Upload
osman-bal
View
1.591
Download
359
Embed Size (px)
Citation preview
DENGELEME HESABI-II
DERS NOTLARI
Jeodezik Ağların Dengelenmesi
Doç. Dr. Temel BAYRAK
2011 - GÜMÜŞHANE
ÖNSÖZ
Dengeleme Hesabı-II ders notu niteliğindeki bu kitap Harita Mühendisliği Bölümü
öğrencilerinin kaynak ihtiyacını gidermek üzere hazırlanmıştır. Bu kitabın öğrenciler için bir
ders aracı olması ana amaç olarak benimsenmiştir. Konular kendiliğinden öğrenmeye uygun
bir biçimde ele alınmış ve kitapta yeterli sayıda uygulama verilmeye çalışılmıştır.
Kitabın yararlı olmasını temenni ederim.
Doç. Dr. Temel BAYRAK
Gümüşhane 2011
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
2. DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESİ
3. DOĞRULTU AĞINDA YÖNELTME BİLİNMEYENLERİNİN
İNDİRGENMESİ
4. DOĞRULTU AĞLARININ DENGELENMESİ
5. KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ
6. DOĞRULTU-KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ
7. NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ
8. TRİGONOMETRİK NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ
8.1. DÜŞEY AÇILARLA DENGELEME
8.2. YÜKSEKLİK FARKLARINA GÖRE DENGELEME
9. GPS AĞLARININ DENGELENMESİ
10. GPS NİVELMANI
11. SERBEST AĞLARIN DENGELENMESİ
12. MODEL HİPOTEZİNİN TESTİ ve UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTİ
13. İKİ BOYUTLU BENZERLİK (HELMERT) DÖNÜŞÜMÜ
1. GİRİŞ
2. DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESİ
xAv Matris formatında Fonksiyonel Model
nnnnn du
dydx
cba
cbacba
v
vv
2
1
222
111
2
1
n ölçü sayısı, im gözlemlerin duyarlıkları ve ji
ijij mm
mr
korelasyon katsayısı olmak üzere
korelasyonlu ve duyarlıkları (ağırlıkları) farklı olan ölçüler için genel bir Varyans-Kovaryans
matrisi aşağıdaki gibi kurulabilir.
2321
3232313
2232212
1131221
nnnn
n
n
n
mmmm
mmmmmmmmmmmm
K jiijij mmrm
2332211
332332233113
223223222112
113113211221
nnnnnnn
nn
nn
nn
mmmrmmrmmr
mmrmmmrmmrmmrmmrmmmrmmrmmrmmrm
K
Ölçülerin
Q ters ağırlık matrisi ( 2
0s : öncül varyans olmak üzere)
QsK 20 2
0sKQ
2321
3232313
2232212
1131221
20
321
3333231
2232221
1131211
1
nnnn
n
n
n
nnnnn
n
n
n
mmmm
mmmmmmmmmmmm
s
qqqq
qqqqqqqqqqqq
Q
Ölçülerin ağırlık matrisi 1
Qp (Stokastik Model)
nnnnn
n
n
n
pppp
pppppppppppp
Qp
321
3333231
2232221
1131211
1
Ağırlıkları Farklı ve Korelâsyonlu ölçüler için amaç fonksiyonu
min 1 vpvvQv TT
0
n
T
N
T pAxApA Matris formatında Normal denklemler
Normal Denklem Katsayılar matrisi ApAN T
Bilinmeyenler Vektörü x
Sabit terimler pAn T
Normal denklemler simetriktir.
Denklem sayısı bilinmeyen sayısı kadardır.
Normal Denklemlerin Çözümü ve Bilinmeyenlerin Hesabı
pAApAnNx TT 11 bilinmeyenler çözülmüş olur.
Bilinmeyenlerin Kesin Değeri
Bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerine normal denklemlerin çözümünden elde edilen
dengeleme bilinmeyenleri eklenerek bilinmeyenlerin kesin değerleri elde edilmiş olur.
Bilinmeyenlerin kesin değeri = Bilinmeyenlerin yaklaşık değeri + Dengeleme bilinmeyenleri
duuu
dyyydxxx
0
0
0
u
yx
=
0
0
0
u
yx
+
du
dydx
Düzeltmelerin Hesabı
Elde edilen dudzdydx ,,,, dengeleme bilinmeyenleri, düzeltme denklem eşitliklerinde
yerine konarak düzeltmelerin sayısal değerleri elde edilir.
xAv
nnnnn du
dydx
cba
cbacba
v
vv
2
1
222
111
2
1
Düzeltmelerin Denetimi
0vpAT
vpvpv TT
xnpvpv TTT
Dengeli ölçüler
Düzeltmeler ölçülere eklenerek dengeli ölçüler hesaplanır. Bu değerler doğrusal olmaları
gerekmeyen ilk düzeltme denklemlerinde yerine konarak aşağıdaki şartı sağladıkları
denetlenir. Bu işlem dengeleme işlemlerinin tümünün hesap hatalarından arındırılmış
olduğunu gösterir.
iii v
nnn v
vv
2
1
2
1
2
1
ˆ
ˆˆ
),...,,,( 0000 duudzzdyydxxvL iii
Karesel Ortalama Hata
unvpv
mT
0
f = n-u fazla ölçü sayısı (serbestlik derecesi)
n: ölçü sayısı
u: bilinmeyen sayısı
Karesel ortalama hata (KOH)
Duyarlıkları farklı gözlemlerin ortalama hatası (standart sapması)
Ortalama hata
Ağırlığı 1p olan ölçünün ortalama hatası
Birim ağırlıklı ölçünün standart sapması
RMS (Root Mean Square)
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
T
xx qqqqqqqqq
ApAQ1 Bilinmeyenlerin ters ağırlık matrisi
Bilinmeyenlerin ortalama hataları
xxx qmm 0 yyy qmm 0 zzz qmm 0
Ölçülerin Ortalama Hatası
Ölçülerin ters ağırlık matrisinden
nnnnn
n
n
n
qqqq
qqqqqqqqqqqq
Q
321
3333231
2232221
1131211
iiiQmm
0
Ölçülerin ağırlık matrisinden 1
Qp
332313
232212
131211
ppppppppp
p
iip
mmi
0
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
T
xxAQAQ
ˆˆ Dengeli ölçülerin kovaryans matrisi
iiiQmm
ˆˆ0ˆ Dengeli ölçülerin ortalama hataları
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
ˆˆQQQvv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
ˆˆ1 QpQ
vv Düzeltmelerin kovaryans matrisi
iii vvv Qmm 0 Düzeltmelerin ortalama hataları
Not: vv
Q matrisi kaba hatalı ya da uyuşumsuz ölçülerin araştırılmasında kullanılır.
Örnek: Aşağıda matris formatında bir fonksiyonel model verilmiştir. Bu modele ait
Stokastik model için veriler tabloda verilmiştir. Öncül karesel ortalama hata 6.1 0 s mm
olduğuna göre, duyarlıkları farklı olan bu ölçüleri dolaylı ölçüler yöntemine göre
dengeleyiniz.
99.526.358.1
2232.09747.01398.09902.09979.00639.0
3
2
1
dydx
vvv
Dengeleme kararının verilmesi
Ölçü sayısı n = 3
Bilinmeyen sayısı u = 2
Serbestlik derecesi = fazla ölçü sayısı = f = n – u = 1 > 0 dengeleme var.
Stokastik model Ağırlıklar farklı ve korelasyon var
2332233113
3223222112
3113211221
mmmrmmrmmrmmmrmmrmmrm
K
2
2
2
90.090.069.08.090.094.08.090.069.08.069.069.094.08.090.094.08.069.094.08.094.0
K
8100.04968.06768.04968.04761.05189.06768.05189.08836.0
K
QsK 20 2
0mKQ
1m ± 0.94 mm ijr 0.8
2m ± 0.69 mm
3m ± 0.90 mm
8100.04968.06768.04968.04761.05189.06768.05189.08836.0
6.11
2Q
3164.01941.02644.01941.01860.02027.02644.02027.03452.0
Q
ja1 ja2 ja3 je1 je2 je3
0.3452 0.2027 0.2644 1 0 0
-1 -0.5872 -0.7659 -2.8969 0 0
0.1860 0.1941 0 1 0
0.0670 0.0388 -0.5872 1 0
-1 -0.5800 8.7673 -14.9309 0
0.3164 0 0 1
0.0914 -0.4254 -0.5800 1
-1 4.5660 6.3487 -10.9460
-10.0255 6.0669 4.6560
p -18.6130 6.3487
-10.9460
9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10
1
Qp
Normal Denklemlerinin kurulması ve çözümü
p
9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10
2232.01398.09979.09747.09902.00639.0
TA
3171.10771.108177.92408.172240.248343.0
pAT
A
2232.09747.01398.09902.09979.00639.0
99.526.358.1
3171.10771.108177.92408.172240.248343.0
pAT
9118.100672.80672.87380.40
ApAN T
4737.405611.183
pAn T
ja1 ja2 je1 je2
40.7380 8.0672 1 0
-1 -0.1980 -0.0245 0
10.9118 0 1
9.3143 -0.1980 1
-1 0.0213 -0.1074
-0.0288 0.0213
xx
Q -0.1074
4737.405611.183
pAn T
1074.00213.00213.00288.01NQ
xx
44.042.4
dydx
x mm
Bilinmeyenlerin Kesin Değeri
dydx
yx
yx
0
0
Düzeltmelerin Hesabı xAv
44.042.4
x
2232.09747.01398.09902.09979.00639.0
A
99.526.358.1
41.444.416.0
xA
58.118.142.1
xAv
Düzeltmelerin Denetimi
p
9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10
v
58.118.142.1
2232.01398.09979.09747.09902.00639.0
TA
00.000.0
pvAT
p
9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10
v
58.118.142.1
58.118.142.1 Tv 57.8vpvT
vpvpv TT p
9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10
v
58.118.142.1
99.526.358.1 T 57.8 pvT
xnpvpv TTT p
9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10
99.526.358.1
99.526.358.1 T pT
44.042.4
x
4737.405611.183Tn xnT
Dengeli ölçüler
iii v
3
2
1
3
2
1
3
2
1
ˆˆˆ
vvv
Karesel Ortalama Hata
93.223
57.80
unvpv
mT
mm
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
1074.00213.00213.00288.01NQ
xx Bilinmeyenlerin ters ağırlık matrisi
50.00288.093.20 xxx qmm mm Bilinmeyenlerin ortalama hataları
96.01074.093.20 yyy qmm mm
Ölçülerin Ortalama Hatası
9460.103487.66560.43487.66130.180669.66560.40669.60255.10
p ip
mmi
0
28.90255.1093.2
1
01
p
mm mm
64.126130.1893.2
2
02
p
mm mm
69.99460.1093.2
3
03
p
mm mm
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
T
xxAQAQ
ˆˆ Dengeli ölçülerin kovaryans matrisi
1 NQxx
1074.00213.00213.00288.0
TA
2232.01398.09979.09747.09902.00639.0
2232.09747.01398.09902.09979.00639.0
A
0234.00235.00017.00235.00244.00077.00017.00077.01097.0
T
xxAQAQ
ˆˆ
iiiQmm
ˆˆ0ˆ Dengeli ölçülerin ortalama hataları
97.01097.093.2111 ˆˆ0ˆ
Qmm mm
46.00244.093.2222 ˆˆ0ˆ
Qmm mm
45.00234.093.2333 ˆˆ0ˆ
Qmm mm
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
ˆˆQQQvv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
ˆˆ1 QpQ
vv
0234.00235.00017.00235.00244.00077.00017.00077.01097.0
3164.01941.02644.01941.01860.02027.02644.02027.03452.0
vvQ
2930.02176.02626.02176.01616.01950.02626.01950.02354.0
vvQ
iii vvv Qmm 0 Düzeltmelerin ortalama hataları
42.12354.093.2111 0
vvv Qmm mm
18.11616.093.2222 0
vvv Qmm mm
58.12930.093.2333 0
vvv Qmm mm
3. DOĞRULTU AĞINDA YÖNELTME BİLİNMEYENLERİNİN İNDİRGENMESİ
Bir denklem sistemindeki denklemlerin boyutları büyüdükçe, denklemlerin kurulması ve
çözümü için harcanacak zaman denklem boyutlarının küpü ile orantılı olarak artar. Bu
nedenle normal denklemler çözülmeden önce bilinmeyenlerden bir tanesinin bile yok edilmesi
hatırı sayılır bir zaman kazancı sağlar. Bilinmeyenlerin yok edilmesi için çok farklı yöntemler
mevcuttur. Haritacılık uygulamalarında en yaygın olanı Gauss Toplam Denklem Yöntemidir.
Bu yöntemde şart, düzeltme denklemlerinde yok edilecek bilinmeyenin katsayısı bütün
düzeltme denklemlerinde aynı olmalıdır. Doğrultu ağlarında yok edilmek istenen yöneltme
bilinmeyenlerinin katsayıları eşittir. Ayrıca doğrultu ağlarında genellikle her doğrultu için
ağırlıklar eşit olarak alınır. Ağırlıkları eşit düzeltme denklemleri aşağıdaki gibi olsun. Burada
z bilinmeyeni yok edelim.
1111 czybxav
2222 czybxav
nnnn czybxav
0 zcnybxav Her iki tarafı n ye bölelim. Burada n sistemdeki
denklem sayısıdır.
0
n
zn
cnynbx
na
Bu denklemin katsayılarını düzeltme denklemlerinde yerine yazalım.
nzccy
nbbx
naav
1111
nzccy
nbbx
naav
2222
nzccy
nbbx
naav nnnn
z bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri
'1
'1
'11 ybxav
'2
'2
'22 ybxav
'''nnnn ybxav
Bu yeni denklem sisteminde aşağıdaki kontroller sağlanmalıdır.
0' a 0' b 0'
Örnek: Aşağıdaki denklem sistemindeki z bilinmeyenini Gauss Toplam Denklem yöntemiyle
yok ediniz ve yeni denklem sistemini xAv matris gösterimi şeklinde yazınız.
121 zyxv
22 zyxv
23 zyxv
3234 zyxv
0 zcnybxav
Burada 4n ve 1c ( z bilinmeyeninin katsayısı)
02437 zyx
Yukarıdaki denklemi 4 n e bölelim.
042
44
43
47
zyx
021
43
47
zyx
05.075.075.1 zyx
5.011175.0175.121 zyxv
5.021175.0175.112 zyxv
5.021175.0175.113 zyxv
5.031175.0275.134 zyxv
z bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri
5.125.025.01 yxv
5.125.075.02 yxv
5.275.175.03 yxv
5.225.125.14 yxv
Denklem sistemini xAv formatında yazalım.
5.25.25.15.1
25.125.175.175.025.075.025.025.0
4
3
2
1
yx
vvvv
Kontrol
025.175.075.025.0' a
025.175.125.025.0' b
05.25.25.15.1'
Örnek: Aşağıdaki denklem sistemindeki dz bilinmeyenini Gauss Toplam Denklem
yöntemiyle yok ediniz ve yeni denklem sistemini xAv matris gösterimi şeklinde
yazınız.
101 dzv
512.565.20 21212 dydxdzv
464.169.21 22223 dydxdzv
Öncelikle bu denklemleri düzenleyelim.
100000 222221211 dzdydxdydxv
50012.565.20 222221212 dzdydxdydxv
464.169.2100 222221213 dzdydxdydxv
022222121 dzendyddxcdybdxav
Burada 3n ve 1e ( dz bilinmeyeninin katsayısı)
09364.169.2112.565.20 22222121 dzdydxdydx
Yukarıdaki denklemi 3 n e bölelim.
0355.023.771.188.6 22222121 dzdydxdydx
)310()11()55.00()23.70()71.10()88.60( 222221211 dzdydxdydxv)35()11()55.00()23.70()71.112.5()88.665.20( 222221212 dzdydxdydxv)34()11()55.064.1()23.769.21()71.10()88.60( 222221213 dzdydxdydxv
z bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri
755.023.771.188.6 222221211 dydxdydxv 855.023.741.377.13 222221212 dydxdydxv 109.146.1471.188.6 222221213 dydxdydxv
Denklem sistemini xAv formatında yazalım.
187
09.146.1471.188.655.023.741.377.1355.023.771.188.6
22
22
21
21
3
2
1
dydxdydx
vvv
Kontrol
088.677.1388.6' a
071.141.371.1' b
046.1423.723.7' c
009.155.055.0' b
0187'
4. DOĞRULTU AĞLARININ DENGELENMESİ
:12t 1P ve 2P noktaları arasındaki semt 21PP
:12r 1P den 2P ye ölçülen doğrultu
:1z 1P noktasındaki yöneltme bilinmeyeni
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz semtin kendisidir. Fonksiyonel modeli
Semt için yazalım.
12
121121212 arctan
xxyyzvrt
12
1211212 arctan
xxyyzvr
Yukarıdaki fonksiyon doğrusal değildir. Doğrusallaştırma işlemi için bilinmeyenlerin
yaklaşık değerlerini seçelim ve fonksiyonu Taylor serisine açalım.
1011 dzzz 1
011 dxxx 2
022 dxxx
1011 dyyy 1
011 dyyy
),( 111 yxP
X
),( 222 yxP
Sıfır doğrultusu
1z
12t 1212 vr 12r
Y 12 yy
12 xx
12t
12s
0arctan 2
0
2
122
0
2
121
0
1
121
0
1
1201
02
01
020
111212
012
dyytdx
xtdy
ytdx
xt
xxyyzdzvr
t
20
12
01
02
201
02
201
02
01
02
201
02
201
02
201
02
201
02
01
02
201
02
201
02
201
02
01
02
01
02
2
01
02
01
02
01
02
01
02
0
1
12
)1(
11s
yyxxyy
yy
xxxxyy
xxyy
xxyy
xxyyxx
xxyy
xxyy
xt
012
012
012
012
01
02
0
1
1212
sin1s
tss
yyxta
100
10000200sin
012
012
12
sta birim
cmcc
20
12
01
02
201
02
201
02
01
02
201
02
201
02
201
02
201
02
01
02
201
02
201
02
201
02
01
02
01
02
2
01
02
01
02
01
02
01
02
0
1
12
)1(
11s
xxxxyy
xx
xxxxyy
xxxx
xxyy
xxxxyy
xxyy
xxyy
yt
012
012
012
012
01
02
0
1
1212
cos1s
tss
xxytb
100
10000200cos
012
012
12
stb birim
cmcc
012
012
0
2
1212
sins
txta
012
012
0
1
1212
coss
tytb
Bu katsayıları aşağıdaki denklemde yerine koyalım ve düzenleyelim.
0arctan 2
0
2
122
0
2
121
0
1
121
0
1
1201
02
01
020
111212
012
dyytdx
xtdy
ytdx
xt
xxyyzdzvr
t
00112
012212212112112112 zrtdybdxadybdxadzv
0112
01212 zrt
Olmak üzere doğrusallaştırılmış düzeltme denklemi (Fonksiyonel Model) aşağıdaki gibi yazılabilir.
12212212112112112 dybdxadybdxadzv
Stokastik Model: Doğrultu ölçüleri korelâsyonsuz ölçüler olarak kabul edilir. Ayrıca
doğrultu ölçülerinin ağırlıklarının eşit olduğu da farz edilir.
Örnek: Aşağıda verilmiş ağda doğrultu ölçülerine ait düzeltme denklemlerini xAv
formatında yazınız.
NN Y (m) X(m)
Kesin Koordinatlar 100 765.499 8855.329 107 719.689 7969.933 108 342.246 8404.180
Yaklaşık Koordinatlar 21 632.630 8476.102 22 635.211 8426.244 23 638.765 8351.331
Ölçü sayısı n = 5
Bilinmeyen sayısı u = 6+1 (3 koordinat çifti ve 1 yöneltme bilinmeyeni)
Serbestlik Derecesi f = n-u = 5-7<0 Dengeleme yok.
Koordinat bilinmeyenleri: 21dx , 21dy , 22dx , 22dy , 23dx , 23dy
Bir yöneltme bilinmeyeni: dz (108 Noktasında doğrultu gözlemleri yapılmış)
DN BN Doğrultu 108 100 0.00000
21 36.57040 22 47.24520 23 63.26200 107 106.47780
100
108
107
21
22
23
1r
2r
3r
4r
5r
0
102
01
020
12 arctanxxyyt 20
102
201
02
012 xxyys
100
10000200sin
012
012
12
sta
100
10000200cos
012
012
12
stb
n
rtz ik 10
01
DN BN Doğrultu
ir (g) 0ikt (g) 0
iks (m) 0ikt - ir
ik (cc) ika
cc / cm ikb
cc / cm 0ikt - ir - 0
108z 108 100 0.00000 47.96968 618.610 47.96968 -0.6 7.0412 -7.5053
21 36.57040 84.54332 299.158 47.97292 31.8 20.6562 -5.1161 22 47.24520 95.21448 293.795 47.96928 -4.6 21.6077 -1.6273 23 63.26200 111.22866 301.192 47.96666 -30.8 20.8088 3.7088 107 106.47780 154.44796 575.355 47.97016 4.2 7.2587 8.3511
0108z 47.96974
Düzeltme Denklemlerini aşağıdaki formatta yazalım.
ikkikkikiikikiik dybdxadybdxadzv 1
2.43511.82587.73511.82587.78.307088.38088.207088.38088.206.46273.16077.216273.16077.218.311161.56562.201161.56562.20
6.050537041275053704127
107107108108108107108
232310810810823108
222210810810822108
212110810810821108
100100108108108100108
dydxdydxdzvdydxdydxdzvdydxdydxdzvdydxdydxdzvdy.dx.dy.dx.dzv
100, 107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları
düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım.
2.48.307088.38088.206.46273.16077.218.311161.56562.20
6.0
108107108
232310823108
222210822108
212110821108
108100108
dzvdydxdzvdydxdzvdydxdzv
dzv
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim.
2.400000018.307088.38088.20000016.4006273.16077.210018.3100001161.56562.2016.00000001
107108
23108
22108
21108
100108
232322222121108
vvvvv
dydxdydxdydxdz
Toplam -5 -20.6562 5.1161 -21.6077 1.6273 -20.8088 -3.7088 0.00 n = 5 -n = -5 e bölelim
1 4.1312 -1.0232 4.3215 -0.3255 4.1618 0.7418 0.00
Yöneltme bilinmeyeni denklemi
07418.01618.43255.03215.40232.11312.41 232322222121108 dydxdydxdydxdz
Bu denklem sistemindeki 108dz yöneltme bilinmeyeninin katsayıları -1 dir. Bu bilinmeyen
dengeleme hesabı işlemine geçilmeden önce Gauss Toplam Denklem yöntemi ile
indirgenmelidir. Yukarıdaki düzeltme denklemlerinden 108dz yöneltme bilinmeyeninin yok
edilmiş halini aşağıya yazalım.
2.48.306.48.316.0
7418.01618.43255.03215.40232.11312.49670.26470.163255.03215.40232.11312.47418.01618.43019.12861.170232.11312.47418.01618.43255.03215.40929.45250.167418.01618.43255.03215.40232.11312.4
23
23
22
22
21
21
107108
23108
22108
21108
100108
dydxdydxdydx
vvvv
v
Örnek: Aşağıda verilmiş doğrultu ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz.
NN Y (m) X(m)
Kesin Koordinatlar 107 719.689 7969.933 108 342.246 8404.180
Yaklaşık Koordinatlar 23 638.765 8351.331
Ölçü sayısı n = 6
Bilinmeyen sayısı u = 2+3 (1 koordinat çifti ve 3 yöneltme bilinmeyeni)
Serbestlik Derecesi f = n-u = 6-5>0 Dengeleme var.
DN BN Doğrultu 108 23 0.00000
107 43.21580 107 108 0.00000
23 32.24480 23 107 0.00000
108 124.53835
108
107
23 1r
2r
3r 4r
5r
6r
Koordinat bilinmeyenleri: 23dx , 23dy
Üç yöneltme bilinmeyeni: 23dz , 107dz , 108dz
(23, 107 ve 108 noktalarında doğrultu gözlemleri yapılmış)
0
102
01
020
12 arctanxxyyt 20
102
201
02
012 xxyys
100
10000200sin
012
012
12
sta
100
10000200cos
012
012
12
stb
n
rtz ik 10
01
DN BN Doğrultu
ir (g) 0ikt (g) 0
iks (m) 0ikt - ir
ik (cc) ika
cc / cm ikb
cc / cm 0ikt - ir - 0
108z 108 23 0.00000 111.22866 301.192 111.22866 -18 20.8088 3.7088
107 43.21580 154.44796 575.355 111.23216 18 7.2587 8.3511 0
108z 111.23041
108 numaralı noktadaki doğrultu gözlemleri için düzeltme denklemlerini yazalım
183511.82587.73511.82587.7187088.38088.207088.38088.20
107107108108108107108
232310810810823108
dydxdydxdzvdydxdydxdzv
107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları
düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden yazalım.
1800187088.38088.20
2323108107108
232310823108
dydxdzvdydxdzv
Toplam -2 - 20.8088 -3.7088 0.00 n = 2 -n = -2 ye bölelim
1 10.4044 1.8544 0.00
108 noktasındaki yöneltme bilinmeyeni denklemi
08544.14044.101 2323108 dydxdz
Düzeltme denklemlerinden 108dz yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya
yazalım.
188544.14044.10188544.14044.10
2323107108
232323108
dydxvdydxv
DN BN Doğrultu
ir (g) 0ikt (g) 0
iks (m) 0ikt - ir
ik (cc) ika
cc / cm ikb
cc / cm 0ikt - ir - 0
107z 107 108 0.00000 354.44796 575.355 354.44796 15 -7.2587 -8.3511
23 32.24480 386.68977 389.889 354.44497 -15 -3.3890 -15.9727 0
107z 354.44647
107 numaralı noktadaki doğrultu gözlemleri için düzeltme denklemlerini yazalım
159727.153890.39727.153890.3153511.82587.73511.82587.7
232310710710723107
108108107107107108107
dydxdydxdzvdydxdydxdzv
107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları
düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden yazalım.
159727.153890.31500
232310723107
2323107108107
dydxdzvdydxdzv
Toplam -2 3.3890 15.9727 0.00 n = 2 -n = -2 ye bölelim
1 -1.6945 -7.9863 0.00
107 noktasındaki yöneltme bilinmeyeni denklemi
09863.76945.11 2323107 dydxdz
Düzeltme denklemlerinden 107dz yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya
yazalım.
159863.76945.1159863.76945.1
232323107
2323108107
dydxvdydxv
DN BN Doğrultu
ir (g) 0ikt (g) 0
iks (m) 0ikt - ir
ik (cc) ika
cc / cm ikb
cc / cm 0ikt - ir - 0
107z 23 107 0.00000 186.68977 389.889 186.68977 -3 3.3890 15.9727
108 124.53835 311.22866 301.192 186.69031 3 -20.8088 -3.7088 0
107z 186.69004
23 numaralı noktadaki doğrultu gözlemleri için düzeltme denklemlerini yazalım
37088.38088.207088.38088.2039727.153890.39727.153890.3
10810823232310823
10710723232310723
dydxdydxdzvdydxdydxdzv
107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları
düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden yazalım.
37088.38088.2039727.153890.3
23232310823
23232310723
dydxdzvdydxdzv
Toplam -2 -17.4189 12.2639 0.00 n = 2 -n = -2 ye bölelim
1 8.7099 6.1319 0.00
23 noktasındaki yöneltme bilinmeyeni denklemi
01319.67099.81 232323 dydxdz
Düzeltme denklemlerinden 23dz yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya yazalım.
38407.90989.1238407.90989.12
232310823
232310723
dydxvdydxv
Düzeltme denklemleri
188544.14044.10188544.14044.10
2323107108
232323108
dydxvdydxv
159863.76945.1159863.76945.1
232323107
2323108107
dydxvdydxv
38407.90989.1238407.90989.12
232310823
232310723
dydxvdydxv
Düzeltme denklemlerini xAv formatında yazalım.
33
15151818
8407.90989.128407.90989.129863.76945.19863.76945.18544.14044.108544.14044.10
23
23
10823
10723
23107
108107
107108
23108
dydx
vvvvvv
1201.3287773.3037773.3030117.515
AAN T
1338.2271780.249
TAn
cmcc
cccmAAN T birimsiz cc
cccmAn T
birimi cm
0067.00040.00040.00043.01NQ
xx
5.20.2
23
23
dydx
nQxxx
cm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
23
23023
023
23
23
dydx
yx
yx
790.638311.8351
5.20.2
765.638331.8351
23
23
yx
Düzeltmeler
cccmcmccxAv birimi cc
75.175.175.175.175.175.1
33
15151818
5.20.2
8407.90989.128407.90989.129863.76945.19863.76945.18544.14044.108544.14044.10
10823
10723
23107
108107
107108
23108
vvvvvv
Dengeli ölçüler iii vrr ˆ
10823
10723
23107
108107
107108
23108
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
ˆˆˆˆˆˆ
vvvvvv
rrrrrr
rrrrrr
53870.12400000.024515.3200000.021615.4300000.0
538525.124000175.0244975.32000175.0215975.43000175.0
75.175.175.175.175.175.1
53835.12400000.024480.3200000.021580.4300000.0
ˆˆˆˆˆˆ
6
5
4
3
2
1
rrrrrr
Dengeli doğrultu ölçülerinin denetimi
Yöneltme bilinmeyeni denklemleri
08544.14044.101 2323108 dydxdz
09863.76945.11 2323107 dydxdz
01319.67099.81 232323 dydxdz
Matris gösterimiyle
23
23
23
107
108
1319.67099.89863.76945.18544.14044.10
dydx
dzdzdz
52.3273.1679.15
1319.67099.89863.76945.18544.14044.10
23
23
23
107
108
dydx
dzdzdz
cc
23
107
108
023
0107
0102
23
107
102
dzdzdz
zzz
zzz
69329.18644814.35423199.111
52.3273.1679.15
69004.18644647.35423041.111
23
107
102
zzz
DN BN Dengeli doğrultulardan semt Dengeli Koordinatlardan
Semt ikt
Fark
ir (g) iv (cc) iii vrr ˆ z ikt = ir + 102z
108 23 0.00000 -1.75 -0.00018 111.23199 111.23181 111.23181 0.00 107 43.21580 1.75 43.21598 111.23199 154.44796 154.44796 0.00
107 108 0.00000 -1.75 -0.00018 354.44814 354.44796 354.44796 0.00 23 32.24480 1.75 32.24498 354.44814 386.69312 386.69312 0.00
23 107 0.00000 -1.75 -0.00018 186.69329 186.69312 186.69312 0.00 108 124.53835 1.75 124.53853 186.69329 311.23181 311.23181 0.00
Karesel Ortalama Hata
5.356
25.120
unvvm
T
cm
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
0067.00040.00040.00043.01NQ
xx
2.00043.05.30 xxx qmm cm
3.00067.05.30 yyy qmm cm
Ölçülerin Ortalama Hatası ip
mmi
0
Doğrultu ağlarında ağırlıklar eşit olduğu için ölçülerin ortalama hataları karesel ortalama hataya eşittir.
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
3333.03333.01667.01667.01667.01667.03333.03333.01667.01667.01667.01667.01667.01667.03333.03333.01667.01667.01667.01667.03333.03333.01667.01667.01667.01667.01667.01667.03333.03333.01667.01667.01667.01667.03333.03333.0
ˆˆT
xxAQAQ
iiiQmm
ˆˆ0ˆ Dengeli ölçülerin ortalama hataları
02.23333.05.3ˆ i
m
cm
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
ˆˆQQQvv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
ˆˆ1 QpQ
vv
100000010000001000000100000010000001
1pp
6667.03333.01667.01667.01667.01667.03333.06667.01667.01667.01667.01667.01667.01667.06667.03333.01667.01667.01667.01667.03333.06667.01667.01667.01667.01667.01667.01667.06667.03333.01667.01667.01667.01667.03333.06667.0
vvQ
iii vvv Qmm 0 Düzeltmelerin ortalama hataları
86.26667.05.3 ivm cm
5. KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ
Kenar ağlarında yapılan kenar ölçüleri günümüzde genelde Elektronik Uzaklık Ölçerler
(EUÖ, Total Station) ile ölçülerek elde edilirler.
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz kenarın kendisidir. Fonksiyonel modeli
kenar için yazalım.
2122
1212 12yyxxvs s
Yukarıdaki fonksiyon doğrusal değildir. Doğrusallaştırma işlemi için bilinmeyenlerin
yaklaşık değerlerini seçelim ve fonksiyonu Taylor serisine açalım.
1011 dxxx 2
022 dxxx
1011 dyyy 2
022 dyyy
02
0
2
122
0
2
121
0
1
121
0
1
12201
02
201
0212
012
12
dyysdx
xsdy
ysdx
xsyyxxvs
s
s
),( 111 yxP
X
),( 222 yxP
Y
12 yy
12 xx 12s
012
01
02
201
02
201
02
01
02
0
1
1212
2
12s
xx
xxyy
xxxsa
birimsiz
20
12
01
02
201
02
201
02
01
02
0
1
1212
2
12s
yy
xxyy
yyysb
birimsiz
12
0
2
12 axs
12
0
2
12 bys
Bu katsayıları aşağıdaki denklemde yerine koyalım ve düzenleyelim.
02
0
2
122
0
2
121
0
1
121
0
1
12201
02
201
0212 12
dyysdx
xsdy
ysdx
xsyyxxvs s
01201221221211211212
ssdybdxadybdxavs
1201212 ss
01221221211211212 dybdxadybdxavs
Stokastik Model: Kenar ölçüleri korelâsyonsuz ölçüler olarak kabul edilir. Çünkü kenar
ölçüleri için korelasyon belirlemek oldukça zahmetli bir iştir. Kenar ölçülerinin ağırlıkları
farklıdır. EUÖ için karesel ortalama hata aşağıdaki formül ile hesaplanır. Her EUÖ için
yapımcı firmalar bu bağıntıyı vermektedir. Farklı EUÖ ler için bu bağıntı farklı değerler
alabilir. ppmb kısmı, karesel ortalama hatanın uzunluğa bağlı olduğu kısmıdır. ppm
kısmına uzunluğun km cinsinden değeri yazılır.
ppmbams 0
km 1 mm 000.000.1 ppm
Örneğin bir EUÖ için karesel ortalama hata bağıntısı aşağıdaki formülle verilmiş olsun.
Sırasıyla 1000, 2000 ve 5000 m lik uzaklıklar için karesel ortalama hataları hesaplayalım.
ppmms 2 mm 2 0
1000 m = 1 km 4 1 2 mm 2 1
sm mm
2000 m = 2 km 6 2 2 mm 2 2
sm mm
5000 m = 5 km 12 5 2 mm 2 3
sm mm
Bir 0s öncül karesel ortalama hata ve ağırlığın tanımından yararlanarak ağırlık matrisini
aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
2
20
isi m
sp
2
20
2
20
2
20
000
000
000
000
2
1
ns
s
s
ms
ms
ms
p
Örnek: Aşağıda kenar ölçüleri verilmiş ağı dolaylı ölçüler yöntemine göre dengeleyiniz. Bu
ağda kenar ölçmede kullanılan EUÖ için ppmms 5 mm 5 lik ayar değeri yapımcı
firma tarafından verilmiştir. Öncül karesel ortalama hata 30 0 s mm olarak alınacaktır.
NN Y (m) X(m)
Kesin Koordinatlar 101 17246.828 12812.718 102 25084.654 12106.522 103 24360.602 5230.407 104 16756.594 6447.904
Yaklaşık Koordinatlar 23 20058.570 8243.730
DN BN Kenar (m) 23 101 5364.876
102 6338.984 103 5252.410 104 3758.782
Ölçü sayısı n = 4
Bilinmeyen sayısı u = 2 (Bir koordinat çifti)
Serbestlik Derecesi f = n-u = 4-2 = 2 > 0
Dengeleme var
Koordinat bilinmeyenleri: 23dx , 23dy
201
02
201
02
012 xxyys
012
01
02
12 sxxa
20
12
01
02
12s
yyb ikikik ss 0 birimli
DN BN x (m) y (m) 0iks (m) iks ik (mm) ika ikb
23 101 4568.988 -2811.742 5364.843 5364.876 -33 -0.8517 0.5241 102 3862.792 5026.084 6338.981 6338.984 -3 -0.6094 -0.7929 103 -3013.323 4302.032 5252.389 5252.410 -21 0.5737 -0.8191 104 -1795.826 -3301.976 3758.728 3758.782 -54 0.4778 0.8785
Düzeltme Denklemlerini aşağıdaki formatta yazalım.
01221221211211212 dybdxadybdxavs
548785.04778.08785.04778.0218191.05737.08191.05737.037929.06094.07929.06094.0
335241.08517.05241.08517.0
1041042323
1031032323
1021022323
1011012323
10423
10323
10223
10123
dydxdydxvdydxdydxvdydxdydxvdydxdydxv
s
s
s
s
101, 102, 103 ve 104 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait
katsayıları düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım.
548785.04778.0218191.05737.037929.06094.0
335241.08517.0
2323
2323
2323
2323
10423
10323
10223
10123
dydxvdydxvdydxvdydxv
s
s
s
s
Bu denklemleri xAv formatında yazalım.
54213
33
8785.04778.08191.05737.07929.06094.05241.08517.0
23
23
10423
10323
10223
10123
dydx
vvvv
s
s
s
s
ppmms 5 mm 5 30 0 s 2
20
isi m
sp
82.31364876.5 5 mm 5 1
sm
69.36338984.6 5 mm 5 2
sm
26.31252410.5 5 mm 5 3
sm
79.23758782.3 5 mm 5 4
sm
59.1000092.0000067.0000089.0
79.2330000
026.31
3000
0069.36
300
00082.31
30
2
2
2
2
2
2
2
2
p
5089.21608.01608.05587.1
ApAN T
5406.730000.26
pAn T
4012.00414.00414.06458.01NQ
xx
2814
23
23
dydx
nQxxx
mm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
23
23023
023
23
23
dydx
yx
yx
598.20058744.8243
2814
570.20058730.8243
23
23
yx
Düzeltmeler xAv birimi mm
41.2296.3574.3343.29
54213
33
2814
8785.04778.08191.05737.07929.06094.05241.08517.0
10423
10323
10223
10123
s
s
s
s
vvvv
mm
Dengeli ölçüler isii vss ˆ
10423
10323
10223
10123
4
3
2
1
4
3
2
1
ˆˆˆˆ
s
s
s
s
vvvv
ssss
ssss
760.3758374.5252950.6338847.5364
41.2296.3574.3343.29
782.3758410.5252984.6338876.5364
ˆˆˆˆ
4
3
2
1
ssss
Dengeli kenar ölçülerinin denetimi DN BN x
(m) y
(m)
Dengeli koordinatlardan 22ˆ yxsi
Dengeli kenarlardan
isii vss ˆ
isv (mm) is (m)
23 101 -4568.974 2811.770 5364.847 5364.847 -29.43 5364.876 23 102 -3862.778 -5026.056 6338.950 6338.950 -33.74 6338.984 23 103 3013.337 -4302.004 5252.374 5252.374 -35.96 5252.410 23 104 1795.840 3302.004 3758.760 3758.760 -22.41 3758.782
Karesel Ortalama Hata
0.422485.3519
0
unvpv
mT
mm
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
4012.00414.00414.06458.01NQ
xx
7.336458.0420 xxx qmm mm
6.264012.0420 yyy qmm
Ölçülerin Ortalama Hatası
59.1000092.0000067.0000089.0
p
i
s pmm
i
0 mm
5.44
89.042
1sm 3.51
67.042
2sm 7.43
92.042
3sm 3.33
59.142
4sm
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
4223.01163.04297.00574.01163.05206.00330.05291.04297.00330.04521.01537.00574.05291.01537.06156.0
ˆˆT
xxssAQAQ
iii sss Qmmˆˆ0ˆ Dengeli ölçülerin ortalama hataları
91.326156.0421
sm mm
21.284521.0422ˆ
sm
27.305206.0423ˆ
sm
26.274223.0424ˆ
sm
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
ssssvvQQQ
ˆˆ Düzeltmelerin kovaryans matrisi
ssssvvQpQ
ˆˆ
1
6291.000000859.100004961.100001253.1
1p
2067.01163.04297.00574.01163.05653.00330.05291.04297.00330.00441.11537.00574.05291.01537.05097.0
vvQ
iii vvv Qmm 0 Düzeltmelerin ortalama hataları
95.295097.0421
vm mm
87.420441.1422
vm
54.315653.0423
vm
07.192067.0424
vm
6. DOĞRULTU-KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ
Örnek: Aşağıda doğrultu ve kenar ölçüleri verilmiş ağı dolaylı ölçüler yöntemine göre
dengeleyiniz. Doğrultular için öncül karesel ortalama hatayı ccs 100 olarak alınız.
NN Y (m) X(m)
Kesin Koordinatlar 102 7849.474 164.526 103 7731.373 608.285
Yaklaşık Koordinatlar 107 7969.948 719.676 108 8404.160 342.243
Ölçü sayısı n = 6 (3 doğrultu ve 3 kenar ölçüsü)
Bilinmeyen sayısı u = 5 (İki koordinat çifti ve bir yöneltme bilinmeyeni)
Serbestlik Derecesi f = n-u = 6-5 = 1 > 0
Dengeleme var
Bilinmeyenler: 102dz , 107dx , 107dy , 108dx , 108dy
01
02
01
020
12 arctanxxyyt 20
102
201
02
012 xxyys
100
10000200sin
012
012
12
sta
100
10000200cos
012
012
12
stb
n
rtz 10120
1
DN BN Doğrultu
ir (g) 0ikt (g) 0
iks (m) 0ikt - ir
ik (cc) ika
cc / mm ikb
cc / mm 0ikt - ir - 0
102z 102 108 0.00000 19.73894 582.460 19.73894 -8.8 0.3335 -1.0409
107 66.65613 86.39556 568.072 19.73943 -3.9 1.0952 -0.2377 103 96.81793 116.55902 459.206 19.74109 12.7 1.3397 0.3565
0102z 19.73982
DN BN Kenar (m) sm (mm) DN DN Doğrultu
dm (cc) 102 108 459.192 ± 3 102 108 0.00000 ± 10 103 107 263.297 ± 5 107 66.65613 ± 10 107 108 575.324 ± 4 103 96.81793 ± 10
Düzeltme Denklemlerini aşağıdaki formatta yazalım.
ikkikkikiikikiik dybdxadybdxadzv 1
7.123565.03397.13565.03397.19.32377.00952.12377.00952.18.80409.13335.00409.13335.0
103103102102102103102
107107102102102107102
108108102102102108102
dydxdydxdzvdydxdydxdzvdydxdydxdzv
102 ve 103 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları
düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım.
7.129.32377.00952.18.80409.13335.0
102103102
107107102107102
108108102108102
dzvdydxdzvdydxdzv
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim ve 102dz yöneltme bilinmeyeni yok
edelim.
7.1200009.3002377.00952.18.80409.13335.000
108108107107102103102
108108107107102107102
108108107107102108102
dydxdydxdzvdydxdydxdzvdydxdydxdzv
7.12000019.3002377.00952.118.80409.13335.0001
103102
107102
108102
108108107107102
vvv
dydxdydxdz
Toplam -3 -1.0952 0.2377 -0.3335 1.0409 0.00 n = 3 -n = -3 e bölelim
1 0.3651 -0.0792 0.1112 -0.3470 0.00
Yöneltme bilinmeyeni denklemi 03470.01112.00792.03651.01 108108107107102 dydxdydxdz
102dz yöneltme bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri
7.123470.01112.00792.03651.09.33470.01112.01584.07301.08.86939.02223.00792.03651.0
103102
107102
108102
108108107107
vvv
dydxdydx
xAv formatında doğrultular için düzeltme denklemleri
7.129.38.8
3470.01112.00792.03651.03470.01112.01854.07301.06939.02223.00792.03651.0
108
108
107
107
103102
107102
108102
dydxdydx
vvv
201
02
201
02
012 xxyys
012
01
02
12 sxxa
2012
01
02
12s
yyb ikikik ss 0 birimli
DN BN x (m) y (m) 0iks (m) iks ik (mm) ika ikb
102 103 -118.101 443.759 459.206 459.192 13.7 0.2572 -0.9664 103 107 238.575 111.391 263.298 263.297 1.3 -0.9061 -0.4231 107 108 434.212 -377.433 575.322 575.324 -1.7 -0.7547 0.6560
Düzeltme denklemlerini aşağıdaki formatta yazalım.
01221221211211212 dybdxadybdxavs
7.16560.07547.06560.07547.03.14231.09061.04231.09061.07.139664.02572.09664.02572.0
108108107107
107107103103
103103102102
108107
107103
103102
dydxdydxvdydxdydxvdydxdydxv
s
s
s
102 ve 103 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları
düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım.
7.16560.07547.06560.07547.03.14231.09061.07.13
108108107107
107107
108107
107103
103102
dydxdydxvdydxv
v
s
s
s
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim.
7.16560.07547.06560.07547.03.1004321.09061.07.130000
108107
107103
103102
108108107107
s
s
s
vvv
dydxdydx
Bu denklemleri xAv formatında yazalım.
7.13.17.13
6560.07547.06560.07547.0004321.09061.00000
108
108
107
107
108107
107103
103102
dydxdydx
vvv
s
s
s
Fonksiyonel model
Doğrultular ve kenarlar için yazdığımız xAv matrislerini birleştirelim.
7.13.17.137.129.38.8
6560.07547.06560.07547.0004321.09661.00000
3470.01112.00792.03651.03470.01112.01584.07301.06939.02223.00792.03651.0
108
108
107
107
103102
107102
108102
108107
107103
103102
dydxdydx
vvvvvv
s
s
s
Stokastik Model: Ağırlık tanımından yararlanarak 2
2
2
20 10
ii mmsp
11010
2
2
2
20
1
1
dd m
sp birimsiz 11.113
102
2
2
20
1
1
ss m
sp cc/mm
11010
2
2
2
20
2
2
dd m
sp 00.45
102
2
2
20
2
2
ss m
sp
11010
2
2
2
20
3
3
dd m
sp 25.64
102
2
2
20
3
3
ss m
sp
25.600000000.400000011.11000000100000010000001
p
4122.33260.37724.24745.33260.36342.31210.36818.37724.21210.34435.37347.14745.36818.37347.16438.7
ApAN T
1235.21599.57929.50137.17
pAn T
8016.21338.35260.01166.01338.32535.106451.52332.25260.06451.52160.45232.11166.02332.25232.18078.0
1NQxx
1.171.111.208.10
108
108
107
107
dydxdydx
nQxxx
mm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
108
108
107
107
0108
0108
0107
0107
108
108
107
107
dydxdydx
yxyx
yxyx
2601.3421489.84046961.7199372.7969
1.171.111.208.10
243.342160.8404676.719948.7969
108
108
107
107
yxyx
Düzeltmeler xAv birimi mm
00.000.072.1300.000.000.0
7.13.17.137.129.38.8
1.171.111.208.10
6560.07547.06560.07547.0004321.09661.00000
3470.01112.00792.03651.03470.01112.01584.07301.06939.02223.00792.03651.0
108107
107103
108102
103102
107102
108102
s
s
s
vvvvvv
mm
Dengeli doğrultu ölçüleri iii vrr ˆ
103102
107102
108102
3
2
1
3
2
1
ˆˆˆ
vvv
rrr
rrr
81793.9665613.6600000.0
000
81793.9665613.6600000.0
ˆˆˆ
3
2
1
rrr
Dengeli doğrultu ölçülerinin denetimi
Yöneltme bilinmeyeni denklemi 03470.01112.00792.03651.01 108108107107102 dydxdydxdz
Matris gösterimiyle
108
108
107
107
102 3470.01112.00792.03651.0
dydxdydx
dz
ccdz 70.12
1.171.111.208.10
3470.01112.00792.03651.0102
1020102102 dzzz = 19.74109 + 12.70cc/10.000 = 19.74109
DN BN Dengeli doğrultulardan semt Dengeli Koordinatlardan
Semt ikt
Fark
ir (g) iv (cc) iii vrr ˆ 102z ikt = ir + 102z
102 108 0.00000 0.00 0.00000 19.74109 19.74109 19.74109 0.00 107 66.65613 0.00 66.65613 19.74109 86.39722 86.39722 0.00 103 96.81793 0.00 96.81793 19.74109 116.55902 116.55902 0.00
Dengeli kenar ölçüleri
isii vss ˆ
108107
107103
108102
3
2
1
3
2
1
ˆˆˆ
s
s
s
vvv
sss
sss
324.575297.263206.459
00
72.13
324.575297.263192.459
ˆˆˆ
3
2
1
sss
Dengeli kenar ölçülerinin denetimi
DN BN x (m)
y (m)
Dengeli koordinatlardan 22ˆ yxsi
Dengeli kenarlardan
isii vss ˆ
isv (mm) is (m)
102 103 -118.101 443.759 459.206 459.206 13.72 459.192 103 107 238.564 111.411 263.297 263.297 0.00 263.297 107 108 434.212 -377.436 575.324 575.324 0.00 575.324
Karesel Ortalama Hata
7.455653.2092
0
unvpv
mT
mm
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
8016.21338.35260.01166.01338.32535.106451.52332.25260.06451.52160.45232.11166.02332.25232.18078.0
1NQxx
1.418078.07.45107107 0 xxx qmm mm
9.932160.47.45107107 0 yyy qmm
5.1462535.107.45108108 0 xxx qmm
6.768016.27.45108108 0 yyy qmm
Ölçülerin Ortalama Hatası
25.600000000.400000011.11000000100000010000001
p
i
i pmm 0 mm
7.4517.45
1rm cc 7.13
11.117.45
1sm cm
7.4517.45
2rm 9.22
00.47.45
2sm
7.4517.45
3rm 3.18
25.67.45
3sm
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
16.000000025.000000000000006667.03333.03333.00003333.06667.03333.00003333.03333.06667.0
ˆˆT
xxAQAQ
ˆˆ0 Qmmi Dengeli ölçülerin ortalama hataları
4.376667.07.451
rm cc 0.000.07.451
sm cm
4.376667.07.452
rm 9.2225.07.452ˆ
sm
4.376667.07.453
rm 3.1816.07.453ˆ
sm
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
ˆˆQQQvv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
ˆˆ1 QpQ
vv
16.000000025.000000009.0000000100000010000001
1p
00.000000000.000000009.00000003333.03333.03333.00003333.03333.03333.00003333.03333.03333.0
vvQ
iii vvv Qmm 0 Düzeltmelerin ortalama hataları
4.263333.07.451
vm mm
4.263333.07.452
vm
4.263333.07.453
vm
7.130900.07.454
vm
0.00000.07.455
vm
0.00000.07.456
vm
7. NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ
Nivelman ağları günümüzde en çok uygulaması yapılan yükseklik ağlarıdır. Bu ağlarda
ölçüler nivo ve miralarla yapılır. Geometrik ve hassas nivelman olmak üzere iki çeşit ölçme
yöntemi vardır. Bir nivelman ağında bir noktanın yüksekliğini bilmek o ağdaki diğer tüm
noktalara yükseklik taşımak için yeterlidir. Ağ üzerindeki okların yönü yükselme yönlerini
gösterir. h gösterimleri iki nokta arasındaki yükseklik farkını temsil eder. İçi dolu daire
olarak gösterilen noktalar yüksekliği değişmez alınan noktalardır. İçi boş olarak gösterilen
noktalar dengeleme ile yüksekliği bulunacak noktalardır.
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır.
Bu problemde yüksekliği bulunacak noktalar bilinmeyen ( x ve y ) noktalar olarak seçilirler.
Fonksiyonel modeli yükseklik farkları için yazalım ve düzenleyelim.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
Ap HHvh 111 AHxvh 11 11 hHxv A
1222 pp HHvh xyvh 22 22 hyxv
Ap HHvh 233 AHyvh 33 33 hHyv A
244 pB HHvh yHvh B 44 44 hHyv B
155 pB HHvh xHvh B 55 55 hHxv B
2h 1h
3h
4h
5h )( 1 xP
)( 2 yP
)(
AHA
)(
BHB
Dengeleme hesabı problemlerinde büyük değerlerle çalışılmaz. Bunun yerine yaklaşık
değerler kullanılarak küçük değerlerle çalışılır. x ve y bilinmeyenlerini aşağıdaki şekilde
düzenleyelim.
dxxx 0 dyyy 0
Burada 0x ve 0y yaklaşık değerler dx ve dy bilinmeyenler olurlar. Bu değerleri yukarıdaki
denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim.
101 hHdxxv A 101 hHxdxv A
2002 hdyydxxv 2002 hyxdydxv
303 hHdyyv A 303 hHydyv A
404 hHdyyv B 404 hHydyv B
505 hHdxxv B 505 hHxdxv B
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre düzenleyelim.
101 01 hHxdydxv A 101 hHx A
2002 11 hxydydxv 2002 hxy
303 10 hHydydxv A 303 hHy A
404 10 hyHdydxv B 404 hyHB
505 01 hxHdydxv B 505 hxHB
Yukarıdaki denklemleri xAv formatında yazalım.
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
0110101101
dydx
vvvvv
Stokastik Model: Nivelmanda ağırlıklar geçki uzunluğu ile ters orantılıdır.
)( 1kms
pi
i
5
4
3
2
1
/100000/100000/100000/100000/1
ss
ss
s
pi
Örnek: Aşağıda verilmiş nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz.
673.80A H m.
Ölçü sayısı n = 6
Bilinmeyen sayısı u = 3
Serbestlik Derecesi f = n-u = 6-3>0 Dengeleme var.
i ih is (km)
1 43.156 0.65 2 19.218 0.80 3 33.524 1.00 4 57.440 1.40 5 23.962 1.50 6 14.267 1.95
6h 1h
4h
3h
2h )( 1 xP
)( 2 yP
)(
AHA
)( 3 zP
5h
Ap HHvh 111 AHxvh 11 11 hHxv A
2122 pp HHvh yxvh 22 22 hyxv
2333 pp HHvh yzvh 33 33 hyzv
Ap HHvh 344 AHzvh 44 44 hHzv A
Ap HHvh 255 AHyvh 55 55 hHyv A
1366 pp HHvh xzvh 66 63 hxzv
Yaklaşık değerler
dxxx 0 dyyy 0 dzzz 0
10 hHx A 0x 80.673 + 43.156 = 123.829 m
50 hHy A 0y 80.673 + 23.962 = 104.635 m
40 hHz A 0z 80.673 + 57.440 = 138.115 m
11 hHxv A 101 hHxdxv A
22 hyxv 2002 hyxdydxv
33 hyzv 3003 hyzdzdyv
44 hHzv A 404 hHzdzv A
55 hHyv A 505 hHydyv A
63 hxzv 6003 hxzdzdxv
156.43673.80829.1231 dxv dxv 1 218.19635.104829.1232 dydxv 242 dydxv
524.33635.104115.1383 dzdyv 463 dzdyv 440.57673.80115.1384 dzv dzv 4 962.23673.80635.1045 dyv dyv 5
267.14829.123115.1383 dzdxv 173 dzdxv
Yukarıdaki değerler mm mertebesindedir.
00011 dzdydxv 240112 dzdydxv 461103 dzdydxv 01004 dzdydxv 00105 dzdydxv 171013 dzdydxv
Yukarıdaki denklemleri xAv formatında yazalım.
1700
46240
101010100110011001
6
5
4
3
2
1
dzdydx
vvvvvv
95.1/100000050.1/100000040.1/100000000.1/100000080.0/100000065.0/1
ip
)( 1kms
pi
i
51.000000067.000000071.000000000.100000025.100000054.1
ip
23.200.151.000.192.225.151.025.130.3
ApAN T
28.3700.7672.38
pAn T
64.031.022.031.056.026.022.026.044.0
1NQxx
52.894.2012.5
dzdydx
nQxxx
mm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
dzdydx
zyx
zyx
0
0
0
122.138614.104834.123
52.894.2012.5
113.138635.104829.123
zyx
Düzeltmeler xAv
39.2094.2052.854.1606.212.5
1700
46240
52.894.2012.5
101010100110011001
6
5
4
3
2
1
vvvvvv
Dengeli ölçüler iii vhh ˆ
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
ˆˆˆˆˆˆ
vvvvvv
hhhhhh
hhhhhh
287.14941.23449.57507.33220.19161.43
39.2094.2052.854.1606.212.5
267.14962.23440.57524.33218.19156.43
ˆˆˆˆˆˆ
6
5
4
3
2
1
hhhhhh
Dengeli ölçülerinin denetimi
Ap HHvh 111 161.43161.43
2122 pp HHvh 220.19220.19
2333 pp HHvh 507.33507.33
Ap HHvh 344 449.57449.57
Ap HHvh 255 941.23941.23
1366 pp HHvh 287.14287.14
Karesel Ortalama Hata
10.173679.876
0
unvpv
mT
mm
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
64.031.022.031.056.026.022.026.044.0
1NQxx
28.1144.010.170 xxx qmm mm
82.1256.010.170 yyy qmm
67.1364.010.170 zzz qmm
Ölçülerin Ortalama Hatası ip
mmi
0 mm
1hm 13.78 4hm 20.23
2hm 15.29 5hm 20.94
3hm 17.10 6hm 23.87 Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
64.005.042.037.027.022.005.056.031.025.030.026.042.031.064.033.009.022.037.025.033.058.021.004.027.030.009.021.047.017.022.026.022.004.017.044.0
ˆˆT
xxAQAQ
iiiQmm
h ˆˆ0ˆ
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
1h
m 11.28 4h
m 13.67 mm
2h
m 11.78 5h
m 12.82
3h
m 12.98 6h
m 13.67
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
ˆˆQQQvv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
ˆˆ1 QpQ
vv
95.100000050.100000040.100000000.100000080.000000065.0
1p
31.105.042.037.027.022.005.094.031.025.030.026.042.031.076.033.009.022.037.025.033.042.021.004.027.030.009.021.033.017.022.026.022.004.017.021.0
vvQ
iii vvv Qmm 0 Düzeltmelerin ortalama hataları
1vm 7.91
4vm 14.91 mm
2vm 9.75 5vm 16.56
3vm 11.13
6vm 19.57
Örnek: Bir yerel sistemde yükseklik koordinatı bilinen 102 noktasına dayalı olarak 103 ve
108 noktalarının yüksekliğini nivelman ağlarının dolaylı ölçüler dengelemesi yöntemi ile
belirleyiniz.
Ölçü sayısı n = 3
Bilinmeyen sayısı u = 2
Serbestlik Derecesi f = n-u = 3-2>0 Dengeleme var.
10210311 pp HHvh 10211 pHxvh 11 102
hHxv p
10210822 pp HHvh 10222 pHyvh 22 102
hHyv p
10310833 pp HHvh xyvh 33 33 hxyv
Kesin Yükseklik 102 1034.306 Yaklaşık Yükseklik 103 1069.816 108 1161.352
DN
BN
Ölçüler h (m) s (m)
102 103 35.510 581.395 102 108 127.046 458.715 103 108 91.545 724.637
3h 1h
2h
)( 103 xP
)( 108 yP
102P
Yaklaşık değerler
dxxx 0 dyyy 0
10 102hHx p 0x 1034.306 + 35.510 = 1069.816 m
20 102hHy p 0y 1034.306 + 127.046 = 1161.352 m
11 102
hHxv p 101 102hHxdxv p
22 102hHyv p 202 102
hHydyv p
33 hxyv 3003 hxydxdyv
510.35306.1034816.10691 dxv dxv 1 046.127306.1034352.11612 dyv dyv 2
545.91816.1069352.11613 dydxv 9.03 dydxv Yukarıdaki değerler cm mertebesindedir.
0011 dydxv
0102 dydxv
9.0113 dydxv
Yukarıdaki denklemleri xAv formatında yazalım.
9.000
111001
3
2
1
dydx
vvv
)1000/637.724/(1000)1000/715.458/(1000)1000/395.581/(1
ip )(
1kms
pi
i
38.100018.200072.1
ip
Örnek: Aşağıda verilmiş nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengelemek için
fonksiyonel ve stokastik modeli yazınız.
Ölçü sayısı n = 3
Bilinmeyen sayısı u = 1
Serbestlik Derecesi f = n-u = 3-2>0 Dengeleme var.
1411 pp HHvh 111 pHxvh 11 1
hHxv p
4222 pp HHvh xHvh p 222 22 2
hHxv p
3433 pp HHvh 333 pHxvh 33 3
hHxv p
101 1hHxdxv p
202 2hxHdxv p
303 3hHxdxv p
716.2081.508815.5101 dxv 8.11 dxv 934.0815.510769.5112 dxv 0.22 dxv
121.8714.502815.5103 dxv 0.23 dxv Yukarıdaki değerler cm mertebesindedir. Yukarıdaki denklemleri xAv formatında
yazalım.
0.20.28.1
111
3
2
1
dxvvv
Kesin Yükseklikler P1 508.081 P2 511.769 P3 502.714
Yaklaşık Yükseklik P4 510.815
i ih (m) is (m)
1 2.716 210 2 0.934 210 3 8.121 425
2h
1h
3h
2P
3P
1P
)( 4 xP
)1000/425/(1000)1000/210/(1000)1000/210/(1
ip )(
1kms
pi
i
35.200076.400076.4
ip
8. TRİGONOMETRİK NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ
Nivelman ağları günümüzde en çok uygulaması yapılan yükseklik ağlarıdır. Ancak noktalar
arasındaki yükseklik farklarının fazla ve noktalara ulaşımın zor olduğu arazi şartlarında
nivelman yönteminin uygulanması zordur ve ekonomik değildir. Bu tür arazi şartlarında
noktalara yükseklik taşımada Trigonometrik Nivelman yöntemi kullanılır. Trigonometrik
Nivelman yöntemi düşey açı gözlemlerine dayanır. Bu ağlarda ölçüler günümüzde Elektronik
Uzaklık Ölçerler (Total Station) ve reflektörlerle yapılır. Düşey açı gözlemlerine ve yükseklik
farklarına göre olmak üzere iki çeşit değerlendirme yöntemi vardır. Bir Trigonometrik
Nivelman ağında bir noktanın yüksekliğini bilmek o ağdaki diğer tüm noktalara yükseklik
taşımak için yeterlidir.
P1, P2 : Durulan Nokta, Bakılan Nokta 1H , 2H : Durulan ve Bakılan noktaların Ortometrik yükseklikleri
i : Durulan noktada alet yüksekliği t : Bakılan noktada reflektör yüksekliği
21D : Eğik uzunluk
21S : Alet yüksekliğindeki yatay uzunluk
21Z : Düşey açı ölçüsü
Jeoid Deniz Yüzeyi
Yeryüzü P1
P2 21S
21Z
1H
2H
21D
i
t 2121 cot ZS
8.1. DÜŞEY AÇILARLA DENGELEME
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır.
Fonksiyonel modeli yükseklik farkları için yazalım ve düzenleyelim. Bu modelde ölçü düşey
açılardır.
221212112 2
1cot
SrktiZSHH
Burada 13.0k refraksiyon katsayısı, 6373r km yerin yarıçapıdır. rkK
21
olarak
düşünelim ve fonksiyonu yeniden yazalım.
2
21212112 cot SKtiZSHH
tiSKHHS
Z
2
211221
211cot
tiSKHHS
arcZ 22112
2121
1cot
Bu fonksiyon lineer değildir. Doğrusal olmayan denklemleri dengeleme işleminde
kullanabilmek için lineer hale getirmek gereklidir. Bu fonksiyon yaklaşık değerler
kullanılarak Taylor serisine açılır.
1011 dhHH 2
022 dhHH
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
221
021
2
121
021
22
2101
02
212121
sinsin1cot
021
dhS
ZdhS
ZtiSKHHS
arcvZZ
Z
210
21221
021
2
121
021
2
21sinsin
ZZdh
SZdh
SZvZ
21
021
2sinS
Za
21
021
2sinS
Zb 210
21 ZZ
Yukarıdaki kısaltmaları kullanarak düzeltme denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.
2121 dhbdhavZ
Stokastik Model: Bu model için ağırlıklar düşey açı gözlemlerinden elde edilebilir. Ya da aynı ölçmeci, aynı alet, aynı atmosferik şartlar düşüncesiyle tüm gözlemlerin eşit ağırlıkta olduğu kabul edilebilir.
Örnek: Aşağıda verilmiş Trigonometrik Nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle
dengeleyiniz.
NN
iH Kesin Yükseklik
3 1016.253 Yaklaşık Yükseklikler
2 1117.001 5 1047.644 6 1101.859
DN BN Düşey Açı
jiZ Alet Yüksekliği
i Reflektör Yüksekliği
t jiS
2 3 102.92374 1.42 1.75 2194.193 5 102.28561 1.42 1.81 1924.510 6 102.51359 1.42 1.76 1875.414 3 2 97.08010 1.61 1.90 2194.200 5 98.71777 1.61 1.87 1562.956
6 96.35727 1.61 1.83 1495.632 5 2 97.70589 1.45 1.88 1924.500 3 101.27326 1.45 1.82 1562.961
2
5
3
6
tiSKHHS
arcZ jiji
ji20
102
0 1cot 0000000683.0637000002
13.012
1
rkK
10000200100
sin
21
021
2
SZa ab 1000021
021 ZZ
DN BN
jiS 00ij HH 2
jiSK i t 0jiZ jiZ a (cc/cm) (cc)
2 3 2194.193 -100.748 0.3288 1.42 1.75 102.92100 102.92374 2.8953 -27.4 5 1924.510 -69.357 0.2529 1.42 1.81 102.28878 102.28561 3.3037 31.7 6 1875.414 -15.142 0.2402 1.42 1.76 102.51060 102.51359 3.3943 -29.9
3 2 2194.200 100.748 0.3288 1.61 1.90 97.08010 97.08010 2.8953 0 5 1562.956 31.391 0.1668 1.61 1.87 98.71777 98.71777 4.0715 0
6 1495.632 85.606 0.1528 1.61 1.83 96.35728 96.35727 4.2426 0 5 2 1924.500 69.357 0.2529 1.45 1.88 97.70083 97.70589 3.3037 -50.6 3 1562.961 -31.391 0.1668 1.45 1.82 101.27016 101.27326 4.0715 -31.0
Ölçü sayısı n = 8
Bilinmeyen sayısı u = 3
Serbestlik Derecesi f = n-u = 8-3>0 Dengeleme var.
Düzeltme denklemlerini yazalım. jiji dhbdhavZ
4.278953.28953.2 3232 dhdhvZ
7.313037.33037.3 5252 dhdhvZ
9.293943.33943.3 6262 dhdhvZ
0.08953.28953.2 2323 dhdhvZ
0.00715.40715.4 5353 dhdhvZ
0.02426.42426.4 6363 dhdhvZ
6.503037.33037.3 2525 dhdhvZ
0.310715.40715.4 3535 dhdhvZ
3 Numaralı nokta ağda sabit alınan noktadır. Bu noktanın koordinatlarına düzeltme
getirilmez. Yukarıdaki denklemlerden 3 numaralı noktaya ait katsayıları atalım.
4.278953.2 232 dhvZ
7.313037.33037.3 5252 dhdhvZ
9.293943.33943.3 6262 dhdhvZ
0.08953.2 223 dhvZ
0.00715.4 553 dhvZ
0.02426.4 663 dhvZ
6.503037.33037.3 2525 dhdhvZ
0.310715.4 535 dhvZ
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim. Birim (cc: saniye)
4.27008953.2 65232 dhdhdhvZ
7.3103037.33037.3 65252 dhdhdhvZ
9.293943.303943.3 65262 dhdhdhvZ
0.0008953.2 65223 dhdhdhvZ
0.000715.40 65253 dhdhdhvZ
0.02426.400 65263 dhdhdhvZ
6.5003037.33037.3 65225 dhdhdhvZ
0.3100715.40 65235 dhdhdhvZ
Yukarıdaki denklemleri xAv formatında yazalım.
10.316.500009.297.314.27
00715.4003037.33037.3
2426.40000715.40008953.2
3943.303943.303037.33037.3008953.2
6
5
2
35
25
63
53
23
62
52
32
dhdhdh
vZvZvZvZvZvZvZvZ
5212.290000.05215.110000.09834.548287.215215.118287.211154.50
AAN T
30.10106.39832.91
TAn
0380.00042.00106.00042.00225.00107.00106.00107.00271.0
1NQxx
14.353.774.0
6
5
2
dhdhdh
nQxxx
cm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
6
5
2
06
05
02
6
5
2
dhdhdh
HHH
HHH
8276.11017193.10470084.1117
14.353.774.0
859.1101644.1047001.1117
6
5
2
HHH
Düzeltmeler xAv Birim (cc: saniye)
30.014.2836.1366.3013.270.1628.924.25
10.316.500009.297.314.27
14.353.774.0
00715.4003037.33037.3
2426.40000715.40008953.2
3943.303943.303037.33037.3008953.2
35
25
63
53
23
62
52
32
vZvZvZvZvZvZvZvZ
Dengeli ölçüler jijiji vZZZ ˆ
35
25
63
53
23
62
52
32
35
25
63
53
23
62
52
32
35
25
63
53
23
62
52
32
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
vZvZvZvZvZvZvZvZ
ZZZZZZZZ
ZZZZZZZZ
27323.10170308.9735861.9671470.9807988.9751192.10028653.10292121.102
30.014.2836.1366.3013.270.1628.924.25
27326.10170589.9735727.9671777.9808010.9751359.10028561.10292374.102
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
35
25
63
53
23
62
52
32
ZZZZZZZZ
Dengeli ölçülerinin denetimi
Dengeli ölçülerden hesaplanan dengeli düşey açılar ve dengeli koordinatlardan hesaplanan
dengeli düşey açılar için aşağıdaki kontrol yapılır.
jijiji vZZZ ˆ =
tiSKHHS
arcZ jiijji
ji21cotˆ
27323.10170308.9735861.9671470.9807988.9751192.10028653.10292121.102
27323.10170308.9735861.9671470.9807988.9751192.10028653.10292121.102
Karesel Ortalama Hata
ccT
unvvm 16.24
3860.2917
0
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
0380.00042.00106.00042.00225.00107.00106.00107.00271.0
1NQxx
97.30271.016.2402 xxH qmm cm
62.30225.016.2405 yyH qmm
71.40380.016.2406 zzH qmm
Ölçülerin Ortalama Hatası ip
mmi
0 cc
Ağırlılar eşit alındığı için ölçülerin ortalama hatası karesel ortalama hataya eşittir. Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
37.016.007.037.013.009.016.013.016.031.009.016.016.011.031.016.007.009.068.007.013.040.009.013.037.016.007.037.013.009.016.013.013.016.013.013.023.016.016.023.009.011.040.009.016.051.011.016.016.031.009.016.016.011.031.016.013.016.013.013.023.016.016.023.0
ˆˆT
xxAQAQ
iiiQmmZ ˆˆ0ˆ Dengeli ölçülerin ortalama hataları
1Zm 11.51
5Zm 14.74 cc
2Zm 13.36
6Zm 19.98
3Zm 17.19
7Zm 13.36
4Zm 11.51
8Zm 14.74
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
ˆˆQQQvv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
ˆˆ1 QpQ
vv
1000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001
1p
63.016.007.037.013.009.016.013.016.069.009.016.016.011.031.016.007.009.032.007.013.040.009.013.037.016.007.063.013.009.016.013.013.016.013.013.077.016.016.023.009.011.040.009.016.049.011.016.016.031.009.016.016.011.069.016.013.016.013.013.023.016.016.077.0
vvQ
iii vvv Qmm 0 Düzeltmelerin ortalama hataları
1vm 21.24
5vm 19.14 mm
2vm 20.13 6vm 13.58
3vm 16.97
7vm 20.13
4vm 21.24 8vm 19.14
8.2. YÜKSEKLİK FARKLARINA GÖRE DENGELEME
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır.
Fonksiyonel modeli yükseklik farkları için yazalım ve düzenleyelim.
221212112 2
1cot
SrktiZSHH
221212112 2
1cot
SrktiZSHH
1221 HHH
Bu yöntemde yukarıdaki eşitlikten hesaplanan yükseklik farkları ölçü olarak ele alınır ve
problem nivelman ağlarının dengelenmesi gibi çözülür.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
122121 HHHvH
1011 dhHH 2
022 dhHH
1012
022121 dhHdhHHvH
2101
022121 HHHdhdhHv
2101
02 HHH
Düzeltme denklemleri (Fonksiyonel Model)
2121 dhdhHv
Stokastik Model: Yükseklik farkları ile çözüm yapılan Trigonometrik Nivelmanda ağırlıklar geçki uzunluğunun karesi ile ters orantılıdır.
)( 1
2 kmsp
ii
Örnek: Aşağıda verilmiş Trigonometrik Nivelman ağını yükseklik farklarına göre dolaylı
ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz.
NN
iH Kesin Yükseklik
3 1016.253 Yaklaşık Yükseklikler
2 1117.001 5 1047.644 6 1101.859
DN BN Düşey Açı
jiZ Alet Yüksekliği
i Reflektör Yüksekliği
t jiS
2 3 102.92374 1.42 1.75 2194.193 5 102.28561 1.42 1.81 1924.510 6 102.51359 1.42 1.76 1875.414 3 2 97.08010 1.61 1.90 2194.200 5 98.71777 1.61 1.87 1562.956
6 96.35727 1.61 1.83 1495.632 5 2 97.70589 1.45 1.88 1924.500 3 101.27326 1.45 1.82 1562.961
Ölçü sayısı n = 8
Bilinmeyen sayısı u = 3
Serbestlik Derecesi f = n-u = 8-3>0 Dengeleme var.
2
5
3
6
x y
z
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
233232 HHHvH xHHvH 33232
255252 HHHvH xyHvH 5252
266262 HHHvH xzHvH 6262
322323 HHHvH 32323 HxHvH
355353 HHHvH 35353 HyHvH
366363 HHHvH 36363 HzHvH
522525 HHHvH yxHvH 2525
533535 HHHvH yHHvH 33535
dxxx 0 dyyy 0 dzzz 0
32332 HxHHv 320332 HdxxHHv
5252 HxyHv 520052 HdxxdyyHv
6262 HxzHv 620062 HdxxdzzHv
23323 HHxHv 233023 HHdxxHv
53353 HHyHv 533053 HHdyyHv
63363 HHzHv 633063 HHdzzHv
2525 HyxHv 250025 HdyydxxHv
35335 HyHHv 350335 HdyyHHv
320332 HxHdxHv 32031 HxH
520052 HxydydxHv 52002 Hxy
620062 HxzdzdxHv 62003 Hxz
233023 HHxdxHv 23304 HHx
533053 HHydyHv 53305 HHy
633063 HHzdzHv 63306 HHz
250025 HyxdydxHv 25007 Hyx
350335 HyHdyHv 35038 HyH
Yükseklik farkları 2212121 2
1cot
SrktiZSH ij yardımıyla hesaplanır.
0000000683.0637000002
13.012
1
rkK
DN BN
jiS jiZ 2121 cot ZS i t 2jiSK 00
ij HH jiH (cm)
2 3 2194.193 102.92374 -100.841 1.42 1.75 0.3288 -100.748 -100.843 9.4 5 1924.510 102.28561 -69.124 1.42 1.81 0.2529 -69.357 -69.261 -9.6 6 1875.414 102.51359 -15.130 1.42 1.76 0.2402 -15.142 -15.230 8.8
3 2 2194.200 97.08010 100.709 1.61 1.90 0.3288 100.748 100.748 0 5 1562.956 98.71777 31.484 1.61 1.87 0.1668 31.391 31.391 0
6 1495.632 96.35727 85.673 1.61 1.83 0.1528 85.606 85.606 0 5 2 1924.500 97.70589 69.381 1.45 1.88 0.2529 69.357 69.204 15.3 3 1562.961 101.27326 -31.264 1.45 1.82 0.1668 -31.391 -31.467 7.6
4.932 dxHv 4.900132 dzdydxHv
6.952 dydxHv 6.901152 dzdydxHv
8.862 dzdxHv 8.810162 dzdydxHv
0.023 dxHv 0.000123 dzdydxHv
0.053 dyHv 0.001053 dzdydxHv
0.063 dzHv 0.010063 dzdydxHv
3.1525 dydxHv 3.1501125 dzdydxHv
6.735 dyHv 6.701035 dzdydxHv
Yukarıdaki denklemleri xAv formatında yazalım.
6.73.150008.86.95.9
010011100010001101011001
35
25
63
53
23
62
52
32
dzdydx
HvHvHvHvHvHvHvHv
201042125
AAN T
80.852.3266.6
TAn
5714.00714.01429.00714.03214.01429.01429.01429.02857.0
1NQxx
65.387.849.1
dzdydx
nQxxx
cm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
dzdydx
zyx
zyx
0
0
0
8225.11017327.10470159.1117
65.387.849.1
859.1101644.1047001.1117
zyx
Düzeltmeler xAv
27.193.766.387.849.166.322.297.7
6.73.150008.86.95.9
65.387.849.1
010011100010001101011001
35
25
63
53
23
62
52
32
HvHvHvHvHvHvHvHv
Dengeli ölçüler jijiji HvHH ˆ
35
25
63
53
23
62
52
32
35
25
63
53
23
62
52
32
35
25
63
53
23
62
52
32
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
HvHvHvHvHvHvHvHv
HHHHHHHH
HHHHHHHH
480.31283.69569.85480.31763.100193.15283.69763.100
27.193.766.387.849.166.322.297.7
467.31204.69606.85391.31748.100230.15261.69843.100
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
35
25
63
53
23
62
52
32
HHHHHHHH
Dengeli ölçülerinin denetimi
Dengeli ölçülerden hesaplanan dengeli düşey açılar ve dengeli koordinatlardan hesaplanan
dengeli düşey açılar için aşağıdaki kontrol yapılır.
ijjijiji HHHvHH ˆˆˆ
480.31283.69569.85480.31763.100193.15283.69763.100
480.31283.69569.85480.31763.100193.15283.69763.100
Karesel Ortalama Hata
94.63858.240
0
unvvm
T
cm
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
5714.00714.01429.00714.03214.01429.01429.01429.02857.0
1NQxx
71.32857.094.60 xxx qmm cm
93.33214.094.60 yyy qmm
24.55714.094.60 zzz qmm
Ölçülerin Ortalama Hatası ip
mmi
0 cm
Ağırlılar eşit alındığı için ölçülerin ortalama hatası karesel ortalama hataya eşittir.
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
32.018.007.032.014.007.018.014.018.032.007.018.014.007.032.014.007.007.057.007.014.043.007.014.032.018.007.032.014.007.018.014.014.014.014.014.029.014.014.029.007.007.043.007.014.057.007.014.018.032.007.018.014.007.032.014.014.014.014.014.029.014.014.029.0
ˆˆT
xxAQAQ
iijiQmm H ˆˆ0ˆ
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
32Hm 3.71
53Hm 3.93 cm
52Hm 3.93
63Hm 5.24
62Hm 5.24
25Hm 3.93
23Hm 3.71
35Hm 3.93
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
ˆˆQQQvv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
ˆˆ1 QpQ
vv
1000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001
1p
68.018.007.032.014.007.018.014.018.068.007.018.014.007.032.014.007.007.043.007.014.043.007.014.032.018.007.068.014.007.018.014.014.014.014.014.071.014.014.029.007.007.043.007.014.043.007.014.018.032.007.018.014.007.068.014.014.014.014.014.029.014.014.071.0
vvQ
iii vvv Qmm 0 Düzeltmelerin ortalama hataları
1vm 5.86
5vm 5.71 cm
2vm 5.71 6vm 4.54
3vm 4.54
7vm 5.71
4vm 5.86 8vm 5.71
9. GPS AĞLARININ DENGELENMESİ
GPS ağları 3 boyutlu konum ağlarıdır. Bu ağların koordinat sistemi yer merkezlidir
(Jeosantrik). Bu ağlarda ölçüler GPS alıcıları ile yapılır. Bir GPS ağında bir noktanın X, Y, Z
Kartezyen koordinatlarını bilmek o ağdaki diğer tüm noktalara koordinat taşımak için
yeterlidir. GPS ağlarında yüksek doğruluk elde etmek için bağıl konum belirlenir (bazlar
belirlenir). Bir bazı belirlemek demek o bazdaki X , Y ve Z koordinat farklarını
belirlemek demektir.
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki ölçülen baza ait
koordinat farklarıdır. Fonksiyonel modeli koordinat farkları için yazalım ve düzenleyelim.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
122121 XXVxX 211221 XXXVx
122121 YYVyY 211221 YYYVy
122121 ZZVzZ 211221 ZZZVz
),,( 1111 PZYX
Z
),,( 2222 ZYXP
Y
1221 YYY
1221 ZZZ
X
1221 XXX
Dengeleme hesabı problemlerinde büyük değerlerle çalışılmaz. Bunun yerine yaklaşık
değerler kullanılarak küçük değerlerle çalışılır. X , Y ve Z bilinmeyenlerini aşağıdaki
şekilde düzenleyelim.
dXXX 0 dYYY 0 dZZZ 0
Burada 0X , 0Y ve 0Z yaklaşık değerler; dX , dY ve dZ bilinmeyenler olurlar. Bu değerleri
yukarıdaki denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim.
211012
0221 XdXXdXXVx 21
01
022121 XXXdXdXVx
2110
120
221 YdYYdYYVy 210
10
22121 YYYdYdYVy
211012
0221 ZdZZdZZVz 21
01
022121 ZZZdZdZVz
Denklemleri bilinmeyenlere göre düzenleyelim.
2101
0222211121 001001 XXXdZdYdXdZdYdXVx
210
10
222211121 010010 YYYdZdYdXdZdYdXVy
2101
0222211121 100100 ZZZdZdYdXdZdYdXVx
2101
021 XXX
210
10
22 YYY
2101
023 ZZZ
Olmak üzere yukarıdaki denklemleri xAv formatında yazalım.
3
2
1
2
2
2
1
1
1
21
21
21
100100010010001001
dZdYdXdZdYdX
VzVyVx
Stokastik Model: Bir GPS ağında belirlenen bir baza ait varyans-kovaryans matrisinin
duyarlıkları farklı ve korelâsyonludur.
2
2
2
21
2121212121
2121212121
2121212121
ZZYZX
ZYYYX
ZXYXX
mmmmmmmmm
K
2
2
2
21
212121212121212121
212121212121212121
212121212121212121
ZZYZYZXZX
ZYZYYYXYX
ZXZXYXYXX
mmmrmmrmmrmmmrmmrmmrm
K
212021 QmK 2
0
2121 m
KQ 1
2121 Qp Ağırlık matrisi
Örnek: Aşağıda verilmiş GPS ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz. Birim ölçünün
ortalama hatasını 20 m cm olarak alınız.
Ölçü sayısı n = 2 baz x 3 (koordinat farkı) = 6
Bilinmeyen sayısı u = 3 (11 numaralı noktanın koordinatları)
Serbestlik Derecesi f = n-u = 6-3>0 Dengeleme var.
NN X (m) Y (m) Z (m) Kesin Koordinatlar
4 3710709.539 3084028.627 4157648.644 7 3710479.640 3084171.030 4157677.581
Yaklaşık Koordinatlar 11 3710442.600 3084257.800 4157623.100
DN DN X (m) Y (m) Z (m) Xm (cm) Ym (cm) Zm (cm) YXr 0.2 7 4 229.897 -142.404 -28.937 1.2 2.4 1.3 ZXr 0.4
11 4 266.878 -229.233 25.473 2.3 1.5 1.0 ZYr 0.3
744747 XXVxX 477447 XXXVx
744747 YYVyY 477447 YYYVy
744747 ZZVzZ 477447 ZZZVz
114411411 XXVxX 411114411 XXXVx
114411411 YYVyY 411114411 YYYVy
114411411 ZZVzZ 411114411 ZZZVz
Yaklaşık değerler
4044 dXXX 4
044 dYYY 4
044 dZZZ
7077 dXXX 7
077 dYYY 7
077 dZZZ
1101111 dXXX 11
01111 dYYY 11
01111 dZZZ
Yaklaşık değerleri yukarıdaki denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim.
477074
0447 XdXXdXXVx 47
07
047447 XXXdXdXVx
4770
740
447 YdYYdYYVy 470
70
47447 YYYdYdYVy
477074
0447 ZdZZdZZVz 47
07
047447 ZZZdZdZVz
411110114
04411 XdXXdXXVx 411
011
04114411 XXXdXdXVx
411110
1140
4411 YdYYdYYVy 4110
110
4114411 YYYdYdYVy
411110114
04411 ZdZZdZZVz 411
011
04114411 ZZZdZdZVz
2.04707
041 XXX cm
1.0470
70
42 YYY
0.04707
043 ZZZ
1.6411011
044 XXX
0.64110
110
45 YYY
1.7411011
046 ZZZ
4 ve 7 numaralı noktalar sabit noktalardır. Bu noktalara herhangi bir düzeltme getirilmez. Bu
noktalara ait 4dX , 4dY , 4dZ ve 7dX , 7dY , 7dZ bilinmeyenlerini düzeltme denklemlerinden
atalım ve düzenleyelim.
2.047 Vx 2.0000 11111147 dZdYdXVx
1.047 Vy 1.0000 11111147 dZdYdXVy
0.047 Vz 0.0000 11111147 dZdYdXVz
1.611411 dXVx 1.600 111111411 dZdYdXVx
0.611411 dYVy 0.600 111111411 dZdYdXVy
1.711411 dZVz 1.700 111111411 dZdYdXVz
Yukarıdaki denklemleri xAv formatında (Fonksiyonel Model) yazalım.
1.70.61.61.01.02.0
100010001000000000
11
11
11
411
411
411
47
47
47
dZdYdX
VzVyVxVzVyVx
Stokastik Model
2
2
2
47
474747474747474747
474747474747474747
474747474747474747
ZZYZYZXZX
ZYZYYYXYX
ZXZXYXYXX
mmmrmmrmmrmmmrmmrmmrm
K
2
2
2
47
3.13.14.23.03.12.14.03.14.23.04.24.22.12.03.12.14.04.22.12.02.1
K
69.194.062.094.076.558.062.058.044.1
47K
00.145.092.045.025.269.092.069.029.5
411K
00.145.092.000045.025.269.000092.069.029.500000069.194.062.000094.076.558.000062.058.044.1
K
Baz sayısının çok fazla olduğu GPS ağlarında bu şekilde oluşturulan stokastik modelin tersini
almak bilgisayar kullanarak bile çok zordur. Bu nedenle bazların kendi içerisinde tersini
alarak ağırlıklar hesaplanır. Köşegen bir blok matrisin tersi, blokların ayrı ayrı terslerine
eşittir. Aşağıdaki formüllerden yararlanarak her baz için ağırlıklar hesaplanır.
472047 QmK 2
0
4747 m
KQ 1
4747 Qp Ağırlık matrisi
42.023.016.023.044.114.016.014.036.0
2:69.194.062.094.076.558.062.058.044.1
247Q
00.337.015.137.077.015.015.115.033.3
47P
07.577.078.077.097.112.078.012.091.0
411P
07.577.078.000077.097.112.000078.012.091.000000000.337.015.100037.077.015.000015.115.033.3
P
07.577.078.077.097.112.078.012.091.0
ApAN T
57.2658.574.0
pAn T
25.011.023.011.056.017.023.017.032.1
1NQxx
1.70.61.6
11
11
11
dzdydx
nQxxx
cm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
11
11
11
011
011
011
11
11
11
dZdYdX
ZYX
ZYX
171.4157623860.3084257661.3710442
1.70.61.6
100.4157623800.3084257600.3710442
11
11
11
dZdYdX
Düzeltmeler xAv
0.00.00.00.01.02.0
1.70.61.61.01.02.0
1.70.61.6
100010001000000000
411
411
411
47
47
47
VzVyVxVzVyVx
Dengeli ölçüler
411
411
411
47
47
47
411
411
411
47
47
47
411
411
411
47
47
47
ˆˆˆˆˆˆ
VzVyVxVzVyVx
ZYXZYX
ZYXZYX
473.25233.229878.266937.28403.142899.229
0.00.00.00.01.02.0
473.25233.229878.266937.28404.142897.229
ˆˆˆˆˆˆ
411
411
411
47
47
47
ZYXZYX
Dengeli ölçülerinin denetimi
114
114
114
74
74
74
411411
411411
411411
4747
4747
4747
ZZYYXXZZYYXX
VzZVyYVxXVzZVyYVxX
473.25233.229878.266937.28403.142899.229
473.25233.229878.266937.28403.142899.229
Karesel Ortalama Hata
21.036
14.00
unvpv
mT
cm
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
25.011.023.011.056.017.023.017.032.1
1NQxx
24.032.121.00 xxx qmm cm
16.056.021.00 yyy qmm
11.025.021.00 zzz qmm
Ölçülerin Ortalama Hatası ip
mmi
0 cm
47Xm 0.12
411Xm 0.22
47Ym 0.24
411Ym 0.15
47Zm 0.12
411Zm 0.09 Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
25.011.023.000011.056.017.000023.017.032.1000000000000000000000
ˆˆT
xxAQAQ
iijiQmm X ˆˆ0ˆ
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
47Xm 0
411Xm 0.24
47Ym 0
411Ym 0.16
47Zm 0
411Zm 0.11
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
ˆˆQQQvv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
ˆˆ1 QpQ
vv
25.011.023.000011.056.017.000023.017.032.100000042.023.016.000023.044.114.000016.014.036.0
1p
00000000000000000000042.023.016.000023.044.114.000016.014.036.0
vvQ
iiji vvv Qmm 0 Düzeltmelerin ortalama hataları
47vm 0.13
411vm 0 cm
47vm 0.25 411vm 0
47vm 0.14
411vm 0
Örnek: Şekildeki GPS nirengi ağında;
a) 101-102 bazına ait düzeltme denklemlerini xAv formatında yazınız.
b) Birim ölçünün ortalama hatasını 20 m cm alarak baz vektörüne ilişkin varyans-
kovaryans matrisini oluşturunuz. 5.0 ZYZXYX rrr
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
101102102101102101 XXVxX 102101101102102101 XXXVx
101102102101102101 YYVyY 102101101102102101 YYYVy
101102102101102101 ZZVzZ 102101101102102101 ZZZVz
Dengeleme hesabı problemlerinde büyük değerlerle çalışılmaz. Bunun yerine yaklaşık
değerler kullanılarak küçük değerlerle çalışılır. X , Y ve Z bilinmeyenlerini aşağıdaki
şekilde düzenleyelim.
dXXX 0 dYYY 0 dZZZ 0
Burada 0X , 0Y ve 0Z yaklaşık değerler; dX , dY ve dZ bilinmeyenler olurlar. Bu değerleri
yukarıdaki denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim.
1021011010101102
0102102101 XdXXdXXVx
1021011010
1011020
102102101 YdYYdYYVy
1021011010101102
0102102101 ZdZZdZZVz
NN X (m) Y (m) Z (m) Yaklaşık Koordinatlar
101 3710479.640 3084171.030 4157677.581 102 3710709.539 3084028.627 4157648.644
DN DN X (m) Y (m) Z (m) 101 102 229.897 -142.404 -28.937 DN DN
Xm (cm) Ym (cm) Zm (cm) 101 102 2 4 3 P101
P302 P301
P102
1021010101
0102102101102101 XXXdXdXVx
1021010
1010
102102101102101 YYYdYdYVy
1021010101
0102102101102101 ZZZdZdZVz
Denklemleri bilinmeyenlere göre düzenleyelim.
1021010101
0102102102102101101101102101 001001 XXXdZdYdXdZdYdXVx
1021010
1010
102102102102101101101102101 010010 YYYdZdYdXdZdYdXVy
1021010101
0102102102102101101101102101 100100 ZZZdZdYdXdZdYdXVx
2.0897.229640.479539.7091021010101
01021 XXX
1.0)404.142(030.4171627.40281021010
1010
1022 YYY
0.0)937.28(581.677644.6481021010101
01023 ZZZ
Olmak üzere yukarıdaki denklemleri xAv formatında yazalım.
0.01.02.0
100100010010001001
102
102
102
101
101
101
102101
102101
102101
dZdYdXdZdYdX
VzVyVx
2
2
2
21
102101
102101102101102101102101102101
102101102101102101102101102101102101102101102101102101
Z
ZYZYY
ZXZXYXYXX
mmmrmmmrmmrm
K
2
2
2
102101
3345.0325.0345.04425.0325.0425.02
K
9636164344
102101K
10. GPS NİVELMANI
Günümüzde yükseklik belirlemede ağırlıklı olarak nivelman ölçüleri kullanılmaktadır. Ancak
nivelman ölçülerini yapmak zor ve zahmetli bir iştir. GPS nivelman yöntemi ekonomik ve
zaman kazandıran bir yöntem olması nedeniyle nivelman ölçülerine alternatif bir konuma
gelmiştir.
Haritacılık uygulamalarında amaca ulaşma adına birçok yükseklik tanımı yapılmıştır.
Uygulamada geometrik anlamı nedeniyle Ortometrik Yükseklik (H) tercih edilmektedir.
Ortometrik yükseklik ortalama deniz yüzeyi ile çakışan Jeoid’ten yüzeydeki noktaya olan
düşey mesafedir. GPS ten elde edilen yükseklikler (h) ise referans Elipsoidinden yüzeydeki
noktaya olan mesafedir. Bu yükseklik geometrik olarak bize bir anlam ifade etmez. Ancak biz
GPS ten bu yükseklik bilgisini alırız. İki yükseklik sistemi arasındaki geoid ondülasyonu (N)
(dalgalanma) kadar bir fark vardır. İki sistem arasındaki bu fark belirlenebilirse elipsoid
yükseklikleri ortometrik yüksekliklere dönüştürülebilir. Bu bağlamda belirli bir alanda yeterli
sayıda ortometrik yüksekliği bilinen nokta varsa bu noktalarda GPS ten elde edilen elipsoid
yükseklikleri bir model yardımıyla ortometrik yüksekliklere dönüştürülebilir. Yukarıdaki
şekil bu dönüşüm ilişkisini açıkça göstermektedir.
İki yükseklik sistemi arasındaki dönüşüm için birçok enterpolasyon yöntemi tanımlanmıştır.
Polinomlarla enterpolasyon en çok tercih edilenidir. Genelde çift değişkenli analitik bir yüzey
fonksiyonu bu iş için yeterli görülmektedir.
n. dereceden çift değişkenli ( yx, : bağımsız değişkenler) jeoid ondülasyonu için bir
polinomun genel ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir.
jiij yxaN Bu fonksiyonu dereceye göre açalım.
Derece i j jiij yxaN N
0 0 0 0000 yxaN 00aN
1 1 0 01
10 yxaN xaN 10
0 1 1001 yxaN yaN 01
2
2 0 0220 yxaN 2
20 xaN
1 1 1111 yxaN yxaN 11
0 2 2002 yxaN 2
02 yaN
3
3 0 0330 yxaN 3
30 xaN
2 1 1221 yxaN yxaN 2
21
1 2 2112 yxaN 2
12 yxaN
0 3 3003 yxaN 3
03 yaN
Analitik Yüzey Fonksiyonunu 2. Derece için yazalım.
20211
220011000 yayxaxayaxaaN
Yukarıdaki Analitik Yüzey Fonksiyonunu 2. derece bir polinomdur. Bu polinom açılımında
021120011000 ,,,,, aaaaaa polinom katsayılarıdır. Bu fonksiyonda 0),( yxf şartını sağlayan x
ve y değişkeninin değerinin bulunması polinomun çözümü anlamına gelir.
Yukarıdaki fonksiyonu u tane dayanak noktası için yazalım ( ui ,,3,2,1 )
2
02112
20011000 iiiiiii yayxaxayaxaaN
21021111
2120101110001 yayxaxayaxaaN
22022211
2220201210002 yayxaxayaxaaN
23023311
2320301310003 yayxaxayaxaaN
2
40244112420401410004 yayxaxayaxaaN
Haritacılıkta kullanılan koordinatlar büyük değerlerdir. Koordinatlar bu halleriyle matris
hesabında kullanılamaz. Bunun yerine koordinatların normlandırılmış değerleri kullanılır.
uxxxxx u
321 ortalama x koordinatı
uyyyyy u
321 ortalama y koordinatı
Normlandırılmış (küçültülmüş) koordinatlar
1000i
ixxx
1000
ii
yyy
10001
1xxx
1000
22
xxx
10003
3xxx
1000
44
xxx
10001
1yyy
1000
22
yyy
10003
3yyy
1000
44
yyy
2
10211112
120101110001 yayxaxayaxaaN
22022211
2220201210002 yayxaxayaxaaN
23023311
2320301310003 yayxaxayaxaaN
24024411
2420401410004 yayxaxayaxaaN
Bu denklem sistemini düzenlersek
012
10211112
12010111000 Nyayxaxayaxaa
022
20222112
22020121000 Nyayxaxayaxaa
032
30233112
32030131000 Nyayxaxayaxaa
04
24024411
242040141000 Nyayxaxayaxaa
Denklem sisteminin matris gösterimi 0 xA şeklinde
01111
4
3
2
1
02
11
20
01
10
00
2444
2444
2333
2333
2222
2222
2111
2111
NNNN
aaaaaa
yyxxyxyyxxyxyyxxyxyyxxyx
Bu denklem lineer bir denklem sistemidir. Lineer denklem sistemi çözülerek
020211
220011000 iiiiiii Nyayxaxayaxaa şartını sağlayan x ve y
değişkeninin değerinin bulunması polinomun çözümü anlamına gelir.
Örnek: Aşağıdaki tabloda noktaların koordinatları, ortometrik yükseklikleri ve jeoid
yükseklikleri verilmektedir. yaxaaN 011000 şeklindeki 1. derece polinom yardımıyla
P5 noktasının ortometrik yüksekliğini hesaplayınız.
NN Sağa y
Yukarı x
h (m)
H (m)
N=h-H (m)
P1 9121.569 1060.477 1223.48 1188.61 34.87 P2 4139.007 749.228 986.84 952.23 34.61 P3 1965.772 7055.988 929.37 894.80 34.57 P4 5985.901 9645.566 888.53 853.82 34.71 P5 6321.854 4938.485 1008.75 ? ?
Çözüm: Bu problemde verilen 4 nokta için yaxaaN 011000 eşitliği yazılır.
Ölçü sayısı n = 4
Bilinmeyen sayısı u = 3
Serbestlik Derecesi f = n-u = 4-3>0 Dengeleme var.
101110001 yaxaaN
201210002 yaxaaN
301310003 yaxaaN
401410004 yaxaaN
815.46274
4321
xxxxx ortalama x koordinatı
062.53034
4321
yyyyy ortalama y koordinatı
5673.31000
11
xxx 8786.31000
22
xxx
4282.21000
33
xxx 0178.51000
44
xxx
8185.31000
11
yyy 1641.11000
22
yyy
3373.31000
33
yyy 6828.01000
44
yyy
101110001 yaxaaN )8185.3(5673.387.34 011000 aaa
201210002 yaxaaN 1641.18786.361.34 011000 aaa
301310003 yaxaaN 3373.3)4282.2(57.34 011000 aaa
401410004 yaxaaN )6828.0()0178.5(71.34 011000 aaa
087.348185.35673.3 011000 aaa
061.341641.18786.3 011000 aaa
057.343373.34282.2 011000 aaa
071.346828.00178.5 011000 aaa
Denklem sisteminin matris gösterimi 0 xA şeklinde
0
71.3457.3461.3487.34
6828.00178.513373.34282.211641.18786.318185.35673.31
01
10
00
aaa
5398.277842.1307842.138432.580
004AAN T
19.152.076.138
TAn
0411.00096.000096.00193.00
0025.01NQxx
0441.00014.0
69.34
01
10
001
aaa
nNx
0 xAv
02.002.002.002.0
71.3457.3461.3487.34
0441.00014.0
69.34
6828.00178.513373.34282.211641.18786.318185.35673.31
4
3
2
1
vvvv
Yeni noktanın yüksekliği
3107.01000
55
xxx 0188.11000
55
yyy
501510005 yaxaaN
01
10
00
555 1aaa
yxN
0441.00014.0
69.340188.13107.015N
74.345 N H5 = h5 – N5 = 1008.75 – 34.74 = 974.01 m
Karesel Ortalama Hata
041.034
0017.00
unvvm
T
m
Açıklama: Bu değer yönetmeliğe göre 5 cm yi geçemez.
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
0411.00096.000096.00193.00
0025.01NQxx
020.02500.0041.0000 xxa qmm m
006.00193.0041.0010 yya qmm
008.00411.0041.0001 zza qmm
11. SERBEST AĞLARIN DENGELENMESİ
Doğrultu ağlarında doğrultular, kenar ağlarında uzunluklar, doğrultu-kenar ağlarında hem
doğrultular ve hem de uzunluklar, nivelman ağlarında yükseklik farkları, trigonometrik
nivelman ağlarında düşey açılar ya da yükseklik farkları (düşey açılardan hesaplanır), GPS
ağlarında üç boyutlu koordinat farkları (kod, faz ve zaman ölçülerinden) ölçülür. Bu ölçüler
ilgili jeodezik ağın belirli bir koordinat sisteminde yeri, yönü ve ölçeği konusunda hiçbir bilgi
içermezler. Bu ölçüler yardımıyla oluşturulan jeodezik ağlara SERBEST ağlar denir.
Bir jeodezik ağın tanımlı bir koordinat sistemindeki yeri, ölçeği ve yönü konusunda bilgi
veren parametrelere DATUM parametreleri denir.
a) Bir nivelman veya trigonometrik nivelman ağının bir koordinat sisteminde
tanımlı olabilmesi için en az bir noktasının yükseklik koordinatı o koordinat
sisteminde bilinmesi gerekir.
b) Bir doğrultu ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az iki
noktasının koordinatları bilinmelidir.
c) Bir doğrultu-kenar ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az
bir noktasının koordinatları bilinmelidir ve en az bir doğrultusunun yönü
bilinmelidir.
d) Bir GPS ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az bir
noktasının X, Y ve Z koordinatları o koordinat sisteminde bilinmesi gerekir.
Ağın Türü d Datum parametre Türü Ağın Tanımlayıcıları
Nivelman 1 1 öteleme 1 noktanın yüksekliği
Trigonometrik 1 1 öteleme 1 noktanın yüksekliği
Doğrultu 4 2 öteleme 1 dönüklük 1 ölçek 2 noktanın (x, y) koordinatı
Doğrultu-Kenar 3 2 öteleme 1 dönüklük 1 noktanın (x, y) koordinatı ve bir doğrultunun yönü
GPS Ağı 3 3 öteleme 1 noktanın (x, y, z) koordinatları
d: datum parametre sayısı (datum defekt)
Bir ağ dengelemesinde ağdaki bazı noktalara dayalı olarak (zorlamasız dengeleme)
koordinatları hesaplanan yeni noktaların koordinatları ve koordinatların doğrulukları,
koordinatı değişmez alınan noktalardan etkilenir. Çünkü bu ağda yapılan ölçülere ait hatalar
sadece yeni noktaların koordinatlarına dağıtılır. Sabit alınan noktalardan uzaklaştıkça biriken
hatalar yeni noktaların konum hatalarını büyütür. Bu bağlamda noktaların konum doğruluğu
datum seçimine bağlı olarak değişir. Bu durumdan etkilenmemek için ağlar serbest ağ
dengelemesi (tüm iz minimum yöntemine göre dengeleme) ile dengelenir. Bu yöntemde bir
ağda yapılan tüm ölçülerden meydana gelen hatalar tüm nokta koordinatlarına dağıtılır.
Serbest ağ dengelemesi yöntemi özellikle deformasyon araştırma çalışmalarında kullanılır.
Deformasyon izleme amacıyla oluşturulan jeodezik ağlarda noktaların koordinatları ve
koordinatların doğrulukları deformasyon analizinde kullanılan giriş değerlerdir. Deformasyon
analizi ve yorumu açısından bu değerlerin serbest ağ dengelemesiyle elde edilmiş olunması
tercih edilmektedir.
Serbest ağ dengelemesinde tüm noktalar bilinmeyen noktalar olarak ele alınır. Bu nedenle
normal denklem katsayıları matrisinin determinantı sıfır olur. Yani bu matris singüler bir
matristir.
Fonksiyonel Model Stokastik Model
xAv 1
Qp
Ağırlıkları Farklı ve Korelâsyonlu ölçüler için amaç fonksiyonu
min 1 vpvvQv TT
0
n
T
N
T pAxApA Matris formatında Normal denklemler
Normal Denklem Katsayılar matrisi ApAN T
Bilinmeyenler Vektörü x
Sabit terimler pAn T
Determinantı sıfır olan normal denklem katsayıları matrisinin minNiz ve min xxT
şartlarını sağlamak üzere moore-penrose tersi aşağıdaki gibi hesaplanır.
TT GGGGNN 1
Normal denklemlerin çözümü ve bilinmeyenlerin hesabı aşağıdaki gibi yapılır.
nNx
Yukarıdaki çözüm aşağıdaki eşitlikleri sağlar.
0 xGT , 0GA , 0 nGT , 0 GN
Burada G matrisi ağın datumunu belirler. p ağdaki nokta sayısı olmak üzere bazı ağlar için
G matrisleri aşağıdaki gibidir.
Nivelman ve Trigonometrik nivelman ağlarında G matrisinin boyutu ( p , 1) kadardır.
p
T
pppG
,1
111
GPS ağlarında G matrisinin boyutu ( p3 , 3).
p
T
p.....
pp
p.....
pp
p.....
pp
G
3,3
100100100
010010010
001001001
Doğrultu ağlarında G matrisinin boyutu ( p2 , 4) kadardır.
4,2
""
""
"1
"1
"1
"1
10
01
10
01
p
pp
pp
yxp
xyp
yxp
xyp
G
Doğrultu-Kenar ağlarında G matrisinin boyutu ( p2 , 3) kadardır.
3,2
"
"
"1
"1
10
01
10
01
p
p
p
xp
yp
xp
yp
G
Doğrultu ve Doğrultu kenar ağlarında "ix ve "
iy normlandırılmış koordinatlardır.
Normlandırma işleminin amacı G matrisinin kondüsyonunun bozulmamasını sağlamaktır.
Bir ağda ix ve iy koordinatlar olmak üzere koordinatların aritmetik ortalaması yani ağırlık
merkezinin koordinatları aşağıdaki gibi hesaplanır.
px
x ig
py
y ig
Koordinat eksenlerinin başlangıcının ağırlık sistemine kaydırılmış koordinatları aşağıdaki gibi
hesaplanır.
gii xxx ' gii yyy '
Normlandırma elemanı
2'2'
1
ii yxc
Normlandırılmış koordinatlar
'"ii xcx '"
ii ycy
Örnek: Aşağıda verilmiş nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle serbest olarak
dengeleyiniz.
Ölçü sayısı n = 6
Bilinmeyen sayısı u = 3
Datum defekt d = 1
Serbestlik Derecesi f = n-u+d = 6-3+1>0 Dengeleme var.
4111 pp HHvh kxvh 11 11 hkxv
2122 pp HHvh yxvh 22 22 hyxv
2333 pp HHvh yzvh 33 33 hyzv
4344 pp HHvh kzvh 44 44 hkzv
4255 pp HHvh kyvh 55 55 hkyv
1366 pp HHvh xzvh 66 63 hxzv
i ih is (km)
1 43.156 0.65 2 19.218 0.80 3 33.524 1.00 4 57.440 1.40 5 23.962 1.50 6 14.267 1.95
ip iH (m) Yaklaşık Yükseklikler 1 123.829 2 104.635 3 138.115 4 80.673
6h 1h
4h
3h
2h )( 1 xP
)( 2 yP
)( 3 zP
5h
)( 4 kP
Yaklaşık değerler
dxxx 0 dyyy 0 dzzz 0 dkkk 0
0x 123.829 m, 0y 104.635 m 0z 138.115 m, 673.800 k m
11 hkxv 1001 hkxdkdxv
22 hyxv 2002 hyxdydxv
33 hyzv 3003 hyzdzdyv
44 hkzv 4004 hkzdkdzv
55 hkyv 5005 hkydkdyv
63 hxzv 6003 hxzdzdxv
156.43673.80829.1231 dkdxv dkdxv 1 218.19635.104829.1232 dydxv 242 dydxv
524.33635.104115.1383 dzdyv 463 dzdyv 440.57673.80115.1384 dkdzv dkdzv 4 962.23673.80635.1045 dkdyv dkdyv 5
267.14829.123115.1383 dzdxv 173 dzdxv
Yukarıdaki değerler mm mertebesindedir.
010011 dkdzdydxv 2400112 dkdzdydxv 4601103 dkdzdydxv 011004 dkdzdydxv 010105 dkdzdydxv
1701013 dkdzdydxv
Yukarıdaki denklemleri xAv formatında yazalım.
1700
4624
0
010110101100011000111001
6
5
4
3
2
1
dkdzdydx
vvvvvv
95.1/100000050.1/100000040.1/100000000.1/100000080.0/100000065.0/1
ip
)( 1kms
pi
i
51.000000067.000000071.000000000.100000025.100000054.1
ip
92.271.067.054.171.023.200.151.067.000.192.225.154.151.025.130.3
ApAN T
00.028.3700.7672.38
pAn T
5.05.05.05.0
/1/1/1/1
pppp
G
25.025.025.025.025.025.025.025.025.025.025.025.025.025.025.025.0
TGG
17.346.042.029.146.048.275.026.042.075.017.300.129.126.000.155.3
TGGN
45.016.017.022.016.051.019.015.017.019.045.020.022.015.020.043.0
1TGGN
20.009.008.003.009.026.006.010.008.006.020.005.003.010.005.018.0
1 TTxx
GGGGNNQ
83.134.1012.1995.6
dkdzdydx
nQxxx
mm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
dkdzdydx
kzyx
kzyx
0
0
0
0
675.80123.138616.104836.123
83.134.1012.1995.6
673.80113.138635.104829.123
kzyx
Düzeltmeler xAv
39.2094.2052.854.1606.212.5
1700
46240
83.134.1012.1995.6
010110101100011000111001
6
5
4
3
2
1
vvvvvv
Dengeli ölçüler iii vhh ˆ
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
ˆˆˆˆˆˆ
vvvvvv
hhhhhh
hhhhhh
287.14941.23449.57507.33220.19161.43
39.2094.2052.854.1606.212.5
267.14962.23440.57524.33218.19156.43
ˆˆˆˆˆˆ
6
5
4
3
2
1
hhhhhh
Dengeli ölçülerinin denetimi
4111 pp HHvh 161.43161.43
2122 pp HHvh 220.19220.19
2333 pp HHvh 507.33507.33
4344 pp HHvh 449.57449.57
4255 pp HHvh 941.23941.23
1366 pp HHvh 287.14287.14
Karesel Ortalama Hata
81.14136
79.8760
dunvpv
mT
mm
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
20.009.008.003.009.026.006.010.008.006.020.005.003.010.005.018.0
1 TTxx
GGGGNNQ
27.618.081.140 xxx qmm mm
54.620.081.140 yyy qmm
49.726.081.140 zzz qmm
64.620.081.140 zzz qmm
Ölçülerin Ortalama Hatası ip
mmi
0 mm
1hm 11.94 4hm 17.52
2hm 13.24 5hm 18.13
3hm 14.81 6hm 20.67 Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
64.005.042.037.027.022.005.056.031.025.030.026.042.031.064.033.009.022.037.025.033.058.021.004.027.030.009.021.047.017.022.026.022.004.017.044.0
ˆˆT
xxAQAQ
iiiQmm
h ˆˆ0ˆ
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
1h
m 9.77 4h
m 11.84 mm
2h
m 10.20 5h
m 11.10
3h
m 11.24 6h
m 11.84
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
ˆˆQQQvv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
ˆˆ1 QpQ
vv
95.100000050.100000040.100000000.100000080.000000065.0
1p
31.105.042.037.027.022.005.094.031.025.030.026.042.031.076.033.009.022.037.025.033.042.021.004.027.030.009.021.033.017.022.026.022.004.017.021.0
vvQ
iii vvv Qmm 0 Düzeltmelerin ortalama hataları
1vm 6.85
4vm 12.91 mm
2vm 8.44 5vm 14.34
3vm 9.64
6vm 16.95
12. MODEL HİPOTEZİNİN TESTİ ve UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTİ
Dengeleme hesabının Matematik Modeli ölçülerle bilinmeyenler arasındaki Geometrik
(Fonksiyonel model) ve Fiziksel (Stokastik Model) ilişkileri yansıtır. Model hipotezinin
testi ile matematik modelin uygunluğu, modelin oluşturulmasında kullanılan ölçülerin
duyarlıkları ve aralarındaki korelâsyonlar denetlenir.
Dengelemeden önce ölçülerden yararlanarak üçgen kapanmalarından (üçgenlerin iç açıları
toplamı 200g), lup kapanmalarından (nivelmanda gidiş-dönüş ölçülerinden, GPS’te bir
üçgende koordinat farklarının toplamının sıfır olması) vs. bir öncül karesel ortalama hata
( 0s ) elde edilebilir. Dengeleme hesabı sonrası bir soncul karesel ortalama hata ( 0m ) hata
elde ederiz.
Bu değerler kullanılarak bir SIFIR ve bir de SEÇENEK hipotezi kurulur.
20
200 : sEmEH Sıfır hipotezi
20
20: sEmEH s Seçenek hipotezi
Sıfır hipotezinde soncul ortalama hatanın umulan (beklenen) değerinin öncül ortalama hata ile
aynı olacağı varsayılır. Bu durumda kurulan dengeleme modeli geçerlidir.
Sıfır hipotezinde soncul ortalama hatanın umulan (beklenen) değerinin öncül ortalama hata ile
aynı olmadığı durumlarda kurulan dengeleme modeli geçerli değildir.
Geçersizliğin nedenleri;
a) Ölçülerde kaba hata (uyuşumsuz ölçü) olabilir.
b) Fonksiyonel model yanlış kurulmuş olabilir.
c) Stokastik model yanlış kurulmuş olabilir.
Örnek: Bir nivelman ağında gidiş-dönüş ölçülerinden birim ölçünün ortalama hatası
2.36 0 s cm ve ölçülerin serbestlik derecesi 01sf olarak hesaplanmıştır. Nivelman
ağının dengelenmesi sonucunda soncul ortalama hata 6.67 0 m cm ve dengelemenin
serbestlik derecesi 2mf olarak hesaplanmıştır. Bu ağ için matematik modelin doğru
kurulup kurulmadığını test ediniz.
Çözüm: Öncelikle model hipotezinin testi için bir test büyüklüğü hesaplarız. Test büyüklüğü
hesabında ortalama hatalardan büyük olanı bölümde üst kısma yazarız.
00 sm olduğu için 0m üste yazılır.
98.736.267.6
2
2
20
20
mmT Test büyüklüğü
46.5975.0,10,2205.01,10,2
21,,
FFFqsm ff Sınır değer
Excel’de 46.5)10;2;025,0( FTERSq
Matlab’da 46.5)10,2,975.0( finvq
qT olduğu için 0H hipotezi geçersizdir.
sH hipotezi geçerlidir.
Bu durumda yukarıda belirtilen irdelemeler yapılır.
Bir dengeleme hesabı işleminde kurulan matematik model geçerli değilse ölçülerin biri ya da
bir kaçı kaba hatalı olabilir. Kaba hatalı ölçülerin tespiti uyuşumsuz ölçüler testi ile yapılır.
Uyuşumsuz ölçüler testini yapabilmek için dengeleme işlemi sonucunda ölçülere ait
düzeltmelere v ve düzeltmelerin ters ağırlık matrisine vv
Q ihtiyaç vardır. Bu değerlerden
yararlanarak bir test büyüklüğü ve bir de sınır değer hesaplarız. Düzeltme değerlerinin negatif
işaretli olabileceği düşüncesiyle düzeltme değerlerinin mutlak değeri kullanılır.
vvQm
vT
0
Test büyüklüğü
21,
mf
tq Sınır değer
Örnek: Bir nivelman ağının dengelenmesi sonucunda soncul ortalama hata 6.67 0 m cm
ve dengelemenin serbestlik derecesi 2mf olarak hesaplanmıştır. Bu ağ için kurulan
matematik modelin geçersiz olduğu görülmüştür. Bu ağdaki ölçülere ait düzeltmeler ve
düzeltmelerin ters ağırlık matrisi aşağıda verilmiştir. Bu ağda uyuşumsuz ölçü olup
olmadığını araştırınız.
58.1070.052.4
v
0465.08629.00593.08629.06044.15041.00593.05041.02254.1
vvQ
61.02254.167.6 .524
1
T 30.4975.0,22
1,
ttq
mf
08.06044.167.6 .700
2
T Excel’de 30.4)2;05,0( TTERSq
35.70465.067.6 0.581
1
T
qT 1 uyuşumlu
qT 2 uyuşumlu
qT 3 uyuşumSUZ
Yorum: Bu durumda üçüncü ölçü dengeleme işleminden atılır ya da ölçü bizim için önemli
ise (atılma durumunda ağın şekli bozuluyorsa) yeniden ölçülür. Ölçüler arasında birden fazla
uyuşumsuz ölçü olabilir. Bu durumda düzeltme değeri en büyük olan ölçü dengeleme
işlemine alınmaz ya da yeniden ölçülür. Dengeleme tekrarlanır. Model hipotezi testi
tekrarlanır. Model hipotezi hala geçersiz ise başka uyuşumsuz ölçülerin varlığı araştırılır.
Uyuşumsuz ölçü kalmayıncaya kadar dengeleme işlemi tekrar edilir.
12. İKİ BOYUTLU BENZERLİK (HELMERT) DÖNÜŞÜMÜ
Bir koordinat sistemindeki noktaların diğer bir koordinat sistemindeki karşılıklarının
bulunması işlemine koordinat dönüşümü denir. Sistemlerin birbirlerine göre karşılıklarının
bulunması için bir sistemin diğerine göre kaydırılması. döndürülmesi ve belli oranlarda
küçültülmesi ya da büyültülmesi gerekir. Bu işlem iki sistemde de ortak noktaların
bulunmasını gerektirir. Benzerlik dönüşümünde iki sistemdeki geometrik şekiller
benzerdirler. Ancak şekiller belli bir oranda ya küçülür ya da büyürler. Şekillerdeki açılar bir
değişime uğramazlar.
( x . y ) sistemindeki bir P noktasının ( X .Y ) sistemindeki koordinatlarını yazalım.
cossin0 xyXX p
cos sin 0 yxYYp
cosa
sinb
X x
0X
pX
0Y pY
y
Y
cosy
sinx
siny cosx
P
222 cosa
222 sinb
222222 sincos ba
)sin(cos 22222 ba
1sincos 22
222 ba
22 ba Ölçek katsayısı
cocab
sin
ab
tan
abarctan Dönüklük açısı
Yukarıdaki denklemleri düzenleyelim.
xaybXX p 0
yaxbYYp 0
Burada 0X . 0Y . a ve b bilinmeyenlerdir. Dört bilinmeyenin çözümü için her iki sistemde en az iki ortak noktanın koordinatları bilinmelidir. Bu durumda direk çözüm yapılabilir. Ancak dengelemeli çözüm için ikiden fazla nokta gereklidir. Benzerlik dönüşümü probleminde pX
ve pY koordinatları ölçü gibi düşünülür. Düzeltmeler bu koordinatlara getirilir.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
xaybXVXX pp 0
yaxbYVYY pp 0
pp XxaybXVX 0 0 pp YyaxbYVY
Bu denklemleri düzenleyelim.
pp XbyaxYXVX 00 01 10 00 pp YbxayYXVY
Bu denklemleri matris formatında yazalım.
p
p
p
p
YX
baYX
xyyx
VYVX 0
0
1001
Fonksiyonel Model
Örnek: ED50 koordinat sistemindeki nokta koordinatları tabloda verilen her iki sistemdeki
ortak noktalar yardımıyla ITRF96 koordinat sistemine dönüştürülmek isteniyor. Benzerlik
dönüşümünü uygulayınız ve dönüşüm parametrelerini hesaplayınız. Uyuşumsuz koordinat
(ölçü) olup olmadığını belirleyiniz. Yeni noktaların ITRF96 da ki koordinatlarını
hesaplayınız.
NN ED50 ( m ) ITRF96 ( m )
Yukarı ( x ) Sağa ( y ) Yukarı ( X ) Sağa ( Y ) 8 54481.227 56219.662 40727.970 62084.098 9 54278.188 53056.137 40498.206 58921.596 10 55203.664 52952.417 41423.028 58810.095 12 54734.544 53754.865 40960.581 59616.631 16 54350.343 56110.555 17 55800.011 53012.938 18 54315.160 53205.945
Çözüm: Ölçü sayısı n = 4 nokta x 2 = 8 Bilinmeyen sayısı u = 4 Serbestlik derecesi f = 8 - 4 = 4
Her nokta (koordinat çifti) için aşağı eşitlikleri yazalım.
pp XxaybXVX 0 0 pp YyaxbYVY
88808 XxaybXVX 888008 01 XbyaxYXVX 88808 YyaxbYVY b 10 888008 YxayYXVY
99909 XxaybXVX 999009 01 XbyaxYXVX 99909 YyaxbYVY b 10 999009 YxayYXVY
101010010 XxaybXVX 1010100010 01 XbyaxYXVX 101010010 YyaxbYVY b 10 1010100010 YxayYXVY
121212012 XxaybXVX 1212120012 01 XbyaxYXVX 121212012 YyaxbYVY b 10 1212120012 YxayYXVY
12
12
10
10
9
9
8
8
0
0
1212
1212
1010
1010
99
99
88
88
12
12
10
10
9
9
8
8
1001100110011001
YXYXYXYX
baYX
xyyxxyyxxyyxxyyx
VYVXVYVXVYVXVYVX
631.59616581.40960095.58810028.41423596.58921206.40498098.62084970.40727
544.54734865.5375410865.53754544.5473401664.55203417.5295210417.52952664.5520301188.54278137.5305610137.53056188.5427801227.54481662.5621910662.56219227.5448101
0
0
12
12
10
10
9
9
8
8
baYX
VYVXVYVXVYVXVYVX
969.923626788650623..218697081.2159830969.92362678865081.215983623..218697
623..218697081.21598340081.215983623..21869704
AAN T
794.4256526110514.02188106056420.239432785.163609
TAn
0000001342.0000734.000724.000000001342.000724.000734.0
00734.000724.049805.792000724.000734.0049805.792
1NQxx
0084269763.0000212805.1
5841.63116155.14238
0
0
baYX
nQxxx
m
Ölçek katsayısı 000248303.122 ba
Dönüklük açısı 5364.0arctan g
ab
Düzeltmeler xAv 00.0 v kontrol
0107.00138.00253.00032.00147.00199.00001.00029.0
631.59616581.40960095.58810028.41423596.58921206.40498098.62084970.40727
0084269763.0000212805.1
5841.63116155.14238
544.54734865.5375410865.53754544.5473401664.55203417.5295210417.52952664.5520301188.54278137.5305610137.53056188.5427801227.54481662.5621910662.56219227.5448101
12
12
10
10
9
9
8
8
VYVXVYVXVYVXVYVX
m
Dönüştürülmüş Koordinatlar ve Düzeltmeleri
NN
ITRF96 ( m ) iVX iVY ITRF96
Yukarı ( X ) Sağa ( Y ) ( m ) ( m ) Yukarı ( X ) Sağa ( Y ) 8 40727.970 62084.098 -0.0029 -0.0001 40727.967 62084.098 9 40498.206 58921.596 0.0199 0.0147 40498.226 58921.611 10 41423.028 58810.095 -0.0032 -0.0253 41423.025 58810.070 12 40960.581 59616.631 -0.0138 0.0107 40960.567 59616.642
Dengeli ölçülerinin denetimi
00000000
1001100110011001
0
0
1212
1212
1010
1010
99
99
88
88
1212
1212
1010
1010
99
99
88
88
ba
YX
xyyxxyyxxyyxxyyx
VYYVXXVYYVXXVYYVXXVYYVXX
Karesel Ortalama Hata
02.048
0016.00
unvvm
T
m
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası (Duyarlık)
0000001342.0000734.000724.000000001342.000724.000734.0
00734.000724.049805.792000724.000734.0049805.792
1NQxx
56.049805.79202.000 xxX qmm m
56.049805.79202.000 yyY qmm
00000728.00000001342.002.00 aaa qmm
00000728.00000001342.002.00 bbb qmm
Güven Hesabı iiT
xxi AQAIr )(
742.0742.0566.0566.0610.0610.0081.0081.0
ir
Yorum: Bütün ölçülerin güvenirliği 0.50 nin üzerindedir. Bu durum ortak noktaların helmert
dönüşümü için uygun bir dağılıma sahip olduğunu göstermektedir.
T
xxvvAQAIQ Düzeltmelerin kovaryans matrisi
742.0000.0288.0009.0277.0020.0177.0012.0000.0742.0009.0288.0020.0277.0012.0177.0288.0009.0566.0000.0353.0122.0075.0131.0009.0288.0000.0566.0122.0353.0131.0075.0277.0020.0353.0122.0610.0000.0020.01413.0020.0277.0122.0353.0000.0610.0143.0020.0177.0012.0075.0131.0020.0143.0081.0000.0012.0177.0131.0075.01413.0020.0000.0081.0
vvQ
Uyuşumsuz ölçü testi Yorum: Bütün düzeltmeler uyuşumludur.
vvQm
vT
0
Test büyüklüğü
21,
mf
tq Sınır değer 4mf
NN iVX XT iVY YT q
8 -0.0029 0.52 -0.0001 0.01 2.78 9 0.0199 1.28 0.0147 0.95
10 -0.0032 0.21 -0.0253 1.69 12 -0.0138 0.81 0.0107 0.63
Yeni noktaların koordinatlarının hesaplanması
1616016 xaybXX
1616016 yaxbYY
1717017 xaybXX
1717017 yaxbYY
1818018 xaybXX
1818018 yaxbYY
NN ED50 ( m ) ITRF96 ( m )
Yukarı ( x ) Sağa ( y ) Yukarı ( X ) Sağa ( Y ) 16 54350.343 56110.555 40596.136 61976.071 17 55800.011 53012.938 42020.009 58865.578 18 54315.160 53205.945 40536.468 59071.139
KAYNAKLAR
1. Abbas BARIŞKANER, Bayram TURGUT, Mevlüt GÜLLÜ, Dengeleme Hesabı Problemleri ve Çözümleri, Express Yayınları, Konya, 1995.
2. Aslan Dilaver, Dengeleme Hesabı Ders Notları (Yayınlanmamış).
3. Bruce Raymond HARVEY, Practical Least Squares and Statistics for Surveyors,
Monograph 13, School of Surveying and Spatial İnformation Systems, ISBN 0-7334-2339-6, 1993
4. Charle D. Ghilani, Paul R. Wolf, Adjustments Computations: Spatial Data Analysis,
John Wiley and Sons Inc., ISBN 13 978 -0-471-69728, 2006. 5. Ergün ÖZTÜRK, Dengeleme Hesabı, Cilt I, K.T.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi,
K.T.Ü. Basımevi, Genel Yayın No: 119, Fakülte Yayın No: 38, Trabzon, 1991.
6. Ergün ÖZTÜRK, Muzaffer ŞERBETÇİ, Dengeleme Hesabı, Cilt II, K.T.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi, K.T.Ü. Basımevi, Genel Yayın No: 144, Fakülte Yayın No: 40, Trabzon, 1995.
7. Ergün ÖZTÜRK, Muzaffer ŞERBETÇİ, Dengeleme Hesabı, Cilt III, K.T.Ü.
Mühendislik Mimarlık Fakültesi, K.T.Ü. Basımevi, Genel Yayın No: 144, Fakülte Yayın No: 40, Trabzon, 1992.
8. Hüseyin DEMİREL, Dengeleme Hesabı, Y.T.Ü. İnşaat Fakültesi, Üniversite Yayın No:
YTÜ.İN.DK-05.0735, Yıldız Teknik Üniversitesi Basım-Yayım Merkezi, İstanbul, 2005.
9. İbrahim Yüksel, MATLAAB İle Mühendislik Sistemlerinin Analizi ve Çözümü, Nobel
Yayın Dağıtım, Yayın No: 672, Teknik Yayınları Dizi No: 43, ISBN 975-591-656-3, Ankara, 2004.
10. Mualla YALÇINKAYA, Dengeleme Hesabı Ders Notları (Yayınlanmamış). 11. Sebahattin BEKTAŞ, Endirek ve Koşullu Ölçülerle Dengeleme Hesabı, Ondokuz Mayıs
Üniversitesi Yayınları, Yayın No: 118, ISBN 975-7636-54-1, Samsun, 2003.
12. Sebahattin BEKTAŞ, Mühendisler İçin Sayısal Çözümleme Basic Program Örnekleriyle, Samsun, 1998.
13. Wolf, P. R., Ghilani, C. D., 1997, Ghilani: Adjustment Computation : Statistics and
Least Squares in Surveying and GIS, John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-16833-5.