Ecuación de la linea elastica

Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles

Curso de Mecánica de Sólidos I, Apuntes de Clase Profesor MSc. Ing. Jaime Campbell Barraza

5-1

5. DESPLAZAMIENTOS EN VIGAS (ECUACIÓN

DE LA LÍNEA ELÁSTICA)

5.1. Ecuación de la Línea Elástica

La curva deformada del eje centroidal de una viga originalmente recta para una

determinada carga se denomina Línea Elástica.

Las causas de la deformación pueden ser momentos flectores, fuerzas de corte,

diferencias de temperatura sobre la altura de la viga, asentamiento de algún apoyo, etc.

La influencia de la fuerza de corte en la mayoría de los casos es despreciable frente a la

influencia del momento flector. Las diferencias de temperatura sobre la altura de la viga y los

asentamientos de apoyos son casos particulares que se tratan con análisis especiales.

La Línea Elástica se determina para calcular los valores de la deformada (flecha) y

ángulos de inclinación (giros) en cualquier punto de la viga. Sirve, además, para obtener la

solución de problemas de vigas hiperestáticas.

Los elementos que usualmente se deben tener en cuenta cuando se desea determinar la

Ecuación de la Línea Elástica de una viga son los siguientes:



5-2

Figura Nº1: Ecuación de la Línea Elástica.

Donde:

ℓ: es el largo de la viga

EI: es la rigidez a flexión de la viga

x: es la coordenada longitudinal de la viga

w(x): desplazamiento vertical en el punto de coordenada “x”

φ(x): pendiente en el punto de coordenada “x”

Adicionalmente se deben conocer las condiciones de apoyo de la viga y las cargas.

La deducción de la ecuación que controla la deformación de una viga recta se muestra

a continuación.

Considerando una viga cualquiera:



5-3

Figura Nº2: Deducción de la Ecuación de la Línea Elástica.

Y dentro de esta viga, considerando un elemento diferencial de largo “dx” en estado

deformado:

Figura Nº3: Elemento diferencial de viga.

De la figura: dsd =⋅ θρ θ

ρdds

=⇒



5-4

Donde, como ya se sabe “ρ” es el Radio de Curvatura.

Y el recíproco “κ” es la Curvatura: dsdθ

ρκ ==

1

La inclinación de la curva es: dxdw

=ϕtan

Como en los análisis de este curso se considera deformaciones pequeñas, se puede

aproximar:

ββ ≈sin ββββ ≈=⇒

cossintan

1cos ≈β

Entonces:

ϕcos⋅= dsdx dsdx =⇒

dxdw

=ϕtan dxdw

=⇒ϕ

dsdθ

ρ=

1 dxdθ

ρ=⇒

1

Teniendo en cuenta que: ϕθ dd −=

2

2

dxwd

dxd

dxd

−=−=⇒ϕθ (*)

Por otro lado, de la Teoría de Flexión en Vigas Rectas (Capítulo 2), se tiene:



5-5

EIM

=ρ1

EIM

dxd

=⇒θ (**)

Igualando (*) con (**): EIM

dxwd=− 2

2

)()(2

2

xMdx

xwdEI −=⇒

Que es la Ecuación Diferencial de la Línea Elástica.

Para determinar la Ecuación de la Línea Elástica se debe integrar dos veces la ecuación

diferencial y, como es obvio, se necesita conocer la ecuación de momentos flectores. Por otra

parte, en la doble integración aparecen dos constantes, cuyo valor se debe determinar mediante

la evaluación adecuada de las condiciones de borde del problema.

Además, como ya se vió: dx

xdwx )()( =ϕ

Y de la Mecánica: dx

xdMxQ )()( =

dx

xdQxq )()( −=

Por lo tanto, se tiene que:

)(xw Es la ecuación de la línea elástica del eje centroidal de la viga

)()(' xxw ϕ= Es la ecuación de la pendiente del eje centroidal

)()('' xMxwEI −=⋅ Es la ecuación del momento flector



5-6

)()(''' xQxwEI −=⋅ Es la ecuación de la fuera de corte

)()( xqxwEI iv =⋅ Es la ecuación de la carga

O sea, la ecuación de la elástica de una viga también se puede determinar a partir de la

cuádruple integración de la ecuación de la carga. Esto es más simple, pero se debe tener en

cuenta que aparecen cuatro constantes de integración.

Ejemplo Nº1

Determinar la ecuación de la elástica de la viga dada. Datos: P, ℓ, EI.

Figura Nº4: Ejemplo Nº1.

A partir de la ecuación de momento flector: xPxM ⋅−=)(

xPxwEI ⋅=⋅ )(''

12

21)(' CxPxwEI +⋅=⋅

213

61)( CxCxPxwEI +⋅+⋅=⋅

Las condiciones de borde son:

1) 0)( == lxw

2) 0)(' == lxw



5-7

De 2): 021

12 =+⋅ CP l 2

1 21

l⋅−=⇒ PC

De 1): 021

61

223 =+⋅⋅−⋅ CPP lll 3

2 31

l⋅=⇒ PC

Entonces: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅⋅−⋅= 323

31

21

611)( ll PxPxP

EIxw

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−⋅= 22

21

211)(' lPxP

EIxw

[ ]xPEI

xw ⋅=1)(''

[ ]PEI

xw 1)(''' =

0)( =xwiv

Las gráficas de todas estas ecuaciones son:



5-8

Figura Nº5: Gráficas del Ejemplo Nº1.

Ejemplo Nº2

Determinar la ecuación de la elástica de la viga dada. Datos: q, ℓ, EI.


A partir de la ecuación de la carga: qxq =)(

qxwEI iv =⋅ )(

1)(''' CxqxwEI +⋅=⋅

212

21)('' CxCxqxwEI +⋅+⋅=⋅

322

13

21

61)(' CxCxCxqxwEI +⋅+⋅+⋅=⋅



5-9

432

23

14

21

61

241)( CxCxCxCxqxwEI +⋅+⋅+⋅+⋅=⋅


1) 0)0('' ==xw

2) 0)('' == lxw

3) 0)0( ==xw

4) 0)( == lxw

De 1): 02 =⇒ C

De 2): 021

12 =⋅+⋅ ll Cq l⋅−=⇒ qC

21

1

De 3): 04 =⇒ C

De 4): 021

61

241

334 =⋅+⋅⋅⋅−⋅ llll Cqq 3

3 241

l⋅=⇒ qC

Entonces: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅+⋅⋅−⋅= xqxqxq

EIxw 334

241

121

2411)( ll

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅⋅−⋅= 323

241

41

611)(' ll qxqxq

EIxw

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅−⋅= xqxq

EIxw l

21

211)('' 2

[ ]l⋅−⋅= qxqEI

xw 1)('''

[ ]qEI

xwiv 1)( =



5-10

Las gráficas de todas estas ecuaciones son:

Figura Nº7: Gráficas del Ejemplo Nº2.



5-11

5.2. Aplicaciones a problemas de vigas hiperestáticas

La Ecuación de la Línea Elástica puede ser usada para determinar la solución de

problemas de vigas hiperestáticas. Lo anterior se logra ya que la ecuación de la viga elástica

permite obtener los desplazamientos en cualquier punto de una viga isostática, por lo que si el

problema original se reduce a uno isostático equivalente (suponiendo alguna incógnita como

conocida) asociado a una compatibilidad geométrica apropiada (en el punto y dirección de la

supuesta incógnita conocida) se puede despejar el valor de la incógnita elegida y

posteriormente a través de las ecuaciones básicas de equilibrio se determinan las restantes

incógnitas.

Para explicar más claramente la idea se presentan algunos ejemplos de aplicación.

Ejemplo Nº3

Determinar las reacciones de la viga dada. Datos: q, ℓ, EI.


Planteando el sistema isostático equivalente:



5-12

Figura Nº9: Sistema isostático equivalente del Ejemplo Nº3.

Este sistema isostático debe ser asociado a la siguiente compatibilidad geométrica:

0=Δ+Δ RbB

qB

Separando el sistema isostático:

Figura Nº10: Sistema isostático equivalente separado.

Para la Parte I se puede usar el resultado del Ejemplo Nº2: EI

qqB

4

3845 l⋅

=Δ

Para la Parte II se hace el siguiente desarrollo:

xRxM B ⋅−=21)(

xRxwEI B ⋅=⋅21)(''



5-13

12

41)(' CxRxwEI B +⋅=⋅

213

121)( CxCxRxwEI B +⋅+⋅=⋅


1) 0)0( ==xw

2) 0)2/(' == lxw

De 1): 02 =⇒ C

De 2): 044

11

2

=+⋅ CRBl 2

1 161

l⋅−=⇒ BRC

Entonces: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅−⋅= xRxR

EIxw BB

23

161

1211)( l

)2/( l==Δ xwRbB

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅−⋅==216

1812

11)2/( 23 l

ll

l BB RREI

xw EI

RBRbB

3

481 l⋅

−=Δ⇒

De la compatibilidad geométrica:

0481

3845 34

=⋅

−⋅

EIR

EIq B ll l⋅=⇒ qRB 8

5

Para determinar las restantes reacciones:



5-14

Figura Nº11: Esquema para el cálculo de reacciones.

Por simetría: CA RR =

Momentando en el extremo izquierdo: 228

5 lll

ll ⋅⋅=⋅+⋅⋅ qRq C

l⋅=⇒ qRC 163

l⋅=⇒ qRA 163

Ejemplo Nº4

Determinar las reacciones de la viga dada. Datos: q, ℓ, EI.


Planteando el sistema isostático equivalente:



5-15

Figura Nº13: Sistema isostático equivalente del Ejemplo Nº4.

Este sistema isostático debe ser asociado a la siguiente compatibilidad geométrica:

0=Δ+Δ RbB

qB

Separando el sistema isostático:

Figura Nº14: Sistema isostático equivalente separado.

Para la Parte II se puede usar el resultado del Ejemplo Nº1: EI

RBRbB

3

31 l⋅

−=Δ

Para la Parte I se hace el siguiente desarrollo:

3

61)( xqxM ⋅−=l

3

61)('' xqxwEI ⋅=⋅l



5-16

14

241)(' CxqxwEI +⋅=⋅l

215

1201)( CxCxqxwEI +⋅+⋅=⋅

l


1) 0)( == lxw

2) 0)(' == lxw

De 2): 0241

14 =+⋅ Cql

l 3

1 241

l⋅−=⇒ qC

De 1): 0241

1201

235 =+⋅⋅−⋅ Cqqlll

l 4

2 301

l⋅=⇒ qC

Entonces: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅⋅−⋅= 435

301

241

12011)( ll

lqxqxq

EIxw

)0( ==Δ xwqB

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅== 4

3011)0( lq

EIxw

EIqq

B

4

301 l⋅

=Δ⇒

De la compatibilidad geométrica:

031

301 34

=⋅

−⋅

EIR

EIq B ll l⋅=⇒ qRB 10

1

Para determinar las restantes reacciones:



5-17

Figura Nº15: Esquema para el cálculo de reacciones.

Suma de fuerzas verticales: ll ⋅=⋅+ qqRA 21

101

l⋅=⇒ qRA 52

Momentando en el extremo izquierdo: 32

1101 l

lll ⋅⋅=⋅⋅+ qqM A

2

151

l⋅=⇒ qM A

Ejemplo 5

Para la viga dada se pide determinar la Ecuación de la Línea Elástica. Datos: P, ℓ,

EI=ctte..-




5-18

Solución:

Importante:

En la rótula se produce una situación especial. A pesar de que en este caso la ecuación

del momento flector es la misma a ambos lados de la rótula, la ecuación de la línea elástica no

es la misma debido a que en la rótula se produce una discontinuidad de giros (pendiente), lo

que obliga a determinar una ecuación de la línea elástica para el tramo a la izquierda de ella y

otra ecuación para el tramo de la derecha.

Suponiendo los cortes 1 (desde el empotramiento hasta la rótula), 2 (desde la rótula

hasta el apoyo deslizable) y 3 (desde el voladizo hasta el apoyo deslizable) y teniendo en

cuenta las reacciones en el empotramiento (MA=P·ℓ en sentido horario y AV=P hacia abajo) y

en el apoyo deslizable (CV=2·P hacia arriba), se tiene:

Tramo 1 (0<x< ℓ)

l··)(1 PxPxM +−=

l··)(''· 1 PxPxwEI −=

12

1 ···21)('· CxPxPxwEI +−= l

2123

1 ···21·

61)(· CxCxPxPxwEI ++−= l

Condiciones de Borde del tramo 1:

1) 0)0(1 ==xw → 02 =C

2) 0)0('1 ==xw → 01 =C



5-19

Por lo tanto, la ecuación de la línea elástica del tramo 1 es:

231 ··

21·

61)(· xPxPxwEI l−=

xPxPxwEI ···21)('· 2

1 l−=

Los desplazamientos verticales y giros en los puntos extremos del tramo 1 son:

0)0(1 ==xw

EI

PPPEI

xw3

231

·31··

21·

611)( l

llll −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −==

0)0('1 ==xw

EI

PPPEI

xw2

21

·21···

211)(' l

llll −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −==

Tramo 2 (0<x< ℓ)

xPxM ·)(2 −=

xPxwEI ·)(''· 2 =

12

2 ·21)('· DxPxwEI +=

213

2 ··61)(· DxDxPxwEI ++=


1) EI

Pxw3

2·

31)0( l

−== → 32 ·

31

lPD −=



5-20

2) 0)(2 == lxw → 21 ·

61

lPD =


3232 ·

31··

61·

61)(· ll PxPxPxwEI −+=

222 ·

61·

21)('· lPxPxwEI +=


EIPPPP

EIxw

3323

2·

31·

310··

610·

611)0( l

ll −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+==

0·31··

61·

611)( 323

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+== lllll PPP

EIxw

EIPPP

EIxw

222

2·

61·

610·

211)0(' l

l =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +==

EI

PPPEI

xw2

222

·32·

61·

211)(' l

lll =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +==

Tramo 3 (0<x< ℓ)

xPxM ·)(3 −=

xPxwEI ·)(''· 3 =

12

3 ·21)('· ExPxwEI +=

213

3 ··61)(· ExExPxwEI ++=



5-21


1) EI

Pxw2

3·

32)(' l

l −== → 21 ·

67

lPE −=

2) 0)(3 == lxw → 32 ·lPE =


3233 ···

67·

61)(· ll PxPxPxwEI +−=

223 ·

67·

21)('· lPxPxwEI −=


EIPPPP

EIxw

3323

3··0··

670·

611)0( l

ll =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−==

0···67·

611)( 323

3 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−== lllll PPP

EIxw

EIPPP

EIxw

222

3·

67·

670·

211)0(' l

l −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −==

EI

PPPEI

xw2

223

·32·

67·

211)(' l

lll −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −==

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