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물리학과 첨단기술 JULY/AUGUST 201 3 49
버터 바른 토스트의 낙하에 관한 머피의 법칙 1996 Ig Nobel Prize in Physics
홍 석 인
참고문헌
[1] http://www.improbable.com/ig/.
[2] R. Matthews, Eur. J. Phys. 16, 172
(1995).
[3] M. E. Bacon, G. Heald and M. James,
Am. J. Phys. 69, 38 (2001).
저자약력
홍석인 교수는 서울대학교 물리학과를 졸업(이학사)하고 한국과학기술원 물리학과에서 이학박사 학위를 받은 후, 현재 경인교육대학교 과학교육과 교수로 재직 중으로 물리학회 물리학과 첨단기술 편집위원을 맡고 있다. ([email protected])
R. Matthews는 ‘머피의 법칙의 연구, 특
히 토스트가 흔히 버터 바른 쪽으로 떨어
진다는 사실을 입증’한 공로로 1996년 이
그 노벨 물리학상을 수상하였다.[1,2] 머피
의 법칙이란 ‘무언가 잘못될 수 있다면 실
제로 그렇게 될 것이다’를 의미한다.[2] 이
법칙은 영화 ‘미술관 옆 동물원’에도 나오
고 DJ DOC의 노래에도 있다.
그림 1. 테이블에서 토스트의 회전.[2]
테이블의 높이 cm토스트의 질량, 중력가속도
토스트 길이 cm토스트의 무게중심이 테이블 모서리로부터
돌출된 거리(overhang) ≡ (≤) 토스트의 회전각
토스트의 각속도
마찰력, 수직항력
논의를 단순화하기 위하여 토스트의
초기 수평속도는 0이고, 토스트는 바닥에
의해 되튀는 일이 없는 완전비탄성 충돌
을 한다고 가정한다. (토스트의 초기 수평
속도가 있다면 뒤집힐 가능성이 작아진
다.) 토스트는 균질하고 표면이 거친 강
체 직사각형 판으로 근사한다.
평행축 정리를 써서 테이블 모서리에
대한 토스트의 회전 관성을 구한 다음 그
축에 대한 토스트의 회전 운동 방정식(알
짜 돌림힘회전관성×각가속도)을 쓰면
(22) cos (1)
이 된다. 이 식의 양변에 을 곱하고
에서 라는 초기조건을 사용하
여 적분하면 와 (overhang 매개변수)
의 함수로
sin (2)
을 얻는다.[2]
토스트의 표면 거칠기에 의한 마찰력 때
문에 토스트는 회전을 시작하자마자 테이
블에서 떨어지지 않고 식 (2)에 의한 각속
도로 회전한다. 미끄러짐이 일어나는 회전
각 의 최솟값은 토스트와 테이블 모서리
간의 정지마찰계수 ms≈을 사용하
여 FmsR에 의해 구할 수 있다. 이를 위
하여 뉴턴의 제2법칙을 그림 1의 평면에서
극좌표로 표현하는 것이 필요하다.[2,3]
미끄러지는 순간에 회전에 의해 유발된
속도의 수평성분으로 인하여 토스트와 테이
블 간의 접촉이 끊어지고 수직항력 R은 0이 된다. 토스트의 자유낙하 회전각속도 w 0
는 w 20 w 2(f;h0)로 주어지고 시간 t
1/2 동안 자유낙하한다.
여기서 임계 overhang 매개변수 h0는 이탈
과 자유낙하가 일어나는 overhang 매개변
수의 최솟값으로서 실험적으로 측정될 수
있다.[2] 즉, 엄밀히 말하면, 미끄러짐과 동시
에 이탈이 일어나지 않으므로 테이블 모서
리에서 미끄러지는 기간(slipping regime)
을 고려해야 한다.[3]
이제 토스트의 버터 바른 쪽이 위로 착
지하는 조건을 고려해 보자. 처음에 테이
블 위에 놓여 있던 토스트( )가 회전하
여 에서 테이블을 이탈한 후 바닥에
닿을 때까지의 총 회전각 w 0t가
90°보다 작거나, 270°보다 크고 450°보다
작으면 된다. 토스트가 아주 높은 테이블
에서 낙하한다면 여러 바퀴 회전할 수 있
으므로 더 광범위한 각도 범위에서 고려해
야 하지만, 일상적인 테이블의 경우에는
(3)
만 고려해도 충분하다. Matthews는 식 (3)
의 첫째 식은 생각하지 못했고, h0의 하한
값을 구하기 위하여 둘째 식의 좌측 부등식
에서 로 택함으로써 w0(p/2;h0)tp을 얻었다. 이 식을 풀면, 인
경우에, 버터 바른 쪽이 위로 착지할 조건
으로 h 00.06이 나온다. 그런데 임계
overhang 매개변수의 실험치는 h0∼0.015
이므로, 보통 낙하 상황에서 작은 overhang
을 가진 토스트는 버터 바른 쪽으로 착지한
다.[2] 이는 머피의 법칙이 아니라 주어진 조
건(중력가속도, 테이블의 높이, 토스트의 길
이)에 따른 뉴턴의 운동법칙의 결과이다.
Bacon, Heald, James는 미끄러짐과 식
(3)을 고려하여 h76 cm 인 테이블에서
cm인 판(board)의 낙하를 연구한
결과, 버터 바른 쪽으로 착지하기 위한
overhang d0의 조건으로 0d00.8 cm,
2.7d05.1 cm을 얻었다. 이는 전체 영역
의 63%에 해당하므로 머피의 법칙 신봉자들
이 실망할지도 모른다. 그러나 흔히 토스트
낙하 사고는 작은 d0의 영역에서 일어난다.[3]
버터 바른 토스트의 공중제비 문제는
학부생들에게 실험적으로나 이론적으로
‘웃음을 주는’ STEAM(SAMLET) 교육의
소재로 매우 유용할 것이다.
