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Disclaimer

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공학박사 학위논문

모선한계가격의 분석을 통한 발전사의

전력 포트폴리오 최적화 연구

2016년 2 월

서울대학교 대학원

서울대학교 전기 컴퓨터공학부

김 유 창

모선한계가격의 분석을 통한 발전사의

전력 포트폴리오 최적화 연구

지도 교수 박 종 근

이 논문을 공학박사 학위논문으로 제출함

2016 년 2 월

서울대학교 대학원

전기컴퓨터공학부

김 유 창

김유창의 공학박사 학위논문을 인준함

2016 년 2 월

위 원 장 문 승 일 (인)

부위원장 박 종 근 (인)

위 원 윤 용 태 (인)

위 원 서 장 철 (인)

위 원 김 진 호 (인)

i

초 록

20세기 후반부터 시작된 탈규제화의 흐름 속에서, 전력 산업의

효율성 향상과 후생 증가를 위하여 각 국에 전력 시장이 도입되었다.

규제 요금과 달리 시장 수급 상황에 따라 변동하는 전력 가격과 공급

부족, 수요 예측 오차 등의 불확실성은 전력 시장 참여자들의 수익

예측에 어려움을 야기했다. 이러한 불확실성에 대응하여 시장 참여자

입장에서 손실 위험을 최소화 하는 동시에 이익을 최대화하기 위해

포트폴리오 이론을 도입하여 활용하는 방안이 연구되어 왔다. 전력

시장에서 발전사나 LSE(Load Serving Entity)가 전력 상품들에 대한

분산 화된 판매/구매 최적 비율을 결정하는 연구가‘전력 포트폴리오

최적화’이다. 현재까지 이루어진 선행연구들의 연구 방향은 전력

시장의 거래 종류 및 상품들에 대한 연구와 위험 모델링에 주안점을 둔

연구가 주로 진행되었다. 이러한 전력 포트폴리오 연구에서 전력 시장

가격과 전력 거래 가격은 주로 역사적 데이터를 통계적으로 분석하는

경험적 방법론을 바탕으로 수행되었다. 전력 상품의 본질적 특징인 계통

특성에 의해 가격이 영향을 받는 것을 반영하는 연구는 충분히

이루어지지 않은 상황이다.

ii

전력 시장에서 전력 가격은 물리적 계통 특성의 변화에 밀접하게

연관되어 있으며, 전력 계통 특성 변화에 따라 최적 전력 포트폴리오

또한 달라진다. 본 논문에서는 모선 한계가격 모델링을 통해 계통 특성

변화를 고려하여 전력 가격의 분포를 모델링하고, 이를 반영한 전력

포트폴리오 최적화 방법을 제안하고자 한다.

주 요 어 : 전력 포트폴리오 최적화, 계통 특성, 가격 모델링, 모선별

한계 가격

학 번 : 2005 - 23501

iii

목 차

제 1 장 서 론 ........................................................................................................ 1

1. 1 연구 배경 및 목적 ................................................................................ 1

1. 2 논문의 개요와 구성 .............................................................................. 4

제 2 장 포트폴리오 이론과 전력 포트폴리오 최적화 프레임워크

5

2. 1 포트폴리오 선택 이론 ......................................................................... 5

2. 2 전력 포트폴리오 최적화 프레임워크 ......................................... 11

제 3 장 전력 시장 가격 모델링 ................................................................... 17

3. 1 모선별 한계 가격 모델링 ................................................................ 17

3. 2 전 입력변수 구간으로 확장 ........................................................... 32

3. 3 Simulations .......................................................................................... 37

제 4 장 전력 시장 가격의 확률적 모델링 .............................................. 53

4. 1 수요의 불확실성에 의한 모선별 한계 가격 분포 ................ 53

제 5 장 최적 전력 포트폴리오 선택.......................................................... 68

5.1 최적 전력 포트폴리오 ........................................................................ 68

5.2 전력 시장에서의 거래 ........................................................................ 70

iv

5.3 Mean-variance 기준 최적 포트폴리오 선택 ............................. 74

제 6 장 사례 연구 .............................................................................................. 76

6.1 Case I ...................................................................................................... 77

6.2 Case II ..................................................................................................... 79

6.3 Case III ................................................................................................... 84

6.4 Case IV ................................................................................................... 90

6.5 Case V .................................................................................................... 97

제 7 장 결 론 ..................................................................................................... 107

기 호 ...................................................................................................................... 109

부 록 ...................................................................................................................... 111

Appendix 1 .................................................................................................... 111

Appendix 2 .................................................................................................... 113

Appendix 3 .................................................................................................... 124

v

그림 목차

그림 2.1 최적 위험 포트폴리오 구성 과정 ......................................... 7

그림 2.2 상관계수에 따른 포트폴리오 기대수익률과 위험 ......... 9

그림 3.1 6번 모선의 LMP ......................................................................... 52

그림 4.1 임계 수요 구간과 LMP ........................................................... 56

그림 4.2 수요구간 내 기울기에 따른 적분구간 .............................. 60

그림 6.1 수정된 IEEE-24 모선 계통 ..................................................... 76

그림 6.2 수요의 pdf .................................................................................... 77

그림 6.3 LMP의 pdf ..................................................................................... 78

그림 6.4 몬테카를로 방법론으로 구한 pdf ....................................... 78

그림 6.5 평균 분산기준의 효율적 투자선 ......................................... 81

그림 6.6 수정된 IEEE 24모선에서 14-16번 선로의 증설 ............ 84

그림 6.7 PDF비교 ....................................................................................... 87

그림 6.8 두 케이스의 Efficient Frontier ............................................ 88

그림 6.9 Efficient Frontier 추합............................................................ 89

그림 6.10 IEEE 118모선 계통 ................................................................... 90

vi

그림 6.11 수정된 IEEE 118모선의 수요와 LMP의 관계 .............. 92

그림 6.12 수요 분포 .................................................................................... 93

그림 6.13 LMP 확률 분포 비교 .............................................................. 94

그림 6.14 모의 계통의 지도 ................................................................. 100

그림 6.15 전체 수요 ................................................................................. 101

그림 6.16 기존 계통의 수요와 LMP관계 ........................................ 101

그림 6.17 Historical Case의 가격분포(우측은 그래프 확대) ... 102

그림 6.18 증설된 계통의 수요와 LMP관계 .................................... 103

그림 6.19 증설된 Case의 가격분포(우측은 그래프 확대) ....... 103

그림 6.20 Efficient Frontier 비교(하단의 그래프가 기존 계통

Case) ....................................................................................................... 105

vii

표 목차

표 2.1 상관계수와 포트폴리오 기대수익률과 표준편차 ................ 8

표 3.1 수정된 IEEE-24모선 계통 발전기 data ................................. 37

표 3.2 혼잡선로 정보 .................................................................................. 39

표 3.3 모선별 한계가격에 관한 각 파라메터 .................................. 43

표 3.4 1번 모선에 대한 한계 발전기의 허용 가능 변화 량 ..... 47

표 3.5 1번 모선에 대한 선로의 허용 가능 변화 량 ..................... 48

표 3.6 Base Case의 LMP 값과 최소 용량 발전기, 한계 발전기,

최대용량 발전기 ................................................................................... 50

표 3.7 한계 발전기의 변화....................................................................... 51

표 6.1 LMP의 평균과 Variance ............................................................... 79

표 6.2 가격 간의 Covariance .................................................................. 79

표 6.3 각 거래의 수익률과 불확실성 .................................................. 80

표 6.4 각 거래의 Covariance .................................................................. 80

표 6.5 최적 포트폴리오 비율 .................................................................. 82

표 6.6 계통의 수요 구간 정보 ................................................................ 85

viii

표 6.7 증설시 계통의 수요 구간 정보 ................................................ 85

표 6.8 평균과 분산 비교 ........................................................................... 87

표 6.9 각 거래의 결과정보....................................................................... 88

표 6.10 전 수요구간에 대한 LMP 도출 계산 시간 비교 ........... 93

표 6.11 수요 분포 ........................................................................................ 95

표 6.12 지역 수요 Data ............................................................................. 99

표 6.13 기존 계통 방법론의 최적 포트폴리오 ............................. 102

표 6.14 본 방법론의 최적 포트폴리오 정보 ................................. 104

표 6.15 Min Lie 방법론 사용시의 포트폴리오 정보 ................... 104

1

제 1 장 서 론

1. 1 연구 배경 및 목적

20세기 후반부터 시작된 탈규제화의 흐름 속에서, 세계 각 국은 전력 산업의

효율성 향상과 사회 후생 증가를 위하여 전력 시장을 도입했다[1, 논문은]. 전력

시장 가격은 탈규제화 이전에 적용되었던 규제요금과 달리 시장 수급 상황에 따라

변동한다[1]. 공급 부족위험, 수요 예측오차 등 수급의 불확실성(uncertainty)은

변동하는 전력 가격 예측의 어려움을 야기해왔다. 시장 참여자는 이러한

불확실성에 대응하여 손실 위험을 최소화하면서 이익을 최대화 해야 한다.

이를 위한 포트폴리오 이론의 활용방안이 연구되어 왔다[2-15]. 이러한

연구들은 ‘전력 포트폴리오 최적화(Power portfolio optimization)’라 불린다[9,

15, 16]. 전력 포트폴리오 최적화 연구는 발전사나 LSE의 입장에서 최대의 이익과

최소의 위험을 가지는 중기(mid-term) 거래 계획을 세우는 문제를 다룬다. 이는

이익 최대화와 위험 최소화 목적 하에 거래 가능한 상품들에 대한 분산 화된

판매/구매 비율을 결정하는 문제이다. 전력 시장의 거래 종류 및 상품들로는, 실제

에너지 거래에 주로 사용되는 현물 시장(Spot market)과, 쌍무 계약(Bilateral

Contract)을 포함한 선도 계약(Forward Contract)들이 고려되어 왔다[9, 10, 15-

17]. 이 외에도 차액정산 계약(Contract for difference)[9]를 포함시키거나

탄소배출권 구매[18]를 고려한 연구들도 진행되어 왔다. 이처럼 전력 시장이

발전하여 시장참여자가 참여 가능한 시장과 거래 가능한 수단이 많아지면서, 전력

포트폴리오 최적화 연구는 거래 종류 및 상품들에 주안점을 두어왔다.

2

전력 시장의 위험 모델링에 주안점을 둔 연구들도 진행되어 왔다. 시장 가격의

가격 위험(Price Risk)[7, 15]이나 거래 위험(Delivery Risk)[19], 시장 참여자

위치에 관련된 지역적 위험(Spatial Risk)[10, 15]도 고려되었고, 위험 기준

중에서는 분산(Variance)이나 Conditional Value at Risk(CVaR) 가 적용되었다.

이러한 연구들은 전력 시장 참여자가 속해있는 각 전력 시장의 속성에 따라 당면한

불확실성을 위험으로 모델링 하여, 각 시장 특성에 적합한 전력 포트폴리오 최적화

기법을 제안하는데 초점을 두고 있다.

전력 포트폴리오 최적화 연구에서 계획의 대상인 에너지 전력 거래는 송전망을

통해 물리적으로 거래되므로, 거래의 수익률은 계통 특성에 영향을 받는다. 예컨대,

다른 지역의 LSE와 쌍무계약을 한 발전기는 송전 제약으로 발생하는 혼잡에 의해

지역 간 가격차가 발생하면, 일정비율의 혼잡비용을 지불해야 한다 [20]. 그러나

대다수의 선행 연구에서는 송전망 변화에 따른 가격 패턴의 변화를 고려할 수 없는

경험적 방법론에 의존하고 있다[2, 8-10, 16-18]. 선행 연구들에서도 이에 관한

문제점 및 한계들을 지적해왔다[10, 15]. 계통 특성이 반영된 지역별 전력 가격

모델링과 이를 바탕으로 한 전력 포트폴리오 최적화 방법론이 필요하다.

본 연구에서는 발전회사 입장에서 계통 특성을 반영한 모선별 한계가격 모델링을

사용하는 전력 포트폴리오 최적화 방법을 제안한다. 계통 특성 변화를 반영한

지역별 가격 분포를 도출하기 위해서 불확실성을 내포하고 있는 다양한 입력

변수들과 지역별 가격 간의 관계식을 도출하였다. 입력 변수들 중 수요의

불확실성에 의한 지역별 가격분포를 바탕으로 각 거래상품별 수익률과 거래상품 간

수익률의 상관관계를 계산하고, 이를 바탕으로 최적 포트폴리오를 선택하였다.

위험 기준으로는 분산을 사용하였다.

3

본 논문에서는 제시한 방법론을 수정된 IEEE 24모선에 대한 사례연구를

수행하였다. 첫 번째 사례연구에서는, 제안된 방법과 Monte-Carlo 시뮬레이션

방법을 통한 지역별 가격분포 결과의 비교를 통해 제안된 방법을 검증하였다. 두

번째 사례연구에서는, 제안한 방법론을 사용하여 발전사의 입장에서 최적

포트폴리오 선택을 하는 예시를 보이고, 위험회피도에 따라 변화하는 전력

포트폴리오에 대해 고찰하였다. 세 번째 사례 연구에서는, 송전선 증설 유무에

따른 혼잡 상황 변화가 가격 분포, 기대 수익률, 최적 포트폴리오에 미치는 영향을

분석하였다.

4

1. 2 논문의 개요와 구성

제 2장에서는 포트폴리오 이론에 대해 살펴보고, 전력 계통 특성을 고려한 전력

포트폴리오 최적화 프레임워크에 대해 설명한다.

제 3장에서는 전력 시장 가격 모델링에 대해 다룬다. 3. 1장에서는 계통 특성을

반영한 OPF-based 모델을 사용하여 입력변수에 대한 모선별 한계 가격의

관계식을 구하였다. 3. 2장에서는 입력변수인 전 수요 구간으로 관계식을 확장하고,

3. 3장에서 시뮬레이션을 통해 적용 예시를 보였다.

제 4장에서는 수요의 확률적 분포에 의한 가격의 확률적 분포를 구하는 방법론을

다루고, 예시를 보였다.

제 5장에서는 위의 결과를 사용하여 거래의 기대수익으로 환산하고 전력

포트폴리오를 구하는 과정을 서술하였다.

제 6장에서는 수정된 IEEE 24모선 계통을 사용하여 방법론을 검증하는

사례연구와, 송전 계통의 용량이 변화한 사례에 대해 본 방법론을 수행하고 결과

값을 분석하였다.

제 7장은 전체적인 결론과 미래연구에 대해 제시하였다.

5

제 2 장 포트폴리오 이론과

전력 포트폴리오 최적화 프레임워크

경쟁이 도입된 전력 시장 하에서 불확실성에 노출된 시장 참여자들은 불확실성을

다루기 위해 갖가지 위험 관리 기법을 도입하였다. 본 장에서는 이러한

불확실성을 다루기 위한 방법론 중 포트폴리오 선택 이론에 대해 살펴볼 것이다.

또한 전력 계통의 특성을 고려한 전력 포트폴리오 최적화 프레임워크에 대해 다룰

것이다.

2. 1 포트폴리오 선택 이론

2. 1. 1 위험 관리 이론

금융이론에서 위험 관리는 불확실성에서 발생하는 위험을 제한하기 위해 특정한

전략을 사용하는 기법이다. 금융적인 측면에서 위험을 관리 하는 방법은 특정

금융 상품을 통해 손해를 헷징하는 방법[6]이나, 분산화(diversification)를 통해

노출되는 위험을 줄이는 방법이 있다. 첫 번째 방법은 선물, 선도, 옵션, 스왑

등의 위험을 줄이도록 설계된 금융 상품을 일정한 비용을 지불하여 구매하고,

불확실성에 의한 예상되는 손해를 줄이는 방식이다. 두 번째 방식은 다양한 자산에

분산 투자함으로써 자산의 조합인 포트폴리오를 만들고 특정 자산의 위험의 영향을

제한하는 방식이다. 포트폴리오의 위험은 각 개별 자산의 위험의 합보다 작거나

6

같기 때문에, 각 거래 시장 혹은 상품의 다변화를 통해 최적 포트폴리오를

구성하는 연구가 이루어지고 있다.

2. 1. 2 포트폴리오 최적화

Markowitz가 제안한 현대 투자이론 [21] 에서 최적포트폴리오 구성은 주로

다음과 같은 세 가지 단계로 이루어진다. 첫 번째, 포트폴리오 후보군 각 자산의

미래 수익률 예측 단계, 두 번째, 최적 위험 포트폴리오 구성 단계, 마지막으로

효용이 최대화 되는 점에서 무위험 자산과 위험자산의 비율을 선택해 최적

포트폴리오를 결정하는 단계이다.

각 자산의 수익률 예측 방법은 역사적 데이터를 분석을 통해 미래 수익률을

예측하는 연구와 자산의 수익구조 분석을 통한 모델링 방법이 주로 사용된다.

전력 산업에 포트폴리오 이론을 적용한 연구의 대부분은 역사적 데이터 분석을

통한 예측 방법이 주로 사용되었다. 하지만 본 연구에서는 전력 시스템을 특성을

더욱 반영하기 위해 전력 시스템을 결합한 모델링 방법을 사용하였다. 이에 대한

내용은 다음 장에서 자세히 살펴볼 것이다.

두 번째, 최적 위험 포트폴리오 구성단계에서 위험 자산들의 비율을 정하여 위험

최소화와 이익 최대화의 파레토 최적 해들을 먼저 구한다. 이러한 파레토 최적

해들의 집합을 효율적 투자선(efficient frontier)라 하며, 무위험 수익률 점에서

효율적 투자선에 접선을 그어 생기는 접점이 최적 위험 포트폴리오가 된다.

7

그림 2.1 최적 위험 포트폴리오 구성 과정

그림 2.1에서 무위험 자산의 수익률과 효율적 투자선의 접선은 투자 가능한

포트폴리오 중 가장 최적인 포트폴리오의 집합이다. 접선은 같은 위험 수준

하의(같은 x축 좌표) 선택 가능한 포트폴리오 중 가장 수익이 높은 점 혹은 같은

수익 하의 선택 가능한 포트폴리오 중 가장 위험이 낮은 점을 이은 선이기

때문이다. 이를 수식으로 표현 하면 다음과 같다.

목적함수는 그림 2.1에서 접선의 기울기가 최대화 되는 접점, 즉 최적 위험

포트폴리오를 구하는 식이다. 등식 제약에서 Ϭij는 i, j 자산 수익률 분포의

공분산(covariance)를 뜻한다. 특기할만한 점은, 공분산 행렬이 포트폴리오의

분산효과의 강도를 결정한다는 점이다. 이러한 공분산을 표준화하기 위하여 각 Ϭi,

Ϭj로 나눈 값이 상관계수 (correlation coefficient)이고, 상관 계수와 공분산간의

식은 다음과 같다.

8

ij

ij ij ij i j

i j

(2. 1)

이러한 상관계수는 1에서 -1사이의 값을 가지는데, 이러한 상관계수에 따라

포트폴리오의 위험감소 효과가 얼마나 나타날지 결정된다. 예를 들어 두 자산 i와

j의 기대수익률이 10%, 20%이고, 표준편차가 10%, 20%라고 가정하면

포트폴리오의 기대수익률과 표준편차는 다음 표와 같다.

표 2.1 상관계수와 포트폴리오 기대수익률과 표준편차

투자비율 ρij＝＋1 ρij＝－1 ρij＝0

wi wj E(rp) σp E(rp) σp E(rp) σp

100% 0% 10 10 10 10 10 10

70 30 13 13 13 1 13 10.7

50 50 15 15 15 10 15 12.9

30 70 17 17 17 14 17 15.6

0 100 20 20 20 20 20 20

9

그림 2.2 상관계수에 따른 포트폴리오 기대수익률과 위험

그림 2.2에서 상관 계수가 -1에 가까울수록 포트폴리오의 위험 분산 효과가 큰

것을 볼 수 있다. 또한 일반적으로 포트폴리오에 포함되는 모든 자산과의

상관계수가 1을 나타내는 자산을 제외한 모든 자산은 포트폴리오 구성 시 위험

분산 효과를 볼 수 있다.

세 번째, 효용함수를 도입하여 기대 효용이 최대화 되는 점에서 최적

포트폴리오를 선택하는 단계이다. 경제학에서 효용은 투자자의 주관적인 만족도를

나타내는 지표로서, 포트폴리오 이론에서는 기대 수익률과 위험의 상대적인

선호도를 반영하여 다음 식의 목적함수와 같이 정의한다.

10

2( ) ( ) 0.5 ( )

*. . ( ) (1 ) ( )

2 2 2 *( ) ( )

Max U w E r A rc cfw f

Bs t E r w r w E rc pf fa

r w rc pf

(2. 2)

위 식에서 A는 의사결정자의 위험 회피 성향을 나타내는 상수이다. A가 0인

경우 위험 중립, A가 음수인 경우 위험 선호, 양수인 경우는 위험 회피성향을

나타낸다. A가 양수이고 커지면 커질수록, 위험 회피 정도가 높아지는 것으로 볼

수 있다. 이러한 효용함수는 정확하게 파악하기 힘들며, 투자이론에서 교과서로

쓰여지는 책에서는 A값을 3을 평균 회피 성향, 3보다 큰 경우 큰 회피성향(more

risk aversion), 3보다 작은 경우(less risk aversion)으로 나타내고 있다.

위의 세 과정은 각 자산의 수익률 분포와 각 자산간의 상관관계를 가지고 위험을

최소화 하고 수익을 최대화 하는 포트폴리오를 만든 후, 투자자의 위험 회피성향에

맞는 포트폴리오를 선택하는 과정이다. 이러한 포트폴리오 이론을 효용성은 여러

선택 가능한 자산이 존재 하는 시장에서 극대화 된다. 전력 시장 발전으로 인한

상품 다양화, 선택 가능한 전략 다양화로 포트폴리오 이론의 적용범위가 점점

늘어나는 추세이다.

11

2. 2 전력 포트폴리오 최적화 프레임워크

2. 2. 1 전력 산업의 구조변화

전통적인 전력 산업 구조 하에서는 한 지역의 전력 공급을 발, 송, 배전을 수직

통합된 전력회사에서 모두 담당했다. 초기 진입 비용으로 대규모의 자본투입이

필요하고, 규모의 경제가 성립하는 산업구조를 가지고 있기 때문에 이러한 독점은

자연발생적이라고 볼 수 있었다. 이러한 독점화된 산업 구조에서 소비자의 잉여와

사회적 후생이 희생되지 않기 위해 규제를 도입한 것은 불가피한 조치였다.

1990년대부터 영국에서 전력 산업 구조 개편이 시행되었다. 이러한 구조

개편의 목적은 시장 자유화를 통해 독점 기업의 시장 지배력을 억제하고, 경쟁을

도입하여 전력 산업을 좀더 효율적으로 만들기 위함이었다. 이러한 구조 개편은

주로 두 가지 측면에서 시행되었는데, 시장 지배력을 약화시키기 위하여 독점화된

전력 회사 구조를 분할하는 분산(Unbundling) 정책이 시행되었고 1 , 전력 시장을

도입하여 시장참여자들에 대해 공평한 경쟁을 보장하는 방향으로 시행되었다.

분할(Unbundling) 정책으로 독점 전력회사는 발전부문과 송전부문을 분리하여

각각의 회사가 존재하는 구조로 바뀌었다. 배전부문과 소매부문분할은 각 국가의

상황에 맞게 분할되거나 발전회사와 통합된 형태로 이루어지고 있다. 발전, 배전,

소매 부문은 주로 민간에 의해 운영되는(경쟁이 도입된) 반면에 송전은 주로

1 분산 정책의 시행으로 독점 기업들의 규모를 줄여 시장 진입 장벽을 낮추는 효과도 기대

했다.

12

국가에 의해 규제를 받는다. 송전선은 전력을 공급하는데 있어 ‘도로’와 같은

공공재 성격을 가지고 있어서 공평한 사용을 보장하지 않는다면 시장 지배력이

매우 커지는 특징이 있기 때문이다. 이러한 분할 정책으로 개별 회사의 시장

지배력을 줄이고, 시장 진입장벽을 낮춤으로써, 민간 기업들이 전력 산업에

진출하는 계기가 되었다.

분할된 발전회사들과 민간 발전사가 배전회사나 대규모 수용가들이 시장

메커니즘을 통해 거래를 맺는 시장이 도매 전력 시장이다. 에너지 거래로

한정하여볼 때, 도매 전력 시장은 전기 공급 시점과의 시간차가 존재하느냐에 따라

쌍무 계약 시장, 일일 전 전력 시장과 실시간 전력 시장으로 나누어진다. 쌍무

계약 시장은 주로 장기간계약으로 발전회사와 배전회사가 전력 가격과 인도 시점을

정하여 거래하는 것으로 Over The Counter(OTC) 계약이라고도 한다. 대부분의

국가에서 일일 전 전력 시장에서 기준 가격을 생성하는데, 이 가격을 기준으로

에너지 거래가 정산된다. 가격 결정의 대표적인 제도인 모선별 한계

가격(Locational Marginal Pricing) 제도를 사용하는 일일 전 시장이라면 발전

입찰과 수요 입찰을 받고, 일일 전 예측된 계통 상황(송전을 포함)을 종합하여

거래의 낙찰 여부를 결정한 후 각 모선별로 1MW 만큼 더 사용할 때 드는 비용인

shadow price를 계산하여 가격을 정해준다. 실시간 시장에서는 일일 전 예측과

차이가 나는 수요를 맞춰주거나 고장이나 재해 등, 예측과 다른 상황이 발생할

경우 ISO가 실시간 입찰을 사용하여 수급균형을 맞춰주는 계약을 진행한다.

이러한 일일 전 시장과 실시간 시장의 입찰을 한번에 받아서 각기 시장을 따로

여는 것보다 최적의 운영을 하는 통합 시장 운영 연구도 최근에 활발하게 진행되고

있다. 이러한 에너지 거래 시장뿐 아니라, 예비력 등의 보조 서비스를 시장을

13

통해 확보하는 계통운영 보조 서비스 시장이 있고, 에너지 시장 가격의 가격

불확실성을 헷지(hedge)하기 위한 파생상품 시장이 존재한다.

14

2. 2. 2 전력 포트폴리오 이론

전력 시장 참여자 입장에서 시장 메커니즘에 의해 정해지는 가격은 규제된

가격에 비해 변동성이 크다. 이러한 상황에서 전력시장 참여자의 이익을

최대화하고 위험을 제한하기 위해 포트폴리오 최적화 이론이 도입되어 사용되고

있다. [2, 9, 10, 15-18] 전력 시장에서는 여러 시장에 참여 가능한 발전사나

부하거래자(Load Serving Entity)의 입장에서 자신의 판매/구매 비율 포트폴리오를

최적화 하는 문제를 다룬다. 또한 이러한 문제는 주로 중기에 맞춰서 다루어진다.

장기의 문제는 주로 계획 관점에서 다루어지고, 단기의 문제는 운영에 관점을

맞추어 다루어지는 것과 비교하여 중기는 계획이나 운영단계가 아닌 실제 거래의

1개월 ~ 1 년 전에 거래에 대한 관리를 하는 시점을 뜻한다. 이러한 포트폴리오

관리는 차액 정산거래, 재무적 송전권 등 파생상품을 통해 해결한 논문들[4, 5]과

여러 시장에 참여해 분산 효과를 통해 위험을 관리하는 연구들로 나누어진다.

후자의 연구를 [8] [9] 에서 ‘최적 전력 포트폴리오’ 라고 명명하였다. 다음

장에서는 전력 시장 참여자 입장에서 최적 전력 포트폴리오 적용을 위한

프레임워크를 제시하겠다.

2. 2. 3. 계통 특성을 고려한 전력 포트폴리오 최적화 프레임워크

전력 시장에서 전력 계통 특성을 고려하여 참여자 입장 중기 최적 전력

포트폴리오를 구하는 과정은 다음과 같은 고려 요소를 담아야 한다.

(1) 선택 가능한 거래와 위험요소를 확정

15

FERC의 Standard Market Design[20]에 따르면 전력 시장은 계약 시장과 현물

시장으로 구성되어 있다. 계약 시장은 다시 표준화된 거래를 지원하는 선도, 선물

시장과 당사자 간의 계약을 지원하는 쌍무 계약 시장으로 나눌 수 있다. 주로

이러한 거래는 실제 인도일 보다 최소 며칠 전에 계약을 한다. 현물 시장은

인도일 하루 전에 열리는 일일 전 거래시장과 당일에 열리는 실시간 시장으로

나누어진다. 현물 시장 중에 에너지 거래는 일일 전 거래 시장에서 대부분

일어나고, 이를 기준가격으로 선도, 선물, 쌍무계약을 정산하는 경우가 대부분이다.

전력 시장 참여자는 최적 전력 포트폴리오를 결정하기 위해 첫 번째 단계로

위와 같은 여러 거래 방법 중에 선택 가능한 거래 루트를 한정하고, 각 거래에

미치는 위험 요소를 확정해야 한다. 거래 루트에 대해 살펴보면 LSE의 입장에서

선도거래와 옵션, 현물 시장에 참여하는 논문[9]과 발전사 입장에서 여러 노드와의

쌍무계약과 현물 시장[10, 17] [16]에 참여하는 연구들이 있어 왔다.

(2) 가격 분포 모델링

전력 시장의 위험요소에는 가격 위험, 거래 위험, 지역적 위험 등이 다루어진다.

전력 시장의 가격은 다른 자산보다 상대적으로 변동성이 매우 커 대부분의 최적

포트폴리오 선택 연구에서는 가격 위험을 다룬다. [2, 8-10, 15-18] 전력

시장에서 발전사의 경우 현물 시장에서 가격 결정이나 혼잡에 의해 판매하지 못할

경우가 발생 할 수 있다. 이러한 위험을 고려한 연구들이 일부 다루어 졌다. [10]

지역적 가격제 하에 있는 시장에 속해있는 시장 참여자의 경우, 지역 간 전력

가격차가 생기는 경우가 있다. 이러한 다른 가격을 가지는 시장에 참여하는 것에

초점을 맞춘 논문들은 지역적 위험을 고려하기도 한다. [15]

대부분의 포트폴리오 연구의 주안점은 위에서 살펴본 거래 루트와 위험 요소에

16

포커스를 맞춰 이루어져 왔다. 발전사의 포트폴리오에 큰 영향을 미치는 시장

가격에 대한 모델링은 주로 경험적인 모델에 의해 구해졌다. 가격에 대한 부분은

역사적 Data를에서 통계적 방법으로 위험과 평균수익을 추출하는 방식으로

이루어졌다. [2, 8-10, 15-18]

하지만 본 방법론은 계통 특성에 영향을 받는 전력 가격의 변화를 고려할 수

없는 한계가 있다. 경험적인 방법론에 의해 통계적으로 이러한 경향이 반영될 수

있으나, 만약 특성이 달라진다면, 지역 간 가격의 변화를 반영할 수 없다. 또한

지역별 가격은 입력 변수와 계통 특성에 의해 특정한 식에 의해 구해지는데,

통계적 방법론에서는 이러한 가격 간 관계를 반영하기 힘들다.[3, 15] 본

논문에서는 3장과 4장에서 이러한 한계를 극복하기 위해 계통 특성을 고려하여

가격을 모델링하고 이를 확률적으로 전개함으로써, 지역별 가격 분포를 모델링

하였다.

(3) 전력 포트폴리오 최적화 과정

마지막으로 위 과정에서 얻어진 지역별 가격 분포를 각 거래의 기대수익으로

환산하고, 위험과 수익을 최적화하는 과정이 필요하다. 본 논문에서는 발전사의

입장에서 현물시장과 쌍무계약 시장에서 최적 전력 포트폴리오를 구하는 과정을

5장에서 다룰 것이다.

17

제 3 장 전력 시장 가격 모델링

전력 시장 참여자의 입장에서 인도일 이전에 자신이 참여 가능한 각 거래의

수익률을 예측하는 과정이 필요하다. 일반적으로 전력 거래의 수익률은 시장

가격에 직접적으로 연관되어 있으므로 전력 가격에 대한 모델링 방식은 전력

포트폴리오 최적화에서 중요한 요소이다.

본 장에서는 포트폴리오 구성에 직접적으로 연관되어 있는 시장가격을 계통

특성을 고려하여 모델링 하는 방법을 제안하고, 이를 전 입력 변수 구간으로

확장하는 과정을 담고 있다.

3. 1장에서는 모선별 한계가격의 분해를 통해 모델링을 하고, 3. 2장에서 확률적

분포로 나타내기 위해 전체 구간으로 확장하는 것을 다룬다. 3. 3장에서는 이를

수정된 IEEE-24 계통에서 시뮬레이션 하여 이 방법론의 적용 예시를 보여주었다.

3. 1 모선별 한계 가격 모델링

F.C. Schweppe 에 의해 1998 년 처음으로 제안된 모선별 가격 제도[22]는 해당

모선의 부하가 한 단위만큼 변할 때, 모든 물리적 제약들을 고려해 더 들어가는

비용을 해당 모선의 가격으로 결정하는 제도이다. 이러한 가격 결정 제도는 주로

미국 지역에 PJM, New York ISO, ISO-New England, California ISO, Midwest

ISO 들이 사용하고 있다. 이 가격 제도 하에서 모선별 가격은 경제 급전 문제에서

모선 전력 수급균형 제약의 그림자가격 (shadow price)으로 도출된다. 이러한

18

문제는 최대 사회적 잉여나 최소 공급 비용을 목적함수로 가지는 Optimal Power

Flow(OPF)로 나타낼 수 있다. 본 논문에서는 발전기가 모선별 가격 제도를

사용하는 전력 시장의 한 모선에 위치해 있다고 가정한다.

모선별 가격은 구성 요소에 따라 3 개로 분할되는데, 한계 에너지 가격, 한계

손실 가격, 한계 혼잡 가격으로 분할 가능하다. 송전용량이 전 계통에 충분하고

손실이 존재하지 않는다면, 입찰 가격이 가장 싼 발전기부터 모든 수요를 충족하는

발전량까지 차례대로 공급하여 한계 발전기의 입찰 가격이 전 지역 가격이 될

것이다. 이 가격은 System Price 혹은 Market Clearing Price 라고 불린다.

그러나 혼잡이 발생하여 송전선의 용량 한계에 의해 해당 송전선의 전력을

용량이상 흐르게 할 수 없다면 더 비싼 발전기의 공급을 해야 하고, 이 경우

혼잡에 의한 지역 간 가격차가 발생한다. 앞장에서 언급하였듯이 지역 간

가격차와 가격 간 Correlation 은 여러 지역 시장 참여자와 계약을 할 수 있는

발전사의 포트폴리오에 큰 영향을 미친다. 계통 특성을 고려한 지역별 전력

가격을 반영하기 위하여 본 논문에서는 DC OPF 기반의 가격 모델링을 하였다.

19

3. 1. 1 모선별 한계 가격 분할

발전사의 입장에서 중기의 판매 계획을 설립하기 위하여 전력 가격을 예측하는

과정에서는 기존의 전력 가격 예측 방법론을 사용할 수 있다. 여러 가격 예측

기법을 분류한 설명은 [12] 에 잘 분류되어 있다. 하지만 앞에서 언급 하였듯이

가격을 직접 예측하는 방법론들은 지역 간 가격의 Correlation 과 계통 특성을

고려하지 못한다. 본 논문에서는 OPF 기반으로 입력변수와 계통 특성의 관계식을

구하는 방법론인 모선별 한계 가격 분할을 통해 입력변수와 계통 특성에 의한

지역별 가격의 식을 구한다. 또한 이를 불확실한 입력변수에 의한 가격의 확률

변수로 나타내었다.

기존의 LMP Decomposition 방법론 [1] [23] [24]에서 사용한 방법론들은

OPF 를 계산하려는 목적과 가격을 예측하려는 방법론으로 사용되었다. 본 논문은

[25]에 기반을 둔 LMP decomposition 방법론을 불확실성을 가지는 입력변수인

수요에 관한 식으로 확장하였다. 또한 기존의 LMP Decomposition 의 한계인

좁은 입력 구간에서만 성립하는 방법론을 확률적으로 사용하기 위해 전체 구간으로

확장하였다.

20

3. 1. 2 전력 시장 가정과 경제 급전 문제

본 논문에서 전력 시장에서 발전사는 다음과 같은 2 차식으로 입찰한다고

가정한다.

min max. .

i i i i i

i i i

P a b P

s t P P P

(3. 1)

여기서 Pi 는 발전량, ρi 는 입찰함수, ai 와 bi 는 각각 입찰함수의 절편과

기울기이다. 본 논문에서는 한계 발전사 입장에서 자신의 이익을 최대화 하기

위해 입찰 함수를 바꿀 때, ai 를 조정한다고 가정했다. 이 가정은 발전기가

ai 조정과는 달리 bi 를 조정하여 입찰하여도 시장가격과 낙찰결과에 큰 변화를

가져오지 않기 때문에 도입하였다. 본 논문에서는 완전경쟁 시장의 가정인 전력

계통과 시장의 모든 정보가 공개되어 정보의 비대칭 성이 발생하지 않는다고

가정하였다. 즉 전력 계통 정보를 통한 시뮬레이션에서 전력 가격의 예측을 할 수

있다는 가정을 하였다.

전력 시장에서 경제 급전계획은 수요, 송전, 발전 제약을 고려하여, 발전량을

조절하여 계통의 총비용을 최소화 하는 식을 통하여 계산할 수 있다. 본

논문에서는 DC 조류 계산을 기본으로 하여 경제 급전을 하는 시장을 가정하였다2.

이러한 문제는 다음과 같은 OPF 식으로 표현 할 수 있다.

2 실시간 전력 시장 모델링과 전력 시장 관련 분석 논문에서는 DC 조류계산 모델이 많이

사용된다. 계통 분석등의 좀더 정확한 모델링이 필요한 분야에서는 AC 조류계산을 주로

사용하다.

21

2

1

1

max max min max

, ,

1 1

min max min max

min2

. . ( )

, 1,2,

, 1,2,

i

Ni

i i iP

i

N

i d

i

N N

l l i i l n dn l l l

i n

i i i i i

ba P P

s t P P

f P P f l L

P P P i N

(3. 2)

첫 번째 제약식은 전체 수요 공급 균형에 관한 제약식, 두 번째 제약식은

송전선의 용량한계에 대한 제약식, 세 번째는 발전량 제약식을 나타내며, 제약식

오른쪽의 괄호에 있는 문자는 각 제약식에 대한 라그랑지 승수(Lagrange

Multiplier)를 나타낸다. 위의 최적화 식은 일반적인 경우 부등식 제약이 Convex

set 이 아니기 때문에, 라그랑지 쌍대(Lagrangian dual)의 해가 원문제의 최적 값을

보장 할 수 없다. 하지만, 본 논문에서는 부등식 제약 중 활성화된 것을 알 수

있다고 가정했다. 부등식 제약 중 활성화 된 부분은 일차 등식 제약으로 나타낼

수 있고, Convex set 이다. [26] 그러므로 본 문제는 목적식과

실현가능영역(feasible region)이 모두 Convex 인 문제이다. 또한 라그랑지 쌍대

문제의 해가 원문제의 최적해임을 보장할 수 있다.

DC OPF 최적화 문제를 라그랑지 쌍대 문제로 변환하면 다음과 같이 나타낼 수

있다.

22

min max min max max max

1 1 1 1

2

1 1

min min max max

1 1

max max

, ,

1 1 1

, , , , , , , , , , ,

2

N N N L

N Ni

i i i d i

i i

N N

i i i i i i

i i

L N N

l l i i l n dn l

i i d

l P P

ba P P P P

P P P P

P P f

(3. 3)

조류의 방향을 미리 알고 있다고 가정하여, 송전용량의 최소값 제약을

완화시켰다.

다음으로 전력 포트폴리오 선택에 필수적인 전력 가격 모델링과 분석을 위하여

본 장에서는 개별 발전기와 수요가 전력 가격에 미치는 영향을 분할하였다.

수학식의 쉬운 표현을 위해 발전기는 가장 가격이 높은 발전기부터, 작은 발전기

순서대로 번호가 매겨졌고, 송전선은 혼잡이 걸린 송전선을 앞 번호로 배치했다.

이러한 번호 매김을 함으로써, 특정한 계통 상황에서 경제 급전 식을 풀어 시장

평형을 이룰 때, 앞 번호를 가지고 있는 발전기부터 Kmin 발전기 까지는 최소

발전량을 내고, 끝에서 Kmax 번째 발전기 까지는 최대 발전량을 발전하므로

수식을 간편화 할 수 있다.

23

먼저 라그랑지안의 KKT 조건 중 발전량 iP 에 대한 조건은 다음과 같이

나타낼 수 있다.

max min max

,

1

min

min

max

max

max

min

0

0 1, ,

0 0 1, ,

0 1, ,

0 1, ,

L

i i i i i l l i

l

i

i

i

l cong

l

a b P

i K Nl

i N KP

l L L

l L

(3. 4)

이 식의 두 번째 줄의 라그랑지 승수가 0 이 되는 이유는 최소 용량을 발전하는

발전기가 아니면 목적함수의 해에 영향을 주지 않아 라그랑지 승수가 비활성화

되기 때문이다. 마찬가지로 3 번째 줄은 발전기가 최대 발전을 하지 않는 경우에

라그랑지 승수가 비활성화 되고, 4 번째 줄은 선로가 혼잡상황이 아닌 경우에서

라그랑지 승수가 비활성화 된다. 한계 발전기의 경우 나머지 라그랑지 승수가

활성화되고, 이 식을 발전량으로 정리하면 다음과 같다.

24

max

,1min max

max

max

min

min

1, ,

1, ,

1, ,

congL

i l l ili

i

i i

i i

aP i K N K

b

P P i N K N

P P i K

(3. 5)

또한 모선별 한계가격의 정의를 이용하여 손실 없는 DC 방정식에서 모선별

한계가격은 계통 가격(System Price) 혹은 시장 청산 가격에서(MCP) 에서

혼잡비용을 뺀 것이므로 혼잡선로의 라그랑지 승수를 모선별 혼잡비용으로

배분하면 다음과 같다.

max

,

1

congL

n l l i

l

LMP

(3. 6)

위 식에서 λ 를 발전사가 조작 가능한 변수 ai 와 수요 Pdi 의 식으로 나타내기

위해 λ 에 대한 KKT 1 계 미분 조건을 구해보면 다음과 같다.

max

min

min

max

max

,1

1 1

max min

1 1

0

congLN KN

i l l ili d

i i K i

KN

d i i

i N K i

alP P

b

P P P

(3. 7)

위 식에서는 (3.5)의 Pi 를 대입하여 정리하였다. 이를 다시 λ 에 관한 식으로

나타내기 위해 정리하면 다음과 같다.

25

max max max

min min min

min

max

,max

1 1 1 1

max min

1 1

1 congLN K N K N Kl ii

l

i K i K l i Ki i i

KN

d i i

i N K i

a

b b b

P P P

(3. 8)

min max

max min

max

min

max min

1 1 1

1

,

1max

1 1

cong

N K N Ki

d i ii N K i i Ki

N Kl i

Li K

i

l

l

aP P P

b

C

b

C

(3. 9)

여기서 C1은 다음과 같다.

max

min

1

1

1N K

i K i

Cb

(3. 10)

앞 절에서 언급했듯이, 만약 전체 계통 선로에 혼잡이 안 걸린다면 전체 LMP 는

위 식에서 도출된 λ 로 결정된다.

발전 제약에 대한 KKT 조건은 활성화 되어도 발전량의 상한 하한을

결정함으로써, (3.8~3.10) 처럼 발전량의 상수만 결정하는 역할만을 하기 때문에

생략하였다.

조류량 제한에 대한 KKT 조건식은 다음과 같다.

26

max

min 1

min

max 1

max

max

,

1

max, ,

1 1

max,1

,

max max, ,

1

, 1, ,

, 1, ,

cong

dn

l

N

l l n dn

n

N N

i congl i l l ni n

LN K i k k ik

l ii K i

KN

i i congl i l ii N K i

l

f P

P f P l L

a

b

P P l L

(3. 11)

이 식에 (3.9)의 λ를 대입하면,

min max max

maxmax min min

min 1

max

min 1 max 1

max min max ,

11 1 1 1 1

1 1

,

max

max max,1

, , ,

1

/cong

cong

N K N K L N Kk ii

N K d i i ki N K i i K k i K

i i

l i

j Kj

LN K KN

j k k jk

l i l j j l j j

j K j N K jj

aP P P C

C b C b

b

aP P

b

min

max

,

1

, 1, ,

N

l l i Di cong

i

f P l L

(3. 12)

이 되고 ia 와 max

k 에 관해 묶어주면, 다음과 같은 식이 성립한다.

max

max min

min 1

max

max min

min 1

min

min

11

,

max max,,1 1 1

1

,

max max

, ,

1 1

min

1,

cong cong

N Ki

jN K i Ki

l i

j K j

L N K Lk i

k k k jN K k i K ki

l j

j K j

KN

l l i Di l j j

i j

K

d iil j

aa

C b

b

C b

b

f P P

P P

max

min

max

min

max

1 1

,

1max

,

1 1

, 1, ,

N K

j K j

N K l jN i K

j

l j j cong

j N K

C b

bP l L

C

(3. 13)

이 식에서 왼쪽 첫 번째 항의 시그마는 한계 발전기에 관한 항을 모두 더해주는

식이 반복적으로 사용되었으므로 정리하면 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

27

maxmax

min

min

max max max

min min min

maxmax max

min

min min

11

,

1

, ,

11 1 1

, ,1

11 1

( ( / ( ) )

( ( ))

( / )( )

(

N KN K i i j

i Kl j

jj K

N K N K N Kl j i l j

j

j i jj K i K j K

N KN K N Kl i i l ji K

j j

j jj K j K

a C b a

b

aa

b C b b

ba a

C b b

maxmax

min

min

, ,1

11

/)

N KN K l i i l ji K

j

j jj K

ba

C b b

(3. 14)

왼쪽 두 번째 항도 마찬가지로 정리하면,

max

max

min

min

maxmax

minmin

max

1min

max max1, ,1 1 1

,

1

, ,max

,11 1 1

, ,max

,

1

( / ( ))

( ( ( )))

( ( ( ))

congcong

cong

j i

L N K LN K ik k i k k jk i K k

l jjj K

N K L N Kl j k i

k k jj ij K k i K

N Kl j k i

k k j

i K

C b

b

b C b

b C b

max

min

max

max

min

min

1 1

, 1 ,, ,1 max

11 1

)

/( ( ))

cong

cong

N K L

j K k

N KL N K l k j j

l i k ij K

ki ik i K

b

C b b

(3. 15)

으로 정리 가능하다. 이 두 식을 통해 정리하면,

28

maxmax

min

min

max

max

min

min

minmaxmin

min

, ,1

11

, ,, ,1 max

11 1

min

max min 1, ,

11 1

,

/( )

/( ( ))

(

cong

N KN K l i i l ji K

j

j jj K

N KL N K l i k j j

l i k ij K

ki ik i K

KN KK

iil j l jl j

jj j K

l

l j

ba

C b b

b

C b b

Pf P

C b

max

min

max

max

min

,max1

11

,

,11 1

/)

( ) , 1, ,

N KN i i

i Kj

j N K

N KNl j

congl i dnji j K

bP

C

P l LC b

(3. 16)

으로 정리 가능하다. 이를 벡터 형으로 나타내면 다음과 같이 표현할 수 있다.

min max

max

( )cong cong cong

cong cong

L N K K L L

L K L N

max

max

D

α a β Γ

C D P E P

(3. 17)

위 식에서 각각의 계수들은 다음과 같다.

max

min, ,1

1

/( , )

N Kl i i l ji K

j j

bl j

C b b

(3. 18)

max

max

min

min

, ,, ,1

11

/( , ) ( )

N KN K l i k j j

l i k ij K

i ii K

bl k

C b b

(3. 19)

minmin max

min

min

max min 1, ,

11 1

( )

KK N K

iil j l jl j

jj j K

PC l f P

C b

(3. 20)

max

min,

1,

1

/( , )

N Kl i i

i Kl j

bD l j

C

(3. 21)

29

min

min

,

,11

( , )N K

l i

l n

i K i

E l nC b

(3. 22)

이 식을 다시 maxΓ 에 관한 식으로 정리하면,

- - max -1 -1 -1 max -1

DΓ β C β α a β D P β E P

(3. 23)

로 표현 가능하다. 마지막으로 모선별 한계 가격에 시장 청산가격을 대입하면

다음 식과 같이 표현할 수 있다.

min max

max min

max

min

max min

1 1 1

1

,max max1

,

11 1

( / )

/( )

cong cong

N K N Kd i ii ii N K i i K

n

N KL Ll i i

i Kl nl l

l l

P P P a bLMP

C

b

C

min max

max min

max

min

min max

1 1 1 11 1 1

,max1

11

( )

/( )

cong

K N N Kd ii i

n

ii i N K i K

N KL l i i

i Kl

l

P PP aLMP

C C C C b

b

C

(3. 23)

이 식을 벡터 형태로 표현하면,

max maxn 2 3 n4 DLMP C C P C P A a B Γ

(3. 24)

이 식에서 각 기호들은 다음과 같다.

min min

2

11

Ki

i

PC

C

(3. 25)

30

3 1 max

1

1KC I

C

(3. 26)

4 1

1

1NC I

C

(3. 27)

1

1[ ] [ ]i

i

A AC b

(3. 28)

max

min,

1, ,

1

/[ ] [ ]

N Kl i i

i Kn n l l n

bB B

C

(3. 29)

위의 식에서 max

Γ 에 관한 식()을 대입해 주면,

max

min max

max0, ,

, ,

1 1 1

10, 2

1

3

( )

m

N K N Nm

n i n ii n i d n dn

i K i N K n

n n

n n

mn

n

A A a A P A P

where

A C B C

A A B

A C B

maxn 2 3

4 d

-1 -1 -1 max -1n

D

max0, n n

n d,n D

LMP C C P C P A a

B β C β α a β D P β E P

A A a A P A P

1

1

, 4d n n

D

A C B E

(3. 30)

결과적으로 모선별 한계 가격을 상수와 한계 발전사의 입찰 조정변수, 각 모선별

수요, 최대용량 발전기의 발전량의 함수로 분해했다. 이러한 분해로 각 변수

31

변화에 대한 전력 가격 변화를 계수를 통해 쉽게 계산 가능하다. 그러나

한계발전기가 변화할 경우나 혼잡 선로상황이 변화할 경우, 위의 방정식은

성립하지 않는다. 이에 대해 한계 발전기나 혼잡 선로가 변화할 경우를 찾아내는

방법을 다음 장에 기술한다.

32

3. 2 전 입력변수 구간으로 확장

3. 2. 1 수요 구간으로 확장

위의 식을 전 입력 변수 구간에서 성립하게 하여, 가격의 확률적 분포로

나타내기 위해서는 각 변수들의 변화에 따라 혼잡선로와 한계 발전기가 변경되는

구간을 결정해야한다. 이러한 구간을 찾아내기 위해 먼저 각 변수가 발전량과

혼잡 선로에 흐르는 조류의 량을 계산하여야 한다. 우선 수요의 변화가 개별 한계

발전기의 발전전력량 변화에 대한 식을 살펴보면 다음과 같다.

- - max -1 -1 -1 max -1

DΓ β C β α a β D P β E P

(3. 31)

min max

max min

max

min

max min

1 1 1

1

,

1max

1 1

cong

N K N Ki

d i ii N K i i Ki

N Kl i

Li K

i

l

l

aP P P

b

C

b

C

(3. 32)

위의 두 식을 수요의 변화 량에 대해 변화시키면,

max -1

DΓ β E P

(3. 33)

max

min

,

1max

11 1

cong

N Kl i

Li K

idl

l

bP

C C

(3. 34)

33

한계 발전량 (3.5)도 마찬가지로 부하 변화량에 대한 한계발전량 변화량으로

나타내면,

max

,1

max

,1

cong

cong

L

i l l ili

i

L

l l ili

i

aP

b

Pb

(3. 35)

여기에 (3. 34)의 를 대입하면

max

min

max

min

,

1max max

,111 1

max ,1 ,1

1

1

cong

cong

cong

N K l jL j K

Ljdl l l il

l

i

i

LN K l j

d l l ij Kjl

i

bP

C C

Pb

P Cb

C b

(3. 36)

여기에 다시 (3. 33)의 max

l 을 대입하면

max

min

max

min

-1 ,

, , 1 ,11 1 1

1

-1 ,

, , 1 ,11

1

1

( , ) [ ]

cong

cong

LN NN K

m k

dn m l l n dn l ik Kin n m

i

i

LN K

m j

m l l n l ij Kjm

i

P E P Cb

PC b

where

E Cb

DP i nC b

DΔP DP ΔP

(3. 37)

34

위 식을 이용하여 모든 송전선 조류 변화량을 나타내면

max

min

max

max min

min

, ,

1

-1 ,

, , 1 ,1

1

, ,

1 1

1

( , ) [ ]

cong

N K

l l i i l n dn

i K

L

N Km j

N K m l l n l ij Kjm

l i l n

i K i

F P P

where

E Cb

DF l nC b

DΔF DF ΔP

(3. 38)

위의 두식을 이용하면 현재 계통에서 수요변화가 한계발전기의 발전량과

송전선의 조류량을 얼마나 변화시키는지 간단한 계수를 통해 측정할 수 있다. 이

계수들로 한계 발전기의 여유 용량(혹은 현재발전량)과 선로의 여유용량(혹은

현재조류량)으로 나누면 한계 발전기나 혼잡선로가 최대 혹은 최소 값을 가지는지

다음과 같은 식으로 측정 가능하다.

max

min

max

min

( )

( )( , )

( , )

( )( , )

( )( , )

allow i ii

allow i ii

allow l ll

allow l ll

n

P PDP n

DP i n

P PDP

DP i n

f fDF n

DF l n

f fDF n

DF l n

(3. 39)

35

위 식에서 i 는 해당 발전기의 번호, n 은 증가하는 부하의 노드 번호이다. n 번째

노드의 부하가 증가하여 모든 한계 발전기와 모든 비혼잡 선로에 대해 넷 중

하나의 값에 도달하면 LMP 는 현재까지의 패턴에서 벗어나는 큰 변화를 일으킨다.

전체적인 부하가 동시에 증가한다고 했을 때, 중첩원리가 성립 하기 때문에 위의

식 (3. 39)를 모든 n 에 대해 더해서 사용 가능하다. Ruibo 의 논문 [27]에서는

전체 부하 레벨이 일정 비율로 증가할 때 모선별 한계 가격이 급격하게 변화하는

부하 레벨을 임계 부하 레벨(Critical Load Level)이라는 개념을 사용하였다. 본

논문에서는 이와 달리, 각각의 수요(부하) 변화가 미치는 영향에도 확장 가능하며,

앞에서 언급한대로 각 모선별로 여러 개의 발전기가 있는 경우에도 사용 가능한

장점이 있다. 이 특성은 포트폴리오 선택이론에 적용 시에, 개별 부하나 개별

발전기의 발전량 변화에도 가격에 영향을 주므로 좀더 현실적인 사용이 가능한

장점이 있다. 본 논문에서는 모선별 한계 가격이 개별 부하에 따라 급격하게

변화하는 지점을 임계 수요(Critical Demand)로 정의한다. 이 임계 수요는 다음과

같은 식으로 표현된다.

[ , , , ]

, , , ,

[ , , , ]

dn

dn

allowed allow allow allow allow

dn i i l lP

allow allow allow allow

i i l l

allowed allow allow allow allow

dn i i l lP

P Min DP DP DF DF

for positive values of DP DP DF DF i l

P Max DP DP DF DF for

,

, , , ,allow allow allow allow

i i l l

i l

for negative values of DP DP DF DF i l

(3. 40)

36

그러므로 현재 수요를 0

dnP라고 하면 수요가 증가하는 방향의 임계 수요는

0 allowed

dn dnP P 이고, 감소하는 방향의 임계 수요는

0 allowed

dn dnP P 이다. 수요가

임계 수요 지점을 넘어가면 한계 발전기나 혼잡선로가 변화하기 때문에 위 식들의

계수를 다시 정하여야 한다.

3. 2. 2 입찰 구간으로 확장

앞 장에서는 수요의 변화가 각 발전기의 낙찰량과 선로의 조류량을 변화시키는

식을 구성했으며, 이러한 변화로 인해 한계 발전기와 혼잡 선로가 변경되는 임계

수요를 찾는 방법을 기술하였다. 이와 같은 방법을 한계 발전기 입찰 함수의

변화로 인해 생겨나는 한계 발전량 변화와 선로의 조류량 변화는 Appendix 2 에서

다루도록 하겠다.

37

3. 3 Simulations

3.3.1 모선별 한계 가격 분해 Example

본 장에서는 수정된 IEEE-24 모선 계통(그림 )을 이용하여 모선별 한계 가격

분해와 임계 수요를 찾는 과정을 설명한다. 수정 사항은 다음과 같다.

1. 발전기 데이터와 입찰 함수는 다음 표 (3.1) 와 같다.

2. 혼잡을 일으키기 위해 발전기의 발전용량과 전체 수요를 2 배로 가정하였다.

Base Case

수정된 IEEE-24 모선 계통에서 모선별 한계 가격 식 (3.30)을 검증하고, 기준

케이스를 만들겠다. 먼저 발전기의 가격 정보와 최소 최대 용량은 다음과 같다.

표 3.1 수정된 IEEE-24 모선 계통 발전기 data

발전기

번호 모선

ai

($/MWh)

bi

($/MWh)

최소용량

(MW)

최대용량

(MW)

1 1 24.842 0.1825 16 40

2 1 24.842 0.1825 16 40

3 1 10.239 0.0192 15.2 152

4 1 10.239 0.0192 15.2 152

5 2 24.842 0.1825 16 40

38

6 2 24.842 0.1825 16 40

7 2 10.239 0.0192 15.2 152

8 2 10.239 0.0192 15.2 152

9 7 17.974 0.01374 25 200

10 7 17.974 0.01374 25 200

11 7 17.974 0.01374 25 200

12 13 18.74 0.005055 69 394

13 13 18.74 0.005055 69 394

14 13 18.74 0.005055 69 394

15 14 0 0 0 0

16 15 21.227 0.189685 2.4 0

17 15 21.227 0.189685 2.4 0

18 15 21.227 0.189685 2.4 0

19 15 21.227 0.189685 2.4 0

20 15 21.227 0.189685 2.4 0

21 15 9.537 0.002795 54.3 0

22 16 9.537 0.002795 54.3 310

23 18 5.23 0.000035 100 800

24 21 5.23 0.000035 100 800

25 22 1 0 10 100

26 22 1 0 10 100

27 22 1 0 10 100

28 22 1 0 10 100

29 22 1 0 10 100

30 22 1 0 10 100

31 23 9.537 0.002795 54.3 310

32 23 9.537 0.002795 54.3 310

33 23 9.587 0.001575 140 700

39

본 논문에서는 논의의 편의성을 위해 OPF 에서 최소 발전기로 선정된 발전기는

기동정지계획 과정을 거쳐 경제 급전에서 빠진다고 가정하였다. 이 결과 최소

출력 발전기로 선정된 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 발전기는 논의의 편의성을 위해

OPF 에서 제외했다. 앞의 수정된 데이터를 바탕으로 DC OPF 를 실행시켰을 때,

6 번 모선과 10 번 모선을 연결하는 10 번 선로, 14 번 모선과 16 번 모선을

연결하는 23 번 선로, 16 번 모선과 17 번 모선을 연결하는 28 번 선로의 조류가

송전선 최대용량만큼 흘러서 혼잡선로가 되었다.

표 3.2 혼잡선로 정보

또한 혼잡이 없을 때 가격인 시장 청산 가격 을 구해보면,

λ는 22.07$/MW 이다．

혼잡 선로 정보와 한계 발전기 정보, 최대 용량 발전기 정보를 바탕으로 식

(3.30)의 각각의 행렬을 구해보면 다음과 같다.

송전선 번호 From 모선 To 모선 송전량

(MW)

shadow

Price($/MW)

10 6 10 -175 69.71215

23 14 16 -500 31.07919

28 16 17 -500 10.50108

40

min max

max

( )cong cong cong

cong cong

L N K K L L

L K L N

max

max

D

α a β Γ

C D P E P

min max( )congL N K K α

Line 1 2 5 6 9 10 11 12 13 14 22 23

10 -0.49103 -0.49103 -0.56887 -0.56887 0.916662 0.916662 0.916662 1.624576 1.624576 1.624576 0.370688 -5.87461

23 -0.98754 -0.98754 -0.99775 -0.99775 -14.4508 -14.4508 -14.4508 -37.7249 -37.7249 -37.7249 4.224635 156.273

28 -1.36682 -1.36682 -1.3704 -1.3704 -18.6228 -18.6228 -18.6228 -52.2112 -52.2112 -52.2112 -99.0275 317.0037

cong congL Lβ C

maxcongL KD

Line 3 4 7 8 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

10 0.179224 0.179224 0.207638 0.207638 0.001136 0.000536 0.000536 0.000536 0.000536 0.000536 0.000536 -0.01052 -0.01052 -0.01052

Line 10 23 28

10 -0.56475 2.238062 3.256462

23 2.238062 -63.6282 -85.0382

28 3.256462 -85.0382 -175.858

Cap

10 -175

23 -500

28 -500

41

23 0.360451 0.360451 0.364178 0.364178 -0.00724 -0.0103 -0.0103 -0.0103 -0.0103 -0.0103 -0.0103 0.18767 0.18767 0.18767

28 0.49889 0.49889 0.500198 0.500198 0.10157 -0.00081 -0.00081 -0.00081 -0.00081 -0.00081 -0.00081 0.538429 0.538429 0.538429

congL NE

Line 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

10 0.179224 0.207638 0.050019 0.103304 0.058188 0.758219 -0.02519 -0.02519 0.017911 -0.06829 -0.01697 -0.01913 -0.01642 -0.00925 0.002723 -0.00207 -0.00039 0.000411 -0.00571 -0.00882 0.001136 0.000536 -0.01052 0.02047

23 0.360451 0.364178 0.242291 0.374763 0.385068 0.399623 0.397109 0.397109 0.383427 0.410791 0.518005 0.351398 0.381398 0.755431 0.00086 -0.02362 -0.01505 -0.01094 0.067272 0.145176 -0.00724 -0.0103 0.18767 0.091451

28 0.49889 0.500198 0.457426 0.503912 0.507528 0.512636 0.511754 0.511754 0.506952 0.516555 0.526878 0.523013 0.527855 0.5407 0.372705 0.553564 -0.15981 -0.02219 0.547053 0.541473 0.10157 -0.00081 0.538429 0.404495

min max( )

60.9130485223001 -64.3836313120834

-2141.14833705175 2714.48431637651

-3361.9797271694 4262.59762573261

cong cong congL N K K L L

maxα a β Γ

max

175 104.948446930355 276.477864150552

500 456.038207285867 1529.37418637903

500 1095.22076070145 2495.83865898745

cong congL K L N

max

DC D P E P

42

위의 식에서 양변의 합은 [-3.470 ; 573.335; 900.61] 로 같다. 또한 다음으로 모선별 한계가격에 관한 각 파라메터는 표 3.3 과 같이 구할 수

있다.

43

표 3.3 모선별 한계가격에 관한 각 파라메터

A0,n An

1 2 5 6 9 10 11 12 13 14 22 23

1 -78.7494 0.21403 0.21403 0.24503 0.24503 -0.07872 -0.07872 -0.07872 0.10604 0.10604 0.10604 -0.01188 0.01184

2 -90.0773 0.24503 0.24503 0.28063 0.28063 -0.10204 -0.10204 -0.10204 0.09108 0.09108 0.09108 -0.02259 0.00416

3 -24.9326 0.06816 0.06816 0.07771 0.07771 0.00585 0.00585 0.00585 0.11880 0.11880 0.11880 0.21188 0.12244

4 -49.0346 0.13237 0.13237 0.15121 0.15121 -0.01129 -0.01129 -0.01129 0.15926 0.15926 0.15926 -0.02523 0.01419

5 -31.4172 0.08393 0.08393 0.09555 0.09555 0.02916 0.02916 0.02916 0.19186 0.19186 0.19186 -0.03628 0.01425

6 -308.742 0.84395 0.84395 0.96849 0.96849 -0.56156 -0.56156 -0.56156 -0.21884 -0.21884 -0.21884 -0.16658 -0.11708

7 1.3006 -0.00593 -0.00593 -0.00768 -0.00768 0.10243 0.10243 0.10243 0.24830 0.24830 0.24830 -0.04458 0.01959

8 1.3006 -0.00593 -0.00593 -0.00768 -0.00768 0.10243 0.10243 0.10243 0.24830 0.24830 0.24830 -0.04458 0.01959

9 -15.4423 0.04016 0.04016 0.04528 0.04528 0.06297 0.06297 0.06297 0.21506 0.21506 0.21506 -0.02739 0.02241

10 18.0435 -0.05202 -0.05202 -0.06065 -0.06065 0.14189 0.14189 0.14189 0.28155 0.28155 0.28155 -0.06177 0.01677

11 -4.7336 0.00869 0.00869 0.00889 0.00889 0.12147 0.12147 0.12147 0.30868 0.30868 0.30868 -0.30082 -0.02476

12 -0.0292 -0.00142 -0.00142 -0.00242 -0.00242 0.08721 0.08721 0.08721 0.22044 0.22044 0.22044 0.07949 0.00525

13 -1.7880 0.00294 0.00294 0.00252 0.00252 0.09135 0.09135 0.09135 0.23505 0.23505 0.23505 0.01763 -0.00776

14 -13.2658 0.02817 0.02817 0.03084 0.03084 0.16623 0.16623 0.16623 0.43187 0.43187 0.43187 -0.82950 -0.08279

15 -0.7183 0.00518 0.00518 0.00582 0.00582 -0.00516 -0.00516 -0.00516 0.01527 0.01527 0.01527 0.63653 0.31114

16 1.9292 -0.00018 -0.00018 -0.00035 -0.00035 -0.00907 -0.00907 -0.00907 0.00975 0.00975 0.00975 0.99825 0.00077

17 0.3417 -0.00180 -0.00180 -0.00203 -0.00203 0.00187 0.00187 0.00187 -0.00539 -0.00539 -0.00539 -0.22181 1.24006

18 0.0678 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00005 0.00005 0.00005 -0.00005 -0.00005 -0.00005 0.00001 1.00000

19 1.2580 0.00007 0.00007 -0.00022 -0.00022 0.01383 0.01383 0.01383 0.06054 0.06054 0.06054 0.77701 0.00021

20 0.6827 0.00028 0.00028 -0.00012 -0.00012 0.03345 0.03345 0.03345 0.10407 0.10407 0.10407 0.58737 -0.00026

44

21 -0.1786 0.00163 0.00163 0.00183 0.00183 -0.00158 -0.00158 -0.00158 0.00475 0.00475 0.00475 0.19950 0.78411

22 0.0252 0.00028 0.00028 0.00032 0.00032 -0.00023 -0.00023 -0.00023 0.00078 0.00078 0.00078 0.03448 0.96269

23 0.3689 0.00039 0.00039 -0.00006 -0.00006 0.04416 0.04416 0.04416 0.12781 0.12781 0.12781 0.48393 -0.00052

24 -9.8041 0.02882 0.02882 0.03280 0.03280 -0.00103 -0.00103 -0.00103 0.05412 0.05412 0.05412 0.47719 0.24033

A'n

3 4 7 8 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

-0.07812 -0.07812 -0.08943 -0.08943 -0.00059 -0.00010 -0.00010 -0.00010 -0.00010 -0.00010 -0.00010 -0.00014 -0.00014 -0.00014

-0.08943 -0.08943 -0.10243 -0.10243 -0.00067 -0.00012 -0.00012 -0.00012 -0.00012 -0.00012 -0.00012 0.00002 0.00002 0.00002

-0.02488 -0.02488 -0.02836 -0.02836 -0.00044 -0.00008 -0.00008 -0.00008 -0.00008 -0.00008 -0.00008 -0.00107 -0.00107 -0.00107

-0.04831 -0.04831 -0.05519 -0.05519 -0.00036 -0.00006 -0.00006 -0.00006 -0.00006 -0.00006 -0.00006 -0.00054 -0.00054 -0.00054

-0.03063 -0.03063 -0.03488 -0.03488 -0.00021 -0.00004 -0.00004 -0.00004 -0.00004 -0.00004 -0.00004 -0.00077 -0.00077 -0.00077

-0.30804 -0.30804 -0.35350 -0.35350 -0.00214 -0.00036 -0.00036 -0.00036 -0.00036 -0.00036 -0.00036 0.00314 0.00314 0.00314

0.00216 0.00216 0.00280 0.00280 0.00004 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 -0.00121 -0.00121 -0.00121

0.00216 0.00216 0.00280 0.00280 0.00004 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 -0.00121 -0.00121 -0.00121

-0.01466 -0.01466 -0.01653 -0.01653 -0.00010 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00100 -0.00100 -0.00100

0.01899 0.01899 0.02214 0.02214 0.00019 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 -0.00143 -0.00143 -0.00143

-0.00317 -0.00317 -0.00324 -0.00324 0.00029 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005 -0.00083 -0.00083 -0.00083

0.00052 0.00052 0.00088 0.00088 -0.00010 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00139 -0.00139 -0.00139

-0.00107 -0.00107 -0.00092 -0.00092 -0.00005 -0.00001 -0.00001 -0.00001 -0.00001 -0.00001 -0.00001 -0.00129 -0.00129 -0.00129

-0.01028 -0.01028 -0.01126 -0.01126 0.00081 0.00015 0.00015 0.00015 0.00015 0.00015 0.00015 -0.00004 -0.00004 -0.00004

-0.00189 -0.00189 -0.00213 -0.00213 -0.00074 -0.00015 -0.00015 -0.00015 -0.00015 -0.00015 -0.00015 -0.00176 -0.00176 -0.00176

0.00007 0.00007 0.00013 0.00013 -0.00112 -0.00019 -0.00019 -0.00019 -0.00019 -0.00019 -0.00019 -0.00271 -0.00271 -0.00271

0.00066 0.00066 0.00074 0.00074 0.00019 -0.00004 -0.00004 -0.00004 -0.00004 -0.00004 -0.00004 0.00061 0.00061 0.00061

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.00005 -0.00007 -0.00007 -0.00007 -0.00007 -0.00007 -0.00007 0.00000 0.00000 0.00000

45

-0.00002 -0.00002 0.00008 0.00008 -0.00087 -0.00015 -0.00015 -0.00015 -0.00015 -0.00015 -0.00015 -0.00239 -0.00239 -0.00239

-0.00010 -0.00010 0.00004 0.00004 -0.00067 -0.00012 -0.00012 -0.00012 -0.00012 -0.00012 -0.00012 -0.00211 -0.00211 -0.00211

-0.00059 -0.00059 -0.00067 -0.00067 -0.00027 -0.00009 -0.00009 -0.00009 -0.00009 -0.00009 -0.00009 -0.00055 -0.00055 -0.00055

-0.00010 -0.00010 -0.00012 -0.00012 -0.00009 -0.00007 -0.00007 -0.00007 -0.00007 -0.00007 -0.00007 -0.00010 -0.00010 -0.00010

-0.00014 -0.00014 0.00002 0.00002 -0.00055 -0.00010 -0.00010 -0.00010 -0.00010 -0.00010 -0.00010 -0.00197 -0.00197 -0.00197

-0.01052 -0.01052 -0.01197 -0.01197 -0.00063 -0.00012 -0.00012 -0.00012 -0.00012 -0.00012 -0.00012 -0.00150 -0.00150 -0.00150

Ad,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0.077 0.088 0.024 0.047 0.030 0.307 -0.003 -0.003 0.014 -0.020 0.002 -0.002 0.000 0.009 0.001 -0.001 -0.002 -0.001 -0.001 -0.001 0.000 -0.001 -0.001 0.009

0.089 0.102 0.027 0.054 0.034 0.353 -0.004 -0.004 0.016 -0.023 0.002 -0.002 0.000 0.010 0.001 -0.001 -0.002 -0.001 -0.001 -0.001 0.000 -0.001 -0.001 0.011

0.024 0.027 0.007 0.015 0.009 0.094 -0.001 -0.001 0.004 -0.006 0.001 0.000 0.000 0.003 0.000 0.000 -0.002 -0.001 0.000 0.000 -0.001 -0.001 0.000 0.003

0.047 0.054 0.014 0.029 0.018 0.186 -0.002 -0.002 0.008 -0.012 0.002 -0.001 0.000 0.007 0.000 -0.002 -0.002 -0.002 -0.001 -0.001 -0.001 -0.002 -0.001 0.005

0.029 0.033 0.008 0.018 0.011 0.115 -0.001 -0.001 0.005 -0.007 0.001 -0.001 0.000 0.005 -0.001 -0.002 -0.002 -0.002 -0.002 -0.001 -0.002 -0.002 -0.001 0.002

0.310 0.356 0.098 0.190 0.119 1.234 -0.013 -0.013 0.055 -0.081 0.006 -0.006 0.000 0.032 0.009 0.001 0.000 0.002 0.000 0.000 0.004 0.003 -0.001 0.042

-0.005 -0.005 -0.002 -0.003 -0.002 -0.018 0.000 0.000 -0.001 0.001 0.001 0.000 0.000 0.002 -0.003 -0.003 -0.002 -0.003 -0.002 -0.002 -0.003 -0.003 -0.001 -0.003

-0.005 -0.005 -0.002 -0.003 -0.002 -0.018 0.000 0.000 -0.001 0.001 0.001 0.000 0.000 0.002 -0.003 -0.003 -0.002 -0.003 -0.002 -0.002 -0.003 -0.003 -0.001 -0.003

0.012 0.014 0.003 0.008 0.005 0.050 0.000 0.000 0.002 -0.003 0.001 0.000 0.000 0.003 -0.002 -0.002 -0.002 -0.002 -0.002 -0.001 -0.002 -0.002 -0.001 0.000

-0.022 -0.025 -0.008 -0.013 -0.008 -0.086 0.001 0.001 -0.004 0.006 0.001 0.000 0.000 0.001 -0.003 -0.003 -0.003 -0.003 -0.002 -0.002 -0.003 -0.003 -0.001 -0.005

0.000 0.000 -0.001 0.000 0.000 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.000 0.000 0.004 -0.004 -0.005 -0.003 -0.003 -0.004 -0.003 -0.003 -0.003 -0.002 -0.003

-0.003 -0.003 -0.002 -0.002 -0.001 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.001 0.001 0.000 0.000 0.001 -0.002 -0.002 -0.002 -0.002 -0.001 -0.001 -0.002 -0.002 -0.001 -0.002

-0.001 -0.001 -0.001 -0.001 0.000 -0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.000 0.000 0.002 -0.002 -0.002 -0.002 -0.002 -0.002 -0.001 -0.002 -0.002 -0.001 -0.002

0.006 0.007 -0.001 0.004 0.003 0.025 0.000 0.000 0.001 -0.001 0.003 -0.001 0.000 0.009 -0.007 -0.009 -0.003 -0.004 -0.007 -0.005 -0.005 -0.005 -0.004 -0.005

0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.007 0.000 0.000 0.000 -0.001 -0.001 0.000 0.000 -0.003 0.002 0.003 -0.001 0.000 0.003 0.002 0.001 0.000 0.002 0.002

0.000 0.000 0.001 0.000 0.000 -0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 -0.002 0.000 0.000 -0.005 0.003 0.005 -0.001 0.000 0.004 0.003 0.001 0.000 0.003 0.003

46

-0.001 -0.001 0.000 0.000 0.000 -0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 -0.001 -0.001 0.000 0.000 -0.001 -0.001 0.000 0.000 -0.001 -0.001

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

-0.001 -0.001 0.001 0.000 0.000 -0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 -0.001 0.000 0.000 -0.003 0.002 0.004 -0.002 -0.001 0.003 0.002 0.000 0.000 0.002 0.002

-0.001 -0.001 0.000 -0.001 0.000 -0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 -0.001 0.000 0.000 -0.002 0.001 0.002 -0.002 -0.001 0.002 0.001 0.000 -0.001 0.001 0.001

0.001 0.001 0.000 0.000 0.000 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -0.001 0.001 0.001 0.000 0.000 0.001 0.001 0.000 0.000 0.001 0.001

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

-0.001 -0.001 0.000 -0.001 -0.001 -0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -0.001 0.000 0.001 -0.002 -0.001 0.001 0.001 -0.001 -0.001 0.001 0.000

0.010 0.011 0.004 0.006 0.004 0.040 -0.001 -0.001 0.002 -0.003 0.000 0.000 0.000 -0.001 0.001 0.002 -0.001 -0.001 0.002 0.001 0.000 0.000 0.001 0.002

47

3. 3. 2 개별 수요 변화 시 혼잡 선로와 한계 발전기 변화

앞 장에서 언급하였듯이, 앞의 식(3.30)과 표의 계수들은 한계 발전기와

혼잡선로가 변화하지 않는 구간에서만 성립한다. 전체 모선별 한계 가격에서

성립하기 위해서는 해당 변수가 증가나 감소할 때, 한계 발전기와 혼잡선로가

변화하는 구간을 찾아야 한다.

예를 들어 1번 모선의 수요가 변화할 때, Base Case에서의 1번 모선의 임계

수요는 식 (3.40)을 통해 구할 수 있다. Base Case의 1번 모선의 수요를 Pd1

라고 하면 1번 모선에 대한 한계 발전기의 허용 가능 변화 량 (1)allow

iDP ,

(1)allow

iDP 과 선로의 허용 가능 변화 량 (1)allow

lDF , (1)allow

lDF 은 다음과

같이 구해진다.

표 3.4 1 번 모선에 대한 한계 발전기의 허용 가능 변화 량

한계발전기 (1)allow

iDP (1)allow

iDP

1 61.6163 -50.5198

2 61.6163 -50.5198

5 30.39712 -67.5517

6 30.39712 -67.5517

9 -777.655 1445.273

10 -777.655 1445.273

11 -777.655 1445.273

12 618.8793 -2446.03

13 618.8793 -2446.03

14 618.8793 -2446.03

48

22 -11333.3 10187.91

23 16038.83 -43102.7

표 3.5 1 번 모선에 대한 선로의 허용 가능 변화 량

선로 (1)allow

lDF (1)allow

lDF

1 -351.27 355.97

2 -4124.74 5267.90

3 -1402.68 7389.56

4 -19837.33 52688.38

5 3.E+17 -1.E+18

6 159572.85 -185532.55

7 2054.20 -20015.35

8 22020.37 -50505.34

9 3822.42 -4969.81

10 -1.E+06 1.E+18

11 -36.68 1445.27

12 590.02 -2291.71

13 895.02 -2155.88

14 2706.91 -10299.09

15 1493.68 -10667.18

16 1389.70 -9261.95

17 446.54 -9626.20

18 606.64 -6713.16

19 6.E+16 -9.E+16

20 1604.64 -6156.01

21 7764.24 -53390.51

22 -4649.27 14345.42

23 8.E+04 -1.E+17

24 18470.75 -22490.99

25 13166.25 -155809.54

49

26 13166.25 -155809.54

27 4812.90 -22774.04

28 6.E+05 -4.E+17

29 11744.88 -15807.62

30 359338.26 -948429.93

31 -294545.84 1013222.35

32 -64936.62 115709.76

33 -64936.62 115709.76

34 15547.13 -39557.88

35 15547.13 -39557.88

36 8493.69 -46611.32

37 8493.69 -46611.32

38 228561.44 -1079206.75

위의 두 표에서 양수 값으로 가장 작은 값 1

allowed

dP 과, 음수 값으로 가장 큰 값

1

allowed

dP 을 구하면 30.39712MW와 -36.68MW이다.

만약 1번 모선의 수요가 30.397MW 이상으로 증가한다면 한계발전기 5,6번이

최대 용량에 도달하게 되어 모선 별 한계 가격이 큰 폭으로 변화한다. 만약 1번

모선의 수요가 41.03MW만큼 감소하면 11번 선로에 혼잡이 걸리게 된다. 두

경우 모두 한계 발전기나 혼잡선로를 다시 설정해 주어야 하며, 이 경우 모든

계수가 영향을 받게 되어, 더 이상 이전의 계수들에 의한 식이 성립하지 않는다.

LMP는 이러한 임계 수요에서 크게 변화한다. 먼저 Base Case의 LMP 값과 최소

용량 발전기, 한계 발전기, 최대용량 발전기는 다음과 같다.

50

표 3.6 Base Case 의 LMP 값과 최소 용량 발전기, 한계 발전기, 최대용량 발전기

LMP($/MWh) Pmin Pmar Pmax

1 34.6286 15 1 3

2 36.7235 16 2 4

3 21.5465 17 5 7

4 29.8839 18 6 8

5 27.1276 19 9 24

6 76.0244 20 10 25

7 21.7876 21 11 26

8 21.7876 12 27

9 24.2860 13 28

10 19.2893 14 29

11 26.3277 22 30

12 20.8764 23 31

13 22.0599 32

14 34.5010 33

15 9.7947

16 10.5172

17 3.6968

18 5.2727

19 13.0714

20 15.2607

21 6.6899

22 5.5176

23 16.4548

24 14.2043

Pd10 의 값에서 수요가 늘어서 ΔPd1 이 30.397MW를 초과한다면, 한계

발전기가 변화한다.

51

표 3.7 한계 발전기의 변화

LMP($/MWh) Pmin Pmar Pmax

1 37.10289 15 1 3

2 39.55625 16 2 4

3 22.33301 17 9 5

4 31.41421 18 10 6

5 28.0979 19 11 7

6 85.7828 21 12 8

7 21.71908 13 24

8 21.71908 14 25

9 24.7502 22 26

10 18.68796 23 27

11 26.42971 28

12 20.85924 29

13 22.0934 30

14 34.83142 31

15 9.850512 32

16 10.5087 33

17 3.677372

18 5.272698

19 13.06708

20 15.25997

21 6.707384

22 5.520586

23 16.4561

24 14.53426

위의 표는 ΔPd1 가 31MW일 때, 한계 발전기였던 5, 6 번 발전기가 최대

52

발전용량만큼 발전하게 되어 비 한계 발전기로 변화하게 됨을 보여준다. 이 때

6번 모선의 LMP는 다음 그래프와 같이 변화한다.

그림 3.1 6번 모선의 LMP

ΔPd1 30.397MW을 기준으로 LMP가 급격하게 변화하는 구간이 있으며, 그

구간을 중심으로 1번 모선의 수요의 변화에 대한 모선별 한계 가격의 기울기도

변화한다.

82

83

84

85

86

87

88

27 28 29 30 31 32 33

LM

P n

ode 6

ΔPd1 (MW)

30.397

53

제 4 장 전력 시장 가격의 확률적 모델링

포트폴리오 구성을 위해서는 전력 가격의 확률적인 분포가 필요하다. 본 장에서

는 3장에서 구한 OPF-based 지역별 가격을 바탕으로 수요의 확률분포에 따른 지

역 별 가격의 분포를 확률적으로 구하는 방법을 서술하겠다.

4. 1 수요의 불확실성에 의한 모선별 한계 가격 분포

4. 1. 1 수요의 불확실성과 모선별 한계 가격

전력 가격은 일정한 입력 변수가 가격 결정 메커니즘을 거쳐 나온 변수라고 생

각할 수 있다. 이러한 전력 가격에 대한 예측은 시장 규제자 입장에서 시장지배력

을 예측 하는 도구나, 발전사와 소비자의 잉여를 예측하기 위한 중요한 도구로 쓰

여왔고, 전력 시장 참여자 입장에서도 자신의 이익을 결정짓는 중요한 요소로써, 가

격예측은 전력경제의 중요 테마로 연구가 진행되고 있다. 전력 가격 예측 연구에서

시뮬레이션과 Time series모델을 사용한 방법론에서 전력 가격의 역사적 통계를

제외하면 입력변수로써 가장 널리 사용되는 변수 중 하나는 수요이다. [12]

앞 장에서는 모선별 한계 가격을 각 변수 별로 분해하여, 전력 가격에 미치는

각 변수들의 영향을 해석적으로 수식화 하였다. 식(3.30)에서 각각의 변수들은 각

발전기의 최대 발전량, 각 발전기들의 입찰 계수의 일차 항, 각 모선의 수요량들이

54

다. 상시, 각 발전기의 최대 발전량은 유지보수 계획이나 발전량 증설에 의해 변화

하여 비상시의 발전기 탈락 상태가 아니면 비교적 정확한 예측이 가능하다. 각 발

전기의 입찰 함수는 전력 시장에서 각 발전기의 입찰 전략에 따라 변화하나, 일반

적으로 계절별, 주중 요일 별, 일중 시간 별로 거의 일정하게 유지된다고 알려져 있

다. [28] 수요의 특성상 예측의 오차가 항상 있을 수 밖에 없다. 또한 수요는 지역

별, 모선별로 경향성을 보이지만 동적으로 변화하며, 전력 가격에 직접적인 영향을

준다. 또한 수요의 지역별 패턴은 혼잡을 일으켜 전력 가격이 큰 폭으로 변화하기

도 한다. 본 장에서는 3장에서 구한 수요와 전력 가격 간의 관계를 이용하여 모선

별 한계 가격의 분포를 구하겠다. 하지만 다른 입력 변수들, 예를 들어 조작 가능한

발전기의 입찰함수 변수에 의한 영향의 불확실성을 확률적으로 표현할 수 있다면

본 장의 방법론을 적용 가능하다.

본 논문에서 사용한 방법론으로 각 모선의 수요가 가격과 발전량에 미치는 영향

을 분석할 수 있으나, 논의의 편의성을 위해 본 논문에서는 전체 수요의 량이 주어

진다고 가정하고 전체수요의 량이 초기값과 같은 비율로 증가하거나 감소하는 것으

로 가정하였다. 각각 개별 수요의 변화는 다음과 같은 식으로 표현했다.

55

1

0 0

, 11

N

D dn

n

dn dn dn dn n D

D

where

NPdnDR DRnn PD n

P P

P P P P DR P

P

dΔP DR

(4. 1)

여기서 DR

n 은 n번째 수요의 수요 참여 비율이다. 위의 식을 통해 전체 수요 증가

에 따르는 개별 수요 참여 비율을 도입함으로써, 전체 수요가 증가 할 때, 개별 수

요의 증가 량을 표현하였다. 수요의 특징에 수요 변화 비율을 조정할 수 있기 때문

에 상업지역, 공업지역, 주거지역 등으로 분리하여 사용 가능하다.

임계 수요를 지나지 않는 구간에서 수요가 증감할 때, 모선의 가격은 다음과 같이

표현 가능하다.

,

1

,

1

Nj j j j

n m dn dm

m

Nj j j j

m dn m D

m

j j j

n D

LMP p A P

p A DR P

p s P

(4. 2)

56

위 식에서 j는 그림 4.1 에서 볼 수 있는 임계 수요 구간이다. ,m dnA은 식 (4.2)

에서 m번째 모선의 개별 수요가 증가할 때, n번째 모선 가격이 얼마나 증가하는지

나타내는 계수이다. 이 계수는 임계 수요레벨을 지나지 않는 경우 상수이고, mDR

도 상수이므로 각 임계 수요 사이에서 가격은 기울기가 ns인 일차함수로 표현할

수 있다. jp는 임계 수요 구간 중j번째 가격 구간에 왼쪽 끝 가격이다.

그림 4.1 임계 수요 구간과 LMP

p1

p3

p2

p4

p5

LMP

PD

PD

1 P

D

2 P

D

3 P

D

4 P

D

5

57

이 가격을 다시 표현하면 다음과 같다.

1 1 1 1 2

1 1 1 1

1

0 , 0

( ) ,

( )

( ) ,

,

( ) { ( ) | {0,1, , }, }

D

D D D D D

D

j j j j j

D D D D D

j

D D

i i i i i

D D D D D D

P

p s P P P P P

LMP P

p s P P P P P

VOLL P P

LMP P p s P P i j P P P

(4. 3)

만약 수요가 음수일 경우 모선별 한계 가격은 0으로 가정했다. 또한 수요가 계통

이 감당할 수 있는 능력을 넘어선 경우의 가격은 수요 손실 가치(VOLL)로 정해진

다고 가정했다.

4. 1. 2 수요 예측 확률 분포와 모선별 한계 가격 확률 분포

실제 수요를 예측 오차를 이용하여 표현하면 특정 확률분포를 가지는 확률변수로

나타낼 수 있다. 이러한 수요의 오차는 현재까지 연구에서 예측 오차를 정상(가우

시안) 확률 분포로 나타낼 수 있다고 알려져 있다. [27] 본 논문에서도 수요를 다

58

음과 같은 식으로 나타냈다.

2

2

2

( )

2

2

~ ( , )

1( )

2

( ) ( )

D

x

x

P N

x

x u du

e

(4. 4)

위 식에서 N은 가우시안 확률 분포를 뜻하고, 는 가우시안 확률 분포의 평균 값

이다. 본 논문에서는 예측된 전체 수요 값을 평균 값으로 가정해서 사용하겠다. [27]

[29] [30] 는 표준편차를 뜻하고, 표준편차가 크면 클 수록, 예측된 수요의 값

에서 오차가 커짐을 의미한다. 밑의 두 식은 각각 확률분포의 확률밀도함수(pdf)

와 누적분포함수(cdf)를 뜻한다.

예측된 수요가 확률 변수이기 때문에, 모선별 한계 가격 또한 확률 변수이다. 수요

에 대한 가격은 각 구간별로 수요에 대해 1차 변환한 식과 같으므로, 특정 구간에

서의 가격은 다음과 같이 표현할 수 있다.

1

1

( ) ( ) ,

( ) ( ),

i i i i i i

D D D D D D

i i i

i iD D

D D D Di

LMP P p s P s P P P P

LMP P p s PP P P P

s

(4. 5)

예측 수요가 표준 정규 분포를 따르기 때문에, 구간 내에서 예측된 가격의 분포는

59

위 식과 같은 정규분포를 따른다. 만약 모든 수요 구간이 연속된 일차 함수로 사

상이 가능하다면, LMP 값의 분포는 평균이 i i i

Dp s P 이고, 표준편차가

is 인 표준 정규분포를 따르게 될 것이다.

하지만, 그림 4.1에서 볼 수 있듯이 각 수요 구간의 기울기와 절편이 다르고 연속

적이지 않기 때문에, LMP 값의 분포는 조각 연속 확률 변수(piecewise continuous

random)이다.

0

( ) Pr( )

Pr( ( ) )

Pr( )

{ | ( ) }

LMP

D

D

ji i i

i

p LMP p

LMP P p

P D

where

D x LMP x p and D D

(4. 6)

위 식에서 iD 는 i번째 수요 구간에서 확률분포 LMP의 값이 p보다 작은 수요 구간

을 나타낸 집합이다. PD가 정규 분포를 따르는 확률 변수이므로 이 확률변수가

iD 수요 구간 안에 들어갈 확률을 구하면, 이 확률 값이 그 구간에서의 누적 확률

값이 된다. 각 수요구간은 서로 겹치지 않는 구간이므로 이 영역을 전체로 확대하

면, D 는 모든 수요 구간에서 LMP 값이 p보다 작은 수요 구간으로 확장 가능하다.

결과적으로 각 수요 구간에서 p보다 작은 수요 구간의 집합을 구하고 그 구간 안에

정규분포가 들어갈 확률을 구한다음, 전체영역에 대해 더해주면 이 값이 누적확률

분포이다.

각 구간에 대해 그림 4.2 에서와 같이 i번째 수요구간에서 p보다 작은 PD의 구간은

is 의 값과 p값을 임계 수요에서의 ( )i

DLMP P값과 비교하여 9가지로 분류 가능하다.

60

LMP의 누적 확률 분포는 다음 식(4.6)과 같이 표현 가능하다. 특기할만한 점은

각 구간에서의 is 와 구간의 끝점의 LMP 값인 pi는

,

1

Nj j

m dn m

m

A DR

의 값과 임계

수요의 곱으로 표현 가능하다는 점이다. 즉 2장에서 살펴봤던 결정론적인 모선별

한계 가격 분할에서 나온 계수를 사용하여 확률적 수요 예측에 따르는 확률적 모선

별 전력 가격을 표현할 수 있다.

1

1

1 2 3

{{0,1, , }| 0} {{0,1, , }| 0} {{0,1, , }| 0}

( ) Pr( { | ( ) , })

( ) ( ) ( ) ( )i i i

ji i i i i i

LMP D D D D D

i

i i iLMP

i n s i n s i n s

p P x s x p s P p P P P

p p p p

(4. 7)

p

DPi

DPi

DPi

DP 1i

DP 1i

DP 1i

DP

LMP

0is 0is 0is

그림 4.2 수요구간 내 기울기에 따른 적분구간

61

누적 확률분포를 구하기 위해서 p보다 작은 부분을 기울기에 따른 적분구간을 그림

4.2 로 나타냈다. p보다 작은 부분이 회색 영역이 적분되는 영역이다. 또한 각 구

간은 위 그림에서와 같이 구간 안에 p가 포함되는 경우, 모든 구간이 p보다 작은

경우, 모든 구간이 p보다 큰 경우로 나눌 수 있다. 각 구간의 적분 값을 식으로

표현하면 다음과 같다.

62

1

1

1

1 1

Pr( { | ( ) , })

: 0

Pr( { | ( ) , })

( )

( ), [ , ]

,

,

: 0

Pr( { | ( )

i

D

i

D

i i i i i i

D D D D

i

i i i i i i

D D D D

P

P

i i i

i iD

i

i i i

D D

i i

D

i

i i i i

D D

P x s x p s P p P x P

Case I s

P x s x p s P p P x P

u du

p p s Pp p p

s

where P P p p

P p p

Case II s

P x s x p s P

1

1

1

1 1

1

1

1

, })

( )

( ), [ , ]

,

,

: 0

Pr( { | ( ) , })

( )

,

,

,

i

D

i

D

i

D

i

D

i i

D D

P

P

i i i

i iD

i

i i i

D D

i i

D

i

i i i i i i

D D D D

P

P

i i

D

i i i

D D

i i

D

p P x P

u du

p p s Pp p p

s

where P P p p

P p p

Case III s

P x s x p s P p P x P

u du

P p p

where P P p p

P p p

1

{{0,1, , }| 0} {{0,1, , }| 0} {{0,1, , }| 0}

( ) ( ) ( ) ( )i i i

D D D

i i i

D D Di i i

P P P

LMPP P P

i n s i n s i n s

p u du u du u du

(4. 8)

63

위의 식을 전체 구간에 대하여 표시하면, 전체 함수의 누적확률분포 값은 다음과

같다.

1

1

1 2 3

{{0,1, , }| 0} {{0,1, , }| 0} {{0,1, , }| 0}

( ) Pr( { | ( ) , })

( ) ( ) ( ) ( )i i i

ji i i i i i

LMP D D D D D

i

i i iLMP

i n s i n s i n s

p P x s x p s P p P P P

p p p p

(4. 9)

각 구간을 9가지 case로 나누고, 각각에 대해 적분한 값을 모두 더하면 확률적 모

선별 한계 가격의 누적 확률 분포 함수가 된다. 여기서 다시 확률 밀도 함수를 구

하기 위하여 위의 식을 미분하면 다음과 같이 구할 수 있다.

1

1

1

2

1

1

3

0,

( )1( ) ( ),

0,

0,

( ) ,

0,

0,

( )1( ) ( ),

0,

i

i i ii i iD

i i

i

i

i i

i

i

i i ii i iD

i i

i

p pp p s Pd

p p p pdp s s

p p

p pd

p p pdp

p p

p pp p s Pd

p p p pdp s s

p p

(4. 10)

이 값을 (4.9) 처럼 정리하면

64

1

1

{{0,1, , }| 0, [ , ]}

{{0,1, , }| 0, [ , ]}

{{0,1, , }| 0, }

( ) ( )

( )1( )

( )1( )

i i i

i i i

i i

LMP LMP

i i i

D

i i

i n s p p p

i i i

D

i i

i n s p p p

i n s p p

dp p

dp

p p s P

s s

p p s P

s s

(4. 11)

( ) , , {{0,1, , }| 0}i i

LMP p p p i n s (4. 12)

누적 분포 함수를 각 구간에 대해 미분하면 위 식과 같은 결과를 얻는다. 누적 분

포함수의 기울기가 0인 부분을 제외하면, p

가 ip와

1ip

사이에 있는 부분의 기

울기만 남아 식(4.10) 으로 표현 할 구 있다. is 가 0일 경우에는 step함수가 되어,

기울기가 무한대로 뛰게 된다. 식 (4.10)에서 각 임계 수요 지점에서의 기울기는

계산이 불가능하나, 실제 계산시 편의를 위해 임계 수요지점의 우측 미분 값을 사

용하였다.

4. 1. 3 모선별 한계 가격의 평균

앞장에서 언급하였듯이, 최적 포트폴리오 선택 이론의 주요 목적은 포트폴리오의

수익을 최대화 하고, 위험을 최소화 하는 최적의 포트폴리오를 선택하는 것이다.

포트폴리오 수익의 기준이 되는 것은 주로 포트폴리오에 포함된 자산 수익의 가중

65

평균 값을 기준으로 한다. 본 논문에서는 기준 가격에 따르는 전력 상품의 수익을

다루므로, 모선별 한계 가격의 기대 값을 구하는 과정이 필요하다. 본 장에서는 앞

장에서 구한 누적 한계 분포와 확률 밀도함수를 바탕으로 모선별 한계 가격의 기대

값을 구한다.

앞장에서 모선별 한계 가격은 확률 변수인 예측 수요 값을 입력으로 받는 확률 함

수이다. 이 확률 함수는 임계 수요 구간마다 다른 함수를 가지므로, 평균을 구하기

위해서는 각 구간에 대한 기대 값을 구하고, 합을 구하여야 한다. 각 구간에 대한

기대 값은 조건부 확률을 이용하여 다음과 같이 표현 가능하다.

1( | )i i

D D DE LMP P P P (4. 13)

이 값을 전체 모선별 한계 가격으로 확장하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

1 1

0

1 1

0

1 1

0

( ) ( | ) Pr( )

( ( ) | ) Pr( )

( ( | ) ( )) Pr( )

ji i i i

D D D D D D

i

ji i i i i i i i

D D D D D D D D

i

ji i i i i i i i

D D D D D D D D

i

E LMP E LMP P P P P P P

E s P p s P P P P P P P

s E P P P P p s P P P P

(4.14)

위 식에서 각 구간의 LMP는 수요에 대한 일차 함수이기 때문에, 세 번째 줄처럼

표현 가능하다. 조건부 확률의 기대 값을 구하면 다음과 같다.

66

1

1

1

1

1

( )( | )

Pr( )

( )

( ) ( )

iD

iD

iD

iD

P

Pi i

D D D D i i

D D D

P

P

i i

D D

u u duE P P P P

P P P

u u du

P P

(4. 15)

위 식에서 정규분포의 구간에 대한 기대 값을 구하면,

21 1

2

1

2 2

2 2

2

12

1

2

2 2

2

2

2 2

(

2 2

2 22

22

)

2

1 

2

     2

2 1

2

1( )

2

2

i iD D

i iD D

iD

i

iD

D

iD

D

i

i

D

uP P

P

u u

u u

Pu

P

P

P

P

P

u

P

uu e e d

u u du

u

ud e e du

e

d

e

u e u

12

2 1 1( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

iD

t

iD

i i i i

D

P

P

D D DP P P

d

P

u

(4. 16)

위와 같이 표현할 수 있다. 결론적으로 평균값은 다음과 같이 표현 가능하다.

2 1 1 1

0

2 1 1

0

( ) [ ( ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ) ( ) ( ( ) ( ))]

[ ( ( ( ) ( ))) ( ( ) ) ( ( ) ( ))]

j

i i i i i i i i i i

D D D D D D D

i

j

i i i i i i i i

D D D D D

i

E LMP s P P P P p s P P P

s P P s P p P P

(4. 17)

기울기 is 와 임계 수요, 예측 수요의 평균과 표준편차가 각 임계 수요구간의 LMP

67

기대 값을 결정한다. 식(4.17)는 구간별 기대 값을 전체에 대한 비율로 곱해주고,

이를 모두 더한 식으로 표현 가능하다. 각 임계 수요구간의 기울기 si는 수요가

LMP에 미치는 영향을 나타낸 각 구간의 Ad,n과 전체 수요에 대한 개별 수요 변화

의 계수 DR를 곱한 계수 이고, 임계 수요의 좌표 또한 앞장의 식 (3.40)을 사용하

여 구하는 것이 가능하다.

LMP값의 분산은 다음과 같이 구할 수 있다.

1 1

2 2 2

2 1 1 2

2 1 1 2

2

2

1

( ) ( ) ( )

( ( | )) ( | )

(( ) | ) (( ) | )

( ) ( )( ) (( ) |

( ) ( )

i iD D

i iD D

i i i i

LMP D D D LMP D D D

i i i i i i

LMP D D D D LMP D D D D

P P

P Pi i i

LMP D Di i

D D

LMP E LMP E LMP

E E LMP P P P E LMP P P P

E s P P P P E s P P P P

u u v dudvs E s P P

P P

1 2)i

D DP P

(4.

17)

본 방법론에 대한 예시는 6장 사례 연구의 Case II번에서 다루도록 하겠다.

68

제 5 장 최적 전력 포트폴리오 선택

5.1 최적 전력 포트폴리오

본 장에서는 앞장에서 구한 전력 가격 분포에서 각 거래의 위험과 수익률을

추출하고, 최적 전력 포트폴리오를 구하는 과정을 서술하겠다.

5.1.1 최적 전력 포트폴리오 선행 연구

최적 전력 포트폴리오 연구는 전력 시장 참여자의 입장에서 중기 최적거래

비율을 택하기 위해 금융공학의 Modern Portfolio Theory(MPT)[21]를 도입하는

연구에서 부터 시작되어 전력 시장의 특성을 도입하거나 해결 방법론을 찾는

방식으로 발전하고 있다.. 선행 연구의 주안점은 크게 3가지로 나누어진다.

첫째로 선택 가능한 판매 시장의 특성에 초점을 맞춘 연구들이 있다.

전력시장에는 에너지 거래를 의무로 하는 선도 선물뿐 아니라, 재무적 위험을 헷징

하기 위한 파생상품 시장도 도입이 되어 있다. [5] 각 연구들은 실용적인 관점에서

접근 가능한 시장참여자의 상황에 알맞은 각 거래 루트를 통해 위험을 줄이고

이익을 최대화하는 방법론을 제공해 왔다. 가장 대표적으로 사용되는 거래 방법은

쌍무계약을 포함한 선도와 지역시장 참여이다.[10, 16, 18] 이외에도 Contract for

difference를 고려한 연구 [9]등이 있다. 또한 최근에는 탄소배출권 참여를

고려한 연구가 진행되고 있다.[18] 이처럼 전력 시장 상황과 참여 가능한 시장이

69

늘어날수록, 이러한 연구는 늘어날 전망이다.

두 번째로, 위험 측정 기준에 주안점을 둔 연구들이 있다. 위험 측정 기법의

선택은 의사결정자의 선호와 편의성, 위험 지표를 사용하는 목적에 따라 선택이

가능하다. 기존의 MPT 패러다임 하의 논문들은 각 자산의 수익률이 가우시안

분포를 가정하였다. 다른 연구에서는 위험기준을 Conditional Value at

Risk(CVaR)[16, 31], skewness[17]를 추가하여 위험을 평가하는 방향으로

발전하였다. 위의 방법론은 의사결정자의 선호에 따른 결정할 영역이나, 전력 분야

연구에서는 Value at Risk 보다는 수학적 성능이 더 나은 CVaR [22] 를 많이

사용하는 추세이다.

셋째로, 포트폴리오 최적화 이론에서 다변수 최적화에 초점을 맞춘 논문들이

있다. 이 논문들에는 용량 제약이나 전력 시장 거래에 관한 제약들을 추가한

비선형 문제를 논문들은 유전 알고리즘이나 Particle Swarm 알고리즘[32]을

적용하여 비선형 최적화 문제에 대한 답을 찾아가는 과정을 개선하였다.

본 논문에서는 3, 4 장에서 전력 가격의 물리적 특성을 고려하여, 전력 가격을

모델링하고, 그 가격의 성질에 대해 알아보았다. 가격 분포 정보를 바탕으로 시장

참여자(발전사)의 입장에서 자신의 포트폴리오를 구성하는 것에 대해 다루어

보겠다.

70

5.2 전력 시장에서의 거래

5.1.1 전력 시장 가격과 거래

3,4 장에서 수요의 변화에 의한 전력 가격 변화에 대한 모델링에서 포트폴리오

이론 적용에서 중요한 포인트에 대해 정리하면 다음과 같다.

. 전력 가격은 수요에 대해 각 수요구간별로 일차 함수로 나타낼 수 있다.

. 각 구간 내에서 전력 가격들의 상관계수가 계산 가능하다.

. 입력 변수의 Critical Point에서 전력 가격이 크게 변화하는 구간이 존재한다.

. 입력 변수의 확률 변수(수요)에 따른 가격의 확률 변수를 해석적 식으로

표현하였다.

앞 장에서는 수요의 확률변수가 가격의 확률변수로 변환하는 과정을 서술하였다.

포트폴리오를 구성하기 위해 가격의 확률변수를 거래의 확률 변수로 변환하는

과정이 필요하다.

본 논문에서는 계통의 한 위치에 위치한 발전사가 중기 (인도일 1 개월~1 년

전)에 전력 판매 포트폴리오를 구성하는 문제를 가정하였다. 발전사는 가장

일반적으로 에너지 거래에 사용되는 쌍무계약과 일일 전 시장에 참여하는 상황을

가정하였다.

71

5. 2. 2 거래의 수익률 분포

발전사의 비용은 발전량에 따라 변화하는 함수로 가정하였다. 본 장에서는

편의를 위해 판매하는 발전사의 index를 A로 가정하였다.

Standard Market Design에 따르면[20] 지역별 가격제를 시행하는 시장에서

지역 간 가격차가 나는 소비자와 생산자가 거래할 경우, 혼잡비용을 지불해야 한다.

그러므로 타 지역의 소비자와 거래를 하는 발전사의 쌍무거래는 지역별 가격차의

함수이다. 즉, 확률적 변수를 포함한 위험 거래이다. 반면에, 자기 지역내의

소비자와 거래를 할 경우에, 가격 차가 나지 않으므로 지역 내 쌍무계약은 약정된

거래대금만 주고받는 무위험 거래이다. 현물시장의 경우, 발전사는 자신의 지역

가격을 받는다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다. 간단한 수식을 위해 거래 단위

시간을 1시간으로 가정했다. A 지역의 전력 가격을 반영한 수입은 다음과 같다.

현물 시장 참여시 발전사의 수입

1

Tt tr P LMPs ss

t

(5. 1)

타지역 시장과 쌍무 계약 수입

{ ( )}1

Tt t t tr P CP LMP LMPsi i ii

t

(5. 2)

72

자기 지역내 쌍무 계약 수입

1

Tt tr P CPA AL

t

(5. 3)

위에서 tLMP

s, t

LMPi는 3,4 장에서 구한 확률 분포값이다. 발전사는 현물

시장에 입찰할 경우, 자신의 지역 가격인 (5. 1)로 정산받는다. 타 지역과 쌍무

계약한 거래가 자신이 속해 있는 지역과 가격차가 나면 (5. 2)에서 처럼 비율로

혼잡비용을 지불해야 한다. 자기 지역내 쌍무 계약은 계약 가격을 정산 받는

무위험 자산이다. 발전 비용은 모든 발전사가 G i S AP P P P 일 때 포트폴리오를

구성하는 발전사의 발전 비용은 다음과 같다.

2

1

( )2

tTt t tGG G G

t

bq a P P

(5. 4)

각 시간대별 모선별 한계 가격의 확률분포를 고려한 포트폴리오의 각 시간대의

기대 수익률은 다음과 같이 표현 가능하다.

,

{ }/t ti S

i L SLMP LMP t

Expport

Exp r r r q q

(5. 5)

위의 (5. 1)-(5. 3) 식을 도입하여 정리하면 다음과 같이 구할 수 있다.

73

1

( ) [ { ( ) ( )]}

1

( ) ( ) ( )t t t t t t t t tTs i s i i i i A A

t

t t t t t t t tT P E LMP P CP E LMP E LMP P CP qExp s s si i i A Aport qt

P P E LMP P E LMP P CP P CP q

q

(5. 6)

위와 같이 기대 수익의 평균 값은 Spot 시장의 모선한계가격과 쌍무계약지역의

모선한계가격의 평균 값과 계약가격으로 나타낼 수 있다.

74

5.3 Mean-variance 기준 최적 포트폴리오 선택

5.3.1 분산 기준 위험 모델링

앞 절에서 발전사의 각 거래를 모델링함으로써, 거래의 확률적 가격 분포를

생성하고, 이에 의한 발전사 포트폴리오의 기대 수익의 평균 값을 얻을 수 있었다.

본 장에서는 이러한 각 거래의 위험을 지표로 나타내고, 포트폴리오의 위험을

측정하는 방법을 알아보겠다.

금융이론에서 위험은 손해를 볼 가능성을 뜻한다. 일반적으로 위험은 확률

분포를 특정짓는 한 지표로 정의 할 수 있다. 이러한 위험을 최소화하는 동시에

수익을 최대화하는 것이 기본적인 포트폴리오 최적화의 목적이다. 이러한 사상

하에 금융공학과 전력 포트폴리오 최적화에서 일반적으로 가장 많이 사용하는

위험지표(risk index 혹은 risk frame)는 분산과 VaR, CVaR 등이 있다.

가장 일반적으로 사용하는 위험 지표로 MPT 에서는 분산 기준을 사용했다.

분산은 분포가 얼마나 퍼져있느냐를 나타내는 지표로, 위험지표로 가장 많이

사용되는 지표인 분산은 각 값이 평균에서 얼마나 떨어졌는지를 나타내는 지표이다.

표준편차는 그러한 분산을 표준화한 지표이며, 일반적으로 두 위험지표는 사용처에

따라 혼용해서 사용한다.

위 현물시장과, 지역내 쌍무계약, 타지역과 싸움계약 1건의 거래로 만든

포트폴리오의 분산을 수학식으로 나타내면 다음과 같다.

75

2 2( ) var( ) ( ) var( ) 2( )( ) ( , )var

21

t t t t t t t t t tT P P LMP P LMP P P P CoV LMP LMPs s s si i i i i iport

qt

(5. 7)

단, 위 식은 타지역 쌍무 계약이 한 개일 때의 식이다.

5.3.2 평균-분산기준 포트폴리오 최적화

이익을 최대화 하고, 위험을 최소화 하는 발전사의 최적 포트폴리오는 다변량

최적화로 나타낼 수 있다. 이 최적화 과정에서 weight factor 인 를 도입하면

다음과 같이 표현 할 수있다.

var

, ,

1

2

. .

, , 0

t t tLS i

S i

S i

Exp

port portP P P

t t t t

G L

t t t

L

Max U

s t P P P P t

P P P

(5. 8)

위 식에서 는 위험과 수익의 상대적인 비율, 즉 위험 선호비율을 나타낸다. U 는

효용함수를 뜻하고, U 가 높을수록, 효용이 높은 포트폴리오이다. 6 장의

시뮬레이션 에서는 Mean-Variance 기준의 포트폴리오 최적화 과정과 방법론의

검증

을 다루겠다.

76

제 6 장 사례 연구

본 장에서는 수정된 IEEE-24모선 계통을 활용하여 사례 연구를 수행한다.

그림 6.1 수정된 IEEE-24 모선 계통

수정된 24모선 계통의 발전 데이터는 Appendix I에 수록하였다. 수정된

데이터는 발전사의 입찰함수이며, 발전사의 시장지배력을 다룬 논문[25]의

시뮬레이션 데이터를 참조하였다3.

시뮬레이션에서는 23번 모선에 위치한 발전사의 입장에서 포트폴리오

최적화하는 문제를 다룬다.

3 전력 포트폴리오 관련 연구에서는 실 계통 시뮬레이션을 한 경우를 찾지 못하여, 부득이

하게 시장지배력 연구를 참조함.

77

6.1 Case I

본 시뮬레이션의 목적은 부하의 불확실성에 의한 가격 분포를 몬테카를로

시뮬레이션을 통해 검증하고, 방법론의 사용가능성을 확인하는 것이다. 23번 모선에

위치한 발전사의 입장에서 특정 1시간에 대한 최적 포트폴리오를 구성

23번 발전기 최대 용량 : 80MW, 발전 비용 : 10$/MWh

쌍무 계약 조건 : 1번 모선 수요와 14 $/MWh, 14번 모선 21$/MWh,

혼잡비용 50% 부담

수요예측 : 평균 4000MW, 표준편차는 평균의 0.2배

수요는 정규분포를 가정하였으므로 수요의 pdf는 다음과 같다.

그림 6.2 수요의 pdf

3장의 방법론을 이용하여 지역별 전력 가격 분포를 그리면 다음과 같이 그려진다.

이 때 해석식을 이용하여, 모선 1번과 모선 14번, 모선 23번의 한계가격 pdf를

그려보면 다음과 같이 그릴 수 있다.

78

그림 6.3 LMP 의 pdf

이 방법론의 정확도를 확인하기 위하여, 몬테카를로 확률 분포를 1000번

수행하였다.

그림 6.4 몬테카를로 방법론으로 구한 pdf

몬테카를로 방법론으로 구한 지역가격의 분포와 거의 차이가 없는 것을 확인

할 수 있었다.

79

6.2 Case II

이 케이스에서는 앞 케이스를 이어받아 방법론 사용의 예시를 보이고, 계통

특성을 고려한 최적 전력 포트폴리오와 각 거래에 대해 분석하도록 하겠다.

그림 6.3의 분포의 평균과 Variance 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

표 6.1 LMP 의 평균과 Variance

Expectation Variance

LMP_1 16.80 4.63 LMP_14 28.24 27.53 LMP_23 11.89 0.94

또한 각 가격 간의 Covariance 값을 구하면 다음과 같다.

표 6.2 가격 간의 Covariance

Covariance LMP_1 LMP_14 LMP_23 LMP_1 4.628186 11.0527 1.647325 LMP_14 11.0527 27.53426 3.29895 LMP_23 1.647325 3.29895 0.941047

이를 각 거래의 수익률과 불확실성은 다음과 같이 구할 수 있다.

80

표 6.3 각 거래의 수익률과 불확실성

Expectation Variance

쌍무계약_1 0.1533 0.0057 쌍무계약_14 0.2798 0.0547 Spot 거래 0.1872 0.0941 R_Local 0.1 0

해당하는 각 거래의 Covariance는 다음과 같이 구할 수 있다.

표 6.4 각 거래의 Covariance

Covariance 쌍무계약 1 쌍무계약 14 Spot 거래 쌍무계약 1 0.005686 0.017619 -0.00353 쌍무계약 14 0.017619 0.054694 -0.01179 Spot 거래 -0.00353 -0.01179 0.00941

이때 평균 분산기준의 효율적 투자선을 그려보면 다음과 같다.

81

그림 6.5 평균 분산기준의 효율적 투자선

이 거래에 위험 회피도를 반영하여 평균-분산기준 최적 포트폴리오

비율을 나타내면 표 6.5 와 같다.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Risk (Standard Deviation)

Expecte

d

Retu

rn

Optimal Capital Allocation

Optimal Overall Portfolio

Optimal Risky Portfolio

82

표 6.5 최적 포트폴리오 비율

위험자산의 분산에 대해 살펴보면, 지역스팟시장 참여 시에는 그

지역가격의 모선별 한계가격으로 정산 받기 때문에 지역시장 참여의 분산은

지역가격의 모선별 한계 가격의 분산과 같다. 반면에 타지역과의 거래의

분산은 해당 지역 가격의 분포의 분산보다 훨씬 작아진 것을 볼 수 있다.

또한 타지역 쌍무 계약의 경우 지역 간 가격차에 의해 결정이 되기 때문에

Covariance값이 역 부호로 나타난 현상을 볼 수 있다. 이는 해당

Covariance값을 가진 포트폴리오 구성시에 ‘분산화’ 효과를 늘려주어

같은 위험하에서도 더욱 나은 결과를 얻게 해줄수 있음을 암시한다.

모선 1 쌍무계

약

모선 14 쌍무계

약

현물시장참

여

모선 23 쌍무계

약

수익률 0.1551 0.2861 0.1804 0.1

분산 0.0053 0.0051 0.0088 0

위험회피도 4

최적분배비

율 0.033436 0.191377 0.464587 0.3106

전체 수익률 0.1748

전체위험 0.0433

위험회피도

4.5

최적분배비

율 0.029733 0.170092 0.412975 0.3872

전체 수익률 0.1665

전체위험 0.0384

위험회피도 5

최적분배비

율 0.026748 0.153096 0.371656 0.4485

전체 수익률 0.159862

전체위험 0.034601

83

표 6.5에서 최적 효율 투자선(위험자산간의 최적 분배비율을 이은 선,

optimal risky portfolio)에서 위험자산간의 비율이 결정되기 때문에, 최적

위험자산끼리의 분배비율은 변하지 않는다. 즉 위험 자산의 비율은 0.048 :

0.277 : 0.673 으로 일정하다. 위험 회피도에 따라 위험자산 포트폴리오와

무위험 자산의 비율이 결정된다. 본 결과에서도 위험 회피도가 높아질

수록, 무위험 자산인 모선23내 쌍무계약을 택하는 비율이 높아진다.

위험과 수익은 양의 상관관계를 위험회피도와 수익은 음의 상관관계를

지님을 확인할 수 있었다.

84

6.3 Case III

본 케이스에서는 계통 특성이 변화할 경우, 최적 포트폴리오의 변화를

살펴보겠다.

다음 그림과 같이 수정된 IEEE 24모선에서 14-16번 선로가 50MW 증설되었다.

본 케이스에서는 논의의 편의성을 위해 23번 모선의 발전기가 14번 모선과

쌍무계약을 하거나 지역 시장에 참여하는 케이스만 고려하였다.

그림 6.6 수정된 IEEE 24모선에서 14-16번 선로의 증설

85

14-16번 선로는 상습 혼잡 선로이며, 50MW 증설시에 3장의 방법론을 사용하면

계통의 부하 구간 정보는 다음과 같이 변화한다.

표 6.6 계통의 수요 구간 정보

14번-16번 모선에 50MW 증설하였을 때 수요구간은

표 6.7 증설시 계통의 수요 구간 정보

Base Case에서 10번 구간은 수요가 3107MW에서 3864MW까지의 구간을

의미하며 수요의 정규분포 상에서 35.3%의 분포가 이 구간에 해당한다. 해당

구간에서의 14번 모선의 LMP는 1MW가 늘어날 때 0.017$씩 증가한다. 반면에

23번 모선의 LMP는 1MW가 늘어날 때, 0.000365$가 늘어남으로써, 비율로

따지면 47배의 비율로 23번 모선의 LMP가 빠르게 늘어난다. 다른 구간의

Section 6 7 8 9 10 11 12 13 Pd_Left 2460 2760 2890 3107 3864 3873 3880 3931

Pd_Right 2760 2885 3107 3864 3873 3880 3931 4071 Slope of LMP_14 0.000954 0.01535 0.007708 0.017166 0.035622 0.008116 0.0069 0.014642 Slope of LMP_23 0.00095 0.002032 0.001122 0.000365 0.000358 0.002082 0.001753 0.003729

Ratio 1.003996 7.555711 6.869695 47.04327 99.36547 3.897713 3.935759 3.926639 Portion 0.002 0.002 0.012 0.353 0.008 0.009 0.066 0.128

Section 6 7 9 10 11 12 13 Pd_Left 2460 3085 3169 3535 3760 3763 3853

Pd_Right 3085 3164 3535 3760 3763 3853 4280 Slope of LMP_14 0.000954 0.01535 0.007708 0.009157 0.007908 0.007908 0.012766 Slope of LMP_23 0.00095 0.002032 0.001122 0.001842 0.001634 0.001634 0.003908

Ratio 1.003996 7.555711 6.869695 4.972524 4.840986 4.840986 3.266566 Portion 0.007 0.015 0.104 0.143 0.003 0.075 0.397

86

Ratio가 3~5배 인것과 비교하면 높은 수치이다. 50MW 증설 케이스에서는 수요

구간도 변하였지만, 해당 구간의 Ratio는 4.84~6.87배로 급격한 Ratio변화는 많이

완화되었다. Covariance와 Correlation은 각 변수가 비슷한 비율로 움직이는

경향성에 비례하기 때문에, 급격한 Ratio 변화가 없어진 50MW 증설 Case의

LMP간의 Covariance와 Correlation가 늘어났다.

이러한 현상을 계통 측면에서 보면, 14-16번 선로를 증설함으로써, 혼잡이

완화되어 가격의 변화가 비슷한 경향을 보인다고 볼 수 있다. 결과적으로

표(6.8)에서 볼수 있듯이 Correlation이 늘어난 것을 볼 수 있다.

87

그림 6.7 PDF 비교

표 6.8 평균과 분산 비교

Base Case 50MW 증설

Expectation Variance Expectation Variance

14 LMP 28.24 27.53 25.323 28.727 Spot 시장 11.89 0.94 12.199 2.289

Cov 3.30 8.079

88

Cor 0.611 0.996

이 때, 각 거래의 정보는 다음 표와 같이나타낼 수 있다.

표 6.9 각 거래의 결과정보

Base Case 50MW 증설

Expectation Variance Expectation Variance

R_14 0.29 0.054 0.717 0.0371 Spot 0.18 0.0941 0.2845 0.0228 Cov -0.0118 -0.0289 Cor -0.4556 -0.9926

그림 6.8 두 케이스의 Efficient Frontier

위 거래 정보를 바탕으로 최적 포트폴리오 과정을 거쳐 Efficient Frontier를

그리면 위와 같이 나타난다. 그림 으로는 거의 비슷한 형태를 가지나, 스케일을

합쳐보면 다음 그림과 같이 나타난다.

89

그림 6.9 Efficient Frontier 추합

포트폴리오 간의 비교에서 같은 위험하에서 높은 수익률을 가지면, 높은 수익률을

가진 포트폴리오가 선택된다. 이를 ‘지배원리’라고 부르며, 본 케이스에서는

50MW 증설로 혼잡이 완화된 케이스의 최적 포트폴리오가 전체 구간에서 Base

케이스의 포트폴리오를 지배한다. 즉 혼잡이 완화된 케이스의 포트폴리오가 더

나은 포트폴리오이다.

90

6.4 Case IV

본 Case Study에서는 3장에서 제시한 수요에 대한 모선별 한계 가격을 구하는

방법론과 4장에서 제시한 확률적 모선 가격을 구하는 방법론의 대규모 계통 적용

가능성을 알아보고, 본 방법론의 시뮬레이션 시간과 기존 Monte Carlo 방법론의

적용시간을 비교하였다. 수정된 IEEE 118모선 계통을 사용하여 사례 연구를

수행하였다.

그림 6.10 IEEE 118모선 계통

원 IEEE 118 모선 계통은 발전기의 입찰정보가 존재하지 않으므로, 본 논문에서는

91

모선별 시장 가격을 연구한 [27]의 데이터를 바탕으로 Case Study를 진행하였다.

1번 발전기부터 20번 발전기 비용함수(입찰함수)의 a값(절편값)은

10$/MWh~19.5/MWh까지 0.5$씩 증가, 21번 발전기부터 40번 발전기까지는

30$/MWh~49$/MWh로 1$씩 증가, 41번 발전기부터 54번 발전기 까지는

70$/MWh~83$/MWh로 1$씩 증가하는 것으로 수정하였다. 원 IEEE 118

계통에서는 송전선의 용량 한계치가 없어 LMP 값의 변화를 고려할 수 없으므로

본 Case Study에서는 69-77라인의 최대 용량을 345MW, 68-81라인의 용량을

630MW, 83-35라인의 용량을 106MW, 80-98라인의 용량을 230MW, 94-

100라인의 용량을 106 MW로 가정하였다. 나머지 181개 송전선의 용량은

1000MW로 가정하였다.

3장, 4장의 방법론을 사용하여 수요레벨을 3300MW ~ 8700MW까지

증가시키면서 수요 구간을 구하면 47개 구간을 구할 수 있고, 그림 6.11과 같은

LMP와의 관계를 구할 수 있다.

92

그림 6.11 수정된 IEEE 118모선의 수요와 LMP의 관계

그림 6.11에서 index순으로 발전기의 입찰비용이 증가하므로 후순위 모선으로

갈 수록 모선의 가격이 증가하는 것을 볼 수 있다. 각 마커는 임계 수요값을

뜻한다. 4400MW~4423MW 임계구간과 4423MW~4493MW 임계구간에서

혼잡선로의 발생으로 인해 100번대의 모선 가격이 높아지는 것을 볼 수 있다.

시뮬레이션 수행시간에 대해 살펴보면, 본 방법론 사용시 표 6.10에 표시해

놓았다. 시뮬레이션은 Windows 7 64bit 시스템, 프로세서는 i5-3670K

CPU@340GHz, 메모리는 8GB 시스템에서 Matlab R2015a를 사용하여

수행하였다.

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

3700 4200 4700 5200 5700 6200 6700 7200 7700 8200 8700

LM

P (

$/M

Wh)

Demand Level (MWh)

LMP_1 LMP_92 LMP_108 LMP_10 LMP_20

LMP_30 LMP_40 LMP_50 LMP_60 LMP_70

LMP_80 LMP_90 LMP_100 LMP_110

93

표 6.10 전 수요구간에 대한 LMP 도출 계산 시간 비교

본 방법론 Monte Carlo 시뮬레이션

DC OPF

Running Time Total

DC OPF

Running Time Total

시간 45.66s 85.516s 3045.43s 3115.26s

Monte Carlo simulation은 수요 1MW 당 한번 씩 수행하였으며, 이때 DC

OPF는 5000회 수행하였다. 반면 본 방법론을 사용해 LMP와 수요구간과의 관계를

구할 경우 각 임계 수요 47개에 대해 각각 한번의 DCOPF를 수행하고 가공하여

위의 관계식을 구할 수 있으므로 computation time이 매우 크게 줄어든다.

그림 6.12 수요 분포

평균 5700MW 표준편차 570MW 의 수요분포를 넣었을 때, 수요에 대한 지역별

LMP의 값을 구하면 다음과 같이 구할 수 있다.

94

그림 6.13 LMP 확률 분포 비교

좌측의 LMP 확률분포는 4장의 방법론을 사용하여 구한 식에 의한 그림이며,

우측의 LMP 확률분포는 Monte-carlo simulation을 1000번 수행하여 얻은

그래프이다. 마찬가지로 위와 같은 시스템을 사용하여 LMP 확률분포를 구하는데

드는 계산 시간을 비교하면 다음과 같다.

표 6.11 LMP 확률 분포 도출 계산 시간 비교

본 방법론 Monte Carlo 시뮬레이션

DC OPF

Running Time Total

DC OPF

Running Time Total

시간 45.66s 90.423s 597.84s 613.56s

본 방법론을 통해 LMP 확률 분포 도출과 전 수요구간에 대한 LMP를 구하는

방법론을 수행하는데 드는 DC OPF 러닝타임이 같은 이유는 확률 분포 도출을

하는 과정에서 전체 수요 구간에 대한 식을 구하고, DC OPF를 더 수행하지 않고,

구간에 대한 식을 분포로 환산하는 과정을 거치기 때문이다. Monte Carlo

Simulatino의 DC OPF 러닝타임은 수행 회수의 비율(5:1)과 거의 비슷한

95

비율(1:0.192)을 가진다. 반면에 본 과정은 구간을 식으로 환산하는 과정만

거치면 되기 때문에, 상대적으로 빠른 실행시간을 보인다.

1번 모선에 위치한 발전사가 1번 Spot시장, 1번, 92번, 108번 모선에 위치한

수요와 쌍무계약하는 것을 가정하여 포트폴리오를 구하면 다음과 같다. 발전사의

비용은 35$/MWh, 1번 쌍무 계약가격은, 38.15$/MWh, 92번 쌍무 계약가격은

42$/MWh, 108번 쌍무 계약가격은 61$/MWh이다. 혼잡비용 부담 비율은

발전사가 부담하는 비율을 50%로 가정하였다.

표 6.11 수요 분포

1 번지역내

쌍무계약

92 번

지역과

쌍무계약

108 번

지역과

쌍무계약

Spot 시장

수익률 0.09 0.092522 0.262136 0.17539

표준편차 0 0.01282 0.049716 0.053514

위험회피도

10

최적분배비율 0.1059 0.02548185 0.6818407 0.1867775

전체 수익률 0.2234

전체위험 0.0365

효용(Utility) 0.223393339

위험회피도

11

최적분배비율 0.1872 0.0231648 0.6198413 0.1697939

전체 수익률 0.2112

전체위험 0.0332

효용(Utility) 0.211194489

위험회피도

12

최적분배비율 0.2549 0.02123535 0.5682133 0.1556514

전체 수익률 0.2011

전체위험 0.0304

효용(Utility) 0.201095379

96

포트폴리오 최적화까지 걸린 총 시간은 본 방법론 사용시 91.423s로 Monte Carlo

기법 사용시 걸린 총 시간 614.232s의 15%정도이다.

최적 포트폴리오 선택 결과값은 Case Study I, II에서 확인한 바와 같이 위험

회피도가 크면 클수록, 작은 위험을 가지고, 수익률이 낮은 포트폴리오를 선택하는

경향성을 보여준다.

수행 시간 측면에서, Monte Carlo 시뮬레이션과 본 방법론의 시간 단축은 DC

OPF 수행 회수를 줄이고, 관계식을 이용한 차이에 기인한다. 본 모의 결과를

통해 대규모 계통에 본 방법론 적용이 가능함을 보였고, 기존의 monte Carlo

시뮬레이션에 비해 빠른 수행시간을 지님을 확인하였다.

97

6.5 Case V

본 장에서는 기존의 포트폴리오 최적화 방법론과 비교하여, 본 논문에서 제시한

계통을 고려한 최적 포트폴리오 선택 방법론과 비교 분석하였다. 서론과 2장에서

언급하였듯이, 본 연구는 금융적 측면에 집중한 타 연구에 계통을 모의하는 과정을

추가한 특징이 있다. 계통을 고려한 포트폴리오 최적화를 시도한 비교 연구를 찾

기 어려워, 몇 가지 가정을 통해 타 방법론의 Case Study를 모의하고 본 방법론과

비교 분석하였다.

비교 대상인 방법론은 [10](이하 Min Liu의 연구)의 최적 포트폴리오를 구하는

과정을 구현하였다. Min Liu의 연구에서는 Zonal Pricing을 사용하는 시장 환경에

서 가격 불확실성을 고려한 발전사의 최적 전력 포트폴리오를 선택 과정을 제안하

였다. 해당 논문의 Case Study에서 PJM의 가격 정보를 사용하여 8년치를 통계를

통해 각 지역별 가격의 평균과 분산을 구하고, 혼잡비용을 고려하여 지역간 쌍무

거래와 지역내 가격을 고려하여 최적 포트폴리오 선택의 예시를 보였다.

해당 논문의 방법론은 통계적인 방법을 사용하여 구한 가격의 패턴이 포트폴리오

최적화 대상 구간(미래)에도 동일한 패턴을 지닌다는 가정하에서 논의를 전개하였

다. 이는 계통에 큰 변화가 없다는 가정 하에서 정확성을 가지는 방법론이다. 미래

에도 현재와 같은 계통 상황이 예측될 경우, 본 연구와 Min Liu의 연구의 지역별

전력 가격과 거래를 모의하고 포트폴리오를 구하는 과정이 비슷하기 때문에, 포트

폴리오의 결과도 거의 동일하다. 포트폴리오 최적화의 대상이 되는 기간 동안 계

통의 토폴로지와 구성이 고정되어 있고, 계통의 다른 파라메터들을 파악할 수 있다

면, 3장에서 사용한 방법론을 통해 전력 가격은 수요의 함수로 나타낼 수 있다. 이

98

러한 가정 하에서, 계통 상황이 고정된 상황 하에서는 수요 Data로 구한 지역별 전

력 가격분포를 통해 구한 포트폴리오와 역사적 가격 데이터를 통해 구한 포트폴리

오의 결과가 거의 차이가 없다. 하지만, 본 논문에서 강조하고 있는 계통의 변화상

황(송전선의 증강으로 인한 혼잡완화, 발전소의 증설 등)에서는 가격 패턴의 변화

로 인해 포트폴리오의 결과 값이 상이하다. 본 Case Study에서는 계통 상황이 변

화할 것으로 예측되는 상황하에서 Min Liu의 방법론과 본 방법론의 포트폴리오 차

이를 살펴 볼 것이다.

입력데이터 측면에서, Min Liu의 Case Study II에서는, 1998년 ~ 2005년의 PJM

의 PECO, PEPCO, PENELEC의 지역 가격을 사용하였다. 일일단위의 가격의 평

균과 위험지표인 분산을 사용하여 모델링하여, 이를 거래로 환산하고 최적 포트폴

리오 선택을 수행하였다. 본 Case Study에서는 이를 모사하기 위하여 1998년 ~

2005년의 PJM의 세 지역의 부하 데이터를 사용하여 가상의 PJM 계통(IEEE 24

모선 계통을 3지역으로 분할)에서 가격을 구하고, 이를 바탕으로 Min Liu의 방법론

과 동일하게 거래의 수익률과 분산으로 환산하여 최적 포트폴리오 선택을 수행하겠

다. 단 본 논문의 방법론에서의 가정을 이어 받아 다른 계통 파라메터들은 알려져

있으며, 가격은 수요에 의해서 결정되는 함수로 나타 낼 수 있다고 가정하였다.

가상의 PJM 계통에 지역간 송전선이 증설되어 혼잡이 줄어드는 Case를 상정하

여 본 방법론과 Min Liu의 방법론을 비교하였다. 계통 가정과 입력 정보를 나열

하면 다음과 같다.

Modified IEEE 24모선 계통에 송전선이 증설되어 혼잡이 완화된 상황을

가정.

99

1998년 ~ 2005년 PJM 3개 지역의 시간별 수요의 통계를 통해 구한 가

격 Data의 평균과 분산값을 사용

Min Liu의 방법론은 역사적으로 구한 가격 Data를 사용하여 최적 전력

포트폴리오를 구함.

IEEE 24모선 계통을 3개 지역별로 구분하였다. 계통도는 다음과 같다.

PENELEC지역 모선 : 15, 16, 17, 18, 21, 22

PEPCO지역 모선 : 6, 10, 12, 13, 19, 20, 23

PECO지역 모선 : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 14, 24

계통의 용량(부하의 크기)를 맞추기 위해 기존 IEEE24 모선 계통의

발전기의 최대 출력과 송전선의 용량을 각각 3.6배와 7.2배로 늘림.

혼잡비용은 발전사가 50% 부담하는 것으로 가정

PENELEC 지역내 거래 발전사의 입장에서 발전비용은 15$/MWh로 가

정함.

PEPCO 지역과 쌍무 계약 가격은 30.5$/MWh, PECO지역과 쌍무 계약

가격은 35$/MWh, 지역내 쌍무 계약 가격은 16.35$/MWh로 가정하였다.

표 6.12 지역 수요 Data

지역

PJM Demand Data

(1998.09~ 2005.09)

평균(MW/h) 분산(MW/h)

100

PENELEC 1953.7 333.4

PECO 5167.7 1094.7

PEPCO 4110.4 876.6

그림 6.14 모의 계통의 지도

통계적인 방법으로 PENELEC, PEPCO, PECO지역의 부하의 비율을

구하고, 부하간의 비율을 고려한 식 4.4를 사용하여 각 부하가

전체부하에 비례하는 형태로 변화시킴. 이 때, 전체 부하에 비례하는

PENELEC

PECO

PEPCO

101

부하와 각 부하의 오차율을 구하면 각각 0.1%, 0.7%, 0.8% 임.

전체 수요를 정규분포로 모델링함. 평균은 11,232MW/h이고, 표준편차는

2,262MW/h인 정규분포의 그림은 다음과 같다.

그림 6.15 전체 수요

PJM 의 수요데이터를 넣은 가상 계통의 가격의 분포는 다음과 같다.

그림 6.16 기존 계통의 수요와 LMP관계

기존 계통에서 수요에 의한 가격의 확률 분포를 구하면 다음과 같다.

102

그림 6.17 Historical Case의 가격분포(우측은 그래프 확대)

Min Liu의 방법론을 사용하여 최적의 포트폴리오를 구하면 다음과 같이 구할 수

있다.

표 6.13 기존 계통 방법론의 최적 포트폴리오

PENELEC

지역 내

쌍무계약

PEPCO

쌍무계약

PECO

쌍무계약 Spot 시장

수익률 0.09 0.3687 0.5007 0.1519

표준편차 0 0.213 0.3142 0.0818

위험회피도

3

최적분배비율 0.08792584 0.2093774 0.4933968 0.2093

전체 수익률 0.231

전체위험 0.097

효용 0.160147

위험회피도

4

최적분배비율 0.0659416 0.1570264 0.370032 0.407

전체 수익률 0.1958

전체위험 0.0727

효용 0.142635

위험회피도

5

최적분배비율 0.05275328 0.1256211 0.2960256 0.5256

전체 수익률 0.1746

103

전체위험 0.0582

효용 0.132088

14-16번 송전선 보강이 예측 되었을 때, 본 방법론을 사용하여 위와 같은 과정

을 거치면 다음과 같다.

그림 6.18 증설된 계통의 수요와 LMP관계

증설이 예정된 계통에서 수요에 의한 가격의 확률 분포를 구하면 다음과 같다.

그림 6.19 증설된 계통의 지역별 가격분포(우측은 그래프 확대)

104

본 방법론을 사용하여 최적의 포트폴리오를 구하면 다음과 같이 구할 수 있다.

표 6.14 본 방법론의 최적 포트폴리오 정보

PENELEC

지역 내

쌍무계약

PEPCO

쌍무계약

PECO

쌍무계약 Spot 시장

수익률 0.09 0.477 0.683 0.236

표준편차 0 0.215 0.308 0.0905

위험회피도

3

최적분배비율 0.0447 0.0191 0.2312 0.7051

전체 수익률 0.3375

전체위험 0.0908

효용 0.336263

위험회피도

4

최적분배비율 0.2835 0.0143 0.1734 0.5288

전체 수익률 0.2757

전체위험 0.0681

효용 0.275004

위험회피도

5

최적분배비율 0.427 0.011 0.139 0.423

전체 수익률 0.2385

전체위험 0.0545

효용 0.238054

바뀐 계통에서 기존의 Min Liu 방법론에서 구한 최적 포트폴리오를 대입하여

수익과 위험과 효용을 살펴보면 다음과 같다.

표 6.15 Min Liu 방법론 사용시의 포트폴리오 정보

위험회피도

3

최적분배비율 0.6047 0.04395736 0.1046754 0.2466672

전체 수익률 0.205125568

전체위험 0.04419454

효용(Utility) 0.198496387

최적분배비율 0.7035 0.0329708 0.0785132 0.185016

105

위험회피도

4

전체 수익률 0.176351457

전체위험 0.0331487

효용(Utility) 0.171379152

위험회피도

5

최적분배비율 0.7628 0.02637664 0.0628106 0.1480128

전체 수익률 0.159081165

전체위험 0.02651896

효용(Utility) 0.155103321

계통이 변화하였을 때, Min Liu의 방법론과 본 방법론을 목적함수인 효용 측면

에서 비교하면, 본 방법론 사용시에 효용이 40~64%까지 증가하는 것을 살펴 볼

수 있다. 이는 계통이 변화하여, 앞서 기술한 Case Study 2와 같이 혼잡이 줄고

이것이 가격과 거래에 영향을 미쳐 최적 포트폴리오 구성이 바뀐 것에 따르는 결과

이다. 부가적으로 계통의 변화시와 이전의 Efficient Frontier 의 추합을 살펴보면

다음과 같다.

그림 6.20 Efficient Frontier 비교

하단의 그래프가 송전선 보강을 고려하지 않은 Efficient Frontier 이다. 계통

변화 시의 Efficient frontier 곡선과 비교하면, 같은 위험하에서 낮은 수익을

106

거두는 곡선을 나타내고 있다. Min Liu 의 방법론에서처럼 계통의 변화를 고려하지

않고, 기존의 가격 통계를 사용한다면, 계통의 변화시 발전사가 더욱 나은

포트폴리오(같은 위험하에서 높은 수익, 같은 수익하에서 낮은 위험을 가지는

포트폴리오)를 구성할 수 있음에도 그 기회를 잃어버릴 수 있다. 이와 대비하여

본 논문에서는 계통 변화시 이를 반영한 최적 포트폴리오 구성을 통해 발전사의

효용 향상을 도모할 수있다.

107

제 7 장 결 론

본 연구에서는 발전회사 입장에서 전력 계통 특성을 반영한 모선별 한계 가격

모델링을 사용하는 전력 포트폴리오 최적화 방법을 제안하였다. 먼저 물리적 계통

특성을 반영하는 입력 변수들과 지역별 전력 가격의 관계식을 구하였다. 입력

변수들 중 불확실성을 내포하는 수요의 확률 분포를 바탕으로 지역별 가격의

확률분포를 도출하였으며, 이를 활용하여 각 거래별 수익률 분포를 생성하고

위험지표인 분산을 기준으로 전력 포트폴리오 최적화를 수행하였다.

수정된 IEEE 24모선에 대한 첫 번째 사례연구를 통해, 제안된 방법으로 얻어진

가격의 확률룬포와 Monte-Carlo 시뮬레이션에 따른 가격의 확률분포의 결과

비교를 통해 제안된 방법의 타당성을 검증했다. 두 번째 사례연구에서는, 제안된

방법에 의한 전력 포트폴리오 최적화의 예시를 보였다. 발전사가 선택 가능한

거래들로써 현물거래, 자기 지역 내 쌍무계약, 지역 외 쌍무계약이 있을 때, 각

거래별 최적 선택 비율을 도출하였고, 아울러 위험 회피도에 따른 위험과 수익의

관계도 살펴보았다. 세 번째 사례연구에서는 송전선 증설로 혼잡이 줄어들어 지역

간 가격 간의 상관관계가 증가하는 경향성을 확인했고, 발전사는 동일 위험 하에

더 많은 수익을 거두는 즉, 더욱 선호되는 최적 전력 포트폴리오를 구성할 수

있음을 확인하였다. 네 번째 사례연구에서 IEEE 118모선 계통을 사용하여 본

방법론을 사용하여 가격의 확률분포를 구할 때 Monte-carlo 계산 시간을

비교하여 우월함을 보였고, 대규모 계통에 본 방법론의 적용 가능성을 확인하였다.

마지막 사례연구에서는 기존의 논문에 사용되어 왔던 empharical 방법론과 본

108

방법론을 비교하였다. 송전선 증설 케이스를 통해 본 방법론이 계통 변화에 의해

변동하는 발전사의 수익과 위험을 반영하여 최적 전력 포트폴리오를 구할 수

있음을 보였다.

제안된 방법을 사용하여, 발전사는 송전선 증설 시 계통 특성이 변하는

상황에서 최적 전력 포트폴리오 선택이 가능하다. 전체적인 전력 시장 측면에서

보았을 때, 계통 상황이 변화하는 상황하에서. 개별 발전사의 최적 포트폴리오

선택을 통해 자원의 가장 효율적 분배를 도모할 수 있으며, 시장 전체의

이익(잉여)가 증가함을 기대할 수 있다.

본 연구는 발전사의 입장에서 계통 정보와 타 발전사의 입찰정보를 알고

있다는 가정 하에 논의를 전개하였지만, 발전사의 입찰이 경험적인 데이터에서

많이 벗어나지 않는다는 점, 정보통신기술 발전에 따른 관련 정보 획득의 용이성

증대, 완전 경쟁시장을 지향하는 시장규제자들이 점차 제공하는 정보의 영역을

확대하고 있다는 점 등을 고려할 때 점차 본 방법론의 적용이 용이해질 것이다.

본 연구는 수요를 확률변수로 가정하여 최적 포트폴리오를 구하는 과정을

다루었다. 향후 수요를 확률과정(Random process)로 모델링함으로써, 미래의

일정 기간에 대해 좀더 정밀하게 최적 전력 포트폴리오를 구성하는 연구 주제로

확장할 계획이다. 또한 논문에서 다룬 입력변수 이외의 영향을 고려하여 실용성을

높이는 연구로 확장할 계획이다.

109

기 호

Ϭij – i, j 자산 수익률 분포의 공분산(covariance)

Ϭi – i 자산 수익률 분포의 분산(variance)

ij – 상관계수 (correlation coefficient)

A – 의사결정자의 위험 회피 성향을 나타내는 상수

Pi – i 발전기의 발전량 (MWh)

Pi min – i 발전기의 최소 발전량 (MW)

Pi max – i 발전기의 최대 발전량 (MW)

ρi – i 발전기의 입찰함수 ($/MWh)

ai – i 발전기의 입찰함수의 절편 ($/MWh)

bi – i 발전기의 기울기($/MW2h)

max

lf – l 번째 송전선 용량한계 (MW)

min

l – l 번째 송전선 최소 용량 한계에 대한 라그랑지 승수

max

l – l 번째 송전선 최대 용량 한계에 대한 라그랑지 승수

min

i – i 번째 발전량 제약에 대한 라그랑지 승수

max

i – i 번째 발전량 제약에 대한 라그랑지 승수

Kmin – 최소 발전 중인 발전기의 갯수

Kmax – 최대 발전 중인 발전기의 갯수

nLMP – n 번째 모선별 한계가격 ($/MWh)

– 계통 가격 혹은 시장 청산 가격 ($/MWh)

DP : 수요 벡터 (MW)

110

DRn – n 번째 모선의 수요의 수요 참여 비율

ns – n 번째 모선의 LMP 의 기울기

VOLL – 수요 손실 가치 ($/MWh)

2( , )N – 가우시안 확률 분포

( )x – 확률 밀도 함수

( )x – 누적 분포 함수

iD – i번째 수요 구간에서 확률분포 LMP의 값이 p보다 작은 수요 구간을 나타낸

집합

( )t

Cost PA

– 발전사의 특정 시간대 t 에 발전하는 총 비용 ($/MWh)

rs – 발전사의 수입 ($/MWh)

ri – 타지역 시장과 쌍무 계약 수입 ($/MWh)

rL – 자기 지역내 쌍무 계약 수입 ($/MWh)

q – 포트폴리오를 구성하는 발전사의 발전 비용 ($/MWh)

Expport

– 포트폴리오의 각 시간대의 기대 수익률

varport

– 포트폴리오의 분산

– 위험 선호비율

U – 효용함수

111

부 록

Appendix 1

수정된 IEEE-24 계통 Data

그림 IEEE-24 모선 계통도

수정된 IEEE-24 모선 계통 발전기 data

발전기

번호 모선

ai

($/MWh)

bi

($/MWh)

최소용량

(MW)

최대용량

(MW)

1 1 24.842 0.1825 16 40

2 1 24.842 0.1825 16 40

3 1 10.239 0.0192 15.2 152

4 1 10.239 0.0192 15.2 152

5 2 24.842 0.1825 16 40

112

6 2 24.842 0.1825 16 40

7 2 10.239 0.0192 15.2 152

8 2 10.239 0.0192 15.2 152

9 7 17.974 0.01374 25 200

10 7 17.974 0.01374 25 200

11 7 17.974 0.01374 25 200

12 13 18.74 0.005055 69 394

13 13 18.74 0.005055 69 394

14 13 18.74 0.005055 69 394

15 14 0 0 0 0

16 15 21.227 0.189685 2.4 0

17 15 21.227 0.189685 2.4 0

18 15 21.227 0.189685 2.4 0

19 15 21.227 0.189685 2.4 0

20 15 21.227 0.189685 2.4 0

21 15 9.537 0.002795 54.3 0

22 16 9.537 0.002795 54.3 310

23 18 5.23 0.000035 100 800

24 21 5.23 0.000035 100 800

25 22 1 0 10 100

26 22 1 0 10 100

27 22 1 0 10 100

28 22 1 0 10 100

29 22 1 0 10 100

30 22 1 0 10 100

31 23 9.537 0.002795 54.3 310

32 23 9.537 0.002795 54.3 310

33 23 9.587 0.001575 140 700

113

Appendix 2

발전기 입찰 상수 변화시 방법론 적용

2.1 입찰 구간으로 확장

앞 장에서는 수요의 변화가 각 발전기의 낙찰량과 선로의 조류량을 변화시키는

식을 구성했으며, 이러한 변화로 인해 한계 발전기와 혼잡 선로가 변경되는 임계

수요를 찾는 방법을 기술하였다. 본 장에서는 이와 마찬가지로 각 한계 발전기의

입찰 가격 ai 의 변화로 인해 생겨나는 한계 발전량 변화와 선로의 조류량 변화를

살펴보겠다.

먼저 발전량 변화를 구하기 위해 앞 장에서와 같은 과정을 거쳐 식을 구성하면

다음과 같다.

- max -1Γ β α a

114

maxmax

minmin

max

min

,

11max

11 1

max

,

1

1 1

cong

cong

N KN K l iiL

i Ki Kii

l

l

L

N K i l l i

l

i K i

abb

C C

a

C b

max

,1

congL

i l l ili

i

aP

b

SMP 와 혼잡선로의 shadow price 변화량을 입찰 가격 변화량의 함수로

재구성했다. 발전량 변화 량 식에 SMP 변화량과 shadow price 의 변화량에

관한식을 넣으면,

max

min

max max

min min

max

,max1

,11 1

max,1 , 11 1

1

1

cong

cong

cong

L

N K j l l jLl

i l l ilj K j

i

i

LN K N Kj l j

l i l ij K j Kj jl

i

a

aC b

Pb

aC C a

b b

C b

115

maxmax max

min min

min

max

min

-1 ,1 , , 1 ,1 1

1 1 1

1

-1 ,, , 1 ,1

1

-

-

cong congL LN KN K N Kj l k

i l m m j j l ij K k Kj kj K l m

i

i

N Kl k

l m m j l ik Kk

i

aC a a C

b bP

C b

Cb

C b

max

min

max

min

1 1 1 1

0

-1 ,, , 1 ,1

1 1

1

1

1

( , ) [ ]

[ ]

cong cong

cong cong

L LN Kj i

j

j K l m i i

L LN K

l kl m m j l ik K

km lj

i

i

b aa

C b b

where

Cbb

DPA i jC b

D

i 0i DPAΔP DPA Δa Δa DPA DPA Δa

0

1 2

1 1 1( , ) ( , ,..., )

i

PA i j diagb b b

위의 식과 같이 정리가 가능하다. 위 식에서 diag 는 i 번 째 값을 i 행 i 열

원소로 가지는 대각행렬을 뜻한다. 마찬가지로 발전 입찰 가격 변화에 대한

조류의 변화량을 구해보면

116

max

min

max

minmax

min

,

1

-1 ,, , 1 ,1

1 1

,

1 1

1

1( , ) [ ]

cong cong

N K

l l i i

i K

L LN K

l kl m m j l ik KN K

km lj

l i

i K i i

F P

where

Cbb

DFA l iC b b

iaΔF DFA Δ

으로 구할 수 있다. 위의 두식을 이용하면 현재 계통에서 입찰 가격 변화가

한계발전기의 발전량과 송전선의 조류량을 얼마나 변화시키는지 간단한 계수를

통해 측정할 수 있다. 이 계수들로 한계 발전기의 여유 용량(혹은 현재발전량)과

선로의 여유용량(혹은 현재조류량)으로 나누면 한계 발전기나 혼잡선로가 최대

혹은 최소 값을 가지는지 다음과 같은 식으로 측정 가능하다. 또한 위의 식에서

한 한계발전기가 입찰 가격을 변화시킬 때, 자신의 낙찰량 뿐 아니라, 다른

발전기의 낙찰량 변화를 측정할 수 있다.

117

max

min

max

min

( )

( )( , )

( , )

( )( , )

( )( , )

j jallow

j

j jallow

j

allow l ll

allow l ll

i

P PDPA i

DPA j i

P PDPA

DPA j i

f fDFA i

DFA l i

f fDFA i

DFA l i

위 식을 이용하여 한계 발전기 i 의 입찰이 증가할 때, 한계 발전기가 최대 혹은

최소 용량 발전기가 되거나 혼잡선로가 변화하는 입찰량을 구할 수 있다. 이

지점에서 LMP 가 크게 변화하기 때문에 이 지점을 임계 입찰(Critical bid)이라고

정의한다.

[ , , , ]

, , , ,

[ , , ,

i

i

allowed allow allow allow allow

i i i l la

allow allow allow allow

i i l l

allowed allow allow allow al

i i i l la

a Min DPA DPA DFA DFA

for positive values of DPA DPA DFA DFA i l

a Max DPA DPA DFA DFA

]

, , , ,

low

allow allow allow allow

i i l lfor negative values of DPA DPA DFA DFA i l

현재 입찰을 0

ia 라고 하면 수요가 증가하는 방향의 임계 입찰은 0 allowed

i ia a

이고, 감소하는 방향의 임계 입찰은 0 allowed

i ia a 이다. 입찰가격이 임계 입찰

가격을 넘어가면 한계 발전기나 혼잡선로가 변화하기 때문에 위 식들의 계수들이

더 이상 성립하지 않는다. 이 경우 한계발전기와 혼잡선로를 다시 정하여야 한다.

예시를 다음장에서 살펴보겠다.

118

2.2 한계 발전기의 입찰 변화 시 모선별 한계 가격 변화

앞장에서 각 한계 발전기의 입찰 변화에 따르는 모선별 한계 가격 변화는 An

이라는 계수로 나타낼 수 있었다. 만약 한계 발전사의 입찰이 Δa만큼 변화한다

면 각 구간에서의 모선별 한계 가격 값은 식 [2장의 An식에 따라] nA a 만

큼 변화하게 된다. 그러나 동시에 한계 발전기의 낙찰량 또한 식[2장의 DPA식에

따라 달라진다] 에 의해 [ ] i 0DPA DPA Δa

만큼의 변화를 가져온다. 이로 인

해 한계 발전기나 혼잡 선로에 의한 분할된 임계 수요의 구간도 변화를 하게 된다.

한계 발전기와 각 선로의 남은 여유 용량의 식은 입찰 변화에 대한 낙찰량과 조류

의 변화량에 따라 다음 식과 같이 변화한다.

max

min

max

min

max

min

0

1

( )

( )( )

( , )

( )

( , )

( )( )

( , )

( )( )

( , )

( ) ( ( , ) ( , ))

Aallow i i i

i

Aallow i i i

i

Aallow l l l

l

Aallow l l l

l

N KA

i j

j K

n

P P PDP n

DP i n

P P PDP

DP i n

f f fDF n

DF l n

f f fDF n

DF l n

where

P i DPA i j DPA i j a

f

max

min 1

( ) ( , )N K

A

j

j K

l DFA l j a

임계 수요의 변화는 위의 식을 고려하여 아래의 식을 식[]를 사용하여 구할 수 있

119

다.

[ , , , ]

, , , ,

[ , , , ]

dn

dn

allowed allow allow allow allow

dn i i l lP

allow allow allow allow

i i l l

allowed allow allow allow allow

dn i i l lP

P Min DP DP DF DF

for positive values of DP DP DF DF i l

P Max DP DP DF DF

for n

, , , ,allow allow allow allow

i i l legative values of DP DP DF DF i l

결과적으로 한계 발전기가 입찰 값을 변화시킬 경우, 각 임계 구간을 수평으로 평

행이동 시킨 효과가 있으며, 각 구간에서의 모선별 한계 가격 또한 nA a 만큼

수직으로 평행이동 시킨 효과가 있다.

본 논문에서는 발전사 입장에서 자신이 가진 한계발전기의 입찰 가격을 조정하

는 경우를 상정했다. 다른 전력 포트폴리오 관련 논문들[]은 발전기를 주어진 가

격을 받아들이는 Price taker로 규정함으로써, 각 발전기의 입찰량, 입찰 가격에 따

라 변화하는 전력 가격을 반영하지 못하는 단점이 존재한다. 본 논문에서는 타 발

전기의 입찰량과 입찰 가격이 모선별 한계 가격에 영향을 미치는 경우, 전체 모선

별 한계 가격의 변화를 예측해 보는 것이 가능하다. 이에 대한 자세한 예시는 case

study에서 다룰 것이다.

본 논문에서는 다른 발전기의 전략적으로 입찰하는 경우를 배제했다. 다른 발전사

120

의 전략적 행동을 모델링 하고 포트폴리오에 미치는 영향을 고려하는 것은 게임 이

론의 분야이다. 그러나 다른 발전기의 전략적 입찰을 입찰함수의 절편을 변화시키

는 것으로 모델링 할 수 있다면, 본 장의 방법론으로 모선별 한계 가격에 미치는

영향을 고려하는 것이 가능하다

2.3 한계 발전기의 입찰 절편 변화 Case

9번 발전기의 Base Case 입찰 절편이 17.974$/MW에서 0.5$/MW 증가 한

Case를 분석하겠다.

Base Case 15번 Section의 임계 부하 구간 값은 4070.68 ~ 4254.5 MW

이다. 이 구간에서 한계 발전기는 9, 10, 11, 23번이다.

An Case 15번 Section 의 임계 부하 구간은 4070.68 ~4093.45MW이다.

이 구간에서 한계 발전기는 10, 11, 23번이다.

An Case 16번 Section 의 임계 부하 구간은 4093.45~4228(MW) 이다.

이 구간에서 한계 발전기는 9, 10, 11, 23번이다.

Base Case의 15번 Section을 기준으로 보면, An Case와 한계 발전기와 혼잡

선로가 같은 경우, nA a

인 0.167만큼 올라간 LMP 가격이 An Case에서

나타남을 볼 수 있었다. 또한 구간의 변화는 Base Case의 4254에서 계산해

보면, 9번 한계 발전기가 최소 값을 가질 여유 수요량은 다음과 같이 표현할

수 있다.

121

m i n

9 9 99

1

( )( ) 73.7588 (25 12.13)

160.5436(9, ) 0.2282

Anallow

i i

P P PDP

DP DR

DR

이 값을 4254에서 빼주면 An Case의 왼쪽 임계 부하인 4093.45가 나온다.

An Case의 오른쪽 임계 부하를 구하기 위해서는 마찬가지로 Base Case의 16

번 Section을 기준으로 4712.257MW에서 계산해보면 12, 13, 14번 한계 발전

기가 탈락한 것으로 생각할 수 있으므로 왼쪽 여유용량을 계산해 보면 다음과

같다.

m i n

1 2 1 2 1 212

1

( )( ) 146.61 (69 4.512)

483.9128(12, ) 0.1697

Anallow

i i

P P PDP

DP DR

DR

마찬가지로 이 값을 4712.257MW에서 빼주면, An Case 16번 Section의 임계

부하인 4228.34MW이 나온다. 임계 수요의 변화량은 4254.8 - 4228.34(MW)

이므로 26.56MW로 계산 가능하다. 임계 수요의 변화량을 식으로 다시 나타

내면

12 26.58(12, )

A

i

P

DP f

으로 계산 가능하다.

122

( )

( )( , )

( , )

( )( , )

( )( , )

, :section index

{ , } , { , }

n n

n n n

Ai i

D

Ai i

D

Ai l

l

Ai l

l

s t s t

Base A Base A

s s s t t t

Base Base Base A A A

n

PP n

DP i n

PP

DP i n

fF n

DF l n

fF n

DF l n

for MG MG and CL CL s t

MG CL MG CL

C C

위 식에서 s

BaseC 는 Base Case의 s번째 임계 수요 구간의 한계 발전기와 혼잡 선

로의 집합이다. 한계 발전기의 집합과, 혼잡선로의 집합이 같은 구간이라면, 한계

발전기가 최대 용량으로 변경되는 경우 구간의 우측 임계 수요가 ( )i

DP n만큼 이

동하게 된다. 마찬가지로 위의 case와 같이 한계 발전기가 최소 용량으로 변경되

는 경우 구간의 좌측 임계 수요가 ( )

i

D nP 만큼 변화한다.

123

Base Case에서 식[]를 이용하여 7번 모선과 10번 모선, 14번 모선의 pdf 그래프

를 그려보면 다음과 같이 그릴 수 있다.

10 15 20 25 30 35 40 450

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

LMP (MW)

pdf

Node 7Node 10Node 14

18.8

19

19.2

19.4

19.6

19.8

20

20.2

LM

P($

/MW

)

4071

4093 …

A_Plus_Case Section 14

A_Plus_Case Section 15

Base_Case Section 14

124

Appendix 3

Mean-CVaR 기준 포트폴리오 최적화

3.1 CVaR 기준 위험 모델링

Value at Risk (VaR)는 주어진 시간과 신뢰구간 하에서 위험 요소들에 의해 볼

수 있는 가장 큰 손해를 측정하는 위험 측정기법이다. 하지만 VaR 기준으로는

신뢰 구간을 넘어서는 구역에서의 손해를 표현할 수 없고, VaR 기준 포트폴리오

구성을 할 때, 최적화 과정이 비선형, non-convex 문제라는 단점이 존재한다.

이러한 단점들을 해소하기 위해 VaR 를 넘어서는 손해를 평균한 위험 측정기법인

Conditional Value at risk 가 만들어졌다. [22] 이에 대한 식은 다음과 같이

정의한다.

( , ) ( )

1( ) ( , ) ( )

1 cf w y v wCVaR w f w y p y dy

c c

c 는 신뢰 구간, ( , )f w y 는 손해 함수(이윤 함수의 y 축 변환 값)이고, ( )v wc

은

VaR 값이다. 위의 값을 근사화하기 위하여, sampling 을 q 번 하였다고 가정하면

CVaR 를 다음과 같이 근사화한 식이 나온다.

125

1

1( , ) [ ( , ) ]

(1 )

q

k

k

F w v v f w y vc q c

위의 식을 이용하여, 최적 포트폴리오를 구하는 식은 다음과 같이 표현 가능하다.

( ) ( ) ( )

. . 1

0

iwMax U r E r A CVaR r

c

s t wi

wi

126

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129

Abstract

Power portfolio optimization using Locational

marginal pricing model

Yuchang Kim

Department of Electrical Engineering

The Graduate School

Seoul National University

This paper presents a mid-term power portfolio optimization method considering

transmission network reinforcement in electricity markets. Spot market and contract

market were considered as major trading routes of market participants. The major risk

considered is price risk in spot market. To capture the effect of changes in transmission

network on price risk, a LMP decomposition method was utilized. Using the expanded

LMP decomposition, the price was represented as random variable. With locational

electricity prices, expected profits and the correlation between expected profits of each

trading asset were calculated. The variance of rate of return of each trading asset was

used as risk index. With the mean and variance of the rate of return, efficient frontiers

of each trading asset was derived. A case study on a modified IEEE 24-bus system

showed the changes in optimal power portfolios according to transmission line

construction. On a modified IEEE 118-bus system, the applicability of proposed

method was verified through the comparision of the LMP distributions with the reslt

130

from Monte Carlo simulation. The impact of changes in electric power network on

optimal portfolio was analyzed in terms of price distribution, expected profit and optimal

trading allocation. The proposed method enables market participants to select the

optimal power portfolio under transmission network reinforcement.

Keywords: LMP decomposition, power portfolio optimization, price risk,

transmission network reinforcement

Student Number : 2005-23501