УНИВЕРЗИТЕТ “Св. КИРИЛ И МЕТОДИЈ” - СКОПЈЕ

ФАКУЛТЕТ ЗА ЕЛЕКТРОТЕХНИКА И ИНФОРМАЦИСКИ ТЕХНОЛОГИИ

Д-р Весна Арнаутовски-Тошева

ОДБРАНИ РЕШЕНИ ЗАДАЧИ ОД

ОСНОВИ НА ЕЛЕКТРОТЕХНИКА 1

Електрични кола во режим на еднонасочни напони и струи

Скопје, 2012

2

Омов закон, Кирхофови закони, Дефиниција на моќност

Омов закон и договор за пресметка на напонот на приклучоците на отпорник R Напонот меѓу приклучоците 1 и 2 на отпорникот R низ кој тече струја I со усвоена референтна насока е определен со изразот UR = RI = V1–V2 со поларитет така што приклучокот 1 во кој влегува струјата е на повисок потенцијал V1>V2.

I Кирхофов закон 0jazol

I = (1)

Претпоставуваме референти насоки на струите во гранките кои се поврзани во јазолот. Доколку струјата излегува од јазолот предзнакот во релацијата (1) е позитивен, во спротивно е негативен. За коло со Nj -јазли се пишуваат 1jn N′ = − независни равенки според I Кирхофов закон.

II Кирхофов закон 0kontura

U = (2)

Претпоставуваме референтни насоки на струите низ елементите во контурата. Усвојуваме насока на обиколување околу контурата. Доколку насоката на обиколување се поклопува со насоката на ЕМС Е и со напонот на отпорникот UR од понизок кон повисок потенцијал (од – кон + приклучок) во релацијата (2) предзнакот е позитивен, во спротивно е негативен.

За коло со Nj -јазли и Nг -гранки се пишуваат ( )1g jn N N′′ = − − независни равенки според II

Кирхофов закон за исто толку независни контури.

1. Да се определи поларитетот и вредноста на непознатата ЕМС E3. (R1=5Ω, R2=20Ω; E1=10V; E2=50V; I=400mA). Претпоставуваме насока на Е3 како на сликата. Избираме референтна насока на струјата I. Избираме насока на обиколување по контурата. Според претходно дефинираните правила следува:

1 3 1 2 2

3 1 1 2 2

0

50

E E R I R I E

E E R I R I E V

− − + + + == − + + + =

2. За колото прикажано на сликата познато е дека кога меѓу точките А и B е приклучен отпорник R1=1Ω јачината на струјата низ него во дадената насока изнесува I1=10A, додека кога е приклучен отпорник R2=25Ω јачината на струјата изнесува I1=2A. Да се определат параметрите на реалниот напонски генератор во колото (E,Rg).

Ако се избере обиколка во насока на стрелката на часовникот, според II Кирхофов закон следува

1 1 1

2 2 2

0

0

g

g

E R I R I

E R I R I

+ − − =

+ − − =

Со решавање на системот равенки се добива:

2 2 1 1

1 2

5g

R I R IR

I I

−= = Ω−

и 1 1( ) 60gE R R I V= + =

R1

(R2) Rg

E +

A

B

I1

(I2)

V1 V2

+

R

UR

I 2 1

R2

E3

I

E1+

E2 +

R1

+ +

+

3

3. На реален напонски генератор со ЕМС Е и внатрешна отпорност Rg приклучен е потрошувач со променлива отпорност R. Во функција од отпорноста R да се определат и прикажат графички:

а) струјата во колото I

б) напонот на потрошувачот UR

в) моќноста што се развива на потрошувачот PR

г) загубите на моќност во генераторот PRg

д) вкупната моќност што ја дава генераторот на колото PЕ

а) 0gg

EE R I RI I

R R+ − − = =

+

2gg

Eзa R R I

R= =

б) g

R gg

R EU RI E R I E

R R= = − = −

+

2g R

Eзa R R U= =

в) 2

22( )R R

g

REP U I RI

R R= = =

+

2

max 4g Rg

Eзa R R P

R= =

г) 2

22( )g g

gR R g

g

R EP U I R I

R R= = =

+

2

4gg Rg

Eзa R R P

R= =

д) 2

2( )gE R Rg

EP EI P P

R R= = + =

+

2

2g Eg

Eзa R R P

R= =

4. На сликата е прикажано коло со два реални напонски генератори со исти ЕМС Е1=Е2=Е и внатрешни отпорности Rg1 и Rg2. Да се определи за која вредност на надворешниот потрошувач со отпорност R напонот на краевите на едниот генератор ќе биде еднаков на нула.

1 21 2

20g g

g g

ER I E RI R I E I

R R R− + − − + = =

+ +

a) U1=0 b) U2=0

1 1

11 2

1 2 1

1 2 1 2

0

20

2 0

g

gg g

g g g

g g g g

U E R I

EE R

R R R

R R R R

R R R услов R R

= − =

− =+ +

+ + − =

= − >

2 2

21 2

1 2 2

2 1 2 1

0

20

2 0

g

gg g

g g g

g g g g

U E R I

EE R

R R R

R R R R

R R R услов R R

= − =

− =+ +

+ + − =

= − >

R

Rg

E +

A

B

I

+ UR

Rg

E/Rg

R

I

E/(2Rg)

Rg

E

R

UR

E/2

Rg

PRmax

R

PR

Rg

E2/Rg

R

PRg

E2/(4Rg)

Rg

E2/Rg

R

PE

E2/(2Rg)

R

E +

I

+ E

Rg1

Rg2

U1

U2

4

5. Да се определи еквивалентната отпорност меѓу приклучоците: 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3 и 3 и 4 за дел од електричното коло прикажано на сликата.

Се претпоставува дека меѓу приклучоците 1 и 2 се поврзува напонски извор со ЕМС Е и дека струјата која влегува во приклучокот 1 е I, а таа понатаму се разгранува во гранките со отпорниците R1, R2 и R3. Низ отпорникот R4 струја нема да тече.

Еквивалентната отпорност меѓу приклучоците 1 и 2 според дефиниција е определена со изразот

12ekv

ER

I= и се изведува со поставување на

равенки според Кирхофовите закони. Бидејќи низ R4 не тече струја, тој отпорник не учествува во изразот за Rekv12.

Користејќи ги изведените изрази за еквивалентна отпорност на сериска и паралелна врска на отпорници може директно да се напише

1 2 312 1 2 3

1 2 3

( )( )

( )ekv

R R RR R R R

R R R

+= + =+ +

.

Според истата постапка се добиваат и: [ ] 2 1 313 4 2 1 3 4

2 1 3

( )( )

( )ekv

R R RR R R R R R

R R R

+= + + = ++ +

[ ] 3 1 223 1 2 3 4 4

3 1 2

( )( )

( )ekv

R R RR R R R R R

R R R

+= + + = ++ +

[ ] 3 1 234 4 3 1 2 4

3 1 2

( )( )

( )ekv

R R RR R R R R R

R R R

+= + + = ++ +

6. Да се определат моќностите на трансформација на електричната енергија во топлотна во отпорниците R1=5Ω, R2=15Ω, R3=20Ω врзани во редна врска и приклучени на генератор со ЕМС Е=100V. Ако се избере обиколка во насока на стрелката на часовникот, според II Кирхофов закон следува

1 2 31 2 3

0 2.5E

E R I R I R I I AR R R

+ − − − = = =+ +

21 1 1

22 2 2

23 3 3

31.25

93.75

125

P R I U I W

P R I U I W

P R I U I W

= = =

= = =

= = = 1 2 3

250EP P P P

EI W

+ + == =

7. За колото од сликата познато е дека отпорноста R2 ја менува својата вредност доколку се загрева при што температурниот коефициент на материјалот од кој што е направен отпорникот изнесува α=0.0025 1/0C. Познато е дека при θ0=200C неговата отпорност е

02 500Rθ

= Ω . Да се определи

до која температура треба да се загрее отпорникот R2 за да на паралелната врска R2||R3 се развива max моќност, а потоа да се пресмета нејзината вредност. (R1=200Ω, R3=300Ω и E=200V).

U1

Е +

I U2 U3 + + +

R1 R2 R3

2

3

4

R3 R1

1 R2 R4

+Е

I x

R2 E

+

R3

R1

2

3

4

R3 R1

1 R2 R4

5

Се дефинира еквивалентна отпорност на паралелната врска 2 323

2 3

R RR

R R=

+ по што колото може да

се еквивалентира со следната шема. Според задача 3 условот за max моќност на паралелната врска е исполнет кога 23 1R R= .

Следува дека 1 32

3 1

600R R

RR R

= = Ω−

.

Бидејќи е исполнето 00

2 2 1 ( ) 600R Rθ

α θ θ = + − = Ω 0100 Cθ =

23max

2

1

504R

EP W

R= =

8. На растојание L=800m од генераторот поврзан е потрошувач со отпорност R за кој е потребна моќност од P=400W. Струјата низ бакарните проводници кои го поврзуваат генераторот и потрошувачот изнесува I=2A. Колкав треба да биде пресекот на бакарните проводници за да загубите на моќност во нив бидат 10% од моќноста P (специфичната отпорност на бакарот е ρ=0.017Ωmm2/m).

22

100P

P RI RI

= = = Ω ; 2 2zica zica

LP R I I

Sρ= =

2 2 222 2 0.1 0.1 2.72

0.1zagubi zica

L LP P I P RI S mm

S R

ρρ= = = = = =

9. Да се определат струите во сите гранки од колото прикажано на сликата. Познати податоци: R1=2Ω, R2=3Ω, R3=6Ω, E1=10V, E2=6V.

Во колото има Nj=2 и Ng=3. Според I К.З. пишуваме n’=Nj–1= 2–1=1 равенка, а според II К.З. пишуваме n”=Ng–(Nj–1)=3–1=2 равенки.

Воведуваме референтни насоки на непознатите струи во гранките I1, I2 и I3 (како на сликата) и насоки за обиколување околу двете независни контури кои ги избираме, а потоа ги пишуваме равенките според I и II К.З..

1 3 2

2 3 3 2 2

1 1 1 3 3

0

0

0

I I I

E R I R I

E R I R I

+ − = − − = − + =

1 2 33.5 ; 3 ; 0.5I A I A I A = = = −

10. За колото прикажано на сликата струјата низ отпорникот R има јачина I=120mA, а напонот UAB=22V. Познато е дека струјата во гранката со генераторот E1 и отпорноста R1=15Ω има двојно поголема вредност од струјата во гранката со генераторот E2 и отпорноста R2=32Ω. Да се определат: а) отпорноста на отпорникот R ; б) ЕМС на генераторите E1 и E2; в) моќноста на генераторите; г) корисната моќност на генераторите.

E +

R23

R1

R2

E2

+

R1

R3

E1

+

1

2

R2

E2 +

R1

R3

E1

+

1

I2 I1

I3

R2

E1 + R1

R

+

А

I2

I1

I

B

E2

E +

R I

6

Во колото има Nj=2 и Ng=3. Според I К.З. пишуваме n’=Nj–1=2–1=1 равенка, а според II К.З. пишуваме n”=Ng–(Nj–1)=3–1=2 равенки. Воведуваме референтни насоки на непознатите струи во гранките I1, I2 и I3 (како на сликата) и насоки за обиколување околу двете независни контури кои ги избираме.

183ABAB

UU IR R

I= = = Ω и 1 22I I=

1 2 2 2 1

1 1 1 1 2 2 2 1 1

0 3 / 3 40 80

0 (1) 0 (2)

I I I I I I I mA I mA

E RI R I и E E R I R I

− − + = = = = =− − = − + − =

1 1 1 2 1 2 2 1 122.12 24.56E RI R I V и E E R I R I V= + = = + − =

1 1 1

2 2 2

1.769 ;

0.982 ;

P E I W

P E I W

= == =

21 1 1 1 1 1 1 1 1 1

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) 1.76

( ) 0.88

k AB

k AB

P E I R I I E R I I U W

P E I R I I E R I I U W

= − = − = =

= − = − = =

11. За делот од сложена електрична мрежа прикажан на сликата да се определи моќноста на отпорникот со отпорност R4. (R1= R2= R3= R4= 10Ω; E1= E2= 10V, IS1= IS2= 1A, I 5= I6= I7= 10A)

Од Nj=4 јазли во колото, поставуваме 3 равенки според I К.З. за јазлите А, B и D користејќи ги притоа познатите вредности на струите I5, I6 и I7 (бидејќи струјата која излегува од јазелот C е непозната не може да се постави равенка по I К.З. за тој јазол)

6 1 4 1 1 4

2 3 1 7 3 1 4

5 2 3 2 2 3 4

: 0 11

: 0 9 20

: 0 11 31

S

S

S

jD I I I I I I A

jB I I I I I I A I A

jA I I I I I I A I A

− − − + = = ++ − − = = + = +

− − − + = = + = +

Во колото има 3 независни контури од кои во 2 контури е поврзан идеален струен генератор. Бидејќи напонот на струјниот генератор не е познат, може да се постави само 1 равенка според II К.З. за која произволно одбираме насока на обиколување.

1 3 3 2 2 2 4 4 1 1 0E R I E R I R I R I− + − − − =

1 2 3 4 2 4 4 4 1 4 4( 20) ( 31) ( 11) 0 15E E R I R I R I R I I A+ − + − + − − + = = − 4

24 4 2.25RP R I kW = =

Напон меѓу две точки во електрично коло

При пресметка на напонот UAB меѓу две точки А и В во електрично коло треба да се внимава на: - Насоката на ЕМС на напонските генератори - Поларитет на напонот на отпорникот UR=RI - Насоката на обиколување долж одбраната патека од едната до другата точка.

(1) ( )AB Rod B kon A

U E U= ± ± - доколку насоката на обиколување се усвои од точката В кон точката А

Доколку насоката на обиколување од В кон А се поклопува со насоката на ЕМС E и со напонот на отпорникот UR (од – кон + приклучок), во изразот (1) тие се земаат со позитивен предзнак, во спротивно се со негативен. (Ова е исто правило како за II Кирхофов закон, во насока на одбраната патека се зема знакот на излегување од напонот).

IS2

R1

R3 IS1

A

B

E2

+

E1

+

C

D

R2

R4

I4

I1

I3

I5

I6 I7

I2

А BR

I

+

E

+

7

(2) ( )AB Rod A kon B

U E U= - доколку насоката на обиколување се усвои од точката А кон точката В

Предзнаците се определуваат спротивно од претходното (во насока на одбраната патека се зема знакот на влегување во напонот).

12. Да се определи напонот меѓу точките A и B и струите во гранките за колото на сликата. Од добиените резултати да се дефинираат изразите за струите во двете паралелни гранки, т.н. струен делител. Познати податоци: R1=40Ω, R2=60Ω, R=20Ω, E=240V. Се еквивалентираат двата паралелно врзани отпорници и се добива еквивалентно коло како на сликата:

1 212

1 2

24R R

RR R

= = Ω+

12

12

0

5.45

E RI R I

EI A

R R

− − =

= =+

12 1 1 2 2 1 21 2

130.8 ; ; ;AB ABAB AB

U UU E RI R I V U R I R I I I

R R= − = = = = = =

Со комбинирање на релациите 1 2I I I= + и 1 1 2 2R I R I= следува релацијата за т.н. струен делител

21

1 2

3.27R

I I AR R

= =+

и 12

1 2

2.18R

I I AR R

= =+

13. За делот од сложена електрична мрежа прикажан на сликата да се определат струите во сите гранки според референтните насоки означени на сликата. Познати податоци: R1=5Ω, R2=10Ω, R3=12Ω, E1=80V, E2=70V. Потенцијалите во јазлите 1, 2 и 3, определени во однос на ист референтен јазол, се познати и изнесуваат V1=–15V, V2=52V, V3=64V. Струите во гранските ги определуваме преку изразите за напоните меѓу јазлите:

1 2 12 1 1 1 1 1

1

3 23 2 2 2 2

2

3 1 33 1 3 3 3 3

3

( )2.6

1.2

( )0.75

E V VV V E R I I A

R

V VV V R I I A

R

V V EV V E R I I A

R

− −− = − = =

−− = = =

− −− = + = =

Струите во останатите гранки се определуваат со примена на I К.З. за трите јазли:

4 1 3 4 5 1 2 5

6 3 2 6

1: 0 1.85 ; 2 : 0 3.8 ;

3: 0 1.95

j I I I I A j I I I I A

j I I I I A

+ − = = − − − = =+ + = = −

Според негативниот предзнак на вредностите за струите I4 и I6 може да се заклучи дека нивните насоките се спротивни од претпоставените. 14. Да се определи ЕМС на генераторот според означената референтна насока ако покажувањето на волтметарот поврзан во колото е нула. Познати податоци: IS=100mA, R1=100Ω, R2=300Ω. Колку изнесува напонот на приклучоците на струјниот генератор? Од условот UAB=0 следува дека UR3=UAB=R3I3=0 I3=0. Тогаш важи 2 2 1AC AB BC BC S SU U U U R I E U R I= + = = = − = − .

I

B

R1

E +

I2

I1

A

R2

R

I

B

E +

A R12

R

R3

E1+

I5

I4 I1

I2

I3 +

E3 V1 V3

V2

R2

I6

R1

8

Од I К.З. за јазелот А следува:

2 3SI I I− + 20 100SI I mA= = =

Со примена на II К.З. следува:

2 2 3 3R I R I− 2 20 30E E R I V+ = = − = −

Напонот на струјниот генератор може да се определи според:

2 2 1 2 1 40AC S S S S SU R I U R I U R I R I V= = − = + = 15. За делот од сложена електрична мрежа прикажан на сликата познати се потенцијалите во точките B и C во однос на иста референтна точка; VB= –6V и VC= –12V. Да се определи напонот меѓу точките A и F. (R1=R3=3Ω, R2= R6=2Ω, R5=4Ω, R4=1Ω, E1=5V, E2=2V, E3=3V, Is1=3A, Is2=2A)

22 2 2 2

2

6

2

BC B C

BCBC

U V V V

E UU R I E I A

R

= − =−= − + = = −

1 1 2 1 1 2

2 1 4 4 1 21 3 4

4 5 2 5 4 2

3 5 2 3 5 2

: 0 1

: 0 1

: 0 1

: 0 1

S S

S S

S S

S S

jB I I I I I I A

jC I I I I I I AI I I

jD I I I I I I A

jE I I I I I I A

− − = = + = + − = = + = = =− − = = − = − − + + = = + =

1 1 1 2 2 2 4 4 5 5 3 4AF AB BC CD DE EFU U U U U U R I E R I E R I R I E V= + + + + = − − − + − − + = 16. Да се определи напонот меѓу точките A и B во колото дадено на сликата. (IS=2A, R1=R2=5Ω, R3=4Ω, R4=6Ω, Е1=5V, Е2= 30V). Бидејќи приклучокот А не е приклучен, т.е. не е поврзан во контура, низ отпорниците R1 и R2 не тече струја од што следува UAC = 0 и I4=IS.

AB AC CB CBU U U U= + = Бидејќи не е познат напонот на струјниот генератор туку само неговата струја IS (која тече во контурата) напонот UCB се определува според:

1 2 4 4 1 2 4 38CB SU E E R I E E R I V= − − = − − = −

IS

R1

R2

A

C

+

B

R3

Е

I2

V

I3 +

IS US

R1

R6

IS1

A

IS2

E2 R2

+

+

E3

+

B C

D

E F

E1

R3

R4

R5

I2

I5 I3

I1 I4

Е1

R4

A +

Е2

I4

IS R1

B

R3 R2

+

C

9

17. Во колото дадено на сликата приклучокот на двата генератори во редната врска е заземјен. Надворешната отпорност во колото ја претставува бакарна жица со должина L=21cm и отпорност R=1.75Ω поврзана меѓу приклучоците А и В. Да се определи на кое растојание x од приклучокот В се наоѓа точката М во која потенцијалот е нула VM=0. (Rg1=0.1Ω, Rg2=0.15Ω, E1= E2=E=1V)

Услов: VM=0V UM0=0V.

Се претпоставува референтна насока на струјата I. Со Rx и R(L-x) се означува делот од отпорноста на жицата меѓу М и B и меѓу А и М соодветно.

Отпорноста на жицата по единица должина е:

0.3675R

RL m

Ω′ = = .

Следува: xR R x′= и ( ) ( )L xR R L x− ′= −

0 1 1 ( ) 2 2

11 1 ( )

1 ( ) 1 ( )

1 2

1 2 1 2

0

0

2. .

M g L x g x

g L xg L x g L x

g g g g

U E R I R I E R I R I

E EE R I R I I

R R R R

E E Eод II K З I

R R R R R R

−

−− −

= − − = = − + +

− − = = = + + + = =+ + + +

1 ( ) 1 2

1 2

2

( ) 9.552

g L x g g

g g

E E

R R R R R

Lx R R R cm

R

−

=+ + +

= + − =

Еквивалентни генератори 18. За колото на сликата да се определи струјата низ отпорноста R4. Познати податоци: IS=3,5A, R1=2Ω, R2=2Ω, R3=1Ω, R4=5Ω, E=3V.

Реалниот струен генератор (IS, R1) меѓу точките А и В се еквивалентира во реален напонски генератор со параметри:

1 17SE I R V и R R′ ′= = = Од еквивалентното коло следува:

4 2 4 4 4 3 4

42 3 4

0

1

E R I E R I R I R I

E EI A

R R R R

′ ′− + − − − =′ += =

′ + + + 19. За колото на сликата да се определи струјата низ отпорноста R3 според дадената насока. Познати податоци: IS=20A, R1=10Ω, R2=5Ω, R3=15Ω, E1=100V. 1) Реалниот напонски генератор (Е1, R1) меѓу точките А и В се еквивалентира во реален струен генератор со параметри:

11

1

10 10S

EI A и R R

R′ ′= = = = Ω

2) Се определува збирот од струите на струјните генератори: 30S S SI I I A′′ ′= + = 3) Реалниот струен извор (IS”, R') се еквиваленитра во реален напонски со ЕМС: 300SE I R V′′ ′′ ′= =

Е

R4

A +

I4 IS R1

B

R2

R3

Е

R4

A +

I4

R’

B

R2

R3

+ Е’

⇔

R3

A

+

I3 IS

R1

B

R2

Е1

Rg1

A B

Rg2 E1

+

E2

+

L x

M

0

I

10

4) Се определува струјата I3: 3 2 3 3 3 32 3

0 10E

E R I R I R I I AR R R

′′′′ ′− − − = = =′ + +

20. Да се изведе изразот за параметрите на еквивалентниот реален напонски генератор кој ќе ги замени два паралелно поврзани реални напонски генератори со параметри: E1, R1 и E2, R2.

1 21 2

1 2

;S S

E EI I

R R= = ; 1 2 1 2

1 21 2 1 2

;S S S

E E R RI I I R

R R R R′ ′= + = + =

+

1 2 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 1 2S

R R E E E R E RE I R

R R R R R R

+′ ′ ′= = + = + +

21. Струјниот генератор меѓу точките A и B да се претстави со еквивалентен напонски генератор. (IS=10A, R1=5Ω, R2=20Ω). Отпорноста R1 може да се изостави во параметрите на еквивалентниот генератор, бидејќи истата не влијае врз струјата на идеалниот струен генератор како ни врз напонот меѓу точките А и В, па следува:

2 2200 ; 20SE I R V R R′ ′= = = = Ω 22. За колото прикажано на сликата за се определи струјата IAB која тече во гранката AB. (R1=1Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, R4=4Ω, R6=6Ω, E1=10V, E2=20V, IS3=4.9A). Со примена на постапките за еквивалентирање од задачите 20 и 21 се добива следното еквивалентно коло:

R3

A

I3

R’

B

R2

+ Е”

⇔ ⇔ R3

A

I3 IS" R'

B

R2

R3

A

I3 IS

R'

B

R2

IS' ⇔

A

+

R1

B

Е1

+

R2

Е2

⇔

A

R1

B

IS1

R2

IS2 ⇔

A

R’

B

IS’

A

+

R’

B

Е’ ⇔

A

R2

B

IS

R1

A

B

E’

R’

⇔

+

R2

R4

IS3

A

IAB +

E2

+

B

R4

E1

R1

R6

R3

11

1 4 1 4

1 4 1 4

; ;E R R R

E RR R R R

′ ′= =+ +

2 6 2 6

2 6 2 6

;E R R R

E RR R R R

′′ ′′= =+ +

; 3 4 4;SE I R R R′′′ ′′′= =

0 2AB AB AB AB

E E EE R I R I E R I E I A

R R R

′′′ ′′ ′− +′′′ ′′′ ′′ ′′ ′ ′− − − − + = = =′ ′′ ′′′+ +

Метода на Независни Контурни Струи (НКС)

За коло со Nj -јазли и Nг -гранки се пишуваат ( )1g jn N N′′ = − − независни равенки според методата

на НКС за исто толку независни контури. Се претпоставуваат референтите насоки на n” контурни струи во независните контури. Се усвојува насока на обиколување околу контурите во насока на контурните струи и се пишуваат равенките според: Ij – струја во контурата ј Rjj = +(ΣR) – збир од отпорностите на елементите долж контурата ј Rjk = Rkj = ±(ΣR) – збир од отпорностите долж заедничките грани на контурите ј и k (предзнакот е + кога насоките на контурните струи Ij и Ik во заедничките гранки се поклопуваат, во спротивно предзнакот е –) Еjj = (Σ± Ej) – збир од ЕМС на идеалните генератори долж контурата k (предзнакот е + кога насоката на Еj се поклопува со насоката на контурната струја Ij, во спротивно предзнакот е –) Се решава системот равенки и се определуваат вредностите на контурните струи , 1,...,jI j n′′= .

Се одбираат референтни насоки на струите во гранките. Вредностите на струите во спојниците (гранки кои припаѓаат само на таа контура) се исти со контурните струите и имаат предзнак + доколку нивните насоки се поклопуваат, во спротивно предзнакот е –. Во гранките од стеблото (гранки кои се заеднички за контурите) струите се пресметуваат со примена на I К.З. Специјален случај – кога во колото постои идеален струен извор IS. Се избира независна контура ј во која како спојница се избира гранката со струјниот генератор. Во така дефинираната независна контура, контурната струјата Iј е еднаква со струјата на струјниот генератор, т.е Ij = IS. Со тоа бројот на непознати контурни струи се намалува за 1. Доколку во колото постојат k струјни генератори со струи ISk, горната постапка се изведува идентично, така што во k независни контури од вкупно n” се содржи само по 1 струен генератор чија струја е со иста вредност како контурната струја, т.е. Ik=ISk. Со тоа бројот на непознати контурни струи се намалува за k. 23. Според методата НКС да се определат струите во сите гранки од колото прикажано на сликата. Потоа да се определат моќностите на гранките АВ и АС. Познати податоци: R1=R2=2Ω, R3=8Ω, R4=18Ω, R5=24Ω, R6=12Ω, E1=90V, E2=120V, E3=80V.

R”

⇔

A

IAB +

E”

+

B

E’

R’

+

R”’

E”’

R5

R4

E3

A R1

+ E1 +

C

R6

E2

R2 R3

B D

+

I4 I2

I1

I5 I6

I3

II

III IIII

12

Во колото има Nj=4 и Ng=6. Според НКС следуваат n”=Ng–(Nj–1)=3 равенки за исто толку контурни струи II, III и IIII. Се дефинира стебло и спојници и се усвојуваат контурни струи со насоки како на сликата. Според општиот облик на равенките:

11 12 13 11

21 22 23 22

31 32 33 33

I II III

I II III

I II III

R I R I R I E

R I R I R I E

R I R I R I E

+ ± ± =± + ± =± ± + =

се добива системот равенки за конкретното коло:

1 2 5 6 2 6 1 2

2 2 4 2

6 3 6 3

( )

( )

( )

I II III

I II

I III

R R R R I R I R I E E

R I R R I E

R I R R I E

+ + + − + = − − + + = + + =

II=–2A; III=6.2A; IIII=5.2A

Претпоставуваме референтни насоки на непознатите струи во гранките I1, .., I6 (како на сликата). Струите во спојниците се: I1= I5 = –II = 2A ; I4 = –III =– 6.2A ; I3 = IIII = 5.2A Струите во стеблото се: I2=I4– I5 = 8.2A ; I6= I5–I3 = 3.2A Моќностите кои се развиваат во гранките се пресметуваат според:

0 ( )

0 ( )grankaAB AB BA

генераторP U I

потрошувач

>= <

PAB = UABIBA = (–R2I2+E2)I2 = 849.5W (генератор)

PAC = UACICA = (R1I1+E1)(–I1) = –188W (потрошувач) 24. Според методата НКС да се определат струите во сите гранки од колото прикажано на сликата. Потоа да се определат моќностите на генераторите. Познати податоци: R1=1kΩ, R2=400Ω, E1=24V, IS=18mA. Во колото има Nj=2 и Ng=3. Според НКС следуваат n”=Ng–(Nj–1)=2 равенки за исто толку контурни струи II и III. Стеблото се одбира така што гранката која го содржи струјниот генератор е спојница на I контура. На тој начин контурната струја II е определена со вредноста на струјата на струјниот генератор II=IS=18mA (тоа е воедно решението на една од равенка од системот). Другата контура се одбира произволно (како на сликата).

1 22 1 2 1

1 2

( ) 12

I S

SI II II

I I

E R IR I R R I E I mA

R R

= − + − + + = − = = − +

1

2 1

12

30II

S

I I mA

I I I mA

= = −= − = −

11 1 1 1 1 1( ) 0.288 ; ( ) 0.216SE E I S S SP E I E I W P U I E R I I W= = − = = = + =

25. Да се определи односот на напоните UAB и UCD во колото дадено на сликата. (R=2kΩ, E=20V, IS=10mA) 3 2

3

I II III

II S

I II III IV

IV S

RI RI RI E

I I

RI RI RI RI E

I I

+ − = = − − + + = =

2.5

2.5I

III

I mA

I mA

= −=

2.5

12.5AB I

DC III IV

I I mA

I I I mA

= = −= + =

;

5

5

1

AB AB

CD DC

AB

CD

U RI V

U E RI V

U

U

= = −= − = −

=

R

R

III=IS

A

IDC

+ C

R E

R

R IS

R

+

B D IAB II

IIII

IIV=IS

E

R2

+ I2

IS

R1

Е1

I1 III

II =IS

+

US

13

Метода на Независни Јазлови Потенцијали (НЈП)

За коло со Nj -јазли се пишуваат 1jn N′ = − равенки според методата на НЈП за исто толку јазли од

колото. Преостанатиот јазол се усвојува со референтна вредност на потенцијалот V=0. Изборот на референтен јазол е произволен доколку во колото не постојат идеални напонски генератори. Се пишуваат равенките според: Vj – потенцијал во јазолот ј во однос на избраниот референтен јазол Gjj = +(ΣG) – збир од спроводности од сите гранки поврзани во јазол ј Gjk = Gkj = (ΣG) – збир од спроводности од сите гранки поврзани меѓу јазлите ј и k со предзнак – (ΣIS±EG)j – збир од струите на сите струјни и сите еквивалентни струјни (добиени од реални напонски генератори) генератори поврзани во гранките кои го сочинуваат јазолот ј земени со предзнак + доколку насоката на струјата е кон јазолот, во спротивно предзнакот е – Се решава системот равенки и се определуваат вредностите на потенцијалите во јазлите

, 1,...,jV j n′= .

Се одбираат референтни насоки на струите во гранките. Вредностите на струите во гранките се определуваат со користење на потенцијалните разлики меѓу јазлите. Специјален случај – кога во колото постои идеален напонски извор E. Референтниот потенцијал V=0 се избира на негативниот приклучок на Е. Така, јазолот k каде е поврзан + приклучок на Е има потенцијал со вредност на Е, т.е. Vk = E. Со тоа бројот на непознати потенцијали во јазли се намалува за 1. 26. Со примена на методата НЈП да се реши задача 23. Во колото има Nj=4. Според НЈП следуваат n’=Nj–1=3 независни равенки за исто толку непознати потенцијали во јазлите V1, V2 и V3 во произволно избраните јазли 1,2 и 3. Произволно се избира четвртиот јазол како референтен јазол. Според општиот облик на системот равенки:

111 10 12 20 13 30 1

1

221 10 22 20 23 30 2

2

331 10 32 20 33 30 3

3

gS

g

gS

g

gS

g

EG U G U G U I

R

EG U G U G U I

R

EG U G U G U I

R

− − = ± ±

− + − = ± ±

− − + = ± ±

се пишуваат равенките за конкретното коло:

1 210 20 30

4 2 1 4 2 1 1 2

210 20 30 10 20 30

4 2 4 2 5 2

3110 20 30

1 1 6 3 1 3

1 1 1 1 1 1( ) ( )

1 1 1 1 1( ) ( ) 0 63.6 ; 48 ; 38.4 ;

1 1 1 10 ( )

E EU U U

R R R R R R R R

EU U U U V U V U V

R R R R R R

EEU U U

R R R R R R

+ + − + − = +

− + + + + − ⋅ = − = = − = −

− − ⋅ + + + = − −

2020 5 5 5

5

2U

U I R I AR

−= − = = ; 30 30 330 6 6 3 3 3 6 3

6 3

3.2 ; 5.2U U E

U I R E R I I A I AR R

− += − = − + = = = = ;

12 2 1212 10 20 4 4 2 2 2 4 2

4 2

6.2 ; 8.2U E U

U U U R I E R I I A I AR R

− −= − = − = − = = − = =

13 113 10 30 1 1 1 1

1

2U E

U U U E R I I AR

−= − = + = =

R5

R4

E3

1 R1

+ E1 +

3

R6

E2

R2 R3

2 0

+

I4 I2

I1

I5 I6

I3

14

За решавање на непознатите струи во колото примената на методите НКС и НЈП резултира во решавање систем од 3 равенки со 3 непознати. Во таа смисла двете методи покажуваат еднаква ефикасност. 27. Да се определат струите во сите гранки од колото прикажано на сликата. Познати податоци: R1=R6=2kΩ, R2=1kΩ, R3=400Ω, R4=200Ω, R5=100Ω, E1=76V, E2=6V, E6=46V, IS=20mA. Во колото има Nj=4. Според НЈП следуваат n’=Nj–1 =3 равенки за исто толку непознати потенцијали во јазлите V1, V2 и V3 во произволно избраните јазли 1,2 и 3. Произволно се избира референтен јазол (во случајов како на сликата).

6110 20 30

4 1 6 4 6 1 6

210 20 30

4 4 2 5 5 2

610 20 30

6 5 5 6 3 6

1 1 1 1 1 1( )

1 1 1 1 1( )

1 1 1 1 1( )

S

EEU U U I

R R R R R R R

EU U U

R R R R R R

EU U U

R R R R R R

+ + + − − = + + ∞

− + + + − = −

− − + + + = −

10 20 3026 ; 14 ; 10U V U V U V= = =

10 110 1 1 1 1

1

25U E

U E R I I mAR

−= + = = − ; 20 220 2 2 2 2

2

20U E

U E R I I mAR

+= − + = =

3030 3 3 3

3

25U

U R I I mAR

= = = ; 1212 10 20 4 4 4

4

60U

U U U R I I mAR

= − = = =

13 613 10 30 6 6 6 6

6

15U E

U U U E R I I mAR

−= − = + = = − ; 2323 20 30 5 5 5

5

40U

U U U R I I mAR

−= − = − = = −

28. Да се определи струјата во гранката со генераторот E1. Познати податоци: R2=R7=50Ω, R3=R5=10Ω, R4=R8=20Ω, R6=100Ω, E1=20V, E2=30V, E3=2V, E4=1.2V, E5=5.6V . Бидејќи во колото е вклучен идеален напонски извор со ЕМС Е1 референтниот јазол е избран на неговиот – приклучок, додека + приклучок е произволно избран како јазол 1. Со ваков избор потенцијалот во јазолот 1 во однос на референтниот јазол 0 е однапред познат и изнесува U10=E1, така што бројот на непознати во системот од 3 се намалува за 1. Останатите јазли се произволно означени со 2 и 3.

R6

E2

R7

+

E4+

3

R5

E3

R3

R2

0 0

+ I6

I7 I2 I8

E1 +

I1 R8

2

1

R4

+ E5

R6

R1

1 R5

+

I5 3

R3

E2

R2

0

+

I1 I2

I3

+

E1

R4

IS

E6

2

I4

I6

15

10 1

3 410 20 30

7 7 3 4 4 3 4

5 410 20 30

8 4 4 5 8 5 4

1 1 1 1 1( )

1 1 1 1 1( )

U E

E EU U U

R R R R R R R

E EU U U

R R R R R R R

=

− + + + − = −

− − + + + = +

10 1 20 3020 ; 6 ; 9.6U E V U V U V

= = = =

10 110 6 6 6

6 6

0.2U E

U R I I AR R

= = = =

2121 20 10 7 7 7

7

0.28U

U U U R I I AR

= − = = = − ; 2 1010 2 2 2 2

2

0.2E U

U E R I I AR

−= − = =

3131 30 10 8 8 8

8

0.52U

U U U R I I AR

= − = = = − ; 6 1 7 8 2

1 6 7 8 2

1: 0

0.8

j I I I I I

I I I I I A

− − − − == − − − =

29. Да се определат струите во сите гранки од колото прикажано на сликата. Познати податоци: R1=2Ω, R2=4Ω, R3=R4=3Ω, R6=2Ω, E1=E2=2V, E5=18V, E6=24V. Слично како во претходната задача, бидејќи во колото е вклучен идеален напонски извор со ЕМС Е5 референтниот јазол е избран на неговиот – приклучок, додека + приклучок е произволно избран како 1. Со ваков избор потенцијалот во јазолот 1 е однапред познат и изнесува V1=E5, така што бројот на непознати во системот од 3 равенки се намалува за 1. Останатите јазли се произволно означени со 2 и 3.

10 5

6110 20 30

6 1 3 6 3 1 6

210 20 30

4 3 2 3 4 2

1 1 1 1 1( )

1 1 1 1 1( )

U E

EEU U U

R R R R R R R

EU U U

R R R R R R

= − + + + − = −

− − + + + = −

10 5 20 3018 ; 0 ; 6U E V U V U V= = = =

1 2020 1 1 1 1

1

1E U

U E R I I AR

−= − = = ; 6 1212 10 20 6 6 6 6

6

3E U

U U U E R I I AR

−= − = − = =

2 3030 2 2 2 2

2

2E U

U E R I I AR

+ += − + = = ; 2323 20 30 3 3 3

3

2U

U U U R I I AR

= − = = = −

3131 30 10 4 4 4

4

4U

U U U R I I AR

= − = = = −

5 1 2 5 2 10 : 0 1j I I I I I I A+ − = = − =

Принцип на суперпозиција

Според принципот на суперпозиција јачината на струјата во една гранка во линеарна електрична мрежа е еднаква на алгебарскиот збир од јачините на струите кои во истата гранка би ги создавале напонските и струјните генератори кога би делувале поединечно.

R1

R1

0

R3 +

I3

2

R6

E5 R4

1

+

I5 I4 I6

+

R2

E1

3

I2

I1

Е6

+

Е2

16

Исклучување на напонски генератор (E=0) – се претставува со куса врска на местото на идеалниот генератор

Исклучување на струен генератор (IS=0) – се претставува со прекин во гранката каде што е поврзан

30. За колото прикажано на сликата да се определат струите I3, I4 и I5 според усвоените референтни насоки. Познати податоци: R3=10Ω, R4=20Ω, R5=50Ω, E=100V, IS1=4A, IS2=10A. Со примена на принципот на суперпозиција се определуваат придонесите на секој од генераторите вклучени во колото во струите I3, I4 и I5:

1 2

1 2

1 2

3 3( ) 3( ) 3( )

4 4( ) 4( ) 4( )

5 5( ) 5( ) 5( )

7.33

1.33

2

S S

S S

S S

I I E

I I E

I I E

I I I I A

I I I I A

I I I I A

= + + =

= + + =

= + + =

Делува само струјниот извор IS1 Се исклучуваат изворите IS2 (се претставува со прекин на гранката) и Е (се претставува со куса врска)

1

1 1

1

43( ) 1

3 4

4( ) 1 3( )

5( )

2.67

1.33

0

S

S S

S

I S

I S I

I

RI I A

R R

I I I A

I

= − = −+

= + =

=

Делува само струјниот извор IS2 Се исклучуваат изворите IS1 (се претставува со прекин на гранката)) и Е (се претставува со куса врска)

2

2 1

2

43( ) 2

3 4

4( ) 2 3( )

5( )

6.67

3.33

0

S

S S

S

I S

I S I

I

RI I A

R R

I I I A

I

= =+

= − + =

=

Делува само напонскиот извор Е Се исклучуваат изворите IS1 и IS2 (со прекин на гранката)

3( ) 4( ) 5( )3 4 5

3.33 2E E E

E EI I A I A

R R R= = = = =

+

IS1

E

R6

R3 R1

+

I4 I3 I5

R5

R4

R2

IS2

R3

I4(Е) I3(Е) I5(Е)

R5

R4

+

Е

IS1

R3 R1

I4(Is1) I3(Is1) I5(Is1)=0

R5

R4

R2

I4(Is1)

R6

R3

I4(Is2) I3(Is2) I5(Is2)=0

R5

R4

IS2

I3(Is2)

E=0 +

Rg

А

B

⇔Rg

А

B

⇔IS=0

Rg

А

Rg

B

А

B

⇔ Rg

B

А

17

31. За колото прикажано на сликата кога прекинувачот е отворен моќноста на напонскиот генератор E е P=400W. Да се определи струјата во гранката со напонскиот генератор кога прекинувачот ќе се затвори. E=80V, IS=30A. Кога прекинувачот П е отворен, струјниот генератор е исклучен (претставено со прекин на гранката) и тој не придонесува во јачината на струјата низ напонскиот извор I. Истата е резултат од делување само на изворот Е, т.е.

( )EI I= .

( )5E E

PP EI I A I

E= = = =

Кога прекинувачот П е затворен, струјниот генератор делува во колото, т.е. придонесува заедно со напонскиот генератор Е во јачината на струјата I’ која тече во гранката со напонскиот извор Е. Оваа струја е алгебарски збир на две струи кои се резултат на поединечното делување на двата генератори кога би работеле посебно.

( ) ( ) ( ) ( )5S S SE I I II I I I I A I′ = + = + = +

Следува дека за определување на струјата I’ недостасува да се определи само струјата I(Is) која ја создава струјниот генератор IS кога само тој би делувал во колото, т.е. кога напонскиот извор би бил исклучен.

( )

215

2 2 2S

SI S

R II I A

R R= = =

+

Од тука, кога двата извори се вклучени (П затворен) струјата во гранката со напонскиот извор изнесува ( ) ( ) 5 15 20

SE II I I A′ = + = + =

32. Да се определи струјата I1 во гранката со отпорноста R1=1Ω. (R=2Ω, E=24V, IS=10A)

Со примена на принципот на суперпозиција се добива:

1 1( ) 1( ) 1 5 4SE II I I A= + = − + =

Делува само напонскиот извор Е (сликата во десно)

( )( )

1( )1 1

1

15 (5 )

5

E

E RI A

R R R R R RR

R R R

= − ⋅ = − + + + +

+ +

Делува само струјниот извор IS (сликата во десно)

1( )

1

35

3 2SI S

RI I A

R RR R R

R R

= =⋅ + + + +

R1

2R

+

Е

R R

2R

R

I1(Е)

R

П

R

R R

R

IS

I(Is)

R

IS

П

R

+

Е

R R

R

I(E)

R1

IS

2R

+

Е

R R

2R

R

R

I1

R1

IS

2R

R R

2R

R

R

I1(Is)

18

33. Кога преклопката П е во положба 1 струјата низ R4 изнесува I4=4.9А во дадената насока. Според принципот на суперпозиција да се определи струјата низ R4 кога преклопката ќе се префрли во положба 2. Познати податоци: R3=12Ω, R4=8Ω, E1=20V, R5=5Ω. Кога преклопката П е во положба 1 во колото делуваат сите три генератори така што за струјата I4 може да се напише:

1 44 4( ) 4( ) 4( )SE E II I I I= + +

Кога преклопката П е во положба 2 може да се забележи дека напонскиот извор Е1 се премостува со куса врска што преставува дека кој е исклучен, т.е. не придонесува во колото. Тогаш во колото работат само генераторите Е4 и IS така што за струјата низ R4 (означена како 4I ′ ) може да се напише:

44 4( ) 4( )SE II I I′ = +

Може да се забележи дека разликата меѓу струите I4 (кога работат сите генератори) и струјата

4I ′ (кога работат само E4 и IS) ја претставува струјата 14( )EI која ја создава напонскиот извор Е1

кога единствено тој би делувал во колото, а останатите два извори E4 и IS би биле исклучени. Следува дека за определување на струјата 4I ′ доволно е да се определи

14( )EI која е резултат од

делувањето само на Е1:

1

14( )

3 4

1E

EI A

R R= =

+

Следува дека

44 4 4( ) 3.9EI I I A′ = − =

34. Да се определат струите I2 и I3 во колото прикажано на сликата според дадените насоки. (R1=5Ω, R2=4Ω, R3=16Ω, E=100V, IS=30A).

2 2( ) 2( ) 19SE II I I A= + = −

3 3( ) 3( ) 11SE II I I A= + =

а) Делува само напонскиот извор Е (сликата во лево)

2( ) 3( )2 3

5E E

EI I A

R R= = =

+

б) Делува само струјниот извор IS

32( )

2 3

23( )

2 3

24

6

S

S

I S

I S

RI I A

R R

RI I A

R R

= − = −+

= =+

E

R1

+

I2 I3

IS

R2

R4

R3

E

R1

+

I2(Е)= I3(Е)

R2

R4

R3

R5

IS

П

R2

+ Е1

R3 R4

+

Е4 1 2

I4

П

R2

+ Е1

R3 R4

1

I4(E1)

R1

I2(Is) I3(Is)IS

R2

R4

R3

А B

C

D

R2 I2(Is)

IS R1

R3

R3 А=B

I3(Is) R4

C D

⇔

19

Тевененова теорема

Дел од електрично коло во однос на два негови приклучоци А и В може да се еквивалентира со реален напонски генератор (Тевененов генератор) дефиниран со ЕМС ЕТ и внатрешна отпорност RT. Определување на параметрите на Тевененовиот генератор ЕТ=UAB’ - Се определува напонот на отворените приклучоци А и B за делот од колото кој се еквивалентира. RT=RAB - Се определува еквивалентната отпорност меѓу отворените приклучоци А и В од делот од колото при исклучени генератори. 35. Да се определат параметрите на еквивалентниот Тевененов генератор за електричните кола (а) и (б). Познати податоци: R1=20Ω, R2=30Ω, E=10V, IS=4A. (a) 210 30T TE E V и R R= = = = Ω (б) 1 1 280 50T S TE R I V и R R R= = = + = Ω 36. Да се определи струјата I2 која тече во гранката со отпорникот R2. Познати податоци: R1=20Ω, R2=60Ω, R3=10Ω, R4=20Ω, E=40V, IS=6A.

Со примена на Тевененова теорема може да се еквивалентира делот од колото во однос на приклучоците А и В на кои е поврзана гранката со отпорникот R2.

Струјата во еквивалентното коло може да се определи според: 22

0.5T

T

EI A

R R= =

+

Тевененовиот генератор е со параметри добиени според следните кола:

' 3 4 3 41 4

' 40T AB S S

EE U R I R I R I R V

R R= = − = − =

+ 1 4

31 4

20T AB

R RR R R

R R= = + = Ω

+

RT

A +

I2

B

ET

⇔ R2

R1

R3 R4

R2

A

+ I2

E B

IS

R1

R3 R4

A B

R1 R3 R4

A B

⇔ E

R1

R3 R4

A

+ B

IS

I’

А

E +

R1

R2

B

(a)

IS R1

B

(б)

А R2

20

37. Да се определи моќноста што ја развива генераторот E1 за колото прикажано на сликата. Познати податоци: R1=320Ω, R4=180Ω, E1=12V, IS=100mA.

1

11

1

0.72

60

E

T

T

P EI W

E EI mA

R R

= =+= =+

Тевененовиот генератор е со параметри добиени според следните кола:

' 4 18T AB SE U R I V= = = 4 180TR R= = Ω

38. За колото прикажано на сликата кога прекинувачот е затворен моќноста на напонскиот генератор E1 е P1=100W. Да се определи напонот на прекинувачот кога тој е отворен. Познати податоци: R1=60Ω, R3=R4=32Ω, R5=40Ω, R6=60Ω, E1=50V.

П - затворен

1

11 1 1

1

2E

PP E I I A

E= = =

1 1 200TT T

T

EI E I R V

R= = =

П - отворен Uпрекинувач = UAB’= ET = 200V

RT=? (се определува од следното коло)

3 4 5 61

3 4 5 6

100T

R R R RR R

R R R R= + + = Ω

+ +

R3

R4

R1 B А

R6

R5

R3 R4 R2

A

B

R3 R4

R2 A

+ E2

B

IS

RT

A

+

I1 B

ET ⇔

+

R1 Е1

R3

R1

R4

R2 A

+

I1

E2

B

IS

+ Е1

R3 R4

R1 B А

R6

R5 ⇔

R3

Е1 R4

R1 B

+ I1

E2

А

+

R6

R5

П

RT

A + I1

B

ET

⇔ П

21

39. За колото на сликата е позната вредноста на струјата I2=1.72A во дадената насока. Да се определи вредноста на отпорникот R2. Познати податоци: R1=0.1Ω, R3=2.8Ω, R4=2.2Ω, E1=12V, E2=6V, IS=0.5A. Делот од колото во однос на гранката со струјата I2 се еквивалентира со Тевененов генератор.

22

22

7.54

T

T

TT

EI

R R

ER R

I

=+

= − = Ω

Тевененовиот генератор е со параметри добиени според следните кола:

' 1 1 2 18.05T AB SE U E R I E V= = + + = 1 3 2.9TR R R= + = Ω 40. Во колото прикажано на сликата треба да се определи вредноста на потрошувачот R така што моќноста PR која се развива на овој отпорник да биде максимална. Познати податоци: R1=2Ω, R2=R3=4Ω, R4=R7=10Ω, R5=R6=6Ω, E1=120V, E2=80V.

Според задача 3 следува дека при TR R= е исполнето:

2

max 5.554

TR

T

EP W

R= =

5

9T

T

EI A

R R= = −

+

Тевененовиот генератор е со параметри добиени според следните кола:

1 2' 6 7

1 3 6 2 5 7

20T AB

E EE U R R V

R R R R R R= = − + = −

+ + + + 6 1 3 7 2 5

46 1 3 7 2 5

( ) ( )18

( ) ( )T

R R R R R RR R

R R R R R R

+ += + + = Ω+ + + +

R1

R3

R4

А B

R1

IS

+ Е1

R3

+

Е2 R4

А B

RT

A +

I2

B

ET

⇔ R2

R1

IS

R2

+ Е1

R3

I2

+

Е2 R4

А B

R1

R4

R2

А B

R3

R6 R7

R5

R1

R4

+ Е1

+ Е2

R2

А B

R3

R6 R7

R5

RT

A +

I

B

ET

⇔ R

R1

R4

+ Е1

R

+ Е2

R2

А B

R3

R6 R7

R5

22

41. Во колото прикажано на сликата познат е напонот UAB1=10V кога прекинувачот е отворен. Да се определат струите во гранките со отпорности R2 и R4 кога прекинувачот ќе се затвори. Колку изнесува напонот UAB2 кога прекинувачот е затворен? Познати податоци: R1=R2=R3=2Ω, R4=1Ω. а) б) Кога П е отворен (коло а): Напонот на Тевененовиот генератор е еднаков на напонот на отворениот прекинувач

1 10T ABE U V= =

Низ R4 не тече струја, 4 0I ′ =

Струјата која тече низ R2 е 12

2

5ABUI A

R′ = =

Кога П е затворен (коло б):

Струјата низ R4 изнесува 44

6T

T

EI A

R R′′ = =

+ ; Напонот 2 4 4 6ABU R I V′′= =

Струјата која тече низ R2 е 22

2

3ABUI A

R′′ = =

2 31

2 31 2 3

2 31

2 3

2

3T

R RR

R RR R R R

R RR

R R

+= = = Ω

++

Стационарен режим во кола со кондензатори

Во режим на еднонасочни напони и струи во стационарна состојба во гранката со кондензаторот не протекува струја.

42. Во електричното коло претставено на сликата познати се вредностите: E=100V, R=2Ω и C=4μF. Прво се затвора прекинувачот П1, а потоа откако ќе настапи стационарна состојба се затвора и прекинувачот П2. Да се определи количеството електрицитет кое ќе протече низ генераторот по затворање на прекинувачот П2. Се посматра стационарната состојба откога ќе се затвори П1 Се претпоставува насока на протекување на количество електрицитет q и оптоварувањето на кондензаторите во стационарната состојба Q1 и Q2.

1 2Q Q q= = и 1 2C CU U= Според II К.З.

1 2 1 20 0 502C C C C

EU E U U U U V= − − = = = =

1 2

20 0 200 ; 200

2

q q q ECE E q C Q Q C

C C Cμ μ− − = − = = = = =

+ Е1

П

IS

А

B

R1 R4

R2 R3

RT

A

+ ET

R4

П отворен

B

UAB1

RT

A

+

4I ′′

ET R4

П затворен

B

UAB2

А

B

R1 R2 R3

+ E

C

П1

C

П2

+ E

C C

Q1 Q2

UC1 UC2

q

23

Се посматра стационарната состојба откога ќе се затвори и П2. Се претпоставува насока на протекување на количество електрицитет q’ и новото оптоварувањето на кондензаторите во стационарната состојба Q’1 и Q’2.

2 20 0CU и Q′ ′= =

1 1Q Q q′ ′= +

1 1

1 1

1

0 0 100

0 0

200 400

C CU E U U E V

Q Q qE E

C Cq C и Q Cμ μ

′ ′= − = = =′ ′+− = − =

′ ′= =

43. За колото на сликата кондензаторите C1=1.2μF и C2=0.4μF прво се оптоварени со количество електрицитет Q01=360μC и Q02=150μC. Да се определи количеството електрицитет кое ќе протече низ колото откога ќе се затвори прекинувачот П до настапување на стационарна состојба. Пред затворање на прекинувачот

01 0201 02

1 2

300 375Q Q

U V и U VC C

= = = =

После затворање на прекинувачот Се претпоставува насока на протекување на количество електрицитет q и крајното оптоварување на кондензаторите во новата стационарна состојба Q1 и Q2. 1 01Q Q q= − + и 2 02Q Q q= + Според II К.З.

1 20 0C CU U U= + =

01 02 2 01 1 021 2

1 2

1

2

1 21 2

1 2

0 0 22.5

382.5 ( )

127.5

318.75

Q q Q q C Q C QQ Qq C

C C C C C C

Q C со спротивен поларитет е од претпоставеното

Q C

Q QU U V

C C

μ

μμ

− + + −+ = + = = = −

+= −=

= = = =

+ E

C

Q1

U’C1

q’

Q’1

C1

Q01

q

Q1

C2

Q02

Q2

C1

Q01

C2

Q02

П

U’C1

UC1

П1-затворен П2-затворен t

U’C2

UC2

П1-затворен П2-затворен t

24

44. Во колото на сликата преклопката П најпрво е поставена во положба (1), а по настапување на стационарна состојба се поставува во положба (2). Да се определи крајното оптоварување на кондензаторот. Колку изнесува протеченото количество електрицитет и енергијата претворена во топлина во преодниот режим меѓу стационарната состојба (1) и (2)? Познати податоци: E1=120V, E2=100V, C=1μF. П→1

1 1

1 1

120

120CU E V

Q CE Cμ= =

= =

21

1

17.2

2

QW mJ

C= =

П→2

2 2

2 1 2

2 1

100

100

220

CU E V

Q Q q CE C

q Q Q C

μμ

= == − + = =

= + =

22

2

2 1 2

2 1 2

15

2

24.2J

J

QW mJ

CqE W A W

A qE W W mJ

= =

+ = += + − =

45. Во колото на сликата да се определи количеството електрицитет со кое е оптоварен кондензаторот C=2μF. (R1=4Ω, R2=6Ω, Е=10V)

Во стационарна состојба струја тече само во контурата формирана од E, R1 и R2. Во гранката со кондензаторот не тече струја, а напонот на кондензаторот е еднаков на напонот меѓу приклучоците А и В.

2 21 2

21 2

12

AB

AB AB

EU R I R

R R

Q EU Q U C R C C

C R Rμ

= =+

= = = =+

46. По затворањето на прекинувачот П, галванометарот приклучен во колото покажува дека до воспоставување на стационарна состојба во гранката со кондензаторот протекла количина електрицитет q12=15μC. Да се определи струјата на струјниот генератор IS. Познати податоци: R1=150Ω, R2=100Ω, R3=250Ω, R4=120Ω, C=2μF. При отворен прекинувач во гранката со кондензаторот не тече струја, а неговиот напон и оптиварување можат да се определат со изразите:

1 1 1 2 3 1 11 2 3

( )C AB AC C

EU U U R R и Q U C

R R R= = = + =

+ +

+

E1

C

E2

+

П

1 2

R

+

E1

C

П

1

Q1

R

+ E2

C

П

2

Q1

R Q2 q

+ E C

Q R1

R2

А

B

I

E

R3

R4

R1

•

C • • A

B

IS

+

R2

П

G

D •

q12

C

UC1=120V

П →1 t

UC1=120V

t

П →2

UC2=100V спротивен поларитет

25

Напонот UC1 е резултат на дејството на генераторот Е бидејќи во овој случај само тој работи во колото, но не е неопходно да се определува неговата вредност (ниту пак за тоа постојат услови бидејќи не е позната вредноста на Е). Кога ќе се затвори прекинувачот П настапува промена во колото при што настапува и промена на напонот и оптоварувањето на кондензаторот. Оваа преодна состојба се карактеризира со проток на количество електрицитет q12. Во стационарната состојба повторно не тече струја во гранката со кондензаторот, а неговиот напон е определен со:

2 2 1 4 2 1 12 2C AB S CU U R I E R I и Q Q q U C= = + + = + =

12 122 1 1 7.5C C C C C

q qU U U U U V

C C= + Δ = + Δ = =

Новиот напон UC2 е резултат на дејството на двата генератори во колото, напонскиот Е и струјниот IS. Со користење на принципот на суперпозиција може да се напише

2 ( ) ( ) 1SC C E C I C CU U U U U= + = + Δ

Промената на напонот на кондензаторот е резултат на вклучувањето на струјниот генератор (кој бил исклучен при отворен прекинувач), т.е. ( )7.5

SC C IU V UΔ = = .

Со цел да се определи IS потребно е да се определи изразот за ( )SC IU кога во колото работи само

струјниот генератор (напонскиот извор Е се исклучува што се претставува со куса врска).

( ) 1 47.5SC C I AB SU V U U R I R I′ ′Δ = = = = +

2

2 3 1S

RI I

R R R′ =

+ +

Следува:

2( ) 1 4

1 2 3

( )

1 24

1 2 3

7.5

50

S

S

C C I S S

C I

S

RU V U R I R I

R R R

UI mA

R RR

R R R

Δ = = = ++ +

= =+

+ +

47. Да се определи за колку ќе се промени напонот на краевите на кондензаторот во колото дадено на сликата откога ќе се затвори прекинувачот П (Е=310V, C=19μF)

П отворен (сликата во десно)

Во стационарна состојба при отворен прекинувач не тече струја во гранката со кондензаторот C, додека неговиот напон е еднаков на напонот меѓу точките А и В.

( )15 15 15 31ekv

E E EI A

R R R R R R R= = =

+ + + +

1 1 1 (15 R )

3030 300

31

C AB AC ekvU U U R I

RI E V

= = = + =

= = =

+

E

15R

C

Rekv

R

25R

A

B

C

I

x

+

E

15R

A

C

30R 30R

R

25R 40R

П

B

R3

R4

R1

•

C • • A

IS

R2

G

D •

C

I’

UC2

B

q12

E

R3

R4

R1

•

C • • A

B

IS

+

R2

G

D •

C

I

UC2

26

П затворен Во стационарна состојба при затворен прекинувач повторно не тече струја во гранката со кондензаторот C, додека неговиот напон е еднаков на новата вредност на напонот меѓу точките А и В.

2 2

4.5540 40 182C AB IIU U RI R V

R= = = ⋅ =

Со примена на методата на НКС

31

66I II

I II

RI RI E

RI RI E

+ = + =

9.7

4.55

I

II

I AR

I AR

=

=

Следува дека напонот на кондензаторот ќе се промени за 2 1 (182 300) 118C C CU U U V VΔ = − = − = −

+

E

15R

C

Rekv

R

25R

A

B

II

x

40R

III

27

Испитни задачи: 1. Во колото дадено на сликата да се определи струјата I5. (R1=5Ω, R2=2 Ω, R3=3 Ω, R4=4 Ω, R5=1Ω, E=24V)

Со примена на Тевененова теорема, следува

55

1.66T

T

EI A

R R= =

+

Тевененовиот генератор е со параметри определени според следните кола:

' 1 1 2 2

1 21 3 2 4

7

T ABE U R I R I

E ER R V

R R R R

= = − + =

= − + =+ +

1 3 2 4

1 3 2 4

3.2T

R R R RR

R R R R= + = Ω

+ +

2. Да се определи отпорноста на отпорникот R6 така што на него се развива максимална моќност, и да се определи колку изнесува максималната моќност. (R1=3Ω, R2=7Ω, R3=5,5Ω, R4=1,5Ω, R5=2,4Ω, Е1=20V, Е2=10V, Е3=5V, Е5=7V, IS=1,5A)

Со примена на Тевененова теорема следува:

6

2

max 1.144

TR

T

EP W

R= =

со услов R6 = RT

66

0.34T

T

EI A

R R= =

+

Тевененовиот генератор е со параметри определени според следните кола:

1 2 2 1' 5 3 3

1 2

6.75T AB S

E R E RE U E E R I V

R R

+= = − + − =+

1 26 5 3

1 2

10T

R RR R R R

R R= = + + = Ω

+

R5

R4

R3 R1

R2

E

+

I5

RT

A +

I5

B

ET

⇔ R5

R4

R3 R1

R2

E

+

А

B

I1

I2

R2

A

B

R4

R3 R1

R5

R1

R4

R6

IS

+

E5

E2

+ R2 E1

+ R3

E3

+ RT

A +

I6

B

ET

⇔ R6

R5

R1

R4

IS

+

E5

E2

+ R2 E1

+ R3

E3

+

А B

R5

R1

R2

R3

А B

28

3. Кога преклопката П е во положба 1, струјата низ отпорникот R6 e I6=5A. Да се определи струјата низ истиот отпорник R6 ако преклопката П се префрли во положба 2. (R1= R2= R3=20Ω, R4=10Ω, R5=5Ω, R6=10Ω, R7=20Ω, E1=20V, E2=10V, E4=100V, Is=10А).

Кога преклопката П е во положба 1 работат генераторите E1, E2 и IS. Напонскиот извор E4 е исклучен (на неговото место е куса врска). Според принципот на суперпозиција за струјата I6 може да се напише:

1 26 6( ) 6( ) 6( ) 5SE E II I I I A= + + =

Кога преклопката ќе се префрли во положба 2, за новата струја низ R6 може да се напише:

1 2 4 4 46 6( ) 6( ) 6( ) 6( ) 6 6( ) 6( )5 5.83SE E I E E EI I I I I I I A I A′ = + + + = + = + =

Со цел да се определи струјата 6I ′ , недостасува да се определи само придонесот од дејството на нововклучениот генератор Е4, т.е да се определи струјата

46( )EI кога сите други извори

се исклучени, а работи само E4.

4

4 5 6 71 23

1 2 4 5 6 7

2.5( )( )

( ) ( )

EI A

R R R RR RR

R R R R R R

= = + ++ + + + + +

4

4 56( )

4 5 6 7

( )0.83

( ) ( )E

R RI I A

R R R R

+= − = −+ + +

4. После затворање на прекинувачот П и воспоставување на стационарна состојба во колото на сликата електростатската енергија на кондензаторот C1=1μF изнесува W1=2μJ (претходно кондензаторите биле неоптоварени). Да се определи непознатата отпорност на отпорникот R. (R1=2Ω, R2=3Ω, R4=8Ω, Е=15V, C2=4μF)

2 11 1 1 1

1

1 1 1

22 1 2

2

212

2

2

0.5

WW C U U V

C

Q C U C

QQ Q U V

C

μ

= = =

= =

= = =

Во стационарна состојба струја тече само во гранките кои не содржат кондензатори.

( )1 2

1 21 2

2.5

2.5 1

AB

AB ABAB

U RI U U V

E U UU E R R I I A R

R R I

= = + =−= − + = = = = Ω+

R3

E1 +

E2

+

R1

R6

R5

R2

Is

П 2

1

I6

E4

+ R4

R7

R3

R1

R6

R5

R2

П

2 I6(Е4))

E4

+

R4

R7

I

+ E

C1

R

А B

C2

R4

R2

R1

П

U1 U2

I

29

5. Во колото прикажано на сликата оптовареноста на кондензаторот C=2μF изнесува Q=0.3mC. Ако паралелно со кондензаторот се приклучи отпорник со отпорност R1=10Ω да се определи моќноста на генераторот Е2. (R2=10Ω, R3=7Ω, R4=6Ω, R5=2Ω, R6=3Ω, R7=4Ω, E2=200V, E3=150V)

Во стационарна состојба при отворен прекинувач П во гранката со кондензаторот не тече струја.

Напонот на кондензаторот изнесува: 1 1 1 1 2 2 2150 ;C AB C AB

QU U V U U E R I

C= = = = = −

Со примена на Тевененова теорема десниот дел од колото меѓу приклучоците А и B може да се еквивалентира како на слика а). Од еквивалентното коло се забележува дека при отворен прекинувач во стационарна состојба важи: 1 1 150C AB TU U E V= = = При затворен прекинувач П во стационарна состојба еквивалентното коло може да се прикаже како на сликата б). Низ кондензаторот не тече струја, а неговиот напон изнесува UC2.

2 2 1 11

100TC AB T T

T

EU U R I E R I R V

R R= = = − = =

+

RT се определува според шемата од сликата во десно:

( )( )( )( )

4 5 72 3

4 5 7

2 3 4 5 7

4 5 72 3

4 5 7

[ ( )] 5T

R R RR R

R R RR R R R R R

R R RR R

R R R

++ + + = + + = = Ω

++ + + +

При затворен прекинувач П од оригиналната шема може да се определи струјата I’2 според:

2 2 2 2 2 2 2 2100 10 2C AB EU U E R I V I A и P E I kW′ ′ ′= = − = = = =

+ E2

R6

А

B

R4 R2

П IS

C

R3

+

E3

R1

Q

R5

+ E7

R7

+ E4

I2

I’2

А

B

R4 R2

R3 R5

R7

RT

+ ET

А

B

C R1

Q’ I

б)

RT

+ ET

⇔

А

B

П

C

R1

Q

а)