Ekonometria stosowana

Andrzej Torój - Lato 2013/2014 1

Ekonometria stosowana

wykład 3

Modele z restrykcjami

Testowanie stabilności

2

Ograniczenia dla parametrów

Xby min1

2

1

2

n

iii

n

ii bXy

minimalizacja względem b bez warunków ograniczających daje:

yXXXb TT 1

możemy jednak nałożyć (i przetestować) na wektor parametrów b ograniczenia liniowe:

qRb mKmKmm

KK

KK

qbrbrbr

qbrbrbr

qbrbrbr

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

w zapisie (krótszym i wygodniejszym) macierzowym:

3

KMNK przy warunkach pobocznych

** Xby min1

2*

1

2

n

iii

n

ii bXy

p.w. :

qRbRXXRRXXbb TTTT 111

*

qRb *

n

i

n

i

XbyRRSS1

2*

1

2*

Oznaczmy:

n

i

n

i

XbyURSS1

2

1

2

4

Test Walda

Xby H0: qRb H1: qRb

)1/(

/

KnURSS

mURSSRRSSF

m – liczba warunków ograniczających

Statystyka testowa ma rozkład F (m, n-K-1). Odrzucamy H0 przy wartości wyższej od wartości krytycznej dla danego poziomu istotności (p-value niższym od tego poziomu).

5

Test istotności zestawu zmiennych jako test Walda (1)

Czy cały zestaw zmiennych objaśniających jest istotny?

H0: 0...21 kbbb

)1/(

/

KnURSS

mURSSRRSSF

qRb

0

...

0

0

...

10

...

1

01

2

1

kb

b

b

n

iii yyURSS

1

2ˆ

6

Test istotności zestawu zmiennych jako test Walda (2)

Czym jest RRSS? Jeżeli H0 jest prawdziwa, model zawiera tylko stałą i żadnych zmiennych. Jaka STAŁA jest najlepiej dopasowana do wszystkich y?

)1/(1

/

)1/(1

/11

)1/(1

/11

1

)1/(ˆ

/ˆ

)1/(

/

2

2

2

22

1

2

1

2

1

2

KnR

KR

KnR

KR

Kn

KR

Knyy

myyyy

KnURSS

mURSSRRSSF

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii yyRRSS

1

2

7

Restrykcje liniowe w Gretlu

W oknie modelu (bez restrykcji), który wcześniej oszacowaliśmy: Testy / test liniowych restrykcji.

Wpisujemy kolejno równania liniowych restrykcji jak powyżej:– b[1] oznacza pierwszy w kolejności w równaniu oszacowany

parametr (stała, jeżeli model ze stałą)– kolejne b[2], b[3] itd.

Otrzymujemy model oszacowany przy warunkach ograniczających i test zasadności tych ograniczeń.

8

Test Chowa (breakpoint) (1)

Potraktujmy założenie o niezmienniczości parametrów dla całego okresu próby jako hipotezę, którą można testować za pomocą testu Walda. Z T okresów wybierzmy dwie podpróby: (1,...,T1) i (T1+1,...,T), T1+T2=T. Model w pierwszej podpróbie ma parametry b1, w drugiej b2.

H0: 21 bb

Yb1 b2

54,0 51,0 25,961,3 18,6 3,855,2 76,8 83,377,2 37,7 98,684,5 24,7 45,450,5 19,2 62,662,3 98,9 17,138,4 78,1 97,229,1 25,9 67,431,8 70,0 1,3

XYb11 b21 b12 b22

54,0 51,0 25,9 0,0 0,061,3 18,6 3,8 0,0 0,055,2 76,8 83,3 0,0 0,077,2 37,7 98,6 0,0 0,084,5 24,7 45,4 0,0 0,050,5 0,0 0,0 19,2 62,662,3 0,0 0,0 98,9 17,138,4 0,0 0,0 78,1 97,229,1 0,0 0,0 25,9 67,431,8 0,0 0,0 70,0 1,3

X

dane do modelu z restrykcjądane do

modelu bez restrykcji

9


Model ogólny:

Model z restrykcjami (w sumie K restrykcji, każda dotycząca jednej „pary” parametrów):

2

1

2

1

2

1

2

1

0

0

X

X

y

y

2

1

2

1

2

1

X

X

y

y

qRb

0

...

0

0

...

...

10

...

1

01

10

...

1

01

2,1

2,2

2,1

1,1

1,2

1,1

K

K

10


Liczba warunków ograniczających: (K+1)– stałość parametrów przy K zmiennych i przy stałej

Liczba stopni swobody dla modelu bez ograniczeń: [n-2(K+1)]– liczba obserwacji minus liczba oszacowanych parametrów

Stąd statystyka testowa (test Chowa oparty na analizie wariancji):

Rozkład F z (K+1), (n-2K-2) stopniami swobody. Wysokie wartości statystyki (p-value niższe od założonego poziomu istotności) świadczą o odrzuceniu H0 o stabilności parametrów.

)22/(

1/

KnURSS

KURSSRRSSF

11

Test Chowa w Gretlu

Zbadaj stabilność parametrów funkcji produkcji.

Jaka jest wada tego testu?

12

Test Chowa (forecast) (1)

Gdy jedna z podprób jest mała i nie można oszacować dla niej osobnych parametrów, porównujemy dwie inne sumy kwadratów reszt:– modelu oszacowanego na całej próbie (RRSS

– dlaczego?)– modelu oszacowanego na „dużej” podpróbie

(RRS1)

13


Statystyka testowa (pozostałe oznaczenia i decyzja weryfikacyjna jak poprzednio):

Interpretacja:

– b jest wektorem parametrów oszacowanych na „dłuższej” podpróbie, jeżeli model jest stabilny, to wektor błędów prognozy ex post g (obliczony na podstawie tego modelu dla „krótszej” podpróby) powinien nie różnić się statystycznie istotnie od zera

)1/(

/

11

21

KTRSS

TRSSRRSSF

2

1

2

1

2

1 0

IX

X

y

y

14


W Gretlu ten test nie jest oprogramowany. Ale możemy:

1. oszacować model (1) na podstawie całej próby2. oszacować model (2) na podstawie podpróby (T-7)

pierwszych obserwacji3. znając sumy kwadratów reszt obu modeli i odpowiednie

stopnie swobody, obliczyć statystykę testową4. za pomocą Narzędzia/Tablice statystyczne/ albo

Narzędzia/Wyznaczanie wartości p zweryfikować hipotezę.

15

Test Hansena (1)

Jeżeli oszacujemy model za pomocą MNK, to mamy następujące własności reszt et

t-ty składnik sumy w pierwszym równaniu to wektor Kx1, w drugim – skalar. Niech wektor ft o wymiarach (K+1)x1 będzie tym wektorem z dołączonym (jako K+1-sza współrzędna) skalarem.

Niech

01

T

tttx 0

1

1

2

2

T

t

T

tt

t T

t

rrt fs

1

t

t

Ttt ffTF

1

t

t

Ttt ssS

1

16

Test Hansena (2)

Statystyka testowa Hansena jest obliczana jako ślad (suma elementów diagonalnych) macierzy F-1S:

Wysokie wartości H świadczą o niestabilności modelu. Pakiet PcGive ma zaimplementowany test Hansena dla całego

modelu, jak i dla pojedynczych parametrów. Asymptotyczne wartości krytyczne podane przez Hansena:

1.01 (K=2), 1.9 (K=6), 3.75 (K=15), 4.52 (K=19). Zaleta: hipoteza alternatywna nie zakłada konkretnego momentu

zmiany, a głosi niestabilność modelu w ogóle.

SFtrH 1

17

Test Hansena w Excelu

Szacujemy model KMNK. Mnożymy każdy element wiersza macierzy X dla danej obserwacji (łącznie z 1 dla „stałej”) przez resztę losową dla tej obserwacji. Obliczamy też dla każdej reszty odchylenie jej kwadratu od średniego kwadratu reszty losowej.

Obliczamy wektory st jako sumy (od pierwszej obserwacji do danej) wektorów ft.

Dla każdej obserwacji obliczamy wszystkie możliwe dwuczynnikowe iloczyny elementów wektora ft. To samo powtarzamy dla st.

Sumujemy iloczyny. Dla sum ft, sumy mnożymy przez ilość obserwacji.

Sumy układamy w odpowiednich elementach macierzy F i S. Pamiętamy o symetryczności tych macierzy.

Obliczamy sumę elementów diagonalnych macierzy F-1S.

18

1. Dla każdego okresu, szacujemy model na podstawie wszystkich poprzednich okresów (z parametrami bt) i obliczamy jednookresowy błąd predykcji.

2. Jak wiemy z Ekonometrii I, średni błąd tej predykcji to:

3. Skalujemy każdy błąd predykcji:

4. Szacujemy wariancję reszt:

Test CUSUM (1)

1 tT

ttt bxye

ttT

tT

tt xXXx1

1122 1

rrT

rT

r

rr

xXXx

ew

1

111

1ˆ 12

KT

wwT

Krr

KT

ww

T

Krr

1

19

Test CUSUM (2)

5. Obliczamy statystykę testową CUSUM:

6. Hipoteza o stabilności modelu jest odrzucana, gdy statystyka wychodzi poza przedział ufności.

7. Test nie wymaga założenia o konkretnym punkcie przełomu.

t

Kr

rt

wW

1 ̂

20

Test CUSUM w Gretlu

21

Literatura do wykładu 3

Maddala 4.8– więcej o działaniu testu F i testowaniu liniowych restrykcji dla

parametrów Maddala 4.11

– o testach stabilności parametrów, omówienie ich wad i zalet Greene (2000, s. 134 nn.)

– testy Hansena i CUSUM

22

Praca domowa

Zaproponuj model reguły Taylora dla Polski o odpowiednio uzmiennionych parametrach.

Documents

Ekonometria stosowana