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Problemas Primera Unidad
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Esta imagen ilustra la visión de los autores de esta Unidad.
Material desarrollado porProf. Juan Víctor Retamal [email protected]. Carmen Saldivia Luongo [email protected]
Universidad Nacional Experimental del Táchira2011
Dos monedas reposan sobre una mesa, con una separación de 1.5 m y contienen
cargas idénticas, ¿De qué magnitud es la carga en cada una si una de las monedas
experimenta una fuerza de magnitud 2 N?
R: q = 2 10-5 C
En el problema anterior, Sí la separación entre las monedas es de 1.5 m y se
encuentran dentro de una tina de agua. ¿Cuánto vale la carga si la constante
dieléctrica es aproximadamente 80?
R: q = 2 10-4 C
Un núcleo de helio tiene una carga +2e y uno de neón de +10e, donde e es el
quantum de carga 1.6 10-19 C. Encuéntrese la fuerza de repulsión ejercida sobre
cada uno de ellos debido al otro, cuando se encuentran apartados 3.0 nm.
Considérese que se encuentran en el vacío.
R: F = 0.51 nN
En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón circunda a un protón en
una órbita de radio 5.3 10-11 m. La atracción del protón por el electrón aporta la
fuerza centrípeta para mantener al electrón en la órbita. Encuéntrese
a) La fuerza de atracción eléctrica entre las partículas
b) La rapidez del electrón.
R: F=82 nN; v=2.2 106 m/s
Tres cargas puntuales se colocan sobre el eje x como muestra la figura.
Determínese la fuerza neta sobre la carga de -5μC ocasionada por las otras dos
cargas.
R: F=0.6 N
Determínese la razón de La fuerza eléctrica de Coulomb Fe a la fuerza
gravitacional de Newton Fg entre dos electrones en el vacío.
R: Fe/Fg = 4.2 1042
La figura muestra dos esferas idénticas en equilibrio, cada una de masa 0.1 10-3
kg, portan cargas iguales y están suspendidas por un hilo de igual longitud.
Encuéntrese la carga de cada esfera.
R: q=0.1 μC
Las cargas de la figura son estacionarias. Encuéntrese la fuerza ejercida sobre la
carga de 4 μC, debida a las otras dos cargas.
R: Fx=-0.45 N; Fy=3.9 N
Dos cargas están colocadas sobre el eje x: +3.0 μC en x=0 y -5.0 μC en x=0.4 m
¿Dónde debe colocarse una tercera carga q si la fuerza resultante sobre ésta debe
ser cero?
R: x=1.4 m
¿Cuántos electrones están contenidos en una carga de 1.0 C? ¿Cuál es la masa
de los electrones en 1.0 C de carga?
R: n=6.2 1018 electrones; m=5.7 10-12 kg
Si dos cargas iguales de 1 C están separadas en el aire por una distancia de 1 km
¿Cuál sería la fuerza entre ellas?
R: 9 kN
Determínese la fuerza entre dos electrones libres separados 1.0 angstrom.
R: 23 nN
¿Cuál es la fuerza de repulsión entre dos núcleos de argón que están separados
por una distancia de 1.0 nm. La carga del núcleo de argón es de 18e.
R: 75 nN
Dos esferas igualmente cargadas están separadas por una distancia de 3 10-2 m
en el aire y se repelen con una fuerza de 40 μN. Calcúlese la carga de cada
esfera.
R: 2 nC
Tres cargas puntuales se colocan sobre el eje X: +2.0 μC en x=0, -3.0 μC en x=0.4
m, y -5.0 μC en x=1.2 m. Encuéntrese la fuerza:
a) sobre la carga de -3.0 μC
b) sobre la carga de -5.0 μC
R: +0.55 N; 0.15 N
Cuatro cargas puntuales iguales de +3.0 μC se colocan en los cuatro vértices de
un cuadrado cuyo lado es de 0.4 m. Determínese el tamaño de la fuerza sobre una
de las cargas
R: 0.97 N
Cuatro cargas puntuales de igual magnitud 3.0 μC, se colocan en los vértices de
un cuadrado de 0.4 m de lado. Dos, diagonalmente opuestas, son positivas y las
otras dos son negativas. Determínese la magnitud de la fuerza sobre una de las
cargas negativas
R: 0.46 N
Cargas de +2.0; +3.0 y -8.0 μC se colocan en los vértices de un triángulo
equilátero cuyo lado es de 0.1 m. Calcúlese la magnitud de la fuerza que actúa
sobre la carga de -8.0 μC debida a las otras dos cargas
R: 31 N
Una carga de +5.0 μC es colocada en x=0 y una segunda carga de +7.0 μC en x=1
m ¿Dónde debe colocarse una tercera carga para que la fuerza neta debida a las
otras dos sea cero?
R: x=0.46 m
Dos diminutas esferas metálicas idénticas portan cargas de +3 nC y -12 nC.
Calcúlese:
a) La fuerza de atracción, si las esferas están separadas 0.03 m
b) La fuerza de repulsión, si las esferas se juntan y después se separan a 0.03 m
R: 4 10-4 N; 2 10-4 N
Tres cargas puntuales de q=3 [µC] se localizan en los puntos (-2 ; 5), (1 ;
5), (9 ; -5). Determinar cuál es la fuerza neta ejercida sobre una cuarta
carga de -5 [µC] ubicada en (1 ; 1)
q1 q2
q3
-q4
+Q4
41F
-q1
-q3
+Q2
43F
42F
xF42
yF42
yyxx
yx
FFFFFF
FF
42414243
00
243
241
2
20
2
242
2
20
2
242
.
.
2
2
2
.45
)2(
.
2
2
2
.45cos
)2(
.
L
qQKF
L
qQKF
L
QQKsen
L
QQKF
L
QQK
L
QQKF
y
x
02
2
2
..2
2
2 L
QQK
L
qQK q
qQ 22
2
42
1. Se tiene un cuadrado de lado L en cuyos vértices se sitúan cargas
puntuales tal como se muestra en la figura. Determinar el valor de la
carga +Q para que la fuerza neta sobre la carga +Q4 sea cero.
1
2
3q
Q
Q
Q
x
y
q
Q
Q
Q
x
y
4
5
45o
Cinco carga iguales Q están igualmente espaciadas en un semicírculo de
radio R. Calcular la fuerza eléctrica que experimenta una carga q situada en
el centro del semicírculo.
iR
QqkF
R
Qqk
R
Qqk
R
QqkF
FFFF
r
r
oor
ˆ)(
)coscos(
12
2
2
2
2
4545
2
222
354
+2q4-q2
+q1 -2q3
a
a
P
¿Cuál es la magnitud y la dirección de E en el centro
del cuadrado en la figura?. Supóngase que q=1.0
10-8 [C] y que a = 0,05 [m].
jC
N10.018,1E
a
2q2K45cos
2
2a
q2KE
45cos
2
2a
qK45cos
2
2a
qK45cos
2
2a
q2K45cos
2
2a
q2KE
5r
2
0
2r
0
2
0
2
0
2
0
2r
1E
2E
3E
4E
21 EE
43 EE
Una carga de 3 C está distribuida uniformemente a lo largo de un hilo de 0,6
m de longitud. Calcular el campo eléctrico en un punto situado sobre su eje a
0,3 m de uno de sus extremos.
5 N ˆE 1 10 iC
9.0rx
dxdl
dldq
r
dqkdE
2
0.6 0.6
2 2 2
0 0
dx dx dxdE k E k E k
(0.9 x) (0.9 x) (0.9 x)
0.6
9 6
0
1 1 1E k E 9 10 5 10
0.9 x 0.3 0.9
rx0 0.6 0.9
Ed
Una barra delgada no conductora de longitud finita L, contiene una carga
positiva Q distribuida uniformemente. Determinar el campo eléctrico:
a) En un punto ubicado a una distancia a sobre la mediatriz perpendicular a
la barra
b) Producido por una barra delgada e infinitamente larga.
a
L
X
Ed
Y
x
θ
2
2 2
dqdE k
r
dq dl
dl dx
r x a
2222yy
ax
a
ax
dxkdEcosdEdE
32
y y2 2 2 22 2
dx a dxdE k dE k a
x a (x a )x a
LL 22
32
y y2 2 2 2 20 0
dx xE 2k a E 2k a
(x a ) a x a
r
y2 2
LE 2k
a L 4a 2 2
L ˆE 2k ja L 4a
Una barra delgada no conductora semi infinita, tiene una carga positiva
distribuida uniformemente en su longitud λ. Demuestre que el campo
eléctrico en el punto P de la figura forma un ángulo de 45° con la barra
independiente de la distancia a.
a
X
Ed
Y
x
θ
r
2 2
2
dqdE k dq dl dl dx r x a
r
sindEdEcosdEdE yx
32
y y y2 2 2 22 2
dx a dxdE dE cos dE k dE k a
(x a ) (x a )x a
32
x x x2 2 2 22 2
dx x xdxdE dEsin dE k dE k
(x a ) (x a )x a
32
y y y2 2 2 2 20 0
dx x kE k a E k a E
a(x a ) a x a
32
x x x2 2 2 20 0
xdx 1 kE k E k E
a(x a ) x a
R 2
dqdE k
R
x rdE dEsin dE dEcos
y r z rdE dE sin dE dE cos
θ
X
Yxy
z
r
R
dE
Φ
zdE
xdE
ydE
dq dx dy
R x y z
2 2 2r y a
2 2 2R x r
x y zdE dE dE dE
x y zˆ ˆ ˆdE dE i dE j dE k
2 2 2 2
y zsin cos
y z y z
2 2 2 2
x rsin cos
x r x r
Sigue
R x y z R z Rˆ ˆ ˆ ˆ ˆdE dE i dE j dE k dE dE k dE dEcos cos k
32
2 2
R R2 2 2 2 2 22 2 2 2 2
y zdx dy z k z dx dyˆdE k k dE(x y z ) (x y z )x y z y z
3 32 2
a a
R 2 2 2 2 2 2
a a 0
dy dyE k z dx 2k z dx
(x y z ) (x y z )
a a
R 2 22 2 2 2 2a 0
o
y 1E 2k z 4k z dx
(x z )(x z ) x y z
aa
1 1
R 2 2
0 0
1 1 x aE 4k z dx 4k z tg 4k tg
(x z ) z z z
1
R
a ˆE 4k tg kz
1.2 Un anillo de radio R tiene una densidad de carga lineal positiva y
uniforme. Calcule el campo eléctrico en un punto P situado sobre el
eje X.
dq
θ
R
Px
1dE1dE
2dE
2dE
2dEθ
1dEθ
dq
θ
Sigue
dE dE cos
2
dqdE k
r
2
dqdE k cos
r
xcos
r
2 2r R x
2 2 22 2
dq xdE k
R xR x
Q
3/ 2 02 2
kxE dq
R x
2 2 22 2
dq xE k
R xR x
Px
R
1.3 Un disco de radio R tiene una densidad de carga
superficial positiva y uniforme. Calcule el campo eléctrico
en un punto P situado sobre el eje X.
dE
dEdE
θ dE
dE
θ dE
θ
dq dA
dA 2 RdR2 2r R x dE dE cos
2
dqdE k
r
Sigue
dq dA
dA 2 RdR
dE dE cos
2
dqdE k
r
dq 2 RdR
2
dqdE k
rcos
2 2 2 2
2 RdR xdE k
(R x ) R x
2 2r R x
2 2
x
R xcos
2 2 2 2
2 RdR xE k
(R x ) R x2 2 3/ 2
2RdRE k x
(R x )
-Q
+Q
Una varilla de vidrio se dobla en forma de un semicírculo de radio R. En la mitad
superior se distribuye uniformemente una carga +Q, y en el inferior se distribuye
uniformemente una carga –Q, tal como se muestra en la figura. Determinar el campo
eléctrico en el punto P situado en el centro del semicírculo.
+Q
dq
dE
dq
dE
xdE
ydE
xdE
ydE
+Q
X
Y
P
ydE dEcos
2
kdqdE
r
dq dl
dl Rd
y 2
k RddE 2 cos
R
X
Y
P
/ 2
y0
2kE cos d
R
/ 2
y 0
2kE sen
R
2k ˆE jR
Un hemisferio hueco, no conductor de radio interno a, tiene una carga q, distribuida
uniformemente en su superficie interna. Determinar el campo eléctrico de su centro de
curvatura.
dq= dA
X
Y
Z
ydE dEsen2
kdqdE
r
dq dA dA 2 xds
dE
ds rd x rcos z r sen
y 2
k 2 r cos rddE sen
r
/ 2
y0
E k 2 sen cos d
/ 22
y 0E k sen
y
0
ˆE j4
a b
1
2
3
Se ubica una carga puntual positiva +q en el centro de un cascarón no conductor con carga -2q de
radio interno a y externo b. Determinar la expresión del campo eléctrico en las tres zonas indicadas.
Nota: Asuma la zona 2 a un radio equivalente de (a+b)/2
Para la superficie Gaussiana 1
2
30
2
2n
0
n
r4
qE
r4Aq2qqq
AdE
Para la superficie Gaussiana 3
2
10
2
1n
0
n
r4
qE
r4Aqqq
AdE
ab
1
2
3Para la superficie Gaussiana 2
n
0
(a b) / 2
2
n
a
(a b) / 2(a b) / 2 32
n n
a a
3 3
n
2
qE dA
q q .dV con dV 4 r dr
rq q 4 r dr q q 4
3
(a b) / 8 aq q 4
3 3
a bA 4 ( )
2
3 3
2
0
(a b) / 8 aq 4
3 3E
a b4 ( )
2
Campo de un cilindro largo cargado: Consideremos un cilindro infinito de radio
a, cargado con densidad uniforme .
E
A
Superficie
Gaussianar
a
Usando la ley de Gauss podemos encontrar el
campo en la superficie gaussiana indicada
2nn
0
2 2
0 0
qE dA q r L A 2 rL
a L aE E
2 rL 2r
Calcúlese:
a) La intensidad de campo eléctrico E en el aire a una distancia de 0.3 m de
una carga puntual q1=5.0 nC
b) La fuerza sobre una carga q2=0.4 nC colocada a 0.3 m de q1
c) la fuerza sobre la carga q3=-0.4 nC colocada a 0.3 m de q1 (en ausencia de
q2)
R: 0.5 kN/C; 0.2 μN; 0.2 μN
Para la situación que se muestra en la figura, encuéntrese:
a) la intensidad de campo eléctrico E en el punto P
b) la fuerza sobre una carga q3= -4.0 10-8 C colocada en el punto P
c) el lugar en donde el campo eléctrico será igual a cero (en ausencia de la
carga q3)
R: 9 105 N/C; -0.036 N; 0.1 m
Tres cargas están colocadas sobre vértices de un
cuadrado de lado 0.3 m, como se muestra en la figura.
¿Cuál sería la fuerza sobre una carga de 6 μC situada
en la esquina vacante?
R: 1.48 N a 118°
Sean dos placas metálicas en el vacío, separadas 0.15
m, como se muestra en la figura. El campo eléctrico
entre las placas es uniforme y tiene una intensidad
E=3000 N/C. Un electrón está en reposo en el punto P
justamente sobre la superficie de la placa negativa.
a) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la otra placa?
b) ¿Cuál será la rapidez a la que viajará exactamente
antes de chocar?
R: 2.4 10-8 s; 1.3 107 m/s
Supóngase que en la figura anterior que un electrón se dispara en línea recta
hacia arriba desde el punto P con una rapidez de 5 106 m/s ¿A qué distancia
sobre el punto A golpea la placa positiva?
R: 0.12 m
En la figura anterior un protón se dispara con una rapidez de 2.0 105 m/s
desde A hacia P ¿Cuál será su rapidez inmediatamente antes de golpear la
placa en el punto P?
R: 356 km/s
Dos diminutas esferas metálicas idénticas tienen cargas q1 y q2. La fuerza
repulsiva que una ejerce sobre la otra cuando están separadas 0.2 m es de
1.35 10-4 N. Posteriormente se tocan una a la otra y se vuelven a separar a
0.2 m, ahora la fuerza repulsiva es de 1.406 10-4 N. Determínese q1 y q2
R: q1=20 nC; q2=30 nC
En cierto punto del espacio una carga de +6.0 μC experimenta una fuerza de 2.0 mN
en la dirección +x.
a) ¿Cuál era el campo eléctrico en ese punto antes de que la carga se colocara?
b) Descríbase la fuerza que experimentará una carga de -2.0 μC si se situara en el
lugar de la carga de +6.0 μC?
R: 0.33 kN/C; 0.67 mN en la dirección -x
Una carga puntual de -3.0 10-5 C recoloca en el origen de coordenadas. Encuéntrese
el campo eléctrico en x=5.0 m
R: 11 kN/C en dirección -x
Cuatro cargas de 4.0 μC se colocan en las esquinas de un cuadrado de lado 0.2 m,
Determínese el campo eléctrico en el centro del cuadrado
a) sí todas las cargas son positivas
b) si los signos de las cargas se alternan alrededor del perímetro del cuadrado
c) si las cargas tienen la secuencia alrededor del cuadrado; más, más , menos, menos
R: cero; cero; 5.1 MN/C hacia el lado negativo
Una esfera de 0.2 g cuelga de un hilo en eun campo eléctrico de 3.0 kN/C
dirigido hacaia arriba. ¿Cuál es la carga de la esfera si la tensión en la cuerda
es:
a) cero
b) 4.0 N
R: +653 nC; -680 nC
Determínese la aceleración de un protón en un campo eléctrico de intensidad
0.5 kN/C ¿Cuántas veces es más grande esta aceleración que la debida a la
gravedad?
R: 4.8 1010 m/s2; 4.9 109
Una pequeña esfera de 0.6 g tiene una carga cuya magnitud es 8.0 μC. Está
suspendida por un hilo en un campo eléctrico de 300N/C dirigido hacia abajo
¿Cuál es la tensión en el hilo si la carga de la esfera:
a) positiva
b) negativa
R: 8.3 mN; 3.5 mN
La pequeña esfera que se encuentra en el extremo de un
hilo, como muestra la figura, tiene una masa de 0.6 g y está
en un campo eléctrico horizontal y uniforme de intensidad
700 N/C. Si se encuentra en equilibrio en la posición que se
muestra ¿Cuál es la magnitud y el signo de la carga de la
esfera?
R: -3.1 μC
Un electrón se proyecta en el eje de las x con rapidez inicial
de 3.0 106 m/s. Se mueve 0.45 m y se detiene debido a un
campo eléctrico uniforme en la región. Encuentre la magnitud
y dirección del campo.
R: 57 N/C en dirección +x
Una partícula de masa m y carga –e se proyecta con
velocidad horizontal v, en un campo eléctrico de intensidad E
dirigido hacia abajo. Encuentre:
a) las componentes horizontal y vertical de su aceleración
b) sus desplazamientos horizontal y vertical después de un
tiempo t
c) la ecuación de su trayectoria
R: ax=0, ay=Ee/m; x=vt, y=0.5ayt2; y=0.5(Ee/mv2)x2
Los protones de los rayos cósmicos inciden sobre la atmósfera de la tierra a
razón de 0,15 protones/cm2s. ¿Cuál es la tasa de carga por unidad de tiempo
que irradia la tierra en forma de protones de radiación cósmica?
La expresión para el cálculo de la superficie terrestre es 24 rS
Sustituyendo r por el radio promedio de la tierra 6,4 x 106 m.
Llevando la tasa de protones a protones/m2s, queda
smprotonesscmprotones22 /1500/15,0
Por lo tanto la tasa de carga por unidad de tiempo que recibe la tierra
proveniente del espacio es:
s
mxprotónCxsmprotonesq
)1014,5)(/106,1(/1500 214192
Por lo tanto C
q 0.1236s
21426 1014,5)104,6(4 mxxS
Se tienen dos partículas iguales de cargas
q y masa m en equilibrio, suspendidas de
hilos no conductores de longitud L , tal
como se muestra en la figura 19a.
Determine una expresión para la
separación horizontal x de las partículas.
Realizando un diagrama de cuerpo libre, se puede observar que para que la
partícula esté en equilibrio, la suma de las fuerzas debe ser igual a cero
(segunda Ley de Newton). En este caso, TFgm e
. Y por la geometría del
problema, la relación de triángulos semejantes da:
2
2
0
x
Fe x q2
L mg 2L 4 x mg, despejando
3
1
0
2
2 mg
Lqx
Un sistema está compuesto de cuatro cargas puntuales dispuestas sobre los
vértices de un cuadrado de lado a , tal como se muestra en la Fig. 20.
Determinar la fuerza resultante sobre la carga que está en el vértice inferior
izquierdo del cuadrado. La fuerza resultante sobre la partícula ubicada en la
esquina inferior izquierda vendrá dada por la suma de todas las fuerzas, de
donde: 4342414 FFFFR
Considerando un eje de coordenadas cartesianas convencional tenemos:
iFiFF xˆcosˆ
42434
jFjFF yˆsenˆ
42414
Reemplazando los valores de carga y distancias, y considerando que o45
ia
qKi
a
qKF x
ˆ2
2
2
2ˆ22
2
2
2
4
j
a
qKj
a
qKF y
ˆ2
2
2
2ˆ22
2
2
2
4
Por lo tanto la fuerza resultante sobre la partícula es:
2
4 2
q 2 ˆ ˆF K 2 i j2a
Una partícula cargada 0q y de masa m entra en un campo eléctrico
uniforme jEE ˆ0
con velocidad de 000 8.0,6.0 vvv
. Determine:
a) Altura máxima que alcanza la partícula.
b) Velocidad de la partícula al volver a la altura inicial.
c) Posición al llegar a su alcance horizontal máximo.
d) Describa la trayectoria que debería seguir la partícula.
Consideración 1:
Por definición de campo eléctrico jEqFEqF ˆ00
Según la segunda ley de Newton jm
EqaamF ˆ00
Consideración 2:
Ya que la aceleración es constante y vertical hacia abajo, entonces las
ecuaciones cinemáticas del movimiento son:
(1) tvx x0 (2) 2
002
1tavyy yy
(3) xx vv 0 (4) tavv yyy 0
Sigue
Consideración 3:
En el punto más alto de la trayectoria la componente vertical de la velocidad
es nula y solo existe componente horizontal, reemplazando en la ec. (4)
00
0máxmáx
000 8.08.00
Eq
mvtt
m
Eqv
sustituyendo en ec. (2)
(a) 00
2
00máx 32.0
Eq
mvhh
Consideración 4:
Dado que la partícula se mueve en un campo eléctrico uniforme, con
aceleración constante, la componente vertical de la velocidad será de igual
magnitud y de sentido contrario, a la componente vertical inicial de la
velocidad
(b) 00 8.0;6.0 vvv
Sigue
Consideración 5:
Para llegar al alcance horizontal máximo (R) la partícula debe subir y bajar en
el campo, luego el tiempo de subida y bajada son iguales máx2tt
Según la ec.(1)
00
2
0
00
000 96.08.06.02
Eq
mv
Eq
mvvRtvx x
(c) 0
00
2
0 ;96.0 hEq
mvr
Consideración 6:
La ecuación de la trayectoria xfy la podemos obtener de la composición
de las ec. (1) y (2)
2
2
0
0002
0
2
00
0
0018
25
3
4
2
1x
mv
Eqxhy
v
x
m
Eq
v
xvyy
xx
y
(d) la trayectoria es una parábola convexa
Se tiene una línea de carga de longitud L con una densidad lineal de carga
constante , y una carga puntual Q a una distancia a sobre la mediatriz, tal
como muestra la Fig. 22. Determine la fuerza resultante sobre la partícula.
Consideración 1:
dl
dq, pero dydl entonces dydq
Sigue
Consideración 2:
Observando la simetría del dibujo respecto del eje X, los elementos dq se
han tomados simétricamente.
Consideración 3:
Las componentes verticales de las fuerzas producidas por los diferenciales
de carga se anulan entre sí, ya que cada elemento de carga dq ejerce la
misma fuerza sobre la partícula Q .
Consideración 4:
La fuerza resultante sobre la partícula Q corresponderá a la suma de las
componentes horizontales de las fuerzas producidas por cada uno de los
elementos de carga.
axrx FdFdFd
luego 2
cos22
r
dqQKFdFdF x
Sigue
de acuerdo a las consideraciones y la geometría del problema, se tiene
22
0
2
22
2
ya
a
ya
dyQKF
L
resolviendo la integral y respetando el carácter
vectorial de la fuerza se obtiene
2 2
2K Q LF i
a 4a L
Se tienen tres partículas cargadas con igual carga q situadas en los
extremos de un triángulo equilátero de lado a2 como muestra la Fig. 23.
Determine el campo eléctrico en el centro de gravedad del triángulo.
Consideración 1:
Al colocar una partícula de prueba en el punto central del triángulo el campo
eléctrico en tal punto, será la resultante de los campos de cada partícula
sobre ese punto, es decir por el principio de superposición tenemos:
321 EEEE
Sigue
Consideración 2:
Por la simetría del triángulo, cada partícula cargada esta a la misma distancia
del punto central, la cual se puede obtener aplicando el teorema de Pitágoras
y sabiendo que el punto central divide la mediatriz en razón de 2:1, se
obtiene:
34 222ahhaa pero axxh 3
3
223
además 321 EEE y 21
21
4
3
3
4 a
KqE
a
KqE
030cos30cosE 21x21 x
oo
xxx EEEEEE
321y321 30sen30senE EEEEEEEoo
yyyy
04
3
2
1
4
3
2
1
4
3222 yy E
a
Kq
a
Kq
a
KqE
E 0
Una barra cargada de longitud 2L tiene una densidad de carga lineal
homogénea y una carga total Q . Calcúlese el campo eléctrico en el
punto P localizado en las coordenadas da, como se muestra en la figura.
Consideración 1:
Por principio de superposición el campo resultante en el punto es la suma de
los campos producidos por la distribución de carga situada por encima de la
coordenada d y por debajo de ella, es decir:
21 EdEdEd R
jdEidEjdEidEEd yxyxR
ˆˆˆˆ2211
de la figura tenemos:
111 cosdEdE x 222 cosdEdEx
111 sendEdE y 222 sendEdE y
pero
2
1
1r
kqdE
2
2
2r
kqdE Sigue
Consideración 2:
Ya que la línea de carga esta ubicada sobre el eje Y entonces dydl con lo
que dydq y tomando
dadytanay2sec además de la figura tenemos:
222
1
1
1 seccos arr
a
Luego para las coordenadas cartesianas de 1E
tenemos:
máx1máx1
00
22
2
1 cossec
cossecd
a
k
a
dakE x
21
221
dLa
dL
a
kE x
21
221
0
1 1senmáx1
dLa
a
a
kEd
a
kE yy
Sigue
Luego para las coordenadas cartesianas de 2E
tenemos:
21
222
0
2
máx2
cos
dLa
dL
a
kEd
a
kE xx
21
222
0
2 1senmáx2
dLa
a
a
kEd
a
kE yy
Finalmente el campo resultante RE
es:
i
dLa
dL
dLa
dL
a
kE xR
ˆ2
1222
122
j
dLa
a
dLa
a
a
kE yR
ˆ2
1222
122
Consideración 3:
Si el punto donde estamos evaluando el campo eléctrico estuviera sobre la
simetral, es decir, si 0d entonces el campo para estos puntos tomará el
valor:
xR 12 2 2
2k L ˆE i
a a L
Hallar el campo y el potencial eléctrico creados por una esfera conductora de
radio R cargada positivamente con carga Q.
a) En el interior de la esfera
b) En el exterior de la esfera
Consideración 1:
Debido a que la esfera es conductora, la carga está distribuida
uniformemente sobre la superficie de ella, pudiendo expresarse la densidad
superficial de carga, como: 2R4
Q
Sigue
Consideración 2:
Dibujando una superficie gaussiana de radio Rr , se observa que la carga
neta encerrada en ella es cero.
Por lo tanto en virtud de la Ley de Gauss el campo eléctrico en el interior de
la esfera gaussiana es nulo, es decir: 0E
Consideración 3:
El potencial en un punto, corresponde a traer una carga desde el infinito
hasta dicho punto, es decir, se debe trabajar en dos etapas la primera
consiste en traer la carga desde el infinito hasta la superficie y la segunda
desde la superficie hasta el punto interno (r < R).
r,Rr,r VVV
i. Potencial desde el infinito hasta un punto externo a la superficie
conductora.
r
KQ
r
1KQ
r
drKQdr
r
KQdrErdEV
rr
2
r
2
rr
r.
r
KQV r. Potencial para puntos externos a la esfera conductora
Sigue
Consideración 4:
Por consiguiente, el potencial en la superficie de la esfera conductora es:
R
KQVR
i. Diferencia de potencial para ir desde R a r (punto interno), es:
Rrr,R VVV , pero:
Consideración 5:
La diferencia de potencial entre dos puntos A y B es: B
ArdEV
y dado
que el campo eléctrico en el interior de la esfera conductora es nulo, la
diferencia de potencial para puntos internos es nula, es decir:
R
KQVVV0VVVV rRrRrr,R
Resultado que indica que el potencial en el interior de la esfera conductora es
constante e igual al potencial en su superficie.
Sigue
a) Campo y potencial en el exterior de la esfera
Consideración 6:
Debido a la simetría del problema, es recomendable elegir una superficie
gaussiana externa esférica de radio r’ > R, en tal situación el campo eléctrico
es radial y paralelo al vector área, por lo cual, se tiene: 0
QAdE
)'r4(EdAEdAEAdE 2
2
0
2
)'r(
KQE
Q)'r4(E
r)'r(
KQE
2
Consideración 7:
El potencial eléctrico para puntos externos de la esfera se cálculo
anteriormente en el punto i.
.r
KQV
r
Determinar la fuerza que ejerce una
barra cargada de longitud L2 con
densidad de carga lineal
homogénea, sobre una partícula con
carga Q , ubicada en las coordenadas
)d,a( como se muestra en la figura.
cosdFdFx dFsendFy
dydq2r
kQdqdF
22 yar tagay dsecady 2
cos)tagaa(
secakQdF
222
2
xdcos
a
kQdFx
sen)tagaa(
dsecakQdF
222
2
ydsen
a
kQdFy
Sigue
máx2máx10 0
x sensena
kQdcosdcos
a
kQF
màx1 màx2
máx2máx10 0
y coscosa
kQdsendsen
a
kQF
máx1 máx2
2222máx2máx1x
a)dL(
dL
a)dL(
dL
a
kQsensen
a
kQF
2222máx2máx1y
a)dL(
a
a)dL(
a
a
kQcoscos
a
kQF
EV
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
EEVV
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Una lámina infinita cargada, tiene una densidad superficial de carga de
10-7 C/m2 ¿Qué separación tienen dos superficies equipotenciales entre las
cuales hay una diferencia de potencial de 50 V ?
Dado que la lámina es infinita cargada y tiene una densidad superficial de
carga constante se obtiene:
VE
d
VE
02E
V2d
d
V
20
0
12
0
7
2 V 2 8.8510 50d 8.85 mV
10
Calcular la capacidad de un condensador cilíndrico que consta de un
conductor cilíndrico de radio a y carga +q concéntrico; con un cascarón
cilíndrico de radio b y carga –q (b > a). La longitud del condensador es L; se
supone que es mucho mayor que los radios a y b para despreciar los efectos
en los extremos.
b
b aa
b
b aa
0
0
bb aa
0
V V E dr donde E es el campo entre a y b
2K qa partir de la ley de Gauss se tiene: E= con
r L
dr b q bV V 2K 2K ln ln
r a 2 a
2 Lq qC C C
qV lnln
2 L
C es siempre positiva por definición
Un cable coaxial está compuesto de un conductor macizo cilíndrico en el centro, y por fuera un
conductor cilíndrico. Suponga que el espacio entre los dos conductores es aire. El radio del conductor
interno es 5.0 [mm], y el del conductor externo es 5.0 [cm]. radio interior. Suponga que el conductor del
centro tiene una carga de [C/m] y que el conductor de afuera está colocado a tierra. Use el teorema de
Gauss para determinar el campo eléctrico en cualquier punto entre los dos conductores.
¿Cómo se ven las superficies equipotenciales?
Dado que el campo eléctrico es radial desde el eje del conductor central y
este desminuye en valor hasta alcanzar el conductor cilíndrico externo, las
superficies equipotenciales son mantos cilíndricos concéntricos a los
conductores interno y externo.
¿Cómo cambiaría el resultado si el conductor externo no estuviera aislado?
La situación es análoga a la anterior, aunque el valor del potencial no llega a
cero, en cilindro externo.
Un condensador de 4 F cargado a 400 V, y otro de 2 F cargado a 200 V,
se ponen en contacto entre sí, con la placa positiva de uno conectado a la
negativa del otro. Determinar, después de haberse conectado:
a) La carga eléctrica de cada condensador.
b) La diferencia de potencial entre las placas de cada condensador.
1 1 1 2 2 2
6 6
1 2
6 6
1 2
T 1 2 T
T 1 2
1 1 1 2 2 2
1 2
1
Q C V Q C V
Q 410 400 Q 210 200
Q 160010 C Q 40010 C
Al conectar los condensadores se redistribuye la carga uniformemente
Q Q Q Q 1600 400 C Q 1200 C
Q Q Q
Q C V Q C V
1200 4 V 1200 2 V
V 3 2
T 1 2 T
00 V V 600 V
V V V V 900 V
1122
1122
En un condensador de placas paralelas se ponen dos dieléctricos llenándose
como se muestra en la figura. Demostrar que la capacidad del condensador
lleno esta dada por:
2d
AC 210
0 0 0 1 2e 1 2 e 1 2 e
A A AC C C C C
2d 2d d 2
11
22
11
22
En un condensador de placas paralelas se ponen dos dieléctricos llenándolo
como se muestra en la figura. Demostrar que la capacidad del condensador
lleno esta dada por:
21
210
d
A2C
0 01 2
01 2 1 2e e
0 0e 1 2 1 2 1 21 2
A2 A2
2 AC C1 1 1 d dC CA2 A2C C C C C d
d d
bd bd
Una placa de dieléctrico de espesor b se introduce entre las placas de un
condensador de placas paralelas cuya separación de placas es d. Demostrar
que la capacidad de este condensador es:
)1(d
AC 0
0 0e 1 2 e 0
El condensador de la figura equivale a dos condensadores conectados en serie, uno
de espesor b y constante , y el otro de espesor (d-b) y vacio
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A A 1C C C C A
b d bb d b0
e 0
e 0 0
0e
b d b
A 1
1 1 b (d b)
C A
1 1C A A
b (d b) b d b)
AC
d b( 1)
Calcule la capacitancia equivalente de la combinación de tres
capacitores de la figura.
s
s 1
p
p
p
La capacidad para la combinacion en paralelo, es:
C 3 1 C 4 F
La capacidad para la nueva combinacion se
1 1 1
r
1 1C 2.4 F
C C C
ie s
4
, e :
6
En la figura la capacitancia de cada uno de los condensadores es
de 4 F. Calcule la carga y la energía almacenada en cada uno de
los capacitores.
s
s
p p
t 1 1 t s s t
t 1 s
t 1 s
s 2 3
2
La capacidad para la serie, es:
1 1 1C 2 F
C 4 4
La capacidad en paralelo, es:
C 4 2 C 6 F
La carga total en el circuito, es:
Q CV Q C V Q C V
Q 6 12 Q 4 12 Q 2 12
Q 72 C Q 48 C Q 24 C
Pero : Q Q Q
V 322 3 3
2 3
2 2
1 1
2
2 2
2
3 3
QQ 24 24V 6 V V V 6 V
C 4 C 4
1 1U CV U 4 12 U 288 J
2 2
1U 4 6 U 72 J
2
1U 4 6 U 72 J
2
Los capacitores de la figura inicialmente estaban descargados.
Determine el voltaje de cada uno de los tres capacitores después de
cerrar el interruptor S. Si luego se introduce una hoja de material de
constante dieléctrica = 4, que llena completamente el espacio entre las
placas del capacitor de 12 F, calcule el nuevo potencial en cada uno de
los capacitores
p p
s
s
t t
1616 16
16
t 16 p p p
La capacidad del paralelo, es:
C 12 8 C 20 F
La capacidad de la serie, es:
1 1 1C 8.9 F
C 16 20
La carga total en el circuito, es:
Q 8.9 30 Q 267 C
Q 267V V 16.7 V
C 16
V V V V 30 16.7 V 13.3 p 12 8V V V V
Sigue
0
p p
Si se introduce un dielectrico en algun capacitor, cambia su capacidad,
lo que equivale a calcular todo de nuevo, por lo tanto:
C= C C 4 12 C 48 F
La capacidad del nuevo paralelo, es:
C 48 8 C 56 F
La c
s
s
t t
1616 16
16
t 16 p p p p 12 8
apacidad de la nueva serie, es:
1 1 1C 12.4 F
C 16 56
La carga total en el circuito, es:
Q 12.4 30 Q 373 C
Q 373V V 23 V
C 16
V V V V 30 23 V 7 V V V V
1 3
s1
s1
2 4
s1
s1
s1 s1 t s1 s1
s2 s2 t s2 s2
Los condensadores C y C estan conectados en serie:
1 1 1C 2.2 F
C 4 5
Los condensadores C y C estan conectados en serie:
1 1 1C 1.6 F
C 2 8
Q C V Q 2.2 100 Q 222 C
Q C V Q 1.6 100 Q
33 3
3
44 4
4
x 3 A 4 B
A B
160 C
Q 222V V 44.4 V
C 5
Q 160V V 20 V
C 8
Siendo V 0, entonces V V y V V , luego:
V V 44.4 20 V 24.4 V
Cuatro capacitores inicialmente descargados
son conectados como muestra la figura. Los
valores de ellos son C1=4 F, C2= 2 F, C3=5 F
y C4=8 F. Calcule la diferencia de potencial
entre los puntos A y B.