1

1. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja

U diskretnom postupku obrade i prenosa signala se najpre diskretizuje ili kvantuje po nivou i/ili po vremenu, pa se zatim obrauje i prenose samo diskretne (kvantovane) vrednosti signala. U procesu kvantovanja po nivou kontinualni signal se zamjenjuje sumom unapred zadatih vrednosti koje kontinualan signal dostie u proizvoljnim trenutcima (sl. 1.a). U kvantovanju po vremenu vremenski intervali (intervali odabiranja) se unapred fiksiraju, pa se zatim kontinualni signal u procesu kvantovanja zamenjuje povorkom diskretnih vrednosti (odbiraka) koje signal poprima u trenutcima odabiranja (sl. 1.b.). Kao to je pokazano na sl. 1.(c), u procesu kvantovanja i po nivou i po vremenu kontinualan signal se zamenjuje povorkom fiksiranih diskretnih nivoa najbliim vrednostima kontinualnog signala u trenucima odabiranja.

Sl. 1. Tipovi kvantovanja: a) po nivou, b) po vremenu i c) po nivou i vremenu

Kada je re samo o diskretnim sistemima automatskog upravljanja, tada se oni mogu razvrstati u tri kategorije: relejne, impulsne i digitalne. U relejnim se kvantovanje signala vri samo po nivou, u impulsnim - po vremenu, a u digitalnim i po nivou i po vremenu.

Kvantovanje po nivou se postie relejnim elementom iji izlaz moe poprimati neke unapred fiksirane nivoe. U prostijim, ali najee sretanim sluajevima, broj takvih nivoa je dva ili tri. Kada se broj zadanih nivoa poveava i razlike izmeu njih smanjuju, relejni sistem se sve vie pribliava kontinualnom.

U impulsnim sistemima se kvantovanje po vremenu vri odabiraem, koji se moe tretirati kao tip impulsnog modulatora. Na ulaz odabiraa se dovodi kontinualan signal, a na izlazu se dobija povorka impulsa (odbiraka) u trenutcima odabiranja koji se ponavljaju periodom odabiranja T (sl. 1.b). Pri tome, odbirci su jednaki vrednostima ulaznog signala u trenutcima odabiranja.

U digitalnom sistemu se kvantovanje i po nivou i po vremenu postie amplitudno-kodovanim modulatorom ili specijalnim digitalnim ureajem, na primjer, A/D konvertorom. Teorijski posmatrano, prisustvo kvantovanja po nivou ini sistem nelinearnim. Naime, pri malom broju kvantnih nivoa, kada je kvantovanje po nivou dominantno, digitalni sistem poprima svojstva relejnog. Ali, kada je broj kvantnih nivoa dovoljno veliki, tj. tamo gdje je y mali, tako da su kvantovani odbirci priblino jednaki vrednostima kontinualnog signala u trenutcima odabiranja, digitalni sistem poprima dominantna svojstva impulsnog i sa stanovnitva diskretizacije se moe praktino smatrati linearnim. Kada se u ulozi impulsno kodovanog modulatora nalazi A/D konvertor, njegov ulaz je kontinualan signal, a izlaz povorka brojnih vrednosti (digitalni signal) ulaznog signala u trenucima odabiranja 0, T, 2T... (sl. 1.c). Tanije, na svom izlazu A/D konvertor daje brojne vrednosti odbiraka u binarnom kodu, odnosno povorku digitalnih rei duine izlaznog registra konvertora.

1.1. Proces odabiranja i zadrke

U digitalnom sistemu diskretizacija kontinualnog signala inherentno sadri dve operacije: proces odabiranja i zadrke. Ako se diskretizacija vri i po nivou i po vremenu i kvantovani odbirci ne menjaju (zadravaju) do sledeeg trenutka odabiranja, tada se rezultat procesa odabiranja i zadrke moe predstaviti kao na sl. 2., gdje je kontinualan signal koji se diskretizuje, a je digitalni signal ije su vrednosti konstantne izmeu dva sukcesivna trenutka odabiranja.

Sl. 2. Odabiranje i zadrka kontinualnog signalaDiskretni nivoi signala su, dakle, dati u vidu digitalnih rei i, ako je duina rei dovoljno velika, tj. ako je kvant po nivou vrlo mali, moe se privatiti da su diskretni nivoi u j jednaki vrednostima siganala u trenutcima odabiranja.

Ako signal ne sadri impuls u bilo kom trenutku odabiranja, tada se moe izraziti zbirom pravougaonih signala trajanja T i amplituda f(kT), k=0, 1, 2,...

,(1.1)

gdje je h(t) Hevisajdov signal u trenutku t=0.

S obzirom da je Z [h(t)]=1/s i primenom teoreme Laplasove transformacije o istom vremenskom kanjenju, kompleksni lik signala je

,(1.2) i (1.3)

Beskonana suma u prethodnom izrazu je jednoznano odreena odbircima u povorci, pa je ta suma, zapravo, bilinearna Laplasova transforacija ili kompleksni lik povorke:

,(1.4)

Zamenom (1.4) u (1.3) dobija se

(1.5)

gde funkcija prenosa

(1.6)

predstavlja model zadrke vrednosti odbiraka izmeu dva sukcesivna trenutka odabiranja.

Original, odnosno inverzna Laplasova transformacija, za (1.4) je

(1.7)

gdje su Dirakovi signali u trenucima odabiranja.

Sa ciljem rigoroznijeg tretmana procesa odabiranja, pretpostavimo najpre da je signal kontinualan u intervalima i da ne sadri impuls u bilo kom trenutku odabiranja. Pretpostavimo, takoe, da se signal menja relativno sporo, tako da je u toku vremena promena signala manja od jednog kvanta diskretizacije po nivou. Tada se promena za vreme oitava i konvezije odbiraka u digitalni signal moe, sa praktinog staovita, zanemariti. U takvom procesu diskretizacije po nivou i vremenu povorka dbiraka na izlazu pretpostavljenog idealnog fizikog odabiraa se dobija kao na sl. 3. Na osnovu slike 3. napiimo najpre izraz za , pa zatim taj izraz pomnoimo i podelimo sa :

(1.8)

Sl.3. Proces odabiranja fizikim idealnim odabiraemPoto je mala pozitivna konstanta, razlomak u prethodnom izrazu aproksimira Dirakov signal u trenutku, pa je stoga

(1.9)

Prethodno razmatranje se moe interpretirati formalno: zamiljeni idealni fiziki odabira generie povorku odbiraka sa povrinama propocionalnim vrednostima kontinualnog signala u trenucima odabiranja; koeficijent propocionalnosti u izrazu (1.9) je , dok je u suaju (1.7) jednak jedinici.

Zadrkom odbiraka u povorci na sl. 3 dobio bi se isti signal zdrke kao na sl. 2. U oba sluaja kompleksni lik je dat izrazom (1.2), koji se, sa ciljem uvoenja umesto, moe formalno prepisati u obliku

(1.10)

Budui da u srednjoj zagradi jednaine (10) predstavlja kompleksni lik povorke odbiraka (9), model zadrke u sluaju idealnog fizikog odabiraa se opisuje funkcijom prenosa

(1.11)

Prethodnu diskusiju ilustruje sl. 4.

Sl. 4. Prikaz procesa odabiranja: a) sa fizikim i idealnim odabiraem i b) sa idealnim odabiraem koji ilustruje matematiku transformacijuNa delu slike pod (a) strukturno je prikazan proces odabiranja i zadrke idealnim fizikim odabiraem, koji u povorku odbiraka unosi faktor slabljenja , a zadrka ima model u vidu funkcije prenosa (1.11).

Slika 4 (b), ilustruje potpuno idealizoan proces odabiranja, koji bi generisao povorku odbiraka po formuli (1.7) i imao zadrku funkcije prenosa (1.6).

U praktinim sluajevima digitalnih sistema automatskog upravljanja signal ne sadri impulse u trenucima odabiranja, a zadrka odbiraka izmeu sukcesivnih trenutaka odabiranja uvek postoji. Otuda se u veini sistema proces odabiranja i zadrke moe tretirati idealizovano, kao na sl. 4 (b), bez posebnih napomena i bojazni od moguih greaka.

1.2. Kompleksni lik i frekvencijske karakteristike povorke odbiraka

Prema relaciji (1.7) ili (1.9) proces odabiranja se moe tretirati kao vid impulsne modulacije, prikazan na sl. 5, gdje je nosei signal povorka jedininih impulsa

(1.12)

a moduliui signal .

Sl. 5. Impulsni modulator kao odabira

Ako signal ne sadri impulse u trenucima odabiranja i ako se generisanje dbiraka posmatra kao rezultat procesa odabiranja i zadrke u uslovima brze konverzije i malog kvanta diskretizacije po nivou, tada se moe, bez negatihnih posledica u pogledu tanosti, prihvatiti idealizovana interpretacija procesa odabiranja (sl.4.b), gdje je, prema sl. 5, povoka odbiraka data sa

(1.13)

U deterministikim sistemima pretpostavlja se da su fiziki signali kauzalni: nastaju u nekom trenutku koji se moe usvojiti kao. Dakle, u tom sluaju, za tm+2), tada je integral du pridodatog polukruga konture C

(1.26)

jer je u limesu njegova podintegralna funkcija jednaka nuli. Dodavanjem lana (26) nulte vrednosti integralu (1.25) nee se promjeniti vrednost za , ali se tada moe definisati inegralom po konturi C:

(1.27)

Po Caushyjevoj teoremi o ostacima, prethodni integral je jednak zbiru ostataka u polovima podintegralne funkcije koji se nalaze unutar konture C, a to su u posmatranom sluaju samo polovi kompleksno lika .

Dakle,

u polovima funkcije F(p)=

(1.28)

gdje su

i

(1.29)

Do istog izraza (1.28) za se moe doi i drukijim rezonovanjem. Primjenom Hevisajdovog razvoja za F(p)=P(p)/Q(p) dobija se

EMBED Equation.3 (1.30)

pa je

(1.31)

Smenom (1.31) u (1.16) dobija se

EMBED Equation.3 (1.32)

Ako je stepen n polinoma u imeniocu samo za 1 vei od stepena m polinoma u brojiocu kompleksnog lika F(p) (n=m+1), tada, po prvoj graninoj teoremi Laplaceove tansformacije, postoji granina vrijednost

(1.33)

U ovom sluaju se, umjesto primjenom Caushyjeve teoreme o ostacima, kompleksni lik lake sraunava pomou jednaina (1.30) (1.32).

Pored (1.16) i (1.28), mogue je izvesti i trei vid kompleksnog lika povorke odabiraka. U tom cilju, sada dopunimo pravu Re p=y u p-ravni na sl. 6 polukrugom beskonanog poluprenika, koji zajedno sa pravom obrazuje konturu , koja u negativnom smjeru (smjeru kretanja kazaljke na asovniku) buhvata celu desnu poluravan p-ravni. Tada se integral (19) moe napisati u obliku

(1.34)

S obzirom da se u prvom lanu na desnoj strani prethodnog izraza integracija vri po konturi u negativnom smeru, taj lan je jednak negativnom zbiru ostataka podintegralne funkcije u polovima funkcije koji se nalaze unutar te konture, a to su sada samo polovi (1.22) komplesnog lika (1.20). Dakle

u polovim funkcije

(1.35)Primjenom Lopitalovog pravila sraunava se ostatak u polu , kao

(1.36)

Ako postoji granina vrednost (1.33), drugi lan na desnoj strani (1.34) ima vrednost

(1.37)

Smenjujui najpre ostatke (1.36) u (1.35), pa zatim (1.35) i (1.37) u (1.34), izraz F(s) se dobija u obliku

(1.38)

Od interesa je uoiti da izraz (1.38) daje kompleksni lik povorke odbiraka kao svojevrsnu superpoziciju kompleksnih likova kontinualnog signala koji se diskretizuje.Vid prikazivanja (1.38) se esto koristi kao polazna osnova u projektovanju digitalnih filtara i u postupcima primene digitalne obrade signala u razliitim podrujima savremene inenjerske delatnosti.

1.3.-Osobine kompleksnog lika povorke odbirakaVano je da se uoe dve osobine kompleksnog lika Prva: je periodina funkcija periode j. Ova osobina se dokazuje pomou izraza (1.16). Zamenom s sa u (1.16) dobija se, kada je m celobrojna konstanta,

(1.39)

jer je Dakle

(1.40)

kad je m celobrojna konstanta. Ako je poznata vrednost funkcije u nekoj taki s=s, u svim takama funkcija e imati tu istu vrednost, ako je m celobrojna konstanta.

Druga osobina je posledica prve: ako kompleksni lik poseduje pol ili nulu u nekoj taki s=s, posedovae polove odnosno nule i u svim takama odreena svim celobrojnim vrednostima m u opsegu - do +. Ovu osobinu ilustruje slika 7.

Sl. 7. Multiplikacija spektra kritinih uestanosti kompleksnog lika F*(s)

Unutar rafirane oblasti, koja se naziva primarnim pojasom, na sl. 7 prikazan je pretpostavljeni spektar kritinih uestanosti (polova i nula) koji karakterie kompleksni lik signala . Ako se ceo spektar od F(s) nalazi unutar rimarnog pojasa, tada e, prema pokaznoj osobini, spektar kompleksnog lika sadravati u celosti spektar od i beskonano dodatnih spektara koji se dobijaju multiplikacijom osnovnog spektra od F(s) nagore i nadole u s-ravni sa korakom j. Ovi dodatni komplementarni spektri u spektru od lee unutar komplementarnih pojaseva, koji imaju iste irine j kao i primarni pojas. Oigledno ovakav nain formiranja spektra od je mogu ako se ceo spektar kritinih uestanosti od F(s) nalazi unutar primarnogpojasa. Podruje uestanosti ima vanu ulogu u frekvencijskim metodama analize i projektovanja digitalnih sistema uravljanja i u digitalnom procesiranju signala.

1.4.Karakteristike frekvencijskog spektra povorke odbirakaKad se vri diskretizacija signal, od prvorazrednog znaaja je sauvati informaciju sadranu u kontinualnom signalu koji se diskretizuje. Detaljnijom analizom izraza (1.38) moe se videti nain prenosa informacije u procesu odabiranja. Pri , Fourierova transformacija povorke odabiraka se dobija smenom u (1.38):

(1.41)

Komponenta u za

(1.42)

prestavlja Fourierovu transformaciju kontinualnog signala .

Sve frekvencijske komponente signala sadrane su u povorci odbiraka , tj. informacija koju sadri signal je celovito sauvana u povorci odbiraka dobijenoj diskretizacijom tog signala.

Na osnovu (1.41), frekvencijski spektar povorke odbiraka se dobija kao

(1.43)

Predhodna relacija pokazuje da, pored osnovne komponente , spektar sadr vie harmonike ili komplementarne komponente . Po redosledu n-ta komplementarna komponenta u se dobija mnoenjem sa 1/T fundamentalne komponenete i njenim pomeranjem za n u podruje viih uestanosti. Idealni odabira se u procesu odabiranja moe tretirati kao harmonijski generator: u frekvencijskom spektru povorke odbiraka na njegovom izlazu svaki harmonik amplitude A i uestanosti ulaznog signala je multipliciran u osnovi harmonik amplitude A/T i uestanosti i u beskonano komplementarnih harmonika amplituda A/T i uestanosti , Harmonici povorke odbiraka u podruju niske uestanosti uvaju celu informaciju sadranu u kontinualnom signalu .

Sl. 8. Multiplikacija frekvencijskog spektra povorke odbiraka

Na vrhu slike je prikazan frekvencijski spektar kontinualnog signala amplitude A, iji frekvencijski spektar ima graninu uestanost . Kada granina uestanost nije vea od polovine krune uestanosti odabiranja, frekvencijski spektar povorke odbiraka se dobija u obliku kao na sl. 8 (b), dok u sluaju taj spektar ima oblik prikazan na sl. 8 (c). Vidi se da je u prvom sluaju osnovni spektar u celosti sauvan unutar Nyquistovog podruja uestanosti u frekvencijskom spektru povorke odbiraka. Proces inverzan diskretizacije, tj. rekonstrukcija prvobitnog kontinualnog signala na osnovu njegove povorke odbiraka je mogu samo ako je . Za to je dovoljno propustiti povorku odbiraka kroz idealni niskopropusni (NF) filtar, koji ima ravnu amplitudnu i linearnu faznu frekvencijsku karakteristiku (sl. 9) u Nyquistovom podruju uestanosti.

Sl. 9. Frekvencijsk karakteristike idealnog niskopropusnog filtra

Odziv idealnog NF filtra na takvu pobudu bi bio signal po obliku isti kao , ali vremenski zakanjen za . Kada je , osnovni i komplementarni spektri u se meusobno preklapaju (sl.8 c) i tada osnovni spektar nije vie verno sauvan u frekvencijskom spektru povorke odbiraka. Tada se definitivno gubi informacija signala i ne postoji teorijski postupak niti fiziki ureaj kojim bi se mogao rekonstruisati prvobitni signal na osnovu njegove povorke odbiraka.

1.5. Teorema odabiranja

Na osnovu prethodnih izlaganja moe se zakljuiti da postoji ogranienje u pogledu maksimalno dozvoljene periode odabiranja, odnosno minimalne brzne odabiranja, pri kojoj je mogue rekonstruisati signal na osnovu njegovih vrijednosti u trenutcima odabiranja. Meutim, sa tog stanovita teoriski ne postoji ogranienje za gornju granicu brzine odabiranja, odnosno za smanjivanje periode odabiranja poev od teoriski dozvoljene maksimalne vrrednosti. Razume se, kada se perioda odabiranja drastino smanji, povorka odbiraka se, u stvari, svodi na kontinualan signal. Ipak, praktina ogranienja postoje. Pre svega, nije mogue fiziki realizovati ureaj koji bi neogranieno brzo registrovao odbirke i vrio njihovu konverziju u brojne vrednosti. Zatim, ne postoji idealni proces odabiranja: odbirci posjeduju neko trajanje potrebno za njegovo registrovanje i konverziju, pa otuda perioda odabiranja ne moe biti kraa od . Konano, suvie mala perioda odabiranja znai vrlo iroko Nyquistovo podruije uestanosti. Unutar tako velikog podruija uestanosti moe doi do izraaja ne modelirana dinamika analiziranog realnog sistema ili, kad je rije o digitalnoj obradi signala, povean uticaj superponiranog uma na vrijednost odbiraka.

Frekvenciski spektar na slici 3.16(c) pokazuje da povorka odbiraka vijerno uva informaciju sadranu u signalu f(t), ako je kruna uestanost odabiranja vea od dvostruke vrijednosti granine krune uestanosti frekvencijskog spektra signala f(t). Ova konstatacija predstavlja , zapravo, teoremu odabiranja [11-15] ija precizna formulacija glasi: Ako kontinualan signal f(t) ne sadri harmonike u podruiju uestanosti

EMBED Equation.DSMT4 , on se moe kompletno okarakterisati vrednostima signala mjerenim u trenutcima meusobno udaljenim za vrijeme . Ova vrednost periode odabiranja predstavlja teorijski maksimum. Meutim postoji vie praktinih razloga koji nalau da se perioda odabiranja usvoji manjom od teorijski doputene maksimalne. Tako, na primjer, u digitalnom sistemu upravljanja relativno velika perioda odabiranja u odnosu na realnu dinamiku sistema negativno utie na stabilnost sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi. Treba, takoe, imati u vidu da ne postoji fiziki signal sa strogo odreenom graninom uestanosti frekvencijskog spektra, kao na sl. 3.16(a). Naime, svi fiziki signali poseduju harmonike u irem podruiju uestanosti. Istina, harmonici viih uestanosti su obino jako potisnuti, tako da se sa pravom u praksi moe usvojiti ogranien frekvencijski spektar. Usled toga, kao i injenice da ne postoji fiziki ostvarljiv idealni NF filtar sa frekvencijskim karakteristikama kao na sl. 3.17 nikada praktino nije mogue verno rekonstruisati kontinualni signal f(t) na osnovu povorke njegovih vrednosti f(kT), k=0,1,2...

Obino se unapred zna koja perioda odabiranja najbolje odgovara posmatranoj klasi signala. Na primjer, za govorni signal se praktino usvaja da ima granicu frekvencijskog spektra pri . Otuda, za govorni signal treba usvojiti . Dakle, sa 10 hiljada odbiraka u sekundi digitalizovani govorni signal sadri svu informaciju i karakteristike govora. U digitalnim sistemima automatskog upravljanja perioda odabiranja moe biti znatno vea. Na primjer, signali temperature, nivoa, protoka, pritiska i sl. dozvoljavaju periode odabiranja reda nekoliko desetina m s. Napomenimo da postoje i vrlo spori signali, kao na primjer seizmoloki, gdje se u procesu diskretizacije moe usvojiti perioda odabiranja reda desetina sekundi. 1.6.Kola zadrkeU veini digitalnih sistema upravljanja vii harmonici u spektru povorke odbiraka moraju se ukloniti i dovoljno priguiti pre dovoenja direktnog (digitalnog) signala na kontinualni deo sisitema. Naime, upravljaka promenljiva generie u realnom vremenu kao rezultat obrade, po zadatom programu, povorke odbiraka signala greke i/ili nekih drugih promenljivih sistema. Otuda je i upravljaka promenljiva povorka odbiraka u vidu digitalnih rei. Razume se da signal takve prirode nije mogue dovesti neposredno na objekat upravljanja, koji u tipinom sluaju (sl. 3.4) sadri pojaava snage ili naponsko/strujni konvertor, izvrni organ sa ili bez servomotora i proces upravljanja. Prema tome, neophodno je najpre upravljaku promenljivu u vidu povorke digitalnih signala konvertovati u kontinualni naponski signal. ak i u sluaju kada bi upravljaka promenljiva bila u vidu impulsa (naponskih ili strujnih), ni takav signal se ne bi mogaodovesti neposredno na ulaz objekta upravljanja, jer tipini izvrni organi i servomotori zahtevaju kontinualnu pobudu. U svakom sluaju izlaz procesora se najpre dovodi na kolo zadrke koje ima dvojaku ulogu: da ukloni ili u potrebnoj meri prigui vie harmonike u spektru diskretnog signala i da povorku digitalnih signala konvertuje u kontinualan signal.

Sl.3.18 Strukturni blok dijagram tipinog digitalnog sistema upravljanaNa slici 3.18 je prikazan tipian strukturni blok dijagram digitalnog sistema automatskog upravljanjasa jednim ulazom i jednim izlazom, koji predstavlja, zapravo, dijagram na slici 3.9 sa neto izmenjenom notacijom. Na dijagramu (sl. 3.18) sa je oznaena povorka odbiraka upravljake promenljive, a sa odgovarajui kontinualan upravljaki signal na izlazu kola zadrke. Podrazumeva se da je u procesu projektovanja sistema uvaavana teorema odabiranja, tj. da je kruna uestanost odabiranja bar dva puta vea od granine uestanosti frekvencijskog spektra signala greke . U tom sluaju idealna rekonstrukcija m(t) na osnovu u*(t) bi se postigla dovoenjem u*(t) na kolo zadrke sa frekvencijskim karakteristikama datim na sl. 3.17. Na alost, takvo kolo zadrke tipa idealnog NF filtra nije mogue fiziki ostvariti. Stoga se u ulozi kola zadrke koriste razliita praktina reenja, koja manje ili vie aproksimiraju karakteristike idealnog NF filtra.

Praktino kolo zadrke treba, dakle, da na osnovu povorke brojnih vrednosti u(0), u(T), u(2T), ..., u(kT), ... rekonstruie signal m(t) koji uva informaciju sadranu u u*(t). Drugim reima, od ovog kola se oekuje da u realnom vremenu proceni zakon promene signala m(t) u intervalu , za bilo koje celobrojno , na osnovu do tada poznatih odbiraka , , , , ...,, u trenucima odabiranja ,, , ...,, .Za procenu zakona promene signala u intervalu vano je najpre proceniti brzinu prema tog signala na poetku posmatranog intervala u . Da se to pokae, napiimo Taylorov red za procenjivanu funkciju u intervalu izmeu trenutaka odabiranja i :

(1.44)

gde su

, za

(1.45)

i

,

(1.46)

Meutim, signal je nepoznat; poznate su samo njegove vrednosti na poetku intervala i u trenucima odabiranja koji prethode trenutku pa se i izvodi funkcije mogu procenjivati jedino na osnovu tih vrednosti. Kada je dovoljno malo tako da zadovoljava uslove teoreme odabiranja, prvi izvod od u trenutku se moe aproksimirati sa

(1.47)

Na slian nain se procenjuju vii izvodi od u trenucima odabiranja. Na primer,

.(1.48)

Zamenom prvih izvoda u (1.48) odgovarajuim izrazima tipa (1.47) dobija se

(1.49)

Oigledno, to je procenjivani izvod od vii, to je potrebno pamtiti vei broj odbiraka koji prethode intervalu odbiranja u kome se procenjuje funkcija . Preciznije, kada se procenjuje izvod potrebno je pamtiti vrednosti signala. Otda u optem sluaju kolo zadrke sadri niz elemenata za pamenje i isto vremenske (transparentno) kanjenje predhodnih odbiraka. Broj tih elemenata raste sa stepenom tanosti koji se eli postii u procjenjivanju zakona promene (1.45). S tim u vezi treba imati u vidu da prisustvo veih kanjenja unutar konture sistema sa povratnom spregom po pravilu smanjuje pretek stabilnosti tako da se pokuaji procene vii izvoda u kolu zadrke sa ciljem vernije procene signala m(t) suoavaju sa ozbiljnim problemom stabilizacije sistema. ta vie, kola zadrke koja koriste vie izvode su kompleksnija i znatno skuplja. To su razlozi zbog kojih se u praksi koristi najee kolo zadrke nultog reda koje procjnjuje m(t) kao stepenasti signal ije su vrijednosti izmeu sukcesivnih trenutaka odabiranja konstantne i jednako u odbircima u povorci u*(t). Izuzetno se primjenjuje kolo zadrke prvog reda, koje procjenjuje signal mk(t) u vidu segmenta kose prave, odnosno polinoma prvog reda, a na osnovu odbiraka u(kT) i u[(k-1)T].1.7. Kolo zadrke nultog reda

Ve je pomunuto da kolo zadrke nultog reda na svom izlazu daje signal sa talasnim oblikom koji ima konstantne vrednosti izmeu dva sukcesivna trenutka odabiranja, tj. gde su:

za pri svim k=0,1,2...(1.50)

Sl.3.19 Nain rada kola zadrke nultog reda: Sl.3.20 (a) Jedinina impulsna pobuda

-ulazna povorka odbiraka, m(t) (b)Normalni impulsni odziv kola Kontinualni signal na izlazu zadrke nultog reda.

Prema tome, ovo kolo konvertuje povorku u*(t) brojnih vrednosti odbiraka u analogni signal m(t) kao na sl. 3.19. Odziv ovog kola na jedininu impulsnu pobudu u trenutku t=0 ima oblik prikazan na sl. 3.20. gde je

(1.51)

Poto je ovo, po pretpostavci, normalan impulsni odziv (poetni uslovi jednaki nuli), Laplaceova transformacija od gh0(t) je, po definiciji, funkcija prenosa kola zadrke nultog reda:

.(1.52)

Od interesa je prouiti frekvencijske karakteristike ovog kola. Smenom s=j u (1.52) dobija se

(1.53)

Dakle, amplitudna frekvenciska karakteristika kola zadrke nultog reda je

.(1.54)

Fazna frekvencijska karakteristika kola zadrke nultog reda se dobija iz (1.53) kao argument izraza ili . Kad god se funkcija nalazi u pozitivnoj poluperiodi, njen doprinos u argumentu ovog izraza je -2k (k=0,1,2,...), a kad se nalazi u negativnoj poluperiodi, gdje je , taj doprinos je (2k+1) (k=0,1,2,...). Ovakvim rezonovanjem se zakljuuje da je fazna frekvencijaska karakteristika data sa

(1.55)

Sl.3.21 Frekvencijeske karakteristike kola zadrke nultog reda

Na slici 3.21 prikazane su frekvencijske karakteristike kola zadrke nultog reda, koje pokazuju da se ovo kolo ponaa kao NF filter. Poreenjem sa idealnim NF filtrom se vidi da postoje karakteristina odstupanja. Za razliku od idealnog NF filtra, kolo zadrke nultog reda nema ravnu, ve nagibnu amplitudnu frekvencisku karakteristiku u podruiju uestanosni osnovnog spektra . Otuda kolo zadrke nultog reda unosi slabljenja amplituda viih harmonika unutar osnovnog spektra povorke odbiraka.Pored toga, dok idealni NF filtar definitivno uklanja harmonike unutar svih komplementiranih spektara, kolo zadrke te harmonike proputa oslebljene.Pri tome nivo slabljenja se poveava za harmonike komplementarnih spektara viih podruja uestanosti.Prema tome u analognom signalu na izlazu kola zadrke nultog reda sadrani su dijelom oslabljeni harmonici osnovnog spektra povorke odbiraka na ulazu i pridrueni zantno oslabljeni harmonici iz komplementarnih spektara povorke odbiraka.Ovo se moe konstatovati I na osnovu sl.3.19, gdje su u talasnom obliku signala m(t) na izlazu kola zadrke nultog reda vide skokovite promjene usled prisustva viih harmonika.Slika 3.21, takoe pokazuje znaaj izbora periode odabiranja T sa stanovita filtarskih sposobnosti kola zadrke : to je T manje odnosno vee, ove sposobnosti su efikasnije. U digitalnim sistemima automatskog upravljanja u ulozi kola zadrke nultog reda najee se koristi D/A konverttor.Kao to je u poglavlju 2.8.1 reeno, ako je prihvatni registar unutar D/A konvertora dovoljne duine , tako da prihvata bez odsijecanja sve digitalne vrijednosti odbiraka ulazne povorke , tada analogni signal na izlazu konvertora ostaje sa zateenom konstantnom vrijednou sve dok se ulazni digitalni signalne promjeni , tj.konvertor vri funkciju kola zadrke nultog reda .Ako brojne vrijednosti veih odbiraka premauju duinu prihvatnog registra, dolazi do odsjecanja usled konane duine rijei I tada se D/A konvertor moe predstaviti kao kolo zadrke nultog reda sa redno pridruenom nelinearnou tipa zasienja.

Kad je rije o D/A konvertoru u ulozi kola zadrke nultog reda, treba imati u vidu svojstvo konvertora da moe sluiti kao mnoa digitalnih signala na ulazu sa naponom napajanja konvertora, pa je, u stvari, funkcija prenosa, D/A konvertora

(1.56)

Priroda koeficienata proporcijonalnosti Kh je V/(brojna vrednost). Na primjer, za 8-bitni D/A konvertor iji se izlazni napon moe mijenjati od -10 V do +10 V ovaj koeficijent ima vrednost Kh = 10/28 =0,0390625 V/(brojna vrednost).

Na kraju treba napomenuti da kolo zadrke nultog reda na zadovoljavajui nain obavlja zahtjevane funkcije u digitalnom sistemu automatskog upravljanja. Prisustvo viih harmonika u signalu na izlazu ovog kola ne prouzrokuje ozbiljnije probleme, jer kontinualni deo sistema sam posjeduje niskopropusni karakter ponaanja. Naime, objekat upravljanja djeluje kao NF filter, to u velikoj mjeri potiskuje prisustvo viih harmonika u kontinualnom delu zatvorene konture digitalnog sistema sa povratnom stegom.1.8. Kolo zadrke prvog reda

Ovo kolo vri promjenu kontinualnog signala m(t) na svom izlazu izmeu trenutaka odabiranja kT i (k+1) u vidu polinoma prvog reda (segmenta prave), a na osnovu vrijednosti odbiraka u(kT) i na svom ulazu.Ovakav postupak ekstrapolacije odbiraka u kontinualan signal se moeizraziti pomou prva dva lana Taylorovog reda (1.44) Dakle

EMBED Equation.DSMT4 (1.57)Zamjenom prvog izvoda procjenjenog na osnovu I sa (1.47) dobija se :

(1.58)

Normalan impulsni odziv se dobija pobudom kola sa jedininim impulsom u trenutku t=0.Stoga se za k=0 iz (1.58) dobija:

(1.59)

Poto je jedinini impuls , a , normalni impulsni odziv kola zadrke prvog reda u intervalu ima oblik :

(1.60)

Odziv u intervalu se moe dobiti postavljenjem k=1 u(1.58).Tako se dobija:

(1.61)

S obzirom das u =1 i u(T)=0, u intervalu postaje :

(1.62)

Normalni impulsni odziv za je identiki jednak nuli, jer je za .

Stoga i na osnovu (1.60) i (1.62) ovaj odziv ima oblik prikazan na slici 3.22.Analitiki izraz za talasni oblik na slici 3.22, koji dakle , predstavlja normalni impulsni odziv za svako , dobija se poznatim postupkom superponiranja, kao

(1.63)

Sl.3.22. (a) Jedinina impulsna Sl.3.23. Nain rada kola zadrke prvog reda:

Pobuda. (b) Normalni impulsni - ulazna povorka odbiraka , m(t)-

Odziv kola zadrke prvog reda. Kontinualan signal na izlazu.

Pa je funkcija prenosa kola zadrke nultog reda :

1.64)Na slici 3.23 je pokazano kako ovo kolo vri ekstrapolaciju povorke odbiraka u kontinualan signal.Kao to se vidi ova ekstarpolacija nije bitno bolja u poreenju sa rezultatom rada kola zadrke nultog reda;tavie , u pojedinim intervalima odabiranja ona je ak loija.S druge strane , funkcija prenosa (1.64) pokazuje da kolo zadrke prvog reda sadri vee integralno dejstvo, to u podruju viih uestanosti poveava grupno kanjenje, odnosno nagib fazne frekvencije karakteristike-to smanjuje pretek faze I otuda negativno utie na stabilnost dinamikog sistema u povratnoj sprezi.Istine radi , treba rei da je pri maloj periodi odabiranja proces ekstrapolacije ovim kolom bolji nego kolom zadrke nultog reda, ali stabilizacija sistema u tom sluaju postaje jo kritinija.Ako se pri tome ima u vidu da kolo zadrke prvog reda zahtjeva bitno sloeniju fiziku realizaciju jer, izmeu ostalog mora da pamti dva prethodna odbirka umjesto jednog ,kao kod kola zadrke nultog reda, postaje razumljivo zato se ovo kolo, kao uostalom i kola zadrke vieg reda, praktino ne koristi u projektovanju digitalnih sistema automatskog upravljanja. _1323175338.unknown

_1323182733.unknown

_1323184258.unknown

_1323185393.unknown

_1323185835.unknown

_1323186542.unknown

_1323186924.unknown

_1323187039.unknown

_1323187191.unknown

_1323186893.unknown

_1323186576.unknown

_1323186265.unknown

_1323186459.unknown

_1323186124.unknown

_1323186181.unknown

_1323185891.unknown

_1323185567.unknown

_1323185679.unknown

_1323185420.unknown

_1323185040.unknown

_1323185228.unknown

_1323185306.unknown

_1323185191.unknown

_1323185221.unknown

_1323184561.unknown

_1323184931.unknown

_1323184935.unknown

_1323184790.unknown

_1323184317.unknown

_1323184468.unknown

_1323183115.unknown

_1323183566.unknown

_1323183648.unknown

_1323183944.unknown

_1323184126.unknown

_1323184201.unknown

_1323184036.unknown

_1323183745.unknown

_1323183618.unknown

_1323183350.unknown

_1323183477.unknown

_1323183166.unknown

_1323183297.unknown

_1323182918.unknown

_1323182974.unknown

_1323183081.unknown

_1323182995.unknown

_1323182947.unknown

_1323182849.unknown

_1323182875.unknown

_1323182796.unknown

_1323182823.unknown

_1323182754.unknown

_1323182789.unknown

_1323176173.unknown

_1323179856.unknown

_1323180821.unknown

_1323182410.unknown

_1323182537.unknown

_1323182618.unknown

_1323182446.unknown

_1323182530.unknown

_1323181657.unknown

_1323181985.unknown

_1323181590.unknown

_1323181367.unknown

_1323180073.unknown

_1323180150.unknown

_1323180217.unknown

_1323180394.unknown

_1323180742.unknown

_1323180376.unknown

_1323180199.unknown

_1323180105.unknown

_1323179889.unknown

_1323179926.unknown

_1323180033.unknown

_1323179885.unknown

_1323178328.unknown

_1323179123.unknown

_1323179429.unknown

_1323179560.unknown

_1323179715.unknown

_1323179812.unknown

_1323179536.unknown

_1323179256.unknown

_1323179279.unknown

_1323179136.unknown

_1323178535.unknown

_1323178793.unknown

_1323179048.unknown

_1323178442.unknown

_1323176265.unknown

_1323178240.unknown

_1323178310.unknown

_1323176422.unknown

_1323176213.unknown

_1323176264.unknown

_1323176184.unknown

_1323175586.unknown

_1323175720.unknown

_1323175946.unknown

_1323176141.unknown

_1323176156.unknown

_1323176081.unknown

_1323176132.unknown

_1323175963.unknown

_1323175917.unknown

_1323175631.unknown

_1323175644.unknown

_1323175600.unknown

_1323175436.unknown

_1323175547.unknown

_1323175565.unknown

_1323175445.unknown

_1323175395.unknown

_1323175416.unknown

_1323175360.unknown

_1323175353.unknown

_1323161087.unknown

_1323175166.unknown

_1323175272.unknown

_1323175303.unknown

_1323175311.unknown

_1323175281.unknown

_1323175216.unknown

_1323175249.unknown

_1323175194.unknown

_1323163843.unknown

_1323175087.unknown

_1323175126.unknown

_1323175147.unknown

_1323175102.unknown

_1323174914.unknown

_1323175004.unknown

_1323175045.unknown

_1323174945.unknown

_1323174658.unknown

_1323174834.unknown

_1323174585.unknown

_1323174643.unknown

_1323173813.unknown

_1323162956.unknown

_1323163424.unknown

_1323163433.unknown

_1323163683.unknown

_1323163300.unknown

_1323161645.unknown

_1323162864.unknown

_1323162901.unknown

_1323162791.unknown

_1323162776.unknown

_1323161134.unknown

_1323158469.unknown

_1323159753.unknown

_1323160576.unknown

_1323160600.unknown

_1323159764.unknown

_1323158949.unknown

_1323159721.unknown

_1323159471.unknown

_1323159689.unknown

_1323159374.unknown

_1323158507.unknown

_1323158623.unknown

_1323156847.unknown

_1323157793.unknown

_1323158305.unknown

_1323158351.unknown

_1323158206.unknown

_1323157090.unknown

_1323157742.unknown

_1323156962.unknown

_1323111719.unknown

_1323113917.unknown

_1323117136.unknown

_1323118025.unknown

_1323119212.unknown

_1323119709.unknown

_1323119808.unknown

_1323118347.unknown

_1323119202.unknown

_1323118105.unknown

_1323118303.unknown

_1323117999.unknown

_1323116532.unknown

_1323116996.unknown

_1323116699.unknown

_1323116868.unknown

_1323114154.unknown

_1323116476.unknown

_1323112472.unknown

_1323112536.unknown

_1323111921.unknown

_1323108795.unknown

_1323109839.unknown

_1323104780.unknown