Definicija elementarnog rada sile i njegovi izrazi s obzirom na ...polj.uns.ac.rs/~mehanika/9 kinematika i dinamika.pdfU pravouglom Dekartovom koordina-tnom sistemu vektori sile i

U pravouglom Dekartovom koordina-

tnom sistemu vektori sile i elementa-

rnog pomeranja napadne tačke imaju

oblik:

Definicija elementarnog rada sile i njegovi izrazi s obzirom

na pravougli Dekartov i prirodni koordinatni sistem.

pomeranju njene napadne tačke i

definisan je kao skalarni proizvod

vektora te sile i vektora elementarnog

pomeranja napadne tačke .rdFdA

Elementarni rad neke sile predstavlja rad sile na elementarnom

,jYiXF FF

.jdyidxrd

Uvrštavanjem i u , dobija se da

elementarni rad sile u pravouglom Dekartovom koordinatnom sistemu,

određuje formula

rdFdA

jYiXF FF

jdyidxrd

.dyYdxXdA FF

Uvrštavanjem ovih izraza u ,

dobija se formula za elementarni rad sile

u prirodnom koordinatnom sistemu:

rdFdA

.dsFdA T

U prirodnom koordinatnom sistemu, vektori

sile i elementarnog pomeranja napadne tačke

imaju oblik:

,00 nFtFF NT

.0tdsrd

Rad sile na zadatom pomeranju napadne tačke.

Da bi se dobio rad sile na konačnom pomeranju njene napadne tačke, potrebno je

da se izvrši integracija elementarnog rada u obliku , za pra-

vougli Dekartov koordinatni sistem, odnosno, u obliku , za prirodni

koordinatni sistem. Ovde se radi o određenim integralima, sa odgovarajućim

granicama integrala, koje definišu početni i krajnji položaj napadne tačke sile,

između kojih se traži rad sile.

dyYdxXdA FF

dsFdA T

Dakle, izraz za rad sile , sa

slike 1, od položaja 1, do polo-

žaja 2, definiše izraz:

F

Slično prethodnom, izraz za rad

sile , sa slike 2, od položaja C

do položaja D, definiše izraz:

.

D

C

s

s

TDC dsFFA

F

Primer 4.12

.2

1

2

1

21

y

y

F

x

x

F dyYdxXFA

Odrediti rad konstantne sile

kada se njena napadna tačka

pomera u pravcu sile?

F

Na slici 1, smer pomeranja napa-

dne tačke sile (od B do C) pokla-

pa se sa smerom sile i elementa-

rni rad takve sile, za izabran koordinatni sistem ima oblik .dxFFdA

gracijom se dobija da konačan rad sile, u slučaju istog smera sile i pomeranja

njene napadne tačke, određuje izraz .BCFxxFdxFFA BC

x

x

CB

C

B

Inte-

Na slici 2, smer pomeranja napa-

dne tačke sile (od B do C) supro-

tan je u odnosu na smer sile i

elementarni rad takve sile, za iza-

bran koordinatni sistem ima oblik

dobija da konačan rad sile, u slučaju suprotnog smera sile i pomeranja njene

napadne tačke, određuje izraz

.BCFxxFdxFFA BC

x

x

CB

C

B

.dxFFdA

Integracijom se

Dakle, u slučaju konstantne sile (misli se konstantne kao vektora, što znači

konstantne po pravcu, smeru i intenzitetu) kada se njena napadna tačka

pomera u pravcu dejstva sile, rad sile na takvom pomeranju jednak je pro-

izvodu intenziteta sile i pomeranja njene napadne tačke sa predznakom „+“ ili

„-“ . Predznak je „+“ kada se poklapaju smerovi sile i pomeranja, dok je „-“

kada su suprotni.

Prema ovom zaključku, za kretanje

tačke, kako uz strmu ravan (Sl.1), tako i

niz strmu ravan (Sl.2), rad konstantne

sile trenja na pomeranju x, iznosiT

statičke jednačine za y pravac, intenzitet

sile trenja iznosi

,xTTA

s tim što, zbog važenja

.cos mgNT

Rad konstantne sile , sa slike 1, na tom istom pomeranju, jeF

.xFFA

Snaga sile.

S obzirom da snaga predstavlja brzinu vršenja rada, snaga sile može se do-

biti kao količnik elementarnog rada sile i elementarnog proteklog vremena

za koje je taj elementarni rad izvršen

.dt

rdF

dt

FdAFP

FP

dA dt

Pošto je , dobija se da je snaga sile, u nekom trenutku vremena, jednaka

skalarnom proizvodu vektora te sile i vektora njene trenutne brzine

Vdtrd

.VFFP

Ako bi vektori sile i brzine njene napadne tačke bili kolinearni onda bi snagu te

sile, zbog i , određivala formula gde

predznak „+“ odgovara istom smeru vektora sile i brzine, dok predznak „-“

odgovara njihovim suprotnim smerovima.

10cos 1180cos 0 ,FVFP

Elementarni rad sile težine ,

prema formuli ,

ima oblik

34.Rad sile težine. Rad sile u opruzi.

YdyXdxdA

gm

.dymggmdA

Konačni rad te sile, pri pomeranju

njene napadne tačke od položaja

1 do položaja 2, dobiće se inte-

graljenjem elementarnog rada:

1221

2

1

yymgdymggmA

y

y

mghyymggmA 2121

Generalno, rad neke sile težine , na putu njene napadne tačke između poče-

tnog i krajnjeg položaja, jednak je proizvodu intenziteta te sile mg i visinske

razlike h između početnog i krajnjeg položaja, nezavisno od oblika putanje, sa

predznakom „+“ ili „-“

gm

.mghgmA

Predznak je „+“, kada je početni nivo napadne tačke viši od krajnjeg, dok je „-“,

kada je početni nivo napadne tačke niži od krajnjeg.

Na slici je prikazano i pomeranje napadne tačke sile težine , nekog tereta mase

M, od položaja B, koji je na nižem nivou, do položaja C, koji je na višem nivou,

zbog čega je rad ove sile na takvom pomeranju negativan:

gM

.mgHgMA CB

Elementarni rad sile u opruzi ,

prema formuli , ima

oblik

U mnogim primerima tačka se kreće po glatkoj vezi (kao što je to tačka mase m,

na slici sa prethodnog slajda) tako da na nju dejstvuje i reakcija idealne veze .

Elementarni rad ove sile, prema izrazu , je pošto

su i međusobno upravni vektori, a skalarni proizvod takvih vektora jednak

je nuli. Oni su međusobvno upravni zato što je vektor elementarnog pomeranja

rdFdA

N

,0 rdNNdA

N

rd

rd

u pravcu tangente a vektor reakcije glatke veze u pravcu normale. N

Pošto je elementartni rad jednak nuli i konačan rad takve sile mora takođe biti

jednak nuli. Kako reakcija glatke veze, tako i reakcije bilo kojih drugih idealnih

veze (kao na primer zglobova, užadi, lakih štapova itd.) ne vrše rad pri kretanju.

YdyXdxdA cF

.dxcxFdA c

Konačan rad te sile, pri pomeranju

njene napadne tačke od položaja 1 do

položaja 2, dobiće se integraljenjem elementarnog rada:

.22

2

1

2

2

2

21

2

1

2

1

xxcx

cxdxcFA

x

x

x

x

c

U problemima koji sadrže opruge pogodnije je korišćenje teorema, zakona i

jednačina koji se tiču potencijalne energije sile u opruzi, umesto onih, koji se

tiču rada te sile. Pošto je ,dxcxFdAFd cc

integraljenjem dobijena funkcija potencijalne energije ove sile, ima oblik

,2

2xcFc

jer je izabrano da je konstanta integracije jednaka nuli. Inače aditivna konstanta

u potencijalnoj energiji zavisi od sistema referencije i može se izabrati

proizvoljno. Pošto je koordinata x zapravo izduženje opruge , najčešće

korišćena formula, za potencijalnu energiju elastične sile u opruzi , je

l

cF

.2

1 2lcFc

Ovo iz formule može biti, kako izduženje, tako i skraćenje.l

Primer 4.13 Odrediti rad sile težine

u slučajevima kretanja uz i niz strmu

ravan, gde pomeranje tačke iznosi x?

gm

Sl.1,

Sl.2,

.sin mgxmghgmA

.sin mgxmghgmA

35.Teorema o promeni kinetičke energije tačke.

Ako bismo umesto ubrzanja tačke , u drugom Njutnovom zakonu, stavili prvi

izvod vektora brzine po vremenu , a zatim skalarno pomnožili, i levu i

desnu stranu, sa vektorom elementarnog pomeranja , dobili bismo

a

dtVd

rd

.rdFrddt

Vdm i

Sada, leva strana dobijene jednakosti, može biti zapisana kao , a desna

strana predstavlja sumu elementarnih radova svih sila koje dejstvuju na tačku:

VdVm

. iFdAVdVm

Zbog sledećeg identiteta

,2

1

2

1VdVmVdVVVdmVVmd

leve strana prethodne jednakosti, može biti zapisana na način

VVmd

2

1,

2

1 2

mVdili tako da jednakost postaje .

2

1 2

iFdAmVd

S obzirom da izraz u zagradi leve strane jednakosti dobijene predstavlja kineti-

čku energiju tačke, dobija se da, teorema o promeni kinetičke energije tačke, u

diferencijalnom obliku, može biti zapisana na način .dAdEk

Neka se tačka kreće, po nekoj svojoj putanji, od prethodnog položaja 1, ka

narednom položaju 2. Integraljenjem , za interval kretanja koji

odgovara prethodnom i nerednom položaju, dobija se da ova teorema u

konačnom obliku može biti zapisana na način

Suma elementarnih radova svih sila koje dejstvuju na tačku , kraće je

zapisana sa dA. Dakle, prema jednakosti imamo da je, elementarni

priraštaj kinetičke energije tačke, jednak, sumi elementarnih radova svih sila

koje dejstvuju na tačku.

iFdA

dAdEk

dAdEk

.2112 AEE kk

Rečima iskazana ova teorema : kinetička energija tačke u narednom položaju,

umanjena za njenu kinetičku energiju u prethodnom položaju, jednaka je sumi

radova svih sila koje dejstvuju na tačku, pri njenom premeštanju, iz

prethodnog, u naredni položaj.

površini poluprečnika R u homogenom polju sile

Zemljine teže. Tačka je započela kretanje iz najnižeg

položaja sa početnom brzinom intenziteta .0V

Primer 4.14 Neka se materijalna tačka mase m kreće po glatkoj cilindričnoj

Odrediti zavisnost , a samim tim i ,

koristeći teoremu o promeni kinetičke energije

tačke, od početnog položaja do proizvoljnog?

V

Kinetičku energiju materijalne tačke u početnom polo-

žaju označimo sa , a u proizvoljnom, prikazanom na

slici, sa . Sa A označimo sumu radova svih sila, koje

dejstvuju na tačku, pri njenom premeštanju, iz poče-

tnog, u proizvoljni položaj. Ovde, prethodnom položaju

odgovara početni, a nerednom proizvoljni, tako da

teorema , može biti zapisana na način

0kE

kE

2112 AEE kk

.0 AEE kk Dalje, s obzirom da pri kretanju rad vrši jedino sila težine , a kinetičku

energiju tačke određuje formula , imamo:

gm

22mVEk

cos22

2

0

2 RRmgmghVm

Vm

.cos122

0 gRVVV

S obzirom da je , dobijamo RV

.cos121 2

0

gRVRR

V

Ovaj način za dobijanje je neuporedivo lakši od integracije diferencijalne

jednačine kretanja, kojom je dobijeno u primeru 4.3. Uvek, kada je

primenom teoreme o promeni kinetičke energije, moguće zaobići integraciju

diferencijalne jednačine kretanja, treba je i primeniti.

V

V

Primer 4.15 Na delu od B do C materijalna

tačka mase m kreće se po glatkoj vezi (kretanje

uz strmu ravan), dok se od C do K kreće kroz

vazduh, kako je to na slici prikazano.

Zanemariti sile otpora pri kretanju. Ako je

brzina na početku kretanja iznosila odrediti

domet L (rastojanje )? Veličine , m, s i g

0V

0VCK

Brzinu tačke na mestu C najlakše ćemo odrediti primenom teoreme o promeni

kinetičke energije tačke pri njenom kretanju po glatkoj vezi (od tačke B do

tačke C) gde samo sila težine vrši rad (Sl.1):

smartati poznatim?

,CBkBkC AEE ,CBCB gmAA

o

C smgVm

Vm

45sin22

2

0

2

gsVVC 22

0

2gsVVC 2

2

0

Na slici 2 prikazana je, u proizvo-

ljnom položaju, jedina sila koja

dejstvuje na materijalnu tačku pri

njenom kretanju u drugoj fazi (od

tačke C do tačke K).

U toj fazi kretanja početni trenutak

odgovara položaju tačke na mestu

C, što znači da je i svaka-

ko . Za izabran koordinatni

sistem i nacrtan vektor početne

brzine , početni uslovi su:

0Ct

0Kt

CV

,00 x ,00 y ,2

245cos0 0

CC VVx .2

245sin0 C

o

C VVy

Projekcije drugog Njutnovog zakona na ose i integracije:

gdt

ydmgym

Konstanta , zbog

1Cgtydtgydgdtyd

2

21 CVC

2

20 CVy

2

2CVgtty

dtVgtdy C

2

22

2

2

2

22

2CtV

tgydtVgtdy CC

Konstanta , zbog 02 C 00y .2

2

2

2

tVt

gty C

.00 3Cxdt

xdxm

Konstanta , zbog

2

20 CVx

2

23 CVC

2

2CVtx

2

2CV

dt

dx dtVdx C

2

2 dtVdx C2

2

.2

24CtVx C Konstanta , zbog 04 C 00x .

2

2tVtx C

Određivanje dometa L:

KCK tVtxL 2

2

0Kty KCK tV

tg

2

2

20

2

KC

K tVt

g2

2

20

,2g

Vt C

K jer je .0Kt

.222

22

0

2

sg

V

g

V

g

VVL CC

C

Primer 4.16 Na delu od B do C materijalna tačka mase m kreće se

po glatkoj vezi, dok se od C do K kreće kroz vazduh, kako je to na

slici prikazano. Zanemariti sile otpora pri kretanju. Ako je brzina na

početku kretanja iznosila

odrediti reakciju veze na mestu C

(neposredno pre napuštanja veze) i

domet L (rastojanje )? Veličine

gRV 20

OK

m, R i g smartati poznatim.

Brzina tačke na mestu C:


23

22

2

0

2 RRmgV

mV

mC

gRgRVC 542 gRVC 3

Drugi Njutnov zakon na mestu C:

,CC Ngmam

gRVa CCN 92

0

0 60cos9 mgNgmn C

mgNC2

19

Na slici 2 prikazana je, u proizvo-

ljnom položaju, jedina sila koja

dejstvuje na materijalnu tačku pri

njenom kretanju u drugoj fazi (od

tačke C do tačke K). U toj fazi kre-

tanja početni trenutak odgovara položa-

ju tačke na mestu C, što znači da je

i svakako . Za izabran koordina-

tni sistem i nacrtan vektor početne brzi-

ne , početni uslovi su:

0Ct

0Kt

CV

,00 x ,0 Ry ,60cos0 0

CVx .60sin0 0

CVy


gdt

ydmgym

Konstanta , zbog

1Cgtydtgydgdtyd

2

31 CVC

2

30 CVy

2

3CVgtty

dtVgtdy C

2

32

2

2

3

22

3CtV

tgydtVgtdy CC

Konstanta , zbog RC 2 Ry 0 RtVt

gty C 2

3

2

2

.00 3Cxdt

xdxm

Konstanta , zbog

20 CV

x2

3CV

C

2CV

tx 2CV

dt

dx dt

Vdx C

2 dt

Vdx C

2.

24Ct

Vx C

Konstanta , zbog 04 C 00x .2

tV

tx C


0Kty

RtgRt

g KK

2

33

20

2

02332

RtgRgt KK

gRgRgRg

tK 827332

1

35332

1

g

RtK K

CK t

VtxL

2 RL 3533

4

3


tačka mase m kreće se po glatkoj vezi (kretanje

niz strmu ravan), dok se od C do K kreće kroz

vazduh, kako je to na slici prikazano.

Zanemariti sile otpora pri kretanju. Ako je tačka

započela kretanje bez početne brzine odrediti

brzinu na mestu K (neposredno pre pada na

podlogu) i domet L (rastojanje )? Veličine h,

m, s i g smartati poznatim?OK



0230sin0

2smgV

mC

gsVC

2 gsVC

Na slici 2 prikazana je, u proizvoljnom položaju,

jedina sila koja dejstvuje na materijalnu tačku pri

njenom kretanju u drugoj fazi (od tačke C do tačke K).

U toj fazi kre tanja početni trenutak odgovara položa-

ju tačke na mestu C, što znači da je i svaka-


sistem i nacrtan vektor početne brzi-


0Ct

0Kt

CV

,00 x ,00 y

,30cos0 0

CVx .30sin0 0

CVy


gdt

ydmgym

Konstanta , zbog

1Cgtydtgydgdtyd

21

CVC

20 CV

y 22

gsgt

Vgtty C

Konstanta , zbog 02 C 00y

dt

Vgtdy C

2

dt

Vgtdy C

22

2

22Ct

Vtgy C

tVt

gty C 22

2

.00 3Cxdt

xdxm

Konstanta , zbog

2

30 CVx

2

33 CVC

2

3CVtx

2

3CV

dt

dx dtVdx C

2

3 dtVdx C2

3

.2


2

3tVtx C


sty K 02

2stVtg KCK 02

2stgstg KK

g

sgsgsgs

gtK 8

2

1

KCK tVtxL2

3s

g

sgsL

2

3

2

3

Brzina na mestu K (neposredno pre pada):

,2

3gstx K

2

gs

g

sgty K

jgsigstVV KK

2

3

2

3

gstytxV KKK 322

toj fazi kre tanja početni trenutak odgovara položaju

tačke na mestu C, što znači da je i svaka-

Na slici 2 prikazana je, u proizvoljnom

položaju, jedina sila koja dejstvuje na

materijalnu tačku pri njenom kretanju u

drugoj fazi (od tačke C do tačke K). U

Primer 4.18 Na delu od B do C materijalna tačka mase m kreće se po gla-

tkoj vezi, dok se od C do K kreće kroz vazduh, kako je to na slici prikazano.

Zanemariti sile otpora pri kretanju. Ako je

tačka započela kretanje bez početne

brzine odrediti domet L (rastojanje )?

Veličine m, H, h i g smartati poznatim.OK



HmgVm

C 02

2gHVC 2


sistem i nacrtan vektor početne brzi-


0Kt

CV

0Ct

,00 x ,0 hy

,0 CVx .00 y


gdt

ydmgym

Konstanta , zbog

1Cgtydtgydgdtyd

Konstanta , zbog

01 C 00y gtty gtdtdy dttgdy

.2

2

2

Ct

gy hC 2 hy 0 2

2tghty

.00 3Cxdt

xdxm

Konstanta , zbog CVx 0CVC 3

CVdt

dx dtVdx C dtVdx C

.4CtVx C

Konstanta , zbog 04 C 00x .tVtx C


CVtx

0Kty

2

02

Ktgh .2

g

htK

KCK tVtxL

Hhg

hgHL 2

22

Brzine tačke na mestima C i D:


tačka mase m kreće se kroz glatku cev, dok se

od C do K kreće kroz vazduh, kako je to na

slici prikazano. Zanemariti sile otpora pri

kretanju. Ako je brzina na početku kretanja

iznosila odrediti reakcije na

mestima D i C (neposredno pre napuštanja

veze) i domet L (rastojanje )? Veličine m,

R i g smartati poznatim.

gRV 50

OK

,CBkBkC AEE CBCB gmAA

RmgVm

Vm

C 222

2

0

2

gRgRVC 452 gRVC

,DBkBkD AEE DBDB gmAA

RmgVm

Vm

D

2

0

2

22

gRgRVD 252 gRVD 3

Drugi Njutnov zakon na mestu C:

,CC Ngmam

gRVa CCN 2

mgNgm C 0CN

Drugi Njutnov zakon na mestu D:

,DD Ngmam

gRVa DDN 32

03 DNgm mgND 3

Druga faza kretanja (od C do K):

,00 x ,00 y ,0 CVx .00 y

gdt

ydmgym

1Cgtydtgydgdtyd

Konstanta , zbog 01 C 00y gtty gtdtdy dttgdy

.2

2

2

Ct

gy Konstanta , zbog 02 C 00y .2

2tgty

.00 3Cxdt

xdxm

Konstanta , zbog CVx 0CVC 3

CVdt

dx dtVdx C dtVdx C

.4CtVx C

CVtx

Konstanta , zbog 04 C 00x .tVtx C


Rty K

KCK tVtxL

2

2

KtgRg

Rt K

2

Rg

RgRL 2

2


tačka mase m kreće se po glatkoj kružnoj vezi,

dok se od C do K kreće kroz vazduh, kako je to

na slici prikazano. Zanemariti sile otpora pri

kretanju. Ako je odrediti kolika je

morala biti brzina na početku kretanja (na

mestu B) i koliko iznosi reakcija veze na mestu

C (neposredno pre napuštanja veze). Veličine m,

R i g smartati poznatim.

23ROK

0V

Da bi iskoristili činjenicu što je

domet poznat proučimo prvo drugu

fazu kretanja (kosi hitac). Na slici 2

prikazana je, u proizvoljnom

položaju, jedina sila koja dejstvuje

na materijalnu tačku pri njenom

kretanju u toj fazi (od tačke C do

tačke K). Pri ovom kosom hicu

početni trenutak odgovara položaju

tačke na mestu C, što znači da je i svakako . Za izabran koordinatni

sistem i nacrtan vektor početne brzine , početni uslovi su:0Ct 0Kt

CV

,00 x ,2

0R

y ,2

60cos0 0 CC

VVx .

2

360sin0 0

CC VVy


gdt

ydmgym

Konstanta , zbog

1Cgtydtgydgdtyd

2

31 CVC .

2

30 CVy

2

3CVgtty

dtVgtdy C

2

3

dtVgtdy C

2

3

dtVgtdy C

2

3.

2

3

22

2

CtVt

gy C

Konstanta , zbog 2

2

RC

20

Ry

22

3

2

2 RtV

tgty C

.00 3Cxdt

xdxm

Konstanta , zbog

20 CV

x2

3CV

C

2CV

dt

dx dtV

dx C

2 dt

Vdx C

2.

24Ct

Vx C

Konstanta , zbog 04 C 00x .2

tV

tx C

2CV

tx

Određivanje brzine tačke na mestu C:

,23ROKtx k 0kty ,22

3K

C tV

R 22

3

20

2R

tVt

g KCK

Ako na osnovu prve, u drugu jednačinu uvrstimo da je , dobićemo:3RtV KC

RgtK 42

g

RtK 2 .

2

3gRVC

Sada, kada se zna brzina tačke na

mestu C, brzinu tačke na mestu B

najlakše ćemo odrediti primenom

teoreme o promeni kinetičke ene-

rgije tačke pri njenom kretanju po

glatkoj vezi (od tačke B do tačke

C) gde samo sila težine vrši rad:


222

2

0

2 RRmgV

mV

mC

gRVVC

2

0

2

gRgRV4

32

0 .2

70 gRV

Određivanje reakcije veze na mestu C: Drugi Njutnov zakon na mestu C,

neposredno pre napuštanja veze (Sl.1), daje

Projekcija drugog Njutnovog zakona na normalu, s obzirom da

je , daje

.CC Ngmam

432

gRVa CCN

060cos4

3mgN

gm C .

4

5mgNC

Primer 4.21 Na delu od B do C materijalna tačka

mase m kreće se po glatkoj kružnoj vezi, dok se

od C do K kreće kroz vazduh, kako je to na slici

prikazano. Zanemariti sile otpora pri kretanju.

Reakcija veze na mestu C, neposredno pre

napuštanja veze, iznosi Odrediti

jednačine kretanja na delu od C do K (vreme t na

mestu C usvojiti da iznosi nula) za kordinatni

sistem prikazan na slici i kolika je morala biti

brzina na početku kretanja (na mestu B)?

Veličine m, R i g smartati poznatim.

.22mgNC

0V

Za određivanje brzine na mestu C, napi-

šimo drugi Njutnov zakon na tom mestu,

neposredno pre napuštanja veze (Sl.1):

,CC Ngmam

RVa CCN

2

0

2

45sinmgNR

Vm C

C

22

mgR

Vm C .2gRVC

Sada kada se zna , brzinu tačke na mestu B najlakše ćemo

odrediti primenom teoreme o promeni kinetičke energije pri

njenom kretanju po glatkoj vezi (od tačke B do tačke C) gde

samo sila težine vrši rad (Sl.1):

CV


02

0 45sin2

22

RRmgVm

gRm

2222

0 RgVgR

2122

0 gRV

.2120 gRV

,00 x ,00 y ,2

245cos0 0

CC VVx .2

245sin0 C

o

C VVy

gdt

ydmgym

Konstanta , zbog

1Cgtydtgydgdtyd

2

21 CVC

2

20 CVy

2

2CVgtty

dtVgtdy C

2

22

2

2

2

22

2CtV

tgydtVgtdy CC

Druga faza kretanja (kosi hitac):

Konstanta , zbog 02 C 00y .2

22

2

2

tgRt

gty

.00 3Cxdt

xdxm

Konstanta , zbog

2

20 CVx

2

23 CVC

2

2CVtx

2

2CV

dt

dx dtVdx C

2

2 dtVdx C2

2

.2


2

22 tgRtx

Documents

Definicija elementarnog rada sile i njegovi izrazi s obzirom na ...polj.uns.ac.rs/~mehanika/9 kinematika i dinamika.pdfU pravouglom Dekartovom koordina-tnom sistemu vektori sile i