Profesor: Ing. Celso Gonzales Ch. Mg.Sc

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD II

OBJETIVOS:

Al finalizar esta unidad el estudiante será capaz:

Describir los métodos para seleccionar una muestra.

Comprender los requisitos necesarios para que una muestra sea probabilística.

Conocer los principales métodos de muestreo, sus ventajas y desventajas para ser aplicados en diversas condiciones.

Definir y elaborar una distribución de muestreo para la media de la muestra.

Explicar el teorema del limite central.

VENTAJAS DEL MUESTREO EN COMPARACIÓN CON LA

ENUMERACIÓN COMPLETA.

Costo reducido

Mayor rapidez

Más posibilidades

Mayor Exactitud

Una empresa de agencia de viajes entrega una encuesta

de evaluación a todos sus clientes que contratan el

paquete de excursión a Europa, la que espera sea

entregada al finalizar el viaje. El objetivo de dicha

encuesta es conocer el perfil de sus clientes y la opinión

sobre la calidad del servicio que ofrece.

a) Indique la población objetivo del estudio.

b) ¿Cómo se haría para tomar una muestra?

c) ¿Cuenta con un marco muestral completo?

d) ¿Hay alguna diferencia entre ambos? (población y

marco muestral).

Objetivo fundamental de la Estadística

El objetivo básico de la estadística es hacer inferencia acerca de una

población con base a la información contenida en una muestra

OBJETIVOS DE LA ESTADISTICAS: Pasos

OBJETIVOS DE LA ESTADISTICAS: Pasos

Suponga que se desea medir la porcentaje de humedad en

las bolsa de azúcar de un proceso de producción.

¿A quién deseo generalizar los resultados? :

¿A quien puedo acceder en el estudio? :

¿Cómo puedo acceder a ellos?

¿Quién forma parte del estudio? :

Hay dos tipos básicos de muestreo:

•MUESTREO PROBABILÍSTICO.

• MUESTREO NO PROBABILÍSTICO.

MUESTREO

• El Muestreo es la disciplina que trata con el conjunto de técnicas

para tomar u obtener una muestra.

¿Qué es el muestreo?

Población Objetivo

de Estudio

¿Por qué?

muestra

POBLACION Y MUESTRA

En las familias de cierta ciudad, se determinó el porcentaje de calorías consumidas

diariamente por niño (menor de 12 años), también se registró el número de niños

(menores de 12 años) por familia, y el nivel socioeconómico de la familia (NSE). Los datos se dan a continuación:

Calorìas(%) NSE Calorìas(%) NSE Calorìas(%) NSE

26 C 53.7 C 60 B

35 D 53.8 C 60.5 B

36.2 B 55.4 C 61.5 D

43.4 A 56.1 C 61.7 C

43.8 A 56.1 C 62 D

44 A 57.1 C 62 B

49.3 B 57.9 B 62.2 B

51.6 D 59.4 C 62.3 B

51.8 A 59.9 D 63.2 B

52.3 A 60 B 63.5 A

Taller- Uso de números aleatorios

Usando MS Excel: Datos/ Análisis de datos

¿Selección de la muestra? Con uso de

Marco Muestral

Sin uso de Marco Muestral

• Diseño muestral probabilístico

• Diseño muestral NO probabilístico

• Diseño muestral SEMI- Probabilístico

IMPORTANCIA DEL MARCO DE MUESTREO

• Parámetros a ser estimados

• Media poblacional

• Total poblacional

• Proporción poblacional

• Estimadores utilizados

• Estimadores lineales (medias, totales y proporciones)

PARAMETROS Y ESTIMADORES

Es un método de selección de n unidades en un conjunto de N de

tal modo que cada uno de las muestras distintas tenga la misma

probabilidad de ser seleccionadas .

VENTAJAS:

• Sencillo y fácil comprensión

• Cálculo de medidas estadísticas.

DESVENTAJAS

• Requiere de un marco de muestreo.

• Requiere de muestra grande.

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

1° Preparar el marco muestral de lista numerando las

unidades desde 1 hasta N

2° Elegir un número aleatorio entre 1 y N, la unidad que le

corresponde a dicho número forma parte de la muestra

3° Continuar la selección hasta completar el tamaño de

muestra n, excluyendo las unidades repetidas (si es sin

reemplazo)

Procedimiento de selección

DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL

Distribución de probabilidad de todas las medias posibles de un tamaño muestra

dado.

x

22

x n

22

1x

N n

n N

xn

1x

N n

Nn

Muestreo Media Varianza Error estándar

Con reemplazo

Sin reemplazo

DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL

x

x

xZ

x

Distribución muestral de la media.

Considérese una población en la que se

estudia una característica X que sigue una

distribución normal de media 12 y varianza

16. Se pide:

a) Probabilidad de que un elemento de esa

población, elegido al azar, tenga la

característica superior a 14.

b) Considérese una muestra aleatoria de

tamaño n = 9. ¿Cuál es la probabilidad de

que la media muestral tenga un valor

superior a 14?

EJEMPLO

¿Por qué es importante la distribución

normal?

Suponga N=6 estudiantes universitarios y n =2. Para

calcular las distribuciones de muestreo, suponiendo que

son conocidos todos los valores de la población ( Ingreso

semanal en nuevos soles)

y1 y2 y3 y4 y5 y6

100 102 154 133 190 175

Nos interesa la media de la población. Se proponen dos

planes de muestreo

EJEMPLO

N° de

muestra Muestra Probabilidad

1 (1,3,5)

2 (1,3,6)

3 (1,4,5)

4 (2,4,6)

5 (2,3,5)

6 (2,3,6)

7 (2,4,5)

8 (2,4,6)

N° de muestra Muestra Probabilidad

1 (1,4,6)

2 (2,3,6)

3 (1,3,5)

Plan1: Se puede elegir 8 muestras posibles Plan2: Se puede elegir entre tres muestras

posibles

a. Cual es el valor de la media

poblacional? Y halle los promedios de

la muestra para cada plan de

muestreo

b. Hallar el valor esperado y la varianza

para cada plan de muestreo e indique

cual es el mejor plan de muestreo y

por qué?

Al estudiar los manuales de manejo y mantenimiento de

máquinas de una empresa industrial, el ingeniero

responsable determinó que el tiempo en minutos que:

a. Una maquina demora realizar una operación de corte

sigue una distribución normal con media 1.2 y

desviación estándar de 0.1. Se toma una muestra

aleatoria de 36 observaciones. ¿Cuál es la

probabilidad de que el promedio muestral sea mayor

que 2,05?

b. Suponga que otra máquina en el proceso de sellado

en un día de trabajo tiene distribución:

X 0 1 2 3

P(X=x) 0.8 0.1 0.05 0.05

EJEMPLO

b1. Si se selecciona una muestra al azar de 100 días y se

registra el número de fallas de la maquina 2 de cada día.

¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de la

muestra sea por lo menos 0.3?

b2. Si se selecciona 64 días al azar, ¿Cuál es la probabilidad

de que la máquina no falle en menos de 15 días?

En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atención es una variable normal de media 10 minutos y desviación estándar 2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan un día concreto. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25 clientes no supere los 9 minutos?

b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64 clientes?

EJEMPLO

Un ejecutivo de una empresa que realiza ventas de

teléfono conoce que al call center entraron el día

anterior 5 llamadas, con tiempos de espera 18, 16, 20,

14 y 12 segundos. Si el ejecutivo tuviera que elegir

una muestra aleatoria de 2 llamadas (con reemplazo)

a. ¿Cuántas muestras posibles puede escoger? En base

a las muestras obtenidas, hallar la media y la varianza

de la distribución de la media muestral.

b.¿Cuál es la probabilidad de que se elija una muestra

con tiempo promedio de espera de 19 segundos a

más?

EJEMPLO 3

EJERCICIOS

Los pesos de las personas que suben a un ascensor

se distribuyen normalmente con media igual a 56.6

kg y desviación estándar de 13.6 Kg. Un grupo de 9

personas sube al ascensor:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso promedio

del grupo sea menor de 45300 gramos?

b) El ascensor tiene una capacidad máxima de

634.2 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que se

exceda esta capacidad con un grupo de 9

personas?

EJEMPLO

Luego de estudiar los manuales de manejo y mantenimiento

de las máquinas de una empresa, el ingeniero responsable

determinó que:

El tiempo en minutos que la máquina A demora en realizar

una operación de corte tiene distribución con media 1.2 y

desviación estándar es 0.1

El tiempo en minutos que la máquina B demora en realizar

una operación de soldadura tiene distribución normal con

media de 2 y desviación estándar de 0.2.

a.¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de corte de una

operación elegida al azar sea mayor de 1.4 minutos?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de una

muestra de 36 observaciones al tiempo de soldadura sea

mayor que 1.25 min?

EJEMPLO

Suponga que las latas de KOKA KOLA se llenan de tal

manera que las cantidades reales tienen una media de 12

onzas y una desviación estándar . Si se conoce que el

percentil 25 de los contenidos de las latas es inferior a

11.9804 onzas.

a) Calcule la desviación estándar de los contenidos de las

latas de KOKA KOLA.

b) Se toma una muestra aleatoria de 64 latas. ¿Cuál es la

probabilidad de que la media de la muestra sea por los

menos 12.19 onzas.?

EJEMPLO 6

Suponga N=6 estudiantes universitarios y n =3 . Para calcular las distribuciones de muestreo, suponiendo que son conocidos todos los valores de la población ( Ingreso semanal en nuevos soles)

Nos interesa la media de la población. Se proponen dos planes de

muestreo.

EJEMPLO

Plan1: Se puede elegir 8 muestras

posibles

Plan2: Se puede elegir entre tres

muestras posibles

N° de

muestra Muestra

Probabilida

d N° de

muestra Muestra Probabilidad

1 (1,3,5) 0.125 1 (1,4,6) 0.25 2 (1,3,6) 0.125 2 (2,3,6) 0.5

3 (1,4,5) 0.125 3 (1,3,5) 0.25

4 (2,4,6) 0.125

5 (2,3,5) 0.125

6 (2,3,6) 0.125

7 (2,4,5) 0.125

8 (2,4,6) 0.125

y1 y2 y3 y4 y5 y6

100 102 154 133 190 175

a) Cual es el valor de la media poblacional? Y halle los

promedios de la muestra para cada plan de

muestreo

b) Hallar el valor esperado y la varianza para cada plan

de muestreo e indique cual es el mejor plan de

muestreo y por qué?

c) En el Plan 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el

ingreso promedio muestral supere los 125 nuevos

soles

Una empresa produce 1 millón de botellas a la semana

cuyos pesos siguen una distribución normal de media 1200

g. y desviación estándar 10 g.. Calcular para una semana:

a. El número de botellas que pesan entre 1200g. y 1215 g.

b. Si se toma una muestra aleatoria de 25 semanas,¿Cuál es

la probabilidad de que el peso promedio en la muestra

supere los 1210 g?

EJEMPLO

Una siderúrgica está produciendo actualmente cables para

suspensión de puentes. La característica más importante de este

producto es su resistencia, el peso que puede soportar antes de que

se reviente se distribuye normalmente. Por experiencia pasada se

sabe que el promedio de la resistencia es de 6 toneladas con

desviación estándar de 0.75 toneladas. Para efectos de control de

calidad, se selecciona una muestra de 9 cables y se adopta la

siguiente regla de decisión:

Si la resistencia promedio de la muestra está por encima de 6.5

toneladas o por debajo de 5.5 se suspende el proceso. ¿Cuál es la

probabilidad de tener el proceso?

EJEMPLO

La duración en horas de un electrodoméstico comprado a la

empresa A, es una variable aleatoria . El 95% de los

electrodomésticos duran entre 1180 y 1220 horas. Si se extraen 200

m.a.s de 7 electrodomésticos cada una:

a.¿Calcular la desviación estándar de la duración de

electrodomésticos?

b.¿cuál es la media, error estándar y coeficiente de variación de la

distribución de la media muestral?

c. ¿Qué probabilidad existe de que la media muestral supere las 1201

horas?

d. ¿Cuántas muestras superan las 1210 horas?

21200, AN

EJEMPLO

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

M1

1x

M1

2x

M1

lxM1

ix

POBLACIÓN

. . .

Un fabricante especifica que cada paquete de su

producto tiene un peso promedio 22.5 g con una

desviación estándar de 9 g. Calcule la probabilidad que

una muestra aleatoria de 40 paquetes de este producto

tenga un peso promedio menor o igual que 20 g.

Suponga que X tiene una distribución uniforme discreta

f (x) = 1/3 x = 1,2,3

= 0 en cualquier otro caso

De esta población se toma una muestra aleatoria de

tamaño 36. Encuentre la probabilidad de que la media

muestral sea mayor que 2.1 pero menor que 2.5.

EJEMPLO

EJEMPLO

Sea X una variable aleatoria que representa el contenido real en onzas de una lata de café de 1 lb. La distribución de probabilidad de x es:

Si se toman muestras aleatorias de 36 latas de café y se mide el contenido real promedio.

a. Hallar la media y error estándar de la distribución de la media muestral.

b. Si se toma una muestra aleatoria de 36 latas, ¿ calcular la probabilidad de que el contenido promedio de café en la muestra contenga menos de 16 onzas?

1( ) 15,5 17

1,5

0

f x x

para otros valores

El ingreso medio (expresado en nuevos soles) de los trabajadores

de un sector es de 780 n.s y la desviación estándar es 60 n.s. Si

se consideran muestras de 81 trabajadores:

a) ¿En que porcentaje de muestras saldrá un ingreso medio menor

que 775 n.s ?

b) ¿En que porcentaje de muestras saldrá un ingreso medio entre 695

n.s y un ingreso menor a 790 n.s?

c) Repite los apartados anteriores para n = 625 y compara los

resultados.

EJEMPLO

DISTRIBUCION DE UNA DIFERENCIA DE MEDIAS

MUESTRALES

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

x xz

n n

Los colchones producidos por la empresa “DOLMOR”

tienen una duración media de 80 meses y una

desviación estándar de 5 meses, mientras que los

colchones fabricados por la empresa “AMAZON” tienen

una duración media de 75 meses y una desviación

estándar de 3 meses, ¿Cuál es la probabilidad de que

una muestra aleatoria de 49 colchones de la empresa

“DOLMOR” tenga una duración media de por lo menos

tres meses más que la duración media de 64 colchones

de la empresa “AMAZON”?. Considere que las

distribuciones en ambos casos se distribuye

normalmente y son independientes.

Ejercicio

Los focos fabricadas por LUMILUX tienen un promedio de vida útil de

6000 horas con una desviación estándar de 1600 horas y los focos

fabricados por FOTOLUX tienen un promedio de vida útil de 8000

horas con una desviación estándar de 3600 horas. Si se selección

200 focos fabricados por LUMILUX y 160 focos fabricadas por

FOTOLUX.

¿Cuál es la probabilidad de que el promedio muestral de vida útil de

los focos fabricados por FOTOLUX difiera en menos de 800 horas

del promedio muestral de vida útil de los focos fabricadas por

LUMITUX?

Una comercializadora de granos afirma que el peso

promedio (en gramos) de dos marcas de café instantáneo

es el mismo. Para verificar la afirmación se tomaron dos

muestras aleatorias independientes de tamaño 49 sobres

de cada marca y si aplicará el siguiente criterio de decisión:

Si la media muestral de A es mayor que la media muestral

de B en más de 0.5 gramos, se rechazará que la media de

ambas marcas son iguales. En caso contrario se aceptará

que las medias de ambas marcas son iguales. ¿Cuál es la

probabilidad de aceptar que las medias de las marcas A y B

son iguales?. Suponga que las varianzas del peso de las

marcas A y B son 9 y 4 respectivamente.

EJEMPLO

• Dos tipos distintos de botellas de vidrio son adecuados para su

utilización en una embotelladora de bebidas gaseosas. La

resistencia a la presión interna de un envase es una

característica de calidad importante. Se sabe que las

desviaciones estándar de cada tipo de botella es igual a 3 psi y

sus resistencias medias del tipo 1 y 2 son: 175 y 181 psi

respectivamente. Si se eligen al azar 36 botellas de vidrio de

cada tipo, determinar la probabilidad de que las resistencias

promedio a la presión del diseño de la botella 2 exceda a la del

diseño 1 en por lo menos 5 psi.?

EJEMPLO

Un proceso envasa conservas con dos maquinas (A y B). Los

pesos de las conservas envasados tanto por la maquina A y B

siguen una distribución normal. La Maquina A envasa conservas

con peso medio de 970 g y una varianza de 144 g2, mientras que

la maquina B los envasa con un peso medio de 980 g y una

varianza de 256 g2

Si se eligen 36 artículos por la máquina A y 64 artículos producidos

por la máquina B. Hallar la probabilidad de que el peso promedio

muestral de B sea mayor que el promedio muestral de la maquina

A en por lo menos 6 g?

EJEMPLO

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA PROPORCION

Objetivos:

Al finalizar esta unidad el estudiante será capaz:

• Mostrar la importancia de la distribución una proporción muestral.

• Definir y diseñar una distribución de muestreo para la proporción de la muestra.

DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL.

Muestreo Media Varianza Error estándar

Con reemplazo

Sin reemplazo

p

p

21

pn

21

1p

N n

n N

1

1p

N n

n N

1p

n

Distribución de probabilidad de todas las proporciones posibles de un tamaño

muestra dado.

A: Muestreo con reemplazo

• P: proporción de éxitos en la muestra

( ) 1np n npn

f pnp

B: Muestreo sin reemplazo

• P: proporción de éxitos en la muestra

( )

A B

np n npg p

N

n

Aproximación a la Distribución normal

(1 )

pZ

n

En un proceso industrial se producen 11% de artículos

defectuosos. Si se toma una muestra aleatoria de 100 de ellos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de defectuosos

exceda al 14 % en la muestra?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de defectuosos

sea menor que 9 % en la muestra?

EJEMPLO

Ejercicio

Una fábrica de cierto producto tiene en prueba un nuevo

tipo de equipo envasador. El equipo que actualmente utiliza

tiene un 4% de fallas, pero su costo de mantenimiento es

más alto que el nuevo equipo; por lo tanto después de

realizar los estudios convenientes respecto a las utilidades,

se establece que el nuevo equipo no se compre si el

produce más del 10 % de fallas en “n” pruebas. Suponiendo

que el nuevo equipo tiene como verdadera proporción de

fallas el valor 0,08.

a. Determinar la probabilidad de no comprar el nuevo equipo

cuando se realizan 4 pruebas.

b. Si se realizan 40 pruebas con el nuevo equipo. ¿cuál es la

probabilidad de que la proporción de fallas sea mayor que

actualmente se utiliza en no más de 0,15?.

EJEMPLO

En una fábrica se sabe por experiencia que el tiempo de trabajo

promedio en un artículo con el torno existente (X) se distribuye

normalmente con una media de 38.6 min y una desviación estándar

de 13.8 min. Asimismo se sabe que el tiempo de trabajo promedio

por artículo con el nuevo torno (Y) se distribuye normalmente con

una media de 33.5 min y una desviación estándar de 14.1 min

Se seleccionan una muestra de 100 artículos del torno Y de un lote

de 1000 artículos. Halle la probabilidad que la proporción de

artículos de la muestra con un tiempo trabajado de más de 40 min

sea mayor a 0.5.

EJEMPLO

Se sabe que un 6% de las piezas producidas en una fábrica

son defectuosas. Si en un lote se toma una muestra de 100

piezas.

a. Determinar la probabilidad de que la proporción de piezas

defectuosas en la muestra supere el 20 % de piezas

defectuosas.

b. Si del lote se extraen 10 piezas. ¿cuál es la probabilidad de

que la proporción de piezas defectuosas en la muestra

supere el 20 % de piezas defectuosas.

EJEMPLO

EJEMPLO

Cada media hora se saca una muestra aleatoria de 100 unidades de un proceso de producción. La proporción de productos no conforme fabricado es 0,02.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que p( proporción muestral de productos no conformes) es a lo mas 4 % ?

b. Si la muestra que se saca cada media hora es de tamaño 9 ¿ cuál sería la distribución exacta de la proporción muestral de productos no conformes?. Así mismo: a media, error estándar y coeficiente de variación de la proporción muestral de productos no conformes.

EJEMPLO 28

Una máquina fabrica piezas de precisión y en su producción

habitual tiene un 3% de piezas defectuosas.

A.Se empaquetan en cajas de 10¿Cuál es la probabilidad de

encontrar mas de 4 piezas defectuosas en una caja?

B.Se empaquetan en cajas de 200, ¿cuál es la probabilidad de

encontrar entre 5 y 7 piezas defectuosas en una caja?

Con base en datos pasado, se sabe que el 30% de las compras

con tarjeta de crédito, en una tienda muy conocida, son por

cantidades superiores a 100 dólares. Si se seleccionan muestras

aleatorias de 100 compras:

a. ¿Qué proporción de las muestras es posible que tengan entre

20% y 30% de compras mayores que 100 dólares?

b. Dentro de qué límites centrados en el porcentaje de la

población caerá el 95% de los porcentajes de la muestra?

EJEMPLO

EJEMPLO

En cierto proceso de producción se utiliza el siguiente sistema de

control de calidad: se elige una muestra al azar de 36 piezas si el

porcentaje de piezas defectuosas de la muestra excede de p, se

detiene el proceso para localizar las fallas. Si se sabe que el

proceso ocasiona un 10% de piezas defectuosas en promedio,

calcule el valor de p, para que exista un 22,5% de probabilidad de

detener el proceso, cuando la proporción de piezas defectuosas

exceda de p.

DISTRIBUCIÓN DE UNA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

MUESTRALES

Sea X1, ..., Xn1 una m.a.s de una población X, e Y1, ..., Yn2 una m.a.s.

de una población Y. Suponemos que las poblaciones X e Y son

independientes. Denotamos por 1 y 2 las proporciones

poblacionales y por p1 y p2 las correspondientes proporciones

muestrales.

Muestreo con

reemplazo en las dos

poblaciones

2

22

1

112p

n

)1(

n

)-(1

Muestreo sin reemplazo

en las dos

poblaciones

1N

nN

n

)1(

1N

nN

n

)1(

2

22

2

22

1

11

1

112p

MSR en población 1

MCR en población 2

2

22

1

11

1

112p

n

)1(

1N

nN

n

)1(

MCR en población 1

MSR en población 2

1N

nN

n

)1(

n

)1(

2

22

2

22

1

112p

Entonces:

))(,()( 21 pVNpp p

Por lo tanto:

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

( ) ( )

(1 ) (1 )

p pZ

n n

Candidato Porcentaje

A 30%

B 40%

C 30%

¿Cuál es la probabilidad de que el candidato A supere al candidato

B?. Considere muestras aleatorias de tamaño 100

Según el INEI, el 45 % de amas de casa del distrito La Molina

afirman que el sistema de seguridad de su distrito es bueno, y en el

distrito de San Borja el 30 % de amas de casa afirman lo mismo. Se

seleccionó una muestra aleatoria de 180 amas de casa del distrito de

La Molina y 120 amas de casa del distrito de San Borja. ¿Cuál es la

probabilidad de que la proporción muestral de amas de casa del

distrito de La Molina que afirmen que el sistema de seguridad de su

distrito es buena supere la proporción muestral del distrito de San

Borja en a lo más de 0.30?

EJEMPLO

Dos máquinas A y B producen el mismo artículo. Se sabe que el

porcentaje de artículos defectuosos producidos por A es de 6 y por B

es de 4. Además diariamente la máquina A produce un total de 1200

artículos y la máquina B de 800 artículos.

Si se obtiene una muestra aleatoria de 100 artículos para cada una

de las máquinas.

Halle la probabilidad que la proporción de defectuosos de la muestra

A sea superior a la proporción de defectuosos de la muestra de la

máquina B a lo más de 0.02.

EJEMPLO

Para cierta región se conoce que el 15% de los créditos otorgados por la

financiera A tienen al menos una cuota de pago vencida y que los montos

(en decenas de miles de dólares) de los créditos otorgados por dicha

financiera tienen una distribución normal con una media de 5.56 y una

variancia de 9. Del mismo modo, para otra región se conoce que el 24% de

los créditos aprobados por la financiera B tienen al menos una cuota de

pago vencida y que los montos (en decenas de miles de dólares) de los

créditos otorgados por dicha financiera también tienen una distribución

normal con una media de 6 y una variancia de 4.

Los directivos de ambas financieras sostienen que los créditos por montos

menores a 50000 dólares tienen una menor probabilidad de atrasos en los

compromisos de pago.

Si para cada financiera se seleccionan al azar y sin reemplazo 400 créditos,

halle la probabilidad que la proporción de créditos por montos superiores

60000 dólares de la muestra de la financiera A supere a la correspondiente

proporción de la muestra de la financiera B en no más de 0.05.

EJEMPLO

Dos máquinas A y B producen el mismo artículo. Se sabe que

el porcentaje de artículos defectuosos producidos por A es de

6 y por B es de 4. Además diariamente la máquina A produce

un total de 1200 artículos y la máquina B de 800 artículos.

Si se obtiene una muestra aleatoria de 100 artículos para

cada una de las máquinas, halle la probabilidad que la

proporción de defectuosos de la muestra A sea superior a la

proporción de defectuosos de la muestra de la máquina B a lo

más de 0.02.

EJEMPLO

En condiciones normales, una máquina produce

piezas con una tasa de defectuosas del 1%. Para

controlar que la máquina sigue bien ajustada, se

escogen al azar cada día 100 piezas en la producción

y se le somete a un test.¿Cuál es la probabilidad de

que, si la máquina está bien ajustada, haya, en una de

esas muestras, más del 2% de piezas defectuosas? Si

un día, 3 piezas resultan defectuosas, ¿que

conclusiones sacaría sobre el funcionamiento de la

máquina?

EJEMPLO

Ciertas encuestas sobre un programa de TV. Revelan que el 28 % de

los hombres y el 38% de las mujeres de clase media ven dicho

programa.¿Cuál es la probabilidad de que en dos muestras aleatorias

de 150 hombres y 100 mujeres respectivamente, perteneciente a dicho

estrato, se encuentre que la proporción de hombres que ha visto el

programa sea igual o mayor que la proporción de mujeres?

EJEMPLO

Se escoge una muestra de 600 electores que acaban de votar, entre las

8 a.m y las 4 p.m para estimar la proporción de votantes a favor de los

candidatos A y B. En una encuesta hecha en la víspera se estimó en 30

% y 35 % los porcentajes a favor de A y B respectivamente.¿ Cuál es la

probabilidad de la proporción muestral de B exceda a la proporción

muestral de A en al menos 10%?

EJEMPLO