11 - Papel de Weibull

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 1USO DO PAPEL DE WEIBULL

Confiabilidade a probabilidade de que um sistema ou componente funcione de acordo com a especificao, durante um dado intervalo de tempo e em determinadas condies de operao.

1)- Por PROBABILIDADE entendemos o significado estritamente matemtico, ou seja, apos a repetio de uma serie de realizaes obtemos a constatao de um dado sucesso, portanto a probabilidade dever ser expressa por um numero entre 0 e 1. 2)- Por COMPONENTE ou SISTEMA entendemos a abrangncia do objetivo do estudo da confiabilidade, ou seja, conceitualmente o estudo se d da mesma forma para um parafuso como para uma nave espacial. 3)- Por FUNCIONAMENTO DE ACORDO entendemos no necessariamente um funcionamento sim-no mas um funcionamento adequado em maior ou menor grau, desde que sua finalidade (sistema ou componente) continue sendo cumprida. Para tanto necessrio a existncia de um critrio para determinao do que cumprimento da finalidade e a definio dos estados de funcionamento. 4)- Por INTERVALO DE TEMPO entende-se que o tempo pode afetar as caractersticas do sistema atravs do desgaste. 5)- Finalmente CONDICES DE OPERACAO no podem ser negligenciadas, pois sobrecargas, umidade relativa do ar, temperatura, vibraes, etc., podem alterar a performance do sistema.

MODELOS DE FALHAS Quando por um motivo ou por outro o sistema/componente deixa de funcionar de acordo, porque houve uma falha. No entanto um funcionamento no correto pode se dar por um desempenho incorreto ou ento por condies adversas que ocasionam um funcionamento incorreto. Para se conseguir uma definio mais adequada, agrupou-se as falhas de acordo com:

1 EFEITO DA FALHA a-de SISTEMA b-PARCIAL c-LIMITADA d-PROGRESSIVA e-VOLTIL

O sistema no cumpre totalmente a misso para a qual foi planejado.

O no cumprimento da misso se da somente em alguns modos de operao do sistema

O sistema funciona porem fora dos limites de correto

A operao se deteriora de uma maneira continua e progressiva

O sistema falha devido a algum efeito externo, eliminando-se esse efeito a falha desaparece.

ORIGEM DA FALHA

CONFIGURAO COMPOSIO Erro de projeto Erros de fabricao ou montagem

CAUSA DA FALHA COMPONENTE DEFEITUOSO APLICAO INDEVIDA DO SISTEMA IMPERICIA NO USO

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 2

CURVA DE WEIBULL = PARMETRO DE FORMA

TIPOS DE FALHAS PRECOCES 0 < < 1 CASUAIS = 1 POR DESGASTE > 1 Taxa de Falha Decrescente Taxa de Falha Aprox. Constante Taxa de Falha Crescente

INFNCIA Mortalidade Infantil Falhas devido a erros na fabricao ou de projeto

As causas dessa falhas so as mais diversas possveis e ocorrem ao acaso

VELHICE Falhas devido a desgaste do equipamento ou perdas de caractersticas Ex.: elasticidade, solubilidade, etc.

DISTRIBUIES DE PROBABILIDADES EM CONFIABILIDADE Conceitos bsicos: A funo de confiabilidade R (t) de um sistema na poca t, definida como:

Portanto a funo de confiabilidade R(t), representa a probabilidade do sistema no ter falhado at o

instante t.

Onde: P (T > t ) a probabilidade do sistema apresentar uma durao de vida T acima do tempo esperado t.

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 3DISTRIBUIO EXPONENCIAL FUNO DE CONFIABILIDADE: FUNO DE SOBREVIVNCIA:

f(t) a funo densidade de probabilidade, representa a probabilidade da falha ocorrer exatamente no instante t.

A funo de risco Z(t), representa a probabilidade de falha no instante imediatamente posterior a t, dado que o sistema no falhou antes de t e dada por: MTBF (Mean Time Between Failure) = Tempo mdio entre falhas Epectncia = (MTBF) mdia =

Varincia = =

1

MTTR ( Mean Time to Repair) Tempo Mdio para Reparo

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 4A distribuio exponencial sofre de Alzheimer, pois no possui memria, ou seja componentes / sistemas que sofrem desgaste, ex. corroso, fadiga, etc., no possuem um taxa de falha constante, logo a distribuio exponencial no apropriada. Exemplo: o clculo da confiabilidade de um componente/sistema para p.e. 1000horas independe se o mesmo j tenha estado em misso por quantas horas for.

= TAXA DE FALHA Para se obter qualquer parmetro de confiabilidade devemos faz-la somente aps um histrico das falhas de seus componentes.

1-EXEMPLO: Em uma fbrica foi feito o acompanhamento, em 06 meses, de 05 mquinas, cada uma com dois mancais, num regime de trabalho de 12 horas por dia Nesse perodo foram constatadas 12 falhas. Calcular a Taxa de Falha, o MTBF e a probabilidade de falhas nos prximos 30 dias 1 Intervalo de tempo de observao: 2 Clculo da Taxa de Falha: 3 Clculo do MTBF: 4 Clculo do n provvel de falhas nos prximos 30 dias:

Onde: k = n de falhas durante o intervalo t; t = Intervalo de tempo de observao ( horas, dias, semanas, etc.) n = qtde de equipamentos que est sendo testada.

06 30 12 2.160

12

2 5 2160 0,00055 5,5 10

1

15,5 10 1.818

n t 30 12 5 2 5,5 10 1,98

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 52-EXEMPLO: A confiabilidade de um componentes segue a distribuio exponencial com MTBF = 500h. (a) Qual a probabilidade deste equipamento operar sem falhas por 600 horas? (b) Aps essas 600h, qual a probabilidade deste equipamento falhar dentro das prximas 100 horas de operao?

a) , 0,3012

b) 1 1 1 1 , 1 0,82 0,18 3-EXEMPLO: Seja um componente com Taxa de Falha = 0,01 e R(t)=0,90 , determinar t. CONCLUSO: De 100 componentes em operao 90 no falharo durante as 10,5 primeiras horas.

Lembrando: R(t) a probabilidade do sistema apresentar uma durao de vida T acima do tempo esperado t

0,90 ,

0,90 , 0,90 0,01

,, ,, = 10,5h

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 6DISTRIBUIO NORMAL

Nessa distribuio a varivel pode assumir valores entre (- e +) de uma forma simtrica em relao a media. Isso restringe de certa forma as aplicaes dessa distribuio em confiabilidade pois nessa ultima so consideradas duraes de vida (0), no entanto, quanto simetria a estatstica nos demonstra que a distribuio das medias tendem a uma normal. A taxa de falha sempre crescente com o tempo: s pode ser usada para representar a regio de desgaste da curva da banheira

2

21

21)(

t

etf

4-EXEMPLO: Suponhamos distribuio normal para dois dispositivos eletrnicos E1, E2 com as respectivas mdias 40h e 45h e desvios padro 6h e 3h. Qual a preferncia se:

a b c d

utilizao de 45 h utilizao de 48h utilizao de 50h utilizao de 51h Consultar a tabela Pz no fascculo DISTRIBUIO NORMAL

E1 E2 Pref

a =

45h

z= (45-40) / 6 5/6 = 0,83

na tabela = 0,83 = 0,2033 100,00 20,33 = 79,67%

Pz (Tb 45h) = 79,67%

z= (45-45)/3 0/3 = 0 na tabela = 0,0 = 0,50 100,00 50 = 50,0%

Pz (Ta 45h) = 50% E2

b =

48h

z= (48-40)/6 8/6 = 1,33 na tabela = 1,33= 0,0918 100,00 9,18 = 90,82%

Pz (Tb 48h) = 90,82%

z=(48-45)/3 3/3 = 1 na tabela = 1,0= 0,1587 100,00 15,87 = 84,13%

Pz (Tb 48h) = 84,13% E2

c =

5

0h

Z=(50-40)/6 10/6 = 1,67 na tabela = 1,67= 0,0475 100,00 4,75 = 95,252%

Pz (Tc 50h) = 95,25%

Z=(50-45)/3 5/3 = 1,67 na tabela = 1,67= 0,0475 100,00 4,75 = 95,252%

Pz (Tc 50h) = 95,25% E2

Obs.: A deciso feita pelo COEFICIENTE DE VARIAO CV = / Quanto menor o CV mais homogneo o conjunto de dados

CV = 6/40 = 0,15 CV = 3/45 = 0,067

d =

1h z=(51-40)/6 11/6 = 1,83

na tabela = 1,83= 0,0336 100,00 3,36 = 96,642%

Pz (Td 51h) = 96,64%

Z=(51-45)/3 6/3 = 2 na tabela = 2,0 = 0,0228 100,00 2,28 = 97,72%

Pz (Td 51h) = 97,72%E1

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 7DISTRIBUIO DE WEIBULL

Essa distribuio de probabilidade foi proposta pelo engenheiro e fsico sueco Waloddi Weibull.

Quando

1

= vida caracterstica

2 1

1 1

Onde: denominadoFUNOGAMA

, :

0,368 Isso significa que 63.2% de todas as falhas vo se dar qdo se atingir independentemente do valor do parmetro de forma. Por isso, chamado de Vida Caracterstica.

1! Quando x for um n inteiro e positivo:

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 85-EXEMPLO: Uma determinada pea tem seu desempenho obedecendo uma distribuio de Weibull, com os seguintes parmetros:

= 50.000 e =0,65. Qual a confiabilidade para um ano de trabalho ( 8.760 horas)

,

, 0,7245 A probabilidade dessa pea operar por mais de um ano de aproximadamente 72,5% O tempo mdio entre falhas dessa pea

6-EXEMPLO: Um produto especificado para MTFB = 15000 horas. Qual a confiabilidade correspondente para 5000 horas, quando: = 3,5 =1,0 =0,5 =3,5 1R(5000)=98,5 2R(10000)=84,6 3R(15000)=50,1 4R(16672)=36,8 =1,0 1=R(5000)=71,6 2=R(10000)=51,3 3=R(15000)=36,8 =0,5 1R(5000)=44,2 2R(7500)=36,8 3R(15000)=24,3

1 1 50000 1

0,65 1 50000 1,3663 68315

1 1 13,5 1

150000,8997 16672

10,5 1 3 MTBF 2 150002 7500

1, : 2 MTBF

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 9VALORES DA FUNO GAMA PARA DIFERENTES VALORES DE (beta)

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,4x 3.3234 3.1091 2.9213 2.7557 2.6091 2.4786 2.3619 2.2572 2.1628 2.0774 0,5x 2.0000 1.9295 1.8652 1.8062 1.7522 1.7024 1.6566 1.6142 1.5749 1.5384 0,6x 1.5046 1.4730 1.4436 1.4161 1.3904 1.3663 1.3437 1.3224 1.3024 1.2836 0,7x 1.2658 1.2491 1.2332 1.2183 1.2041 1.1906 1.1779 1.1658 1.1543 1.1434 0,8x 1.1330 1.1231 1.1137 1.1047 1.0961 1.0880 1.0801 1.0727 1.0655 1.0587 0,9x 1.0522 1.0459 1.0399 1.0342 1.0287 1.0234 1.0183 1.0135 1.0088 1.0043 1,0x 1.0000 0.9959 0.9919 0.9880 0.9843 0.9808 0.9774 0.9741 0.9709 0.9679 1,1x 0.9649 0.9621 0.9593 0.9567 0.9542 0.9517 0.9493 0.9470 0.9448 0.9427 1,2x 0.9407 0.9387 0.9368 0.9349 0.9331 0.9314 0.9297 0.9281 0.9265 0.9250 1,3x 0.9236 0.9222 0.9208 0.9195 0.9182 0.9170 0.9158 0.9146 0.9135 0.9125 1,4x 0.9114 0.9104 0.9094 0.9085 0.9076 0.9067 0.9059 0.9050 0.9043 0.9035 1,5x 0.9027 0.9020 0.9013 0.9007 0.9000 0.8994 0.8988 0.8982 0.8976 0.8971 1,6x 0.8966 0.8961 0.8956 0.8951 0.8947 0.8942 0.8938 0.8934 0.8930 0.8926 1,7x 0.8922 0.8919 0.8916 0.8912 0.8909 0.8906 0.8903 0.8901 0.8898 0.8895 1,8x 0.8893 0.8891 0.8888 0.8886 0.8884 0.8882 0.8880 0.8878 0.8877 0.8875 1,9x 0.8874 0.8872 0.8871 0.8869 0.8868 0.8867 0.8866 0.8865 0.8864 0.8863 2,0x 0.8862 0.8861 0.8861 0.8860 0.8859 0.8859 0.8858 0.8858 0.8858 0.8857 2,1x 0.8857 0.8857 0.8856 0.8856 0.8856 0.8856 0.8856 0.8856 0.8856 0.8856 2,2x 0.8856 0.8856 0.8857 0.8857 0.8857 0.8857 0.8858 0.8858 0.8858 0.8859 2,3x 0.8859 0.8860 0.8860 0.8861 0.8861 0.8862 0.8862 0.8863 0.8863 0.8864 2,4x 0.8865 0.8866 0.8866 0.8867 0.8868 0.8868 0.8869 0.8870 0.8871 0.8872 2,5x 0.8873 0.8874 0.8874 0.8875 0.8876 0.8877 0.8878 0.8879 0.8880 0.8881 2,6x 0.8882 0.8883 0.8884 0.8885 0.8886 0.8887 0.8888 0.8889 0.8891 0.8892 2,7x 0.8893 0.8894 0.8895 0.8896 0.8897 0.8899 0.8900 0.8901 0.8902 0.8903 2,8x 0.8905 0.8906 0.8907 0.8908 0.8909 0.8911 0.8912 0.8913 0.8914 0.8916 2,9x 0.8917 0.8918 0.8919 0.8921 0.8922 0.8923 0.8925 0.8926 0.8927 0.8928 3,0x 0.8930 0.8931 0.8932 0.8934 0.8935 0.8936 0.8938 0.8939 0.8940 0.8942 3,1x 0.8943 0.8944 0.8946 0.8947 0.8948 0.8950 0.8951 0.8952 0.8954 0.8955 3,2x 0.8957 0.8958 0.8959 0.8961 0.8962 0.8963 0.8965 0.8966 0.8967 0.8969 3,3x 0.8970 0.8972 0.8973 0.8974 0.8976 0.8977 0.8978 0.8980 0.8981 0.8982 3,4x 0.8984 0.8985 0.8987 0.8988 0.8989 0.8991 0.8992 0.8993 0.8995 0.8996 3,5x 0.8997 0.8999 0.9000 0.9002 0.9003 0.9004 0.9006 0.9007 0.9008 0.9010 3,6x 0.9011 0.9012 0.9014 0.9015 0.9016 0.9018 0.9019 0.9021 0.9022 0.9023 3,7x 0.9025 0.9026 0.9027 0.9029 0.9030 0.9032 0.9033 0.9034 0.9035 0.9037 3,8x 0.9038 0.9039 0.9041 0.9042 0.9043 0.9044 0.9046 0.9047 0.9048 0.9050 3,9x 0.9051 0.9052 0.9054 0.9055 0.9056 0.9058 0.9059 0.9060 0.9061 0.9063 4,0x 0.9064 0.9065 0.9067 0.9068 0.9069 0.9070 0.9072 0.9073 0.9074 0.9076 4,1x 0.9077 0.9078 0.9079 0.9081 0.9082 0.9083 0.9084 0.9086 0.9087 0.9088 4,2x 0.9089 0.9091 0.9092 0.9093 0.9094 0.9096 0.9097 0.9098 0.9099 0.9100 4,3x 0.9102 0.9103 0.9104 0.9105 0.9107 0.9106 0.9109 0.9110 0.9111 0.9113 4,4x 0.9114 0.9115 0.9116 0.9117 0.9119 0.9120 0.9121 0.9122 0.9123 0.9125 4,5x 0.9126 0.9127 0.9128 0.9129 0.9130 0.9132 0.9133 0.9134 0.9135 0.9136 4,6x 0.9137 0.9139 0.9140 0.9141 0.9142 0.9143 0.9144 0.9145 0.9147 0.9148 4,7x 0.9149 0.9150 0.9151 0.9152 0.9153 0.9154 0.9156 0.9157 0.9158 0.9159 4,8x 0.9160 0.9161 0.9162 0.9163 0.9164 0.9166 0.9167 0.9168 0.9169 0.9170 4,9x 0.9171 0.9172 0.9173 0.9174 0.9175 0.9176 0.9177 0.9178 0.9180 0.9181 5,0x 0.9182 0.9183 0.9184 0.9185 0.9186 0.9187 0.9188 0.9189 0.9190 0.9191

Ex.: 2,56 = Procurar linha 2,5x e a 8 coluna 0,06 2,56=0,8878

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 107-EXEMPLO: Um lote de componentes dependentes deveria ter uma durao de vida segundo uma distribuio normal de =500h e =70h Porem 20% deste lote so peas deficientes e a durao de vida pode ser considerado uma distribuio de Weibull com =0,7 e =200h Constatou-se tambm que devido a causas externas, falhas acontecem razo de uma falha a cada 600h Pergunta-se: Qual a confiabilidade deste componente para um perodo de 400h? DISTRIBUIO NORMAL: = 500 e = 70

43,170

400500 xZ Pz = 0,0764

RN(400)=0,9236

DISTRIBUIO WEIBULL: = 0,7

1 =200 Rw(t)=

te Rw(t)=

1e Rw=

7,0

200400

e Rw(400)=0,197 DISTRIBUIO EXPONENCIAL CAUSAS EXTERNAS = FALHAS CASUAIS

MTBF=600 MTBF = 1

6001

RE(t)= te RE(400)= 4006001

e RE(400)=0,5134

CONFIABILIDADE TOTAL

RT = [(0,8*RN)+(0,2*RW)]*RE RT (400)=[(0,8*0,9236)+(0,2*0,1970)]*0,5134=0,3996 RT(400)=39,96%

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 11 CONFIABILIDADE DE SISTEMA SRIE E PARALELO 1 - SISTEMAS EM SRIE a configurao mais comum, todos os componentes devem funcionar para que o sistema funcione. A confiabilidade do sistema decresce a medida que o nmero de componentes aumenta.

O limite superior de igual a confiabilidade do componente mais fraco . Esse sistema tem o seguinte diagrama de bloco: A Confiabilidade do sistema : Quando for uma distribuio exponencial: Quando for uma distribuio de Weibull 8-EXEMPLO: O telefone sem fio possui 3 componentes a saber Fonte, Base e Telefone com as seguintes taxas de falha: Determine a confiabilidade do sistema para 1000h de uso: LEMBRANDO: Para termos um R=0,928 precisamos de um componente com taxa de falha =

1 2 10 2 3 10 3 5 10

1000

A B

1000 0,9980,9970,995 0,990

0,928 1000

0,0751000 0,0000075

1000 0,928

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 12 2 - SISTEMAS EM PARALELO Num sistema em paralelo, todos os componentes precisam falhar para que o sistema falhe e, a falha de um dos componentes no afetam o desempenho dos sobreviventes.

maior que a confiabilidade do melhor componente. 3- COMBINASES 3.1 - PARALELO-SRIE 3.2 SRIE - PARALELO

1 1

1 1 1 1

1

3

2

4

Reduzimos as em srie para paralelo

e calculamos como Paralelo

1 1 1 1 1 1 Reduzimos de paralelo para em srie

e calculamos como em srie

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 13 EXEMPLO: (1)- Numa distribuio exponencial, 02 componentes, com mesma taxa de falha, esto montados em paralelo, se R(100) = 0,95 calcule o MTBF de cada componente.. Lembrando Como: , ou seja uma distribuio exponencial, ento Logo: (2)- Um sistema formado por dois componentes em srie cada um dos quais possuindo tempo de falha distribudo de acordo com a lei de Weibull e com parmetros fornecidos na seguinte tabela, qual a confiabilidade para 10 h? Lembrando:

1 1 1 1 1 1

100 0,95 ln 0,95 200 ln

0,0513200 0,000256 1

10,000256 3.906,25

1

Compon. 1 150 0,87 2 510 1,80

10

, ,

10 ,,,,

10 ,,

10 ,

10 91%

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 14EXERCCIOS: (1)- Um equipamento com vida mdia entre falhas, conforme distribuio exponencial, de 3000horas, pode executar uma operao sem falhas durante 300h com que confiabilidade ? (2)- Um equipamento trabalha 24 h por dia 7 dias por semana sem parar, exceto para interrupes programadas, com um MTBF = 200h ou mais e, com um tempo mdio para reparo de 7,5h. Se esses dados so distribudos exponencialmente, qual a disponibilidade do processo? (3)- O MTBF de um diodo 3800h, supondo a taxa de falhas constante, a chance de falhar em 3800h de operao aproximadamente ? (4)- Segundo a distribuio de Weibull, qual a confiabilidade do sistema abaixo para 173h, sendo os componentes iguais com um tempo de vida 1000 2?

(5)- Qual a confiabilidade do sistema abaixo, para uma misso de 1000h, sabendo que cada componente funciona independentemente segundo a lei exponencial e tem um MTBF= 3000h?

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 15PAPEL DE PROBABILIDADE DE WEIBULL

Com o papel de probabilidade de Weibull podemos analisar graficamente testes de durabilidade, falhas de campo, fadiga, etc., pois o mesmo nos da um esboo da distribuio de falhas. Alm disso aps a plotagem dos pontos podemos ter as seguintes informaes:

a) O parmetro de forma () em funo da distribuio das falhas b) O valor da vida (Bq) abaixo do qual o percentual (q) o esperado falhar c) O percentual da populao esperada que falhe, abaixo de uma vida especificada. A construo das

escalas no papel se d atravs da funo de distribuio da seguinte forma: A EXPLICAO DA UTILIZAO DO PAPEL DE PROBABILIDADE DE WEIBULL SER FEITA ATRAVS DE EXEMPLOS. COMO PRIMEIRO EXEMPLO CONSIDERAREMOS UM TESTE AT A FALHA DE TODAS AS PEAS SEM SUSPENSO

1 Lembrando:

1

11

Lembrando:

11

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 16Obs.: Esse teste poder ser feito de duas maneiras:

A) com dispositivo que testa uma pea por vez B) com dispositivo que testa vrias peas simultaneamente.

Efetuar o teste de durabilidade em, por exemplo, 10 peas, considerando a situao (A). Com os seguintes resultados: 330, 270, 140, 190, 90, 220, 200, 170, 260 e 115 horas.

1 passo:

Listar os dados em ordem crescente determinando uma ordem para cada item. ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

H / falhar 90 115 140 170 190 200 220 260 270 330

2 passo: Determinar os postos mdios (percentual). Para indicarmos as probabilidades acumuladas no eixo das ordenadas (vertical) preciso a seguinte analise:

- De 10 peas em teste a 1 a falhar no significa que 10% das peas dessa populao falharo at esse instante e, nem a 2 que 20% falharo at esse outro instante e assim por diante.

- O que acontece que aps vrios testes executados, com o mesmo tamanho de amostras (n), ns teremos, para cada ordem de falha, uma funo de distribuio caracterstica.

- O percentual a ser considerado, como posto mdio, aquele que indica aproximadamente, o ponto mdio dessa distribuio.

Uma equao para determinar, com uma boa aproximao, esse posto mdio : No exemplo:

Para facilitar o trabalho, existem tabelas que nos indicam os postos mdios, para vrios tamanhos de amostras. (por exemplo para n=10) TAB 1

Com este tabelamento conseguimos ordenar as informaes quanto ao tempo de falha e com isso podemos defini-los no eixo das abcissas (horizontal)

Ordem H/falhar Posto mdio 1 90 (1-0,3)x100/(10+0,4) = 6,73%2 115 (2-0,3)x100/(10+0,4) = 16,35%3 140 (3-0,3)x100/(10+0,4) = 25,96%

, , onde: rj = percentual da ordem j = numero de ordem do dado n = tamanho da amostra

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 17TAB - 1

ordem Tamanho da amostraj 1 2 3 4 6 7 8 9 10 1 50,0 29,3 20,6 15,9 10,9 9,4 8,3 7,4 6,7 2 - 70,7 50,0 38,6 26,4 22,8 20,1 18,0 16,2 3 - - 79,4 61,4 42,1 36,4 32,1 28,6 25,9 4 - - - 84,1 57,9 50,0 44,0 39,3 35,5 5 - - - - 73,9 63,6 56,0 50,0 45,2 6 - - - - 89,1 77,2 67,9 60,7 54,8 7 - - - - - 90.6 79,9 71,4 64,5 8 - - - - - - 91,7 82,0 74,1 9 - - - - - - - 92,6 83,8

10 - - - - - - - - 93,3 Consultando essa tabela temos os postos mdios que tambm so conhecidos como RANK.

ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 H /

falhar 90 115 140 170 190 200 220 260 270 330 RANK% 6,7 16,2 25,9 35,5 45,2 54,8 64,5 74,1 83,8 93,3 3 passo: Plotar os pontos no papel de Weibull 4 passo: Traar a melhor reta de ajuste 5 passo: Traando-se uma paralela reta de ajuste atravs do PLO ( esquerda do papel) obtemos uma boa estimativa do parmetro de forma , dessa populao, de elementos que falharam. No nosso exemplo 2,8. 6 passo: Se quisermos uma abrangncia maior na inferncia estatstica podemos determinar o intervalo de confiana. Esses valores esto tabelados em funo do tamanho de amostra n. Marcar os valores correspondentes aos postos de 5% e 95% em relao aos dados de vida e em seguida traar curvas atravs desses pontos.


INTERVALOS DE CONFIANA (valores tabelados para n=10)

TAB 2 - 5% de confiana

ordem Tamanho da amostra n j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5,0 2,5 1,7 1,3 1,0 0,9 0,7 0,6 0,6 0,5 2 - 22,4 13,5 9,8 7,6 6,3 5,3 4,6 4,1 3,7 3 - - 36,8 24,9 18,9 15,3 12,9 11,1 9,8 8,7 4 - - - 47,3 34,3 27,1 22,5 19,2 16,9 15,0 5 - - - - 54,9 41,8 34,1 28,9 25,1 22,2 6 - - - - - 60,7 47,9 40,0 34,5 30,4 7 - - - - - - 65,2 52,9 45,0 39,3 8 - - - - - - - 68,8 57,1 49,3 9 - - - - - - - - 71,7 60,6

10 - - - - - - - - - 74,1

TAB 3 - 95% de confiana ordem Tamanho da amostra n

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 95,0 77,6 63,2 52,7 45,1 39,3 34,8 31,2 28,3 25,9 2 - 97,5 86,5 75,1 65,7 58,2 52,1 47,1 42,9 39,4 3 - - 98,3 90,2 81,1 72,1 65,9 59,1 55,0 50,7 4 - - - 98,7 92,4 84,7 77,5 71,1 65,5 60,7 5 - - - - 99,0 93,7 87,1 80,7 74,9 69,6 6 - - - - - 99,1 94,7 88,9 83,1 77,8 7 - - - - - - 99,3 95,4 90,2 85,0 8 - - - - - - - 99,4 95,9 91,3 9 - - - - - - - - 99,4 96,3

10 - - - - - - - - - 99,5

ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 H /

falhar 90 115 140 170 190 200 220 260 270 330

RANK% 6,7 16,2 25,9 35,5 45,2 54,8 64,5 74,1 83,8 93,3

5% 0,5 3,7 8,7 15,0 22,2 30,3 39,3 49,3 60,6 74,1 95% 25,9 39,4 50,7 60,7 69,5 77,8 85,0 91,3 96,3 99,5

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 20INFORMAES POSSVEIS DE SEREM OBTIDAS NO PAPEL DE PROBABILIDADE DE WEIBULL a) Indicar a vida esperada para 10% da populao que pode falhar B(10) = 102 horas Ou seja, B(10) = 10% falhando 90% funcionando b) Indicar o porcentual da populao que dever falhar at 250h F(250) = 72% c) Indicar a vida caracterstica Lembrando da Distribuio de Weibull Se considerarmos = t, teremos portanto B63,2 = Isso significa que, em 63,2% encontramos a vida caracterstica da populao B63,2 = 235 horas d) Aps obtermos e podemos calcular o MTBF atravs do Papel de Weibull = 2,8 conforme exerccio B63,2 = 235 horas Ento:

Rt e Ft 1 Rt Ft 1 e

1

1

1 1 0,632

1

1 1 235 12,8 1 235 0,8905 209

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 21COMO SEGUNDO EXEMPLO CONSIDERAREMOS UM TESTE COM SUSPENSO

Como suspenso entendemos uma interrupo do teste antes que a pea apresente uma falha. Isso pode ocorrer devido a vrios fatores, por exemplo:

a) quebra do equipamento de teste b) falta de energia c) impossibilidade de acompanhamento do teste (p.ex. interrupo das atividades da empresa)

No entanto esses itens suspensos precisam ser considerados no estudo. Para que isso ocorra preciso determinar, a cada suspenso, um novo incremento na ordem da falha. Esse novo incremento pode ser calculado atravs da seguinte equao:

Obs.: Esse incremento passa a ser considerado para os prximos nmeros de ordem dos prximos tens que falharem, at que uma nova suspenso provoque um novo clculo para novo incremento, o qual passa a ser considerado nos tens que venham a falhar da para frente, at nova suspenso... Exemplo: Em um teste de durabilidade com 10 unidade obtivemos o seguinte resultado: FALHAS 408, 360, 311, 485, 268 e 181 horas SUSPENSO devido a problemas no equipamento de teste: 287 e 324 horas SUSPENSO devido a vontade prpria do departamento: 500h com duas unidades ainda em teste 1 passo: Listar em ordem crescente e codificar os itens em Falha (F) e Suspenso (S). Ordem H/falhar Cdigo

1 181 F1 2 268 F2 3 287 S1 4 311 F3 5 324 S2 6 360 F4 7 408 F5 8 485 F6 9 500 S3

10 500 S4

onde: Ni = novo incremento n = tamanho da amostra ja = n de ordem do item anterior ao item suspenso ns = n de itens que ainda permanecem em teste, INCLUSIVE O EM ESTUDO

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 222 passo: Clculo dos incrementos, determinao dos novos nmeros de ordem e postos mdios.

j horas cd Nova ordem Posto mdio ,, 100

1 181 F1 1 6,7 2 268 F2 2 16,2 3 287 S1 - - 4 311 F3 [(10+1)-2]/(1+7) = 1,125 =

3,125(3,125-0,3)/(10+0,4)=

27,2 5 324 S2 - - 6 360 F4 [(10+1)-3,125]/(1+5)=1,312 =

4,437(4,437-0,3)/(10+0,4)=

39,8 7 408 F5 5,749 (5,749-0,3)/(10+0,4)=

52,4 8 485 F6 7,061 (7,061-0,3)/(10+0,4)=

65,0 9 500 S3 - 10 500 S4 - Os valores para o intervalo de confiana (5% e 95%), podero ser obtidos por interpolao. Por exemplo, no limite de 5%, conf. TAB-2, para a nova ordem 3,125: 3 8,7 4 15,0 ou seja, para cada uma unidade na variao da ordem, temos 6,3 unidades na variao do posto mdio

logo 1 6,3 8,18018,11

3,6286,0 x 0,286 x portanto 8,7+1,8=10,5, ento para a nova ordem 3,286 temos 9,5% Resultando:

ordem h/falhar cd nova ordem RANK 5% 95% 1 181 F1 1 6,7 0,5 25,9 2 268 F2 2 16,2 3,7 39,43 287 S1 - - - - 4 311 F3 3,125 27,2 5 324 S2 - - - -6 360 F4 4,437 39,8 7 408 F5 5,749 52,4 8 485 F6 7,061 65,09 500 S3 - - - -

10 500 S4 - - - -

-Demais passos conforme o exemplo anterior. -Para 95% procedemos de forma semelhante.TAB-3

m. a. perissinotto PAPEL DE WEIBULL - 24 INFORMAES:

A) Indicar a vida esperada para 10% da populao que pode falhar (B10) 210 B) Indicar o percentual da populao que devera falhar at 250h 15% C) Indicar a vida caracterstica B63,2 460 horas

D) Calcular o MTBF Considerando que os dois exemplos se referem ao mesmo produto, podemos analisar: E) Comparao das vidas caractersticas (B63,2)

o projeto novo dura 2 vezes mais que o antigo

F) Comparao atravs da % 250 horas.

para cada produto novo que falha, falhavam 4,8 produtos antigos

Obs.: As comparaes so validas somente se as condies operacionais forem equivalentes. EXERCCIO: Em um teste de durabilidade obteve-se os seguintes resultados, em horas de teste:

F3 S2 F6 F1 F2 S3 F4 F7 S1 F52583 3240 3528 1629 1809 3690 2799 3888 2412 2916 F = Falhou S = Suspenso 0 = RK=

R H

RK R=Resultado ( F ou S) - Ni= (Ordem) - H=(Total de horas em cada Ordem) - RK= (Rank-%)

PEDE-SE:

A) Indicar a vida esperada para 10% da populao que pode falhar (B10)

B) Indicar o percentual da populao que devera falhar at 2250h

C) Indicar a vida caracterstica B63,2

D) Calcular o MTBF

460235 2,0

1572

14,8

1 1 0,3 0,4 100

460 12,8 1 460 0,8905 409

Documents

11 - Papel de Weibull