Ecuacin de propagacin de una onda
PAGE Ondas. Ecuacin de propagacin de una onda Departamento de
Fsica y Qumica. IES Ramn y Cajal Zaragoza
Ecuacin de propagacin de una onda
Imaginemos una onda que viaja en una direccin, por ejemplo, una
onda en una cuerda muy larga. Supongamos una situacin ideal en la
que el medio sea uniforme y la onda no pierda energa, de manera que
la amplitud no disminuya a lo largo de su trayecto.Si nos fijamos
en un punto cualquiera de la cuerda, que habremos pintado
previamente para diferenciarlo de los otros, observaremos que su
movimiento es armnico, igual que el del punto donde se genera la
onda. Sin embargo, hay una diferencia importante: su movimiento es
igual que el del punto en el que se genera la onda, pero est
desfasado.
Vibra del mismo modo que el punto de la cuerda que est en el
origen, que denominaremos fuente de la onda, pero con un cierto
retraso. Este retraso es el tiempo que tarda la onda en
llegar.Supongamos la ecuacin del movimiento vibratorio del punto de
la cuerda que se encuentra en el origen de la onda:y = A sen wt
Como la onda viaja a una velocidad vp a travs del medio, tarda
un tiempo, que denominaremos tr (tiempo de retraso), en llegar a un
punto que est a una distancia x. Se ha de verificar:
vp = x/tr ; tr = x/vp
Podemos considerar que la ecuacin con que vibra el punto a una
distancia x es la misma que la ecuacin con que vibra el que se
encuentra en el origen, pero lo hace en un tiempo t - tr, retrasado
respecto al origen:y = A sen w (t tr) = A sen [wt - w (x/vp)]
Si consideramos que vp = /T; vp = f y w = 2f, la ecuacin
anterior puede expresarse as:
y = A sen [wt - 2f (x/f) ] = A sen [wt (2/) x]
Si llamamos k, nmero de onda, a la expresin 2/, la ecuacin que
indica cmo se mueve un punto que est a una distancia x del origen a
lo largo del tiempo es la siguiente
y = A sen (wt - kx)donde:
w = 2/T
La ecuacin anterior tambin puede escribirse as:
y = A sen 2 (t/T x/)
Estas ecuaciones corresponden a un punto x que est en la
direccin hacia donde viaja la onda (a la derecha del origen), de
manera que hace lo mismo que la fuente de la onda pero con un
cierto retraso. Si la onda viaja en sentido contrario, de manera
que pasa antes por el punto en la posicin x que por el origen, ser
aquel punto el que vibre antes. En la ecuacin anterior, slo cambiar
el signo: habr un signo + en lugar del signo -: y = A sen (wt +
kx)La ecuacin de una onda armnica es: y = A sen (wt kx).El signo -
corresponde a aquella situacin en que la onda viaja desde el origen
hasta un punto de distancia x. El signo + corresponde a la situacin
inversa.Es importante destacar que la amplitud de una onda y la
elongacin tienen las unidades que corresponden al tipo de
perturbacin que se transmite. Por ejemplo, si se trata de ondas en
una cuerda o en el agua, las unidades de A e y correspondern a las
de una longitud; en cambio, si se trata del sonido, las unidades
correspondern a las de la presin; y, si se trata de una onda
electromagntica, correspondern a las del campo elctrico o
magntico.y = A cos (wt - kx) y = A sen (kx - wt) y = A cos (kx -
wt) son ecuaciones de ondas que se propagan hacia la izquierda en
el eje de coordenadas. En cambio las ecuaciones y = A cos (wt + kx)
y = A sen (kx + wt) y = A cos (kx + wt) son ecuaciones de ondas que
se mueven hacia la derecha en el eje de coordenadas.Ejemplo 1
Escribe la ecuacin de la onda armnica que se produce cuando el
extremo de una cuerda vibra con una amplitud de 0,4 m y una
frecuencia de 3 Hz. La velocidad de propagacin de la onda en la
cuerda es de 6 m s-1.SolucinPodremos escribir la ecuacin si
conocemos los tres parmetros que intervienen: A, w y k. El valor de
A es 0,4 m. El valor de w se calcula fcilmente:w = 2nf = 2 rad x 3
s-1 = 6 rad s-1Para poder calcular k, hay que conocer la longitud
de onda, que debe calcularse a partir de la velocidad de propagacin
y la frecuenciavp = f; = vp/f = 6 m/s-1/ 3 s-1 = 2 mk = 2/ = 2/ 2 =
rad m-1Finalmente, sustituimos A, w y k en la ecuacin general de
las ondas:y = A sen (wt - kx) y = 0,4 sen (6 t - x)
Ejemplo 2
La ecuacin de una onda armnica es y = 0,050 sen (12,6t - 4,2x).
Calcula:a) La amplitud, longitud y velocidad de propagacin de la
onda.
b) La velocidad y aceleracin mximas de un punto del medio a
travs del cual pasa la onda.
Solucina) Si comparamos la ecuacin y = 0,050 sen (12,6t - 4,2x)
con la ecuacin general de las ondas, y = A sen (wt - kx),
advertiremos que A = 0,050, w=12,6 y k = 4,2. A partir de w,
podemos calcular la frecuencia y, a partir de k, la longitud de
onda y la velocidad:w = 2 f; f = w/2 = 12,6 rad s-1 / 6,28 rad =
2,0 Hz
k = 2 / ; = 2 / k = 6,28 rad / 4,2 rad m-1 = 1,5 m
v p = f = 1,5 m x 2,0 s-1 = 3,0 m s-1c) La velocidad y la
aceleracin mximas de vibracin de un punto del medio pueden
calcularse de acuerdo con las frmulas correspondientes a un
movimiento armnico simple:v mx=Aw = 0,050 m . 12,6 rad s-1 = 0,63 m
s-1a mx = Aw2 = 0,050 m . (12,6 rad s-1)2 = 7,9 m s
-1Actividades
3. La ecuacin de una onda es y = 2,5 sen 2 (t/4+2x). Calcula su
amplitud, frecuencia, longitud y velocidad de propagacin. Cmo se
propaga la onda, acercndose o alejndose del origen?4. La ecuacin de
una onda que se propaga en una cuerda es:y = 0,001
sen(314t-62,8x)a)A qu velocidad y en qu sentido se mueve la
onda?
b)Cules son la longitud de onda, la frecuencia y el perodo?
c)Cules son las ecuaciones de la velocidad y de la aceleracin,
en funcin del tiempo, de una partcula que se encuentra en el punto
x = 0,03 m?
Las ondas, como ya se ha dicho, se caracterizan por una doble
periodicidad: en el tiempo y en el espacio. Un punto repite su
movimiento al cabo de un tiempo T, y dos puntos separados una
distancia igual a la longitud de onda, , vibran de la misma
manera.Consideremos la ecuacin de una onda armnica: y = A sen (wt -
kx). Supongamos que se mueve hacia la derecha, en la direccin
x.Observamos que y puede adoptar valores entre A y -A; el valor
concreto de y depende del instante t y de la posicin x del punto
que consideremos. Todos los puntos que tengan el mismo valor de wt
- kx vibrarn de la misma forma; por ello, esta expresin se denomina
fase, , y se mide en radianes: = wt kx
Si se consideran dos puntos o dos instantes diferentes, la
diferencia entre las fases correspondientes se denomina diferencia
de fase o, simplemente, desfase, : = (wt2 - kx2) - (wt1 kx1)
A menudo, se mide el desfase entre dos puntos diferentes en el
mismo instante. Si el tiempo es igual, el desfase puede calcularse
de la siguiente manera: = (wt - kx2) - (wt - kx1)= k(x1 - x2)
Dos puntos estn en fase si su desfase es 0, 2 , 4 , ..., en
general n2 (donde n es cualquier nmero entero, positivo o
negativo). Si es as, vibran de la misma manera. Como puede
comprobarse, dos puntos estn en fase si su separacin, xl - x2, es
mltiplo entero de la longitud de onda:
n 2 = (2 / ) (xl - x2)
(xl - x2) = n Los dos puntos vibran en fase
Cuando los dos puntos tienen un desfase de , 3, 5, ..., en
general (2n+1) (donde n es cualquier nmero entero), vibran en
oposicin de fase, lo que significa que se mueven de la misma
manera, pero en sentidos opuestos. Puede comprobarse que cuando una
onda viaja, dos puntos vibran en oposicin de fase si estn separados
por una distancia de /2, (3/2) , (5/2) , en general, (2n+l)( /2): =
(2 / ) (xl - x2) = (2n + 1) x1 - x2 = (2n + 1) /2 => Los puntos
vibran en oposicin de faseNaturalmente, entre estas situaciones
extremas hay todas las otras posibilidades, donde los puntos no
estn ni en fase ni en oposicin de fase, y su desfase se
caracteriza, simplemente, por el valor de .Ejemplo 4La ecuacin de
la propagacin de una onda es y = 0,050 sen (12,6t - 4,2x).a)
Calcula el desfase entre dos puntos separados 2 m.
b) Cul es la mnima distancia entre dos puntos que vibran en
oposicin de fase?
Solucina) El desfase entre dos puntos debe calcularse a partir
de la expresin = (2 / ) (x1 - x2). La longitud de onda puede
deducirse a partir dek = 2 / ; = 2 rad/4,2 rad m-1 = 1,5 mel
desfase resulta: = (2 / ) (x1 - x2) = (2 rad/1,5 m) 2 m = 8 /3
radc) Dos puntos que vibran en oposicin de fase han de estar
separados media longitud de onda o, en general, un nmero impar de
medias longitudes de onda. Como la longitud de onda es 1,5 m, la
mnima distancia entre dos puntos en oposicin de fase es 0,75
mActividades
5.Una onda se propaga segn la ecuacin:y = 0,25 sen (8 t- 12 x)a)
Cul es el desfase entre dos puntos separados por 0,5 m? b) Qu
separacin han de tener dos puntos para que estn en fase? c) Qu
distancia hay entre dos puntos que tienen un desfase de /2
radianes?6.Una onda de 30 Hz de frecuencia se desplaza a una
velocidad de 80 m s-1
a) Cul es la distancia entre dos puntos que tienen una
diferencia de fase de 30o?
b) Si la amplitud de onda es de 0,05 m y viaja alejndose del
origen, cul es la ecuacin de la onda?Para completar la idea de
desfase entre dos puntos diferentes en el mismo instante, tambin
podemos considerar el desfase de un mismo punto de la cuerda en dos
instantes diferentes, o periodicidad respecto al tiempo. En este
caso, si la posicin x es la misma, el desfase en diferentes
instantes puede calcularse de la siguiente manera: = (wt2 - kx) -
(wt1 - kx)= w(t2 t1)
Al igual que el caso anterior, dos puntos estn en fase si su
desfase es 0, 2 , 4 , ..., en general n2 (donde n es cualquier
nmero entero, positivo o negativo). Si es as, vibran de la misma
manera. Como puede comprobarse, dos puntos estn en fase si el
tiempo transcurrido en la oscilacin, t2 t1, es mltiplo entero del
perodo:
n 2 = (2 / T) (t2 t1)
(t2 t1) = n T Los dos puntos vibran en faseVeamos ahora, al
igual que ocurra entre dos puntos diferentes de la onda que
vibraban en oposicin de fase, tambin tenemos en un mismo punto x,
instantes que vibran en oposicin de fase: cuando el desfase de
tiempo es de , 3, 5, ..., en general (2n+1) (donde n es cualquier
nmero entero), un punto se encuentra vibrando en oposicin de fase,
lo que significa que se encuentra vibrando de la misma manera, pero
en sentido opuesto. Puede comprobarse que en un movimiento
ondulatorio, un punto vibra en oposicin de fase si ha transcurrido
un tiempo T/2, (3/2) T, (5/2) T, en general, (2n+l)( T /2): = (2 /
T) (t2 t1) = (2n + 1) t2 t1 = (2n + 1) T /2 => Los puntos vibran
en oposicin de faseNaturalmente, entre estas situaciones extremas
hay todas las otras posibilidades, donde los puntos no estn ni en
fase ni en oposicin de fase, y su desfase se caracteriza,
simplemente, por el valor de .Energa de una onda
Ya que las ondas transportan energa y cantidad de movimiento a
travs de vibraciones que se transmiten de un punto a otro, es
interesante poder medir la energa transportada por una onda
armnica.Consideremos una onda armnica que se propaga en cierta
direccin. Cuando una partcula del medio es alcanzada por la
perturbacin que produce la onda, se ve sometida a un movimiento
armnico igual al punto que gener la onda (siempre que no se
produzca disipacin de energa) La energa que posee en el punto es
cintica, debido al movimiento de oscilacin y potencial elstica,
debida a la posicin que ocupa respecto a la posicin de equilibrio.
Tal como vimos en los movimientos vibratorios, los movimientos
armnicos provienen de campos de fuerzas conservativos. Por este
motivo, la suma de la energa cintica ms la potencial, que
constituyen la energa mecnica total, se conserva.
La energa cintica Ec que posee la masa m del punto que oscila
con movimiento armnico, es: Ec = mv2La energa potencia elstica, Ep,
causada por la fuerza elstica que tiende a desplazar al punto m de
su posicin de equilibrio, es: Ep = Ky2 siendo y la elongacin de la
partcula.
Cuando la partcula ha adquirido la mxima elongacin A, toda su
energa es potencial elstica, mientras que cuando pasa por la
posicin de equilibrio, toda su energa es cintica. En los puntos
intermedios, la partcula dispondr de energa cintica y potencial,
pero la suma de ambas, en cualquier instante, debido a su
conservacin es:
Em = Ec mx = m v2mxPara obtener el valor de la velocidad, vmx,
ya sabemos que hay que derivar respecto al tiempo el valor de y, y
su valor es: v(t) = Aw cos wt, por lo tanto el valor mximo que
adquiere la velocidad en los puntos de equilibrio es:
vmx = Awsustituyendo en el valor de Em; E = m A2 w2 = m A2 42
f2;E = 2 m A2 2 f2La energa transmitida por una onda armnica es
proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de
su frecuencia.
Si queremos expresar el valor en trminos de Potencia, donde
definimos la potencia como la energa transferida por unidad de
tiempo:
P = E/t = [2 m A2 2 f2] / t
Intensidad de las ondas. Caso de ondas bidimensionales y
tridimensionales
Adems de las ondas que se propagan en una dimensin
(unidimensionales) y que tericamente hemos analizado, existen ondas
que se propagan en dos o en tres dimensiones, es decir, sobre una
superficie o en el espacio. A estas ondas se las denomina
bidimensionales o tridimensionales. Los ejemplos ms tpicos son las
ondas producidas en la superficie del agua o las ondas sonoras en
el aire.
En el caso de ondas que se propagan en dos o tres dimensiones se
define el concepto de intensidad de onda I.Cuando arrojamos una
piedra sobre la superficie del agua del un estanque se forman una
serie de circunferencias concntricas. Decimos que se ha originado
un frente de ondas o superficie de onda.
Despus de un tiempo, el movimiento ondulatorio ha alcanzado
todos los puntos de una circunferencia de radio R1. Todos estos
puntos que constituyen un frente de onda, presentan el mismo estado
de vibracin, vibran en concordancia de fase.En los casos de ondas
bidimensionales o tridimensionales y si el medio es homogneo e
istropo, un foco emisor producir un frente de onda circular o
esfrico con centro en el foco emisor.
Que un medio es homogneo, quiere decir que tiene las mismas
propiedades y el mismo comportamiento en todos sus puntos.
Que un medio es istropo significa que sus caractersticas fsicas
no dependen de la direccinLa direccin de propagacin de las ondas es
perpendicular al frente de ondas y su velocidad es la misma en
todas las direcciones radiales.
Rayo, es la recta que indica la direccin de propagacin de una
onda. Su direccin es siempre perpendicular al frente de onda.
Una vez que el foco emisor ha producido la perturbacin, el
movimiento ondulatorio generado va alcanzando los frentes de onda
de radio cada vez mayor. stos reciben la energa procedente del foco
central, que se reparte por toda la superficie de la onda. Teniendo
en cuenta esta superficie, se introduce un nuevo concepto, la
intensidad I.Se define la intensidad de una onda, I, como la energa
que atraviesa por segundo la unidad de superficie perpendicular a
la direccin de propagacin:I = E/ t.S
Puesto que la energa por segundo es la potencia, la intensidad
de una onda, I, se mide en Wm-2 o J.s-1. Si la potencia es P y la
superficie es S, tenemos:I = P / SSi se considera una onda mecnica,
de cualquier tipo, puede demostrarse que su intensidad es
proporcional al cuadrado de la amplitud de vibracin:I A2;
Veamos; si en la ecuacin: I = P / S sustituimos el valor de la
Potencia, quedar: I = P / S; I = [2 m A2 2 f2] / S. tDonde se
observa que la intensidad de una onda es proporcional al cuadrado
de la amplitud de vibracin y al cuadrado de su frecuencia
Consideremos ahora dos superficies esfricas a las distancias R1
y R2 del foco emisor, la intensidad de cada superficie ser:
I1 = E / t.S = E / t 4R12; I2 = E / t 4R22De donde se deduce que
para una onda esfrica: I1/I2 = R22/R12Es decir, la intensidad de un
movimiento ondulatorio, cuyas superficies de onda son esfricas, es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el foco
emisor.
Y, como la energa es proporcional al cuadrado de la amplitud,
tambin deber serlo de la intensidad. Como consecuencia, la amplitud
de la vibracin es inversamente proporcional a la distancia al foco
emisor:I1/I2 = R22/R12; I1/I2 = A12/A22, por lo que R2/R1 =
A1/A2
EMBED Equation.DSMT4 El caso de las ondas electromagnticas.
Estas ondas presentan una gran diferenciaEn cambio, no sucede lo
mismo con la energa de las ondas electromagnticas. A inicios del
siglo XX, Einstein propuso la idea de que la luz y las otras ondas
electromagnticas transportaban la energa en unas unidades que
denomin fotones, de manera que la energa transportada por cada fotn
es proporcional a la frecuencia:Efotn = h.fEl factor h se denomina
constante de Planck y su valor es de 6,6 x 10-34 Js; un valor tan
pequeo de h supone que, aunque algunos fotones tengan una
frecuencia muy elevada, como por ejemplo los de los rayos gamma, la
energa transportada por un nico fotn sea muy pequea.La energa total
de la luz es la suma de las energas transportadas por todos los
fotones. Sin embargo, los efectos energticos de la luz dependen del
efecto de cada fotn individual sobre los tomos o molculas del
material. Si un fotn puede provocar algn tipo de efecto, como la
ruptura de un enlace determinado de una molcula, cuantos ms fotones
choquen, ms molculas se rompern; en cambio, si un fotn individual
no dispone de suficiente energa, no se producir ningn efecto ni se
romper ningn enlace, aunque choquen muchos fotones.Si tenemos luz
monocromtica de frecuencia f, la energa total que transporta es
igual al producto del nmero de fotones, n, por la energa, hf, que
transporta cada fotn:
Etotal = n Efotn = n.h.f
Este comportamiento es totalmente diferente del de las ondas
mecnicas, que podemos imaginar que actan gradualmente y que pueden
transferir energa de una forma continua. Por ello, como vers ms
adelante, se dice que la luz presenta una dualidad onda-partcula.
Cuando viaja, se comporta como una onda y rene las propiedades
caractersticas de las ondas; pero, cuando choca, se comporta como
si fuera una partcula dotada de cantidad de movimiento y energa.
Este comportamiento se estudiar en la ltima unidad del libro.
Fjate que ahora, a diferencia de las expresiones que hemos
obtenido para las ondas esfricas mecnicas, la Intensidad que se
define como:
I = E/ t.S; y, en trminos de potencia: I = P / Sahora tiene una
expresin: I = n.h.f / t.S
Si la onda es esfrica, S = 4R2, sustituyendo, tenemos: I = n.h.f
/ t. 4R2donde n.h.f / t es la potencia de la onda electromagnticala
frecuencia puede determinarse a partir de la de la onda
electromagntica, da acuerdo con la expresin c = .fLa energa de la
radiacin electromagntica y de las partculas elementales se mide,
normalmente, en electronvoltios (eV). Como ya has visto en la
unidad en que se estudiaba el campo elctrico, 1 eV es la energa de
un electrn que se acelera con una diferencia de potencial de 1 V y
es igual a 1,6 x 10-19 J. Los electronvoltios son una unidad muy
conveniente, ya que permiten comparar fcilmente la energa de
diferentes radiaciones.
Sensacin (color)rojoamarilloverdevioleta
Longitud de onda (nm)700570515400
Frecuencia (Hz)4,3 x10145,3 x 10145,8 x 10147,5 x 1014
Energa (eV)1,82,22,43,1
La energa que corresponde a los fotones de luz roja (650 nm) es
de unos 2eV, mientras que los fotones de rayos X transportan una
energa de ms de 70 000 eV: los fotones de rayos X transportan unas
35000 veces ms energa que los de luz roja. Por otro lado, es
evidente que, si se quiere obtener rayos X a partir del choque de
electrones acelerados en un campo elctrico, la diferencia de
potencial necesaria es de ms de 70 kV
- Ejemplo 5La intensidad de la radiacin que llega a la Tierra
procedente del Sol es, aproximadamente, de 1400 Wm-2. El Sol se
halla a unos 150 millones de kilmetros de distancia respecto de la
Tierra. Cul es, aproximadamente, la energa total que libera cada
segundo? Si toda esta energa fuera transportada por fotones de 500
nm de longitud de onda, cuntos fotones emitira el Sol por
segundo?SolucinLa energa del Sol ha de distribuirse en un frente de
onda esfrico. A la distancia r (la que le separa de la Tierra) este
frente de onda tiene una superficie de:S = 4 r 2 = 4 x 3,14 x (150
x 106 x 103 m)2 = 2,8 x 1023 m2A cada metro cuadrado de superficie
perpendicular a la direccin de propagacin, en la Tierra, llegan 1
400 W. Si calculamos la potencia que llega a la superficie de toda
la esfera de radio r, obtendremos la potencia que ha de salir del
Sol:Psol = 1 400 W m-2 x 2,8 x 1023 m2 = 3,9 x 1026 WCada segundo
salen del Sol 3,9 x 1026 J de energa. Si suponemos que la
transportan fotones de 500 nm, hemos de calcular, en primer lugar,
qu energa tiene cada fotn:E = = hf = h.c / = 6,6 x 10-34 Js . 3.108
m.s-1 / 500.10-9m = 4,0 x 10-19 JLa energa total emitida por el Sol
por segundo ha de ser la energa que transporta un fotn multiplicada
por el nmero de fotones emitidos por segundo, n:Etotal = n Efotn =
n.h.f
3,9 x 1026J = nx4,0x 10-19 J
n = 9,7 x 1044 fotonesActividades7.Si consideramos los fotones
correspondientes a diferentes colores de la luz visible, cules
tienen ms energa, los de la luz roja o los de la luz violeta? Cul
es la energa de un fotn de luz roja de longitud de onda de 630 nm?
Y la de uno de luz amarilla de 590 nm de longitud de onda?8.En un
laboratorio de revelado fotogrfico, hay unos procesos que se pueden
realizar con luz roja, para facilitar la manipulacin de los enseres
y observar cmo evoluciona el proceso sin velar las fotografas. Por
qu no se puede utilizar una bombilla de luz amarilla o azul?9.Los
fotones de luz violeta tienen una longitud de onda de 400 nm; los
de luz roja, de unos 650 nm. Cuntas veces es mayor la energa de los
fotones de luz violeta que los de luz roja?10. Se aceleran
electrones con una diferencia de potencial de 100 kV que, cuando
chocan con un metal, producen rayos X. Cul es la mxima frecuencia
que puede tener la radiacin, suponiendo que toda la energa cintica
de los electrones se transfiere a los fotones de rayos X
Atenuacin y absorcin
A medid que se aleja el foco emisor, la onda disminuye su
energa; esto se debe a que:La energa propagada se distribuye en la
superficie del frente de onda y el nmero de partculas en vibracin
aumenta, por lo que la energa que alcanza a cada partcula es menor
y, en consecuencia, vibran con menos energa. Este fenmeno se
denomina atenuacin o disminucin natural de la energa.
Los rozamientos de las partculas del medio y otras causas
producen una absorcin de energa, cuya magnitud depende de la
naturaleza del medio de propagacin de la onda.
Una absorcin de energa muy grande puede conducir a la anulacin
de la onda.
Se demuestra que la intensidad de una onda decrece
exponencialmente con la distancia del foco emisor, de acuerdo con
la expresin siguiente:
I = Io e-RDonde
I: intensidad de la onda a la distancia R del foco emisorIo:
intensidad inicial.
: coeficiente de absorcin del medio
R: distancia al foco emisor
Resumen:Llamamos intensidad de un movimiento ondulatorio a la
potencia transmitida por cada metro cuadrado de superficie del
medio, perpendicular a la direccin de propagacin. Hay dos causas
principales de prdida de intensidad.
La distancia al foco. Atenuacin: La intensidad es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia al foco de las ondas y la
amplitud es inversamente proporcional a esa distancia. Al disminuir
la amplitud, las partculas vibran con menor energa
I1/I2 = R22/R12 R2/R1 = A1/A2donde I1 e I2 son las intensidades
a las distancias R1 y R2 del origen, mientras que A1 y A2 son las
amplitudes de las ondas.
La absorcin por el medio: La energa de las ondas es absorbida
por el medio de acuerdo con la ley:
I = Io e- Rdonde Io es la intensidad antes de penetrar en el
medio, R es la distancia penetrada y es el coeficiente de absorcin,
una constante que depende del medio.
http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ondas2/ondas-conclusion4.html?3&2Ondas
sonorasLa vibracin de las cuerdas de una guitarra, la de una
campana, un timbre elctrico, una copa de cristal o la de nuestras
cuerdas vocales mueve las capas de aire del entorno. Estas
vibraciones de los cuerpos se transmiten mediante un movimiento
ondulatorio.
Si la vibracin llega a travs del aire a nuestro odo, provoca en
el tmpano vibraciones que son transmitidas al odo interno y, de
all, al cerebro, produciendo una sensacin que llamamos sonidoEl
sonido es una vibracin o perturbacin mecnica de algn cuerpo que se
propaga en forma de ondas a travs de cualquier medio material
elstico. La onda mediante la cual se propaga el sonido a travs de
un medio material elstico se denomina onda sonora.
sta se caracteriza por tener una frecuencia dentro del intervalo
de percepcin del odo humano normal de 20 Hz a 20000 Hz.
Ejemplos de onda sonora son las generadas por las cuerdas
vocales, por los instrumentos de msica...
Sin embargo, no todas las ondas son audibles para el odo
humano:Las ondas infrasnicas, cuyas frecuencias estn por debajo del
.intervalo audible (frecuencias inferiores a 20 Hz). Son las
generadas, por ejemplo, por los temblores de tierra.
Las ondas ultrasnicas, cuyas frecuencias estn por encima del
intervalo audible (frecuencias superiores a 20000 Hz). Son las
generadas, por ejemplo, al inducir vibraciones en un cristal de
cuarzo con un campo elctrico alterno.
Mecanismo de formacin de las ondas sonoras
Las ondas sonoras son un caso particular de ondas
longitudinales. Consisten en sucesivas compresiones y dilataciones
del medio de propagacin, producidas por un foco en movimiento
vibratorio. Al paso de la onda, el medio experimenta variaciones
peridicas de presin.
La figura muestra el mecanismo de formacin y propagacin de las
ondas sonoras unidimensionales, mediante un mbolo vibratorio
situado en un extremo de un cilindro estrecho de longitud
indefinida que contiene un gas
La grfica muestra el desplazamiento, respecto a la posicin de
equilibrio, de cada pequeo elemento de volumen del gas del cilindro
al paso de una onda.
Cualquier elemento de volumen oscila con movimiento armnico,
desplazndose paralelamente a la direccin de propagacin de la onda,
el eje OX. Este desplazamiento, s, vara sinusoidalmente a lo largo
del eje OX.
Llamamos amplitud de desplazamiento, Smx, al mximo
desplazamiento de un pequeo elemento de volumen del medio respecto
a su posicin de equilibrio.
Los desplazamientos de las partculas del gas dan lugar a una
variacin de la presin a lo largo del eje OX. Esta variacin se
produce tambin sinusoidalmente aunque con un desfase de /2 rad
respecto a la grfica anterior.Llamamos amplitud de presin, Pmx, al
cambio mximo de la presin a partir de su valor en el
equilibrio.
Como se ve al comparar ambas grficas:
P es mxima cuando el desplazamiento es cero. P es nula cuando el
desplazamiento es mximoLa onda sonora puede considerarse como una
onda de desplazamiento o como una onda de presin.S (x,t) = So sen
(wt-Kx)
P (x,t) = Po sen (wt-kx-/2)Para facilitar el estudio del sonido
como una onda longitudinal, lo realizaremos ondas de cambio de
presin, de acuerdo a esta ltima expresin.ACTIVIDADESDefine el
sonido desde el punto de vista fsico y pon ejemplos cotidianos de
ondas sonoras.
Por qu decimos que las ondas sonoras son longitudinales?
Cules son los lmites de frecuencia de las ondas sonoras para que
sean audibles por el odo humano?
Justifica la siguiente afirmacin: Hay sonidos para los cuales
todos somos sordos.
Di qu ondas tienen mayor frecuencia, las ultrasnicas o las
infrasnicas.
Recuerda la relacin entre la frecuencia de un movimiento
ondulatorio y su energa. A continuacin, deduce si tiene mayor
energa una onda ultrasnica o una onda infrasnica.
Describe el mecanismo de formacin y propagacin de una onda
sonora. Haz un dibujo que lo ilustre.
Una onda sonora puede considerarse como una onda de
desplazamiento o una onda de presin. Qu diferencia de fase existe
entre el desplaza miento y la presin de una onda sonora?
Investiga acerca de algunas aplicaciones mdicas de los
ultrasonidos. Con la informacin obtenida, elabora un informe y
exponlo en clase.
Nota: cambio de presin en una conversacin: 7.10-9m = 0,02 PaPatm
1 atm = 101300 Pa
Cualidades del sonido
Nuestros odos pueden diferenciar un sonido fuerte de uno dbil y
un sonido grave de otro agudo. Adems, distinguimos si proceden de
uno u otro instrumento musical, de una u otra persona... Todo ello
es posible gracias a tres cualidades del sonido relacionadas con
las caractersticas de las ondas: la intensidad, el tono y el
timbre.Intensidad sonora
La intensidad sonora presenta dos aspectos bien diferenciados:
la intensidad fsica u objetiva y la intensidad fisiolgica o
subjetiva.
La intensidad fsica u objetiva, es decir, el volumen acstico, es
la energa que transmite la onda sonora por unidad de tiempo a travs
de la unidad de superficie perpendicular a la direccin de
propagacin.
La intensidad fisiolgica o subjetiva es la sensacin sonora de
mayor o menor intensidad que percibe el odo humano.
El intervalo de intensidades sonoras que puede percibir el odo
va desde el umbral de audicin o intensidad mnima audible de 1,0.
10-12 W/m2 hasta el umbral de dolor de 1 W/m2, que ocasiona
sensacin dolorosa en la mayora de las personas.
Para medir el nivel de intensidad sonora: sonoridad percibida
por el odo, se establece una escala logartmica. Este nivel de
intensidad sonora se mide en decibelios.
DecibeliosFuente de sonido/dB
martillo neumtico130
concierto de rock120
aspiradora70
conversacin normal50
susurro30
rumor de las hojas10
umbral de audicin0
El odo humano puede detectar el sonido en un intervalo de
intensidades enorme. El sonido de intensidad ms elevada que podemos
tolerar (umbral de dolor) es 1012 veces ms grande que el ms dbil
que podemos llegar a or (umbral de audicin). Como la respuesta del
sistema auditivo no es lineal, sino logartmica, es conveniente
definir una escala de medicin de la intensidad de sonido que tambin
sea logartmica.
La intensidad relativa de un sonido se denomina nivel de
intensidad, , y se mide en decibelios (dB). Se define como:
= 10 log (I/Io)donde I0, denominado umbral de audicin, es la
intensidad mnima de sonido que podemos or; su valor es de 10-12
Wm-2. La intensidad de un sonido, I, se traduce a nivel de
intensidad utilizando la frmula anterior. As pues, un sonido en el
umbral de dolor, con un valor de I igual a 1 Wm-2, corresponde a un
nivel de intensidad de 120 dB
Un valor de 0 dB equivale al umbral de audicin. Y 120 dB
equivalen al umbral de dolor. Los sonidos de menos de 10 dB son
difcilmente audibles, mientras que los superiores a 100 dB producen
molestias; a partir de 140 dB experimentamos dolores
agudos.ActividadCalcula el nivel de intensidad de un sonido que
tiene una intensidad de 10-5 W.m--2 (como, por ejemplo, el sonido
de una mquina de escribir). Cul es la intensidad del sonido en un
concierto de rock?
TonoPermite distinguir los sonidos graves de los agudos. Depende
de la frecuencia del sonido y, por lo tanto, de las compresiones y
enrarecimientos que el odo percibe por segundo.Los sonidos graves o
tonos bajos corresponden a las ondas de baja frecuencia (pocas
vibraciones por segundo).Los sonidos agudos o tonos altos
corresponden a las ondas de mayor frecuencia (gran nmero de
vibraciones por segundo).Notaf(Hz)
La440,0
Si493,9
Do523,2
Re587,3
Mi659,3
Fa698,5
Sol784,0
La#880,0
Gracias a esta cualidad del sonido podemos distinguir las
diferentes notas que emite un mismo instrumento musical.El sonido
puede clasificarse de acuerdo con su frecuencia: denominamos sonido
audible aquel que podemos or, cuya frecuencia est comprendida entre
20 y 20000Hz, aproximadamente. Los sonidos de frecuencia mayor de
20000Hz se denominan ultrasonidos, y los de frecuencia menor de
20Hz, infrasonidos.
TimbreEsta cualidad nos permite distinguir dos sonidos de igual
intensidad y tono emitidos por dos focos sonoros distintos.
El timbre depende de la forma de la onda sonora y nos permite
distinguir si un sonido procede de un violn o de una guitarra,
reconocer a las personas por su voz aunque no las veamos.
Normalmente, los sonidos no son puros, es decir, las ondas
sonoras correspondientes no son perfectamente sinusoidales, sino
que son el resultado de varios movimientos peridicos superpuestos a
la onda fundamental y se denominan armnicos o sobretonos. As, cada
sonido procedente de un instrumento musical, de una persona o de un
foco sonoro cualquiera es una onda compuesta y tiene unas
caractersticas especficas que lo distinguen de los dems.
El timbre de un sonido depende del nmero, de la intensidad y de
la frecuencia de los distintos armnicos que acompaan al sonido
fundamenta
Ejercicios
1. Cierta fuente puntual emite ondas sonoras de 80 W de
potencia.
a) calcular la intensidad de las ondas a 3,5m de la fuente.
b) A qu distancia de la fuente el sonido se reduce a un nivel de
40 dB?
2.Describe las cualidades del sonido y pon ejemplos de
ellas.3.Calcula el nivel de intensidad sonora que corresponde a los
umbrales de audicin (/0 = 1,0 10-12 Wm-2) y de dolor (/ =1,0
Wm-2).Sol= 0 dB y 120 dB4.Razona si el odo humano es capaz de
percibir ondas sonoras de nivel de intensidad 100 dB cuyas
longitudes de onda en el aire sean 30 m, 12 m y 0,003 m.5.Un violn
da la nota en la con una frecuencia de 440 Hz y un piano da la nota
en do con una frecuencia de 264 Hz. Calcula la longitud de onda de
ambos sonidos (velocidad de la onda sonora = 340 m/s) Sol.: 0,77 m;
1,29 m6.Los ladridos de un perro tienen una potencia de 1 mW. Si se
supone que esta potencia se distribuye uniformemente por toda el
rea de una semiesfera: a) Cul es el nivel de intensidad sonora a
una distancia de 4 m?; b) Cul sera este nivel si ladrasen a la vez
tres perros con la potencia de 1 W? En este caso, por qu factor se
ha multiplicado la intensidad del sonido? Por qu factor se ha
multiplicado el nivel de intensidad sonora? Sol.: a) 70 dB; b) 74,7
dB; por 3 y por 1,0677.El nivel medio de intensidad sonora de un
aparato de radio es de 45 dB. Si dos aparatos de radio iguales estn
funcionando al mismo tiempo, cul es el nivel medio de intensidad
sonora? Sol.: 48 dBRecepcin del sonidoNuestro odo est capacitado
para percibir las ondas sonoras
Odo externo. En l, las ondas sonoras son recogidas por el
pabelln del odo, pasan por el conducto auditivo y llegan al tmpano.
Las variaciones de presin producen en esta membrana unas
oscilaciones forzadas.
Odo medio. En l, las vibraciones del tmpano son percibidas por
una cadena de cuatro huesecillos que acta ampliando las
excitaciones que llegan al tmpano. stas se transmiten a la ventana
oval, de superficie mucho menor que el tmpano, donde las
variaciones de presin de las ondas se multiplican aproximadamente
por 50.
El odo medio se mantiene a la misma presin que el exterior, ya
que est comunicado con la garganta por la llamada trompa de
Eustaquio.
Odo interno. Contiene un lquido acuoso incompresible que
transmite las vibraciones que llegan a la ventana oval. stas son
recogidas por una membrana flexible, llamada membrana basilar,
situada a lo largo del caracol y que lo divide en dos secciones.
Sobre ella se distribuyen las fibras de Corti, que son filamentos
terminales del nervio auditivo, de los que hay unos 30000 en cada
odo.
Los cambios qumicos producidos en las clulas de estas fibras dan
lugar a diferencias de potencial productoras de corrientes que, a
travs de los nervios transmisores, llegan al cerebro, donde se
convierten en sensaciones sonoras.Contaminacin acstica
Hoy en da es muy comn hablar de contaminacin, trmino que
aplicamos a la acumulacin de distintas sustancias nocivas para la
salud o para el ambiente.
La sociedad cada vez est ms sensibilizada hacia la tarea de
evitarla. Sin embargo, todava no se acta enrgicamente contra la
denominada contaminacin acstica, es decir, la produccin de sonidos
y ruidos excesivos.
Con la edad disminuye el lmite superior de frecuencia audible;
as, una persona de mediana edad es sorda para los sonidos de tono
ms alto y frecuencias superiores a 16.000 Hz. Alrededor de los 70
aos ya no se escuchan los sonidos de ms de 8.000 Hz, con lo que se
ve muy dificultada la capacidad de entender las conversaciones.
Este proceso de envejecimiento, con prdida parcial o total de la
audicin, especialmente en la zona de altas frecuencias, se produce
anticipadamente si nos exponemos de forma continuada o frecuente a
un nivel de sonoridad superior a los 100 dB.Ruidos frecuentes
dB
Efectos del ruido
130
120Umbral del dolor. Una exposicin breve a niveles de 140 150dB
puede llegar a romper los tmpanos. A partir de 100 dB, el odo puede
lesionarse gravemente.
100
90Ruido peligroso. Prdida parcial de la audicin tras una breve
exposicin. La conversacin resulta imposible. Una persona expuesta
habitualmente durante su trabajo a niveles de ruido de 90 dB puede
experimentar una prdida permanente de audicin del 25%.
80
80Ruido molesto. Disminucin de la audicin. Ms del 80% de los
espaoles soporta sonidos superiores a los 80 dB, lo que supone
riesgos psicolgicos y fisiolgicos: problemas auditivos,
cardiovasculares, respiratorios y digestivos.
70
60Ruido molesto. En las grandes ciudades los pacientes con
problemas de audicin suelen tener entre 30 y 45 aos; en cambio,
hasta hace poco, estos problemas aparecan a partir de los 60 aos.
Las palabras se entienden mal y se ve limitado el uso del
telfono
Conversacin tranquila
50Ruido ligero
Dormitorio Tranquilo
30
Ruido muy ligero
ACTIVIDADES Es necesario adquirir una conciencia colectiva para
disminuir los ruidos, limitar el volumen acstico de la msica,
respetar la salud y el descanso...a) Formad grupos de trabajo e
investigad sobre qu medidas se toman en vuestra localidad para
evitar la contaminacin acstica.b) Con la informacin obtenida en el
apartado anterior organizad un coloquio que tenga por ttulo: Es
suficientela normativa vigente para preservar la salud y el medio
de la contaminacin acstica?Normativa respecto al ruido
La Organizacin Mundial de la Salud (OMS) considera Espaa como el
segundo pas ms ruidoso del mundo, ya que el 70 % de su poblacin
sufre niveles de ruido superiores a 65 decibelios (dB).
El Parlamento Europeo aprob en junio de 2002 la Directiva sobre
evaluacin y gestin del Ruido Ambiental, que obliga a los Estados
miembros a elaborar mapas de ruido para las poblaciones de ms de
250 000 hab. (junio de 2007) y de hasta 100 000 hab. (2012).
En Espaa, el Ministerio de Medio Ambiente y las Comunidades
Autnomas trabajan para mejorar las normas estatales (la Ley del
Ruido de 2003, basada en la Directiva Europea) y autonmicas
Figura
Cuando una onda se propaga, un punto P, al cual llega la onda,
hace lo mismo que el origen pero con un retraso, t, igual al tiempo
que tarda la onda en viajar desde el origen hasta el punto. El
retraso del punto P es igual a la distancia que la onda recorre
dividida entre la velocidad de propagacin: t, = x/vp.
Figura
a)Los puntos a y a y b y b' estnen fase, ya que en cualquier
instante vibran con la misma elongacin y velocidad. Dos puntos estn
en fase si estn a una distancia igual a un nmero entero de
longitudes de onda.
b)Los puntos d y d' y e y e' estn en oposicin de fase. Dos
puntos estn en oposicin de fase si estn separados por un nmero
impar de medias longitudes de onda.
Figura
Las manchas del zumo de cereza son difciles de limpiar. Conviene
tender al sol la pieza manchada y dejar que los fotones rompan las
molculas de los colorantes. Gradualmente, el color de la pieza
manchada ir desvanecindose.
Figura
Relacin entre la sensacin de color, la longitud de onda, la
frecuencia y la energa de la luz visible.
Figura
En los lugares donde la radiacin del Sol llega intensamente,
pueden construirse plantas de energa solar que concentren la
radiacin mediante una gran cantidad de espejos (que pueden variar
de orientacin) en un recipiente donde la intensidad del calor hace
hervir agua y genera vapor que mueve una turbina.
El nivel de intensidad sonora del rumor de las hojas en un
bosque-espeso es de 10 dB, v el de un concierto de rock es de 120
dB. La intensidad del sonido en el concierto es 1011 veces mayor
que en el bosque
Tabla
La grfica nos muestra cmo vara y en funcin de x, para un tiempo
constante. Observamos que el valor de y se repite peridicamente
para intervalos de x iguales a la longitud de onda
En la grfica observamos cmo vara y en funcin de t, para un punto
fijo. Observamos que el valor de y se repite peridicamente para
intervalos de t iguales al perodo T.
E
E1
E2
R2
R1
RUIDO
El sonido se origina por variaciones peridicas, ordenadas, de la
presin, mientras que el ruido se produce por un solo pulso de
presin o por una sucesin desordenada de cambios de presin.
El ruido est formado por ondas no peridicas; su amplitud y su
frecuencia varan incesantemente.
Produce ruido una madera que cruje y se parte, un libro que se
cae al suelo, una motocicleta que arranca...
Al hacer oscilar el mbolo rpida y peridicamente, viaja por el
cilindro un tren de compresiones y enrarecimientos; la onda
longitudinal se propaga por el tubo, siendo la distancia entre dos
compresiones o dos enrarecimientos sucesivo
Al empujar el mbolo hacia la izquierda, el gas prximo a ste se
expansiona disminuyendo su presin y su densidad; se produce un
pulso de enrarecimiento que se propaga por el cilindro.
Al empujar el mbolo hacia la derecha, el gas se comprime en la
regin ms prxima a ste aumentando la presin y la densidad del gas.
Se forma un pulso de compresin que viaja hacia la derecha.
mbolo vibrante
Compresin
Enrarecimiento-expansin
Enrarecimiento-expansin-
Compresin
Compresin
Descompresin
Compresin
Las ondas sonoras, como cualquier onda mecnica, necesitan un
medio material elstico para su propagacin; en el vaco el sonido no
se propaga.
La naturaleza longitudinal de las ondas sonoras se pone de
manifiesto por el hecho de que los fluidos, tanto los lquidos como
los gases, son capaces de transmitirlas; lo que es debido a que
stos pueden experimentar compresiones y enrarecimientos, es decir,
variaciones de presin sucesivas
Pabelln
Conducto auditivo
Trompa de Eustaquio
Caracol
Odo medio
Odo externo
Odo interno
Comedor escolar
Fotocopiadora
Taller mecnico
Avin despegando
Reactor en pista
Tabla 2
Frecuencias de las notas musicales
(escala cromtica).
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