Univerzitet u Beogradu

Elektrotehniki fakultet

Elementi elektroenergetskih sistema

raunske vebe

ELEKTRINI PRORAUN NADZEMNIH VODOVA

eljko urii

Kristina Vlajinac-Deleti

Beograd, 2006.

2

ZADATAK: 1 Popreni presek nadzemnog voda prikazan je na slici. Fazni provodnici su izvedeni sa dva Al-Fe ueta prenika d=26mm, kod kojih je re=0,9r. Rastojanje izmeu provodnika jedne faze je Ds=0,4m. Zatitni provodnici izvedeni su izvedeni sa Al-Fe uetom prenika dz=16mm, kod kojih je rez=0,85rz. Odrediti pogonske i nulte podune parametre voda.

Reenje: Da bi se mogli sprovoditi prorauni i analize razlititih radnih stanja i kvarova u EES-u, svi elementi EES-a se predstavljaju matematikim modelima, odnosno zamenskim emama koje mogu biti manje ili vie sloene u zavisnosti od toga kakve se analize sprovode. Da bi se sastavila zamenska ema nekog elementa EES-a neophodno je poznavati parametre koji karakteriu taj element. Nadzemni vod, s obzirom na njegove dimenzije, se obino opisuje podunim parametrima, a to su njegova otpornost, induktivnost i kapacitivnost, koji se svode na jedinicu duine voda (obino na 1 km ili 100 km). Razlikuju se pogonski i nulti parametri voda:

Pogonski parametri voda odgovaraju pretpostavci da je vod prikljuen na simetrian trofazan prostoperiodian sistem napona i da kroz fazne provodnike teku prostoperiodine simetrine trofazne struje. Treba primetiti da je pri ovakvim uslovima zbir faznih struja nula. Nulti parametri voda odgovaraju eksitaciji voda nultim komponentinim sistemom napona i struja, odnosno, nulti parametri voda odgovaraju pretpostavci da je na sve fazne provodnike prikljuen isti prostoperiodini napon i da kroz sve fazne provodnike teku jednovremene prostoperiodine struje iste amplitude. Pri nultoj eksitaciji voda mora postojati povratni put faznih struja, jer je njihov zbir razliit od nule (jednak je trostrukoj vrednosti fazne struje). Fiziki taj povratni put je zemlja.

U konkretnom zadatku dat je tipian 400kV koji se koristi u EES-u Srbije. Na slici 1.1 prikazan je detalj 400kV dalekovoda.

Z1 Z2

6 m 6 m

9 m4 m

h sg =

9 m

A B C

Povrina zemlje

3

Slika 1.1 Detalj 400 kV dalekovoda kakav se analizira u zadatku

Proraun pogonske induktivnosti voda: U elektromagnetskom pogledu vod predstavlja sistem magnetski spregnutih kontura koje se nalaze u nemagnetnoj sredini (pretpostavka je da i zemlja ima sline magnetske karakteristike kao i vazduh). Kao to je reeno, pri proraunu pogonskih parametara pretpostavka je da kroz fazne provodnike protiu simetrine trofazne struje. S obzirom da je zbir struja u analiziranim pogonskim uslovima jednak nuli i da su zemljovonda uad po pravilu postavljena simetrino u odnosu na fazne provodnike, u petljama koje ine zemljovodna uad se ne indukuju struje, pa zatitna uad ne utiu na proraun pogonske induktivnosti. Iz tog razloga pogonsku induktivnost definiu samo geometrijske karakteristike faznih provodnika i njihov meusobni poloaj (pretpostavka je da je vod transponovan).

Slika 1.2 Uz proraun podune pogonske induktivnosti voda

Proraun srednjeg geometrijskog rastojanje izmeu faznih provodnika:

56726 3 ,Dsg == m.

6 m 6 m A B C

Fazni provodnici (A, B, C)

Zatitna (zemljovodna) uad (Z1, Z2)

4

Proraun ekvivalentnog poluprenika faznog provodnika koji je izveden u vidu snopa sa n provodnika po fazi:

8464031901 ,,,Drr n nsees === cm. Proraun pogonske podune induktivnosti voda:

9410846

756102102 44 ,,

lnrD

lnLes

sg === mH/km.

Proraun pogonske podune reaktanse voda:

295094105022 ,,fLLX ==== /km.

Proraun pogonske kapacitivnosti voda: U elektrostatikom pogledu provodnici voda ine sistem elektroda koje se nalaze iznad beskonane elektrino provodne ravni (zemlje). Poto su zemljovodna uad postavljena simetrino u odnosu na vertikalnu osu stuba, uz pretpostavku da je vod transponovan, elektrino polje koje potie od faznih provodnika se ponitava (jednako je nuli) na mestu zatitnih uadi. Iz tog razloga zatitna uad ne utiu na proraun pogonske kapacitivnosti. Uticaj zemlje se moe matematiki ekvivalentirati prema teoremi likova, tako da se za proraun pogonske kapacitivnosti analizira sistem od est elektroda (tri fazna provodnika i njihovih odgovarajuih likova postavljenih simetrino u odnosu na povrinu zemlje) koje se nalaze u vazduhu, kao to je prikazano na slici 1.3.

Slika 1.3 Uz proraun podune pogonske kapacitivnosti voda

Poto izmeu elektroda kondenzatora (faznih provodnika), kao i izmeu faznih provodnika i zemlje, postoji u pogonskim radnim uslovima napon, onda postoji i kapacitivna struja punjenja voda i u uslovima kada je vod u praznom hodu. Nivo struje punjenja voda zavisi od napona i pogonske kapacitivnosti voda. Proraun ekvivalentnog poluprenika faznog provodnika (snopa):

21740311 ,,Drr n nesc === cm.

9 m

6 m 6 m 9

m

A

AB0

B C

AC0 povrina zemlje BC0

A0 B0 C0

5

Proraun srednjeg geometrijskog rastojanja izmeu faznih provodnika i odgovarajuih likova:

( ) m,DBCBBACAAABAABCACABD

sgff

sgff

821912186183 22220

3 220

220

220

30000

=++=+++==

Proraun pogonske kapacitivnosti voda:

9

2

8

0

8

1019312

82191021792567

10555555210555555

=

== ,

,,,ln

,

DrhD

ln

,C

sgffesc

sgsg F/km

Proraun karakteristine impedanse voda za pogonske uslove, uz pretpostavku da je vod idealizovan (zanemareni gubici aktivne snage):

===

8,277

10193,1210941,0

9

3

CLZC

Proraun nulte induktivnosti voda: Za izraunavanje nulti induktivnosti potrebno je posmatrati jednu petlju koju ini fazni provodnik zemlja i kratkospojene petlje zemljovodna uad zemlja, slika 1.4.

Slika 1.4 Skica kontura voda u jednom rasponu sa naznaenim strujama koje odgovaraju nultom komponentnom sistemu

A B

C

I0 I0

I0

Iz

IzZ1 Z2

3I0

6

Nulta induktivnost predstavlja odnos fluksa koji obuhvata petlja fazni provodnik zemlja i struje u faznom provodniku te petlje (I0). Kada ne bi bilo drugih kontura u blizini analizirane konture induktivnost bi se definisala preko geometrije samo petlje koju ini fazni provodnik zemlja. Meutim, zemljovodna uad su na svakom stubu uzemljena (metalno su privrena za stub, vidi sliku 1.1, koji je uzemljen) tako da ona formiraju u svakom rasponu kratkospojenu petlju koja je magnetski spregnuta sa petljom fazni provodnik zemlja te utie na fluksni obuhvat ove petlje, a samim tim i na nultu induktivnost. Pri proticanju jednovremenih (nultih) struja kroz fazne provodnike voda indukuje se struja i u petlji koju ine zatitna uad zemlja. Indukovana struja u zatvorenoj konturi zemljovodna uad - zemlja je, shodno Lencovom zakonu, takvog smera da tei da poniti fluks koji ju je izazvao. Dakle pri istoj struji u faznim provodnicima u sluaju postojanja zemljovodne uadi fluks koji obuhvata

petlja fazni provodnik - zemlja je manji. Poto je po definiciji induktivnost L neke petlje: i

L = iz prethodne analize sledi da je induktivnost petlje fazni provodnik-zemlja, odnosno nulta induktivnost voda, manja ako postoje zemljovodna uad jer indukovana struja u njima svojim magnetskim dejstvom tei da smanji fluks u petlji fazni provodnik zemlja. Potrebno je prokomentarisati povratni put trostruke nulte struje kroz zemlju. Struja se kroz popreni presek tla raspodeljuje tako da ukupna impedansa bude minimalana. Sa aspekta reaktivnog otpora struja bi teila da se koncentrie uz samu povrinu tla, jer je tako reaktansa najmanja (najmanja je povrina petlje fazni provodnik zemlja). Poto zemlja ima neku omsku otpornost postoji i omski otpor. Sa aspekta omskog otpora zemlje (rezistanse) struja bi teila da se rasprostire na to veu povrinu zemlje jer je omski otpor obrnuto srazmeran povrini provodnika (u ovom sluaju zemlje). U realnim uslovima struja se rasporeuje kroz zemlju tako da ukupna impedansa petlje bude minimalna. Iz ove kratke analize zakljuuje se da povratni put struje zavisi od frekvencije f (vea frekvencija znai vei uticaj reaktanse odnosno veu koncentaciju struje pri povruni tla) i specifine omske otpornosti zemlje. Karson je pokazao da se zemlja kao geoloki provodnik moe zameniti ekvivalentnim provodnikom koji ima dimenzije iste kao i fazni

provodnika a ukopan je na ekvivalentnoj dubini: f

]m[De660= . Geometrija koju je potrebno

posmatrati za proraun nulte induktivnosti analiziranog voda je prikazana na slici 1.5.

Slika 1.5 Uz proraun nulte induktivnosti voda

Z1 Z2

6 m 6 m

9 m4m

h sg =

9 m

A B C

De

7

Nulta poduna induktivnost voda se rauna prema sledeem izrazu:

=

zzez

e

sgfz

e

sges

ez

DrDDD

Dr

DLln

lnln106 1

2

3 2

40 ,

gde su: Dubina ekvivalentnog povratnog provodnika:

3893350

100660660 ,f

De == m.

Srednje geometrijsko rastojanje izmeu faznih provodnika i zemljovodne uadi:

mCZBZAZD sgfz 61,645,1045,445,132222223

1111 =+++== Rastojanje izmeu zatitne uadi:

mDzz 9= . Ekvivalentni poluprenik zatitne uadi:

cmrr zez 68,08,085,085,0 === Nulta poduna induktivnost analiziranog voda:

=

=

9106803893361638933

5671084638933106

2

2

3 22

40

,,ln

,,ln

,,,lnLz zLL 00

( ) km/mH,,,,,LLLz 0453278531830639755238436106 4000 ==== L0 nulta poduna induktivnost voda kada ne bi imao zatitnu uad L0z iznos za koji zemljovodna uad smanjuju nultu podunu induktivnost voda Zakljuuje se da zemljovodna uad znaajno smanjuju nultu induktivnost voda (oko 50%). Nulta poduna reaktansa voda je:

km/,,,XXLX zz ==== 6420561020310000 . Proraun podune nulte kapacitivnosti voda: Za razliku od uslova prorauna pogonske kapacitivnosti, kada je pretpostavka da je vod prikljuen na trofazni simetrian sistem napona, kod prorauna nulte kapacitivnosti voda

8

pretpostavka je da su svi fazni provodnici prikljueni na isti napon (nulti komponentni sistem napona). Pod ovom pretpostavkom, u zemljovodnim uadima se usled kapacitivne sprege indukuje naelektrisanje jer je rezultantni vektor jaine elektrinog polja, koje potie od faznih provodnika, na mestu zatitnih uadi razliit od nule, pa zatitna uad utiu na nultu kapacitivnost voda. Na slici 1.6 prikazana je geometrija stvarnih i fiktivnih provodnika merodavnih za proraun nulte kapacitivnosti voda.

Slika 1.6 Uz proraun nulte podune kapacitvnosti voda

Nulta kapacitivnsot voda se rauna prema sledeem izrazu: [ ]kmF

ZZrZZhln

DD

lnkDrDh

ln

,C

z

zsgfz

sgfz

sgesc

sgffsg

z

21

201

1

1022

20

8

023

210555555

=

,

gde je k=2, za dva ueta, odnosno k=1, za jedno ue i tada je 121

201 ZZZZ .

Proraun srednjeg geometrijskog rastojanja izmeu faznih provodnika i likova zemljovodnih uadi:

mCZBZAZD sgfz 94,22225,10225,4225,132222223

10101010 =+++== Proraun rastojanja izmeu zemljovonog ueta i lika drugog zemljovodnog ueta:

mZZ 51,27269 22201 =+= . Zamenom prethodno definisanih veliina u izraz za proraun nulte kapacitivnosti voda dobija se:

kmFC z 9

8

0 10628,801,1447,71055555,5 ==

6 m 6 m

9 m

A B C

povrina zemlje

A0 B0 C0

Z1

Z10 Z20

Z2

9 m

9

Ako vod ne bi imao zemljovodna uad nulta kapacitivnost bi bila: [ ]kmF,

DrDh

ln

,C

sges

sgffosg

9

2

2

8

0 104672

10555555 ==

Zakljuuje se da zemljovodna uad relativno malo utiu na nultu kapacitivnost. U sluaju postojanja zemljovodnih uadi nulta kapacitivnost je oko 10% vea u odnosu kada zatitna uad ne bi postojala. Nulta karakteristina impedansa voda bez zemljovodne uadi je:

===

5,716

1046,7108306,3

9

3

0

00 C

LZC

Nulta karakteristina impedansa voda sa zemljovodnom uadi:

===

88,486

10628,8100453,2

9

3

0

00 z

zzC C

LZ

10

ZADATAK: 2 Izraunati podunu pogonsku reaktansu dvostrukih nadzemnih vodova na zajednikim stubovima (za f=50 Hz). Ekvivalentni poluprenik provodnika je 18mm. Popreni presek voda je prikazan na slici. Kolika e biti poduna induktivnost jednog voda ako je drugi vod u praznom hodu?

Reenje: Iz ekonomskih razloga se esto u prigradskim i gradskim sredinama dva (a nekada i vie) vodova postavljaju na zajednike stubove, slika 2.1.

Slika 2.1 Dva paralelno voena 110kV voda na istim stubovima sa rasporedom faznih provodnika slinim kao u analiziranom zadatku

A

4 m 4 m 3 m

c

b

Povrina zemlje

a

3 m

3 m 3 m

B

C

11

S obzirom na relativno malu udaljenost provodnika kroz koje protiu struje postoji magnetska sprega izmeu faznih provodnika razliitih vodova, prema definiciji induktivnosti, postoji meusovni uticaj vodova na njihovu pogonsku i nultu induktivnost. Da bi pogonska induktivnost bila konstantna potreno je da budu ispunjeni odreeni uslovi (vidi udbenik str. 108). Pod definisanim pretpostavkama u sluaju istog strujnog optereenja oba voda pogonska poduna induktivnost jednog voda je:

iisge

ijsgsg

DrDD

lnL 4102 = , gde su:

Dsg srednje geometrijsko rastojanje izmeu faza jednog voda, Dsgii srednje geometrijsko rastojanje izmeu istoimenih faza dva voda, Dsgij srednje geometrijsko rastojanje izmeu raznoimenih faza dva voda.

Proraun geometrijskih parametara voda:

m,bcacabBCACABDsg 91536013613 33 222233 ==++=== , m,CcBbAaDiisg 60466863

3 === . m,BcAcAbDijsg 8957376673

3 2222223 =+++== ,

Proraun podune induktivnosti paralelno voenih dalekovoda na istim stubovima:

112216046018089579153102102 44 ,,,,,ln

DrDD

lnL iisge

ijsgsg =

== mH/km.

Proraun odgovarajue podune pogonske reaktanse:

34940112215022 ,,LfLX ==== /km Ako je jedan od vodova u praznom hodu (otvoren prekida na kraju voda), onda kroz taj vod tee mala kapacitivna struja (struja punjenja voda) i ona ima slab elektromagnetski uticaj na drugi vod, pa se on u magnetskom pogledu moe posmatrati kao da ne postoji drugi vod. U tom sluaju pogonska induktivnost voda je:

0764101809153102102 44 ,,,ln

rD

ln'Le

sg === mH/km.

Odgovarajua poduna pogonske reaktanse je:

33820076415022 ,,'Lf'L'X ==== /km Kada su oba vod optereena pogonska reaktansa vodova je vea od pogonske reaktanse kada je samo jedan vod u pogonu.

12

ZADATAK: 3 Fazni provodnici dva identina paralelno voena dalekovoda spojeni su kao na slici. Uzimajui u obzir samo induktivnosti u datom kolu, izraunati promenu struje (I) pri otvaranju prekidaa (P). Poznati su sledei parametri vodova: Dsg=4m srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika svakog voda; DsgM=20m srednje geometrijsko rastojanje faznih provodnika razliitih vodova; re=15mm ekvivalentni poluprenik svih faznih provodnika.

Reenje: Poto su vodovi identini i svi provodnici na istim visinama iznad zemlje (pretpostavka je da su vodovi transponovani) kroz fazne provodnike tei e iste struje koje su u fazi jer su svi provodnici prikljueni na isti napon. Struju kroz jedan fazni provodnik ograniava odgovarajua nulta reaktansa. Kada je prekida P ukljuen imamo dva paralelno voena dalekovoda pa je nulta reaktansa za paralelno voene identine vodove:

Msg

e

sge

ep

DD

Dr

DL

= 3 2

40 ln106 ,

gde su:

m,f

De 4933660 == , kada se uzme u obzir visina veanja provodnika:

mHDD sgee 4,943=+= Kada je prekida (P) zatvoren, struju I ograniava 1/6 nulte reaktanse.

A B C

P

a b c

l = 50km

U=100V, 50Hz Hsg=10m I

Dsg=4m

Dsg=4m

Dsg

M =

20m

=100m De

13

kmmHLp

/1178954,1204105,1

4,943ln106 3 22

240 ==

kmLXpp

/3512,066

00 ==

AXl

UI pp 695,5

60

==

Kada je prekida (P) otvoren, kroz taj vod ne postoji struja pa on u elektromagnetskom pogledu ne utie na drugi vod. U osvom sluju struju I ograniava 1/3 nulte reaktanse usamljenog voda:

3 2

40 ln106

sges

e

Dr

DL =

kmmHDr

DL

sge

e /465,14005,1

94340ln1021023 3 2

4

3 2

40 =

=

=

kmLX /4602,033

00 ==

AX

l

UI 345,4

30==

Na osnovu prethodne analize moe se zakljuiti da je struja u sluaju kada je zatvoren prekida P vea za:

AIII p 35,1345,4695,5 === .

14

ZADATAK: 4 Fazni provodnici trofaznog dalekovoda spojeni su meusobno, sa zemljom i izvorom 50Hz napona od U=100V, prema slici. Izraunati struju (I) uzimajui u obzir samo induktivnosti. Fazni provodnici voda rasporeeni su u temenima ravnostranog trougla stranice D=4m i transponovani su. Srednja geometrijska visina veanja faznih provodnika je Hsg=10m.

Reenje: U analiziranom sluaju, ako se zanemari aktivna otpornost u kolu, struju ograniava samo odgovarajua reaktansa sloene petlje koja je dobijena prikazanim vezivanjem faznih provodnika. Poto je kolo sloeno i geometrija prostorna najzgodnije je proraunati induktivnost svakog od provodnika koji su vezani na red. U optem sluaju za sistem od m provodnika kroz koje protiu struje, induktivnost jednog provodnika je:

= =

m

jj

A

Bj

eA ABI

Ir

L1

4 ln1ln102

U analiziranom sluaju, zbog geometrijske simetrije, odnosno zbog jednakih struja u provodnicima (A) i (C), vai LA=LC:

e

ee

eCA r

DDDDr

LL'

4'4 ln102lnlnln1ln102 =

++==

Gde je De' = De + Hsg

'

24'4 ln102lnlnln1ln102

eee

eB Dr

DDDDr

L =

++=

Fazni provodnici su redno vezani, pa je ukupna poduna induktivnost petlje:

D=4m re=10mm

U=100V,50Hz

=100m

A A

B

l=100km

B

C C

I

De

Hsg

15

'

'4

'

24

'4 ln104ln102ln104

eee

e

eee

eCBA

Drr

DDDr

Dr

DLLLL =+=++=

mf

De 4,93350100660660 ===

mDe 4,943104,933

' =+=

km/mH,lnL 687549434011

40094340104 4 ==

Odgovarajua poduna reaktansa je:

kmLX /47263,1 ==

Proraun struje I:

AXlUI 679,0

1004726,1100 ===

16

ZADATAK: 5 Na slici je prikazana principijelna ema nadzemnog niskonaponskog distributivnog voda, duine l, za vreme jednopolnog kratkog spoja provodnika faze A na kraju voda (faze B i C su neoptereene). Napisati potreban broj jednaina (definisati sve parametre u njima) iz kojih se mogu odrediti ustaljene struje kvara u faznom provodniku A (IA), neutralnom provodniku N (IN) i uzemljivau (IZ). Poznate veliine su: U, f=50 Hz, =100 m, Ruz1, Ruz2, rv, l, re, D i H

Neutralni i fazni provodnik imaju iste ekvivalentne poluprenike (reA=reN=re) i iste podune omske otpornosti (rA=rN=rv). Neutralni provodnik je na kraju voda spojen sa uzemljivaem iji je otpor Ruz2, a na poetku voda sa uzemljivaem otpornosti Ruz1.

Reenje: Poto je, prema uslovu zadatka, neutralni provodnik na kraju voda spojen sa zatitnim uzemljenjem objekta (zatitno nulovanje), pri jednopolnom kratkom spoju struja kvara IA e se zatvarati i kroz neutralni provodnik i kroz zemlju. Proraun struja se moe izvriti prema zamenskoj emi prikazanoj na slici 5.1.

Slika 5.1 Zamenska ema Proraun parametara zamenske eme:

Omska otpornost faznog i neutralnog provodnika: lrRRR vvNA === . Sopstvena induktivnost petlje fazni provodnik zemlja:

IA LA Rv

RZ

IN LN Rv

Ruz1 Iz

U MAN

A

N

Ruz2

U; f=50 Hz

A

N

l

D re rv

H

=100 m Ruz2 Ruz1

rv

IN =?

IA=?

IZ=?

17

lr

DhDL

e

eA

++= ln102 4 ,

gde je dubina ekvivalnetnog provodnika:

mmmf

De 4,9332660][660 === Sopstvena induktivnost petlje neutralni provodnik zemlja:

lr

DhL

e

eN

+= ln102 4 .

Poto je DDe >> , vai da je AN LL . Meusobna induktivnost petlji fazni provodnik zemlja i neutralni provodnik zemlja:

lD

hDlnM eAN

+= 4102 . Aktivna otpornost zemlje izmeu dva uzemljivaa: ( ) ][05,010 42 = llfRZ , ][kml .

Na osnovu zamenske eme moe se napisati sledei sistem jednaina iz kojeg se mogu prorunati nepoznate struje:

NZA

ZZuzuzAANNNV

ZZuzuzNANAAV

IIIIRRRIMjILjRIRRRIMjILjRU

+=+++=++++=

)()(0)()(

21

21

gde je f 2= .

18

ZADATAK 6: Izraunati struju I pri jednopolnom kratkom spoju faze C na 110 kV vodu prikazanom na slici. Pri proraunu, pored odgovarajue reaktanse, uzeti u obzir i omske otpornosti: provodnika, uzemljivaa i zemlje. Parametri provodnika su: ekvivalentni poluprenik - re=12 mm, poduna omska otpornost - rv=0,1 /km.

Srednja visina veanja provodnika je H=8 m. Vod se nalazi iznad priblino homogenog tla, specifine otpornosti =100 m. Vod nema zatitno ue.

Reenje: Pri jednopolnom kratkom spoju na nadzemnom vodu struju kvara ograniava reaktansa petlje kvara i omske otpornosti u petlji kvara (otpornost provodnika pogoenog kvarom, uzemljivaa i zemlje).

Slika 6.1 Petlja zatvaranja struje kvara

Poto vod nema zatitnih uadi i fazni provodnici zdravih faza su otvoreni reaktansu petlje kvara odreuje sopstvena induktivnost petlje kvara:

2X f L l= 42 10 ln e

e

D HL

r +=

100660 660 93350e

D mf= = =

HzfkVU 50;

3110 ==

I B

C

A

l = 100 km

Ruz1= 10 =100 m Ruz2= 20

HzfkVU 50;

3110 ==

I C l = 100 km

Ruz1= 10 =100 m Ruz2= 20 De

H

19

4 43

933 82 10 ln 2 10 ln 2, 254 /12 10

e

e

D HL mH km

r

+ + = = =

32 314,16 2, 254 10 100 70, 81X f L l = = =

Proraun omske otpornosti petlje kvara:

1 2e v uz z uzR R R R R= + + + 0,1 100 10v vR r l= = =

4 2 4 210 10 50 100 5zR f l = = 2 1 10 20 5 10 45e v uz z uzR R R R R= + + + = + + + =

Proraun impedanse petlje kvara:

2 2 2 245 70,81 83, 9eZ R X= + = + =

Proraun struje kvara:

110 / 3 75783, 9

UI AZ

= = = Ukoliko bi vod imao zatitnu uad onda bi struja kvara bila vea jer bi zatitna uad smanjila reaktansu petlje kvara.

20

ZADATAK 7: Fazni provodnici trofaznog nadzemnog transponovanog voda su izvedeni provodnicima poluprenika 10 mm i vezani kao na slici. Ako je srednje geometrijsko rastojanje provodnika 3 m, srednja geometrijska visina veanja provodnika 12 m, a duina voda 100 km, odrediti struju I pri uestanosti 50 Hz.

Reenje: Fazni provodnici su meusobno kapacitivno i induktivno spregnuti. S obzirom da je fazni provodnik A otvoren na kraju voda struja I je kapacitivna. Poto je napon prikljuen izmeu faznog provodnika i zemlje struja I se mora zatvoriti prema zemlji. Putevi zatvaranja struje I su prikazani na slici 7.1. Jedan deo struje I se zatvara izmeu faznog provodnika A i zemlje (crvene strelice), zatim prema faznim provodnicima faza B (plave strelice) i C (zelene strelice) koji su uzemljeni. Struja I je raspodeljena du provodnika A, tako da idui prema kraju voda struja opada, to je naznaeno crvenom strelicom. Ako se pretpostavi da je efektivna vrednost napona du provodnika A ista (u ova pretpostavka nije u potpunosti tana kod dugakih vodova zbog Farantijevog efekta) i da se ne menja geometrija voda du trase, onda se sa svakog kilometra voda odvodi ista vrednost struje. Struje prema faznim provodnicima B i C su jednake ako je vod simetrian, odnosno transponovan.

Slika 7.1 Putevi zatvaranja kapacitivne struje punjenja voda

kV3

110 A

C

B I

C B

A I

Z

U

21

Svaki par provodnika (ukljuujui i zemlju) ini jedan kondenzator. Kapacitivnost nekog faznog provodnika prema zemlji predstavlja nultu kapacitivnost C0, dok kapacitivnost izmeu dva fazna provodnika je definisana kao meusobna kapacitivnost Cm. Zamenska ema za analizirani sluaj je predstavljena na slici 7.2, bojama su naznaene kapacitivnosti u skladu sa slikom 7.1. Treba napomenuti da je u ovom primeru uzeta samo u obzir kapacitivna sprega izmeu faznih provodnika jer su struje relativno male i raspodeljene tako da je uticaj meusobnih induktivnosti zanemarljiv.

Slika 7.2 Ekvivalentna ema

Ekvivalentna kapacitivnost je:

me CCC 20 += . Meusobna kapacitivnost se moe izraziti preko pogonske C i nulte kapacitivnosti:

30CCCm

= . Kada se ne zna taan raspored provodnika, za izraunavanje srednjeg geometrijskog rastojanja izmeu faznih provodnika i njihovih likova moe se koristiti sledea formula:

2240 sgsg

sgff DHD += .

U konkretnom sluaju je:

mD sgff 19,24312422

0=+= .

Poduna pogonska kapacitivnost voda je:

kmF

DrHD

C

sgffesc

sgsg/107536,9

19,2410101223ln

1055555,52

ln

1055555,5 9

3

88

0

=

=

= .

Poduna nulta kapacitivnost voda je:

kmF

DD

rH

C

sg

sgffsg

/10646,4

319,24

1010122ln

1055555,5

2ln

1055555,5 92

3

8

2

8

0

0

=

=

= .

C0 Cm

Cm I

C

BA

kV3

110 => kV3110 Ce

I

22

Ekvivalentna kapacitivnost za analizirani sluaj je:

kmFCCCC

CCCC me /10051,832

322 90000

=+=+=+= Proraun struje punjenja voda:

AI

AUlCI Ae

06,16

06,16103

11010051,8100502 39

====

23

ZADATAK 8: Fazni provodnici trofaznog transponovanog nadzemnog voda, duine l = 50 km, podune pogonske kapacitivnosti c = 10 nF/km i podune nulte kapacitivnosti co = 5,2 nF/km, vezani su kao na slici. Odrediti struju I i napon faznog provodnika A prema zemlji.

Reenje:

Struja punjenja voda (I) u praznom hodu i napon slobodne faze prema zemlji (UA) su posledice kapacitivne sprege meu provodnicima voda u prisustvu zemlje (kao beskonane provodne ravni). Veza izmeu trenutnih vrednosti faznih napona (uA,B,C) i odgovarajuih naelektrisanja faznih provodnika (qA,B,C) je data preko matrice parcijalnih kapacitivnosti, prema sledeoj relaciji:

=

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

uuu

CCCCCCCCC

qqq

.

Diferenciranjem prethodne relacije po vremenu dobija se:

=

=

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

C

B

A

uuu

dtd

CCCCCCCCC

iii

qqq

dtd .

Poto se radi o prostoperiodinim reimima voda, moe se prethodna relacija napisati u kompleksnom domenu:

=

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

.

Za konkretan sluaj jednaine fizike oiglednosti su: kVUUUI CBA 335;0 ==== , pa su

nepoznate u prethodnoj matrinoj jednaini .,, ACB UII Sada se moe napisati sledei sistem jednaina:

kVU3

35=

I B

C

A

l = 50 km

24

UCC

CCjIIUCC

UUCjUCjUCjIUCjUCjUCjI

UCjUCj

f

fffffCB

f

ffA

fffAffC

fffAffB

ffAf

+===

++=++=

+= 22;

220

.

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izraunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda prema sledeim relacijama:

.42,0)1008,0(250102,522

;08,0503

10)2,510(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

=========

Napon faze A prema zemlji je:

0069873

3538103

35420

08022 ==== kV,kV,,

),(UCC

Uf

ffA

Proraun struje I :

Aj3,93103

35100,420,0820,080,42502j2U

C2C

CCfj22III 362

f

2ff

fffCB =

=

+=+=

Zadatak se moe reiti metodologijom koja je koriena u zadatku 6, ali je prethodni pristup optiji.

25

ZADATAK 9:Trofazni transponovani 110 kV dalekovod, duine l = 100 km, se nalazi u praznom hodu. Ako pri iskljuenju dalekovoda pol prekidaa u fazi C ostane zaglavljen (kao na slici) odrediti: struju I, napone slobodnih faznih provodnika A i B prema zemlji i meufazni napon UAB .

Poduna pogonska kapacitivnost voda je c = 11 nF/km, a poduna nulta kapacitivnost je co = 5 nF/km.

Reenje:

U ovom konkretnom sluaju dva fazna provodnika su iskljuena (odvojena od mree) i na poetku i na kraju, dok je fazni provodnik faze C prikljuen na fazni napon. Usled kapacitivne sprege izmeu faznih provodnika voda u prisustvu zemlje, koja se tretira kao beskonana provodna ravan, fazni provodnici faza B i C e imati neki napon prema zemlji, koji je potrebno odrediti. Poto se radi o prostoperiodinom reimu moe se proraun vriti u kompleksnom domenu:

=

C

B

A

fffff

fffff

fffff

C

B

A

UUU

jCCCCCCCCC

III

.

Za konkretan sluaj jednaine fizike oiglednosti su: kVUUII CBA3

110;0 ==== , pa su nepoznate u prethodnoj matrinoj jednaini .,, BAC UUI

Moe se napisati sledei sistem jednaina:

UCC

CCjI

;UCC

CUU

UCjUCjUCjIUCjUCjUCjUCjUCjUCj

fff

fffC

fff

ffBA

fBffAffC

ffBfAff

ffBffAf

+=

+==

++=++=++=

22

00

Elementi matrice parcijalnih kapacitivnosti (Cff i Cf) se mogu izraunati na osnovu pogonske i nulte kapacitivnosti datog voda:

HzfkVU 50;3

110 ==

I B

C

A

l = 100 km

26

.9,0)102,0(210010522

;2,01003

10)511(33

6900

90

FClcCCC

FlccCC

CC

fffff

omff

=========

Naponi faza A i B prema zemlji su:

kVkVUUUCC

CUU

fff

ffBA 14,18

31102857,02857,0

2,09,02,0 ===

=+== .

Meufazni napon UAB:

kVUUU BAAB 0==

Struja u faznom provodniku C je:

AjjUCC

CCjI

fff

fffC 68,15

31011010)

2,09,0)2,0(29,0(502

2 3622

==

+=

U ovom zadatku je utvreno da napon na slobodnim faznim provodnicima moe usled kapacitivne sprege biti znaajno veliki i opasan po ivot. Ovo je jedan od razloga da se pri izvoenju radova na vodu obavezno uzemlje svi provodnici (na oba kraja voda i na mestu radova).

27

ZADATAK 10: Odrediti parametre ekvivalentne -eme voda sa sledeim parametrima: l = 400 km, RS =12,7 Mkm, r = 0,1/km, L = 1,3mH/km, C = 8,710-9F/km. Izraunati parametre zamenske eme ovog voda ako je on idealizovan. Uestanost je 50Hz.

Reenje: Vod je element sa raspodeljenim parametrima i svako njegovo predstavljanje zamenskim

emama sa koncentrisanim parametrima predstavlja u izvesnoj meri aproksimaciju. Takoe, treba imati u vidu da poduni parametri du voda nisu konstantni jer vod prelazi preko razliitog terena, razliiti su ugibi, specifina otpronost zemlje, uslovi za pojavu korone, temperaturni uslovi i slino. Ipak, za veinu praktinih prorauna vod se moe modelovati koncentrisanim parametrima ime se dobijaju ekvivalentne eme.

Za modelovanje nadzemnih elektroenergetskih vodova koriste se razliite zamenske eme u zavisnosti kakav se proraun sprovodi. Za proraun tokova snaga koristi se ekvivalentna zamenska ema voda, koja je prikazana na slici 10.1. Pored ove eme koriste se i ekvivalentne T, i obrnuta ema.

Slika 10.1 Ekvivalentna zamenska ema voda Proraun parametara ekvivalentne zamenska ema voda: Rednu impedansa u zamenskoj emi kod kraih vodova (do 200km) definiu samo omska

otpornost (rezistansa) faznih provodnika i pogonska induktivnost voda, dok otonu admitansu definie pogonska kapacitivnost i aktivna odvodnost (konduktansa). Kod duih vodova, kakav se u ovom primeru analizira, potrebno je uvesti i Kenelijeve sainioce popravke.

km/S,R

G

km/S,,x

B

km,,fCC

x

km/,,fLx

S

C

C

8

6

9

3

1087471

10733243365873

11

433658731078502

12

11

408010315022

==

===

====

===

RS specifina aktivna otpornost

2Y 2

Y

Z

28

G poduna aktivna odvodnost ( )

( )( ) ( )( ) ( ) S,j,,j,lyY

,j,j,lzZ

km/S,j,jBGykm/,j,jxrz

l

l68

8

102410935314001032738747216340400408010

1032738747408010

+=+==+=+==

+=+=+=+=

Poto je vod dugaak dobijene redne i otone parametre treba korigovati:

( ) ( )( ) ( )+=

++++=

+=

7,15849,37

61024,10935,312,1634012,16340

61

6

jjjjZ

YZZZ lll

( ) ( )( )( )( ) ( ) SjjjjjjY

YZYZYY

ll

lll

66

6

1085,55435,181024,10935,312,16340424

1024,10935,312,163401224,10935,312

42412

2

+=+++++++=

++=

Proraun parametar idelizovanog voda: Idealizovani vod je vod bez gubitaka aktivne snage, a to znai da je kod idealizovanog voda: r = 0 i G = 0.

Kod idealizovanog nadzemnog voda u jednainama telegrafiara (vidi udbenik str.142 do 145) hiperbolike funkcije prelaze u trigonometrijske, pa su parametri zamenske eme definisani sledeim relacijama:

sinCi jZZ =

sincos1

2 Ci

ZjY =

Gde je elektrina ugaona duina voda:

oi ,l 24400060 === .

Karakteristina impedansa analiziranog voda je:

===

55386

10781031

9

3

,,,

CLZC .

Parametri ekvivalentne eme idealizovanog voda su:

== 22,15724sin55,386 jjZ i ;

SjjY i 61087,54924sin55,386

24cos12

== .

29

ZADATAK 11: Dva elektroenergetska sistema, EEC-I i EEC-II, povezana su sa idealizovanim interkonektivnim vodom. Naponi na krajevima voda su jednaki (U1 = U2 = 400 kV). Ako se vodom ne prenosi aktivna snaga, izraunati koliku reaktivnu snagu injektira vod u EES-I, a koliku u EES-II. Parametri idealizovanog voda su: duina voda - L=250 km, poduna pogonska induktivnost voda l =1,024 mH/km, poduna pogonska kapacitivnost voda - c=0,01F/km.

Reenje:

Za proraun tokova snaga u elektroenergetskom sistemu moe se koristiti ekvivalentna zamenska ema voda. Za proraun reaktivne snage koju idealizovani vod odaje u EES I i EES II moe se koristiti ekvivalentna zamenska ema voda:

Tokovi reaktivnih snaga u EES-u su vezani za efektivne vrednosti napona, a tokovi

aktivnih snaga za fazni ugao izmeu fazora napona. Ovaj zakljuak je opteg karaktera i odnosi se na sve elemente u EES-u (generatore, trensformatore i vodove).

Ako dva elektroenergetska sistema (ili dva dela jedinstvenog EES-a) povezuje neki dalekovod (ili interkonektivni transformator) razmena reaktivnih snaga izmeu dva EES-a e biti takva da reaktivna snaga tee od vieg ka niem naponu a aktivna od napona iji fazor prednjai ka naponu koji kasni. Ako bi u konkretnom sluaju napon U1 bio vei od napona U2 reaktivna snaga bi tekla od EESI ka EESII. Ako bi uz to npr. U2 prednjaio u odnosu na U1 aktivna snaga bi tekla iz EESII ka EESI tako da bi u tom sluaju tokovi aktivnih i reaktivnih snaga vodom bili suprotnih smerova. Dakle, tokove aktivnih i reaktivnih snaga treba posmatrati nezavisno.

U analiziranom sluaju efektivne vrednosti napona na krajevima voda su meusobno

jednake (U1=U2 =400 kV) pa ne postoji razmena reaktivnih snaga izmeu EES-a I i EES-a II. Poto se vodom ne prenosi ni aktivna energija, naponi na krajevima voda su u fazi, odnosno:

U1=U2=U=400 kV.

Iz prethodne relacije sledi da kroz rednu impedansu (reaktansu) u zamenskoj emi ne protie struja.

-II -I U1 = 400 kV U2 = 400 kV

P = 0Q1 = ? Q2 = ?

Idealizovani vod

U1 U2

I = 0

2Y 2

Y

Z

EE II EE I

Q2 Q1

30

Vod u analiziranom reimu se ponaa kao izvor reaktivne snage, pri emu tu reaktivnu snagu podjednako injektira u EES I i EES II, poto je U1 = U2, odnosno, vai:

Q1=Q2=Q.

Proraun parametara zamenske eme idealizovanog voda:

sincos1

2 cZjY =

gde je:

===

320

1001,010024,1

6

3

clZc

01525006,0 === L Reaktivna snaga koju injektira vod u EES-I, odnosno u EES-II je:

var826,65320400

15sin15cos1

sincos1

2

2

0

022

21 MZUYUQQQ

c

====== .

31

ZADATAK 12: Izraunati duinu idealizovanog voda kod koga se maksimalno mogua reaktivna snaga prenosi bez pada napona. Kolika je ta snaga ako je napon na poetku voda jednak nominalnom naponu i iznosi 220kV? Karakteristina impedansa voda je 380.

Reenje:

Maksimalna reaktivna sanaga koja se moe preneti vodom je:

2sin2max2natPQ = ,

c

nnat Z

UP2

= => 2sin22

max2c

n

ZUQ =

Veza izmeu napona na kraju i poetku voda data je jednainom telegrafiara, koja za analizirani sluaj prenosa reaktivne snage poprima sledeu formu:

sincos 221 XZU

UU c+= , gde je:

2

22

QUX = .

Zamenom prethodnog izraza u jednainu telegrafiara dobija se:

2

221

sincos

UQZ

UU c +=

Uslov zadatka je da nema pada napona, odnosno da je:

U1=U2=Un. Koristei ovaj uslov dolazi se do sledee jednaine iz koje se moe izraunati elektrina ugaona duina voda:

sin2sin2cos2

c

n

n

cnn Z

UUZUU +=

( ) sincossin221cos1 +=

o60

21cos

cos41cos1 ==+= .

Poto je fazna konstanta za nadzemne vodove i=0,060 moe se izraunati duina voda pri kojem e se maksimalna reaktivna snaga prenositi bez pada napona:

kmli

100006,0

60 === .

32

Odgovarajua reaktivna snaga je: ( ) MVArQ 54,73

120sin380210220 23

max2 ==

U tekstu koji sledi bie ukratko analizirana fizika radnog reima koji je opisan u ovom zadatku:

Kada je idealizovani vod u praznom hodu (otvoren na kraju a prikljuen na simetrian napon na poetku voda) napon na kraju voda je po modulu vei od napona na poetku voda i u fazi je sa njim (Ferantijev efekat). U reimu praznog hoda vod generie reaktivnu snagu, pa je tok reaktivne snage od voda ka mrei, to je u skladu sa optim zakljukom datom u prethodnom zadatku (napon na kraju voda je vei od napona na poetku pa je tok reaktivne snage od voda ka mrei). Ovu injenica da se vod u praznom hodu ponaa kao izvor reaktivne snage esto koriste dispeeri u EES-u kada imaju problema sa nedostatkom reaktivne snage u EES-u, pa onda vodove koji nisu u pogonu ostavljaju da rade u prazan hod i tako poboljavaju naponske prilike u sistemu.

Ako se na kraju voda prikljui neka reaktansa vod e dio reaktivne snage odavati reaktansi a dio EES-u na koji je prikljuen. U ovom reimu, u skladu sa zakljucima u uvodu u prethodni zadatak, napon na kraju voda e se smanjiti. Ako se reaktansa smanji poveae se reaktivna snaga koju vod odaje reaktansi a napon na kraju voda e se dalje smanjivati. U graninom sluaju, za neku reaktansu X, napon na kraju voda bie jednak naponu na poetku voda, dalje smanjenje reaktanse bi stvorilo pad napona na vodu.

Poto su po uslovu zadatka naponi na poetku i kraju voda jednaki, vod odaje istu reaktivnu snagu i reaktansi i EES-u, kao u prethodnom zadatku. Odnosno, to znai da celokupnu reaktivnu snagu koju troi prigunica X generie sam vod. Struja na sredini voda je u ovom sluaju jednaka nuli (ako se pretpostavi da su poduni parametri voda konstantni du voda).

Slika 12.1 Tokovi reaktivne snage na vodu

Prethodna analiza se moe potvrditi koristei rezultate iz prethodnog zadatka, odnosno:

varM,sin

cosZU

sincosYUQ

c

5473380220

606011

2

2

0

022

2 ==== .

220kV X 220kV

EES

33

ZADATAK 13: Nadzemni vod je modelovan rednom impedansom Z=(37,5 +j158,7) . Napon na poetku voda je 220kV. Na kraju voda aktivna snaga je 10 puta vea od reaktivne snage. Kolika je maksimalna prividna snaga na kraju voda? Koliki je tada napon na kraju voda? Reenje:

esto se u inenjerskim proraunima tokova snaga u EES-u vod modeluje samo rednom impedansom, slika 13.1.

Slika 13.1 Modelovanje voda rednom impedansom

Napon na kraju voda se moe definisati preko napona na poetku voda i snage na kraju voda, prema sledeoj relaciji (vidi udbenik str. 158 159).

1

2222

2

1

222

112 22 U

XPRQjXQRPU

XPRQUUU +

+=

Uslov prenosa maksimalne prividne snage je:

01010

2 222

1

222

1 =

XQQR

UQXRQU

( ) 010102 2

2

1

22

21 =+

RXQ

UXRQU

07,5336064,49110 2

22

2 = QQ 092,2437586,10 2

22 =+ QQ

20367,337586,10

268,9757586,107586,10 2

2,1=+=Q

Q2 = 11,14 Mvar => P2 = 111,4 MW S2max = (111,4 + j11,14) MVA S2max = 114,94 MVA Proraun napona na kraju voda pri prenosu maksimalne prividne snage pod datim uslovima:

P2Z=(37,5+158,7)

U1 U2

1 2 Q2

P2=10Q2

b2 a2

34

4878220

411171581411537

1

222 ,

,,,,U

XPRQb === kV U2 = a2 + jb2 U2 = (110 j78,48) kV U2 = 135,12 kV