$a /?7$%a +&) ! a/7)-$")& =+! !"+!&-!( (+!&-a )-"a ! -!&)/4!-,-)9/!"a& ) &!a !/ +&) ! (+!&-) !"$&!-$) $=+$!-)

U($a& !&a& )& )-"a& ! -!&)/+%$?( ! ,-)9/!"a& )"!(a-!")& !( /a,!-&)(a +(a /+$! ! ,!(&a"$!() ' %)(!%$4$a ! /)& )& !"$&!-$)& =+! &)($($&,!(&a9/!& !( (+!&-) ,-)%!&) ! a,-!($a2!. A %)($(+a%$?( "+!&-) a/7+()&,-)9/!"a& "a!"#$%)& =+! )) )%!(! !9! &a9!- -!&)/4!- ,!-) +$/$a() !/5Cere9ro Total7J


37/221


/

/a,a7$(a!/,-)!.%/...%)",)(!(!&!/pensa'iento/)7$%)"a.)%

MPGDG*D8 -DL PDG8M+DG* LWE+NM*DMX*+.

!n proceso "ue se destaca en la construccin del conocimiento en

el ni#o es el $onocimiento %gico&Matemtico, "ue se desprendede las relaciones entre los objetos y procede de la propia

elaboracin del individuo, es decir, el ni#o construye el

conocimiento lgico matemtico coordinando las relaciones

simples "ue previamente a creado entre los objetos 'Piaget,

()*+-

La& $!-!(%$a& ) &!"!2a(a& !(-! /)& )92!)& &?/) !$&!( !( /a& "!(!& !a=+!//)& =+! ,+!a( %-!a-/a&. P)- a() !/ %)()%$"$!() /?7$%)"a!"#$%) ,-!&!(a-!& %a-a%!-&$%a& 9#&$%a&J

Aa,a) !J Naa/$a Ca&!//?( Componentes del Pensamiento 8gico7+atem"tico,,J"a!"a$%a&.%)()%$"$!()&.%)".4!*01001%)",)(!(!&!/,!(&a"$!()/)7$%)."/ L!) 2+($)*01*.

a. no es directa'ente ense#a*le,)-=+! ! %)(&-+$) a ,a-$- ! /a& -!/a%$)(!&=+! !/ ,-),$) &+2!) a %-!a) !(-! /)& )92!)& !( )(! %aa -!/a%$?( &$-4! !9a&! ,a-a /a &$7+$!(! -!/a%$?(

9. se desarrolla en la 'edida en que el ni#o interact"a con el 'edio a'*iente'

%. se constru%e una vez' (+(%a &! )/4$a.

E/ %)()%$"$!() /?7$%)"a!"#$%) ! %)(&)/$a) ,)- $&$(a& ()%$)(!& =+! &!!&,-!(!( &!7( !/ $,) ! -!/a%$?( =+! &! !&a9/!%! !(-! /)& )92!)&.

E&a& ()%$)(!& ) %)",)(!(!& &)(J

(utorre-ulaci,n

Concepto de !"'ero

Co'paraci,n

(su'iendo Roles

Clasificaci,n

$ecuencia % Patr,n %

)istinci,n de $'*olos.

Caa +() ! !&)& %)",)(!(!& !&a--)//a( !( !/ ($) !!-"$(aa& +(%$)(!&%)7($$4a& =+! 4a( a !-$4a- !( /a a=+$&$%$?( ! %)(%!,)& 9#&$%)& ,a-a /a!&%)/a-$a%$?(.

2. (;/ORRG;L(C01!.

La a+)--!7+/a%$?( &! a !$($) ! "/$,/!& ' $!-!(!& "a(!-a&J

%)") /a &a*ilidad de o*edecer una petici,n

! $($%$a- % cesar actividades de acuerdo con ei-encias de la situaci,n

! 'odular la intensidad la frecuencia % duraci,n de actos ver*ales %'otores en escenarios sociales % educacionales

! poster-ar el actuar con relaci,n a un o*Heto o 'eta deseada ) 9$!( !7!(!-a- %)",)-a"$!()& &)%$a/"!(! a,-)9a)& !( /a a+&!(%$a ! ")($)-!&!!-()&

A ,!&a- ! !&a& $!-!(%$a& ! !()=+! !$&! a%+!-) 7!(!-a/ !( =+! laautorregulacin e"ige una consciencia de comportamiento socialmente apro9ado%P)- !//) -!,-!&!(a +( a&,!%) &$7($$%a$4) ! /a &)%$a/$a%$?( ! /)& ($)&.

E/ ,-)%!&) ! !&a--)//) ! /a a+)--!7+/a%$?( 4a ! /) &$",/! a /) %)",/!2). Pa-! !/%)(-)/ !/ ,-),$) %+!-,) a&a !/ !(!($"$!() %)()%$"$!() ' a,/$%a%$?( ! /a&

()-"a& ) -!7/a& -!/a%$)(#()/a& %)( &+& !,!-$!(%$a& ,a&aa& ' ++-a& ,a-a /)7-a-
http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.lapaginadelprofe.cl%2FUAconcagua%2Fformacionprofesional%2Fcomponentesdelpensamientologicomat.docx&ei=H-P3UqukOMf4yAGMs4GIBg&usg=AFQjCNGKjBYSRW7Oh-LKeuZ_o6sQQMHxog&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rjahttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.lapaginadelprofe.cl%2FUAconcagua%2Fformacionprofesional%2Fcomponentesdelpensamientologicomat.docx&ei=H-P3UqukOMf4yAGMs4GIBg&usg=AFQjCNGKjBYSRW7Oh-LKeuZ_o6sQQMHxog&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rjahttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.lapaginadelprofe.cl%2FUAconcagua%2Fformacionprofesional%2Fcomponentesdelpensamientologicomat.docx&ei=H-P3UqukOMf4yAGMs4GIBg&usg=AFQjCNGKjBYSRW7Oh-LKeuZ_o6sQQMHxog&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rjahttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.lapaginadelprofe.cl%2FUAconcagua%2Fformacionprofesional%2Fcomponentesdelpensamientologicomat.docx&ei=H-P3UqukOMf4yAGMs4GIBg&usg=AFQjCNGKjBYSRW7Oh-LKeuZ_o6sQQMHxog&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rjahttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.lapaginadelprofe.cl%2FUAconcagua%2Fformacionprofesional%2Fcomponentesdelpensamientologicomat.docx&ei=H-P3UqukOMf4yAGMs4GIBg&usg=AFQjCNGKjBYSRW7Oh-LKeuZ_o6sQQMHxog&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rjahttp://matematicas.conocimientos.com.ve/2010/01/componentes-del-pensamiento-logico.htmlhttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.lapaginadelprofe.cl%2FUAconcagua%2Fformacionprofesional%2Fcomponentesdelpensamientologicomat.docx&ei=H-P3UqukOMf4yAGMs4GIBg&usg=AFQjCNGKjBYSRW7Oh-LKeuZ_o6sQQMHxog&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rjahttp://matematicas.conocimientos.com.ve/2010/01/componentes-del-pensamiento-logico.htmlhttp://matematicas.conocimientos.com.ve/2010/01/componentes-del-pensamiento-logico.htmlhttp://matematicas.conocimientos.com.ve/2010/01/componentes-del-pensamiento-logico.htmlhttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.lapaginadelprofe.cl%2FUAconcagua%2Fformacionprofesional%2Fcomponentesdelpensamientologicomat.docx&ei=H-P3UqukOMf4yAGMs4GIBg&usg=AFQjCNGKjBYSRW7Oh-LKeuZ_o6sQQMHxog&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rjahttp://matematicas.conocimientos.com.ve/2010/01/componentes-del-pensamiento-logico.html


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/

E/ ,-)%!&) ! a+)--!7+/a%$?( !& !/ &$7+$!(!J

1. La ,!-&)(a !&%+%a ' !($!(! $(&-+%%$)(!& ' -!7/a&.

*. /a ,!-&)(a &$7+! /a& ()-"a&.

3. La ,!-&)(a %)",a-a ' $!-!(%$a ()-"a&.

. La ,!-&)(a %/a&$$%a ! $(%/+'! ()-"a&.

5. La ,!-&)(a %)()%! /a %)(&!%+!(%$a ! +(a ) 4a-$a& ()-"a&.

6. La ,!-&)(a &)/+%$)(a ,-)9/!"a&.

E/ =+! /a a+)--!7+/a%$?( !$2a +(a %)(&%$!(%$a ! %)",)-a"$!() &)%$a/ !( /a,!-&)(a &$7($$%a =+! !( $("!-&)& !( !&! %)(%!,) /)& ,-)%!&)& %)7($$4)& =+! 4a( a,!-"$$- =+! )a ,!-&)(a !($!(a ' &$7a /a& ()-"a& -!/a%$)(#()&! !( &+ %)(4$4!(%$a$a-$a %)( a+/)& ' ($)& ' %)( !/ "+().

La& +(%$)(!& %)7($$4a& ,-!&!(!& &)(J

2. E&%+%a() ' !(!($!() $(&-+%%$)(!&.

5. R!/a%$)(a() !,!-$!(%$a& ,a&aa& %)( /a& ++-a&.

8. E&a9/!%$!() %a($a ! -!7/a& ' ()-"a&.

=. C)",a-a() ()-"a&.

>. D$!-!(%$a() ()-"a&.

?. C/a&$$%a() /a& -!7/a& K$(%/+'!() ()-"a&.

E. C)(&!%+!(%$a() +(a ()-"a.

I. S)/+%$)(a() +( ,-)9/!"a.

E&a& +(%$)(!& %)7($$4a& ,!-"$!( a%!- =+! /a& ,!-&)(a& %)",-!(a(%)(%$!($%!( ' -!/!$)(!( &)9-! a=+!//)& ,-)%!&)& (!%!&a-$)& ,a-a /a a+)--!7+/a%$?()-$!(a() &+ %)",)-a"$!() a%$a /a a),%$?( ! -!7/a& ! %)(+%a &)%$a/ ' ,)-a() !&a--)//a() +( &!($) %-$%) ' !($!() $!-!(!& ,+()& ! 4$&a !( !/ #"9$)%)7()&%$$4).

C)") &! ,+!! a,-!%$a- a+(=+! () &! -a! ! +(a +(%$?( =+! a,a-!%a$-!%a"!(! -!/a%$)(aa %)( /a& "a!"#$%a& !& %-+%$a/ =+! !/ !&+$a(! a'a$(!-$)-$a) /a (!%!&$a ! )9!!%!- /a& -!7/a& 'a =+! !( !//a& a' (+"!-)&a& -!7/a&=+! !9!( &!- %+",/$a& ,a-a a%!- "a!"#$%a&. +&a"!(! +(a ! /a& +!(!& !-a%a&) ! "+%)& !&+$a(!& !& !/ () -!&,!) ! !&a& -!7/a&.

5. !MRO

E/ %)(%!,) ! ("!-) $($%a =+! los o#-etos, personas y acontecimientos puedenestar relacionados unos con otros de muc2as maneras diferentes, lo cual puede implicar

n$meros, relaciones ordinales y medidas.


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/7

A=+ &! $(-)+%! !/ %)(%!,) ! correspondencia !",!a() %)( /a%)--!&,)(!(%$a +() a +() )(! %)(a- () %)(&$+'! !( & "$&") +( $( &$() +(aestrategia.

E& $",)-a(! $&$(7+$- /)& %)(%!,)& ! comprender : estrategia.

La& estrate-ias &)( 4a& ,a-a //!7a- a a%!- +(a %)&a ' !9!-a( &!-!4!(+a/"!(! 7!(!-aa& ' &!/!%%$)(aa& ,)- /a& ,-),$a& ,!-&)(a&.

Co'prender &+,)(! +(a -!)-7a($a%$?( +(a"!(a/ !/ %)()%$"$!() =+!//!4a-# a /a ,!-&)(a a +( (+!4) ,/a() !/ !&a--)//) ' /! a9-$-# (+!4a&,)&$9$/$a!& ! 4!- &+ "+() %)( +(a /?7$%a %-!%$!(! ' ! "a(!-a )-7a($aa.

P)- a() !& !&!(%$a/ =+! /a& ,!-&)(a& -!/a%$)(!( /)& %)(%!,)& ' !&-a!7$a& %)(/)& a%)(!%$"$!()& ! &+& !,!-$!(%$a& $a-$a&.

L)& ,-)%!&)& $(!-()& K+(%$)(!& %)7($$4a& =+! &! %)(!",/a( !( !&! %)",)(!(!&)(J

2. N)"9-a- /)& ,-)%!&)& +() a +().

5. U$/$a- +(a a,-)$"a%$?( &$&!"#$%a.

8. C)(a- &$7+$!() +( )-!(.

=. C)--!&,)($!() )92!)&.

>. C)",-!(!- !/ ("!-) %a-$(a/.

?. U&a- !a%$+ !( !/ ("!-).

E. U$/$a- %)",a-a%$)(!&.

I. R!/a%$)(a- !,!-$!(%$a& a"$/$a-!&.

K. U&a- !/ %)(a- %)") !&-a!7$a.

2


40/221


/3

$($4$+) %)") ,)- !2!",/)J %+a() &! "$-a +(a /)- &! 4!( %)&a& $!-!(!&&$ &! &$a !( /a)& ),+!&)&.

E( &+ di'ensi,n psicol,-ica /a ,!-%!,%$?( !,!(! ! /a a%$+ ' ! /a&%-!!(%$a& $(%/+&) !/ a,-!($a2! ,+!! !,!(!- ! /)& &!($"$!()&,!-&)(a/!& ' ! /a& !,!-$!(%$a& a(!-$)-!&.

E( &+ di'ensi,n social !& (!%!&a-$) %)()%!- !&,!%$a/"!(! /a&,!-&,!%$4a& ! )-a ,!-&)(a ' ,)(!-&! !( &+ /+7a-.

L) )9&!-4a) !,!(! /a ,)&$%$?( ! /) =+! &! !&< "$-a() ' ,)- !//) =+! /a&,!-&)(a& $!(!( $&$()& ,+()& ! 4$&a ) ,!-&,!%$4a& /) =+! &! 4! &! &$!(! ) &!,$!(&a () (!%!&a-$a"!(! %)$(%$! %)( /) =+! /a& )-a& ,!-&)(a& 4!( ,$!(&a( '&$!(!(. D! a// =+!J

1. E& $",)-a(! !a"$(a- &$+a%$)(!& ' ,-)9/!"a& !&! $!-!(!& ,+()& !4$&a.

*. C)(&$!-a- /)& &!($"$!()& ' ,+()& ! 4$&a ! )-a& ,!-&)(a&.

3. S!- %a,a%!& ! a2+&a- &+ ,-),$a %)(+%a ,a-a %)(&$!-a- $!-!(!& ,+()& !4$&a.

La& +(%$)(!& %)7($$4a& =+! &! !&a%a( a=+J

1. C)",a-a-.

*. M$-a- %+$a)&a"!(! %)( ,-!%$&$?( ' !a%$+.

3. C)()%!- /a& -!!-!(%$a& !&,a%$a/!&.

. T)"a- (+!4a& ,!-&,!%$4a&.

5. C/a&$$%a-.

6. C)",-!(!- /a& -!!-!(%$a& !&,a%$a/!&.

@. E,/)-a- &$&!"#$%a"!(!.

8. T)"a- !%$&$)(!&.. C)",-!(!- !/ ,+() ! 4$&a ! )-a& ,!-&)(a&.

10. T)"a- ,)&$%$)(!&.

11. Ha%!- $,?!&$&.

1*. A!(!- $($%a%$)(!& -!/!4a(!&.

=. CL($0F0C(C01!.

La ()%$?( ! %/a&$$%a%$?( !& +(a ),!-a%$?( /?7$%a"a!"#$%a =+! %)(&$&! !( /a


41/221


/4

-!a/$a%$?( ! !(7/)9a"$!()& 2!-#-=+$%)& ! %/a&! a%$!() %)$(%$$- /a&%a-a%!-&$%a& %+a/$a$4a& ' %+a($a$4a& ! /)& !/!"!()&.

La ()%$?( ! %/a&$$%a%$?( &$-4! ! 9a&! +(a"!(a/ ,a-a !/ !&a--)//) ! /)&%)(%!,)& /?7$%)"a!"#$%)& 'a =+! /a& ()%$)(!& ! %/a&! $!(!( =+! 4!- %)( /a-!/a%$?( ! ,!-!(!(%$a a +( 7-+,).

A ,a-$- ! !&a& -!/a%$)(!& &! )-"a( %/a&!& '


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0


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1

%. /a a7-+,a%$?( &!7( -!& %-$!-$)& ) "#& %-$!-$)& '

. /a a&$7(a%$?( ! ()"9-!& a %aa 7-+,).

La a9$/$a %)7($$4a comparacin$(%/+'! /a& &$7+$!(!& +(%$)(!& %)7($$4a&J

a. 4!-9a/$a() &!"!2a(a&

9. 4!-9a/$a() $!-!(%$a&

%. %)",a-a() )& )92!)& '

. %)",a-a() -!& )92!)& ) "#&.

La a9$/$a %)7($$4a inclusin! %/a&! $(%/+'! /a& &$7+$!(!& +(%$)(!& %)7($$4a&J

a. ()"9-a() a/ 7-+,) a/ %+a/ ,!-!(!%!

9. ()"9-a() 4a-$)& !/!"!()& =+! %)--!&,)(!( a/ "$&") 7-+,) '

%. ()"9-a() )92!)& ! +(a %a!7)-a =+! ,!-!(!%! a +(a %a!7)-a"a')-.

>. $C;!C0(4P(/R1!.

E/ %)(%!,) ! patr,n&! !$(! %)") una serie ordenada de ele'entos que serepiten confor'e a la re-la de alternar los 'is'os uno por uno to'ando turnos %

variando una de sus di'ensiones for'a color o ta'a#o.

E/ %)(%!,) ! secuencia&! -!$!-! a ordenar un conHunto de o*Hetos o eventosque ocurren a travs del tie'po en for'a sucesiva o lineal es decir una cosaviene despus de la otra si-uiendo un orden esta*le % predeci*le.

C)") &! ,+!! )9&!-4a- a() ,a-a !/ %)(%!,) ! ,a-?( %)") ,a-a !/ %)(%!,)! &!%+!(%$a es necesario el descu9rimiento de las reglas ;ue rigen el orden !&a&-!7/a& 2+!7a( +( ,a,!/ $",)-a(! 'a =+! /! a( a/ $($4$+) /a& ,a+a& a &!7+$- ,a-a/)7-a- !/ )-!( a!%+a) ! /)& )92!)& ) !4!()&.

P)- a()para alcan#ar el concepto de patrn< es importante el descu9rimiento dela regla ;ue rige el orden !& !%$- lo ;ue indica la seleccin : colocacin de loselementos es la repeticin de un modelo inicial de la serie ordenada /a -!7/a =+!-$7! !/ )-!( a &!7+$- !(-) ! +(a &!%+!(%$a aa ! !!-"$(aa ,)- /a ,-)7-!&$?(! /)& !/!"!()& 9$!( &!a ,)- a"a) %)/)- ) %a($a ) !( !/ %a&) ! &!-$!&!",)-a/!& K%)") /a -+$(a $a-$a !& /a &+%!&$?( !( !/ $!",) ! +( !!-"$(a) !4!()=+! 4$!(! &!7+$) ,)- )-).

L)& %)(%!,)& ! ,a-?( ' &!%+!(%$a 7+a-a( +(a -!/a%$?( $-!%a ! )-"a =+!a"9)& a&,!%)& &)( !&%-$)& ,)- $4!-&)& a+)-!& ! )-"a &$"+/#(!a.

L)& %)(%!,)& ! ,a-?( ' &!%+!(%$a 7+a-a( +(a !&-!%a -!/a%$?( %)( )-)&%)(%!,)& ,-),+!&)& ,)- P$a7! para el desarrollo del proceso l,-ico 'ate'tico'a =+! /)& )-!(a"$!()& =+! &! -!=+$!-!( ,a-a -!a/$a- ,a-)(!& ' &!%+!(%$a&

)"!(a( !( /)& ($)&J /a a9$/$a ! $2a- &+ a!(%$?( !( /)& a-$9+)& ! /)& !/!"!()&


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2

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46/221


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11. D!&%+9-$- +(a -!7/a ) ,a-?(.

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15. Ca!7)-$a- $()-"a%$?(.

16. R!/aa- !,!-$!(%$a& ,a&aa& ' ++-a&.

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2.Co'parar. S! -!$!-! a .../a %a,a%$a =+! "+!&-a( a/7+()& $($4$+)& ,a-a)-7a($a- ' ,/a($$%a- /a $()-"a%$?( %+a() &! /!& ,-!&!(a 9$!( !( /a 4$a)-$(a-$a ) 9$!( !( !/ a,-!($a2! &$&!"a$a) KP-$!) 18.

5.sta*lecer una i'a-en 'ental. E& /a %a,a%$a ,a-a !&a9/!%!- -!/a%$)(!&!(-! &+%!&)& ' )92!)& &$+a)& !( !/ !&,a%$) !& !%$- /a ),)7-aa %)-,)-a/ '


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/a& -!/a%$)(!& ! $=+$!-a!-!%a a--$9aa9a2) !/a(!!-#& ' !(-)+!-aKP-$!) 18.

8. Me'orizar visual'ente. S! -!$!-! a .../a %a,a%$a ! %)"9$(a- !/!"!()&

! /)& %a",)& 4$&+a/!& ,-!&!(!& ' ,a&a)& !( +( &)/) %a",) ! a!(%$?( 4$&+a/.La "!")-$a !/ ($) () &?/) a%! =+! /)& -a7"!()& !/ ,a&a) &!a( 4#/$)&&$() =+! a%a9a %)(4$-$


49/221


7

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5. C)()%!- /a& -!!-!(%$a& !&,a%$a/!&.

8. T)"a- (+!4a& ,!-&,!%$4a&.

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50/221


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3

8< Min.ACTIVIDAD 5. Re&isando nuestros Programas


51/221


4

@(C0( ;!( $0/;(C01! ) (PR!)07(J

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a=+$-$)& a& %)") %)(&-+$- +( $&%+-&) ,a-a !/ $(!-%a"9$) =+! a4)-!%a /a a%%$?(.E/ -!) !/ $&!) $#%$%) %)(&$&! !( /)7-a- =+! !/ !&+$a(! !(-!(! !/ ,-)9/!"a ) !/!&a) ' ,+!a ,-)+%$- +(a &)/+%$?( !( /a =+! %)(! ,!-) ' !&) !& /) $() !/$&!) =+! &+ &)/+%$?( &!a !--?(!a. S?/) !( !&! ")"!() !/ ($) ' /a ($a !&a-#( !(%)($%$)(!& ! a,-!(!-.

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=+! !/ ,!(&a"$!() %)") +(a ! /a& +(%$)(!& "!(a/!& &+,!-$)-!& &! !&+$a&$&!"#$%a ' %)$$a(a"!(! !( $4!-&)& !&%!(a-$)& ,-)!&$)(a/!&.

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0

%s, ante un racaso controlado, que el alumno se plantea lapreunta /por qu&0, /qu& all0 %sto sinifca que el dise1o

conducido por el docente de"e permitir al estudiante un proceso

de recorrido a la inversa#, un proceso de re2e!in so"re sus

propias producciones. %l pensamiento humano opera de este

modo cuando el estudiante aprende.

Da) =+! /a a%$4$a +"a(a $(4)/+%-a ,-)%!&)& ! -a)(a"$!() ' a%)-!& !!,!-$!(%$a %+a() &! !&!",!a( %+a/=+$!- %/a&! ! +(%$)(!& -!&+/a ! $(!-


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54/221


2

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55/221


/

Esto presupone que la intervencin del profesor, desde el diseo y la

planificacin, hasta el momento en que se lleva a cabo la experiencia de

aula, se presenta para potenciar los aprendizaes que lograrn las y los

estudiantes, es decir, para tener control de la actividad didctica y delconocimiento que se construye !"lan#s et,al,$%%&'


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/M( 5A Modelos de ense#anza en la 'ate'tica

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E/ ,-),?&$) ! !&! a,a-a) !& ,)(!- !( !/a ! 2+$%$) ' a(#/$&$& /a& )-"a& !:C?") &! !(&!a ' %?") &! a,-!(! "a!"#$%a& ! )-"a %)$$a(a !( !/ a+/a> A/a /+ ! +( -!!-!(! 9$9/$)7-#$%) =+! ,!-"$a a+)$a7()&$%a- !/ ,-),$) ")!/) !!(&!a(a a/ =+! &! a&%-$9! )-a/!%!- ) -a(&$a- a/ =+! $!(! "!2)- a-7+"!()!,$&!")/?7$%) ) $#%$%).

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)0)3C/0CO$ P0$/MOL1G0CO$ M(/M3/0CO$

0

=< Min.

ACTIVIDAD 1. Re8le"ionando el modelo didctico del tra9a$omatemtico


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"!))/?7$%a& !(%+!(-a( a-7+"!(!( !/ ,)-=+< ! $%a& $!-!(%$a&-!7$&-! &+& %)(%/+&$)(!&.

O-7a($a)& !( !=+$,)& $4$a( /a /!%+-a !/ !) 3J 5El aprendi#a$e de las

matemticas% Modelos7! Ma. !/ Ca-"!( Ca")--) !( )& ,a-!&. E/!=+$,) 1 /!!( !/ a,a-a) 3.1 ' !/ !=+$,) * !/ a,a-a) 3.* +9$%a() /)&!/!"!()& !&!(%$a/!& !/ !) !( /a &$7+$!(! a9/aJ

1

?< Min.

ACTIVIDAD *. El aprendi#a$e de las matemticas% Modelos


59/221


2

C@(MORRO Ma. !/ Ca-"!( K*003.Aprendia-e y +atem"ticas!( D$#%$%a ! /a& Ma!"#$%a& ,a-a P-$"a-$a. Ma-$ E.P!a-&)(. P,. 3@@

C(P9/;LO 5

APRENDIZAJE Y MATEMTICAS

8. l aprendizaHe de las 'ate'ticas. Modelos

La 7-a( "a')-a ! /)& -a9a2)& ! $(4!&$7a%$?( =+! &! //!4a( a %a9) !( !/ #-!a !$#%$%a ! /a& "a!"#$%a& 4!-&a( &)9-! !/ a,-!($a2! "a!"#$%) ! /)& a/+"()&!&) "+!&-a &+ !()-"! -!/!4a(%$a ,a-a !&! )"$($) ! %)()%$"$!() %$!($%).

L)& ")!/)& !?-$%)& =+! ,-!&!(a-!")& () $!(!( "#& )92!) =+! &!-4$-()& %)")+( %)(2+() ! ,-$(%$,$)& =+! !,/$%a( !/ !(?"!() !/ a,-!($a2! "a!"#$%) ()&)-!%!-#( "a-%)& ! -!!-!(%$a ,a-a $(!-,-!a- /)& %)",)-a"$!()& ! /)& a/+"()& a&%)") /a& $(!-4!(%$)(!& ' !%$&$)(!& !/ ,-)!&)- ,!-"$$


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9empirista: 3 9a()&! !( /a %)(%!,%$?( $/)&?$%a !/ "$&") ()"9-! =+! &)&$!(! =+!/a !,!-$!(%$a !& /a ($%a )-"a ! %)()%$"$!().

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9trans;ase:! /)& &a9!-!& =+! /! ,-),)-%$)(a !/ "a!&-) &! /$"$a a -!%$9$- 9$!( /)&%)(!($)&. A& !/ &a9!- "a!"#$%) !(+(%$a) ' !,/$%a) ,)- !/ ,-)!&)- &! imprime! +( ")) $-!%) ! $("!$a) !( !/ a/+"() ' &$ !$&$!&! a/7+(a $(!-4!(%$?( $&$(a! /a ,a/a9-a !/ ,-)!&)- /)& )92!)& "a!"#$%)& /)& 4!-# ) /)& )%a-#. C)")%)(&!%+!(%$a 9a2) !&! ")!/) !$&! +( 7-a( a9+&) ! /a& ,-!&!(a%$)(!& )&!(&$4a&!( /a !(&!a(a. La )&!(&$?( !& !/ ,-)%!$"$!() ,-$4$/!7$a) ,a-a /a $(-)+%%$?(,-!%) ! /a& ()%$)(!& "a!"#$%a& KB-)+&&!a+ 1 ,.11* . A& ,)- !2!",/) !( /aE&%+!/a P-$"a-$a /a& $7+-a& 7!)"


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8.5. (prendizaHe constructivista

T))& &a9!")& =+! "+%)& %)()%$"$!()& ,+!!( -a(&"$$-&! ! +(a7!(!-a%$?( a )-a &$( "+%) !&+!-) &$( a,!(a& &!- %)(&%$!(!& ! &+

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7

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5El conocimiento de9e mani8estarse como instrumento de decisin anticipada%7KB-)+&&!a+ *000 ,.8K

C+a() /a !&-a!7$a ! 9a&! &! a%! %)&)&&$"a /)& a/+"()& &! 4!( )9/$7a)& a9+&%a- )-a "#& !%)(?"$%a "!2)- aa,aa a /a &$+a%$?( ,-),+!&a. E&a !&-a!7$a%)(&$+'! !/ %)()%$"$!() "a!"#$%) K)92!$4) ! a,-!($a2! ! /a &$+a%$?( !!(&!a(a. C+a() !/ a/+"() ,a&a ! /a !&-a!7$a ! 9a&! a /a (+!4a !%$")& =+! aconstruido+( (+!4) %)()%$"$!()J a //!4a) a %a9) +( a,-!($a2!.

Ma-7)/$(a& K132


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3

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4

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%)(&$7(a ! a",/$a%$?( !/ ,+/! +9$!-a &$)J D!9

28(C@L(R) G. K183 8a formacin del espritu cientfico. S$7/) QQIJ B+!()& A$-!&.2=RO$$(; G. K18 I9!".


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0

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Curso. Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático