24

CAPTULO 3

DESCRIPCIN DEL ANLISIS DE ELEMENTOS FINITOS

3.1 Introduccin

Las principales metas en el anlisis de ingeniera son identificar los principios

fsicos bsicos que gobiernan el comportamiento de un sistema y traducir esos

principios en un modelo matemtico que envuelve una o varias ecuaciones que pueden

ser resueltas para poder predecir el comportamiento cualitativo y cuantitativo de un

sistema. El modelo matemtico normalmente es una simple ecuacin diferencial o

varias ecuaciones diferenciales cuya solucin deben ser consistentes entre s y

representar la fsica bsica del sistema.

En situaciones donde el sistema es relativamente simple, es posible analizar el

problema usando mtodos tradicionales, sin embargo, el gobierno de las ecuaciones

diferenciales o las regiones donde se busca una solucin, algunas veces es necesario

usar alguna fuente de aproximacin o mtodo numrico para obtener la informacin

necesaria sobre el comportamiento de un sistema.

Los mtodos adaptados en la mecnica computacional son generalmente basados

en una simple idea: cuando la solucin es muy grande, cambiar la estructura de la

aproximacin (tamao de malla, localizacin de puntos, la forma de la aproximacin,

etc.) para poder reducirla.

25

El inters en dichos procesos ha crecido gradualmente en los ltimos aos con la

finalidad de optimizar los clculos para entregar la mejor solucin con el mnimo

esfuerzo. Sin embargo, la implementacin de ideas adaptables constituye una

significante salida de los mtodos convencionales en la aplicacin de la computacin en

la dinmica de fluidos y envuelve muchos problemas.

La computacin en la dinmica de fluidos est empezando a ser una herramienta

importante en la ingeniera como los tneles de viento. Para algunas industrias, como la

areo-espacial, seguridad nuclear, los experimentos de este tipo son muy difciles o

incluso imposibles de realizar. La simulacin de flujos de fluidos empez a principios

de los 60s con flujos potenciales, los clculos fueron hechos usando diferencia finita o

mtodos de panel, principalmente los clculos numricos han sido utilizados por las

industrias areo-nuticas y nucleares.

En los 70s se vio por primera vez la implementacin del mtodo de elementos

finitos para ecuaciones potenciales y la ecuacin de Navier-Stokes; tambin durante ese

tiempo de desarrollo del mtodo de diferencia finita para problemas complejos como la

ecuacin compresible de Navier-Stokes.

En los aos recientes se ha visto el desarrollo de algoritmos ms rpidos para

tratar con flujos en 3D, dominio de descomposicin, vectorizacin, el desarrollo de

mtodos especializados para alcanzar ciertos objetivos, mtodos de partculas, mtodos

de gas y el tratamiento de problemas que son ms y ms complejos como la ecuacin

compresible de Navier-Stokes con interaccin de las capas lmites de shock, capas

lmites de Knutsen y superficies libres.

26

El mtodo de elementos finitos (FEM) se ha convertido en una alternativa que en

muchas aplicaciones tiene ventajas sobre el mtodo de diferencia finita. El FEM ha

evolucionado como una idea en el anlisis estructural, hoy en da es aplicado como una

herramienta de anlisis en casi cualquier rea de la ingeniera moderna.

Figura 3.1 Nmero match obtenido por elementos finitos

3.2 Esquema de Solucin de Elementos Finitos para Flujos Viscosos Compresibles

Muchos de los trabajos hechos en elementos finitos se han concentrado en la

solucin de las ecuaciones de Euler, y muy poco en la aplicacin de la aproximacin de

la solucin de las ecuaciones compresibles de Navier-Stokes. En al discretizacin

espacial se emplean elementos lineales triangulares en dos dimensiones y elementos

lineales tetradricos en tres dimensiones, mientras el tiempo de discretizacin se logra

en una manera implcita/explcita.

27

Las ecuaciones que gobiernan el flujo compresible viscoso laminar en tres

dimensiones son consideradas en la forma de conservacin siguiente,

i

i

i

i

x

G

x

F

t

U

=

+

, i = 1, 2, 3 (3.1)

donde se emplean las convenciones de sumas y obtenemos,

=

3

2

1

u

u

u

U

( )

++++

=

i

ii

ii

ii

i

i

up

puu

puu

puu

u

F

33

22

11

(3.2)

+

=

imim

i

i

i

i

x

Tku

G

3

2

1

0

(3.3)

Aqu , p, , T y k son la densidad, presin, energa especfica total, temperatura

y conductividad trmica del fluido respectivamente, ui es la componente de velocidad

del fluido en la direccin xi de un sistema de coordenadas cartesiano. Las componentes

del esfuerzo de tensin viscoso estn dadas por

mij

j

m

i

i

mmi x

u

x

u

x

u

+

+

= (3.4)

y se asume que los coeficientes de viscosidad y estn relacionados por

28

3

2 = (3.5)

La variacin de con la temperatura sigue la ecuacin emprica de Sutherlands

30

ro

r

r T

T

ST

ST

++

=

(3.6)

donde So es una constante determinada experimentalmente, r y Tr denotan referencia de

viscosidad y valores de temperatura respectivamente. En los clculos presentados aqu,

se tom el valor de So = 198.6 R (-162.8 C) y la variacin de conductividad trmica

fue determinada de la Eq. (3.6) asumiendo un valor constante de 0.72 del nmero de

Prandtl. La ecuacin completa es presentada agregando las ecuaciones de un gas

perfecto en la forma

( ) ( ) ( ) 15.01 == vm cp

Tup (3.8)

donde es la razn de los calores especficos y cv es el calor especfico con volumen

constante.

Figura 3.2 Esquema de un flujo compresible

29

Figura 3.3 Solucin de las ecuaciones de Euler

3.3 Discretizacin Espacial

El dominio de la solucin espacial es la discretizacin usando tres elementos

lineales triangulares en dos dimensiones o cuatro elementos lineales tetradricos en tres

dimensiones. Las representaciones lineales son empleadas para el incremento de U y

Uexp en la siguiente forma

expexp*exp*jjjj UNUUUNUU == (3.9)

donde Nj denota la forma lineal de la funcin asociada al nodo J de la malla. Una

aproximacin constante es asumida para niA y nimR , y estas cuantidades son tomadas

como constantes para cada elemento, y la solucin de este sistema de ecuaciones es

30

{ }

++=

=

=

i i

J

i

Iniin

iIJIJ

JIIJ

JIJJIJ

dx

N

x

N

t

RA

tMK

dNNM

UMUK

22

exp

2

(3.10)

En la derivacin de esta expresin para KIJ, se emple el teorema de Green y el

resultado del lmite de la integral se descarta, junto con la contribucin de los trminos

que envuelven las derivadas. Experimentos prcticos han demostrado que descartando

estas cuantidades tiene muy poco efecto en la solucin del algoritmo numricamente.

Una simplificacin final es reemplazar la matriz de masa consistente M IJ por una matriz

diagonal, que no contenga ceros [ML] I.

3.4 Difusin del Perfil Aerodinmico por el Mtodo de Elementos Finitos

3.4.1 Ecuaciones Incompresibles de Euler y Navier-Stokes

La aplicacin de difusin del perfil aerodinmico modific los mtodos de

Galerkin en las ecuaciones incompresibles de Euler y Navier-Stokes usando

formulaciones de presin-velocidad. Sin embargo, las formulaciones usadas no fueron

totalmente consistentes desde el punto de vista terico, y exista un error de anlisis.

Johnson y Serenen introdujeron un mtodo de difusin del perfil aerodinmico

consistente en dos dimensiones utilizando una formulacin de funcin-vorticidad-

presin del un perfil de las ecuaciones incompresibles de Euler y Navier-Stokes con una

pequea viscosidad .

31

Este mtodo dio estabilidad, exactitud y solucin numrica para problemas

difciles con pequea viscosidad y grandes nmeros de Reynolds. Sin embargo, la

extensin a problemas de tres dimensiones pareca complicada y para este caso era

deseable tener un mtodo usando variables de velocidad-presin. Ahora presentamos el

mtodo con algunos resultados numricos.

Este es el primer mtodo de exactitud de alto orden para pequeas o cero

viscosidad de las ecuaciones de incompresibilidad de Navier-Stokes usando polinomios

continuos aproximados de igual orden de las velocidades y presiones.

Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes

(3.11a) (3.11b) (3.11c)

(3.11d)

donde es un lmite y su dominio en Rd, d = 2, 3, con lmite , ( ) dRtxu , es la

velocidad, ( ) Rtxp , es la presin, f y u0 son datos conocidos y es la viscosidad.

Para definir el mtodo de difusin del perfil aerodinmico de la Eq. (3.11)

dejemos

( )00 210 >

32

Introducimos los espacios

( ) ( ) ( ){ }nnhnndnnh IenvKIIPPvSCvV === 0,,|: 11 ( ) ( ) ( ){ }nhnnnnh KIIPPqSCqQ == ,|: 11

En otras palabras, usamos elementos continuos bilineales de tiempo-espacio en

cada tabla Sn para velocidades y presiones. El mtodo de difusin del perfil

aerodinmico para la Eq. (3.11) puede ser formulada como sigue en el caso de Ch

=

Kysiy

Kysi

yr

2

0

( )

>

KysiC

KysihC

y

1

1

2

hC21 =

33

donde L2 es el error estimado de orden ( )2/1+kh , k es el grado polinomial para problemas lineales generales asumiendo que derivadas del orden k + 1 de la solucin

exacta pertenecen a L2, C1, C2, y K son ciertas constantes independientes de h y . Un

paso esencial del anlisis es probar que div U puede ser ms grande que K solamente en

una pequea parte del dominio. Como resultado de la presencia de un factor r diferente

de cero y un factor 12 C= no interfiere con la exactitud global de L2.

Hay que notar que la dificultad en el error del anlisis es el hecho de que debe

ser arbitrariamente pequeo y por esto el trmino de difusin no puede ser utilizado

como un control en los trminos de conveccin. Si ( )1 = , por lo tanto escogiendo

21 Ch= se puede probar, por ejemplo, que el estimado de H

1 es de orden ( )h para las

velocidades. En esta seccin se presenta un ejemplo con resultados numricos de la Eq.

(3.12). La calidad de este resultado indica una buena exactitud y estabilidad de que el

mtodo puede ser usado para flujos complicados en tres dimensiones.

Figura 3.4 Mapa de la malla sobre las presiones y fronteras

34

Figura 3.5 Discretizacin de Espacio-Tiempo (Ref. [6])

Figura 3.6 Mtodo de difusin del perfil aerodinmico adaptable (Ref. [6])

35

Figura 3.7 Error actual y estimado del L2 (Ref. [6])

3.4.2 Ejemplo

A continuacin se muestra un ejemplo que se resuelve mediante el mtodo de

elementos finitos utilizado en Fluidos, utilizando las ecuaciones de Euler para observar

su aplicacin en este mtodo. En esta seccin presentamos una solucin breve de

algunos experimentos utilizando el mtodo de difusin del perfil aerodinmico, la Fig.

(3.8) muestra las mallas generadas por el algoritmo, durante el proceso y el nivel de

curvas de las soluciones correspondientes, junto con la parte de la superficie de la

solucin aproximada en la malla final. Tambin se proporcionaron el valor estimado y

actual de errores L2 a travs de una estimacin en las diferentes mallas.

36

Figura 3.8 Problema para las ecuaciones de Euler (Ref. [6])

37

Figura 3.9 Flujo alrededor de un cilindro; dominio, malla,

perfil aerodinmico, y presin (Ref. [6])

38

3.5 Clculo del Flujo Inestable e Incompresible por el Mtodo de Elementos Finitos

3.5.1 Formulacin de las Funciones de Velocidad-Presin

En este mtodo de velocidad-presin para la formulacin de las funciones se usa

el mtodo de de streamline-upwind/Petrov-Galerkin (SUPG) para prevenir las

oscilaciones que pueden aparecer.

En la formulacin de un solo paso, la velocidad es tratada explcitamente en la

ecuacin de momento. En el contexto del procedimiento de una solucin incremental

por la eliminacin del incremento de la aceleracin entre el momento discreto y

ecuaciones de continuidad se puede obtener la ecuacin de incremento de la presin,

esta ecuacin puede verse como una ecuacin discreta de Poisson. Si la presin es

interpolada con funciones constantes, entonces el coeficiente de la matriz de la ecuacin

de incremento de la presin es simtrica y positiva, sin embargo, si la funcin es de un

orden mayor entonces, por el trmino del SUPG, no podemos esperar que la matriz sea

simtrica.

La formulacin del T3, que es un mtodo de tres pasos, empieza con un esquema

en el que la presin y la viscosidad son tratadas implcitamente en el primer y el tercer

paso mientras el trmino de conveccin es tratado implcitamente en el segundo paso.

Usamos el SUPG solamente en el segundo paso, en la actual implementacin el primer

y tercer paso son resueltos por un proceso similar al descrito en el de formulacin de un

paso. En este caso el coeficiente de la matriz de la ecuacin del incremento de la presin

39

es simtrico y positivo, independientemente del tipo de funcin utilizada para la

interpolacin.

La formulacin del T6 es una extensin del esquema del T3, en esta formulacin

el segundo paso es subdivido en dos pasos mas para aislar los trminos de conveccin.

El primer y tercer paso pueden ser subdivididos en otros paso si los subpasos Stokes

necesitan ser tratados en un modo especial. En cualquier caso la matriz de la ecuacin

del incremento de la presin es nuevamente simtrica y positiva.

El nuevo multipaso para el mtodo de velocidad-presin es una versin de la

formulacin del T6 y est basado en funciones bilineales para la velocidad y la presin.

Dejemos que y (0,T) denoten los dominios espaciales y temporales con x y t

representando las coordenadas asociadas con y (0,T). El lmite de del dominio

puede que envuelva muchos lmites internos.

Ecuaciones de Stokes:

(3.13)

(3.14)

donde y u son la densidad y la velocidad y es la tensin superficial

( )upI 2+= (3.15)

con

( ) ( )2

Tuuu

+= (3.16)

( )

( )Tenu

Tenuut

u

,00

,00

=

=

+

40

Aqu p y representan la presin y la viscosidad, mientras que I denota la

densidad de la tensin. Los dos tipos de condiciones de frontera de Dirichlet y Neumann

son tomadas en consideracin.

(3.17)

(3.18)

donde g y h son complementos .

3.5.2 Discretizacin Espacial y Temporal

Dejemos que denote los resultados de una serie de elementos obtenidos de la

discretizacin de elementos finitos del dominio dentro de los subdominios e, e = 1,

2, ., ne1, donde ne1 es el nmero de elementos. Asociamos a los espacios de

dimensionales finitos H1h y H0h, donde H1h y H0h representan piezas bilineales y

funciones de espacios constantes de elementos finitos. Las funciones de espacios estn

dadas como

(3.19) (3.20) (3.21)

donde nsd es el nmero de espacios dimensionales.

h

g

enhn

engu

=

=

( ){ }( ){ }

{ }hhpupg

hnhhhhu

ghhnhhhh

u

HqqVS

enwHwwV

enguHuuS

sd

sd

0

1

1

|

0,|

,|

==

==

==

41

3.5.3 Ejemplo de un Flujo que Pasa por un Cilindro Circular

En este problema, se usan tres iteraciones en la formulacin explcita del T6. Las

dimensiones del dominio son normalizadas por el dimetro del cilindro, que son 30.5 y

16.0 en direccin del flujo y contra-flujo, respectivamente. Fig. (3.10) se muestran

varias mallas empleadas para este ejemplo. La malla A consiste de 1310 elementos y

1365 nodos, alrededor del cilindro hay 29 elementos en direccin radial y 40 elementos

en la direccin de la circunferencia. La malla B consiste de 5220 elementos y 5329

nodos con 58 y 80 elementos en la direccin radial y de la circunferencia. La malla C

contiene 19,836 elementos y 20,046 nodos con 116 y 156 elementos en la direccin

radial y de la circunferencia.

Figura 3.10 Flujo que pasa por un cilindro circular (Ref. [6])

42

Figura 3.11 Flujo que pasa por un cilindro circular con un nmero de Reynolds de 100,

coeficiente de presin (Cp), coeficiente de arrastre (Cd), erticidad de pared (ww)

y ngulo de separacin (s) (Ref. [6])

43

Figura 3.12 Flujo que pasa por un cilindro circular con varios

nmeros de Reynolds (Ref. [6])

44

3.6 Mtodo de Elementos Finitos para Flujos Viscosos Incompresible en Tres

Dimensiones

3.6.1 Formulacin de la Velocidad-Presin

Generalmente, el mejor modo de describir el flujo laminar de un fluido viscoso

incompresible es escribir las ecuaciones de Navier-Stokes en trminos de las variables u

y p. Para propsitos de ingeniera las variables proveen en general la informacin ms

til del flujo. En algunas aplicaciones u es parcialmente descrita por . Pero si

existiera una porcin en donde u es desconocida, entonces las siguientes

condiciones de frontera son aplicadas

( ) = enpnnuv 02

donde (u) es el gradiente simtrico de velocidad definido por

( )[ ] 32,12

1onnji

x

u

x

uu

i

j

j

iij =

+

= (3.22)

3.7 Generacin de Malla y Adaptacin

Se utiliza una filosofa similar para la generacin y adaptacin de malla tanto

para dos y tres dimensiones. En tres dimensiones la generacin de la malla inicial de la

forma deseada es alcanzada primeramente triangulando las superficies lmites del

dominio. Cualquier pared slida es expandida en direccin de la normal, y el espacio

entre el lmite expandido y las fronteras son llenados con elementos.

45

Los prismas triangulares formados entre el lmite expandido y las fronteras de la

pared slida, conectando los puntos correspondientes en las dos superficies, son

subdivididos en tetradricas, produciendo una malla que es estructurada en la direccin

de la normal. Los nodos son colocados en una progresin geomtrica en la direccin de

la normal, de acuerdo a la especificacin del espaciamiento. La aplicacin de este

proceso en dos dimensiones es mostrada en la Fig. (3.13).

Figura 3.13 Construccin de malla cerca del lmite de frontera (X-X).

(a) Lmite expandido (Y-Y).

(b) Adicin de la regin de la malla estructurada (Ref. [8])

46

Cuando la solucin ha avanzado hacia el estado estable de esta reja, una nueva

puede ser producida para el problema aplicando las ideas de malla adaptable. Como esta

aproximacin no es empleada para regiones viscosas delgadas, la regeneracin de la

malla es aplicada inicialmente en la regin entre el lmite expandido y las fronteras. Esta

regeneracin es realizada usando parmetros de distribucin de la malla obtenida de

acuerdo con el indicador de error direccional basado en calcular la segunda derivada de

la densidad.

La superficie de la malla en el lmite expandido es proyectada en el lmite fsico

y los prismas triangulares formados son subdivididos en tetraedros como antes. Como la

reja estructurada es hecha para usarse donde los efectos de la viscosidad son

importantes, el grosor de la regin estructurada e modificada con cada adaptacin. Esto

se logra examinando la magnitud de los flujos viscosos en la malla anterior y usando

esta informacin para estimar el grosor de la viscosidad. El proceso de esta aplicacin

de adaptacin de rejas en la solucin de problemas de dos dimensiones es mostrado en

la Fig. (3. 14).

47

Figura 3.14 Adaptacin de la malla cerca del lmite de la pared slida (X-X). (a) Detalle de

la primera malla. (b) Detalle de la generacin de la malla adaptable sin estructurar

en la regin fuera del lmite expandido (Z-Z). (c) Adicin de la regin

de la malla estructurada (Ref. [8])