Dalil Limit

LIMIT DAN DIFERENSIAL

Dalil-dalil limit : Dalil 1

Lim K = KX N

Contoh :Lim 9 = 9X 3

Dalil 2Lim K (X) = K Lim (X)X N X N

Contoh :Lim 5X2 = 5 Lim X2 = 5 (3)2 = 45X 3 X 3

Dalil 3Lim [(X) ± g(X)] = Lim (X) ± Lim g(X)X N X N X N

Contoh :Lim (X3 – 4X2 + 5X)X 4= Lim X3 – Lim 4X2 + Lim 5X = 64 – 64 + 20 = 20 X 4 X 4 X 4

Dalil 4Lim [(X) . g(X)] = Lim (X) . Lim g(X)X N X N X N

Contoh :Lim (X + 3) (X – 2)X 3= [Lim (X + 3)] [Lim (X – 2)] = (6) (1) = 6 X 3 X 3

Dalil 51 | N o v i – M a t e m a t i k a E k o n o m i

Lim (X)(X) X N

Lim =X N g(X) Lim g(X)

X N

Contoh :Lim (X2 + 5)

(X2 + 5) X 5 30Lim = = = 10X 5 (X – 2) Lim (X – 2) 3

X 5

Dalil 6Lim [(X)]n = Lim [(X)] n

X N X N

Contoh :Lim (X – 3)2 = Lim (X – 3) 2 = (2)2 = 4X 5 X 5

Perhitungan diferensial : Pada perhitungan diferensial, yang dicari adalah tingkat perubahan dari suatu fungsi. Jika variabel X

berubah dari nilai X ke nilai yang baru (X + X), maka tentunya variabel Y akan berubah dari (X) menjadi (X + X).

Karena tingkat perubahan rata-rata dari suatu fungsi (X) adalah perbandingan antara variabel Y dengan variabel X, maka hasilnya adalah :Y (X + X) - (X)

= X X Persamaan ini disebut sebagai hasil bagi perbedaan (difference quotient)

Contoh :Diketahui : Y = (X) = 2X2 + 3, carilah hasil bagi perbedaannya !

Jawab :(X) = 2(X)2 + 32 | N o v i – M a t e m a t i k a E k o n o m i

(X + X) = 2 (X + X)2 + 3

Y (X + X) – (X)=

X X

2 (X + X)2 + 3 – (2X2 + 3)=

X

2 [X2 + 2X (X) + X2] + 3 – 2X2 – 3 =

X

2x2 + 4X X + 2 X2 + 3 – 2X2 – 3=

X

= 4X + 2 X

Derivatif atau turunan pertama : Hasil bagi perbedaan antara Y/X dari suatu fungsi (X) adalah untuk mengukur tingkat perubahan

rata-rata dari nilai Y ketika nilai variabel X berubah dari suatu titik ke titik lain yang cukup besar nilainya.

Bila ingin mengukur tingkat perubahan dari nilai Y ketika perubahan nilai variabel X sangat kecil, akan menghasilkan tingkat perubahan seketika dari suatu fungsi pada titik tersebut. Ini disebut sebagai derivatif atau turunan pertama

Derivatif dari suatu fungsi Y = (X) dinyatakan sebagai :dY Y (X + X) - (X)

= lim = limdX X 0 X X 0 X

Proses pencarian derivatif dari suatu fungsi dinamakan diferensiasidY d (X)

= ’(X) =dX dX

Contoh :Jika diketahui Y = (X) = 2x2 + 3, carilah dY/dX !

3 | N o v i – M a t e m a t i k a E k o n o m i

Misal X = 2 dan X = 3, maka perubahan rata-rata Y akan menjadi 4 (2) + 2 (3) = 14. Berarti bahwa tingkat perubahan rata-rata bila X berubah

dari 2 ke 5, maka perubahan Y adalah 14 unit.

Jawab :Langkah I : cari hasil dari perbedaan

(jawaban diferensial)Langkah II : cari limit dari hasil bagi perubahan ketika X 0

dY Y= ’(X) = lim

dX X X 0= lim 4X + 2X = 4X X 0

Derivatif kedua dan tingkat yang lebih tinggi : Derivatif kedua dilambangkan

”(X) = Y” = D2Y = d2Y/dx2

Contoh :Y = 4X5 – 3x3 – 2, makaY’ = 20X4 – 9X2 : turunan pertamaY” = 80X3 – 18X : turunan keduaY”’ = 240X2 – 18 : turunan ketigaY”” = 480X : turunan keempatY””’ = 480 : turunan kelima

Aturan-aturan diferensiasi : Aturan 1

Jika Y = (X) = K, dimana K adalah konstanta, maka ’(X) = 0

Contoh :Jika Y = (X) = 13, maka ’(X) = 0

Aturan 2Jika Y = (X) = Xn, maka ’(X) = nXn-1

Contoh :Jika Y = (X) = X4, maka ’(X) = 4X3

Aturan 3Jika Y = (X) = K . Xn, maka ’(X) = n K Xn-1

Contoh :4 | N o v i – M a t e m a t i k a E k o n o m i

Jika Y = (X) = 2X4, maka ’(X) = 8X3

Aturan 4Jika Y = (X) + g(X), maka dY/dX = ’(X) + g’(X)

Contoh :Jika Y = X3 + 5X, maka dY/dX = 3X2 + 5Aturan ini dapat diterapkan pada pengurangan

Aturan 5Jika Y = U. V, dimana U = (X) dan V = g(X), maka dY/dX = UV2 + VU

Contoh :Jika Y = (X2 + 4) (X + 3), maka dY/dX = (X2 + 4) (1) + (X + 3) (2X)

= X2 + 4 + 2X2 + 6X= 3X2 + 6X + 4

Aturan 6 U

Jika Y = dimana U = (X) dan V = g(X) V

dY U’V – UV’Maka =

dX V2

Contoh : (X2 + 4)

Jika Y = (X + 3)

dY [(2X) (X + 3)] – [(X2 + 4) (1)]Maka =

dX (X + 3)2


(2X2 + 6X – X2 – 4)= X2 + 6X + 9

X2 + 6X – 4= X2 + 6X + 9

Aturan 7Jika Y = (U) dan U = g(X)

dY dY dUMaka = x

dX dU dX

Contoh :Jika Y = 4U2, dimana U = 2X + 4Maka dY/dX = (8U) (2) = 16U = 16 (2X + 4) = 32X + 64

Aturan 8Jika Y = [(X)n], maka dY/dX = n [(X)]n-1 ’(X)

Contoh :Y = (3X2 + 5X + 6)4

Maka, dY/dX = 4 (3X2 + 5X + 6)3 (6X + 5)

Aturan 9Jika Y = (X) dan X = g(Y), fungsi kebalikannya yang dapat didiferensiasikan

dX 1 1Maka = =

dY dY/dX ’(X)

Contoh :Y = 3X + 9Maka, dY/dX = 3, sehingga dY/dX = 1/3

Kamis, 08 Desember 2011

PENERAPAN DIFERENSIAL

Contoh optimisasi (uji derivatif pertama dan derivatif kedua) :Tentukan nilai kritis y = (x) = x2 – 10x + 266 | N o v i – M a t e m a t i k a E k o n o m i

Jawab :’(x) = 2x – 10 = 0

2x = 10 x = 5

(5) = 52 – 10 (5) + 26= 25 – 50 + 26= 1 jadi titik (5 ; 1)

Untuk x < 5, misalnya 4 ’(4) = 2 (4) – 10= -2 (negatif) maksimum

Untuk x > 5, misalnya 6 ’(6) = 2 (6) – 10= 2 (positif) minimum

Jadi, karena perubahan ’(x) dari negatif ke positif, maka berarti titik (5 ; 1) merupakan titik minimum paling relatif.

Contoh elastisitas :Diketahui fungsi permintaan suatu barang q = 48 – 3p2 pada harga p = 3 dan q = 21. Jika harga turun 4%, tentukan kenaikan relatif daripada jumlah barang yang diminta dan tentukan elastisitas busurnya. Tentukan pula elastisitas titik dari fungsi permintaan pada titik tersebut !

Jawab :p turun 4% p1 = 3 – 3 (0,04)

= 2,88q yang baru q1 = 48 – 3 (2,88)2

= 23,13

q = 23,13 – 21= 2,13

Kenaikan relatif permintaan :q/q = 2,13 / 21

= 0,101= 10,1%

Elastisitas busur : q / q 10,1%


Tergantung p berapa

e = = = 2,52 p / p -4%

Elastisitas titik : q / q q p p 3

e = = x = -6p x = -6 (3) x = -2,57 p / p p q q 21

Contoh TC, AC, MC :Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu perusahaan adalah TC = 0,2Q2 + 500Q + 8.000. Carilah :a) Fungsi biaya rata-rata (AC)b) Berapa jumlah produk yang dihasilkan agar biaya rata-rata (AC) minimumc) Berapa nilai biaya rata-rata (AC) minimum tersebut

Jawab :a) AC = TC / Q

= 0,2Q + 500 + 8.000/Qb) ACmin = AC / Q = 0

0,2 – 8.000Q-2 = 0 0,2 = 8.000/Q2

Q2 = 8.000/0,2 Q = 4.000 Q = 200

c) ACmin = 0,2 (200) + 500 + 8.000/200= 40 + 500 + 40= 580

Contoh TR, AR, MR :Jika diketahui fungsi permintaan seorang monopolis adalah P = 18 – 3Q, buatlah fungsi TR, MR, dan hitung TR maksimum !

Jawab :TR = P . Q

= (18 – 3Q) Q= 18Q – 3Q2

MR = TR / Q= 18 – 6Q


TR maksimal MR = 018 – 6Q = 06Q = 18Q = 3

Substitusikan nilai Q = 3 ke dalam persamaan TR, sehingga diperoleh :TR maks = 18(3) – 3(3)2

= 54 – 27= 27

Contoh laba :Jika diketahui fungsi suatu perusahaan P = 557 – 0,2Q dan fungsi biaya total adalahTC = 0,05Q3 – 0,2Q2 + 17Q + 7.000, maka :a) Berapa jumlah output yang harus dijual supaya produsen memperoleh laba yang maksimumb) Berapa laba maksimum tersebutc) Berapa harga jual per unit produkd) Berapa biaya total yang harus dikeluarkan perusahaane) Berapa permintaan total yang diperoleh perusahaan

Jawab :a) Output agar laba maksimum

TR = P . Q= (557 – 0,2Q) Q= 557Q – 0,2Q2

= TR – TC= (557Q – 0,2Q2) – (0,05Q3 – 0,2Q2 + 17Q + 7.000)= -0,05Q3 + 540Q – 7.000

maks / Q = 0

-0,15Q2 + 540 = 00,15Q2 = 540Q2 = 3.600Q = 3.600Q = 60

Jika Q = 60, maka 2 / Q2 = -0,3Q turunan dari -0,15Q2


= -0,3 (60)= -18 < 0

Jadi, output yang memaksimumkan laba adalah Q = 60

b) Laba maksimumSubstitusikan Q = 60 ke fungsi laba = -0,05Q3 + 540Q – 7.000

= -0,05 (60)3 + 540 (60) – 7.000= -10.800 + 31.400 – 7.000= 14.600

c) Harga per unitP = 557 – 0,2Q

= 557 – 0,2 (60)= 545

d) Biaya total (TC)TC = 0,05Q3 + 0,2Q2 + 17Q + 7.000

= 0,05 (60)3 – 0,2 (60)2 + 17 (60) + 7.000= 10.800 – 720 + 1.020 + 7.000= 18.100

e) Penerimaan total (TR)TR = 557Q – 0,2Q2

= 557 (60) – 0,2 (60)2

= 33.420 – 720= 32.700


Documents

Dalil Limit