Ds10 c3 phan2-

Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a x b y ca b a b

a x b y c2 2 2 21 1 11 1 2 2

2 2 2( 0, 0)

+ = + ≠ + ≠ + =Giải và biện luận:

– Tính các định thức:a b

Da b1 1

2 2= , x

c bD

c b1 1

2 2= , y

a cD

a c1 1

2 2= .

Xét D Kết quả

D ≠ 0 Hệ có nghiệm duy nhất yxDD

x yD D;

= = ÷

D = 0Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 Hệ vô nghiệm

Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩnNguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

a) x yx y5 4 37 9 8

− = − =

b) x yx y2 115 4 8

+ = − =

c) x yx y3 16 2 5

− = − =

d) ( )

( )x y

x y2 1 2 1

2 2 1 2 2

+ + = −

− − =e)

x y

x y

3 2 164 35 3 112 5

+ =

− =

f) x y

y3 1

5x 2 3 − =

+ =


a) x y

x y

1 8 18

5 4 51

− =

+ =

b) x y

x y

10 1 11 225 3 21 2

+ = − +

+ = − +

c) x y x y

x y x y

27 32 72 345 48 12 3

+ = − +

− = − − +

d) x yx y2 6 3 1 55 6 4 1 1

− + + = − − + =

e) x y x yx y x y2 93 2 17

+ − − = + + − =

f) x y x yx y x y4 3 83 5 6

+ + − = + − − =

Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

a) mx m y m

x my( 1) 12 2

+ − = + + =

b) mx m y

m x m y( 2) 5

( 2) ( 1) 2 + − = + + + =

c) m x y mm x y m( 1) 2 3 1( 2) 1

− + = − + − = −

d) m x m ym x m y m( 4) ( 2) 4(2 1) ( 4)

+ − + = − + − =

e) m x y m

m x y m m2 2( 1) 2 1

2 + − = − − = +

f) mx y mx my m2 1

2 2 5 + = + + = +

Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy:i) Giải và biện luận. ii) Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) m x y m

m x y m m2 2( 1) 2 1

2 + − = − − = +

b) mx y

x m y m1

4( 1) 4 − = + + =

c) mx yx my m

3 32 1 0

+ − = + − + =

Trang 24 www.MATHVN.com

VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨNVIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN


Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy:i) Giải và biện luận.ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.

a) mx y mx my m2 1

2 2 5 + = + + = +

b) mx m ym x my

6 (2 ) 3( 1) 2

+ − = − − =

c) mx m y m

x my( 1) 12 2

+ − = + + =


a) ax y bx y3 2 5

+ = + = −

b) y ax bx y2 3 4

− = − =

c) ax y a bx y a2

+ = + + =

d) a b x a b y aa b x a b y b( ) ( )(2 ) (2 )

+ + − = − + + =

e) ax by a bbx ay ab

2 2

2 + = + + =

f) ax by a bbx b y b

2

2 4

− = −

− =Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:

a) x y zx y z

x y z

3 12 2 52 3 0

+ − =− + =

− − =b)

x y zx y zx y z

3 2 82 63 6

+ + =+ + =

+ + =c)

x y zx y z

x y z

3 2 72 4 3 83 5

− + = −− + + =

+ − =Bài 8.

a)


Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai

1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai• Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.• Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.• Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

2. Hệ đối xứng loại 1

Hệ có dạng: (I) f x yg x y( , ) 0( , ) 0

= =

(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).• Đặt S = x + y, P = xy.• Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.• Giải hệ (II) ta tìm được S và P.

• Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X SX P2 0− + = .3. Hệ đối xứng loại 2

Hệ có dạng: (I) f x yf y x( , ) 0 (1)( , ) 0 (2)

= =

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).• Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:

(I) ⇔ f x y f y xf x y( , ) ( , ) 0 (3)( , ) 0 (1)

− = =

• Biến đổi (3) về phương trình tích:

(3) ⇔ x y g x y( ). ( , ) 0− = ⇔ x yg x y( , ) 0

= =

.

• Như vậy, (I) ⇔

f x yx yf x yg x y

( , ) 0

( , ) 0( , ) 0

= = = =

.

• Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).4. Hệ đẳng cấp bậc hai

Hệ có dạng: (I) a x b xy c y da x b xy c y d

2 21 1 1 12 2

2 2 2 2

+ + =

+ + =.

• Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).• Khi x ≠ 0, đặt y kx= . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).

Chú ý: – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để giải (sẽ học ở lớp 12).

– Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm x y0 0( ; ) thì y x0 0( ; ) cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x y0 0= .


IX. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨNIX. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN



a) x yx y

2 24 82 4

+ = + =b) x xy

x y

2 242 3 1

− = − =c) x y

x y

2( ) 493 4 84

− = + =

d) x xy y x yx y

2 23 2 3 6 02 3

− + + + − = − = e)

x yxy x y3 4 1 03( ) 9

− + = = + −

f) x y

xy x y2 3 2

6 0 + = + + + =

g) y x xx y

2 42 5 0

+ = + − =h)

x yx y y2 22 3 53 2 4

+ = − + =

i) x y

x xy y2 22 5

7 − = + + =


a) x yx y m2 2

6 + = + =

b) x y mx y x2 2 2 2

+ = − + =

c) x y

x y m2 23 2 1 − =

+ =Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:

a) x xy yx y xy x y2 2

112( ) 31

+ + = + − − + = −

b) x yx xy y2 2

413

+ = + + =

c) xy x yx y x y2 2

58

+ + = + + + =

d) x yy xx y

1366

+ =

+ =

e) x x y yx y xy

3 3 3 3 175

+ + = + + =f)

x x y yx xy y

4 2 2 4

2 2481

37

+ + =

+ + =


a) x y xy mx y m2 2 3 2

+ + = + = −

b) x y mx y xy m m2 2 2

12 3

+ = + + = − −

c) x y m

xy x y m( 1)( 1) 5( ) 4

+ + = + + =


a) x x yy y x

2

23 23 2

= +

= +b)

x y x yy x y x

2 2

2 22 22 2

− = +

− = +c)

x x yy y x

3

322

= +

= +

d)

yx y

xx

y xy

3 4

3 4

− =

− =

e)

yyx

xxy

2

22

2

23

23

+= + =

f) x y

y

y xx

2

2

12

12

= +

= +


a) x x myy y mx

2

233

= +

= +b)

x y m my x m m

2 2

2 2(3 4 ) (3 4 )(3 4 ) (3 4 )

− = −

− = −c)

xy x m yxy y m x

2

2( 1)( 1)

+ = −

+ = −Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:

a) x xy yx xy y

2 2

2 23 1

3 3 13

− + = −

− + =b)

x xy yx xy y

2 2

2 22 4 13 2 2 7

− + = −

+ + =c)

y xyx xy y

2

2 23 44 1

− =

− + =

d) x xy yx xy y

2 2

2 23 5 4 385 9 3 15

+ − =

− − =e)

x xy yx xy y

2 2

2 22 3 94 5 5

− + =

− + =f)

x xy yx xy y

2 2

2 23 8 4 05 7 6 0

− + =

− − =Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

a) x mxy y mx m xy my m

2 2

2 2( 1)

+ + =

+ − + =b)

xy yx xy m

2

21226

− =

− = +c)

x xy y my xy

2 2

243 4

− + =

− =Bài 9. Giải các hệ phương trình sau:

a)


Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) m x m x m2 24 3+ − = + b) a b x a a a b a b x2 2 2 2( ) 2 2 ( ) ( )+ + = + + +

c) a x ab b x a b2 2 2 22+ = + + d) a ax b ax b2( ) 4 5+ = + −Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) x m x mx x2 1 11

+ + −− =−

b) m x

m x mx

22 1

1− = +

−

c) mx m

xx x

2 1 12 11 1

− +− − =− −

d) x x m1 2 3− + − =

Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) x x m22 12 15 0+ − = b) x m x m2 22( 1) 0− − + =

b) x mx m2 1 0− + − = d) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0− − + − =Bài 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại:

a) x mx m x20

31 0;2

− + + = = − b) x m x m x2 202 3 0; 1− + = = .

Bài 5. Trong các phương trình sau, tìm m để:i) PT có hai nghiệm trái dấuii) PT có hai nghiệm âm phân biệtiii) PT có hai nghiệm dương phân biệt

iv) PT có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả: x x3 31 2 0+ = ; x x2 2

1 2 3+ =

a) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0− − + − = b) x m x m2 22( 1) 0+ − + =

c) x m x m2 22( 1) 2 0− + + − = d) m x m x m2( 2) 2( 1) 2 0+ − − + − =

e) m x m x m2( 1) 2( 4) 1 0+ + + + + = f) x x m2 4 1 0− + + =Bài 6. Trong các phương trình sau, hãy:

i) Giải và biện luận phương trình.

ii) Khi phương trình có hai nghiệm x x1 2, , tìm hệ thức giữa x x1 2, độc lập với m.

a) x m x m2 ( 1) 0+ − − = b) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0− − + − =

c) m x m x m2( 2) 2( 1) 2 0+ − − + − = d) x m x m2 22( 1) 2 0− + + − =Bài 7. Giải các phương trình sau:

a) x x2 2 6 12+ − = b) x x2 2 11 31+ + =

c) x x16 17 8 23+ = − d) x x x2 2 8 3( 4)− − = −

e) x x x23 9 1 2 0− + + − = f) x x x251 2 1− − = −

g) x x x2 2( 3) 4 9− − = − h) x x3 1 3 1+ + = −Bài 8. Giải các phương trình sau:

a) x x4 3 10 3 2− − = − b) x x x5 3 2 4− + + = +

c) x x x3 4 2 1 3+ − − = + d) x x x x2 23 3 3 6 3− + + − + =e) x x x2 2 3 3 5+ − − = − f) x x x3 3 5 2 4− − − = −

g) x x x2 2 2 1 1 4+ + + − + = h) 811 +−=−+ xxx

Bài 9. Giải các phương trình sau:



a) x x x x2 1 2 1 2+ − − − − = b) x

x x x x32 1 2 12++ − + − − =

c) x x x x4 2 21 1 2− − + + − = d) x x x x2 2 13 7− − − + =

e) x x x x2 22 3 1 3 4+ − + = + f) x x x x2 22 3 2 1 9+ + + = −g) x x x x2 2 2 4 2 2− − + = − h) x x x x2 22 5 3 5 23 6+ + + = −

Bài 10. Trong các hệ phương trình sau:i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.

a) mx y m

x my a2 1

2 2 1 + = + + = −

b) mx y mx my m

32 1

+ = + = +

c) x y mx y m2 4

2 3 3 − = − + = +

d) x yy x m2 52 10 5

+ = − = +


a) x xy yx y y x2 2

16

+ + = − + = −

b) x yx x y y

2 2

4 2 2 45

13

+ =

− + =c)

x y y xx y

2 2

3 330

35

+ =

+ =

d) x yx y x y

3 3

5 5 2 21 + =

+ = +

e) x y xyx y x y

2 2

4 4 2 2721

+ + =

+ + =f)

x y xyx y x y2 2

113( ) 28

+ + = + + + =


a)

x yxy

x yx y

2 22 2

1( )(1 ) 5

1( )(1 ) 49

+ + =

+ + =

b) ( )y x x y

x yx y

2 2

2 22 2

( 1) 2 ( 1)11 24

+ = + + + = ÷ ÷

c)

x yx y

x yx y

2 22 2

1 1 4

1 1 4

+ + + =

+ + + =

d)

x y

x y

x yxy

2 2231 1

1( )(1 ) 6

+ = + +

+ + =

e) x y y x y x xy

y xxy

xy x y

2 22 2 61 4

+ + + = + + + =

f)

xyxy

x yxy

1 4

1( ) 1 5

+ =

+ + = ÷ Bài 13. Giải các hệ phương trình sau:

a) x x yy y x

2

23 23 2

= +

= +b)

x x yy y x

3

322

= +

= +c)

x x yy y x

3

33 83 8

= +

= +

d) x y

y

y xx

2

2

12

12

= +

= +

e)

x yx

y xy

2

2

32

32

+ =

+ =

f)

yyx

xxy

2

22

2

23

23

+= + =

Bài 14. Giải các hệ phương trình sau:a)



a) x x x x2 1 2 1 2+ − − − − = b) x

x x x x32 1 2 12++ − + − − =

c) x x x x4 2 21 1 2− − + + − = d) x x x x2 2 13 7− − − + =

e) x x x x2 22 3 1 3 4+ − + = + f) x x x x2 22 3 2 1 9+ + + = −g) x x x x2 2 2 4 2 2− − + = − h) x x x x2 22 5 3 5 23 6+ + + = −

Bài 10. Trong các hệ phương trình sau:i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.

a) mx y m

x my a2 1

2 2 1 + = + + = −

b) mx y mx my m

32 1

+ = + = +

c) x y mx y m2 4

2 3 3 − = − + = +

d) x yy x m2 52 10 5

+ = − = +


a) x xy yx y y x2 2

16

+ + = − + = −

b) x yx x y y

2 2

4 2 2 45

13

+ =

− + =c)

x y y xx y

2 2

3 330

35

+ =

+ =

d) x yx y x y

3 3

5 5 2 21 + =

+ = +

e) x y xyx y x y

2 2

4 4 2 2721

+ + =

+ + =f)

x y xyx y x y2 2

113( ) 28

+ + = + + + =


a)

x yxy

x yx y

2 22 2

1( )(1 ) 5

1( )(1 ) 49

+ + =

+ + =

b) ( )y x x y

x yx y

2 2

2 22 2

( 1) 2 ( 1)11 24

+ = + + + = ÷ ÷

c)

x yx y

x yx y

2 22 2

1 1 4

1 1 4

+ + + =

+ + + =

d)

x y

x y

x yxy

2 2231 1

1( )(1 ) 6

+ = + +

+ + =

e) x y y x y x xy

y xxy

xy x y

2 22 2 61 4

+ + + = + + + =

f)

xyxy

x yxy

1 4

1( ) 1 5

+ =

+ + = ÷ Bài 13. Giải các hệ phương trình sau:

a) x x yy y x

2

23 23 2

= +

= +b)

x x yy y x

3

322

= +

= +c)

x x yy y x

3

33 83 8

= +

= +

d) x y

y

y xx

2

2

12

12

= +

= +

e)

x yx

y xy

2

2

32

32

+ =

+ =

f)

yyx

xxy

2

22

2

23

23

+= + =

Bài 14. Giải các hệ phương trình sau:a)


Documents

Ds10 c3 phan2-