$:"*;& ffi }K-TrqffiffiF H-,.{i;
ffi-ffi3ffiKffii& Wffi#ffi-" ffi,'Kffi H, l'* & re.#-Kj
ffiffi _-=wffi
tr ffi} LJ -& K_i pv ffili|{$ '.&' g * l%"il ffifl_,
*,r\ i i_: " $'H' ffi ru $'-ff $-$ ffi {_j. \,' A${.&fl-}
?#ffi{3
II\TRODUCEREautor in anii 2004 - 2006' la Prezentul volum
cuprind.e materialul predat de de anul I, specializarca'
Informati'c6" cursul de Logi,cfr, teori,anumerelor, studenlilor Ei
a fost novoie de o selectare severx a Deoarece cursul se intinde
d"oar pe un semestru, materialului, qi cele care stau la pxstrf,nd
doar elementele cu aplicalii in informaticd'
bazatd' pe o succesiunecoerentd baza acestora, asigura^ndastfel
o construclie riguroasa a ralionamentelor'
Primeled.oudcapitoleauaplicaliidirectechiarinconstrucliacalculatoarelor.
folositx' qi in capitolul II' la vaiualia Algebra boolea,n5,
stuidiatd, in capitolul I este capitolul III' intervin in mod
explicit in forrnulelor logice. Relaliile binare, abordate tn
Reprezentarea numelelor reale intr-o capitolul V, iar in mod
implicit qi in capitolul W' preg5tirii unui informatician'
bazd,d.enumeralie, tratatd, in capitoiul IV, indispensabild'
intervine gi in cadrul demonstraliilor din capitoiul v' capitolul
vI se referd' Ia numere in i*formgtip6" tn ultimul paragraf
intregr qi este elaborat tot in ideea aplicabilit6lii
nur,nenelo4':pqturale mai mici dec6t al acestui capitol,
indicatorul lui Euler (numdrul cadrul scherne'ide cpdifica're,
cunoscut sub un numdr dat gi prime cu el) este folosit in
denumirea RSA. Menliond,m cd expresia indicatorului
lui Euler a fost dedusd,pe baaa
aqanumitei formnile a i,ncluderii, Ei,exeluderi,i, referitoare
la numerele cardinale, formuld tratatd, in capitolul antsior.
Cursul de fa!d, ofer5 cunoqtinle necesare pentru abordarea in a,nii
urmd.tori a unor teme din domeniul informaticii cum sunt: PROLOG,
Algoritmica grafuriior, Securizarea datelor etc, Pentru o
parcurgere mai facild, a materialului, formulele au fost notate
in
mod independent pentru fiecare demonstrafie (contrar uzanlelor).
Marea majoritate a afirmaliilor este complet demonstratd. Notiunile
introduse sunt insolite de exemple gi comentarii. Jin sd. aduc
mu$umiri pe aceastd,cale. referenlilor, care au consacrat timp
pentru analiza materialului din acest volum. AqteptXm qi eventuale
sugestii din partea cititorilor, acestea urrnAnd a fi luate in
considerare la o viitoa,re edilie.
20.07.2006
AUTORUL
1{
CAPITOLULIBOOLE ALGEBRALI.NGEORGEalgebreibooleene I.t. Definilia
qi proprietS,!ileDefinilia I.1.1. (M;Y,n) estelatice &' U esteo
mu$imenevidx iar V, A
sunt doud,operalii algebricebinare (disjunclia, conjunclia)
definite Pe M, care satisfac condiliile:Va,b,c . M,aY b :bV o, a Ab
:b A a comutativitatea aA (bA c) asociativitatea
(ov b) V c : av (bVc), (aA b) A c:
aV(aAb): a, aA(avb):a
absorbtia
cd' RemarcaI.1.1. Anatiz6nd cele qaseproprietd,li din definilie,
se observS' inlocuind in oricare dintre condilii o operalie prin
cealaltd,(gi reciproc) se obtrinetot o proprietate din definilie.
AEadarse poate emrnla principiul dualitd,tii pentru latice: din
Dacd,intr-o propozilie adevaratS, teoria laticelor se tnlocuiegteo
operalie (numitd' propoo prin cealalt5 (qi reciproc) se obline de
asemenea propozilie adevaratd, primei propozitii)' zifia dual5
corespnnzd,toare
Propozifia I.1-.1. tn oriceiatice (M;v,A), Va e M avemaV a: a
Aa: a (idempotenla).Demonstrafie. a v o A doua relatie ce trebuia
absorblie "b"gPti'a. ay (aA (o v b)) este duala primeia. fl
a si
demonstratd
Deffnifia I.L.z.ln lu,ticea (M;Y,A) definimrelalia binard (M,M,,
(A,B,S) relatii. (A,B,RuS)
reuniunea respectiv interseclia celor doud,relalii. Fie
(A,B,,R>, (C ,D ,Sl reialii. |A,D,S o R) , unde .S o R:: {(a,
d): existd
u B [l C cu aRu gi uSd,], se numelte compusa lui (C,D,Sl cu
(A,B,R]. Remarca III.4. Putem scrie: o(S o R)d +1u(afuuA E x e m p
l u l I I L lF i e A : { 1 , 2 , 5 , 8 } , 8 : { 1 , 3 , 4 , 5 , 7
) , R : . uSd).
{(1,1),(1,3),(2,5),(8,5),(8
: 1 , c : { 2 , 8 , b , 6 . , D : { 2 , 4 , 9 , 1 J ) . , s { (
2 , 3 )( 9 , ) ,( 3 , 4 )(,5 , ) ,( 6 , 1 )( 7 , 4 ) } . 9 , 2
.z\,, (8,9) lui unde Compusa (C,D,S| (A,B,R)or fi (A,D,So?.?-),
So?-: {(1,2),(1,4),(2,9), eu o R ia.r compusa (,A,.B,R) (C,D,,5, fi
(C,B,1? .S),unde o S:{(3,5)}. ra tui cuPropozifia III.l.Fie
(A,B,R\, (A,8,7{), (C,D,S) relalii gi X,X' c .4. Auloc:
39
1. Din X c X'rezultd,R(X) CR(X|). 2. Din R cRl rezultd, R(X)
cH(X).
u 3. 7?(X X') :R(X) u ?e(X'). 4. (Ru R'xX) : R(X) u rJ(X).5. R(X
n X' ) c ??(X)nT?.(x')" 6. (RnR')(x) c 7?(x)n17'(x). (soR)(X)
:s(R'(x))). B 7. (so??XX):5(Cn1?(X)) (dacd, cC avemDemonstra!ie. 1.
Dacd b eR(X), existd g_EX CX/ astfel ca (r, b) e T1, deci b
eR(Xt).
2. Dand" eR(X), ercistd X astfelca (n,b) eR CfJ, deci b e Tl(X).
b n 3. b e R(XUX') s(CBf(X2)) + (X1)) c CasQaf (Xz)), adic5,F(X') c
r(Xr). Cas(Csf F i e . 4 , : {X c A : X c F (X )}. Avem
Xo':rU X .#nr(X)deci X6 e "4.
: F'("U X) : F(Xo)
(1)
Din monotonitatealui .F qi din (1) rezultd r'(X6) C F(F(Xg)),
deci F(X6) .4, iar din definitia lui X6 deducem
F(Xo) c XoDin (1) qi (2) rezultd, F(Xe) : Xo. cd, f(&)
(2)
- Xo implicXCas(Csf(Xs)) : Xo, de gnde g(Csf (Xo)) : C1X6,deci ,
B,
CeXo C A'. Prin urmare putem defini h: A(
rr(z) ::
ne I f@),pentru Xs{ pentru r e CaXs I o*(r),
ArS,tdmcd,h estes,rjectivd,. Dacd.b e f (Xs), at'nci pentru a::
h /-(b) X6avem (a): f(a): f(f*(b)): b. DacXbeCnf(X6),din
g(Cef (Xo)) : CaXo rezultXcd,pentru a:: g(b) CaXo avem h(a) : g*
(a) : s* (s(b)): b. fuiltdm injectivitatea lui h. Dac6" ftr,nz xo,
rr * rz, at,nci avem h(* t ) : f ( n ) # f(*r): h (rz).D a c5
,xr,nzcax6, nr # r z, atunciavemh( x1) :
g*(rL) * S*@z) : h(rz). Dacdrr Xo qi 12 CaXo, din Crl(Xo) :
g*(CaXo) (dednsdtn g(Cpf()(6)) : CeXo)rezultXh(rr) : g-(n2) e
CBf(Xo); dar h(r1) _
f (rt) /(&), prin urmareh("r) t' h(r2). J
Definigia V.4. Pe I - sedefinegte relalia (C/ -,C / -,d) astfel:
d::{(a, fr)e(e/ -)x(a/-):pentruAe aqiBf 66 existdoinjeclie A-*B}. f
:
Cu alte cuvinte: card A d card B (card A este inferior sau egal
ca card B) -rPG)
este convergentd,'Atunci existd ft e N*
i o!i'mu$imea,M,: Considerd,m M1::
t .l P n). Avem W: %*# C,,|-r)
oareca,re.Putem presupune c6'k < n,
n dasd" > lc, atunci in loc de /c putem pune fiecare factor
aI numXr5'torului > 1, d.eoarece fl
este strict mai mare ca fiecare factor al numitorului.
n Lema IfI.2.2. Dacd, Nn, atunci Ct"> #' rezult6 cd'
Demonstralie. Din lema precedentd'
c*-t cil,...,Ctn> ctr^> 4-+c|x,ctr^>qi prin insumare
oblinem2n
: < ZnCi^>L CE*: 22n 4! ,d,eei'Cl^Cf"'nk:0
Propozi$iaVI.2.?.PentruoricecIR.,r}2arelocf|p
