박문각임용고시학원 박문각임용고시온라인att.eduspa.com/EtcData/board/4498/2017년 이행래 전공수학 가이드.pdf · 이 행 래 전 공 수 학 ! " - 1 - 2018년

이 행 래 전 공 수 학

박문각 임용고시학원/박문각 임용온라인 카이 임용수학 카페 (http://cafe.daum.net/kaimath)

- 1 -

2018년 대비 교사임용

합격 설명회

담당교수 : 이행래

2016 2017

기입형(2점)

문항수 8 8

과목

교과 교육론, 해석학, 현대대

수학, 미적분학⑵, 미분기하

학, 확률과 통계⑵

교과 교육론, 이산수학, 현대

대수학, 미적분학⑵, 복소함수

론, 미분기하학, 확률과 통계

서술형(4점)

문항수 11 11

과목

교과 교육론⑶, 해석학⑵, 위

상수학, 정수론, 현대대수학,

이산수학, 선형대수학, 미분기

하학

교과 교육론⑶, 해석학, 위상

수학, 정수론, 현대대수학, 선

형대수학, 미분기하학, 확률과

통계, 복소함수론

서술형(5점)

문항수 2 2

과목 현대대수학, 복소함수론 현대대수학, 해석학

논술형(10점) 교과 교육론(1문항) 교과 교육론(1문항)

(2016, 2017년 문항수 비교 분석표)

박문각임용고시학원

박문각임용고시온라인



- 2 -

1. 교사 임용 시험이란



- 3 -



- 4 -

2. 2016~2017 지역별 경쟁률 및 합격선

지역

전공수학 모집인원

2016학년도

구분 모집인원

접수인원

접수경쟁률 1차합격선 최종합격선

서울일반 38 693 18.23 59.00 156.75 장애 2 6 3.00 　　

경기일반 117 1,501 12.83 56.33 148.04 장애 8 17 2.13 비공개 비공개지역 5 74 14.80 46.66 146.67

인천일반 　　　　　장애 　　　　　

대전일반 14 235 16.79 55.00 152.46 장애 1 2 2.00 비공개 비공개

대구일반 16 265 16.56 53.00 148.62 장애 1 2 2.00 　　

울산일반 　　　　　장애 　　　　　

부산일반 15 289 19.27 55.67 154.53 장애 1 5 5.00 비공개 비공개

광주일반 4 72 18.00 58.00 157.65 장애 1 1 1.00 　　

세종일반 9 105 11.67 53.00 149.87 장애 1 4 4.00 　　

강원일반 37 466 12.59 50.67 149.77 장애 3 4 1.33 　　

충남일반 20 277 13.85 56.34 154.57 장애 4 4 1.00 　　지역 3 31 10.33 53.67 151.84

충북일반 31 382 12.32 53.34 151.77 장애 2 2 1.00 　　

전남일반 28 339 12.11 55.00 152.72 장애 1 1 1.00 　　도서 1 13 13.00 비공개 비공개

전북일반 18 258 14.33 54.00 149.51 장애 2 1 0.50 　　도서 2 29 14.50 43.67 비공개

경남일반 30 497 16.57 50.34 151.08 장애 2 4 2.00 　　

경북일반 8 134 16.75 51.67 149.30 장애 1 2 2.00 　　

제주일반 　　　　　장애 　　　　　

계일반 385 5,513 15.13 54.38 151.90 장애 30 55 2.00 　　지역 11 147 13.16 48.00 149.26



- 5 -

0. 목차

Ⅰ. 2015, 2016, 2017년 과목별 점수 비교 분포 ------ 6

⑴ 과목별 점수 비교

⑵ 과목별 문항수 비교

⑶ 문항의 형식 비교

Ⅱ. 2016, 2017년 전공수학의 문항 형식에 따른 변화 ------ 9

⑴ 기입형

⑵ 서술형

⑶ 논술형

Ⅲ. 2015 ~ 2017년 전공수학의 과목별 분석 ------ 10

⑴ 교과 교육론

⑵ 대수학(현대대수학, 선형대수학, 정수론, 이산수학)

⑶ 해석학(실해석학, 미적분학, 위상수학, 복소함수론)

⑷ 미분기하학과 확률⋅통계

Ⅳ. 전공수학의 과목별 집중 분석 ------ 14

Ⅴ. 학습전략 ------ 68



- 6 -

Ⅰ. 2015, 2016, 2017년 과목별 점수 비교 분포

⑴ 과목별 점수 비교

2015 2016 2017

교과 교육 22 24 24

현대 12 11 11

해석학 10 10 9

미기 7 6 6

복소 7 5 6

확률 통계 4 4 6

정수론 4 4 4

선대 2 4 4

위상 4 4 4

미적 2 4 4

이산수학 4 4 2

총 점 80 80 80

0102030405060708090

교과교육

현대 해석학 미기 복소 확률통계

정수론 선대 위상 미적 이산수학 총 점

2015

2016

2017

(2015 ~ 2017년 점수 그래프)

¤ 교과 교육론은 - 수학교육학 신론(문음사), 수학교육과정과 교재연구(경문사), 교사용 지도서

등을 중심으로 시험문제가 출제되고 있음을 상기해야 한다.



- 7 -

⑵ 과목별 문항수 비교

2015 2016 2017 비 고

교과 교육 5 5 5

현대 2 3 3

해석학 1 2 1 문항수(-1), 점수(-1)

미기 2 2 2

복소 2 1 2 문항수(+1), 점수(+1)

확률 통계 2 2 2 점수 +2

정수론 1 1 1

선대 1 1 1

위상 1 1 1

미적 1 2 2

이산수학 1 1 1 점수 -2

합 20 22 22

0

5

10

15

20

25

교과교육

현대 해석학 미기 복소 확률통계

정수론 선대 위상 미적 이산수학 합

2015

2016

2017

(2015 ~ 2017년 문항수 그래프)



- 8 -

⑶ 문항의 형식 비교

2015 2016 2017

기입형 10 8 8

서술형(4점) 0 11 11

서술형(5점) 8 2 2

논술형(10점) 2 1 1

합 20 22 22

0

5

10

15

20

25

기입형 서술형(4점) 서술형(5점) 논술형(10점) 합

2015

2016

2017

(2015 ~ 2017년 문항의 형식 그래프)



- 9 -

Ⅱ. 2016, 2017년 전공수학의 문항 형식에 따른 변화

⑴ 기입형

2016년은 개념파악이 쉽지 않았고 또, 문제를 해결하는데 많은 시간이 걸렸던 문제들이 다수

있었던 것에 비하여 2017년은 상대적으로 개념파악이 쉬었으며 문제를 해결하는데 걸리는 시간

도 비교적 짧게 걸렸다. 즉 복잡도 측면에서 2017년이 2016년에 비해서 수월했다고 할 수 있

다. 한편, 전공과목수는 2016년 6개 과목이었던 것에 비해 2017년은 7개 과목이었다.

2016 2017

출제 과목

교과 교육론, 해석학, 현대대수학, 미적

분학⑵, 미분기하학, 확률과 통계⑵ 등

6개 과목

교과 교육론, 이산수학, 현대대수학, 미

적분학⑵, 복소함수론, 미분기하학, 확률

과 통계 등 7개 과목

출제 경향

⋅ 각 개념에 대한 정확한 개념 파악을 요구하는 문제가 상대적으로 적었다.

⋅ 문제해결의 측면에서 보면 계산 능력을 요구하는 문제 다수 있었다.

⋅ 문제 해결에 시간이 부족 하지 않았다.

⑵ 서술형

2016 2017

출제 과목

⋅ (4점) 교과 교육론⑶, 해석학⑵, 위상

수학, 정수론, 현대대수학, 이산수학, 선

형대수학, 미분기하학

⋅ (5점) 현대대수학, 복소함수론

⋅ (4점)교과 교육론, 이산수학, 현대대

수학, 미적분학⑵, 복소함수론, 미분기하

학, 확률과 통계

⋅ (5점)현대대수학, 해석학

출제 경향

⋅ 개념파악, 정리를 해석하여 문제를 해결하는 능력을 요구하는 문제가 다수 있었

다.(난이도 中, 上)

⋅ 개념파악을 요구하는 문제는 선형대수학 문제 정도로 적었다.(下)

⋅ 정리를 이용하여 문제해결을 요구하는 문제는 확률과 통계, 미분기하학 등(中)

⑶ 논술형

2016 2017

출제 과목 ⋅ (10점) 교과 교육론 ⋅ (10점) 교과 교육론

출제 경향

⋅ 논술의 형식을 갖추고 있으나 논술형보다는 서술형에 가까운 문제라 할 수 있

다. 기본적인 논술의 틀을 갖추고 지도서 분석과 교육과정 등을 복합적으로 요구

하는 문제로 구성되었다.



- 10 -

Ⅲ. 2015 ~ 2017년 전공수학의 과목별 분석

⑴ 교과 교육론

문항 수는 5개 문항이 출제되었다. 점수는 22~24점이었고 전반적으로 수학교육심리학, 교수

학습 방법, 평가, 문제 해결 등 전반적인 교과 교육론의 이론이 고르게 출제되는 경향이 있으나

눈여겨볼 내용은 프로이덴탈과 관련된 이론이 꾸준하게 출제되고 있다는 것이다. 구체적인 내용

은 다음 표와 같다.

2015 2016 2017

기입형⋅수학교육 심리학

- Dienes의 이론

⋅교수학습 이론

- 수학화, 수학적 모델링

⋅연역법, 분석-종합법

- 분석법과 종합법

서술형

⋅라카토스의 준 경험주의

⋅추론

⋅수와 연산

- 교수학습 방법의 유의점

⋅프로이덴탈의 교수학습

이론

⋅함수

- 역사 발생적 원리

⋅수와 연산

- 평가

⋅Bruner의 발견학습 및

극단적인 교수학습 현상

⋅확률과 통계영역

- 자료 분석

⋅확률과 통계 영역

- 평가와 추론

⋅도형

- Dienes의 수학적 다양성

- 프로이텐탈의 국소적 조

직화

논술형

⋅도형

- 추론

- Polya의 추론

- van Hiele의 수준학습

- 교수학습 방법과 수학적

추론 능력

⋅함수

- 크라벤담( Krabbendam)

의 질적 접근, 양적 접근

- Polya의 문제해결(반성)

- 극단적인 교수학습 현상

- 교수학습 방법의 유의점

(2015~2017년도 교과교육론 분석)

수학교육론의 기본적인 이론(수학교육학 신론)과 교육과정의 이해(교사용 지도서), 구체적인

교수⋅학습 방법(교사용 지도서, 수학교육과정과 교재연구, 수학 학습-지도 원리와 방법) 등을

학습하는 것이 바람직하다.



- 11 -

⑵ 대수학(현대대수학, 선형대수학, 정수론, 이산수학)

2015 2016 2017

기입형

⋅군론

- 잉여군에서 위수

⋅선형대수학

- 회전변환의 특성다항

식(고유 다항식)

⋅현대대수학

- 군론에서 준동형 사상

의 핵과 잉여군의 위수

⋅현대 대수학

- 환론에서 체의 표수와

환의 직적(표수)

⋅이산수학

- 그래프의 이해(인접행

렬과 성분)

서

술

형

현대

⋅단순 확대체와 기약 다

항식

⋅갈루아 확대체와 부분

체

⋅부분군

- 잉여군의 성질과 위수

⋅갈루아 군과 갈루아 확

대체, 단순확대체

선대 ⋅유클리드 내적과 노름⋅기저의 변환

- 내적을 이용한 넓이

정수론 ⋅고차 합동식의 해⋅원시근을 이용한 위수

- 부정방정식 이용

⋅알고리즘

- 르장드리 기호

이산

⋅그래프의 이해

- 변의 개수, 평면 그래

프, 채색수 등

⋅생성함수 ⋅그래프의 이해

논술형

⋅현대대수학(체론)

- 기약 다항식

- 확대체의 차수

- 갈루아군의 위수 등

기타 ⋅5문항(24점) ⋅6문항(23점) ⋅6문항(21점)

(2015~2017년도 대수학 분석)



- 12 -

⑶ 해석학(실해석학, 미적분학, 위상수학, 복소함수론)

2015 2016 2017

기입형

⋅미적분학

- 중적분(그린의 정리)

- 접선의 기울기

⋅위상수학

- 도집합

- 적공간 : 연결성분

⋅해석학

- 이상적분과 급수

⋅미적분학

- 선적분(완전미방 이용)

- 중적분

⋅미적분학

- 중적분

- 선형계획법

⋅복소함수론

- 코쉬-리만의 방정식

서

술

형

해석학

⋅평균값 정리와 중간값

정리 이용

⋅함수항 급수의 평등 수

렴성

⋅함수열

- 평등수렴성과 적분값

⋅Taylor의 급수와 수열

미적

위상⋅적공간에서 기저

- 내부, 폐포, 경계

⋅거리함수

- 폐포와 compact

복소 ⋅실적분의 응용⋅Laurent급수

- 복소 적분

⋅Laurent급수와 최댓값

원리

논술형 ⋅리만 적분 가능성

기타 ⋅6문항(23점) ⋅7문항(23점) ⋅7문항(23점)

(2015~2017년도 해석학 분석)



- 13 -

⑷ 미분기하학과 확률⋅통계

2015 2016 2017

기

입

형

미기 ⋅합동을 이용한 곡률 ⋅곡선의 길이 ⋅곡률

확통

⋅정규분포 - 확률

⋅이변수 함수

- 확률값

⋅이산 확률

⋅이변수 확률

- 확률밀도 함수

⋅이변수 함수

- 확률

서

술

형

미기⋅Euler의 정리를 이용

- 법곡률⋅측지선에서의 주곡률 ⋅측지곡률

확통 ⋅ ⋅⋅이변수 함수

- 확률 밀도함수와 평균

기 타 ⋅4문항(13점) ⋅4문항(10점) ⋅4문항(12점)

(2015~2017년도 미분기하학과 확률 ⋅통계 분석)



- 14 -

Ⅳ. 전공수학의 과목별 집중분석

1. 선형대수학

⑴ 1996년 이후 선형대수학 문항 분석

영 역 문항 수 비 고

벡터 공간 9 ⋅ 독립, 차원 등을 모두 포함

내적 공간 5 ⋅ 외적과 내적 모두 내적 공간의 영역에 포함

선형 변환 11 ⋅ 선형변환, 동형 변환 등을 모두 포함

고유 공간 10 ⋅ 고윳값, 고유벡터, 고유 공간 등을 모두 합한 내용

행렬 6 ⋅ 행렬과 수반행렬, 역행렬 등으로 제한

<1996년 이후 선형대수학 문항 분석>

0

2

4

6

8

10

12

벡터 공간 내적 공간 선형 변환 고유 공간 행렬

문항 수

¶ 참고 : 문항수는 실제 시험 문항수와 다소 차이가 있을 수 있습니다. 어떤 문항은 선형 변환과

고유 공간 등에 중복되어 들어간 경우가 있습니다. 또, 정사영과 관련된 문제는 문제의 성격에

따라 내적 공간으로 분류하기도 하였고 고유 공간으로 분류하기도 하였습니다. 이런 점을 참고

하시기 바랍니다. 또한 1996년 이전의 기출문제는 신뢰도 면에서 약간의 문제가 있어 위 분석

에서는 제외하였음을 알려드립니다.



- 15 -

⑵ 2013~2017년 기출문제 분석

㈎ 최근 분석

최근의 선형대수학 문제는 선형변환을 기초로 하여 치역, 핵 등을 이용하여 문제를 해결하는

문제와 고윳값, 고유벡터를 기초로 하여 문제를 해결하는 형식의 문제로 구성되고 있음을 알 수

있다.

그러나 문제의 내용을 좀 더 자세히 분석하면 문제는 대부분 선형변환의 본질적인 문제를 물

어보고 있다. 또한 문제의 해는 기저를 중심으로 해결하고 있음을 알 수 있다. 따라서 선형대수

학은 선형성을 이해하고 기저를 이용하여 공간을 표현하고 공간의 변환을 이해하는 데 초점을

둔 학습을 해야 함을 알 수 있다.

㈏ 2013~2017년 문제 내용

① 2013년

⋅ 1차독립, 부분공간, 해공간

⋅ 선형변환에서 치역의 차원, 정사영, 정사영의 고윳값 등

② 2014년

⋅ 원추곡선을 표준형으로 변환 / 고윳값, 고유벡터 문제

⋅ 선형변환의 핵과 기저를 이용하여 복소함수론 문제 해결(논술형)

③ 2015년

⋅ 회전변환과 고유다항식

④ 2016년

⋅ 선형변환을 이용한 노름

⋅ 선형변환을 행렬로 표현(전이행렬)

⑤ 2017년

⋅ 기저의 변환과 평행사변형의 면적



- 16 -

⑶ 선형대수학의 조직도

행렬과 행렬식

벡터 공간

선형사상과 행렬

고윳값과 고유벡터

유클리드 공간

벡터 공간과

선형변환

유니터리 공간

선형변환과

행렬의 표준형



- 17 -

⑷ 2017년 기출문제

3차원 유클리드 내적공간 에서 두 벡터 로 생성된 부분공간을

라 하자. 의 임의의 정규 직교기저(orthonormal basis) 에 대하여 에 의해

결정되는 네 실수 가 존재하여

일 때, 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

(단, 두 벡터 의 유클리드 내적은 ⋅ 이

다.) [4점]

정답 및 해설 :

⑴ 는 두 벡터 에 의해서 만들어지는 평행사변형의 넓이이고 정규직교 기저

의 경우 기저의 표현과는 무관하게 평행사변형의 넓이는 변하지 않는다.

⑵ × 이므로 × 이다.

×



- 18 -

2. 정수론

⑴ 1996년 이후 정수론 문항 분석


정수와 소수 6 ⋅ 부정방정식, 최대정수함수, 최대지수 등

합동식 8⋅ 합동식, 중국인의 나머지 정리, 페르마의 정리,

윌슨의 정리, 오일러의 정리 등을 포함

위수 8 ⋅ 원시근, 위수 등을 모두 포함

이차 합동식 6⋅ 이차합동식의 해의 존재성, 르장드리 기호,

고차 합동식의 해의 존재성 등을 포함

<1996년 이후 정수론 문항 분석>

0123456789

정수와 소수 합동식 위수 이차 합동식

문항 수

¶ 참고 : 문항수는 실제 시험 문항수와 다소 차이가 있을 수 있습니다. 어떤 문항은 “정수와 소

수”와 “중국인의 나머지 정리” 등에 중복되어 들어간 경우가 있습니다. 또, 고차 합동식의 경우

위수와 고차 합동식의 해의 존재성 등은 문제의 성격에 따라 위수 문제로 분류하기도 하였고

이차합동식으로 분류하기도 하였습니다. 이런 점을 참고 하시기 바랍니다. 또한 1996년 이전의

기출문제는 신뢰도 면에서 약간의 문제가 있어 위 분석에서는 제외하였음을 알려드립니다.



- 19 -

⑵ 2013~2017년 기출문제 분석

㈎ 최근 분석

최근의 정수론 문제는 해의 존재성, 원시근, 위수 등을 이용한 문제가 주를 이루고 있다. 여

기서 주목해야할 점은 위 내용에 관한 시험문제뿐만 아니라 정수론은 정수론 자체가 목적이 되

기도 하지만 이산수학, 현대대수학 등의 중요한 도구로도 활용되고 있음에 유의해야 한다는 것

이다. 따라서 정수론은 전체 점수비율은 약 4~5% 정도 이지만 실제적으로 차지하는 비중은

30%을 넘는다고 봐야 할 것이다. 따라서 대수학의 가장 중요하면서도 기초가 되는 정수론은 매

우 중요한 과목이라 할 수 있다.

⑵ 2012~2017년 문제 내용

① 2012년

⋅ 해의 존재성(연립합동식, 고차합동식, 이차잉여) 등을 이용한 해의 존재성

⋅ 원시근을 이용한 위수 구하는 문제

② 2013년

⋅ 원시근

③ 2014년

⋅ 원시근과 부정방정식을 이용하여 법 에 대한 나머지 구하는 문제

④ 2015년

⋅ 2015를 이용하여 3차 합동식의 해의 개수(중국인의 나머지 정리 필요)

⑤ 2016년

⋅ 원시근

⑥ 2017

⋅ 르장드리 기호



- 20 -

⑶ 정수론의 조직도

부정방정식과 소수(素數)

합동식

⋅ 합동

⋅ 잉여류

⋅ 중국인의

나머지 정리

⋅ 이차합동식

페르마와 오일러의 정리

원시근

⋅유사 소수

⋅소수 판정

연분수이차 잉여



- 21 -


(서술형) ≤ ≤ 인 자연수 에 대하여 × 일 때, 르장드리 기호(Legendre

symbol)의 합

의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.(참고 은 소수이다.) [4점]

정답 및 해설 :

⑴ 가 소수일 때

임을 이용한다.

⑵ × ≡ ⋅⋅ mod 이고

⋯

이다. 따라서

이다. 즉 이 홀수인 소수이므로

⑶

이다.

×

이고 이 소수이므로

①

⋯

② ≡ mod ≡ mod 이므로

이다. 따라서

⋯

⑷ 따라서

이다.



- 22 -

3. 현대대수학

⑴ 1996년 이후 현대대수학 문항 분석


군 12 ⋅ 가환군, 순환군, 부분군, 정규부분군, 잉여군 등

군의 위수 5 ⋅ 군의 위수, 원소의 위수, 라그랑쥐의 정리 등

군의 구조 12 ⋅ 동형정리, 대응정리 등 군의 구조를 파악하는 문제 등

환 7 ⋅ 환, 정역, 체, 표수, 이데알 등 환의 기초적인 개념

환 동형 8 ⋅ 동형정리, 대응 정리 등

다항식 환 20 ⋅ 다항식환, 기약, 극대이데알, 단항 이데알 정역 등

확대체 16 ⋅ 유한 확대체, 대수적 확대체, 분해체, 갈루아 확대체 등

<1996년 이후 현대대수학 문항 분석>

0

5

10

15

20

25

군 군의 위수 군의 구조 환 환 동형 다항식 환 확대체

문항 수

¶ 참고 : 문항수는 실제 시험 문항수와 다소 차이가 있을 수 있습니다. 군의 경우 위수문제와 군

의 구조가 겹쳐지는 부분이 다수 있으나 이 경우는 군의 구조에 포함하였으며, 다항식 환의 경

우 확대체와 매우 밀접하게 연계되어 있어 많은 문제 들을 다항식 환과 확대체 모두에 포함하

였습니다.



- 23 -

⑵ 2013~2017년 기출문제 분석

⑴ 최근 분석

① 최근의 군론 문제는 위수를 구하는 문제가 중심을 이루고 있다. 하지만 내용을 살펴보면

순환군의 기본적인 성질, 준 동형사상에서 kernel(핵)을 이용한 문제, 잉여군의 문제 등 다

양한 형식으로 구성되어 있음을 알 수 있다. 군의 핵심적인 내용은 군의 구조를 이해하는

것이고 그 중심에는 생성원과 생성원의 위수, 생성원들 사이의 관계이다. 이를 중심으로 군

론을 이해한다면 좋은 결과가 있을 것으로 기대된다.

② 최근의 환, 체 문제는 갈루아 확대체를 중심으로 시험문제가 출제되고 있다. 갈루아 확대

체를 이해하기 위해서는 기약다항식, 분리다항식, 분해체 등을 철저하게 준비해야 하며, 배

경적 지식으로 선형(벡터)공간과 선형공간의 차원문제 등도 함께 학습하는 것이 중요하다.

⑵ 2012~2017년 문제 내용

① 2013년

⋅ 군 준동형사상에서 kernel(핵)을 찾는 문제

⋅ 잉여군과 군의 중심을 이용하여 아벨군임을 판정하는 문제

⋅ 위수가 400인 아벨군의 개수를 구하는 문제

⋅ 영인자, 단원, 표수 등을 구하는 문제

⋅ 기약 다항식

⋅ 행렬환을 이용한 환 준동형 사상의 핵과 치역을 구하는 문제

⋅ 유한 확대체의 차수를 이용한 문제

② 2014년

⋅ 순환군에서 부분군의 개수와 위수 인 원소의 개수를 구하는 문제

⋅ 다항식 환에서 인수분해 문제

⋅ 갈루아 확대체임을 증명하고 이를 이용하여 갈루아 군의 위수를 증명하는 문제

③ 2015년

⋅ 잉여군에서 위수를 구하는 문제

⋅ 기약 다항식

⋅ 확대체의 차수, 갈루아군의 위수

④ 2016년

⋅ 잉여군의 위수를 구하는 문제(kernel를 이용)

⋅ ⋅단순 확대체와 기약 다항식

⋅갈루아 확대체와 부분체



- 24 -

⑤ 2017

⋅ 유한군에서 위수를 이용하여 정규부분군과 부분군의 관계

⋅ 환론에서 체의 표수와 환의 직적(표수)

⋅ 잉여군의 성질과 위수

⋅갈루아 군과 갈루아 확대체, 단순확대체

⑶ 현대대수학 조직도(군)

군

군의 위수/정규 부분군

⋅ 순환군

⋅ 유한군

⋅ 비 가환군

⋅ 군의 내적

준 동형 사상

동형 정리

대응 정리

대칭군Kernel(핵)



- 25 -


(기입형) 환 의 잉여환(factor ring, quotient ring)으로 나타내어지는 모든 체(field)의 직접곱(직

적, direct product)을 라 하자. 환 의 표수(characteristic)를 구하시오. [2점]

정답 및 해설 :

⑴ × × 이므로 는 위수가 인 체( ), 위수 인 체( ), 위수 인 체( )의 직

적으로 이루어졌다. 의 표수 , , 이므로 의

표수는 이다.

⑵ 실제로 ≅ × × 이다.

⑶ (별해) × × 이므로 의 소인수는 이다. 따라서

이다.

(서술형 1) 위수(order)가 인 군 가 부분군 와 정규 부분군(normal subgroup) 을 가진

다. 와 의 위수가 각각 과 일 때, 가 의 부분군임을 보이시오. [4점]

정답 및 해설 :

⑴ 이 위수 인 의 정규 부분군이므로 Lagrange의 정리에 의해서 잉여군 의 위수는

이고 가 위수 인 의 부분군이므로 Lagrange의 정리에 의해서 임의의 원 ∈ 에 대하

여 이다. (여기서 는 군 의 항등원이다.) 따라서 이다.

⑵ 즉, 의 위수 는 와 의 공약수이다. 따라서 이다. 즉 이다. 따

라서 ∈ 이다. 즉, ⊂ 이고 오 이 의 부분군이므로 는 의 부분군이다.

(서술형 2) 유리수체 위에서 대수적인 원소 에 대하여 단순확대체(simple extension field)

는 위의 갈루아 확대체(정규 확대체, Galois extension field, normal extension

field)이고 차수(degree)는 이다. 갈루아 군(Galois group) 가

을 만족시키는 자기동형사상(automorphism) 를 가질 때, 의 부분체

의 위의 차수 를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [5점]

정답 및 해설 :

⑴ 이므로 ∘ 이고 가정에 의해서 ≠ 이므로 의

위수는 이다.



- 26 -

[ 참고 : 일 필요충분조건은 ± 이다. 가정에서 이므로 ∉ 이

다. 따라서 ≠ 이다. 즉, ≠ 이므로 는 항등사상이 아니다. 따라서 의 위

수는 이다.]

⑵ 의 순환부분군 의 고정체(fixed field)를 라 하면 이므

로 ⊂ 이다.[참고 : ∈ ] 가 위의 갈루아

확대체이므로 는 의 갈루아 확대체이다. 따라서

이다. 또 이므로 이다.

⑶ ≥ 이므로 ∉ 이다. 한편

⋅ ∈ (참고 : ⋅ )

이므로 이다. 또, ⊂ ⊂ 이므로 이다. 따라서

이다. 즉, 이다. 따라서 이다. 즉 이다.

⑵의 결과에 의해서 이다.



- 27 -

4. 이산수학

⑴ 1996년 이후 이산수학 문항 분석


선택과 배열 13 ⋅ 조합, 중복조합, 순열, 중복 순열, 분할, 스털링 수 등

그래프 11 ⋅ 그래프의 차수, 한 붓그리기, 인접행렬, 근접행렬 등

알고리즘 8 ⋅ 알고리즘, 생성함수 등

최적화 2 ⋅ 채색 다항식, 채색 수, 생성 수형도, 결정 게임, 재산 분배 등

<1996년 이후 이산수학 문항 분석>

0

2

4

6

8

10

12

14

선택과 배열 그래프 알고리즘 최적화

문항 수

¶ 참고 : 문항수는 실제 시험 문항수와 다소 차이가 있을 수 있습니다. 부정 방정식의 음이 아닌

정수해의 개수 문제는 중복조합의 문제와 생성함수를 이용한 문제가 중복되어 나타나는 경우가

많아 선태과 배열, 알고리즘 등에 포함되어 있는 문제가 다소 있으며, 채색수의 문제는 그래프

의 문제와 최적화와 중복되어 있음을 참고 하기 바람.



- 28 -

⑵ 2013~2017년 기출문제 분석

⑴ 최근 분석

이산수학은 근본적으로 이산성을 이용하여 최적화하는 문제를 다루는 과목이라 할 수 있다.

이와 같이 최적화를 위한 배경적 지식인 선택과 배열, 그래프, 알고리즘 등이 실제로 시험문제

에서 주를 이루고 있다. 최근의 시험문제를 살펴보면 위에서 설명한 중복조합, 생성함수, 그래

프와 인접행렬 등이 주로 출제되고 있음을 알 수 있다.

⑵ 2012~2017년 문제 내용

① 2013년

⋅ 점화식을 이용하여 일반항을 구하는 문제

⋅ 단순 그래프의 성질을 묻는 문제

② 2014년

⋅ 중복조합과 생성함수를 이용하여 부정방정식의 해를 구하는 문제

③ 2015년

⋅ 그래프의 이해 즉, 변의 개수, 평면 그래프, 채색수 등

④ 2016년

⋅ 생성함수

⑤ 2017

⋅ 그래프와 인접행렬을 이용하여 그래프의 차수의 총합을 구하는 문제



- 29 -

⑶ 이산수학 조직도

점화식

수 체계(집합, 정수론)

선태과 배열

알고리즘 그래프

최적화



- 30 -


(기입형) 다음 그래프의 인접행렬(adjacency matrix)을 라 할 때, 의 모든 성분의 합을 구하

시오. [2점]

정답 및 해설 :

⑴ 인접행렬 의 모든 성분의 합은 각 꼭짓점의 차수의 총합을 뜻한다. 각 꼭짓점 에 대하여

차수를 deg 로 놓으면 deg deg 이고, deg deg 이다. 따라서 행

렬 의 모든 성분의 합은 이다.

⑵ (별해) 인접행렬 를 직접 구하면

이므로 행렬 의 모든 성분의 합은 이다.



- 31 -

5. 해석학

⑴ 1996년 이후 해석학 문항 분석


수열 8 ⋅ 수열의 수렴성, 코시수열, 단조수열, 상극한, 하극한 등

급수 8 ⋅ 양항급수, 교대급수 등의 수렴, 발산 판정법 등

연속 15 ⋅ 함수의 극한, 연속성, 균등 연속성 등

도함수 15 ⋅ 미분가능성, 도함수, 최대⋅ 최솟값 등

적분 7 ⋅ 리만적분 가능성

함수열 10 ⋅ 함수열, 함수항 급수 등

멱급수 6 ⋅ 멱급수, 테일러의 멱급수, 매클로린의 멱급수 등

기타 8 ⋅ 실수체계, 로피탈의 법칙, 이상적분, 실변수 등

<1996년 이후 해석학 문항 분석>

0

2

4

6

8

10

12

14

16

수열 급수 연속 도함수 적분 함수열 멱급수 기타

문항 수

¶ 참고 : 문항수는 실제 시험 문항수와 다소 차이가 있을 수 있습니다. 멱급수의 수렴구간을 구하

는 문제는 수렴반지름뿐만 아니라 경계에서의 수렴성을 조사해야 하기 때문에 이 경우는 급수

의 수렴성과 중복될 수 있으며, 함수열 또는 함수항 급수의 문제는 연속성, 적분가능성, 미분가

능성 등의 문제는 연속, 도함수, 적분 등과 중복되어 나올 수 있음을 참고하여 보시면 됩니다.

또, 객관식의 문제는 한 문항에 여러 개의 질문이 있어 중복되어 문항수로 계산할 수 있음을 참

고하시면 됩니다.



- 32 -

⑵ 2013~2017년 기출문제 분석

⑴ 최근 분석

해석학의 최근 문제는 수열, 연속성, 미분가능성, 적분가능성, 함수열, 급수 등의 문제가 고르

게 출제되는 경향이 있다. 문항수는 2~3개 이지만 비교적 고른 영역에서 출제되고 있으므로 전

체적인 개념을 이해하고 각 영역에서 판정법에 관련된 이론은 반드시 암기하고 있어야 문제를

해결하는 데 유리하다.

⑵ 2012~2017년 문제 내용

① 2013년

⋅ 수열의 유계성, 부분수열, 상극한, 코시수열 ⋅ 급수의 수렴성

⋅ 함수의 연속성과 중간값 정리 ⋅ 이상적분 가능성

⋅ 미분가능, 평균값 정리와 증가함수, 도함수의 연속성

⋅ 함수열의 균등수렴성과 극한함수의 리만적분 가능성과 적분값 구하는 문제

② 2014년

⋅ 멱급수의 수렴구간, 교대급수 판정법, p-급수 판정법

⋅ -급에서 의 존재성에 필요한 조건 구하는 문제

⋅ 닫힌구간에서 연속함수의 최댓값 존재성의 문제(볼차노-바이에르슈트라스의 정리 이용)

③ 2015년

⋅ 리만 적분 가능성(논술형)

④ 2016년

⋅ 이상적분과 급수

⋅ 평균값 정리와 중간값 정리 이용

⋅ 함수항 급수의 평등 수렴성

⑤ 2017

⋅ 함수열 - 평등수렴성과 적분값

⋅ Taylor의 급수와 수열



- 33 -

⑶ 해석학의 조직도

실수계

수열의 수렴성

함수의 극한과 연속성

급수

⋅함수열

⋅함수항 급수

적분가능성미분가능성

로피탈의 법칙



- 34 -


(서술형 1) 함수 → 를 미분가능하고 도함수 ′이 에서 연속이다. 자연수 에 대하여

함수 을 라 하자. 함수열 이 닫힌구간 에서 ′ 평등

수렴(균등수렴, 고른수렴, uniform convergence)함을 보이시오. 또한

lim→∞

임을 보이시오. [4점]

정답 및 해설 :

⑴ ① 함수 가 미분 가능하므로 임의의 ∈ 에 대하여

lim→∞

lim→∞

′ 이다. 따라서 함수열 은 ′ 으로 점별 수렴하고 극한함수는 ′ 이다.

② ′ 이 닫힌구간 에서 연속이므로 균등연속이다. 또, lim→∞

′이므로 임의의 양

의 실수 에 대하여

㈎ 인 모든 ∈ 에 대하여 ′ ′ 를 만족하는 양수 가 존재하고

㈏ 아르키메데스의 정리에 의해서 인 양의 정수 가 존재한다.

㈐ 또, 임의의 ∈ 에 대하여 인 모든 자연수 에 대하여

′

③ 따라서 임의의 ∈ 와 인 모든 자연수 에 대하여

≤

′

′

이다. Cauchy의 판정법에 의해서 함수열 은 평등수렴하고 극한함수가 ′ 이므로 ′ 으로

평등 수렴한다.

⑵ ′ 이 연속이므로 미적분학의 기본정리에 의해서

′ 이고 적분 가능 함

수열 이 ′ 으로 평등 수렴하므로 다음이 성립한다.

lim→∞

lim→∞

′



- 35 -

(서술형 2) 상수함수가 아닌 함수 → 가 무한번 미분가능하고 모든 실수 와 자연수 에

대하여 ≤ 를 만족시킬 때, 집합 ∈ 이 유한집합임을

보이시오. [5점]

※ 다음 정리들은 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

㈎ ∈ 이고 함수 가 열린구간 에서 번 미분가능할 때,

,

로 놓으면

이 되는 가 와 사이에 존재한다.

㈏ 함수 가 ( , 는 상수)인 모든 ∈ 에 대하여

∞

일 때, 모든 자연수 에 대하여 ≠ 이고 lim→∞

인 수열 이 존재하

면 인 모든 ∈ 에 대하여 이다.

정답 및 해설 :

⑴ ㈎에 의해서

이 되는 ∈ 와 가 와 사이에 존재한

다. 가정에 의해서

≤

이제

로 놓으면

lim→∞

lim

→∞

이므로

∞

은 수렴하고 수렴반지름은 ∞ 이다. 비교 판정법에 의해

서

∞

도 수렴하므로 lim→∞

이다. 따라서

∞

이다.

⑵ 이제 ∈ 를 무한집합이라 하면 유계인 수열

∈ ⋯ ≠ 이면 ≠

가 존재한다. Bolzano-Weierstrass의 정리에 의해서 수렴하는 부분 수열 가 존재한다.



- 36 -

이제 lim→∞

로 놓으면 가정에 의해서 인 원은 많아야 하나 존재한다. 존재하지 않

으면 바로 ㈏를 이용할 수 있고, 인 원소가 존재하는 경우 로 놓으면

lim→∞

이고 모든 ⋯ 에 대하여 ≠ 이다. 수렴반지름이 ∞ 이므로 ㈏에 의해

서 는 위에서 상수함수이다. 이는 가정에 위배된다.

따라서 ∈ 는 유한집합이다.



- 37 -

6. 위상수학

⑴ 1996년 이후 해석학 문항 분석


위상공간 21⋅ 열린집합, 닫힌집합, 내부, 외부, 경계, 폐포, 기저, 점열, 조밀부

분집합, 근방 등

위상적 동형 15 ⋅ 연속, 열린사상, 닫힌사상, 상함수, 위상적 동형사상 등

거리공간 3 ⋅ 거리함수, 거리공간, 거리함수에서 연속성 등

분리공간 3 ⋅ T1~T4 공간, 정칙공간, 정규공간 등

연결공간 6 ⋅ 연결집합, 연결성분 등

기타 11 ⋅ 컴팩트 공간, 분리 가능(분해)공간 등

<1996년 이후 위상수학 문항 분석>

0

5

10

15

20

25

위상공간 위상적 동형 거리공간 분리공간 연결공간 기타

문항 수

¶ 참고 : 문항수는 실제 시험 문항수와 다소 차이가 있을 수 있습니다. 객관식 문제의 경우 한 문

항에 여러 개의 영역을 묻는 문제가 포함되어 있고, 상위상의 경우 상위상에서의 열린집합, 컴

팩트, 연결공간 등을 문제가 있을 경우 위상적 동형사상, 연결공간, 위상공간 등의 영역에 모두

포함되어 있음에 유의하시기 바랍니다.



- 38 -

⑵ 2013~2017년 기출문제 분석

⑴ 최근 분석

위상수학의 최근 문제는 크게 두 가지로 분류할 수 있다. 하나는 적공간에서 위상적 성질을

묻는 문제와 다른 하나는 문맥 내에서 기저 혹은 국소기저의 개념을 이용하여 위상적 성질을

묻는 문제 등이다. 위상수학의 문제는 크게 위상적 성질을 묻는 문제로 기존의 문제가 반복적으

로 출제되고 있는 과목이다. 여기서 중요한 것은 위상적 성질보다 위상을 이해하고 있는지를 묻

는 문제가 되어 있음에 유의해야 한다.

⑵ 2012~2017년 문제 내용

① 2013년

⋅ 상집합과 가산집합(집합론)

⋅ 적공간에서 연속사상 조밀부분집합, 컴팩트 공간

⋅ 내부

⋅ 보통위상공간에서 연결공간, 연결성분, 연속사상

② 2014년

⋅ 여유한 위상공간에서 불연속점의 개수

⋅ 적공간에서 폐포, 내부, 경계 등

⋅ 여유한 위상공간을 이용한 컴팩트 집합

③ 2015년

⋅ 국소기저를 이용한 도집합

⋅ 여유한 위상공간과 연속함수를 이용한 연결성분

④ 2016년

⋅ 적공간에서 내부, 폐포, 경계

⑤ 2017

⋅ 평면에서 거리함수를 이용한 폐포와 컴팩트 집합



- 39 -

⑶ 위상수학의 조직도

집합 개념

위상 공간

연결 공간컴팩트 공간분리 공간

거리 공간연속 사상수렴성



- 40 -


(서술형) 좌표평면 에서 거리함수(metric, distance function) × → 는

max ≠ 이다. 에 의해 유도된 상의 거리위상(metric topology)을 라 하자. 위상공간 의

부분집합 ∈ 의 폐포(closure) 를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한

에서 콤팩트(compact)인 무한 부분집합 의 예를 하나 제시하시오. (단, 에

대하여 이고 max 는 와 중 작지 않은 수이다.) [4점]

정답 및 해설 : ㈎ ∪ ′ ∈ ≤ ㈏

∈ 은 이상의 자연수 ∪

⑴ 임의의 원 ∈ 에 대하여 이다. 이제 로

놓으면 이고 임의의 ∈ 에 대하여 ≥ 이므로 ∉ 이

다. 따라서 이다. 즉, 는 열린집합이다. 따라서 ∉ ′ 이다.

(여기서 ′ 은 의 도집합이다.)

⑵ 이제 로 놓으면 임의의 양수 에 대하여 Archimedes의 정리에 의해서

인 이상의 자연수 이 존재한다. 따라서 ∩ ∅ 이다. 따라서 ∈ ′ 이다.

따라서 ∪ ′ ∈ ≤ 이다.

⑶ 위 ⑴과 ⑵에 의해서 ∈ 은 이상의 자연수 ∪ 로 놓으면 이상의

자연수 전체의 집합이 무한집합이므로 는 compact인 무한 부분집합이다.

실제로 를 의 개피복이라 하면 을 포함하는 열린집합 ∈ 가 존재하고 가

에 의해 유도된 상의 거리위상이므로 ∈ ⊂ 를 만족하는 양의 실수

이 존재한다. 또 Archimedes의 정리에 의해서 인 이상의 자연수 이 존재한다.

따라서 이 유한집합이므로 는 compact인 무한 부분집합이다.



- 41 -

7. 복소 함수론

⑴ 1996년 이후 복소 함수론 문항 분석


해석 함수 11 ⋅ 조화 함수, 조화공액 등

복소 적분 16 ⋅ 선적분, Green의 정리, 유수 정리, 복소 적분 등

최댓값 원리 4 ⋅ 리우빌의 정리, 최대값 원리 등

급수 3 ⋅ 급수의 극한, 테일러 정리, Laurent 급수 등

특이점 2 ⋅ 고립 특이점, 본질적 특이점 등

기타 4 ⋅ 항등 정리, Rouche의 정리, 실함수의 이상적분 등

<1996년 이후 복소함수론 문항 분석>

024681012141618

해석 함수 복소 적분 최댓값 원리 급수 특이점 기타

문항 수


항에 여러개의 영역을 묻는 문제가 포함되어 있고, 복소 적분의 경우 복소적분, Laurent 급수

등과 중복되어 있고, 특이점의 경우는 복소적분과 매우 밀접하게 연결되어 있으나 직접적인 문

제가 아닌 경우 특이점은 복소적분의 영역에 포함시켰다.



- 42 -

⑵ 2013~2017년 기출문제 분석

⑴ 최근 분석

복소 함수론의 최근 문제는 전 영역에 걸쳐 출제되고 있으나 크게 세 가지 영역에서 많은 문

제가 출제되고 있다. 첫째는 Cauchy-Riemann 방정식을 이용한 문제, 복소 적분의 문제와 응

용, Laurent 급수와 특이점을 이용한 문제 해결 등으로 볼 수 있다. 참고해야 할 것은 최근에

리우빌레의 문제가 출제되고 있지 않으나 항상 관심을 갖고 참고해야 할 것이다.

⑵ 2012~2017년 문제 내용

① 2013년

⋅ 정함수, Cauchy-Riemann의 방정식

⋅ 본질적 특이점

② 2014년

⋅ 복소적분과 해석적(논술형)

③ 2015년

⋅ 선적분

⋅ 실함수의 이상적분

④ 2016년

⋅ Taylor 급수 전개와 복소적분

⑤ 2017

⋅ Cauchy-Riemann의 방정식과 미분계수

⋅ 제거 나능한 특이점과 Laurent 급수



- 43 -

⑶ 복소함수론의 중요 이론

⋅ 복소수의 성질 및 복소함수의 성질

⋅ 조화함수의 성질 및 조화켤레 구하기

⋅ Cauchy-Riemann 방정식의 응용과 해석함수의 성질

⋅ 경로 적분 및 Cauchy의 적분공식

⋅ 유수정리와 유수정리의 응용

⋅ Laurent 급수와 고립특이점의 분류

⋅ 경로적분을 이용한 실함수 적분 구하기

⋅ 편각원리와 Rouche의 정리

⋅ 선형분수변환 및 여러 가지 변환


(기입형) 복소수 ( 는 실수)에 대한 함수

가 에서 해석적(analytic)이 되도록 하는 자연수 의 값과 이때의 ′의 값을 구하시오.

(단, 는 실숫값 함수이다.) [2점]

정답 및 해설 : ′ ⑴ 로 놓으면 Cauchy-Riemann의 방정식을 만족하므로

;

이다. 이고

≥ 이다. 또,

이므로

이다.

′ 이고

이므로 이다.

⑵ 또, ′

이다.



- 44 -

(서술형) 복소평면 의 영역 ∈ 에 대하여 함수 → 는 해석적

(analytic)이다. 임의의 ∈ 에 대하여 함수 가 부등식

≤ ln

를 만족시킨다. 은 함수 의 제거 가능 특이점(없앨 수 있는 특이점, removable

singular point)임을 보이고, 일 때,

의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

정답 및 해설 :

⑴ 을 중심으로 를 Laurent급수로 전개할 때

∞

∞

라 하면 임의의 양의 정수 에 대하여

∞

∞

이므로 유수정리에 의해서 이다. 즉,

이다. (여기서 이다.) 가정에 의해서

≤

≤

ln

ln

따라서 lim→ ln

이므로 이다. 즉,

lim→

이다. 따라서 은 함수 의 제거 가능 특이점이다.

⑵ 에서 ≤ ln

이고 가정에서 이므로 최댓값 원리에 의해

서 함수 는 에서 상수함수이고 ∈ 이므로

이다.



- 45 -

8. 미분기하학

⑴ 1996년 이후 미분기하학 문항 분석


곡선 14 ⋅ 곡률, 열률, 곡선의 길이, 사잇각 등

곡면 14⋅ 곡면적, Gauss 곡률, 법곡률, 주곡률, 측지 곡률, 교선의 방정식

등

<1996년 이후 미분기하학 문항 분석>

0

2

4

6

8

10

12

14

16

곡선 곡면

문항 수


항에 여러 개의 영역을 묻는 문제가 포함되어 있다.



- 46 -

⑵ 2013~2017년 기출문제 분석

⑴ 최근 분석

미분기하학은 단위 속력곡선의 곡률, 열률(비틀림), 곡선의 길이를 구하는 문제와 정칙곡면상

의 주곡률, 법곡률, 측지 곡률 등을 구하는 문제가 주를 이루고 있으며 이는 미분기하학의 주요

관심사와도 같다. 이와 같은 문제를 효율적으로 구하기 위하거나 이를 기초로 곡선의 길이, 곡

면적 등을 구하는 문제와 함께 회전면에서의 Gauss 곡률 등을 구하는 문제에 초점을 맞추어 학

습하면 효과적이다.

⑵ 2013~2017년 문제 내용

① 2013년

⋅ 곡률, 열률과 직교변환

⋅ 원환면에 대한 법곡률

② 2014년

⋅ 단위속력곡선에서 곡률과 열률(비틀림률)

⋅ 측지곡률의 합

③ 2015년

⋅ 합동(곡률과 열률)을 이용한 곡선 구하기

⋅ 주곡률을 이용한 법곡률 구하기

④ 2016년

⋅ 곡선의 길이

⋅ 측지선에서 주곡률을 이용한 곡률값 구하기

⑤ 2017

⋅ 곡선의 길이와 곡률

⋅ 매개변수의 표현과 측지곡률



- 47 -

⑶ 미분 기하학의 중요 이론

⋅ 곡률과 열률을 통한 공간곡선의 국소적 이론

⋅ 곡선의 대역적 이론

⋅ 곡면의 기본개념과 Gauss 곡률 및 평균곡률을 이용한 곡면의 국소적 이론

⋅ 곡면의 구조

⋅ Gauss-Bonnet 정리를 중심으로 곡면의 대역적 정리

즉, 곡면상의 적분, 측지곡률, Gauss-Bonnet 정리


(기입형) 원 유클리드 공간 의 한 평면에 있고 곡률(curvature)이 양인 단위속력곡선(unit

speed curve) → 에 대하여, 점 에서의 접선벡터(tangent vector)를 , 주법

선벡터(principal normal vector)를 라 하자. 곡선 → 을

로 정의할 때, 모든 양수 에 대하여 에서 까지 곡선 의 길이는 이다. 일

때, 곡선 의 곡률을 구하시오. [2점]

정답 및 해설 :

⑴ 가 평면에 있는 단위속력곡선이므로 열률 이고

이다. (여기서 는 종법선벡터이다.)

⑵ 이므로

′ ′ ′

이다. 따라서

′

이다. 따라서 에서 까지 곡선 의 길이는

′

이다. 따라서 ′

이므로

이다.



- 48 -

(서술형) 차원 유클리드 공간 에서 곡선 를 두 곡면

∈ ,

∈ 의 교선이라 하자. 아래 그림에서의 각 를 매개변수로 하는 곡선 →

의 매개변수표현(parametrized representation) 를 하나 구하시오. 또한 곡면 위에 놓인

곡선으로서 의 점 에서의 측지곡률(geodesic curvature)의 절댓값을 풀이 과정과 함

께 쓰시오. [4점]

정답 및 해설 : ⑴ cos sin sin ⑵

⑴ 가 평면상에서 이므로 cos sin 로 놓으면 ∩ 이므

로 에서 cos sin cos sin

이다. 따

라서 cos sin sin 이다.

⑵ 의 점 는 일 때이다.

′ sin cos cos , ″ cos sin

sin

이므로 ′ , ″ 이므로

′ × ′′

이다. 따라서 곡률 ′ ′ × ′′

이다. 또, 이 반지름이 인 구면이므로

법곡률

이다. 따라서 측지곡률 에 대하여

이다. 따라서

이다.



- 49 -

9. 확률⋅통계

⑴ 1996년 이후 확률⋅통계 문항 분석


확률 6 ⋅ 확률, 조건부 확률, 독립 등

확률변수 14 ⋅ 기댓값, 분산, 적률 생성함수, 이항분포, 정규분포, -분포 등

결합확률 10⋅ 주변확률분포, 조건부 확률 분포의 기댓값, 분산, 공분산, 상관관

계, 독립 등

통계적 추정 1 ⋅ 가설 추정

<1996년 이후 확률⋅통계 문항 분석>

0

2

4

6

8

10

12

14

16

확률 확률변수 결합확률 통계적 추정

문항 수


항에 여러 개의 영역을 묻는 문제가 포함되어 있다.



- 50 -

⑵ 2013~2017년 기출문제 분석

⑴ 최근 분석

확률과 통계는 독립시행에서 확률을 구하는 문제, 결합 확률밀도함수에서 조건부 기댓값, 주

변 확률밀도함수를 이용하여 결합 확률밀도함수를 구하는 문제를 구하는 문제 등이 지속적으로

출제되고 있다. 확률 문제는 2문제가 출제되고 있으며 결합관계와 이산 확률분포 등을 이용한

문제 등이 지속적으로 출제되고 있으나 통계적 추정에 대하여서도 지속적으로 관심을 갖고 학

습해야 할 것이다.

⑵ 2013~2017년 문제 내용

① 2013년

⋅ 독립시행에서 확률을 구하는 문제

⋅ 확률밀도함수에서 기댓값 구하는 문제

⋅ 신뢰구간

② 2014년

⋅ 이항분포를 이용하여 확률을 구하는 문제

⋅ 조건부 확률 밀도함수와 조건부 기댓값 구하는 문제

③ 2015년

⋅ 종속관계, 평균, 분산을 이용하여 종속관계의 확률을 구하는 문제

⋅ 주변확률밀도함수를 이용하여 확률을 구하는 문제

④ 2016년

⋅ 이산확률 분포에서 확률값이 주어졌을 때 횟수를 구하는 문제


⑤ 2017


⋅ 균등분포와 이변수 확률분포 함수와 평균값 구하는 문제



- 51 -

⑶ 확률과 통계의 중요 이론

⋅ 확률의 뜻과 성질, 확률의 계산, 독립 등

⋅ 확률 변수와 확률 분포에서 기댓값, 분산, 적률 생성함수

⋅ 여러 가지 확률 분포에서 이산 확률 분포, 연속 확률 분포, 결합 확률 분포 등에서

조건부 확률, 주변 밀도함수 등

⋅ 통계적 추정과 가설 검정 등


(기입형) 연속확률변수 의 확률밀도함수(probability density function) 는

이다. 와 같은 분포를 따르고 서로 독립인 개 연속확률변수 에 대하여

min 일 때, 확률 를 구하시오.

(단, min 는 와 중 크지 않은 수이다.)

정답 및 해설 :

⑴ 연속확률변수 가 서로 독립이므로

이다.

⑵

∞

이다.

⑶ 따라서

이다.



- 52 -

(서술형) 두 연속확률변수 는 서로 독립이고 각각 구간 에서 균등분포(uniform

distribution)를 따른다. 확률변수 의 확률밀도함수(probability density function)

와 평균 를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

정답 및 해설 :

⑴ 의 누적 분포함수 는 다음과 같다.

≤

≤

이다. 따라서

′

≤

이다.

⑵ 따라서

이다.

⑶ 참고



- 53 -

9. 확률⋅통계

⑴ 1996년 이후 확률⋅통계 문항 분석


심리학 36 ⋅ 수학 교육 심리학

수리철학 13 ⋅ 수리 철학

교육과정 23⋅ 교육과정과 개정안, NCTM, 수학과의 특성, 수학교육의 목적,

수학교육의 발달, 기술공학 등

문제 해결 31 ⋅ 문제 해결 방법, 문제 제기, 수학적 모델링, 문제 해결 전략 등

교수⋅학습 47⋅ 교수⋅ 학습에 관련된 전반적인 문제, 수학사, 오개념,

교수학적 현상, 프로이덴탈, 반힐레 등

평가 15 ⋅ 평가

<1996년 이후 교과 교육론 문항 분석>

05101520253035404550

심리학 수리철학 교육과정 문제 해결 교수�敤敱ﾐസ 평가

문항 수


항에 여러 개의 영역을 묻는 문제가 포함되어 있다. 또, 논술형의 경우 교육과정, 수학교육 심

리, 문제해결, 교수⋅학습 방법, 평가 등이 포함된 경우 모든 영역에 포함되었음을 알려드립니

다.



- 54 -

⑵ 2013~2017년 기출문제 분석

⑴ 최근 분석

교과 교육론은 수학 교육심리학, 문제해결, 교육 과정, 교수학습 방법, 수리철학(오류주의) 등

을 배경 교육과정에서 제시된 내용을 어떻게 지도 할 것인가, 평가, 교수학습 상의 유의점, 오

류 등을 묻는 복합적인 문제로 출제되고 있습니다. 최근의 기출문제는 전 영역에서 고르게 출제

되는 경향이 있으며, 수학교육학 신론, 수학교육과정과 교재연구, 교사용 지도서 등을 반드시

학습해야 함에 유의하세요.

⑵ 2015~2017년 문제 내용

객관식 기출문제는 너무 많은 관계로 서술형, 논술형의 문제만을 제시하였습니다.

① 2015년

⋅ Dienes의 지각적 다양성의 원리

⋅ Lakatos의 준경험주의 관점에서 지식의 성장

⋅ 추론의 특성과 근거 제시

⋅ 순환소수를 배경으로 “교수⋅ 학습상의 유의점”

⋅ Freudenthal의 사고실험

② 2016년

⋅ 수학화와 수학적 모델링

⋅ 역사⋅발생적 원리

⋅ 평가(분석적 점수화 채점 방법)

⋅ Bruner의 발견학습, 극단적인 교수학적 현상

⋅ (논술형) - 폴리아, 반힐레, 교육과정(교수⋅ 학습 방법) 등

③ 2017년

⋅ 분석법과 종합법

⋅ 투키(Tukey)의 탐색적 자료 분석의 관점에서 지도 내용

⋅ 추론의 유형과 분석적 채점

⋅ Dienes의 수학적 다양성의 원리와 Freudenthal의 국소적 조직화

⋅ (논술형) - 크라벤담의 질적, 양적 접근, 폴리아, 극단적인 교수학적 현상, 교육과정(교수

⋅ 학습 방법에서의 유의점) 등



- 55 -

⑶ 꼭 읽어야 할 교재

⋅ 수학교육학 신론(문음사) - 가능한 최신판

⋅ 수학교육 과정과 교재연구(경문사) - 가능한 최신판

⋅ 교사용 지도서


(기입형) 다음은 중학교 1~3학년군 기하 영역의 작도와 합동단원 수업의 일부이다.

김 교사 : 지금까지 삼각형의 합동 조건을 배웠습니다. 이제 삼각형의 합동 조건을 이용하여

다음을 설명해 봅시다.

사각형 에서

일 때,

삼각형 와 삼각형 가

합동임을 설명하시오.

(김 교사는 위 문제에서 두 삼각형이 합동임을 연역적으로 설명한다.) ⋯⋯ ①

학생 A : ∠ ∠ ∠ ∠ 이고 변 가 공통이라는 조건을 어떻게 찾

았는지 궁금합니다.

김 교사 : 좋은 질문입니다. 위의 문제는 삼각형 와 삼각형 가 합동임을 보이는

것입니다. ㉠ 이런 문제를 만났을 때 우선 이 두 삼각형이 합동이 된다고 생각하

고, 합동이 되기 위해서는 어떤 조건을 만족해야 하는지를 찾아봅시다.

학생 B : 그림에서 변 가 공통이니까 ∠ ∠ ∠ ∠ 이어야 할 것

같아요.

김 교사 : 잘 찾았어요. 그리고 그 양 끝각의 크기가 각각 같기 위해서는 두 대변이 평행이

어야 합니다. 이것은 문제에서 조건으로 주어져 있습니다. ㉡ 문제에 대한 ①의

설명에서는 문제에서 주어진 조건과 찾아낸 세 조건을 이용하여 두 삼각형이 합동

임을 보이고 있습니다.

⋯ (하략)⋯

김 교사는 ㉠에서 풀이 계획을 발견하는 방법을 설명하고, ㉡에서 그 계획을 실행하는 방법을

설명하고 있다. ㉠과 ㉡에 해당하는 방법을 순서대로 쓰시오. [2점]

정답 및 해설 : ㉠은 분석법 ㉡은 종합법



- 56 -

(서술형 1) 다음은 투키(J. Tukey)가 제안한 탐색적 자료 분석의 관점을 적용한 중학교 3학년 통계

영역 수업의 일부이다.

김 교사 : 지난 시간에 우리가 사는 지역의 환경 보전을 위하여 탄소 배출량 줄이기 프로젝트를

수행하기로 결정하였습니다. 프로젝트의 자료를 수집하기 위하여 전체 학생 명중

명을 대상으로 설문조사를 실시하였고 수집한 자료를 다음 표와 같이 정리하였습

니다. 이 표를 이용하여 우리 지역 탄소 배출량 자료의 특징을 알아봅시다.

학생 A : 이 표만으로는 자료의 특징을 찾기 어렵습니다.

김 교사 : 어떻게 하면 자료의 특징을 알 수 있을지 함께 생각해봅시다.

학생 B : 저는 평균으로 자료의 특징을 찾아보려고 합니다.

김 교사 : 평균과 같은 대푯값을 구해보는 것도 좋은 생각입니다. 이와 같이 수치로 나타내는

방법이외에도 자료의 특징을 쉽게 파악할 수 있는 다른 방법은 ( ㉠ ).

학생 B : 평균으로 자료의 특징을 찾아보려고 표를 살펴보니 빈칸이 하나 있고 번의 탄소

배출량은 소수점이 잘못 표시되어 있는 것 같습니다. 이런 경우에도 평균을 이용해도

될지 궁금합니다.

김 교사 : 좋은 질문입니다. 이와 같이 평균을 이용하기 어려운 상황에서는( ㉡ ).

⋯ (하략) ⋯

탐색적 자료분석의 관점에서 괄호안의 ㉠과 ㉡에 김 교사가 제시할 수 있는 지도 내용을 각각

쓰시오. 그리고 탐색적 자료 분석의 관점에서 ㉠과 ㉡의 지도내용이 적절한 이유를 서술하시오.

[4점]



- 57 -

정답 및 해설 :

⑴ 탐색적 자료 분석(영어: Exploratory data analysis)은 존 튜키라는 미국의 저명한 통계학자가

창안한 자료 분석 방법론이다. 기존의 통계학이 정보의 추출에서 가설 검정 등에 치우쳐 자료가

가지고 있는 본연의 의미를 찾는데 어려움이 있어 이를 보완하고자 주어진 자료만 가지고도 충

분한 정보를 찾을 수 있도록 여러 가지 탐색적 자료 분석 방법을 개발하였다.

⑵ ㉠에는 자료를 그래프로 자료의 특징을 찾아보는 방법을 지도 내용으로 제시할 수 있다. 이는

다양한 해석을 가능하게 할 수 있으므로 탐색적 자료 분석의 관점에서 적절하다.

㉡에는 중앙값을 이용하는 지도 내용을 제시할 수 있다. 번의 탄소 배출량의 소수점이 잘못

표시될 경우 평균은 큰 영향을 받을 수 있으나 중앙값은 상대적으로 큰 영향을 받지 않으므로

탐색적 자료 분석의 관점에서 적절하다.



- 58 -

(서술형 2) 고등학교 확률과 통계의 순열과 조합 단원 수업에서 학생의 추론 능력을 평가하기 위하

여 서술형 평가를 실시하였다. 다음은 박 교사가 실시한 평가 문항과 채점 기준표, 그리고 이

평가 문항에 대한 한 학생의 답안이다.

㈎ 평가 문항과 채점 기준표

⋅ 평가 문항

다음 등식의 참, 거짓을 판단하고 그 이유를 설명하시오. [4점]

⋯

⋅ 채점 기준표

점수 채점 기준

-일반성을 보장하는 추론 유형을 사용하여 참이라고 판단한 경우

-일반성을 보장하는 추론 유형을 사용하였으나 사소한 오류로 인해 거

짓이라고 판단한 경우

-일반성을 보장할 수 없는 추론 유형을 사용하여 참이라고 판단한 경우

-추론 과정에 대한 서술 없이 참이라고 판단한 경우

-그 외의 경우

㈏ 학생의 답안

일 때,

일 때,

일 때,

따라서 이 등식은 참이다.

위 ㈏ 학생의 답안에 나타난 추론의 유형을 쓰고, 그 유형의 특성을 설명하시오. 그리고 ㈎의

채점 기준표에 근거하여 위 학생의 답안을 채점한 점수를 쓰고, 학생의 추론적 사고가 가진 제

한점을 보완할 수 있는 지도 방안을 가지 서술하시오. [4점]



- 59 -

정답 및 해설 :

⑴ 귀납추론 : 귀납추론은 실험, 관찰 등을 통한 개개의 특수사실을 토대로 하여 그 사실 전체에

적용되는 일반화 원리를 이끌어 내는 원리이다. 귀납추론은 발견의 중요한 도구이나 오류이 가

능성을 가지고 있다.

⑵ 학생의 답안은 일반성을 보장할 수 없는 추론 유형을 사용하여 참이라고 판단한 경우이므로

채점 기준표에 근거하여 점을 주는 것이 옳다.

⑶ 이를 보완할 수 있는 방법은 현행 교육과정(2009 개정 교육과정)에서는 “수 Ⅱ”에 나오는 수

학적 귀납법의 원리를 적용하여 지도하는 것이 옳다. 수학적 귀납법의 원리는 귀납 추론에 의해

서 얻어진 명제가 참임을 보증할 수 있는 연역적 방법이므로 귀납 추론에 의해 얻어진 “일반

성”을 보완해 줄 수 있다.



- 60 -

(서술형 3) 다음은 김 교사가 딘즈(Z. Dienes)의 수학 학습 이론과 프로이덴탈(H. Freudenthal)의

수학화 교수⋅학습론을 반영하여 작성한 수업 계획의 일부이다.

학습 목표 삼각형의 외심의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.

교수⋅학습

방법협력 학습

교실 환경 컴퓨터, 빔 프로젝터

준비물 삼각형 모양의 색종이, 자, 컴퍼스

교수⋅학습

활동 순서

⑴ 종이 접기를 이용하여 ‘삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.’

는 것을 확인하게 한다.

⑵ 탐구형 소프트웨어를 이용하여 삼각형의 모양을 다양하게 변화시키면서 ⑴에

서 찾은 성질이 성립함을 보여준다.

⑶ 지난 시간에 학습한 선분의 수직이등분선의 성질을 이용하여 다음 순서로 삼

각형의 외심의 성질을 확인 하게한다.

① 삼각형 에서두 변 의 수직이등분선을 그리시오.

② 두 수직이등분선의 교점을 표시하시오.

③ 변 의 수직이등분선을 그리시오.

④ 변 의 수직이등분선이 어디를 지나는지 확인하시오.

⑷ 모둠 토론을 통하여 삼각형의 외심의 성질에 대하여 형식적인 정당화를 하게

한다.

⑸ 모둠별 토론 결과를 발표하게 한다.

딘즈의 수학적 다양성의 원리를 위의 계획된 수업 상황과 관련지어 설명하시오. 그리고 프로이

덴탈의 국소적 조직화가 수학 교수⋅학습에서 갖는 의의 가지를 위의 계획된 수업 상황과 관

련지어 서술하시오. [4점]



- 61 -

정답 및 해설 :

⑴ 수학적 다양성의 원리 : 수학적 개념은 보통 몇 개의 변인을 포함하고, 개념을 구성하는 변인

은 변화하지만 이 변인들 사이의 항구적인 관계가 수학적 개념이다. 개념의 성장을 돕기 위해

구조화된 경험을 제공하려면, 개념은 변하지 않게 유지하면서 가능한 한 많은 변인을 변화시켜

야 한다는 것이다.

교수⋅학습 활동 순서에서 ⑶~⑸의 내용을 살펴보면

① 본질적인 개념은 ‘삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.’이다.

② ⑵에서 삼각형의 모양을 다양하게 변화시킨다.

와 같이 “항구적인 관계”는 유지하면서 변인(삼각형)을 다양화 시킨다는 점에서 딘즈의 수학적

다양성의 원리를 잘 적용하고 있다.

⑵ 프로이덴탈의 국소적 조직화

교수⋅학습 활동 순서에서 ⑴~⑸의 내용을 살펴보면

① ⑵와 ⑶의 활동은 삼각형의 외심의 성질을 ‘국소적으로 조직’하는 과정이고

② ⑷의 토론 과정을 통해 국소적으로 조직한 ‘삼각형의 외심’의 성질에 대한 정당화의 필요

성을 인식하게 하고, 정당화함을 지도한다.

와 같이 비 본질적인 요소를 제거해 나간다(정당화)는 측면에서 국소적 조직화를 잘 적용하고

있다고 할 수 있다.

현실 세계

개념 추출⋅반성 현실에의 응용

추상화⋅형식화

응용적 수직화 수직적 수직화

수평적 수직화피드백

수학화



- 62 -

(논술형) 2015 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정의 중학교 함수 영역에서는 함수 개념을 도

입하기 전에 다양한 상황을 그래프로 나타내고 해석하는 것을 다루도록 하고 있다. 이에 두 예

비 교사 A와 B는 함수 그래프 지도 이론과 기존의 교과서 자료를 이용하여 함수 영역에 추가된

성취기준에 대한 수업을 설계해 보았다.

다음은 설계한 수업의 [학습 목표], [㈎ 예비 교사 A의 활동지], [㈏ 예비 교사 B의 활동지]이

다. 두 활동지 ㈎와 ㈏에 기초하여 그래프 지도 방식을 비교하고, ㈎와 ㈏를 이용하여 수학 수

업을 실행하기 위해 수업 장면에서 교사가 살펴보아야 할 사항을 <작성 방법>에 따라 논술하시

오. [10점]

[학습 목표]

학습 목표(성취기준) : 다양한 상황을 그래프로 나타내고, 주어진 그래프를 해석할 수 있다.

[㈎ 예비 교사 A의 활동지]

※ 그림과 같은 개의 용기에 일정한 속도로 물을 따른다고 할 때, 물음에 답하시오.

㈀㈁㈂

1. 각 용기에 물을 채울 때 시간에 따라 변하는 물의 높이를 대략적인 그래프 개형으로 나타내

어 보시오.

2. 그래프를 보고 시간에 따른 물의 높이의 변화를 설명하시오.



- 63 -

[㈏ 예비 교사 B의 활동지]

1. 분에 씩 일정한 속도로 물이 나오는 수도꼭지에서 물통에 물을 받고 있다. 물을 받는 시

간을 (분), 받은 물의 양을 라 할 때, 다음 표를 완성하시오.

(분) 1 2 3 4 5

2. 위의 표를 이용하여 다음 좌표평면 위에 그래프를 그리시오.

3. 위의 그래프를 보고 받은 물의 양의 변화를 설명하시오.



- 64 -

○ 크라벤담(H. Krabbendam)의 질적 접근과 양적 접근의 관점에서 그래프 지도 방식을 비교하

여 제시할 것.

○ 폴리아(G. Polya)의 문제해결 이론에 근거하여 ㈎와 ㈏의 문제를 해결하는 반성 단계에서 적

절한 교사의 공통 발문 가지와 그 발문이 적절한 이유를 제시할 것.

○ ㈎와 ㈏를 이용하는 수업 장면에서 주의해야 할 극단적인 교수학적 현상을 수업 상황과 관

련지어 각각 가지씩 다르게 제시할 것.

○ 중학교 함수 영역의 그래프에 대한 교수⋅학습 방법에서 유의해야 할 사항을 2015 개정 교

육과정에 따른 수학과 교육과정에 근거하여 제시할 것.

○ 서론, 본론, 결론의 형식을 갖출 것.

<작성 방법>

정답 및 해설 :

크라벤담에 따르면 그래프 지도 방식은 수량화 하지 않은 상태로 개략적으로 표현하고 설

명하는 질적 접근방식과 정확한 수치를 표로 나태낸 후 좌표평면에 정확하게 그림으로써 변화

의 특징을 설명하는 양적 접근방식으로 나눌 수 있다. 이와 같은 관점에서 볼 때, 예비 교사 A

는 질적 접근방식을 택하고 있고, 예비 교사 B는 양적 접근 방식을 택하였다. 그러나 한 방식만

을 지나치게 강조하다 보면 여러 가지 극단적인 문제가 발생할 수 있다. 이와 같은 문제를 해결

하는 방법으로 폴리아의 “권고와 발문”을 적절하게 사용하는 것이 효과적일 것이다.

폴리아의 문제해결 과정 중 반성의 단계는 한 가지 방법만을 사용했을 때 나타날 수 있는

문제 이를 테면 그래프를 개략적으로만 그리려 한다든지 혹은 그래프의 개형을 그리지 못하고

구체적인 변화를 수치만을 사용하여 구하려 하는 문제가 발생될 수 있다. 이와 같은 문제를 해

결하는 데 폴리아의 반성을 적절하게 사용하면 효과적으로 편협한 사고를 해소하고 다양한 관

점, 방법 등을 이해하는데 효과적이다. 반성의 단계에서 예비교사 A와 예비 교사 B가 공통적으

로 할 수 있는 발문으로는 “다른 방법을 이용하여 결과를 얻을 수 있는가?”이다. 이는 질적 접

근만을 사용한 학생들에게 양적 접근 방법을 생각할 수 있는 기회를 제공할 수 있고 반대로 양

적 접근만을 사용한 학생들에게 질적 접근 방법을 생각할 기회를 제공한다는 측면에서 매우 효

과적인 발문이라 할 수 있다.



- 65 -

㈎와 같은 방법을 지나치게 강조하다 보면 메타인지 이동이 발생할 수 있다. 즉, 용기 혹은

용기에 물을 따르는 활동에 집중하여 목적인 그래프를 보고 시간에 따른 물의 높이의 변화를

이해하는 데 문제가 될 수 있다. ㈏와 같은 방법만을 지나치게 강조하다 보면 형식적 고착화가

발생할 수 있다. 즉, 비례관계에만 집중하여 표를 완성하고, 좌표평면 위에 그래프를 그리는 활

동은 성공적으로 이끌어 낼 수 있으나 목적 중 하나인 물의 양의 변화를 설명하지 못할 수 있

다. 즉, 배경화/개인화에 실패하여 무엇을 하고 있는지 이해하지 못하고 그저 표 만들기와 그래

프그리기만 할 개연성이 높다.

2015 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정에서 중학교 함수 영역의 그래프에 대한 교수

⋅학습 방법에서 유의해야 할 사항

① 그래프는 증가와 감소, 주기적 변화 등을 쉽게 파악할 수 있게 해준다.

② 다양한 상황을 일상 언어, 표, 그래프, 식으로 나타내고 이들 사이의 상호 변환 활동을 하

게 한다.

와 연계하면 예비 교사 A는 ①의 내용에는 효과적이나 ②의 내용에 미흡하고 반대로 예비 교사

B는 ②의 내용에는 효과적이나 ①의 내용에 미흡하다. 따라서 이와 같은 문제를 해결하기 위하

여 폴리아의 반성의 단계를 적절하게 활용하여 미비점을 보완하여 지도해야 한다.



- 66 -

크라벤담(H. Krabbendam)의 질적 접근

함수를 표, 그래프, 식과 같이 표현하는 방식은 수치적인 특성이 있어서 어떤 함수 관계를

형식화하는 데 도움이 된다. 특히 그래프는 표와 식에 비하면 아주 정확하지는 않지만 전체적

인 개관을 통해 증가와 감소, 지수적 변화, 주기적 변화 등 함수의 특성을 쉽게 파악할 수 있

는 장점이 있다. 그래프를 지도하는 방식은 두 가지 기준에 따라 분류할 수 있다.

⑴ 그래프를 읽거나 그릴 때 공간에 초점을 어디에 두느냐 하는 것이다. 이에 따라 점별 접근,

국소적 접근, 전체적 접근으로 구분할 수 있다.(Freudenthal)

정 의 비고

점별 접근

⋅그래프를 해석할 때 한 점에만 초점을 맞추

는 것으로, 그 점에 해당되는 독립 변수에 대한

종속 변수의 값을 읽거나 그 점의 종속 변수에

해당되는 독립 변수의 값을 읽는 것을 의미한

다.

⋅ 이 그려져

있다면 이 그래프의 점

에 초점을 맞추어 일

때의 의 값을 일거나

일 때 의 값을 읽는 것을 의

미한다.

국소적 접근

⋅한 점이 아니라 한 점의 근방에서 그래프의

변화를 보는 것으로 증가와 감소, 양수와 음수,

연속, 극대와 극소, 기울기의 정도, 불연속인

점, 오목과 볼록 등의 성질을 읽는 것을 의미한

다.

⋅ 의 그래프

위의 점 의 근방에서는

함숫값이 모두 양수이고, 의

값이 조금 증가하면 값도 증

가하며, 불연속인 점은 없고,

아래로 볼록이라는 것을 알

수 있음을 의미한다.

전체적 접근

⋅국소적 접근과 달리 한 점의 근방에서 그래

프의 변화를 살펴보는 것이 아니라 어떤 구간이

나 전체 구간에 걸쳐 그래프를 해석하는 것으로

양의 구간, 음의 구간, 증가와 감소 구간, 연속

인 구간, 극대와 극소, 최대와 최소, 단조성, 주

기성 등의 성질을 읽는 것을 말한다.



- 67 -

⑵ 수치적인 값에 초점을 두는지 그렇지 않은지에 따르는 것으로 양적 접근과 질적 접근으로 구

분할 수 있다. (크라벤담(H. Krabbendam))

정 의

양적 접근⋅정확한 수치적 자료를 이용해서 좌표평면이나 좌표공간에 이를 정확하게 그림

으로써 변화의 특징을 설명하고 예측하는 것을 의미한다.

질적 접근

⋅산에 대한 그래프를 모양대로 그리고, 산의 경사의 변화, 정상 등을 전반적으

로 설명하는 것과 같이 어떤 상황을 수량화되지 않은 상태로 개략적으로 표현

하고 설명하는 것을 의미한다. 이는 개략적으로 전체적인 변화를 파악하는데

유용하다.

⋅예) 이산적인 변화 상황으로 운동장의 시간별 학생수를 조사해 보거나 연속적

인 변화 상황으로 식물의 성장을 관찰하게 하고 그 결과를 모눈종이나 좌표평

면 위에 그래프로 나타내보게 한 다음 그 그래프를 이야기로 설명하도록 유도

하는 것 등을 생각해 볼 수 있다.

⋅예) 식물의 성장 과정을 실측한 자료를 보고 ‘이 식물은 처음 4일 동안 자라지

않다가 그 다음 이틀 동안은 천천히 자라다가 좀 더 빨리 자라기 시작하다가

다시 천천히 자란다.’와 같이 전체적인 변화 상황을 개략적을 설명하는 것도

한 예이다.

그래프를 의미 있게 사용하려면 여러 가지 접근 방식의 통합이 필요하다.

그래프를 처음 다루는 단계에서는 좌표평면이나 모눈종이와 같은 고정된 틀이 제시되기 이전

에 비수치적이고 개략적인 형태의 그래프를 그려보고, 이를 해석하는 활동에 주목하는 질적인

접근으로 시작하고, 그 이후의 정교화 단계에서 수치적이고 좀 더 정확한 표현의 단계로 전환

하는 것이 바람직하다. 이러한 접근은 주어진 상황에 대한 정보에서 종속 관계나 대응 관계에

대한 개략적인 시각적 이미지인 그래프를 추측해보고, 좀 더 정교하게 표, 식, 그래프를 다룸으

로써 함수 현상에 대한 심도 있는 이해를 위해서 필요하다.



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Ⅴ. 학습전략

1. 1~2월 강의 계획

⑴ 내용정리반 - 정수론, 선형대수학, 현대대수학, 해석학, 위상수학, 복소함수론, 미분기하학 등

⑵ 교과 교육론 - 수학교육 심리학, 수리 철학, 교수⋅ 학습 방법, 문제 해결 방법 등

⑶ 현대대수학 단과 - 현대대수학(군/환)

내용 정리반 교과 교육론 현대대수학

시간수⋅ 목

10:00~16:00

금

10:00~13:00

토

10:00~16:00

진행방법

개념 설명 관련 예제 관련 이론 설명

관련 기출

비 고 강의 후 스터디 진행(복습 개념)

교 재카이 전공수학

(열린 교육)

수학교육학 신론,

프린트

현대대수학

(경문사 : 박승안 저)

개강일 1월 4일(수) 1월 6일(금) 1월 7일(토)

보 강휴강 : 1월 27, 28일 명절관계로 휴강

보강 : 추후 공지

☞ 1~2월 강좌의 대상

1~2월 강좌는 교사 임용시험을 처음 준비하는 예비 교사나 혹은 전공 등에 자신이 없는 예비

교사를 위한 강좌입니다.

☞ 1~2월 강좌의 특징

① 기본적인 개념과 기본적인 예를 중심으로 기초개념을 탄탄하게 할 수 있는 강좌입니다.

② 전공과 교과 교육론에 대한 배경적 지식을 쌓을 수 있는 강좌입니다.

③ 보고서(프린트로 제공)와 첨삭, 그리고 스터디를 통하여 문제 해결 능력과 이를 표현할 수

있는 의사소통능력(쓰기 등)을 향상



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2. 과목별 학습 전략

1~2 3~4 5~6 7~10

교과 교육론 신론 신론/지도서 기출분석수학교육과정과

교재연구/지도서

선형대수학 기초개념 심화개념 기출분석 ○

정수론 기초개념 심화개념 기출분석 ○

현대대수학 군, 환, 체 기출분석 ○

이산수학 ○ 기출분석 ○

해석학 기초개념 심화개념 기출분석 ○

복소함수론 기초개념 심화개념 기출분석 ○

위상수학 기초개념 심화개념 기출분석 ○

미분기하학 기초개념 심화개념 기출분석 ○

확률과 통계 ○ 기출분석 ○

미분적분학 ○ 기출분석 ○

교육학 교육심리 / 교육과정 / 교육 행정

⑴ 월별 전략적 접근

⑵ 기초 개념을 중심으로 이론적 접근(가능하면 배경적 지식을 습득)

⑶ 어렵고 복잡한 문제보다는 개념적이고 쉬운 문제를 중심으로 학습



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3. 전공 스터디 방법

(예시 문항) 각 자연수 에 대하여 함수 ∞ → ,

로 정의할 때 함

수열 의 극한함수 를 구하고, 또 함수열 의 균등(평등, 고른, 일양)수렴성을 설명하

시오.

(스터디 방법)

⑴ 함수열에서 점별수렴과 극한함수에 대하여 토의한다.

⑵ 위 문제에서 lim→∞

일 필요충분조건을 토의한다.

⑶ ⑵의 결과를 기초로 극한함수를 구한다.

⑷ 균등수렴성을 토의하고 위 문제와 관련하여 어떤 방법을 이용하는 것이 효과적인지 토의한다.

예를 들어 함수열의 연속성을 이용할 것인가, 적분가능성을 이용할 것인가, 미분가능성을 이용

할 것인가, 를 이용할 것인가, sup을 이용할 것인가 등을 토의하고 이 중 어느 방법이 가

장 효과적인지를 또, 그 이유 등을 설명한다.

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박문각임용고시학원 박문각임용고시온라인att.eduspa.com/EtcData/board/4498/2017년 이행래 전공수학 가이드.pdf · 이 행 래 전 공 수 학 ! " - 1 - 2018년