87

7 ALGORITMI I SISTEMI UPRAVLJANJA

7.1. UVODNA RAZMATRANJA U POGLAVLJU 2, na slici 2.6 data je opšta strukturna šema SAU. Pri tome, detaljno je predstavljeno kako se formira signal upravljanja koji generiše blok, "ALGORITAM UPRAVLJANJA". U POGLAVLJU 4, slika 4.1, data je blok šema digitalnog SAU. Algoritam upravljanja realizuje se u bloku "DIGITALNI RAČUNAR". Osnovna namjena bloka "ALGORITAM UPRAVLJANJA" sa slike 2.6 i bloka "DIGITALNI RAČUNAR" sa slike 4.1 je da na osnovi ulaznih veličina formira odgovarajući upravljački signala u cilju ostvarivanja strategije upravljanja, tj. željenog dinamičkog kretanja objekta ili procesa upravljanja. Uprošćena predstava SAU sa slike 4.1 data je na slici 7.1 gdje su dati samo osnovni elementi SAU u zatvorenoj konturi. Pri tome, jasno je šta je sve ušlo u blok-upravljačku strukturu.

Slika 7.1 Uprošćena šema SAU

U upravljačku strukturu uključenje zakon upravljanja, tj. zakon formiranja upravljanja u na osnovi svih ulaznih varijabli. Fundamentalni korak u određivanju upravljanja je određivanje dovoljno tačnog matematičkog modela upravljanog procesa i svih ostalih komponenti SAU. U ovom POGLAVLJU biće govora o sintezi zakona upravljanja, tj. algoritama upravljanja kao i načinima kako se oni realizuju.

7.2. KLASIFIKACIJA ALGORITAMA UPRAVLJANJA Postoje razni kriteriji za klasifikaciju algoritama upravljanja. U ovoj knjizi, klasifikacija će biti izvršena u odnosu na prirodu obrade raznih signala s ciljem da se dobije upravljački signal. Svi algoritmi mogu se, u tom slučaju, svrstati u dvije grupe; analogni i digitalni algoritmi upravljanja, unutar kojih se onda mogu vršiti dalje podjele.

7.2.1. Analogni algoritmi upravljanja Istorijski gledano, analogni algoritmi su se prvi pojavili u tehničkoj praksi realizacije SAU, prvo kroz pneumatske, a potom kroz elektronske sisteme. Analogni algoritmi mogu se, dalje, podijeliti na dvije osnovne grupe: linearni i nelinearni što zavisi od zakona preslikavanja, vidjeti na slici 2.5.

( )u f e= (7.1) Ako je zakon preslikavanja f(.) - linearna funkcija onda se radi o linearnim algoritmima, a ako je f(.) - nelinearna funkcija onda se radi o nelinearnim algoritmima.

7.2.1.1. Linearni algoritmi upravljanja 1. PROPORCIONALNI ZAKON UPRAVLJANJA

Ako je upravljanje u dato izrazom

88

Pu = K e (7.2) gdje je KP - pojačanje, onda se radi o proporcionalnom zakonu upravljanja ili P-zakonu. Uređaj koji ostvaruje takvo upravljanje, naziva se proporcionalni regulator ili P - regulator. Nekada se pojačanje P - regulatora izražava u vidu

1 100pp

P %K

= (7.3)

i naziva se proporcionalno područje. Funkcija prenosa P - regulatora je

R PG (s)=K (7.4)

2. PROPORCIONALNO-INTEGRALNI ZAKON UPRAVLJANJA

Kada je upravljanje u(t) dato izrazom

0

t

P Iu K e K edt⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (7.5)

onda se govori o proporcionalno-integralnom zakonu upravljanja, a uređaj koji ostvaruje taj zakon zove se PI regulator. Funkcija prenosa PI - regulatora dobija se uzimanjem Laplasove transformacije izraza (7.5) uz nulte početne uslove, tj.

( ) 1 11R PP I

G s KK K s

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (7.6)

gdje je: KP - pojačanje PI - regulatora,

PI

I

KTK

= - integralno vrijeme PI - regulatora.

Odziv PI - regulatora na jediničnu step funkciju dat je na slici 7.2. Na osnovi ovog odziva, kada je KP = 1, može se grafički odrediti integralno vrijeme TI. Parametri Kp i TI su stepeni slobode PI regulatora i služe za podešavanje PI - regulatora prema dinamici objekta.

Slika 7.2 Odziv PI - regulatora na jedinični step: Kp = 1

3. PROPRCIONALNI – INTEGRALNI-DIFERENCIJALNI ZAKON UPRAVLJANJA

Kod ovog algoritma, upravljanje u(t) dato je izrazom

0

t

P I Ddeu K e K edt Kdt

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ (7.7)

Funkcija prenosa je

( ) 11R P DI

G s K T sT s

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

89

gdje je: KP - pojačanje PID - regulatora, TI = KP/KI - integralno vrijeme, TD = KD/KP - diferencijalno vrijeme. Funkcija prenosa realnog PID - regulatora koja se najčešće susreće u tehničkoj praksi data je izrazom:

( ) 111

DR P

I D

T sG s KT s T s / N

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥+⎣ ⎦

(7.8)

Iz izraza (7.8) vidi se da D - član, derivativna komponenta, ima jedan pol s = -N/TD, a funkcija prenosa

( )1

DR P

D

T sG s KT s / N

⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦

(7.9)

je funkcija prenosa realnog diferencijatora. N je obično (3-10) i određeno je od proizvođača regulatora. U literaturi je data funkcija prenosa tzv. realnog ili interaktivnog PID-regulatora

( ) ( )( )( )1 1 1

1

1 111R

F

K T s T sG s

T s T s⎡ ⎤+ +

= ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ (7.10)

gdje je: TF - vremenska konstanta niskopropusnog filtra. Analitičke veze između prametara PID - regulatora opisanog sa (7.10) su

1 21

1P

T TK KT+

= (7.11)

1 2IT T T= + (7.12)

1 2

1 2

T TTDT T−

=+

(7.13)

Konstanta filtra Tp obično je izražena kao Vremenski odziv PID - regulatora opisanog sa (7.8), kada se na ulazu ima jedinična step funkcija i za KP - 1, dat je na slici 7.3.

SI. 7.3 Odziv PID regulatora; N=3, Kp = 1

Danas u eksploataciji egzistira mnoštvo PID - regulatora koji su realizovani u analognoj tehnici korištenjem operacionih pojčavača. U osnovi ovi regulatori baziraju se na nezavisnom

90

formiranju P, I i D dejstva, a izlazni signal, upravljanje, formira se sumiranjem ovih dejstava. Blok šema PID-algoritma opisanog sa (7.8) dataje na slici 7.4.

7.4 Blok šema PID - regulatora; x_ - zadata vrijednost, y - varijabla stanja, regulisana

varijabla, u - upravljanje, v(t) - smetnja. Tipična uprošćena elektronska šema realnog PID-regulatora data je na slici 7.5. Opsezi parametara koji se susreću u tehničkoj praksi kod najpoznatijih proizvođača kreću se za: Pp = (1000%-2%)≡ Kp = (0.1-50), TI = (3-3000)s, TD =(0-1200)s. Ograničenja na ove parametre proističu prije svega iz kvaliteta operacionih pojačavača (veličina ulazne impedanse, veličina drifta, pojačanje, itd.) i kvaliteta pasivnih komponenti i njihovih gabarita (tgδ kod kondenzatora, veličina potenciometra, itd.). Funkcija prenosa za regulator sa slike 7.5 je:

( ) ( )( ) 0

111

DP

I

U s T sG s KE s T s T s

⎡ ⎤= = + +⎢ ⎥+⎣ ⎦

1 21 2

2

0 1IR RT PC ,

Rα α+

= < < -položaj potenciometra P1

4

2

0 1PCK , ,C

γ γ= < < položaj potenciometra P3

1 42

3

0 1DC CT P ,C

β β= < < , položaj P2

0 10 101T R C , R= - serijski otpor zbog neidealnosti C1

Al - operaciono pojačalo u difefencijalnom spoju, A4 - invertor sa pojačanjem 1, e = xzad-x - greška, regulaciono odstrupanje.

Sl. 7.5 Elektronska šema PID-regulatora

91

4. KALMAN-OV REGULATOR ZA UPRAVLJANJE MULTIVARIJABILNOG SISTEMA

Razmatra se multivarijabilni proces opisan jednačinom x=Ax + Bu (7.14)

gdje je: x(t) -n - dimenzionalni vektor stanja procesa, A - nxn - dimenzionalna matrica procesa, u - m - dimenzionalni vektor upravljanja, B - nxm - dimenzionalna matrica upravljanja. Potrebno je odrediti pojačanje K vektora upravljanja

u(t) = -Kx(t) (7.15) ako da se minimizira indeks peformanse

( )0

T TJ x Qx u Ru dt∞

= +∫ (7.16)

gdje je: Q- pozitivno-defmitina ili pozitivno-semidefmitna, a R - pozitivno-definitna realna simetrična matrica.

Izraz uTRu u (7.16) predstavlja mjeru utroška energije upravljačkog dejstva, a izraz xTQx predstavlja mjeru energije koordinata stanja. Matrice Q i R određuju relativnu važnost greške i utroška energije. U ovom problemu, smatra se daje vektor u(t) neograničen, što nikada u praksi nije slučaj. Uvrštavajući izraz (7.15) u (7.14), dobija se

( )x Ax BKx A BK x= − = − (7.17) Pretpostavljajući da je matrica (A-BK) stabilna, tj. da ima sopstvene vrijednosti sa negativnim realnim djelovima. Zamjenjujući (7.15) u (7.16)dobija se:

( ) ( )0 0

T T T T TJ x Qx x K RKx dt x Q K RK xdt∞ ∞

= + = +∫ ∫ (7.18)

Polazeći od toga da se funkcija Ljapunova može upotrijebiti za rješavanje ovog problema, neka bude predpostavljeno da je

( ) ( )T T Tdx Q K QK x x Pxdt

+ = − (7.19)

gdje je: P - pozitivno-definitna realna simetrična matrica. Tada se dobija da je

( ) ( ) ( )( )TT T T T Tx Q K QK x x Px x Px x A BK P P A BK x+ = − − = − + − (7.20)

Upoređujući obe strane ove jednačme te da ona vrijedi za svako x, neophodno je da važi

( ) ( )( ) ( )T TA BK P P A BK Q K QK− + − = − + (7.21)

Obzirom na karakter matrice R, ova se može napisati u vidu

TR T T= (7.22) gdje je: T - nesingularna matrica. Jednačina (7.21) može biti napisana u vidu

T T T T T(A - K B )P + P(A - BK) + Q+ K T TK = 0 (7.22) ili nakon rearanžiranja

92

( ) ( )( )T-1 -1T T T T T -1 TA P+ PA + TK- T B P TK- T B P -PBR B P+Q= 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.23)

Da bi J bio minimalan po K, neophodno je minimizirati izraz

( ) ( )( )T-1 -1T T T T Tx TK- T B P TK- T B P x ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.24)

Budući da su sve vrijednosti nenegativne, minimum se ima kada je

( )-1T TTK- T B P=0 (7.25) ili za vrijednost

( )-1-1 T T -1 TK=T T B P=R B R (7.26) koja je optimalna. Matrica P iz (7.26) mora zadovoljiti jednačinu (7.21) ili sljedeću redukovanu jednačinu,

1 0T TA P PA PBR B P Q−+ − + = (7.27) Posljednja jednačina naziva se redukovana matrična Riccatijeva jednačina. Prema tome, projektovanje optimalnog zakona upravljanja sadrži dvije etape: 1. Iz jednačine (7.27) odrediti P, a onda 2. Na osnovi P, odrediti matricu K iz (7.26). Upravljanje u(t) = -Kx(t) je tada optimalno i ono minirnizira indeks performanse J. Kod sistema višeg reda, zahtjev da je A-BK stabilna matrica zamjenjuje se sa zahtjevom da je rang matrica

( ) 1NT T T T Trank S S A S .... A S n−⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.28)

gdje je STS=Q (7.29)

što je jednostavnije provjeriti. Zakon upravljanja dobijen kao u=-Kx zove se Kalman-ov regulator. Postoje mnoge druge varijante ovoga regulatora kao što je ona za linearne nestacionarne sisteme, kada je gornja granica intervala u indeksu performanse umjesto beskonačna, konačna, itd. Pored ovoga, postoji i Kalman-ov regulator sa zadatom eksponencijalnom stabilnošću kao i razne varijante upravljačkih algoritama koje minimiziraju kvadratni indeks perfomanse.

7.2.1.2. Nelinearni algoritmi upravljanja Elementi sa nelinearnim statičkim karakteristikama egzistiraju podjednako i u procesima upravljanja kao i u SAU. Dok su u procesima neminovni, ali većinom nepoželjni, upotreba nelinearnih elemenata u upravljačkim strukturama nekada je ekonomski veoma opravdana, a tehnički zadovoljavajuća. Npr. tcrmostat kao dvopoložajni regulator, jednostavniji je i jeftiniji od PID regulatora i ima procesa gdje je njegovo korištenje opravdano. Najinteresantniji aspekt nelinearnih upravljačkih elemenata je njihovo uvođenje u konturu upravljanja s ciljem da se poboljšaju performanse SAU. Jedna od prepreka njihove upotrebe je poteškoća egzaktne analize takvih kontura upravljanja. U konturama upravljanja, susreću se obično tri bazična oblika nelinearnosti: procesne nelinearnosti kao što je pH kriva; diskontinualne nelinearnosti tipa zasićenja, zone neosjetljivosti ili histereze, i dinamičke nelinearnosti koje zavise npr. od nivoa signala. Nelinearni algoritmi upravljanja kod sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom opisani su relacijom

u =f(e) (7.30) gdje je f(.) - nelinearna funkcija. Ako je f(.) neprekidna, onda se govori o kontinualnim nelinearnim algorimima tj. regulatorima, a ako je f(.) diskontinualna, prekidna, funkcija, tada

93

se govori o diskontinualnim ili relejnim algoritmima.

1. KONTINUALNI NELINEARNI ALGORITMI UPRAVLJANJA Kod ovih algoritama zakon preslikavanja ulaza u izlaz tj. f(.) je nelinearna. Sinteza ovih algoritama obično se vrši simulacionim metodama iz više pokušaja, a rjeđe analitičkim putem. U literaturi i tehničkoj praksi, susreće se veliki broj ovih algoritama. Jedan kontinualni nelinearni algoritam upravljan dat je kao:,

( ) ( )0

1 t

PI

u t k f e e edtT

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ (7.31)

gdje je pojačanje K = ( )Pk f e i varira sa apsolutnom vrijednošću greške e. Pri tome kP =

const., a ( ) ( )1f e e , constβ β β= + + =

Ako je β = 1, regulator je linearan, a ako je β = 0, ( )f e e= , upravljanje ima kvadratnu zakonitost, što je nepovoljno kod malih signala greške. Karakteristika ovoga regulatora je da njegovo pojačanje zavisi od greške. Veća greška znači veće pojačanje, veće pojačanje vodi redukciji greške. U slučaju kada je proces upravljanja sa promjenljivom dinamikom kao što je npr. izmjenjivač toplote, posmatran kao jednokapacitivan proces čiji parametri su inverzne funkcije protoka, koji se javlja kao smetnja, tada se koristi PID regulator sa parametrima koji su funkcije protoka

( ) 100 D

P I

Tf f deu t e edtP T f dt

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ (7.32)

gdje su, ( ) ( )P P I I D DP (f)=P /f, T f =T /f, T f T / f= - promenljivi parametri regulatora PP, TI, TD odgovarajuće konstante, a f protok kroz izmjenjivač od koga zavise parametri izmjenjivača. Naime, kod izmjenjivača toplote pojačanje procesa varira inverzno sa protokom, pa odatle i proporcionalno područje nelinearnog regulatora inverzno varira sa protokom. Slično je i sa integralnim i derivatnim vremenima

2. DISKONTINUALNI RELEJNI REGULATORI

a. Dvopoložajni regulator, on-off regulator

Dvopoložajni ili dvopozicioni regulatori, najjednostavniji su regulatori koji se koriste u industrijskim primjenama. Algoritam njihovog djelovanja svodi se na uključivanje ili isključivanje toka energije prema objektu. Pri regulisanju temperature električne peći, dvopozicioni regulator uključuje ili isključuje grijače peći, čime reguliše temperaturu peći, a time i prostora u kojem se nalazi peć. Zakon upravljanja određenje sa

1

2

00

m ,eu

m ,e+ >⎧

= ⎨− ≤⎩ (7.33)

Ovaj algoritam može biti podesan u primjenama gdje su velike vremenske konstante objekata, a koji mogu da trpe prekide u upravljanju (termičke peći npr.). Algoritam je veoma jednostavan, i što je najvažnije, zahtjeva samo on-off aktuator. tj. izvršni organ koji je mnogo jefitiniji od kontinualnog aktuatora. Druga prednost algoritma je da se može koristiti za upravljanje objekata sa nepoznatim parametrima.

94

Kada je u pitanju upravljanje temperature, onda algoritam (7.33) degeneriše u

00 0m ,e

u,e>⎧

= ⎨ ≤⎩ (7.34)

Algoritmi opisani sa (7.33) i (7.34) imaju, s druge strane, nedostatak jer je broj uključivanja i isključivanja izvršnog organa veoma veliki, teorijski beskonačan. Radi toga se koriste dvopozicioni algoritmi sa histerezisom, slika 7.6.

Sl. 7.6 Statička karakteristika dvopozicionog regulatora sa histerezisom

( )( )

1

2

00

m sign e H ,eu

m sign e H ,e⎧ − >⎪= ⎨− + ≤⎪⎩

(7.35)

gdje je: 2H - veličina histerezisa. Savremeni dvopozicioni regulatori tako su projektovani da je

2 0 01H . e< (7.36)

Veličina maksimalnog djelovanja na objekat, tj. izlaznu veličinu regulatora m1 ili m2, moguće je kod nekih regulatora stepenovati, što, međutim može doprinijeti kompleksnosti sistema. Kako dvopozicioni regulator u vezi s objektom ne može nikada dati stacionarno stanje, nego samo kvazistacionarno stanje, u cilju produženja životnog vijeka izvršnog organa (sklopnici, motori, itd.) uvodi se, na račun smanjene tačnosti regulacije, zona neosjetljivosti u statičku karakteristiku sa slike 7.6. Time se dobija regulator sa tri definisana stanja izvršnog organa -tropozicioni regulator sa statičkom karakteristikom, slika 7.7.

Sl. 7.7 Statička karakteristika tropozicionog regulatora

b) Dvopozicioni regulator sa dinamičkom povratnom spregom

Dvopoložajni regulatori, koji su danas u tehničkoj primjeni, imaju dinamičku povratnu spregu koja je realizovana kao pasivna RC mreža prvog ili drugog reda. Ovakav se regulator nekada naziva i širinsko-impulsni modulator. Blok šema ovog regulator data je na slici 7.8. Vremenski dijagrami dati su na slici 7.9.

95

Sl. 7.8 Dvopoložajni regulator sa povratnom spregom; p ≡ d/dt - diferencijalni operator

Izaz koji opisuje u1(t) na dijelu (l) je:

( ) ( ) ( )111 1 1

tTu km e H e e H

−⎛ ⎞⎡ ⎤= − − − + −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ (7.35)

a na dijelu (2) je

( ) ( ) ( )111 2 1

tTu km e H e e H

−⎛ ⎞⎡ ⎤= − + − + +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ (7.36)

Uzimajući u obzir granične uslove, tj. uslove koji definišu da je vrijednost

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 0u t T u t+ −= = = , dobijaju se vrijednosti za T+ i -T kako slijedi

( )( )

11

1

km e HT T ln

km e H+ − −=

− + (7.37)

( )( )

21

2

km e HT T ln

km e H− − +=

− − (7.38)

Sl. 7.9 Vremenski dijagram regulatora sa slike 7.7.

Nakon razvoja u red prethodnih izraza, po odgovarajućim članovima, ima se daje

( )( )1 2

11 2

2 m mT T T kHT lnkm e km e

+ − += + =

− + (7.39)

Za male vrijednosti e, period oscilovanja približno je srazmjeran histerezisu, vremenskoj konstanti T1 bloka u povratnoj sprezi, i nivoima zasićenja relejnog elementa. U praktičnim realizacijama je f = 1/T= (0.08-0.1)Hz, što odgovara (250-350) ciklusa/sat. Srednja vrijednost upravljačkog signala u(t) je

1 2T m T muT T

+ −

+ −

−=

+ (7.40)

96

ili nakon aproksimacije za malo H, i m1=m2=m je emu

km H=

− (7.41)

Ekvivalentno statičko, srednje, pojačanje je

1R

u mk HHe km kmm

= = =⎛ ⎞ −−⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.42)

Dalje, kako je u praksi H « mk, srednje pojačanje regulatora je 1

Rkk

≈ (7.43)

Do aproksimativnog regulatora moguće je doći i tako što će se relejni element u regulatoru sa slike 7.8 predstaviti kao na slici 7.10.

Sl. 7.10 Aproksimativna šema dvopoložajnog regulatora sa povratnom spregom

Zamjenjujući relejni element sa slike 7.10 sa kontinualnim pojačanjem k∞− →∞ , funkcija prenosa regulatora sa slike 7.10 data je izrazom

( ) ( )1

1

1 11

1

RkG p T pk k k

T p

∞

∞

−= = − +

++

(7.43)

Izraz (7.43) predstavlja funkciju "kvazi" PD-regulatora čije je pojačanje 1Rk k= , a

diferencijalno vrijeme T =T1 Obrada signala greške e približnija je PD zakonu obrade što je H manje. Prenoseći ovu analogiju, može se dobiti određena klasa funkcija prenosa, ako se umjesto bloka povratne sprege 1k /(T p +1) sintetizira blok sa funkcijom prenosa G(p), tada se za funkciju prenosa ima

( ) ( ) ( )1

1RkG p

k G p G p∞

∞

− −= =

+ (7.44)

Zadajući GR(p), može se dobiti G(p), i time sintetizovati određena klasa upravljačkih algoritama. Osnovni motiv za uvođenje dinamičke povratne sprege kod relejnog ON-OFF regulatora je taj, što je frekvencija uključivanja izvršnog organa skoro invarijantna u odnosu na vremensku konstantu i vrijeme kašnjenja objekta. Ovim može da se projektuje vijek izvršnog organa jer se može defmisati broj uključenja i isključenja regulatora. Kvazi PD - regulator kompenzira kašnjenje, što je povoljno kod regulisanja temperature, jer ovakav regulator posjeduje prediktivno dejstvo.

97

Kada se ovaj regulator koristi za regulaciju temperature, informacija o temperaturi, direktno se dovodi na ulaz od e, tj. prethodno se formira greška e nekim mosnim spojem, i direktno vodi u regulator.

c) Tropozicioni koračni regulator U SAU često se koristi izvršni organ sa elektromotorom konstantne brzine kojeg uključuje relej, a na relej djeluje tropozicioni regulator. Električni motor ima tri stanja: • okretanje naprijed, • mirovanje i • okretanje nazad. Kada se tropozicioni element obuhvati pogodnom dinamičkom spregom, on u sprezi s motorom kao izvršnim organom, obrazuje tropozicioni regulator sa ekvivalentnim PI dejstvom. Na slici 7.11 data je šema takvog regulatora.

Sl. 7.11 Tropozicioni regulator sa dinamičkom povratnom spregom

Na slici 7.11 prag prorade je xu, xu-xi=H - histerezis, a područje neosjetljivosti je na intervalu od -xi ÷ +xi. Povratna sprega se, kao i motor, uključuje preko kontakata releja. Obično, signal povratne sprege nije proporcionalan regulacionom odstupanju, nego se dobija iz jednog fiksnog izvora Ups . Ova povratna sprega naziva se pseudo-povratna sprega. Izlazni napon povratne sprege U pada ili raste prema sljedećem zakonu:

( ) ( )1 utpsi psU t U e τ−= − (7.45)

( ) itpsu psU t U e τ−= (7.46)

Ako se na ulazu u regulator pojavi konstantno regulaciono odstupanje e koje je veće od nivoa prorade xu, ali nije dovoljno veliko da izađe iz oblasti koju regulator još ne može regulisati, tj. xu <e<Ups + xi, tada regulator proradi i na ulazu se pojavi napon povratne sprege koji raste, a koji je suprotnog polariteta u odnosu na regulaciono odstupanje. Vremenski dijagram xe = xe(t) dat je na slici 7.12.

98

Sl. 7.12 Vremenski dijagram xe = xe(t)

Na osnovi poznate relacije za eksponencijalne pojave

( ) ( ) ( ) ( )0 ut

e e e ex t x x x e τ−

⎡ ⎤= ∞ + − ∞⎣ ⎦ (7.47) mogu se naći vremena tu1, tu2 i ti. Na osnovu ( ) ( )0e e psx e, x e U= ∞ = − i izraza (4.47), te ( )1e u ix t x= , za tu, dobija se

1ps

u ups i

Ut ln

U e xτ=

− − (7.48)

Dalje, kako je ( ) ( )0e i ex x , x e= ∞ = i ( )e i ux t x= za ti, dobija se

ii i

u

e xt lne x

τ −=

− (7.49)

gdje je: ti-vrijeme isključenosti regulatora. Polazeći dalje od uslova da je ( ) ( ) ( )20e u e ps e u ix x , x e U , x t x= ∞ = − = ima se

2ps u

u ups i

U e xt ln

U e xτ

− +=

− + (7.50)

Ako se uvde predpostavka da je u iτ τ τ= = , te da važi ln(l + z)~ z, dobija se da je

1i

ups i

e xtU e x

τ −≈

− + (trajanje prvog uključenja) (7.51)

iu

Hte x

τ=−

(trajanje pauze isključenja) (7.52)

2ups i

HtU e x

τ≈− +

(trajanje uključenja ostalih impulsa) (7.53)

Vremenski dijagram xe, u, y dat je na slici 7.13.

99

Sl. 7.13 Vremenski dijagram e, u i y(t) Na osnovu dijagrama sa slike 7.13 nije teško odrediti parametre ekvivalentnog PI regulatora

( ) 11RI

y t K tT

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.54)

gdje je: 1

2 2i u i

Iu

t t tTt

τ= − ≈ (7.55)

12

2 2 2

y yP

uu iu i

psu i u

eT eTP e xt tt t

U Ht t tτ

= ≈−⎛ ⎞

−⎜ ⎟ −+ ⎝ ⎠

(7.56)

gdje je Ty - vremenska konstanta motora kao integratora. Sa slike 7.13 takođe je moguće sračunati najmanji korak izvršnog organa

2a

uy

yy tT

= (7.57)

i srednju brzinu kretanja izvršnog organa

2

2

u asr

u i y

t yyVt t t T

= =+

gdje je ya = y(0) (7.58)

Maksimalna brzina izvršnog organa je

amax

y

yVT

=

100

7.2.2. Digitalni algoritami upravljanja Ovdje će biti razmatrano projektovanje digitalnih, diskretnih u vremenu, regulatora za upravljanje kontinualnih procesa. Projektovanje SAU može se odvijati u dvije etape:

1. dobijanje matematičkog opisa procesa/objekta koji treba da bude upravljan i 2. projektovanje/sinteza algoritma upravljanja tj. upravljačke strukture ili regulatora.

Za tipične industrijske probleme, napori neophodni za rješavanje zadatka definisanog pod (1) za red veličine su veći od napora potrebnih za rješavanje problema sinteze algoritama i strukture upravljanja. Na slici 7.14 dat je bazični organigram (putevi) za projektovanje digitalnih algoritama upravljanja.

Sl. 7.14 Bazični putevi projektovanja digitalnih regulatora

Postoje četiri osnovna puta za projektovanje digitalnih algoritama, slika 7.14. To su:

1. Modeliranje neprekidnog procesa da se dobije funkcija prenosa G(s), koja se zatim odgovarajućom transformacijom transformiše u G(z), a onda vrši sinteza digitalnog regulatora (algoritma),

2. Direktno modeliranje u diskretnom domenu i projektovanje digitalnog regulatora

(algoritma),

3. Modeliranje i procesa i regulatora, a onda njihova diskretizacija i

4. Projektovanje regulatora u domenu GR(w), w = w(z).

101

7.2.2.1 Alternativni načini za transformacije i aproksimacije Kontinualni analogni regulator opisan je funkcijom prenosa GR(s), slika 7.15. Ovaj problem interesantan je za primjenu kod analognih regulatora i digitalnih filtera. Aproksimacija može biti izvršena na više načina. Digitalna implementacija uključuje rekonstrukciju podataka, koja može biti obavljena na različite načine, npr. primjenom kola za rekonstrukciju nultog, prvog ili višeg reda. U ovom odjeljku biće date neke transformacije ili aproksimacione metode koje se najčešće susreću u praksi.

Sl. 7.15. Aproksimacija GR(s) digitalnim računarom

1. APROKSIMACIJA z-TRANSFORMACIJOM

Da bi se odredila diskretna funkcija prenosa GR(z) koja odgovara prenosnoj funkciji GR(s) potrebno je:

• odrediti vremensku funkciju koja odgovara funkciji GR(s) / s, • odrediti iz tablica z-transformacije odgovarajuću z-transformaciju, • dobijeni rezultat pomnožiti sa (1-z-1) čime se dobija impulsna funkcija prenosa

uključujući i kolo sa zadrškom nultog reda (ZOH-Zero-Order Hold).

Ovaj niz koraka može se predstaviti u obliku

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11 R

R

U z G sH z G z z Z L

E z s− −

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= = = − ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(7.59)

gdje L-1 označava operator inverzne Laplace-ove transformacije a Z je operator z-transformacije. Izlaz iz regulatora je u ovom slučaju interpoliran između trenutka odabiranja kolom sa zadrškom nultog reda. Ova metoda daje tačne vrijednosti izlaza u trenucima odabiranja, ako je ulaz u regulator konstantan tj. kada je ulaz sporopromjenljiv. Ovom prilikom treba upozoriti na sledeće činjenice. U digitalnim sistemima odbirci signala su digitalne riječi, odnosno vrijednosti signala e(t) u trenucima odabiranja, date u binarnom kodu i dobijene, na primjer, na izlazu nekog A/D konvertora. Signal takve prirode nije moguće dovesti na ulaz većine kontinualnih sistema koji se sreću u praksi digitalnih sistema automatskog upravljanja. Radi toga se takav digitalni signal najprije propušta kroz D/A konvertor koji se nalazi spred koatinualnog sistema. Tada se

102

D/A konvertor može smatrati kolom zadrške nultog reda i funkcijom prenosa ( )1 sTe / Ts−− . U tom smislu i treba posmatrati relaciju (7.59). Strogo govoreći funkcija diskretnog prenosa definiše se kao odnos kompleksnih likova U(z)/E(z) povorki uzoraka na izlazu i ulazu pri svim početnim uslovima jednakim nuli. Istovremeno ta funkcija defmisana je i kao z-transformacija ili z-kompleksni lik normalnog impulsnog odziva sistema

( ) ( ) ( )0

k

kG z Z g t g kT z

∞−

=

⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ∑

ili kao ( ) ( ){ }1G z Z L G s− ⎡ ⎤= ⎣ ⎦

gdje je: g(t) - impulsni odziv sistema, L-1- inverzni Laplas-ov operator.

2. APROKSIMACIJA DIFERENCIRANJEM

Neka je dpdt

≡ - operator diferenciranja. Na osnovi funkcije prenosa GR(z) može se dobiti

diferencijalna jednačina koja se onda može aproksimirati na osnovi zamjene daje u opštem vidu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1dx t x t T x t qpx t x tdt T T

+ − −= ≈ = (7.60)

ili

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1dx t x t x t t qpx t x tdt T qT

− − −= ≈ = (7.60a)

gdje je izraz (7.60) označava diferenciranje unaprijed, a izraz (7.60a) diferenciranje unazad. Operator q naziva se operator pomaka unaprijed. On ima osobinu da je

qf(k)=f(k+1) (7.61) gdjesu svi signali f(k) razmatrani kao dvostruki beskonačni niz ( ){ }1 0 1f k k ..., , , ...= − Ovdje je radi konvencije odabrano daje period odabiranja T=1. Ako je norma signala definisana kao

( ) ( )k

f k sup f k= (7.62)

ili

( ) ( )2

kf k f k

∞

=−∞

= ∑ (7.63)

to slijedi da operator pomaka ima jediničnu normu. Ovo znači da je račun sa operatorima pomaka jednostavniji od diferencijalnog računa, radi toga što je diferencijalni operator neograničen. Inverzni operator operatora pomaka unaprijed zove se operator pomaka unazad i označava se sa q-l. Odatle je

( ) ( )1 1q f k f k− = − (7.64) Formalno gledano, u relacijama (7.60) i (7.61) operator s zamijenjen je sa (z-1)/T ili (z-1)/zT, respektivno.

103

Koristeći metode numeričkog diferenciranja za prvi i drugi izvod može se napisati da je:

( ) ( )1x k x kdx xdt T

+ −= ≈ (diferenciranje unaprijed) (7.65)

( ) ( )1x k x kdx xdt T

− −= ≈ (diferenciranje unazad) (7.66)

( ) ( )1 12

x k x kdx xdt T

+ − −= ≈ (centralno diferenciranje) (7.77)

ili respektivno za drugi izvod ima se:

( ) ( ) ( )2

2 2 1x k x k x kx

T+ − + +

≈ (7.68)

( ) ( ) ( )2

2 1 2x k x k x kx

T− − + −

≈ (7.69)

( ) ( ) ( )2

1 2 1x k x k x kx

T+ − + −

≈ (7.70)

U svim ovim izrazima formalno je k ≡ kT radi skraćenog pisanja, tj. x(k) znači vrijednost funkcije x(kT). Na sličan način mogu se dobiti i izvodi višeg reda.

3. APROKSIMACIJE RAZVOJEM U RED Diferentne aproksimacije koje odgovaraju razvoju u red su

sTz = e 1 + sT≈ (Euler-ova metoda) (7.71) i

sT 1z = e 1 - sT

≈ (Diferenciranje unazad) (7.72)

Druga aproksimacija koja odgovara trapeznom pravilu numeričke integracije glasi

sT 1+sT/2z = e 1-sT/2

≈ (Trapezno pravilo) (7.72)

U teoriji digitalnih sistema, aproksimacija (7.72) naziva se bilinearna transformacija ili Tustin-ova aproksimacija. Upotrebom gornjih aproksimacija, impulsna funkcija prenosa regulatora GR(z), dobija se jednostavnom zamjenom argumenta s u GR(s) sa s gdje je

1zsT−

= (Euler-ova metoda) (7.73)

1zszT−

= (diferenciranje unazad) (7.74)

2 11

zsT z

−=

+(Tustin-ova aproksimacija) (7.75)

Do relacije (7.73) dolazi se primjenom pravougaonog metoda numeričke integracije.

104

Do relacije (7.75) dolazi se primjenom metode trapezne integracije ili uzimanjem samo prvog člana razvoja u red funkcije z = esT, tj.

( )( )

3

3

11 2 11 3 1

zzs ln z ...T T z z

⎡ ⎤−−= ≈ + +⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦ (7.76)

Prvi član reda (7.76) je 2 11

zsT z

−=

+ što je izraz definisan sa (7.75).

Ova metoda veoma je laka za primjenu čak i korištenjem ručnih metoda. Aproksimacija (7.75) ima tu prednost da je lijeva poluravan ravni {s} preslikana u jedinični krug u ravni {z}. Primjenom (7.73) ista oblast preslikava se u Re{z} < 1. Odatle slijedi da će Tustin-ova aproksimacija, kada se primjeni na stabilan kontinualni sistem, dati stabilan diskretni sistem, dok to neće biti slučaj sa Euler-ovom transformacijom. U suštini, problem transformacije, tj. aproksimacije, je problem izobličenja frekventne skale. Ovo se naročito ističe kod projektovanja odgovarajućih filtera, gdje dolazi do pomaka propusnog opsega. Ovaj efekat zove se frekventno izobličenje. Neka bude razmotrena Tustin-ova aproksimacija. Argument je dat kao

2 1 21 2

j t

j t

e j Targ tgT e T

ω

ω

ω⎛ ⎞− ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (7.77)

Ako je GR(jω) = 0, tada će H(z) = GR(z) imati nulu za ω', pa se ima da je

22

j Tj tgT

ωω′⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.78)

odakle se dobija da je 2

1 12 2T Ttg ω ωω ω− ⎛ ⎞⎛ ⎞′ = ≈ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (7.79)

Na slici 7.16 dat je dijagram ω' = f(ω) - frekventna distorzija koja je rezultat Tustin-ove aproksimacije.

Sl. 7.16 Distorzija frekvencije usljed Tustin-ove aproksimacije

Na osnovu izloženog modifikovanja Tustin-ova aproksimacija koja ne uvodi distorziju na frekvenciji ω1 je

( )1

1

12 1

zstg T z

ωω

−=

+ (7.80)

105

7.2.2.2 Digitalni PID-algoritmi Polazeći od metoda numeričkog integriranja i diferenciranja može se doći do odgovarajuće diferentne jednačine koja opisuje svaki regulator, tj. daje upravljačko dejstvo u funkciji ulaza.

1. IDEALNI PID-REGULATOR Polazeći od izraza (7.8), dobija se da je

( ) ( ) ( ) ( )0

t

P I D

de tu t K e t K e t dt K

dt⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (7.81)

Prelazeći na diferentnu jednačinu i, radi jednostavne notacije, stavljajući da je kT ≡ k, ima se da je

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1k

P DiI

e k e kTu k K e k e i TT T=

⎡ ⎤− −= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (7.82)

Algoritam upravljanja definisan sa (7.82) zove se pozicioni. Pri tome, zanemarena je srednja vrijednost pozicije izvršnog organa tj. upravljanja koja se obično označava sa um. Kada um≠0, tada se izraz (7.82) može napisati u vidu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1k

P D miI

e k e kTu k K e k e i T uT T=

⎡ ⎤− −= + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (7.83)

Da se odredi prirast upravljanja Δu(k)=u(k)-u(k-1), najprije treba odrediti u(k-1),

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0

1 21 1

k

P D miI

e k e kTu k K e k e i T uT T

−

=

⎡ ⎤− − −− = − + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (7.84)

Nakon oduzimanja (7.84) od (7.83), dobija se da je

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1

1 2 1 2P DI

u k u k u k

TK e k e k e k T e k e k e kT

Δ = − − =

⎡ ⎤= − − + + − − + −⎢ ⎥

⎣ ⎦

(7.85)

Na osnovi ovoga i u(k-1) može se uvijek sračunati u(k)

( ) ( ) ( )1u k u k u k= − + Δ

Algoritam opisan sa (7.85) naziva se brzinski ili inkrementalni. On ima prednost da je nestala srednja vrijednost upravljanja (izvršnog organa), operator ne treba da vrši incicijalizaciju kada regulator startuje, podešavajući ručno položaj izvršnog organa. Druga prednost je da nema sumiranja od i = 0 do i = k.

2. REALNI PID-REGULATOR

U mnogim aplikacijama, dovoljno je upotrijebiti standardni PID-regulator. U ovoj sekciji, biće diskutovani razni načini primjene digitalnih regulatora, zajedno sa nekim operacionim aspektima. Standardna predstava kontinualnog regulatora opisanog u s domenu, data je sa

( ) ( )111

DP

I D

T sU s K E sT s T s / N

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

(7.86)

106

U regulatoru egzistira filter derivacijskog člana, dejstva, sa vremenskom konstantom TD/N. N je obično u opsegu 3-10, što zavisi od proizvođača regulatora. Koristeći metod direktnog odabiranja i operator pomaka unaprijed q, dobija se da je na osnovi (7.86)

( ) ( )( ) ( )1

11P

qu kT K e kT

q qβα⎡ ⎤−

= + +⎢ ⎥− + Γ⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.87)

gdje je

I D

T TN, N , expT T

α β⎡ ⎤−

= = Γ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

Moguće je aproksimirati PID-regulator upotrebom drugih metoda datih u dijelu 7.2.2.1. Najčešći način u tehničkoj praksi je da se uzme Euler-ova aproksimacija integralnog člana, a da se derivacioni član aproksimira primjenom diferenciranja unazad. To daje

( ) ( )( )( ) ( )1

11

DP

I D D D

qTTu kT K e kTT q T T / N q T / NT T

⎛ ⎞−= + +⎜ ⎟⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠

(7.88)

Obje aproksimacije (7.87) i (7.88) imaju istu principijelnu strukturu; postoji samo razlika u koeficijentima. Kada period odabiranja T pada, odzivi regulatora definisani sa (7.88) i (7.87) postaju sve bliži jedan drugome. Ako je derivacioni član aproksimiran korišćenjem diferenciranja unaprijed, tada će za T>2TD/N biti nestabilan; tj. nije moguće imati TD = 0. Međutim, derivacioni članovi stabilni su za sve moguće T. Ponekad se za aproksimaciju integralnog člana koristi diferenciranje unazad. Uobičajena forma pisanja, tj. notacija P, I i D člana je

( )( )

( )1

1D DDD

DID

K T qK TK , iT q T q

−− +Γ

respektivno, gdje su TID, i TDD diskretni ekvivalentni integralnog i derivacionog vremena. Parametri u digitalnom regulatoru istih su dimenzija kao i u kontinualnom. Uobičajena forma predstavljanja digitalnog PID-regulatora je otuda u obliku

( ) ( )( ) ( )1

11

DDD

ID

qTTu kT K e kTT q T q

⎛ ⎞−= + +⎜ ⎟⎜ ⎟− +Γ⎝ ⎠

(7.89)

Koeficijenti KD, TID i TDD zavise od tipa aproksimacije koja se koristi. Pri tome, što je T manji, razlika u koeficijentima će biti manja. Forme algoritama (7.87) - (7.89) zovu se pozicione forme PID-regulatora radi toga što se svaki put računa totalni izlaz. Kako je već rečeno, ako se računa samo promjena signala upravljanja, Δu(kT), onda se takav algoritam zove brzinski ili inkrementalni, koji se takođe može odrediti iz (7.89)

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 211

1

1 21

1DID

q qq Tu kT u kT u kT T K qT T q

− −−−

−

⎛ ⎞− −⎜ ⎟Δ = − − = + + +⎜ ⎟+ Γ⎝ ⎠

(7.90)

Kada se koristi brzinski algoritam, integrator je obično van regulatora. Npr. izlaz mogu biti impulsi koji se vode u step motor, koji je spojen na regulacioni ventil. Integralni dio je tada realizovan pomoću motora. Nedostatak inkrementalnog algoritma je da ne može da se primjeni na P ili PD-regulator. Ako se ovo dopusti, eksterni integrator mora biti kompenziran sa diferenciranjem u digitalnom dijelu regulatora. Ako se pak ovo učini, nestabilni mod može biti generisan, što može izazvati poteškoće.

107

3. NEKE TIPIČNE STRUKTURE PID-REGULATORA

Postoji više načina da se izmjeni struktura PID-regulatora opisanog sa (7.86). Slika 7.17 predstavlja razne PID-strukture, koje mogu biti korištene kao analogne i digitalne.

Sl. 7.17 Tipične strukture PID-regulatora

Razne strukture sa slike 7.17 mogu biti predstavljene strukturom opšteg oblika, slika 7.18.

Sl. 7.18 Opita struktura PID-regulatora; w - smetnja

Opšti oblik algoritma, slika 7.18, dat je relacijom ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zR q u kT T q x kT S q x kT= − (7.91)

gdje je ( ) ( )( )1R q q q= + Γ − a polinomi T i S zavise od struktura sa slike 7.17. Polinomi B(q) i A(q) definišu proces upravljanja. Izlaz x(kT) dat je relacijom

( ) ( ) ( )zTB ARx kT x kT w kt

AR BS AR BS= +

+ + (7.92)

7.2.2.3 Opšti oblici digitalnih algoritama upravljanja Opšti oblik linearnog diskretnog digitalnog regulatora opisan je funkcijom prenosa

( ) ( )( )

10 1

10 1

R

U z q q z ... q zG ze z p p z ... p z

νν

μμ

− −

− −

+ + += =

+ + + (7.93)

Ovaj algoritam može biti realizovan ako je p≠0. Takođe je moguće ν ≤ μ ili ν > μ Obično je kod ovakvih regulatora q≠0, a p0 se bira da bude 1. Pri tome, red polinoma u brojiocu i imeniocu izraza. (7.93) zavisi od reda objekta. Ako se želi da statička greška bude nula za datu promjenu xz, neophodno je da GR(z) ima jedan pol z = 1. Uz ovaj uslov, postoji oblik regulatora ν-tog reda koji ima funkciju prenosa

108

( ) ( )( )

10 1

11R

U zq q z ... q zG zz e z

νν

− −

−

+ + += =

− (7.94)

Ako je ν = 1, ima se PI regulator, ako je ν = 2 ima se PID regulator, a ako je ν = 3, radi se o PID2 regulator, itd. Na osnovu (7.94), može se dobiti diferentna jednačina

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 21 1 2u k u k q e k q e k q e k ... q e kν ν= − + + − + − + + − (7.95) Rearanžirajući izraz (7.85) i upoređujući ga sa (7.95), dobija se da su qν ,ν = 0, 1,2

0 1 DP

Tq KT

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.96)

1 1 2 D DP

I

T Tq KT T

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.97)

2D

PTq KT

= (7.98)

Ostali koeficijenti q3,q4,...qν, jednaki su nuli. Ako se primjeni metod aproksimacije korišćenjem trapeznog pravila integracije, dobija se da je

0 12

DP

I

TTq KT T

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.99)

1 1 22

D DP

I

T Tq KT T

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.100)

2D

PTq KT

= (7.101)