Digitalna obrada signalaProgram

Semestar: 6

Broj časova: P-2, V-1, L-1

Nastavnik: dr Radojka Krneta, vanr. profesor

Asistent: M.Sc. Đorđe Damnjanović, dipl. inž

Ciljevi predmeta: Osposobljavanje studenata da razumeju, analiziraju i projektuju algoritme za

digitalnu obradu signala. Osposobljavanje studenata da izaberu adekvatnu strukturu kola kako bi

zadovoljili specifikacije tipičnih sistema za digitalnu obradu signala. Osposobljavanje studenata da softverski implementiraju algoritme za digitalnu

obradu signala

 

Digitalna obrada signalaProgram predmeta

1. Diskretizacija kontinualnog signala. Spektar diskretizovanog signala i efekat preklapanja spektralnih komponenti. Teorema odmeravanja i rekonstrukcija analognog signala.

2. Diskretna Furijeova transformacija (DFT). Osnovi spektralne analize signala.

3. Brza Furijeova transformacija (FFT).

4. Projektovanje digitalnih filtara. Kontinualno – digitalne transformacije

5. Projektovanje filtara sa beskonačnim impulsnim odzivom (IIR): projektovanje analognih

filtara, preslikavanja analognih filtara u diskretni domen.

Digitalna obrada signalaProgram predmeta

6. Projektovanje filtara sa konačnim impulsnim odzivom (FIR): metod prozorskih funkcija,

projektovanje zasnovano na frekvencijskom odmeravanju.

7. Strukture za realizaciju diskretnih sistema sa konačnim i beskonačnim impulsnim odzivom.

8. Uticaj konačne dužine digitalne reči na karakteristike sistema: kvantovanje koeficijenata,

kvantovanje proizvoda, nelinearni efekti.

Digitalna obrada signalaLiteratura

R. Krneta, M. Acović, A. Dostanić, Signali i sitemi sa MATLAB primerima

R. Krneta, Ž. Čučej, M. Baltić, Napredne tehnike za obradu signala

M. Popović: Digitalna obrada signala Lj. Milić, Z. Dobrosavljević, Uvod u digitalnu obradu

signala A. Oppenheim, R. Schafer: Discrete-Time Signal

Processing

Digitalna obrada signala Metod ocenjivanja

2 obavezna kolokvijuma, 50% ukupne ocene

Izrada domaćih zadataka (Matlab, Simulink, LabView), 20% ukupne ocene

Ispit – u formi testa, kratka pitanja, 30% ukupne ocene

Diskretizacija kontinualnih signala. Odmeravanje/1 Signali na koje nailazimo u prirodi su

većinom kontinualni. Obrada kontinualnih signala pomoću

digitalnih sistema (npr. računari) je moguća kada se analogni signali prevedu u digitalni oblik.

Diskretizacija kontinualnih signala. Odmeravanje/2 Analogna obrada

Robusnost sistema je je na strani analognih sistema Nema kašnjenja prouzrokovanog AD i DA konverzijom Neke analogne sisteme za obradu nije moguće u potpunosti

izbeći (npr. Antialiasing filtar) Promena parametara analognih sistema usled starenja

komponenti, uticaja temperature Šum u analognim kolima je teško kontrolisati Velike dimenzije Ako je potrebno promeniti neku osobinu analognog

sistema(npr. graničnu učestanost analognog filtra) često se mora zameniti neka komponenta

Diskretizacija kontinualnih signala. Odmeravanje/3 Digitalna obrada

Rekonfigurabilnost digitalnog sistema (FPGA- Field-programmable Gate Array, CPLD-complex programmable logic device,μC), AD i DA deo u jednom čipu

Manje dimenzije, smanjen uticaj starenja komponenti Greška kod digitalnih sistema postoji, ali je najčešče

poznata što olakšava eliminaciju njenog uticaja U nekim slučajevima cena AD i DA konverzije je previsoka Jeftini AD konvertori su još uvek spori Preduslov za digitalnu obradu signala je poznavanje

analognog sveta

Diskretizacija kontinualnih signala. Odmeravanje

diskretizacija po vremenu – odmeravanje (eng. sampling)

diskretizacija po amplitudi – kvantovanje Kompletan proces se naziva:

analogno-digitalna (A/D) konverzija.

Šema postupka A/D konverzije

OdmeravanjeKvantizer i

koder

x(t)

x[n] xd[n]

Analogni signal

Diskretni signal

Digitalni signal

Proces odmeravanja/1

Kontinualni signal se prevodi u diskretan Uzimaju se samo odmerci u jednakim

vremenskim intervalima. Vreme između dva susedna odmerka

naziva se period odmeravanja T

Proces odmeravanja/2

Vremensku osu delimo na jednake vremenske intervale.

T

Uzimamo samo vrednosti signala u unapred definisanim vremenskim trenucima.

*

*

**

* *

*

*

*

**

* *

Odmerci signala

kT (k+1)T...

...(k-1)T

kxkxkTxtx *

Idealni diskretizovani signal

XAnalogni signal

Povorka Diracovih impulsa

Odmerci signala

x*(t)=x(t)s(t)

n

nTtts )(

Spektar diskretizovanog signala

nn

nTtnTxnTttxtstxtx )()()()(*

Idealni diskretizovani signal je jednak:

Povorka Diracovih impulsa je periodičan signal i može se predstaviti pomoću Fourierovog reda:

n k k

tjktjkk

ss eT

eanTtts1

gdje je T učestanost odmeravanja.

Spektar signala x*(t) je:

dteetxT

dtetxjX tj

k

tjktj s

)(

1)(*)(*

Spektar diskretizovanog signala

k ks

tkj kjXT

dtetxT

jX s1

)(1

)(* )(

Ako promenimo redosled sumiranja i integracije u prethodnoj jednakosti:

gdje je X(jΩ) spektar kontinualnog signala x(t).

Na osnovu gornje jednakosti zaključujemo da je spektar idealnog diskretizovanog signala beskonačna suma periodično ponovljenih spektara kontinualnog signala pomnoženih sa 1/T , pa se ponekad naziva periodična ekspanzija (produženje) spektra kontinualnog signala

Spektar idealnog diskretizovanog signala

Nema preklapanja

spektara

Preklapanje spektara

(aliasing)

Spektar idealnog diskretizovanog signala

•Cilj je sačuvati informaciju sadržanu u izvornom kontinualnom signalu.

•Drugim rečima, postupak odmeravanja ne sme voditi ka gubljenju informacija u signalu.

•Izvorni signal se mora moći rekonstruisati iz signala odmeraka, pa je uslov za očuvanje informacija u procesu odmeravanja da ne sme doći do preklapanja replika spektra u spektru diskretizovanog signala.

Spektar idealnog diskretizovanog signala

Učestanost ΩM

Učestanost ΩS- ΩM

ΩM ≤ Ω S- ΩM

2ΩM ≤ ΩS

Teorema o odmeravanjuŠanonova (Shanon) ili Nikvistova (Nyquist) teorema

Neka je x(t) signal sa ograničenim spektrom, tj.

X(jΩ)=0 za |Ω|>ΩM. Tada je kontinualni signal x(t) jedinstveno određen svojim odmercima x[nT], n=0, ±1, ±2, ... ako je

ΩS > 2ΩM

gde je ΩS =2/T.

Rekonstrukcija signala

Iz diskretnih odmeraka signal x(t) se može rekonstruisati propuštanjem povorke odmeraka kroz idealni NF filter sa pojačanjem T i graničnom frekvencijom većom od ΩM a manjom od ΩS - ΩM.

Filter za rekonstrukciju ima pojačanje T da bi se kompenzovao faktor 1/T u

Rezultat filtriranja je upravo signal x(t).

k

skjXT

jX1

)(*

Rekonstrukcija pomoću NF filtra

Frekvencija 2ΩM, koja po teoremi o odmeravanju mora biti manja od frekvencije odmeravanja, naziva se

Nyquistova brzina, dok se Ω obično naziva Nyquistova frekvencija.

Odmeravanje pomoćukola sa zadrškom

Uski, visoki impulsi koji aproksimiraju -impulse se teško generišu u praksi.

Zbog toga se koristi kolo sa zadrškom. U datom trenutku signal x(t) se odmerava i

kolo zadržava ovu vrednost na izlazu sve do trenutka uzimanja sledećeg odmerka.

Odmeravanje pomoću kola sa zadrškom

Rekonstrukcija izvornog signala x(t) se takođe vrši pomoću NF filtra.

Amplitudna karakteristika NF filtra u propusnom opsegu više nije ravna.

Analizirajmo izlaz kola sa zadrškom x0(t)...

Kolo sa zadrškom (sample&hold)

Izlaz x0(t) se može dobiti kao izlaz LTI sistema koji ima pravougaoni impulsni odziv h0(t), pri čemu na ulaz sistema dovodimo odmeravani signal xp(t).

Kolo sa zadrškom (sample&hold)

Rekonstrukcija signala iz x0(t) zahteva obradu signala x0(t) pomoću LTI sistema sa nekim impulsnim odzivom hr(t), tj. frekv. odzivom Hr(jΩ).

Biramo Hr(jΩ) tako da bude r(t)=x(t). Ovaj LTI sistem predstavlja idealni postfilter za

kompenzaciju uticaja kola zadrške – rekonstrukcioni filter

Određivanje frekventnog odziva kola sa zadrškomPoznato nam je:

2/sin22/00

TethFjH Tj

pa mora biti zadovoljeno:

2/sin2

2/

Te

jHTj

r

Rekonstrukcija signala

jH r

1

2/s2/s

jH rarg

2/

2/2/s

2/s

Rekonstrukcija signala iz odmeraka pomoću interpolacije Rekonstrukcija na osnovu poznatih

vredosti funkcije za određeni skup argumenata (odmerci).

Kolo sa zadrškom je primer interpolacije. Drugi jednostavan primer je linearna

interpolacija.

Linearna interpolacija između susednih tačaka

U složenijim primerima interpolacije, pojedini odmerci se povezuju polinomima višeg reda.

Rekonstrukcija pomoću interpolacije Teorema o odmeravanju govori da se

signal sa ograničenim spektrom može rekonstruisati ako je perioda odmeravanja dovoljno kratka.

Interpretacija rekonstrukcije signala x(t) u smislu interpolacije nalazi se u vremenskoj analizi delovanja NF filtara.

Rekonstrukcija pomoću interpolacije Ako je h(t) impulsni odziv filtra, tada je izlaz

filtra na čiji ulaz se dovodi signal odmeraka, jednak:

xr t x p (t) h t

x p t x nT t nT n

nr nTthnTxtx

Gornja jednačina opisuje kontinualnu krivu koja povezuje odmerke x(nT) i prema tome predstavlja interpolacionu formulu.

Rekonstrukcija pomoću interpolacije

Za idealni NF filter:

t

tTth

c

cc

sin

n c

ccr nTt

nTtTnTxtx

sin

Primer rekonstrukcije za Ωc= Ωs/2

Interpolacija pomoću impulsnog odziva idealnog NF filtera se često naziva i frekventno ograničena interpolacija jer osigurava tačnu rekonstrukciju frekventno ograničenog signala kada frekvencija odmeravanja zadovoljava uslove teoreme o odmeravanju.

Praktičan slučaj

U većini slučajeva je poželjnije koristiti manje tačne ali jednostavnije filtre, ili drugim rečima

jednostavnije interpolacione funkcije u odnosu na idealni NF filter.

Kolo sa zadrškom se može posmatrati kao interpolacija između odmeraka gde je interpolaciona funkcija jednaka h0(t).

T

Šta se dešava kada teorema o odmeravanju nije zadovoljena?

Do sada smo imali pretpostavku da je frekvencija odmeravanja dovoljno velika da je teorema o odmeravanju zadovoljena.

Za Ωs>2Ωm, spektar diskretizovanog signala X(jΩ) čine skalirane replike spektra signala x(t), što je osnova teoreme o odmeravanju.

Kada je Ωs<2Ωm, spektar X(jΩ) nije više replicirani spektar izvornog signala Xp(jΩ) i prema tome ne može se izvorni signal rekonstruisati pomoću NF filtra.

Efekat preklapanja spektara – ALIASING.

Preklapanje spektara

Kada je Ωs<2Ωm, rekonstruisani signal xr(t) nije više jednak izvornom signalu x(t).

Međutim, izvorni signal i rekonstruisani signal će biti jednaki u trenucima odmeravanja.

Prema tome, za proizvoljno Ωs je:

xr(nT)=x(nT), za n=0,±1, ±2, ... Za primer ćemo uzeti jednostavan slučaj sinusnog

signala x(t)=cos(Ωt). Posmatraćemo Fourierovu transformaciju ovog

signala.

Fourierova transformacija izvornog signala

xr(t)=cos( Ω0t)=x(t)

NF filter

xr(t) =cos( Ω0t)=x(t)

xr(t) =cos[( Ωs- Ω0)t]≠x(t)

xr(t) =cos[( Ωs- Ω0)t] ≠x(t)

Pogledajmo talasne oblike na izlazu filtra (a i b)

Kada se dešava aliasing – c i d

Za vežbu Posmatrajmo sistem na slici.Pretpostavljajući da je Ω1> Ω2- Ω1, odrediti maksimalnu vrednost T i vrednosti konstanti A, Ωa i Ωb tako da je xr(t)=x(t).

Notacija svuda: Ω ima jedinicu rad/s, Veza sa učestanošću u

Hz: Ω =2*pi*f, gde je f u Hz,

Veza sa periodom odmeravanja T:Ω =2*pi/T, gde je T u s,

Ω i f su kontinualne učestanosti