Distribusi Distribusi BinomialBinomial

KuliahKuliahBiostatistika DeskriptifBiostatistika Deskriptif

2

PendahuluanPendahuluan Diantara sekian banyak distribusi Diantara sekian banyak distribusi

barangkali distribusi normal merupakan barangkali distribusi normal merupakan distribusi yang secara luas banyak distribusi yang secara luas banyak digunakan dalam berbagai penelitian. digunakan dalam berbagai penelitian. Banyak kejadian yang dapat dinyatakan Banyak kejadian yang dapat dinyatakan dalam data hasil observasi per dalam data hasil observasi per eksperimen yang mengikuti distribusi eksperimen yang mengikuti distribusi normal. normal. Misalkan antara lain tinggi Misalkan antara lain tinggi badan, berat badan, isi sebuah botol, badan, berat badan, isi sebuah botol, nilai hasil ujian dan lain-lain.nilai hasil ujian dan lain-lain.

3

DefinisiDefinisi Distribusi Binomial adalah suatu distribusi Distribusi Binomial adalah suatu distribusi

probabilitas yang dapat digunakan bilamana probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label "berhasil" bila kartu yang dapat memberi label "berhasil" bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau ”gagal” bila terambil adalah kartu merah atau ”gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama, yaitu keberhasilan setiap ulangan tetap sama, yaitu sebesar 0,5..(Ronald E. Walpole) sebesar 0,5..(Ronald E. Walpole)

4

Ciri-Ciri Distribusi BinomialCiri-Ciri Distribusi Binomial Percobaan diulang sebanyak n kali.Percobaan diulang sebanyak n kali. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan

ke dalam 2 kelas, misal :ke dalam 2 kelas, misal : "BERHASIL" atau "GAGAL";"BERHASIL" atau "GAGAL"; "YA" atau "TIDAK";"YA" atau "TIDAK"; "SUCCESS" atau "FAILED";"SUCCESS" atau "FAILED";

Peluang berhasil / sukses dinyatakan Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan dengan pp dan dalam setiap ulangan nilai dan dalam setiap ulangan nilai pp tetap. peluang gagal dinyatakan dengan tetap. peluang gagal dinyatakan dengan qq, , dimana dimana q = 1 - pq = 1 - p..

Setiap ulangan bersifat bebas Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan yang lainnya.(independent) satu dengan yang lainnya.

Percobaannya terdiri dari atas n ulangan Percobaannya terdiri dari atas n ulangan (Ronald E. Walpole).(Ronald E. Walpole).

Nilai Nilai n < 20n < 20 dan dan p > 0.05p > 0.05

5

Rumus Distribusi BinomialRumus Distribusi Binomial

b(x;n,p) = b(x;n,p) = nnccxxppxxqqn-xn-x

dimana :dimana :x = 0,1,2,3,.....,nx = 0,1,2,3,.....,nn = banyaknya ulangann = banyaknya ulanganx = banyaknya kerberhasilan dalam x = banyaknya kerberhasilan dalam

peubah acak xpeubah acak xp = Peluang berhasil dalam setiap ulanganp = Peluang berhasil dalam setiap ulanganq = Peluang gagal, dimana q = Peluang gagal, dimana q = 1 - pq = 1 - p dalam dalam

setiap ulangansetiap ulangan

6

Catatan :Catatan :Agar anda mudah dalam Agar anda mudah dalam membedakan membedakan pp dengan dengan qq, anda , anda harus dapat menetapkan mana harus dapat menetapkan mana kejadian kejadian SUKSESSUKSES dan mana dan mana kejadian kejadian GAGALGAGAL. Anda dapat . Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menetapkan bahwa kejadian yang menjadi menjadi pertanyaan atau pertanyaan atau ditanyakanditanyakan adalah = adalah = kejadian kejadian SUKSES.SUKSES.

7

Contoh distribusi binomial :Contoh distribusi binomial : Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala

Wisata air, yang khusus menangani perjalanan Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas :Indonesia, berapakah probabilitas : Paling banyak 2 diantaranya menyatakan Paling banyak 2 diantaranya menyatakan sangat sangat

puaspuas Paling sedikit 1 di antara menyatakan Paling sedikit 1 di antara menyatakan kurang puaskurang puas Tepat 2 diantaranya menyatakan Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa sajabiasa saja

8

Jawab :Jawab :X ≤ 2X ≤ 2

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :sebagai berikut :b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) =b(2; 5, 0.20) =0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atauataub(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480 b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480 ---------------------------------------------------- +---------------------------------------------------- +Maka hasil x = 2 adalah = 0.94208Maka hasil x = 2 adalah = 0.94208

9

X ≥ 1X ≥ 1 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan Lihat tabel dan lakukan penjumlahan

sebagai berikut :sebagai berikut :b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.55620.0001 = 0.5562

X = 2X = 2 b(2; 5, 0.25) = 0.2637b(2; 5, 0.25) = 0.2637

10

X = 2 X = 4X = 2 X = 4 Lihat tabel dan lakukan Lihat tabel dan lakukan

penjumlahan sebagai berikut :penjumlahan sebagai berikut :b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.65280.0768 = 0.6528

11

Analisis masing-masing point :Analisis masing-masing point : Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan

jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar.sangat puas adalah sangat besar.

Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang menyatakan menyatakan kurang puaskurang puas dapat dikatakan cukup dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%).besar (karena lebih dari 50%).

Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%).(karena dibawah 50%).

Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar.dikatakan cukup besar.

12

Analisis keseluruhan :Analisis keseluruhan :PresentasePresentase

Jika diambil persentase terbesar Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di maka persentase terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai manca negara yang sangat menyukai Indonesia.Indonesia.

13

Nilai XNilai X Jika dilihat dari jumlah X, maka Jika dilihat dari jumlah X, maka

perlu diperhatikan point kedua (b). perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling sedikit 1 Jumlah X adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang 55,63% yang menyatakan kurang puas. Hal tersebut berarti kelima puas. Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke puas terhadap kunjungannya ke Indonesia.Indonesia.

14

Kepala bagian produksi PT Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ? probabilitas 2 ?

15

Jawab :Jawab : p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 40,85, x = 2, n = 4

Rumus :Rumus :

b ( x ; n ; p )           = nCx px q n-xb ( x ; n ; p )           = nCx px q n-xb (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(4 (4 -- 2) 2)                               = 0,0975                                = 0,0975

16

Analisis :Analisis :

Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan rata rata -- rata produk rusak setiap kali rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun pada dikatakan kecil. Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%) yang persentase kecil (hanya 9,75%) yang namanya produk rusak harus tetap namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian. mengurangi kerugian.

17

Rata-Rata dan Ragam Rata-Rata dan Ragam Distribusi BinomialDistribusi Binomial

                      Rata-rata µ = n . pRata-rata µ = n . p                    Ragam ð2 = n . p . qRagam ð2 = n . p . q

nn : ukuran populasi : ukuran populasipp : peluang berhasil dalam setiap : peluang berhasil dalam setiap ulanganulanganqq : peluang gagal, dimana : peluang gagal, dimana q = 1 - pq = 1 - p dalam dalam

setiap ulangansetiap ulangan

18

Contoh Rata - rata dan Ragam Distribusi Contoh Rata - rata dan Ragam Distribusi Binomial :Binomial :

Untuk b (5; 5, 20) dimana x = 5, n = 5 Untuk b (5; 5, 20) dimana x = 5, n = 5 dan p = 0.20 dan p = 0.20 q = 1-p ; q = 1-0.20 = sehingga q = q = 1-p ; q = 1-0.20 = sehingga q = 0.80 0.80

maka :maka :

          µ = 5 X 0.20 = 1          µ = 5 X 0.20 = 1          ð2 = 5 X 0.20 X 0.8 = 0.80          ð2 = 5 X 0.20 X 0.8 = 0.80          ð = √0.80 = 0.8944          ð = √0.80 = 0.8944

19