Upload
lawrence-ferguson
View
38
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
De Weibull verdeling. Weibull:. Waloddi Weibull (1887-1979) A Statistical Distribution Function of Wide Applicability Journal of Applied Mechanics (1951). '' ... may sometimes render good service''. '' ... test it empirically and stick to it as long as none better has been found''. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
weibull verdeling.ppt 1 jan prakkenDe Wilgen
De Weibull verdeling
• Weibull:
• Waloddi Weibull (1887-1979)– A Statistical Distribution Function of Wide Applicability
• Journal of Applied Mechanics (1951)
– '' ... may sometimes render good service''
– '' ... test it empirically and stick to it as long as none
better has been found''
weibull verdeling.ppt 2 jan prakkenDe Wilgen
Voorbeelden
• Verdeling van:– Levensduren– De tijd tot ...
– Gebruiksduur consumentenproduct tot vervanging door nieuw
– Temperatuur spoelwater
– In bovenstaande gevallen
• Kansmodel bruikbaar:
– Veel andere variabelen ( >0 )
– Bij waarnemingen in de vorm 'is groter dan' – Als het model past
weibull verdeling.ppt 3 jan prakkenDe Wilgen
Levensduur verdeling
• Uitvalkans
F(t) = P(xt)
• Overlevingskans
R(t) = P(x>t)
Lifetime distribution
0.000
0.001
0.002
0 500 1000 1500 2000
time (days)
den
sity
f(t
)F(t)
R(t)
t
• x = tijd tot de 1e fout
weibull verdeling.ppt 4 jan prakkenDe Wilgen
Weibull verdelingen
• 2-parameters
Weibull distributions
0.000
0.001
0.002
0 500 1000 1500 2000
time t (days)
dens
ity f(
t)
ß=2 ß=3ß=1
ß=0.5
F(t)= 1- e-(t/)
= karakterstiekelevensduur
= vormgetal
=1 : Negatief exponentiële verdeling
=2 : Rayleigh verdeling
• 3 < < 3.6 : lijkt op Normale verdeling
=3.6 : gemiddelde is gelijk aan Mediaan
weibull verdeling.ppt 5 jan prakkenDe Wilgen
Parameters schatten
• 2-parameter Weibull verdeling W(,)
• Grafische schattingen graf en graf
• Maximum Likelihood schattingen en
• Kleinste kwadraten schattingen ' en '– d.m.v. regressie van log t op loglog(1/F(t))
– minder goed dan bovenstaande
– computerprogramma nodig: weibull-2par.xls
– de beste (statistische) eigenschappen
– basis voor betrouwbaarheidsuitspraken
weibull verdeling.ppt 6 jan prakkenDe Wilgen
Weibull verdeeld?
• Probability plot
• waarschijnlijkheidspapierWeibull probability plot
10 100
water temperature
cum
%
1%
99%
• voor elke kansverdeling mogelijk
• meerdere mogelijkheden
• rechte lijn?
• cumulatieve verdeling uitzetten tegen de variabele
– Weibull verdeling
– Normale verdeling
weibull verdeling.ppt 7 jan prakkenDe Wilgen
n=9 trekkingen uit W(,)
nrt
9
1
2
3
4
5
6
7
8
i nr ti
7.4%
60.6
18.1
39.4
92.6
81.9
50.0
71.3
28.7
(i-0.3)(n+0.4)
x100%
1 517
2 182
3 297
4 519
5 319
6 263
7 730
8 418
9 244
2 182
9 244
6 263
3 297
5 319
8 418
1 517
4 519
7 730
F(ti) =
weibull verdeling.ppt 8 jan prakkenDe Wilgen
Weibull probability plot (1)
(n+0.4)x 100%
(i-0.3)
• vertikaal: kans
• horizontaal: variabele t
• rechte lijn?
1e punt:
t=182, F(t)=7.4%
weibull verdeling.ppt 9 jan prakkenDe Wilgen
Weibull probability plot (2)
t = tijd tot fout
graf = 450
graf = 2.4
F(t)= 1- e-(t/)
F(t) = P[ t < t ]
Onder de 100:
F(100) = 1 - exp[-(100/450)2.4]
= 0.027
weibull verdeling.ppt 10 jan prakkenDe Wilgen
Voortgezette schorsingen (1)• n=8 units in
levensduurtest- 5 uitvallers { 1059, 1093, 1531, 2415, 3042 }- 3 schorsingen { 763, 1161, 2269 }
r = toename rangnummer ri = rangnr. uitvaltijd
(1+8-0) / (1+7) = 1.125
-
-
(1+8-2.25) / (1+4) = 1.35
-
(1+8-3.60) / (1+2) = 1.80
-
-
-
r1 = 1.125
r2 = 1.125 + 1.125 = 2.25
-
r3 = 2.25 + 1.35 = 3.60
-
r4 = 3.60 + 1.80 = 5.40
r5 = 5.40 + 1.80 = 7.20
( 1 + n – rangnummer vorige uitvaltijd )
( 1 + aantal units na schorsing nog in test ) r =
F(ti) =
nr. j tj */S
1
2
3
4
5
6
7
8
763
1059
1093
1161
1531
2269
2415
3042
S
*
*
S
*
S
*
*
(ri-0.3)/(n+0.4)
-
0.098
0.232
-
0.393
-
0.607
0.821
weibull verdeling.ppt 11 jan prakkenDe Wilgen
Voortgezette schorsingen (2)
• n=8– 5 uitvallers,– dus 5 punten
graf = 2390
graf = 2.4
weibull verdeling.ppt 12 jan prakkenDe Wilgen
Plot van frequentieverdeling
• temperatuur spoelwater
t
25
38
50
12
65
label
koud
lauw
handwarm
warm
heet
f
2
5
5
2
7
cum
2
7
12
14
21
i
1.5
5.0
10.0
13.5
18.0
F(t)
5.6
22.0
45.3
61.7
82.7
(n+0.4)x 100%
(i-0.3) F(t) =
i = gem. rangnummer
weibull verdeling.ppt 13 jan prakkenDe Wilgen
Temperatuur Spoelwater (Weibull)
t = temperatuur
spoelwater
graf = 50
graf = 2.0
Evt. normale verdeling:
zie volgende blad
F(t)= 1- e-(t/)
weibull verdeling.ppt 14 jan prakkenDe Wilgen
Temperatuur spoelwater (normaal)
0 80 10020 40 60
graf = 43
graf = (64-22)/2
= 21.0
s = 18.91
f.t = 894
f.t2 = 45208
• t = 42.6
Uit frequentieverdeling: