삼각형의넓이와 사인법칙viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/교과서별/고_수학... · 2012-05-23 · 삼각함수 다가서기/ 토지측량과천체관측에서시작된삼각법

348 Ⅶ. 삼각함수

다 가 서 기 / 두 별 사이의 거리를 구할 때 이용되었던 삼각법

지구에서 달까지의 거리는 평균 38만 4400 km이다. 이것은 지구의

반지름의길이의 약 60배에 해당되며,지구에서 태양까지 거리의 약

400분의 1에 해당한다.또,달의 반지름의 길이는 지구의 반지름의 길이의

약 4분의 1, 태양의반지름의길이의약 400분의 1인약 1738 km이다.

달과 지구 사이의 거리나 지구와 태양 사이의 거리, 또는 달, 지구, 태양

의 반지름의 길이와 같이 직접 잴 수 없는 거리는 어떻게 구할 수 있을까?

너무 멀리 떨어져 있어서 직접 잴 수 없는 두 별 사이의 거리를 측정하여

우주의 구조를 알고자 할 때, 예로부터 삼각법이 이용되었다.

에라토스테네스 (Eratos

thenes`;`B.̀C.̀275~B.̀C.

194)

그리스의 수학자, 천문학

자, 지리학자로 하지 때 두

지점의 태양의 고도차와 거

리를 이용하여 지구의 둘레

를처음으로계산하였다.

스넬 (Snell, ̀W.̀R.̀;

1591~1626)

네덜란드의수학자, 물리학

자로 삼각법을 이용하여 지

구의크기를측정하였다.

지구주위를돌고있는달

2

삼각형에의응용

삼각형의넓이와사인법칙학습목표

1•두변과끼인각을알때의삼각형의넓이를구할수있다.

•사인법칙을이해하고, 이를활용할수있다.

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2. 삼각형에의응용 349

알 아 보 기 / 두변의길이와그끼인각의크기가주어진삼각형의넓이를구하여보자.

삼각형에서 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌을 때, 그 넓이를

구하는 방법을 알아보자.

오른쪽 그림과 같이 B가 예각인 △ABC

의 꼭짓점 A에서 그 대변에 내린 수선의 발

을 H라 하고, AH”=h라고 하면

h=c sinB

따라서 △ABC의 넓이 S는

S=;2!;ah=;2!;ac sinB

이것은B가 직각인 경우와 둔각인 경우에도 성립한다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

탐 구 하 기 / 두변의길이와그끼인각의크기가주어진삼각형의넓이

삼각형의 넓이01

오른쪽그림의△ABC에서

AB”=8, BC”=10, B=30˘

이고, 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선

의 발을 H라고 할 때, 다음 물음에 답하

여보자.

1. AB”=8, B=30˘를이용하여AH”의길이를구하여라.

2. △ABC의넓이를구하여라.

a

bc

B H C

A

h

30æHB C

A

8

10

B가둔각인경우

h=c sin (180˘-B)

h=c sinB

∴△ABC=;2!;ah

∴△ABC=;2!;ac sinB

a

ch

BH C

A

△ABC의 넓이를 S라고 하면

S=;2!;ab sinC=;2!;bc sinA=;2!;ac sinB

삼각형의넓이

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1

함 께 하 기 /

AB”=10, AC”=15, A=120˘인 △ABC에서 ∠A의 이등분선이 변

BC와 만나는 점을D라고 할 때, 다음을 구하여라.

(1) △ABC의 넓이 (2) AD”의 길이

｜풀이｜

(1) △ABC=;2!;¥10¥15¥sin 120˘

(1) △ABC=;2!;¥10¥15¥

(1) △ABC=::¶¶22∞∞::''33

(2) 주어진 조건을 나타내면 다음 그림과 같다.

(2) 이때, △ABC=△ABD+△ACD이므로AD”=x라고 하면

:¶2∞:'3=;2!;¥10¥x¥sin 60˘+;2!;¥x¥15¥sin 60˘

:¶2∞:'3=;2!;¥10¥x¥ +;2!;¥15¥x¥

(2) :¶2∞:'3=:™4∞:'3x ∴ x=6

(2) AD”=x이므로　　AADD””==66

'32

'32

60æ 60æ10 15

C

A

B D

'32

다음 △ABC의 넓이를 구하여라.

(1) AB”=4, AC”=4, A=120˘

(2) BC”=4, AC”=6, C=30˘

스 스 로 하 기 /

1

AB”=6, AC”=4, A=60˘인 △ABC에서 ∠A의 이등분선이 변 BC

와 만나는 점을D라고 할 때, 다음을 구하여라.

(1) △ABC의 넓이 (2) AD”의 길이

2

익힘책 331쪽 익힘책 333쪽 익힘책 334쪽


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탐 구 하 기 / 두변의길이 b, c와두각의크기 B, C사이의관계

사인법칙02

오른쪽 그림과 같은 △ABC에 대하여 다음

활동을 통하여 두 변의 길이 b, c와 두 각의

크기 B, C 사이의관계를알아보자.

1. △ABC의 넓이를 두 변의 길이 a, c와 그

끼인각의크기B로나타내어라.

2. △ABC의넓이를두변의길이a, b와그끼인각의크기C로나타내어라.

3. 물음 1, 2에서 구한 △ABC의 넓이를 이용하여 두 변의 길이 b, c의 비

를두각의크기B, C의사인함수의 비로나타내어라.

a

bc

B C

A

알 아 보 기 / 사인법칙을이해하고, 이를적용하여보자.

오른쪽 그림과 같은 △ABC의 넓이를 S라

고 하면

S=;2!;ab sinC=;2!;bc sinA=;2!;ac sinB

위의 각 변을 ;2!;abc로 나누면

= =

각 변의 역수를 취하면

= =

일반적으로 △ABC에서 다음의사인법칙이 성립한다.

csinC

bsinB

asinA

sinBb

sinAa

sinCc

a

bc

B C

A

△ABC에서

= = csinC

bsinB

asinA

사인법칙

사인법칙을 이용하면 한 변

의 길이와 두 각의 크기를

알때, 다른두변의길이를

알수있다.

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1

함 께 하 기 /

오른쪽 그림과 같이 △ABC에서

B=45˘, C=30˘, AB”=6일 때,

AC”의 길이를 구하여라. 30æ45æ

6

A

B C

｜풀이｜

사인법칙 = 에서　　 =

∴ AC”=sin 45˘_ = _ =66''226

;2!;

'22

6sin 30˘

6sin 30˘

AC”sin 45˘

AB”sin C

AC”sinB

2 오른쪽 그림과 같이 △ABC에서

A=105˘, C=45˘, AC”=10일 때,

AB ”의 길이를 구하여라.

105æ

45æ

10

A

B C

｜풀이｜

△ABC에서　　B=180˘-(105˘+45˘)=30˘

사인법칙 = 에서　　 =

∴ AB”=sin 45˘_ = _ =1100''2210

;2!;

'22

10sin 30˘

AB”sin 45˘

10sin 30˘

AB”sin C

AC”sinB

△ABC에서 A=60˘, B=45˘, BC”=10일 때, AC”의 길이를 구하

여라.


1

△ABC에서 A=120˘, B=30˘, BC”=12일 때, AB”의 길이를 구하

여라.2

사인법칙에의하여

△ABC에서 a, b, A, B의

값 중 어느 셋을 알면 나머

지하나를알수있다.

삼각형의 세 내각의 크기의

합은 180˘이므로 두 각의

크기를 알면 나머지 한 각

의크기를알수있다.



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1

함 께 하 기 /

오른쪽 그림과 같이 25 m 떨어진 두 지점

A, B에서 지면에 수직으로 서 있는 나무

PQ”를 바라보고 측정한 결과

∠PAQ=30˘, ∠BAQ=75˘,

∠ABQ=45˘를 얻었다. 이때, 나무의

높이 PQ”를 구하여라. (단, 눈의 높이는

생각하지 않으며, 계산값은 소수 둘째 자리에서 반올림한다.)

75æ

P

25`mA

B45æ

30æ

Q

｜풀이｜

∠AQB=180˘-(75˘+45˘)=60˘이므로

△ABQ에서 사인법칙을 적용하면

=

∴ AQ”=sin 45˘_

∴ AQ”= _ =

또, ∠PQA=90˘이므로 △APQ에서

PQ”=AQ” tan 30˘= _ = ?11.78y

따라서 나무의 높이는 약약 1111..88`mm이다.

25'23

1'3

25'63

25'63

25'22

25sin 60˘

25sin 60˘

AQ”sin 45˘

'32

오른쪽 그림과 같이 1 km 떨어진 두 지

점 A, B에서 등대가 있는 C지점을 바

라 보고 측정한 결과 ∠CAB=43˘,

∠CBA=72˘를 얻었다. 이때, 두 지

점 A, B에서 등대까지의 거리 AC”,

BC ”를 구하여라. (단, 삼각함수표를 이용하고, 계산값은 소수 셋째 자

리에서 반올림한다.)


1

43æ 72æA B

C

1`km

사인법칙의 활용03



75æ

60æ

25`mA B

Q

45æ

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다 가 서 기 / 토지 측량과 천체관측에서 시작된 삼각법

삼각형의 6요소인 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이의 관계를 연구

하는 것을 삼각법이라고 한다.

삼각법(Trigonometry)은 그리스어의 삼각형을 뜻하는 단어 trigon

과 측량을 뜻하는 단어 metria가 어우러져 만들어진 것이다. 즉, 삼각법

은 삼각형을 측량한다는 뜻이다.

이 말에서 알 수 있듯이 삼각법은 측량과 깊은 관계가 있으며, 고대 바

빌로니아와 이집트에서 토지 측량과 천체 관측 등에 삼각법을 이용하면

서 발달하기 시작하였다.

이집트의 피라미드 공사에서도 빗면의 기울기를 일정하게 유지하기 위

하여 삼각법을 이용하였고, 동상이나 석고를 가장 잘 감상할 수 있는 위치

를 찾을 때에도 삼각법을 이용하였다.

학습목표2 •코사인법칙을이해하고, 이를활용할수있다.

코사인법칙2

삼각형에의응용

본책-Ⅶ-2(346~359)-ok 2008.6.21 7:27 PM 페이지354 mac02 T


알 아 보 기 / 코사인법칙을이해하고, 이를적용하여보자.

두 변의 길이와 끼인각의 크기가 주어진 삼각형에서 다른 한 변의 길이

를 구하는 방법에 대하여 알아보자.

△ABC의 꼭짓점 A에서 밑변 BC 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을

H라 하고, B의 크기에 따라 다음 세 가지 경우로 나누어 생각해 보자.

⁄ B가 예각일 때

AH”=c sinB

BH”=c cosB

⁄ 이므로

⁄ CH”=a-c cosB

⁄ 피타고라스의 정리에 의하여 AC” ¤ =AH” ¤ +CH” ¤ 이므로

b¤ =(c sinB)¤ +(a-c cosB)¤

b¤ =a¤ +c¤ -2ac cosB

¤ B가 직각일 때

¤ cosB=cos 90˘=0이므로

b¤ =a¤ +c¤


‹ B가 둔각일 때

¤ AH”=c sin (180˘-B)=c sinB

¤ BH”=c cos(180˘-B)=-c cosB

¤ 이므로　　

CH”=a-c cosB

¤ 피타고라스의 정리에 의하여 AC” ¤ =AH” ¤ +CH” ¤ 이므로

b¤ =(c sinB)¤ +(a-c cosB)¤


⁄, ¤, ‹에 의하여 b¤ =a¤ +c¤ -2ac cosB가 성립한다.

같은 방법으로 다음을 구할 수 있다.

a¤ =b¤ +c¤ -2bc cosA

c¤ =a¤ +b¤ -2ab cosC

a

bc

B H C

A

a

c b

H,B C

A

a

cb

BH C

A

코사인법칙01

sin (180˘-h)=sin hcos (180˘-h)=-cos h

sin¤ x+cos¤ x=1

본책-Ⅶ-2(346~359)-ok 2008.6.21 7:27 PM 페이지355 mac02 T


2 △ABC에서 a=7, b=6, c=5일 때, cosB의 값을 구하여라.

｜풀이｜

코사인법칙 b¤ =c¤ +a¤ -2ca cosB에 의

하여

cosB=

cosB= =;;33!!55((;;5¤ +7¤ -6¤2¥5¥7

c¤ +a¤ -b¤2ca

세 변의 길이를 알면 코사

인법칙을 이용하여 각각의

각에 대한 코사인의 값을

알수있다.

일반적으로, △ABC에서 다음의코사인법칙이 성립한다.

△ABC에서 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알면 코사인법칙을 이

용하여 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다. 또, 세 변의 길이를 알면 각

각의 각에 대한 코사인의 값을 알 수 있다.

△ABC에서

(1) a¤ =b¤ +c¤ -2bc cosA

(2) b¤ =c¤ +a¤ -2ca cosB

(3) c¤ =a¤ +b¤ -2ab cosC

코사인법칙

1

함 께 하 기 /

△ABC에서 b=6, c=5, A=60˘일 때, a의 값을 구하여라.

｜풀이｜

코사인법칙 a¤ =b¤ +c¤ -2bc cosA에 의하여

a¤ =6¤ +5¤ -2¥6¥5¥cos 60˘

a¤ =6¤ +5¤ -2¥6¥5¥;2!;=31

a>0이므로　　aa==''33åå11

두 변의 길이와 그 끼인각

의 크기를 알면 코사인법칙

을 이용하여 나머지 한 변

의길이를알수있다.

코사인법칙을변형하면

cosA=

cosB=

cos C=a¤ +b¤ -c¤

2ab

c¤ +a¤ -b¤2ca

b¤ +c¤ -a¤2bc


B C

A

60æ5 6

B7

65

C

A

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가장긴변에대응하는

각의크기가가장크다.

△ABC에서 다음을 구하여라.

(1) b=4'2, c=5, A=45˘일 때, a의 값

(2) b=3, c=4, A=120˘일 때, a의 값


1

세 변의 길이가 3, 5, 6인 △ABC에서 가장 큰 각의 크기를 A라고 할

때, cosA의 값을 구하여라.2

오른쪽 그림과 같이 정사각형 ABCD의 한 변

CD의 중점을 M이라 하고, ∠AMB=h라고

할 때, cosh의 값을 구하여라.

3


오른쪽그림과같은△ABC에서삼각함수의정의에의하여

점 A의좌표는

A(c cosB, c sinB)

이다. 두점사이의거리구하는공식에의하여

b¤ =AC” ¤ =(a-c cosB)¤ +(0-c sinB)¤

b¤ =a¤ -2ac cosB+c¤ cos¤ B+c¤ sin¤ B

b¤ =a¤ -2ac cosB+c¤ (cos¤ B+sin¤ B)


개 념

넓 히 기 평면좌표를이용한코사인법칙

a C{a,`0}

cb

OB

A

x

y

A D

B C

MΩ

위와같은방법으로다음을증명하여라.

1. a¤ =b¤ +c¤ -2bc cosA

2. c¤ =a¤ +b¤ -2ab cosC

논술/수행평가과제

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1

함 께 하 기 /

어떤 회사에서 제품을 오른쪽 그림과 같은 원뿔 모

양의 용기에 넣어 판매한다. 이 원뿔을 밑면의 지름

에 수직이 되도록 자른 단면에서 두 모선이 이루는

각의 크기는 38˘이고, 모선의 길이는 12 cm이었

다. 이때, 이 용기의 뚜껑의 반지름의 길이를 구하

여라. (단, cos 38˘=0.7880으로 하고, 계산값은

소수 둘째 자리에서 반올림한다.)

12`cm

38æ

｜풀이｜

뚜껑의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

오른쪽 그림과 같이 두 모선과 뚜껑의 지름으로

이루어진 △ABC에서

AB”=2r cm, AC”=BC”=12 cm

∠ACB=38˘

코사인법칙에 의하여

4r¤ =12¤ +12¤ -2¥12¥12¥cos 38˘

4r¤ =12¤ +12¤ -2¥12¥12¥0.7880=61.056

따라서 r¤ =15.264이므로

r=3.9069y?33..99`((ccmm)) (∵ r>0)

아이스하키 경기에서 사용하는

골대는 그 폭이 2m이다. 한 선

수가 오른쪽 그림과 같이 골대의

두 기둥으로부터 4.8m와 5.7m

인 지점 P의 위치에 있다. 이때,

cos(∠APB)의 값을 구하여라.

(단, 계산값은 소수 셋째 자리에서 반올림한다.)


12`m

4.8`m

5.7`mP

A

B

코사인법칙의 활용02

12`cm

A B

C

12`cm

r`cm

38æ



본책-Ⅶ-2(346~359)-ok 2008.6.21 7:27 PM 페이지358 mac02 T


두 변의 길이가 6, 8이고 그 끼인각의 크기가 60˘인 삼각형의 넓이를 구

하여라.

1삼각형의 넓이

AB”=4'2, AC”=4, C=45˘인 △ABC에서 sinB의 값을 구하여라.2사인법칙

△ABC에서 다음을 구하여라.

(1) AB ”=4, AC”=5, A=60˘일 때, BC”의 길이

(2) AB”=40, AC”=32, A=58˘일 때, BC”의 길이

(2) (단, cos 58˘=0.5299로 하고, 계산값은 소수 둘째 자리에서 반올림

한다.)

3코사인법칙

세 변의 길이가 다음과 같은 △ABC에서 가장 큰 각의 크기를 A라고 할

때, cosA의 값을 구하여라.

(1) 4, 5, 6 (2) 4, 3, 2

4코사인법칙의 변형

오른쪽 그림과 같이 지점 O에서 52˘의 각

도를 이루며 만나는 두 도로가 있다. A,

B 두 사람이 자전거를 타고 지점 O에서 출

발하여 각각 시속 17 km, 시속 24 km로

달릴 때, 2시간 후A, B 사이의 거리를 구하여라.

(단, cos 52˘=0.6157로하고,계산값은소수셋째자리에서반올림한다.)

5자전거 여행

중 단 원

확 인 하 기

_2. 삼각형에의 응용

O

A

B52æ

새로나온용어와기호

사인법칙, 코사인법칙

계산

계산

계산

문제해결

이해

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