Curso+Completo Capitulo+II

8/2/2019 Curso+Completo Capitulo+II

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118

1,3.21,1.1==

==ba

ba

b) Encuentre la ecuacin diferencial de la familiac) Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial

Solucin.a) La figura 2.1 muestra las dos curvas de la familia b) Tomando la primera derivada, resulta:

02'2 =+ b y xy

Derivando de nuevo, se tiene:

0'2'2''2 =++ y y xy

En consecuencia, la ecuacin diferencial de la familia es:

0'2'' =+ y x

y

c) La ecuacin diferencial obtenida es de segundo orden pero se puede resolver mediante las tcnicas desarrolladas en el captulo anterior, as:

0202' =+=+= x

dx

p

dp

x

p

dx

dp p y

Integrando, se obtiene que:

12

1lnln2ln C pxC x p ==+

Finalmente, regresando a la variabley , se tiene que la solucin general es:

21

1 C xC y +=

Claramente se observa que la solucin hallada es equivalente a la familia dadainicialmente.

Ejemplo 2.2

Encuentre la ecuacin diferencial correspondiente a la siguiente primitiva:

xeC eC y x x ++= 221 Solucin.Se deriva dos veces la expresin, as:


3/52

119

x x

x x

eC eC y

eC eC y2

21

221

4''12'

+=+=

Figura 2.1

La ecuacin original y la correspondiente a la primera derivada conforman un sistemade dos ecuaciones con las incgnitas 21,C C , as:

=

1'2 21

2

2

y

x y

C

C

ee

ee x x

x x

La solucin del sistema se encuentra aplicando la regla de Cramer, as:

x x

x x

x

x

ee

ee

e y

e x y

C

2

2

2

2

1

2

21'

=

x x

x x

x

x

ee

ee

ye

x ye

C

2

22

2

1'

=

Al resolver los determinantes, resulta:

)1'()1'22(

22

1

++=+=

y x yeC

y x yeC x

x

Sustituyendo en la segunda derivada, resulta:

)1'(41'22'' ++++= y x y y x y y

Simplificando, se obtiene la ecuacin diferencial de segundo orden:

322'3'' +=++ x y y y


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120La solucin del ejemplo sugiere que la primitiva dada es la solucin general de laecuacin diferencial. Son soluciones particulares de la ecuacin diferencial aquellas quese obtienen al asignar valores particulares a las constantes arbitrarias. Las siguientesfunciones son soluciones particulares de la ecuacin diferencial:

xe y x y x +==

,

2.2. LA ECUACIN DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN

Consideremos la siguiente primitiva, en la que las funciones:1 2( ), ( ) ( ) ss y x y x y y x sonlinealmente independientes en un intervalo: I de los reales. Ms adelante se estudiarcon detalle el tema de la dependencia e independencia lineal de funciones.

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ss y C y x C y x y x= + +

Derivando dos veces, se obtiene:

1 1 2 2

1 1 2 2

' ' ' ''' '' '' ''

ss

ss

y C y C y y

y C y C y y

= + +

= + +

Con la ecuacin original y la primera derivada, resulta el sistema de ecuaciones:

1 2 1

1 2 2 ' '' ' ss

ss

y y y y C

y y y y C

=

Resolviendo el sistema, resulta:

( )

( )

1 2 2 2 2

2 1 1 1 1

1 ' ' ' '( )1 ' ' ' '( )

ss ss

ss ss

C y y y y y y y yW x

C y y y y y y y yW x

= +

= + +

Donde:''

)(21

21

y y

y y xW = es el determinante del sistema y recibe el nombre de

Wronskiano de las funciones 21, y y . Veremos que si las funciones son linealmente

independientes en un intervalo I , el Wronskiano es diferente de cero en el intervalo.Sustituyendo los valores hallados en la segunda derivada, resulta:

( ) ( )1 22 2 2 2 1 1 1 1'' '''' ' ' ' ' ' ' ' ' ''

( ) ( ) ss ss ss ss ss y y

y y y y y y y y y y y y y y y y y yW x W x

= + + + + +

Simplificando la expresin anterior, se tiene:

( ) ( ) )('''''')(

1''''')(

1'' 12211221 xr y y y y y xW

y y y y y xW

y =+

En la expresin anterior se tiene que:


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121

( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 11 1( ) '' '' '' ' ' '' ' ''( ) ( ) ss ss ss

r x y y y y y y y y y y yW x W x

= +

Finalmente, la ecuacin diferencial se puede escribir en la forma:

)()(')('' xr y xq y x p y =++ Puede verse que:

1 2 1 2

1 2 1 2

' ''' '' '' ''( ) ( ) ; ( ) 0

( ) ( )

y y y y

y y y y p x q x W x

W x W x= =

Ejemplo 2.3

Encuentre la ecuacin diferencial correspondiente a la primitiva:

221 xeC xC y

x

++=

SolucinEl Wronskiano de las funciones viene dado por:

)1(1

)( +=

=

xee

e x xW x

x

x

En cuanto a )()( xq y x p , tenemos:

11

)1(01

)(1)1(

0)( +=

+

=+

=+

=

x xe

e

e

xq x

x xe

e

e x

x p x

x

x

x

x

x

Por otro lado, el trmino independiente viene a ser:

122

12)1(2

112

12)(

2222

+++=

+++=

+

++= x x

x x x x

x x

x x

x xr

En consecuencia, la ecuacin diferencial es:

21 2 2'' ' ; 11 1 1

x x x y y y x

x x x

+ ++ =

+ + +

Otra forma de escribir la ecuacin diferencial es:

22''')1( 2 ++=++ x x y xy y x

Frmula de Abel

A partir del Wronskiano de las funciones: 21, y y es posible encontrar una relacininteresante entre el Wronskiano y el coeficiente de la primera derivada, as:


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122

'''')('')( 12211221 y y y y xW dxd

y y y y xW ==

Con base en lo anterior, podemos escribir:)()(')(

xW xW

x p =

Claramente se observa que es una ecuacin diferencial de primer orden y variablesseparables, as:

dx x p xW xdW )()()( =

Por lo tanto, si K es una constante arbitraria, el Wronskiano viene dado por:

= dx x p Ke xW )()(

En efecto, para la ecuacin diferencial obtenida en el ejemplo anterior, se tiene que:

)1()( 1 +== +

x Ke Ke xW xdx

x

x

La relacin hallada recibe el nombre de frmula de Abel.

Dependencia e independencia lineal.

Consideremosn funciones de variable real: n y y y ,...., 21 definidas en un intervalo R I .Una combinacin lineal de ellas viene dada por:

nnc yC yC yC y +++= ....2211

Las constantes de la combinacin lineal son nmeros reales.Se dice que las funciones sonlinealmente dependientes en el intervalo si la combinacinlineal se anula para alguna constante diferente de cero. De otro lado, si la combinacinlineal se anula nicamente si todas las constantes son iguales a cero, se dice que lasfunciones sonlinealmente independientes en el intervalo.Para determinar si un conjunto de funciones es linealmente dependiente o independienteen un intervalo R I , se procede asignando valores a la variable independiente en lasiguiente identidad:

0)(.....)()( 2211 +++ x yC x yC x yC nn

Es pertinente aclarar que la identidad se convierte en una ecuacin para cada uno de losvalores asignados a la variable. As las cosas, si asignamos los valores n x x x ,..., 21 ,resulta un sistema homogneo de n ecuaciones con n incgnitas:

=

0.

.00

.

.

)(...)()( .

.

.

.

.

.

.

.)(...)()()(...)()(

2

1

21

22221

11211

nnnnn

n

n

C

C

C

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y


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123Con base en los conceptos de lgebra Lineal, s el determinante del sistema es cero elsistema tiene infinitas soluciones y en consecuencia las funciones son linealmentedependientes. Por otro lado, s el determinante es diferente de cero, la solucin delsistema es la trivial y, por tanto, las funciones son linealmente independientes.

Ejemplo 2.4.Muestre que el conjunto de funciones:{ }2,,1 x x es linealmente independiente en R .

Solucin.Efectuamos la combinacin lineal: 02321 ++ xC xC C A continuacin se asignan tres valores arbitrarios a la variable independiente, as:

1. 01 321 =+= C C C x 2. 01 321 =++= C C C x 3. 0422 321 =++= C C C x

El determinante del sistema viene dado por:

6421111111

)det( =

= A

El resultado nos indica que las funciones son linealmente independientes.

Wronskiano

El Wronskiano de un conjunto de n funciones:{ }n y y y ,..., 21 calculado en el punto: I x0 se define como el determinante de la matriz cuya primera fila son lasfunciones evaluadas en el punto y las dems filas se obtienen por derivacin sucesiva,as:

=

)(...)()(..

.

...

.

.)(....)()(

)...)()(

det)(

01

021

011

00201

00201

0

x y D x y D x y D

x Dy x Dy x Dy

x y x y x y

xW

nnnn

n

n

Es obvio que el Wronskiano estar definido en aquellos intervalos en los que tanto lasfunciones como sus primeras 1n derivadas estn definidas.

Ejemplo 2.5.

Determine el Wronskiano de las funciones:{ } xe x , en R.

Solucin.Con base en la definicin, resulta:


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124

)1(1

)( +=

=

xee

e x xW x

x

x

Teorema 1.

Consideremos un conjunto de funciones{ }n y y y ,..., 21 . Si las funciones son linealmentedependientes en un intervalo R I , entonces su Wronskiano se anula en cada puntodel intervalo.

Prueba.Por hiptesis, la combinacin lineal de las funciones se anular para, al menos, unaconstante diferente de cero.

0)(...)()( 2211 +++ x yC x yC x yC nn

Por derivacin sucesiva se obtiene el sistema homogneo de ecuaciones:

=

0..00

.

.

)(...)()(..

.

...

.

.)(....)()(

)...)()(

2

1

01

021

011

00201

00201

nnnnn

n

n

C

C

C

x y D x y D x y D

x Dy x Dy x Dy

x y x y x y

Aplicando la regla de Cramer, cada incgnita se encuentra como:

)(0

0 xW C i =

Con base en lo anterior, s alguna de las constantes es distinta de cero, el Wronskianodebe ser cero para todo0 x en el intervalo.Como corolario se tiene que s el Wronskiano es diferente de cero en al menos un puntodel intervalo, entonces las funciones son linealmente independientes en el intervalo.Se debe tener especial cuidado con el intervalo en el que pide determinar la dependenciao independencia lineal, sobre todo cuando las funciones estn definidas por tramos en

su dominio de definicin.Ejemplo 2.6.

Muestre que las funciones:{ } x x x ,2 son linealmente dependientes en: ),0( y en:)0,( y linealmente independientes en: R.

Solucin.Grficamente, en la figura 2.2, es fcil observar los hechos sealados. La lnea slidacorresponde a la funcin: 2)( x x f = mientras que la otra corresponde a la funcin

x x x g =)( , la que se puede expresar por tramos de la siguiente manera:


9/52

125

Figura 2.2.


10/52

1260)(')('' =++ y xq y x p y

Equivalentemente, la homognea se escribe como: 0),(2 = y D x L

Al principio de la seccin se dedujo que la primitiva de una ecuacin diferencial linealde segundo orden es una familia de curvas del plano de la forma:

1 1 2 2 ss y C y C y y= + +

Por analoga con lo estudiado para la ecuacin diferencial lineal de primer orden,diremos que la solucin general de la ecuacin diferencial lineal de segundo ordenconsta de dos partes a saber:

c ss y y y= +

La primera parte de la solucin general se denomina solucin complementaria ycorresponde a una combinacin lineal de dos soluciones linealmente independientes. Laotra es una solucin particular de la no homognea, tal como se vislumbra del procedimiento desarrollado al principio de la seccin. S las funciones:2, y y sonsoluciones particulares de la homognea y son linealmente independientes en unintervalo: I de los reales, entonces la solucin general de la homognea es unacombinacin lineal de las soluciones dadas, as:

2211 yC yC yc +=

Se dice que el conjunto de funciones es un conjunto fundamental de soluciones en elintervalo y se caracteriza porque el Wronskiano es diferente de cero en todos los puntosdel intervalo, es decir:

Teorema 2.

S las funciones: 21, y y son soluciones linealmente independientes de la homognea y0)( xW para todo I x , las funciones forman un conjunto fundamental y la solucin

general de la homognea es su combinacin lineal.

Prueba.

La prueba del teorema se puede presentar en los siguientes trminos:S 21, y y son soluciones de la homognea, entonces:

0),(0),(

22

12

y D x L

y D x L

Multiplicando cada identidad por una constante arbitraria, resulta:

0),(0),(0),(0),(

222222

112121

yC D x L y D x LC

yC D x L y D x LC

Sumando las dos ltimas identidades se sigue que:


11/52

1270])[,( 22112 + yC yC D x L

Con los mismos argumentos, s ss y es una solucin particular de la no homognea, lasolucin general de la no homognea viene dada por:

1 1 2 2c ss ss y y y C y C y y= + = + +

Problema de valor inicial de segundo orden.

Un problema de valor inicial lineal de segundo orden se formula mediante una ecuacindiferencial lineal de segundo orden y dos condiciones iniciales, as:

0000 )(')()()(')('' p x y y x y xr y xq y x p y ===++

Geomtricamente, la solucin del problema es la curva del plano que satisface laecuacin diferencial, pasa por el punto: ),( 00 y x y la pendiente de la recta tangente a lacurva en el punto es 0 p .La solucin del problema de valor inicial se obtiene a partir de la solucin general, as:

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )'( ) ' ( ) ' ( ) ' ( )

ss

ss

y x C y x C y x y x

y x C y x C y x y x

= + +

= + +

Evaluando en el punto: ),( 00 y x resulta el sistema de ecuaciones:

1 0 2 0 0 01

1 0 2 0 0 02

( ) ( ) ( )'( ) '( ) '( )

ss

ss

y x y x y y xC y x y x p y xC

=

Teorema de existencia y unicidad.

Por analoga con el caso del problema de valor inicial de primer orden, el de segundoorden tendr solucin nica en aquellas regiones en las que: )()(),( xr y xq x p seancontinuas. El intervalo de solucin corresponde a la interseccin de cada una de losintervalos individuales.

Ejemplo 2.7.

Resuelva el problema de valor inicial siguiente, indicando el intervalo de validez y larepresentacin grfica.

1)1('1)1(22''')1( 2 ==++=++ y y x x y xy y x

Con base en el ejemplo 2.3, la solucin general de la ecuacin diferencial es:

221)( xeC xC x y x ++=

Es importante precisar que:


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128

2

( )1

1( )1

2 2( ) 1

x p x

x

q x x

x xr x x

=+

=

+

+ +=+

En virtud del teorema, se garantiza solucin en el intervalo ),1( . S se analiza lasolucin general se observa que es vlida para todos los reales, lo cual no constituye unaviolacin al teorema ya que las condiciones son de suficiencia y no de necesidad.Continuando con la solucin del problema de valor inicial, se tiene:

=

10

11

2

11

1

C

C

e

e

La solucin del sistema es: 36.1,5.0 21 == C C La solucin del problema de valor inicial viene a ser:

236.15.0)( xe x x y x ++=

La grfica se muestra en la figura 2.3.

Figura 2.3

Reduccin de orden

A continuacin desarrollaremos un procedimiento que nos permite determinar lasolucin general de una ecuacin diferencial de primer orden a partir de una solucinconocida de la homognea asociada.


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129Supongamos que: )(1 x y es una solucin conocida de la homognea y que es posibledeterminar una funcin: )( xu de tal manera que la solucin general de la no homogneaes:

)()(1 xu x y y =

Derivando dos veces, resulta:

''''2'''''''

111

11

u yu yu y y

u yu y y++=

+=

Sustituyendo en la no homognea, resulta:

)()(]'')[(''''2'' 111111 xr u y xqu yu y x pu yu yu y +++++

Reorganizando los trminos de la anterior identidad, podemos escribir:

)(])(')(''[')]('2['' 111111 xr u y xq y x p yu x p y yu y +++++

Puesto que 1 y es solucin de la homognea, el tercer trmino de la izquierda esidnticamente cero, con lo que:

)(')]('2['' 111 xr u x p y yu y =++

La ecuacin obtenida para:u es de segundo orden, as:

11

1 )(')('2'' y xr u x p

y yu =

++

La ecuacin diferencial es reducible a una de primer orden mediante el cambio devariable z u =' , as:

11

1 )()('2 y xr

z x p y y

dxdz =

++

Puesto que la ecuacin diferencial es lineal, su factor integrante viene dado por:

= dx x pe y x)(2

1)(

Con el factor integrante hallado podemos escribir la solucin para z , as:

+= dx

y xr

A z 1

11 )(

A es una constante arbitraria.Integrando de nuevo, se obtiene:

dxdx y xr dx A B xu

++=

1

11 )()(


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130Finalmente, la solucin general viene dada por:

dxdx y xr

ydx Ay By x y

++=

1

11

111

)()(

De la ltima ecuacin se sigue que, s1 y es una solucin de la homognea de unaecuacin diferencial de segundo orden, entonces:

12 1

11

1

( ) ss

y y dx

r x y y dxdx

y

=

=

Ejemplo 2.8.

Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial siguiente, sabiendo que x y = es una solucin de la homognea.

2 '' ' x y xy y x+ =

Solucin.

Con base en la ecuacin, se tiene que 1( ) p x x

= , por tanto, el factor integrante es:

1( )2 2 2 ln( ) 31

dx p x dx x x y e x e x e x = = = =

La segunda solucin de la homognea se puede escribir como:

3 12

12

y x x dx x = =

Un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:{ }1, x La solucin particular, teniendo en cuenta que( ) 1/r x x= , viene dada por:

( )3 3 31/ ss x y x x x dxdx x x xdx dx x

= =

Evaluando las integrales, resulta:1 ln( )2 ss

y x x=

En consecuencia, la solucin general es:

11 2

1( ) ln( )2

y x C x C x x x= + +


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131Ejemplo 2.9.

Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial siguiente, sabiendo que x y = es una solucin de la homognea.

0''')1( =++ y xy y x

Solucin.

Con base en la ecuacin, se tiene que1

)(+

= x x p , por tanto, el factor integrante es:

== + dx x x

dx x pe xe y 12

)(21

Evaluando la integral y simplificando, resulta:1

2

+= e x

x

La segunda solucin de la homognea se puede escribir como:

x x

edx x xe

x y

= += 22

)1(

Es un reto para el estudiante hacer la integral y verificar el resultado. Se sugiere partir laintegral en dos integrales y aplicar el mtodo de integracin por partes. La solucingeneral es:

xc eC xC y

+= 21

EJERCICIOS 2.2

1. Muestre que los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes enel conjunto de los reales.

a) )}cos(),({ x x sen b) },{ x x ee c) },{ 2 xe x

2. Muestre que s )( x f es una funcin definida en un intervalo R I , el conjunto defunciones: )}(),({ x xf x f es linealmente independiente en I .

3. Muestre que el conjunto de funciones: )}(),2cos(,1{ 2 x sen x es linealmentedependiente en los reales.

4. Muestre que el conjunto de funciones: },{ 2 x x x no puede ser un conjuntofundamental de soluciones de una ecuacin diferencial lineal de segundo orden.

5. Encuentre la ecuacin diferencial correspondiente a cada una de las siguientes primitivas


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132a) x x eC eC y 221

+= b) x x xeC eC y += 21 c) )()cos( 21 x seneC xeC y x x

+= d) xe x senC xC y ++= )()cos( 21

6. Dada la ecuacin diferencial: 0'2'' 2 =++ y y y

a) Muestre que xe y =1 es una solucin de la ecuacin diferencial b) Usando el mtodo de reduccin de orden, muestre que la otra solucin es: x xe y =2

7. Dada la ecuacin diferencial: x y xy y x 34'''2 =+ a) Muestre que la parbola: 2 x y = es una solucin de la homognea asociada. b) Encuentre la otra solucin de la homognea

c) Encuentre la solucin particular d) Resuelva el problema de valor inicial formado con la ecuacin diferencial dada, conlas siguientes condiciones iniciales: 1)1('1)1( == y y e) Represente grficamente la solucin del problema de valor inicial

8. Dada la ecuacin diferencial:2 '' ' 0 x y xy y + =

a) Muestre que la recta: x y = es una solucin de la homognea asociada b) Encuentre la otra solucin de la homogneac) Resuelva el problema de valor inicial formado con la ecuacin diferencial y las

condiciones iniciales (1) 1 '(1) 0 y y= = , indicando el intervalo de validez de lasolucin.

9. Dada la ecuacin diferencial: x xy y xy =+ '2''

a) Muestre que la funcin: xe x y 1= es una solucin de la homognea asociada. b) Encuentre la otra solucin de la homogneac) Encuentre la solucin particular d) Resuelva el problema de valor inicial formado con la ecuacin diferencial dada, conlas siguientes condiciones iniciales: 1)1('1)1( == y y

10. Dada la ecuacin diferencial: x xy y xy =++ '2''

a) Muestre que la funcin: )(1 x sen x y = es una solucin de la homognea asociada. b) Encuentre la otra solucin de la homogneac) Encuentre la solucin particular d) Resuelva el problema de valor inicial formado con la ecuacin diferencial dada, conlas siguientes condiciones iniciales: 1)1('1)1( == y y


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1332.3. LA E. D. LINEAL DE COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuacin diferencial lineal de coeficientes constantes presenta la forma general:

( ) )()(... 012211 xr x ya Da Da Da Da nnnn =+++++

La homognea asociada a la ecuacin diferencial es:

( ) 0)(... 012211 =+++++ x ya Da Da Da Da nnnn

Por analoga con el caso de segundo orden, la solucin general de la no homogneaviene dada por la suma de la solucin complementaria y la solucin particular, as:

pc y y y +=

La solucin complementaria es una combinacin lineal de n funciones linealmenteindependientes en el conjunto de los reales, as:

nnc yC yC yC y +++= ....2211

Es fcil verificar que la homognea de la ecuacin diferencial admite soluciones de tipoexponencial, es decir, soluciones de la forma xe y = , siendo un nmero complejoque es caracterstico de la ecuacin diferencial. En efecto, tomando las: n derivadas dela funcin y sustituyendo idnticamente en la ecuacin diferencial se obtiene unaecuacin polinmica de grado n, conocida como ecuacin caracterstica de la ecuacindiferencial, as:

0... 012211 =+++++

aaaaan

nn

n

Puesto que los coeficientes del polinomio caracterstico son reales, el polinomiosiempre se podr expresar mediante factores lineales y cuadrticos. De lo anterior seinfiere que las races complejas son conjugadas.

La ecuacin Diferencial homognea de segundo orden

La ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden viene dada por:

( )2 ( ) 0aD bD c y x+ + =

Una forma alternativa de escribir la ecuacin diferencial es la siguiente:

( ) 0)(2 =++ x yq pD D

El polinomio caracterstico de la ecuacin diferencial es:

2( ) L p q = + +

La ecuacin caracterstica de la ecuacin diferencial es:


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13402 =++ q p

Aplicando la frmula general, las dos races de la ecuacin caracterstica son:

2 4,2

21 q p p

=

Pueden presentarse tres situaciones diferentes, a saber:

1. El discriminante: q p 42 es positivo.En este caso las races de la ecuacin son reales y diferentes y en consecuencia, unconjunto fundamental de soluciones es:

{ } { }1 11 2, , x x y y e e =

2. El discriminante de la ecuacin es cero.En este caso, las dos races son iguales, as:1 2 / 2 p = = = Con base en el ejercicio 2.6, se puede decir que el conjunto fundamental de solucioneses:

{ } { }1 2, , x x y y e xe =

3. El discriminante es negativo.En este caso las races son complejas conjugadas, as j=21,En la expresin anterior, la parte real viene dada por: 2/ p= y la parte imaginaria

es ( )24 / 2q p = . Como puede verse, usaremos la letra: j para representar a launidad de los nmeros imaginarios, esto es: 1= j El conjunto fundamental de soluciones es:

{ } { } { }( ) ( )1 2, , , j x j x x j x x j x y y e e e e e e + = =

El nmero complejo je se puede expresar en su forma cartesiana mediante la identidadde Euler, as:

)()cos( jsene j +=

As las cosas, un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin diferencial es:

{ } [ ] [ ]{ }1 2, cos( ) ( ) , cos( ) ( ) x x y y e x jsen x e x jsen x = +

Ahora bien, puede demostrarse que si el conjunto: },{ 21 y y es un conjunto fundamentalde soluciones de una ecuacin diferencial de segundo orden, entonces, el siguienteconjunto es tambin un conjunto fundamental de soluciones, conba , constantesarbitrarias. )}(),({

2121y yb y ya +


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136Generalizacin a la ecuacin de orden: n

Para la ecuacin diferencial homognea de ordenn , que se rescribe por claridad, setiene:

( ) 0)(... 012211 =+++++ x ya Da Da Da Da nnnn

Haciendo uso del operador, podemos escribir:

0)()( = x y D Ln

El polinomio caracterstico en este caso es un polinomio de grado n, as: ( )n L La ecuacin caracterstica viene dada por:

0)( = n L

Tal como se plante previamente, el polinomio se puede expresar mediante factoreslineales y cuadrticos, resultando exactamente n races para la ecuacin caracterstica,en el campo de los complejos.El conjunto fundamental constar de n soluciones linealmente independientes en losreales y se determinan con base en la naturaleza de la ecuacin caracterstica.Para la ecuacin de tercer orden, por ejemplo, el polinomio caracterstico se puedeexpresar mediante un factor lineal y uno cuadrtico, resultando las siguientes posibilidades:

1. Las tres races son reales y distintas: 321 ,,

En este caso, el conjunto fundamental de soluciones es:

{ } { }31 21 2 3, , , , x x x y y y e e e =

2. Las tres races son reales pero dos de ellas son iguales: 321 , == En este caso, el conjunto fundamental de soluciones es:

{ } { }31 2 3, , , , x x x y y y e xe e =

3. Las tres races son reales e iguales: === 321 En este caso, el conjunto fundamental de soluciones es:

{ } { }21 2 3, , , , x x x y y y e xe x e =

4. De las tres races, una es real y las otras dos son complejas conjugadas: j=32,

En este caso, el conjunto fundamental de soluciones es:

{ }{ }

11 2 3, , , cos( ), ( ) x x x y y y e e x e sen x

=


21/52

137Un razonamiento similar se puede hacer para ecuaciones de orden superior al tercero.Los siguientes ejemplos servirn de gua en el proceso.

Ejemplo 2.11.

Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para cada una de las siguientesecuaciones diferenciales:

1. 0)()44( 23 =++ x y D D D 2. 0)()44( 23 =+ x y D D D 3. 0)()133( 23 =+++ x y D D D 4. 0)()8( 3 =+ x y D 5. 0)()34( 24 =++ x y D D 6. 0)()16( 4 = x y D

7. 0)()2232( 234 =++++ x y D D D D 8. 0)()65( 24 =++ x y D D 9. 0)()4( 35 =+ x y D D 10. 0)()1( 24 =++ x y D D

Solucin.Se recomienda el uso de una calculadora para encontrar las races de la ecuacincaracterstica en aquellos casos en que no sea evidente la factorizacin.

1. La ecuacin caracterstica es:

0)2(0)44(044 2223 =+=++=++

El conjunto fundamental de soluciones es:

{ } { }2 21 2 3, , 1, , x x y y y e xe =


0)1)(4(0)1(4)1(0442223

=+=++=+ El conjunto fundamental de soluciones es:

{ } { }2 21 2 3, , , , x x x y y y e e e =


0)1(0133 323 =+=+++



22/52

138{ } { }21 2 3, , , , x x x y y y e xe x e =


)42)(2(0823

++=+ El conjunto fundamental de soluciones es:

{ } { }21 2 3, , , cos( 3 ), ( 3 ) x x x y y y e e x e sen x=


0)3)(1(034 2224 =++=++


{ } { }1 2 3 4, , , cos( ), ( ),cos( 3 ), ( 3 ) y y y y x sen x x sen x=


0)4)(4(016 224 =+=


{ } { }2 21 2 3, , , cos(2 ), (2 ) x x y y y e e x sen x=


02232 234 =++++

Con la ayuda de una calculadora se encuentra que:

0)22)(1( 22 =+++


{ } { }1 2 3 4, , , cos( ), ( ), cos( ), ( ) x x y y y y x sen x e x e sen x =

8. La ecuacin caracterstica es:065 24 =++

Factorizando, resulta0)3)(2( 22 =++



23/52

139{ } { }1 2 3 4, , , cos( 2 ), ( 2 ),cos( 3 ), ( 3 ) y y y y x sen x x sen x=


0)4(042335

=+=+ El conjunto fundamental de soluciones es:

{ } { }1 2 3 4, , , 1, ,cos(2 ), (2 ) y y y y x x sen x=


0124 =++

Con la ayuda de la calculadora, o factorizando por completacin del trinomio cuadrado perfecto, se tiene que:0)1)(1( 22 =+++


{ } { }/ 2 /2 / 2 / 21 2 3 4, , , cos( 3 /2), ( 3 /2), cos( 3 /2), ( 3 /2) x x x x y y y y e x e sen x e x e sen x =

Hasta el momento se ha desarrollado el mtodo para encontrar un conjunto fundamentalde soluciones de la homognea asociada a la ecuacin diferencial de cualquier orden,quedando pendiente, para la prxima seccin, los diferentes mtodos para determinar lasolucin particular.

EJERCICIOS 2.3

Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para cada una de las siguientesecuaciones diferenciales:

1. 0)()34( 23 =++ x y D D D 2. 0)()44( 234 =+ x y D D D D

3. 0)()122( 23 =+++ x y D D D 4. 0)()8( 4 =+ x y D D 5. 0)()34( 24 =+ x y D D 6. 0)()4( 4 =+ x y D 7. 0)()222( 234 =++ x y D D D D 8. 0)()65( 24 =+ x y D D 9. 0)()8( 25 =+ x y D D 10. 0)()12( 24 =++ x y D D


24/52

1402.4. SOLUCIN PARTICULAR DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL LINEAL

Hemos visto que la forma general de una ecuacin diferencial lineal de coeficientesconstantes es la siguiente:

( )1 21 2 1 0... ( ) ( ) ( )n nn n na D a D a D a D a y x a r x f x+ + + + + = = Haciendo uso del operador, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )n n L D y x a r x f x= =

Para determinar la solucin particular de la ecuacin diferencial desarrollaremosdiferentes mtodos, a saber:

2.4.1 MTODO DE REDUCCIN DE ORDEN.

Tal como su nombre lo indica, el mtodo consiste en reducir el orden de la ecuacindiferencial, as: S 1m es una raz del polinomio )( D Ln , se tiene que:

])[()( 11 m D D L D L nn =

Con base en lo anterior, la ecuacin diferencial queda en la forma:

)()(])[( 11 x f x ym D D Ln =

Se hace el cambio de variable )()(][ 11 xu x ym D = , la ecuacin diferencial resultante esde orden 1n , as:

)()()( 11 x f xu D Ln =

Supongamos que 2m es una raz del polinomio )(1 D Ln . Podemos entonces expresar laecuacin diferencial en la forma:

)()(])[( 122 x f xum D D Ln =

De nuevo hacemos otro cambio de variable, as )()(][ 212 xu xum D = .Procediendo sucesivamente, resulta un sistema de n ecuaciones de primer orden.Particularmente, si la ecuacin diferencial es de segundo orden, el procedimientoesbozado nos conduce a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden.Dada la ecuacin diferencial:

( )2 ( ) ( )aD bD c y x ar x+ + =

Normalizando la ecuacin diferencial, se tiene:

( ) )()(2

xr x yq pD D =++


25/52

141El procedimiento consiste en factorizar el polinomio, as:

)()())(( 12 xr x ym Dm D =

Hacemos el cambio de variable 1( ) ( ) ( ) D m y x u x = , resulta el sistema de ecuacionesde primer orden:

1

2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) D m y x u x

D m u x r x

= =

Primero se resuelve la segunda ecuacin y el resultado se sustituye en la primera.

Ejemplo 2.12.

Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial: x x y D = )()1( 2

Solucin.Por simple inspeccin, la solucin complementaria de la ecuacin diferencial viene dada por:

x xc eC eC y 21 +=

Haciendo uso del procedimiento, se tiene:

x x y D D =+ )()1)(1(

El sistema de ecuaciones asociado a la ecuacin dada es:

( 1) ( ) ( )( 1) ( ) D y x u x

D u x x

=+ =

Para la segunda ecuacin diferencial y con base en lo estudiado en el primer captulo, elfactor integrante viene dado por xe= . En consecuencia, se tiene que:

1( ) x xe u x C xe dx= +

Resolviendo la integral, se encuentra que: 1( ) 1 xu x C e x= +

La primera de las ecuaciones se puede escribir como:

1)()1( 1 += xeC x y D x

Para la nueva ecuacin, el factor integrante es: xe= y, por tanto, se tiene:

++= dx xeC eC x ye x x x ]1[)( 12

Resolviendo la integral indicada, resulta:


26/52

142

2 11( )2

x x y x C e C e x=

Realmente hemos encontrado una solucin general de la ecuacin diferencial. En particular, s las constantes se hacen iguales a cero, obtenemos la solucin particular:

ss y x=

Finalmente, la solucin general es:

1 2( ) x x y x C e C e x= +

En el proceso de determinar la solucin particular, las constantes de integracin se pueden hacer directamente iguales a cero, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.13.

Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial:( ) )(2)(12 x sen x y D =

Solucin.Por simple inspeccin, la solucin complementaria de la ecuacin diferencial viene dada por:

x xc eC eC y 21 +=

En cuanto a la solucin particular, el sistema de ecuaciones asociado al aplicar elmtodo, es el siguiente: ( 1) ( ) ( )

( 1) ( ) 2 ( ) D y x u x

D u x sen x

=+ =

Para la segunda ecuacin diferencial y con base en lo estudiado en el primer captulo, elfactor integrante viene dado por xe= . En consecuencia, se tiene que

1( ) 2 ( ) x xe u x C sen x e dx= +

Resolviendo la integral, se encuentra que:1( ) ( ) cos( ) xu x C e sen x x= +

S hacemos la constante igual a cero, resulta:

( ) ( ) cos( )u x sen x x=

La primera ecuacin queda en la forma:

)cos()()()1( x x sen x y D =

Prescindiendo de la constante, la solucin particular viene dada por:


27/52

143( ( ) cos( )) ( ) x x ss y e e sen x x dx sen x

= = Finalmente, la solucin general viene dada por:

1 28 ) ( ) x x

y x C e C e sen x

= + De hecho, la aplicacin del mtodo requiere de la evaluacin de tantas integrales comosea el orden de la ecuacin diferencial.Como puede verse, el mtodo desarrollado es bastante laborioso y no es muy usado enla prctica. En su defecto usaremos otros mtodos que no impliquen necesariamente eldesarrollo de integrales.

2.4.2. MTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

Consideremos la ecuacin diferencial lineal de orden n y coeficientes constantes:

)()()( x f x y D Ln =

Supongamos que la funcin )( x f presenta un nmero finito de derivadas y que lafuncin y sus derivadas conforman un conjunto de:m funciones linealmenteindependientes; as:

},...,,{ 21 m f f f

En primer lugar supondremos que el conjunto de funciones obtenido a partir de )( x f eslinealmente independiente con el conjunto solucin de la homognea. En tal caso, lasolucin particular es una combinacin lineal del conjunto de funciones generado por

)( x f , esto es, la solucin particular es de la forma:

1 1 2 2 ... ss m m y A f A f A f = + + +

Los coeficientes de la combinacin lineal se determinan sustituyndola idnticamenteen la ecuacin diferencial, as:

( ) ( )n ss L y f x

Es necesario determinar primero un conjunto fundamental de soluciones de lahomognea:

{ }1 2, ,..., nCFS y y y=

Es bueno precisar que el mtodo es aplicable nicamente cuando)( x f presenta laforma general:

)()()cos()( bx sene x x f obxe x x f axmaxm ==

Ejemplo 2.14.

Encuentre la solucin particular de la ecuacin diferencial: x x y D = )()1(2


28/52

144Solucin.Por simple inspeccin, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:

{ }, x xCFS e e=

A partir del trmino independiente: x x f =)( por derivacin, resulta el conjunto defunciones: }1,{ x que, evidentemente, es un conjunto de funciones linealmenteindependiente con la solucin complementaria. En consecuencia, la solucin particular viene dada por:

1 2 ss y A x A= +

Tomando las dos primeras derivadas, se tiene:

02

1

=

=

p

p

y D

A Dy

Sustituyendo en la ecuacin diferencial, resulta:

x A x A + )(0 21

A partir de la identidad es claro que: 01 21 == A A En consecuencia, la solucin particular es:

ss y x=

Observe que el resultado coincide con el obtenido previamente.

Ejemplo 2.15.

Encuentre la solucin particular de la ecuacin diferencial: )()()23( 2 x sen x y D D =++

Solucin.Por simple inspeccin, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:

{ }2, x xCFS e e = A partir del trmino independiente: )()( x sen x f = por derivacin, resulta el conjunto defunciones )}cos(),({ x x sen . En consecuencia, la solucin particular es de la forma:

1 2( ) cos( ) ss y A sen x A x= +

Puesto que el conjunto encontrado es linealmente independiente con la homognea, se procede a sustituir idnticamente en la ecuacin diferencial, as:

)()]cos()()[23( 212 x sen x A x sen A D D +++


29/52

145Resolviendo las derivadas indicadas, resulta:

)())cos(2)(3)cos(())(2)cos(3)(( 21 x sen x x sen x A x sen x x sen A ++++

Simplificando la expresin de arriba, se tiene:

)())cos()(3())cos(3)(( 21 x sen x x sen A x x sen A +++

Se obtiene el sistema de ecuaciones:

0313

21

21

=+=

A A

A A

Resolviendo el sistema, obtenemos la solucin particular:

1 3( ) cos( )10 10 ss

y sen x x=

Lo ms engorroso del procedimiento es el clculo de las constantes, sobre todo cuandola ecuacin diferencial es de orden superior al segundo.

Ejemplo 2.16.

Encuentre la forma adecuada para la solucin particular de la ecuacin diferencial:

xe x x y D D 23 )()( =+


{ }1,cos( ), ( )CFS x sen x=

A partir del trmino independiente: xe x x f 2)( = por derivacin, encontramos elconjunto de funciones },,{ 2 x x x e xee x . En consecuencia, una forma adecuada para lasolucin particular es:

21 2 3

x x ss x y A x e A xe A e= + +

Cuando el conjunto de funciones generado por el trmino independiente es linealmentedependiente con la complementaria es necesario independizarlo, lo que se logramultiplicando cada elemento del conjunto por la menor potencia de la variableindependiente s x , siendo: ,...3,2,1= s

Ejemplo 2.17.

Encuentre la solucin particular de la ecuacin diferencial: xe x x y D D =++ 22 )()23(



30/52

146{ }2, x xCFS e e =

A partir del trmino independiente resulta el conjunto de funciones },,{ 2 x x x e xee x .Como puede verse, el conjunto hallado es linealmente dependiente con la

complementaria y, por tanto, es necesario multiplicar cada elemento por As las cosas, la solucin particular es de la forma:

21 2 3[ ] x x x ss y x A x e A xe A e

= + +

Se omitir el procedimiento para calcular las constantes, pero el estudiante puedeverificar que la solucin particular viene dada por:

3 23 63

x

ss

e y x x x

= +

Ejemplo 2.18.

Encuentre una forma adecuada para la solucin particular de la siguiente ecuacindiferencial:

)2cos(5)2(2)()4( 3 x x sen x y D D +=+


{ }1,cos(2 ), (2 )CFS x sen x=

A partir del trmino independiente, resulta el conjunto: )}2cos(),2({ x x sen Puesto que, existe dependencia lineal, la forma adecuada para la solucin particular es:

1 2[ (2 ) cos(2 )] ss y x A sen x A x= +

No se calculan las constantes ya que nos piden nicamente la forma de la solucin.

Ejemplo 2.19.


46)()4( 323 ++=+ x x x y D D Solucin.Por simple inspeccin, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:

{ }41, , xCFS x e =

A partir del trmino independiente, resulta el conjunto: }1,,,{ 23 x x x

Puesto que, existe dependencia lineal, la forma adecuada para la solucin particular es:


31/52

147][ 4322312 A x A x A x A x y p +++=

No se calculan las constantes ya que nos piden nicamente la forma de la solucin.

Principio de superposicin.

Consideremos la ecuacin diferencial:

)()()()( 21 x f x f x y D Ln +=

S los trminos: 21, f f son de naturaleza diferente, esto es, s ninguna de ellas se puedeobtener por derivacin de la otra, la solucin particular de la ecuacin diferencial vienedada por:

1 2 ss ss ss y y y= +

Donde:

1 ss y : Es la solucin particular de la ecuacin diferencial: )()()( 1 x f x y D Ln = 2 ss y : Es la solucin particular de la ecuacin diferencial: )()()( 2 x f x y D Ln =

Ejemplo 2.20.


xe x x y D D 4323 6)()4( +=+ Solucin.Un conjunto fundamental de soluciones es:

{ }41, , xCFS x e =

A partir del primer trmino independiente, resulta el conjunto }1,,,{ 23 x x x . Puesto que,evidentemente, existe dependencia lineal, la forma adecuada para la solucin particular es:

2 3 21 1 2 3 4[ ] ss y x A x A x A x A= + + +

En cuanto al segundo trmino, tambin por dependencia lineal, resulta:

42 5

x ss y A xe

=

En consecuencia, la solucin particular es:

2 3 2 41 2 3 4 5[ ] x ss y x A x A x A x A A xe

= + + + +


32/52

1482.4.3. MTODO DEL OPERADOR INVERSO.

El mtodo del operador inverso no goza de mucha popularidad en el gremio de losmatemticos puros pero, para los ingenieros, que son los principales destinatarios deesta obra, se constituye en una poderosa herramienta en el anlisis de los sistemas

propios de la ingeniera.Consideremos la ecuacin diferencial lineal de coeficientes constantes:

)()()( x f x y D Ln =

La solucin particular de la ecuacin diferencial la simbolizaremos como:

1 ( )( ) ss n

y f x L D

=

Particularmente, el operador: D

1 operando sobre una funcin )( x f debe interpretarse

como una antiderivada de la funcin, as:

= dx x f x f D )()(1

De manera similar, el operador: )(1 x f D K

debe interpretarse como:

=== dxdx x f

Ddx x f

D x f

D D x f

D K K K K )(1)(1)(11)(1

211

La ecuacin diferencial de primer orden.

Consideremos la ecuacin diferencial:

)()()( x f x ym D =

Al aplicar la tcnica desarrollada en el primer captulo, la solucin general de laecuacin diferencial viene dada por:

+= dx x f eeeC y mxmxmx )(1

Evidentemente el segundo trmino corresponde a la solucin particular, esto es:

1 ( ) ( )mx mx ss y f x e e f x dx D m= =

Podemos, en consecuencia, decir que la interpretacin del operador m D

1 , operando

sobre la funcin: )( x f es la siguiente:


33/52


34/52

150La solucin particular viene dada por:

1 ax ss y e D m

=

Aplicando el mtodo desarrollado, se tiene:

maemama

eedxeedxeee y ax

xmamx xmamxaxmxmx

p =

===

1

)()(

Puede concluirse que:

maema

em D

axax

=

11

Analizando la expresin anterior vemos que operar sobre la funcin exponencialequivale a reemplazar el operador: D por el argumento de la funcin exponencial,siempre y cuando dicho argumento sea diferente dem .Supongamos ahora que ma = , en tal caso, resulta que:

axaxaxaxax xedxeeeea D

==

1

Ahora bien, supongamos que la ecuacin diferencial es de orden: n, as:

axn e x y D L =)()(

La solucin particular se expresa como:

1( )

ax ss

n

y e L D

=

Factorizando el denominador, se tiene:

1 2

1( )( )...( )

ax ss

n

y e D m D m D m

=

Descomponiendo en fracciones parciales, resulta:

1 2

1 2... axn ss

n

A A A y e

D m D m D m

= + + +

Suponiendo que: k ma y con base en el resultado previo, la solucin particular vienedada por:

1 2 ... axn ss A A A

y e

D a D a D a

= + + +


35/52

151Puede concluirse que, dada la ecuacin diferencial axn e x y D L =)()( , la solucin particular viene dada por:

1 ( ) 0( )

ax ss n

n

y e si L a L a

=

Cuando ocurra que 0)( =a Ln , es porque axe es solucin de la homognea asociada y,en tal caso, se tiene:

1

1( ) ( )

ax ss

n

y e D a L D

=

S 0)(1 a Ln , se tiene que la solucin particular es:

1 1

1 1( ) ( ) ( )

ax ax ss

n n

y e xe D a L a L a

= =

Puede demostrarse que no es necesario factorizar el operador para aplicar el mtodo,as:

)()(')()(')()()( 111 D L D La D D L D La D D L nnnnn +==

Con base en lo anterior se sigue que: )(')(1 a La L nn =

Podemos generalizar el procedimiento de la siguiente manera:

Dada la ecuacin diferencialax

n e x y D L=

)()( , la solucin particular viene dada por:

2

1 ( ) 0( )1 ( ) 0 '( ) 0'( )1 '( ) 0 ''( ) 0''( )

ax ss n

n

ax ss n n

n

ax ss n n

n

y e si L a L a

y xe si L a y L a L a

y x e si L a y L a L a

=

= =

= =

Ejemplo 2.23. Determine la solucin particular de las ecuaciones diferenciales:

x

x

e x y D D D

e x y D D D

=+++=+++

)()232(.2)()232(.1

23

223

Solucin. En el primer caso se tiene que: 4)2688()2(3 =++= L y por tanto, la solucin particular viene dada por:

214

x ss y e

=


36/52


37/52

1532

2 2 2 21 1( ) cos( ) ( ) 0( ) ( ) ss nn n

y a sen x b x si L D D D L D L D

= + = =

Ejemplo 2.24.

Encuentre la solucin particular de la ecuacin diferencial: )()()23( 2 x sen x y D D =++

Solucin.Con base en lo planteado, resulta:

221 1( ) ( )

13 2 3 1 ss y sen x sen x

D D D D= =

= + + +

Multiplicando por el conjugado del denominador, resulta:

( )223 1 3 1 1( ) ( ) 3cos( ) ( )

19 1 10 10 ss D D

y sen x sen x x sen x D D

= = =

=

Finalmente, la solucin particular es:

1 3( ) cos( )10 10 ss

y sen x x=

Puede verse que el resultado coincide con el hallado en el ejemplo 2.15.

Puede ocurrir que 0)(2

= D Ln . En tal caso, se aplica lo mismo que para la funcinexponencial.

Ejemplo 2.25.

Encuentre la solucin particular de la ecuacin diferencial:

)2cos(5)2(2)()4( 3 x x sen x y D D +=+

Solucin.

Es claro que 40)(22

3 == D si D L , por tanto, la solucin particular se puedeescribir como:

221 [2 (2 ) 5 cos(2 )]

43 4 ss y xsen x x x

D D= +

= +

En consecuencia, la solucin particular viene dada por:

1[2 (2 ) 5 cos(2 )]8 ss

y xsen x x x= +

S el estudiante calcula los coeficientes indeterminados del ejemplo 2.17, encontrarque los resultados son coincidentes.


38/52

154Trminos independientes polinmicos.

Consideremos la ecuacin diferencial: ,...2,1,0)()( == m x x y D L mn La solucin particular se expresa de la siguiente manera:

2 10 1 2 1

1 1( ) ...

m m ss n n

n n n

y x x L D a a D a D a D a D

= =+ + + + +

La expresin anterior se puede escribir en la forma:

2 11 2 1

0 0

....1 1 ; ( )1 ( )

n nm n n

ss

a D a D a D a D y x D

a D a

+ + + += =

+

La serie asociada Al trmino:)(1

1 D+

viene dada por:

.....)()()(1)(1

1 32 ++=+ D D D D

En consecuencia, la solucin particular es:

2 3

0

1 1 ( ) ( ) ( ) .... m ss y D D D xa = + +

Lo desarrollado indica que la operacin de integracin se convierte en derivacin. Lossiguientes ejemplos nos permitirn visualizar la importancia del mtodo. Posiblementeaparezcan trminos en la solucin particular que son linealmente dependientes con lasolucin complementaria y que se pueden omitir en la solucin particular.

Ejemplo 2.26.

Encuentre la solucin particular de la ecuacin diferencial: 323 )()4( x x y D D =+

Solucin.Usando el mtodo del operador inverso, se tiene que:

3 33 2 21 1 14 4 ss

y x x D D D D

= = + +

Se calcula la doble integral de3 x y resulta que:

5 2 3 4 55 51 1 1 1 1

4 20 80 1 / 4 80 4 16 64 256 1024 ss x D D D D D

y x x D D

= = = + + + +

Resolviendo las operaciones, resulta:


39/52

1554 3 2

51 5 20 60 120 12080 4 16 64 256 1024 ss

x x x x y x

= + +

Puesto que la ecuacin caracterstica de la ecuacin diferencial dada es 04 23 =+ , un

conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:

{ }41, , xCFS x e =

En consecuencia, hay dos trminos de la solucin particular hallada que se puedensumar con la complementaria y, por tanto, la solucin particular viene dada por:

5 4 3 21 1 1 380 64 64 256 ss

y x x x x= +

Otra manera de hallar la solucin particular es la siguiente:2 3

3 3 32 2 2

1 1 1 1 1 1 14 4 1 / 4 4 4 16 64 ss

D D D y x x x

D D D D D

= = = + + +

Desarrollando las derivadas, resulta:

23

21 3 6 6

4 4 16 64 ss x x

y x D

= +

Efectuando la doble integral, se tiene:

5 4 3 25 4 3 21 3 1 1 1 3

4 20 64 16 64 80 256 64 256 ss x x x x

y x x x x

= + = +

Como puede verse, los resultados coinciden. Se deja al estudiante que encuentre lasolucin particular por coeficientes indeterminados (Ejemplo 2.20) y comparar.

El operador inverso como tcnica de integracin.

Primero que todo demostremos la siguiente propiedad. Dada la ecuacin diferencial:

)()( x f e x Dy ax=

La solucin particular viene dada por:

1 1( ) ( )ax ax ss y e f x e f x D D a= =

+

En efecto, usando los conceptos previos, tenemos que:


40/52

156

=+ dx x f ee x f a Daxax )()(1

De lo anterior se sigue que:

)(1

)( x f a Dedx x f eaxax

+= Se concluye que:

)(1)(1 x f a D

e x f e D

axax

+=

El resultado puede generalizarse de la siguiente manera:

Dada la ecuacin diferencial )()()( x f e x y D L axn = , la solucin particular viene dada por:

1 1( ) ( )( ) ( )

ax ax ss

n n

y e f x e f x L D L D a

= =+

Ejemplo 2.27.

Evale la integral indefinida: dx xe ax 2

Solucin.Usando la propiedad, se tiene:

22

2222 1

/1111

xa

Da

Da

e x

a Dae

xa D

e xe D

axaxaxax

+=

+=

+=

Resolviendo las derivadas, resulta:

+= 222 22 aa

x x

ae

dx xeax

ax

Ejemplo 2.28.

Evale la integral indefinida: dxbxe ax )cos(Solucin.Aplicando la propiedad, resulta:

2222 )cos()cos(1)cos(1

b Dbx

a Da D

ebxa D

ebxe D

axaxax

==

+=

Resolviendo las operaciones, resulta:


41/52

157

[ ])cos()()cos()cos(1 2222 bxabxbsenbae

bab

a Debxe

D

axaxax

+=

=

En consecuencia, la integral pedida es:

[ ])()cos()cos( 22 bxbsenbxabae

dxbxeax

ax ++

=

Ejemplo 2.29.

Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial: x xe x y D D =++ )()23( 2

Solucin.Primero que todo escribimos la ecuacin caracterstica 0232 =++ . Con base en loanterior, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:

{ }2, x xCFS e e =

S se usase el mtodo de los coeficientes indeterminados, la solucin particular debetener la forma:

( )1 2 x x ss y A xe A e x = +

Usando el mtodo del operador inverso, tenemos:

2 2 21 1 13 2 ( 1) 3( 1) 2 x x x

ss y e x e x e x D D D D D D = = =

+ + + + +

Desarrollando las operaciones, se tiene:

21 1 1(1 ) ( 1)( 1) 2

x x x x ss

x y e x e D x e x e x

D D D D = = = =

+

2.4.4. MTODO DE VARIACIN DE PARMETROS.

Los mtodos de coeficientes indeterminados y operador inverso son aplicables aecuaciones diferenciales de coeficientes constantes siempre que el trminoindependiente tenga un nmero finito de derivadas distintas, esto es, para ecuacionesdiferenciales de la forma:

=)()cos()()(

bx sen Ee

bx Ee x y D L

ax

ax

n

El mtodo que desarrollaremos a continuacin puede aplicarse a cualquier tipo detrminos independientes.Para aplicar el mtodo se requiere conocer un conjunto fundamental de soluciones de laecuacin diferencial homognea },....,,{ 21 n y y y . Lo anterior nos permite encontrar la


42/52

158solucin particular para ecuaciones diferenciales tanto de coeficientes constante comovariables.Para facilitar la comprensin del mtodo partiremos de una ecuacin diferencial desegundo orden, as:

)()(')('' xr y xq y x p y =++

Sea: },{ 21 y y un conjunto fundamental de soluciones de la homognea asociada. Se tratade determinar dos funciones: 21,uu de tal manera que una solucin particular de la nohomognea es:

1 1 2 2 ss y y u y u= +

Tomando la primera derivada, se tiene:

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ss ss y y u y u y u y u y y u y u y u y u= + + + = + + +

Tomando la segunda derivada, se obtiene:

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2'' ' ' '' ' ' '' '' ' ' '' ' ' ss y y u y u y u y u y u y u y u y u= + + + + + + +

Sustituyendo idnticamente en la ecuacin diferencial, resulta:

)(])[(]'''')[(''''''''''''''''

221122112211

2222111122221111

xr u yu y xqu yu yu yu y x p

u yu yu yu yu yu yu yu y+++++

++++++++

Reorganizando los trminos de la expresin anterior, se tiene:

[ ] [ ]( ) [ ] )('''''')(''''2

)(')('')(')(''221122112211

22221111

xr u yu yu yu y x pu yu y

u y xq y x p yu y xq y x p y+++++

++++++

Puesto que 21, y y son soluciones de la homognea, los dos primeros trminos de laidentidad anterior son nulos, con lo que resulta:

( ) [ ] *)('''''')(''''2 221122112211 xr u yu yu yu y x pu yu y +++++

De la identidad anterior, el coeficiente de )( x p debe ser diferente de cero, con lo queresulta la ecuacin: 0'' 2211 =+ u yu y Derivando la ecuacin anterior se obtiene: 0'''''''' 22112211 =+++ u yu yu yu y Reemplazando las dos ltimas ecuaciones en *, se obtiene: )('''' 2211 xr u yu y =+ En consecuencia, las funciones a determinar deben cumplir el siguiente sistema deecuaciones:

=)(

0''

'' 21

21

21

xr u

u

y y

y y

Al resolver el sistema, resulta:


43/52

159

)()('

0

')(

')(0

' 11

22

2

1 xW

xr y

y

u xW

y xr

y

u ==

Las funciones se determinan por integracin y teniendo en cuenta que las constantes deintegracin se hacen iguales a cero.El mtodo se puede generalizar para cualquier ecuacin diferencial lineal de la forma:

)()()(.....)()( 122

21

1

1 xr y x p ydxd

x p ydxd

x p ydxd

x p ydxd

nnn

n

n

n

n

n

=+++++

S: },...,,{ 21 n y y y es un conjunto fundamental de soluciones de la homognea, entoncesla solucin particular es de la forma:

1 1 2 2 ... ss n n y y u y u y u= + + +

Las funciones se determinan resolviendo el sistema:

=

)(..00

'..''

.....

.

...

.

.......

2

1

12

11

1

21

21

xr u

u

u

y D y D y D

Dy Dy Dy

y y y

nnnnn

n

n

Obsrvese que la ecuacin diferencial debe estar normalizada, es decir, el coeficiente dela mxima derivada debe ser igual a la unidad. Los siguientes ejemplos nos permitirnilustrar el mtodo.

Ejemplo 2.30.

Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial:

x xe x y D D =++ )()23( 2 Solucin.

Con base en el ejemplo anterior, un conjunto fundamental de soluciones de homogneaes es:{ }2, x xCFS e e =

Aplicando el mtodo, la solucin particular debe ser de la forma:

21 2

x x ss y e u e u

= +

Se debe resolver el sistema:

=

x x x

x x

xeu

u

ee

ee 0''

2 21

2

2


44/52


45/52

161Solucin.La solucin complementaria es )()cos( 321 x senC xC C yc ++= . La solucin particular esde la forma:

1 2 31 cos( ) ( ) ss y u x u sen x u= + +

Se debe resolver el sistema:

=

)tan(

00

'''

)()cos(0)cos()(0)()cos(1

3

2

1

xu

u

u

x sen x

x x sen

x sen x

La solucin del sistema es:)cos()(')(')tan('

2

321 x x sen

u x senu xu ===

Integrando, se tiene:

)]tan()ln[sec()()cos()]ln[cos(21

321 x x x senu xu xu +===

En consecuencia, la solucin particular viene dada por:

( )21 ln[cos( )] cos ( ) ( ) ( ) ln[sec( ) tan( )]2 ss y x x sen x sen x x x= + + +

Puesto que: 1)(cos)( 22 =+ x x sen es linealmente dependiente con la complementaria, lasolucin particular es:

1 ln[cos( )] ( ) ln[sec( ) tan( )]2 ss

y x sen x x x= +

Evidentemente, la aplicacin del mtodo requiere la evaluacin de integrales que pueden ser complicadas de evaluar simblicamente. De todas formas, el mtodo se justificar fundamentalmente para hallar la solucin particular de ecuacionesdiferenciales de coeficientes variables o de coeficientes constantes dependiendo deltrmino independiente.

EJERCICIOS 2.4.Usando el mtodo de los coeficientes indeterminados, escriba la forma adecuada para lasolucin particular de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

x

x

xe x xsen x x y D D D x x x y D D D

x senh x x y D D D

resta y sumacomo productoel Exprese Ayuda x sen x sen x y D D

x x x y D

xe x x y D D

++=+++ =+++

+=++=++

=++=+

)()()1(.6)cosh()()122(.5

)()()23(.4:)2()()()12(.3

)(cos)()4(.2)()3(.1

223

23

223

24

22

3223


46/52

162

)()()464(.8

)2cos()()()45(.723

224

x sen xe x y D D D

x x x xsen x y D D x=++++=++

2 /2

4 3 2

9. (4 4 1) ( )10. ( 2 5 8 4) ( ) (2 )

x

x

D D y x xe

D D D D y x xe xsen x

+ + =

+ + + + = +

Usando el mtodo del operador inverso, encuentre la solucin particular para cada unade las siguientes ecuaciones diferenciales.

)2()()4852(.20)()144(.19

)()()464(.18)()()45(.17

)()()1(.16)()122(.15

)()23(.14)()()12(.13

)(cos)()4(.12)()3(.11

234

2/2

23

24

223

23

223

24

22

3223

x sen xe x y D D D D

xe x y D D

x sene x y D D D

x sene x y D D

x sen x x y D D D

xe x y D D D

e x x y D D D

x sen x y D D

x x y D

xe x x y D D

x

x

x

x

x

x

x

+=+++=++

=+++=++

+=+++=+++

+=++=++

=++=+

Usando el mtodo de variacin de parmetros, encuentre la solucin particular paracada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

2

2

2 2

2 1

3

21. ( 1) ( ) csc( )22. ( 2 1) ( ) sec( )23. ( 4 4) ( ) ln( )24. ( ) ( )25. ( 4 ) ( ) cot(2 )

x

x

x

D y x x

D D y x e x

D D y x e x

D D y x e x

D D y x x

+ =

+ + =

+ + =

+ =

+ =

2.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

Un sistema de ecuaciones diferenciales es aquel que relaciona n variables dependientescon una variable independiente. Para efectos de nuestro estudio, la variableindependiente es:t y las variables dependientes las denotaremos por )(),...,(),( 21 t xt xt x n En general, un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden presenta la formageneral:

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

'( ) ( , , ,..., )'( ) ( , , ,..., )

.

.

'( ) ( , , ,..., )

n

n

n n n

t f t x x x

t f t x x x

t f t x x x

=

=

=


47/52

163Se considerarn nicamente sistemas lineales de coeficientes constantes, es decir,sistemas que se pueden expresar de la siguiente manera:

)(....

.

.

)(....

)(....

2211

222221212

112121111

t r xa xa xa xdt d

t r xa xa xa xdt d

t r xa xa xa xdt d

nnnnnnn

nn

nn

++++=

++++=

++++=

El sistema se puede escribir en forma matricial, as:

==

)(..

)()(

.

.

.....

.

...

.

.......

.

.2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

t r

t r t r

x

x x

aaa

aaaaaa

x

x x

dt d

nnnnnn

n

n

n

Equivalentemente, el sistema se puede expresar en la forma:

)()()( t t t dt d rAxx +=

En la ecuacin anterior se tiene que: )(t x es el vector solucin,Aes la matriz delsistema y )(t r es el vector de trminos independientes.La ecuacin diferencial vectorial se puede resolver de diversas formas segn veremos acontinuacin.

Solucin de la ecuacin matricial.

Se proceder por analoga con la ecuacin diferencial lineal de primer orden, de acuerdocon el siguiente razonamiento.

Dada la ecuacin diferencial escalar de primer orden )()()( t r t axt xdt d += , la cual se

puede escribir como )()()( t r t axt xdt d = , el factor integrante es: at e= y la solucin

general viene dada por: += dt t r eeC et x at at at )()(

La constante de integracin se determina con la condicin inicial)0( x , con lo que seobtiene:

+=t aat at

d r ee xet x 0 )()0()(


48/52

164Para el caso matricial, dado el vector de condiciones iniciales )0(x , la solucin del problema de valor inicial es:

+= t t t d eeet 0 )()0()( rxx AAA

La matriz: t eA = recibe el nombre de matriz de transicin de estados y cobrarsignificado en el prximo captulo. El clculo de la mencionada matriz se hace por series de potencias, as:

....!2

22

+++= t t e t AAIA

En la expresin anterior:I es la matriz identidad.

Por otro lado: t e A es la inversa de la matriz de transicin de estados. En sta seccinno aplicaremos el mtodo ya que requiere de algunos conceptos y herramientas que

estn por fuera del alcance de este texto. Solucin mediante la regla de Cramer.

Haciendo uso del operador D , el sistema se puede escribir en la forma:

)()(...)()(..

)()(...)()()()(...)()(

2211

22222121

11212111

t r x D L x D L x D L



nnnnnn

nn

nn

=+++

=+++=+++

En forma matricial, resulta:

=

)(

.

.)()(

.

.

)(...)()(

.

...

.

...

)(...)()()(...)()(

2

1

2

1

21

22221

11211

t r

t r

t r

x

x

x

D L D L D L

D L D L D L

D L D L D L

nnnnnn

n

n

El determinante del sistema es:

=

)(...)()(..

.

...

.

.)(...)()()(...)()(

det)(

21

22221

11211

D L D L D L

D L D L D L

D L D L D L

D L

nnnn

n

n

n

Aplicando la regla de Cramer, a cada variable se le asocia una ecuacin diferencial deorden n. Para la primera variable la ecuacin diferencial es:


49/52

165)()()( 11 t f t x D Ln =

El trmino independiente es el determinante de la matriz obtenida al reemplazar la primera columna de la matriz del sistema por el vector )(t r , as:

)(...)(..

.

...

.

.)(...)()()(...)()(

)(

)(2

2222

1121

1

D L Lt r

D L D Lt r

D L D Lt r

t f

nn Dnn

n

n

=

Particularmente, para un sistema de segundo orden, se tiene:

)()()( )()()( 22221211212111

t r x D L x D Lt r x D L x D L

=+ =+


)()()()()()()()(

)( 211222112221

12112 D L D L D L D L D L D L

D L D L D L ==

Las ecuaciones diferenciales asociadas a las variables son:

)()()()()()()()()()( 212122

222

12112 t r D Lt r D L D Lt r

D Lt r t x D L ==

)()()()()()()()(

)()( 121211221

11122 t r D Lt r D Lt r D L

t r D Lt x D L ==

Ambas ecuaciones tienen el mismo conjunto fundamental de soluciones de lahomognea pero diferente solucin particular. Los siguientes ejemplos nos permitirnentender mejor el mtodo de solucin descrito.

Ejemplo 2.33.

Encuentre la solucin general del sistema de ecuaciones:

0)()1()()()()1(

=++=+

t y Dt x

et yt x D t


2211

11)( 22 ++=++= D D

D D D L


50/52

166La ecuacin diferencial correspondiente a la primera variable es:

0)1(10

1)()22( 2 =+=+

=++

t t

e D D

et x D D

La ecuacin diferencial correspondiente a la primera variable es:

t t t

ee De D

t x D D

=+=+=++ 0)1(01

1)()22( 2

La solucin particular, usando el mtodo del operador inverso, para la segunda ecuacindiferencial es:

( )21

12 2t t

ss y e e D D D = =

= + +

La ecuacin caracterstica del sistema es: 0222 =++ y sus races son 11 j . Enconsecuencia, un conjunto fundamental de soluciones es )}(),cos({ t senet e t t .As las cosas, la solucin general del sistema es:

t t t

t t

et seneC t eC t y

t seneC t eC t x

+=+=

)()cos()()()cos()(

43

21

Las constantes de integracin se determinan a partir de las condiciones iniciales

originales: )0(),0( y x y las que se obtienen del sistema original: )0('),0(' y x Ejemplo 2.34.

Resuelva el problema de valor inicial correspondiente al sistema del ejemplo anterior,con las condiciones iniciales: 0)0(0)0( == y x

Solucin.El sistema dado se puede escribir en la forma:

0)()(')()()()('

=++=+

t yt yt x

et yt xt x t

Evaluando en 0=t , resultan las otras dos condiciones iniciales 0)0('1)0(' == y x .Para la primera variable, el problema de valor inicial asociado es:

1)0(',0)0(0)()22( 2 ===++ x xt x D D

A partir de la solucin general, tenemos:

)()()cos()()(')()cos()(

2121

21

t seneC C t eC C t xt seneC t eC t x

t t

t t

++=+=


51/52

167Evaluando las condiciones iniciales, resulta:

10 211 =+= C C C

Por tanto la solucin para la primera variable es: )()( t senet x t =

En cuanto a la otra variable, se puede sustituir el resultado hallado en cualquiera de lasecuaciones originales o resolver el problema de valor inicial asociado a la variable. S sesustituye el valor hallado en la primera ecuacin, se tiene:

t t t t t t t et eet senet et seneet xt xt y =++=+= )cos()()cos()()()(')(

En el prximo captulo se profundizar en la solucin de problemas de valor inicialaplicados al anlisis de sistemas de ingeniera.

EJERCICIOS 2.5.Encuentre la solucin general para cada uno de los siguientes sistemas.

=+=+

=++=+

=++=+

t

t

et Dyt x

t yt x D

et y Dt x

t yt x D

t t y Dt x

t sent yt x D

10)()(10)()()2(

.3

)()1()(10)()()1(

.2

)cos()()1()()()()()1(

.1

=++=++

=++

=++=++=++

t

t

et Dz t y D

t z t Dyt xt Dyt x D

et Dz t x D

t z t y D

t Dyt x D

2)()()1(10)(4)(4)(3

0)()()1(.5

)()()1(10)()()1(

0)()()1(.4


52/52

168MISCELNEA DE EJERCICIOS CAPTULO 2

Resuelva los siguientes problemas de valor inicial:

0)0('0)0(30)()102(.50)0('0)0(30)()44(.4

0)0('0)0(30)()44(.30)0('0)0(30)()34(.2

0)0('0)0(30)()34(.1

2

22

2

2

2

===++===++

===++===++

===++

y yt y D D

y yet y D D

y yt y D D

y yet y D D

y yt y D D

t

t

6. Considere la ecuacin diferencial: 2'2'' x xy y xy =++ a. Muestre que la solucin complementaria es: )()cos( 1211 x sen xC x xC yc

+= b. Determine la solucin particular

c. Resuelva el problema de valor inicial, con: (1) 0 '(1) 1 y y= =

7. Considere la ecuacin diferencial: )ln(2'2'' 22 x x y xy y x = a. Determine los valores de para que x sea solucin de la homognea b. Escriba la solucin complementariac. determine la solucin particular d. Resuelva el problema de valor inicial con: 1)1('1)1( == y y

Resuelva los problemas de valor inicial:

===+

=+==

=++=+

===++ =+

0)0(0)0(10)()(

10)()()2(.10

0)0(0)0()()1()(

10)()()1(.9

0)0(0)0()cos()()1()( )()()()1(.8

y x

et Dyt xt yt x D

y x

et y Dt xt yt x D

y x

t t y Dt xt sent yt x D

t

t

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Curso+Completo Capitulo+II