1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADMICO COORDINACIN DE EVALUACIN ACADMICA AREA DE MATEMATICA. CENTRO LOCAL CARABOBO LAPSO 2008-2

TRABAJO UNICO TEMAS1. Dada una botella llena de agua. El agua fluye por un hueco a cierta altura del fondo de la botella. 2. Seleccione uno o varios de los contenidos del Liceo Bolivariano

NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ALBARO JOSE DUGARTE CEDULA DE IDENTIDAD: V-4.492.667 CORREO ELECTRNICO: ajdugarte@uc.edu.ve CE NTRO LOCAL: CARABOBO CDIGO DEL CENTRO LOCAL: 0700 ASIGNATURA: MATEMATICAS Y CIENCIAS DIGO DE LA ASIGNATURA: 532

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ContenidoParte 01Construir un modelo matemtico de una situacin que permita describir el comportamiento (cualitativamente) de la altura de la superficie superior del agua respecto al tiempo.

Parte 02Planificar la inclusin de la aplicacin de las matemticas para el caso particular de la enseanza de un contenido durante una semana. La planificacin debe incluir las estrategias de enseanza, algunos ejemplos de los problemas que le seran propuestos a los estudiantes y de la manera en que se realizar la evaluacin.

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Parte 01Un experimento con aguaCuenta la leyenda en tierras de Holanda que Hansje Brinker, un nio de tan solo 12 aos, con su dedito impidi que un dique se rompiera e inundara la reginpues aguant con su indicito una gran parte de mar del norte Annimo

PreliminaresEl estudio cualitativo del desage (escape o evacuacin) de una botella llena de agua a travs de un orificio debe ser mostrado a los estudiantes de una manera creativa, amena y en un contexto que se preste a interpretaciones sencillas y a dilogos significativos (Explicacin de las observaciones sin adentrarse en propuestas numricas propiamente dichas al respecto). Debe hacerse nfasis que este principio tambin es valido para envases ms grandes, inclusive tanques y/o represas de agua de gran magnitud. El estudiante debe ser motivado a que busque respuestas razonadas para que al encontrarlas ya tenga en mente el deseo de expresar cuantitativamente (a travs de un modelo matemtico) el hecho. Lo ms indicado y procedente es hacer una experiencia previa a nivel elemental, luego repetrsela (para motivarlo a que indague concepciones y algunos tpicos referentes al experimento) esto con el objetivo de estimular en l, la bsqueda de patrones representativos y simblicos que apunten a un modelo matemtico sencillo de la situacin entendida desde el punto del razonamiento objetivo Sobradas razones tenemos entonces en aclarar lo que es un modelo: Es un prototipo prctico ideal de un suceso que se puede representar a travs de diversas maneras. El modelo sirve para explicar un comportamiento, las propiedades tanto cualitativas como cuantitativas (razones y discernimientos lgicos) y no es mas complicado que el mismo fenmeno El modelo lo que busca es simplificar una realidad, ya que es el resultado de la abstraccin de circunstancias cotidianas que culminan en propuestas del perfil del fenmeno

Contexto EscolarEste tipo de experiencia se propone para ser aplicado en el 10mo grado de la Escuela Diversificada y profesional y durante el tercer lapso en Matemtica, un perodo en el que los estudiantes ya deben haber visto temas similares en qumica y en fsica (Teorema del trabajo y la energa, presin hidrosttica, Volumen, entre otros).

Con una Botella agujereadaComo se dijo previamente lo mejor es mostrarle al estudiante como son las cosas as que tomaremos una botella plstica de esas de refresco de 2 litros y le haremos una pequea perforacin aproximadamente a 5 cms de su base, la cubrimos provisionalmente(con el dedo, tirro o cinta) y llenamos la botella completamente de agua, tapndola seguidamente. Al destapar el agujero se observar que no sale agua. A que se debe esto?...Se debe a que la presin hidrosttica del agua por encima del agujero es menor que la presin atmosfrica del exterior del agujero, por ello el agua no puede salir contra la presin atmosfrica. Este es un concepto que tienen que tener claro11

La velocidad de salida de un lquido por un orificio practicado en su fondo es la misma que la que adquiere un cuerpo que cayese libremente en el vaco desde una altura h, siendo h la altura de la columna de fluido.

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Figura 01 Esquemas del dispositivo experimental.

Ahora al destapar la botella agujereada se observara que sale un chorro de agua por el orificio. Si se realiza esta actividad colocando la botella sobre una superficie horizontal y se mide la altura del orificio respecto de la superficie y el alcance del chorro, podremos determinar la velocidad de salida del agua por consideraciones cinemticas Pero como determinar esa velocidad? La respuesta a la pregunta anterior nos la da el Teorema de Torricelli que es una aplicacin del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un lquido contenido en un recipiente, a travs de un pequeo orificio, bajo la accin de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un lquido por un orificio. Donde: Vt es la velocidad terica del lquido a la salida del orificio Vo es la velocidad de aproximacin. h es la distancia desde la superficie del lquido al centro del orificio. g es la aceleracin de la gravedad

Si llenamos de agua las tres cuartas partes de la botella agujereada y no cerramos la botella con el tapn, cuando destapemos el agujero el agua saldr por el mismo. Pero si dejamos caer libremente la botella observaremos que se interrumpe el chorro de agua que antes sala por el agujero.

5Cuando la botella (con el agua) est cayendo libremente, puede considerarse que la botella constituye un entorno de microgravedad (en la terminologa de los astronautas), es decir, que la gravedad se ha reducido de tal manera que sus efectos no se notan. Como la velocidad de salida del agua por el orificio depende de la aceleracin de la gravedad, durante la cada libre no saldr agua (es decir, la velocidad de salida ser nula). Esta sensacin de microgravedad (o ingravidez) es la que se experimenta en los descensos bruscos de las montaas rusas y otras diversiones similares (tipo emociones fuertes) de los parques de atracciones. Tambin en el ascenso y descenso de los aviones. Hay cosas que existen y que nuestros ojos no ven. Una de esas cosas es el aire que todos damos por supuesto que existe. Qu experimento sencillo haras para demostrar que el aire existe aunque no lo veamos? Por experimento se entiende aquel que se realiza con objetos de la vida cotidiana y por supuesto usando la capacidad de razonar y argumentar Se trata de una esfera de cobre con un cuello abierto y pequeos agujeros en el fondo que se llena sumergindola en el agua. Si se saca del agua con el cuello sin tapar el agua se sale por los agujeros formando una pequea ducha. Pero si se saca correctamente, tapando con el pulgar el cuello, el agua queda retenida2 dentro de la esfera hasta que uno levanta el dedo. Si uno trata de llenarlo con el dedo tapado el agua no entra. Ha de haber alguna sustancia material que impida el paso del agua. No podemos ver esa sustancia. De qu se trata? Empdocles afirm que slo poda ser aire. Una cosa que somos incapaces de ver puede ejercer una presin, puede frustrar mi deseo de llenar el cacharro con agua si dejo tontamente el dedo sobre el cuello. Empdocles haba descubierto lo invisible. Pens que el aire tena que ser materia tan finamente dividida que era imposible verla

Un modelo para el problemaYa se dijo que un modelo es la descripcin o la representacin ideal de un suceso o fenmeno de la vida real y que sirve para explicar3 un comportamiento y no es tan complicado4 como el mismo evento. El modelo simplemente lo que busca es simplificar una circunstanciaes el producto de la abstraccin de una situacin cotidiana que culmina en la propuesta de una representacin simblica del asunto. Un ejemplo es cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeo chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas

Figura 02

Un modelo cualitativo para el problemaEn nuestro caso especfico estamos trabajando con una variacin de altura (Figura 02).

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Esto es algo parecido a cuando uno introduce un vaso plstico(o de otro material) de esos para beber agua con la boca destapada en un recipiente con agua, cierto o no?el agua no entra al vaso ya que el aire se opone 3 Propiedades cualitativas y discernimientos lgicos 4 Esta razn debe ser digerida por el estudiante para que no sienta que esta ante algo difcil

6En la prctica una manera muy sencilla de detener el agua en un estanque cuando el aire empuja a esta es a travs de una llave de paso (llamada llave de bola o de retencin) la cual regula el paso del agua segn se quiera tener grandes o bajas salidas. Nuestro principal objetivo ha de ser la de inducir una actividad dirigida con acierto de parte nuestra como docentes, colocando al estudiante en una situacin participativa de manera que sienta orgullo de descubrir a travs de modelos sencillos lo que grandes fsicos-matemticos (Torrecelli, Bernoulli entre otros) lograron con tesn y esfuerzo. La finalidad de la realidad planteada es la de dar a conocer una explicacin aproximada de manera cualitativa del porque y como se despliega el fenmeno. Para ello se hace el experimento con la botella Plstica agujereada.

h = y2 - y1

Explicacin del modeloEn lo visto anteriormente se le plantea al estudiante la situacin a manera general para motivarlo, comenzando incluso con la resea del nio holands que impide que un dique inunde una regin5 es decir un aspecto preliminar que lo imbuya en el tema y le explique de manera sencilla una experiencia diagramada e interpretada sin propuestas cuantitativas (ecuaciones ) para al final proponerle que experimentar un fenmeno es ponerse a nivel de los hombres que lograron ser protagonista de una historia metiendo sus trabajos en los anales de la Matemtica y las ciencias y que estos trabajos no salieron de la nada pues en aquellas pocas formaron parte de situaciones reales, cotidianas y del contexto donde ellos laboraban, que son tan iguales a las de hoy da. Vamos a partir suponiendo el siguiente concepto como axiomtico6 La velocidad de un fluido es alta cuando su presin es baja y es baja cuando su presin es alta. Esto al principio puede sonarnos extrao ya que estamos acostumbrados a relacionar situaciones tales como a mayor tamao mayor volumen, a mayor velocidad mas distancia recorrida entre otras frases en las que la proporcin de algo aumenta a medida que aumenta otro parmetro. Esto es lo que conocemos que un parmetro es directamente proporcional a otro. En este caso es a la inversa. Vamos a estudiar la siguiente figura semejante a un tanque de agua y anloga a la botella plstica.

Figura 03 El volumen del agua que pasa por el punto 1 es

L1 .A1 Siendo L1 la distancia que avanza el fluido en un t y como la velocidad del agua en ese puntoes medida por

V1 = L1/t m/t = 1. L1 .A1/t

El flujo de masa de agua que pasa por el punto 1 es5 6

Esto debe ser motivo de indagacin por parte del alumno sobre lo que en realidad dice la leyenda Algo que se toma como lo evidente sin demostracin

7y como

L1/t = V1 m/t = 1.A1.V1

De igual manera en el punto 2 se deduce que

m/t = 2.A2.V2Y como la cantidad de agua que pasa por las distintas secciones en un intervalo de tiempo semejante es la misma, entonces se tiene que los flujos son iguales

1.A1.V1 = 2.A2.V2Adems como las presiones son iguales

1 = 2 = atmosfricaEntonces la presin del liquido es constante y se tendr que

A1.V1 = A2.V2Observemos que A1 > A2 V1 = A2.V2/ A1 y V2 = A1.V1/ A2 V1< V2 Y esto mismo sucede con un tanque, balde de agua y/o botella plstica como en nuestro caso Lo ms importante que un estudiante debe asimilar con la construccin del modelo dado es que contiene constantes como la presin atmosfrica y la densidad del fluido (en este caso la del Agua) y variables como son las alturas, el tiempo, las secciones de tuberas y/o envases y las velocidades del agua. Respecto a la presin esta es considerada la presin del ambiente. Por otro lado debe ver que el caudal es el mismo (cantidad de agua que entra es igual a la que sale) y que lo que har variar la experiencia es la altura a la que se encuentra el agua junto a la constante de la gravedad. En el anexo al final se produce un procedimiento matemtico que explica este modelo a travs del teorema de Torrecelli basado en la ecuacin de Bernoulli.

El modelo a travs de la experimentacinEn una botella de refresco hacemos un orificio de aproximadamente un cm de dimetro lo mas posible cerca del fondo (entre 5-7 cms) 1. Se coloca la botella sobre un mesn cerca de un desage(para no mojar el piso o pavimento) 2. Utilizamos un recipiente (en este caso usamos una de las bandejas del drenaje del fregadero de la cocina). Vase fotos anexas 3. Se tapa el orificio de salida y se llena de agua la botella (es importante medir el volumen de agua 1.5 -1.8 lts) 4. Se mide la columna de agua(es decir la altura de la misma hasta el orificio de salida) 5. Destapa el orificio de abajo manteniendo tapada la botella Qu observas?... Verdad que no sale agua! 6. Ahora se destapa la botella Qu observas?... Verdad que comienza a salir el agua en forma de chorro, cuya distancia horizontal es mayor al principio y va disminuyendo a medida que se va terminando el liquido. Esto ultimo a que se deber? 7. Ahora medimos el agua que se deposita en el recipiente 02 en un determinado tiempo.

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Parte 02

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Seleccin de un contenido de Matemtica del liceo Bolivariano y Planificar la aplicacin de su conocimiento durante una semana de clase. Dicho contenido debe estar inmerso dentro de unas estrategias, con ejemplos relacionados con la realidad. Adems debe contemplarse su evaluacin a travs de criterios bien claros.

Preliminares al respectoAntes de seleccionar el contenido es necesario tener en cuenta los siguientes criterios para su escogencia 1) El contenido debe prestarse para la trasmisin sistemtica de un razonamiento efectivo para resolver problemas relacionados a contextos verdaderos 2) La(s) estrategia(s) a utilizar deben prestarse para que el estudiante: - Active su capacidad mental - Ejercite su creatividad - Que adquiera confianza en si mismo - Que se divierta aprendiendo - Que relacione lo aprendido con las novedades de la actualidad 3) Que el contenido induzca en el estudiante autonoma para resolver situaciones cotidianas 4) Respecto a las estrategias se deben proponer situaciones basadas en: - Problemas de ndole histricos

1Aplicaciones comprensibles de los contenidos Relaciones con modelos existentes

Todo lo anterior producira en el estudiante una situacin participativa en la que se le induce a descubrir novedades de tal manera que perciban el placer que pudieron haber experimentado los matemticos de la poca tras su esfuerzo cognitivo.

Seleccin del contenidoTomado del texto gua: SUBSISTEMA EDUCACION SECUNDARIA BOLIVARIANA LICEOS BOLIVARIANOS. Currculo y orientaciones metodologicas reas de aprendizaje: Segundo ao rea: Ser humano y su interaccin con otros componentes del ambiente Componente: Los procesos matemticos y su importancia en la comprensin del entorno Contenido general: Estudio de patrones, formas, y diseos ambientales Contenido especifico: Estudio de pendientes en construcciones de autopistas, calles y en los cortes realizados por carpinteros, herreros y albailes.

Justificacin de la escogencia de estrategias distintas a las tradicionalesUno de los mayores problemas a los que se enfrentan los estudiantes de matemtica es el desconocimiento de la aplicacin que esta tiene en la cotidianidad de sus vidas. Como docentes hemos escuchado preguntas como Quien invento esto? Y sus respuestas seguro que era alguien que no tena algo que hacer! y/o De que vale saber tanta matemtica si esto no se usa en lo que yo voy a trabajar?... y as por el estilo, los chicos (jvenes y adolescentes) tienden cada da a tenerle fobia y cierta apata a esta asignatura. Por tal razn una de las mejores estrategias para que los estudiantes le encuentren significado, sentido y gusto a los contenidos matemticos es hacerles entender que esta tiene mil y un usos en el ambiente, en lo cotidiano y en lo ms frecuente donde ellos se desenvuelven y viven. Adems les ayuda a solucionar dificultades en las que ellos la mayora de las veces estn involucrados como en trabajos vacacionales, aprendices de algn oficio, y en su casa en cuestiones domesticas.

Programacin segn horas estipuladasPeriodo de aplicacin: 1 Semana Numero de horas: 05 horas acadmicas Horas de campo: 03 horas acadmicas Horas de aula: 02 horas acadmicas Nota: Dentro de las estrategias se aconseja visitas a sitios especficos en horas no acadmicas (actividad complementaria con otros profesores de reas afines)

Descripcin detallada de la programacin segn los contenidos En la horas de claseDefinir pendiente como la relacin que hay entre una longitud y una altura dada. Para lograr esto es bueno dar algunos ejemplos y representaciones graficas tales como partes que existen en lo cotidiano y en los cuales esta presente esa relacin Escribamos algunos ejemplos tales como

11. 2. 3. 4. 5. 6. Escaleras, rampas, teatros auditorios Vertientes de techos inclinados Una escuadra y algunos tringulos. El desnivel que puede haber en una calle Acueductos y redes de cloacas dentro de las edificaciones Algunos ornamentos arquitectnicos elaborados en madera y en hierro Levantamientos de topografa y altimetra

Hay que comenzar aclarando que una pendiente es simplemente una relacin de orden que establece una proporcin entre dos medidas y que tambin tiene precisa relacin con los porcentajes sencillos y por ende con las reglas de tres aprendidas en la aritmtica bsica. Lo ms importante que hay que resaltar en la primera hora de clase son ejemplos de lo que constituyen las pendientes y la relacin matemtica con los porcentajes y las proporciones. Pendiente, medida de la inclinacin de una recta7 dada A continuacin se les puede leer textos que hacen alusin al contenido y se les pueden mostrar fotos La vertiente sur presenta mayores dificultades para su escalada, pues tiene pendientes ms bruscas y escarpadas; se alcanza a travs del valle y la laguna de los Horcones, hasta alcanzar la Plaza de Mulas. Cuando los surcos se excavan siguiendo la pendiente, colina arriba y abajo, el agua tiende a fluir a lo largo de ellos... pueden criarse peces en jaulas y torrenteras, estanques en tierra o cemento largos y estrechos que reciben agua de arroyo o riachuelo prximos que a menudo se construyen en serie siguiendo la pendiente de una colina Mar adentro desde la plataforma continental, en el llamado talud martimo, el fondo marino desciende con rapidez unos 3.500 mts del fondo ocenico profundo, formando abismales pendientes. Histricamente las pendientes fueron utilizadas por los matemticos para auxiliar a los arquitectos e ingenieros que deseaban lograr obras de cierta envergadura. Aqu es oportuno mostrar algunas fotos alusivas a grandes obras tanto actuales como antiguas. Tambin es momento de definir el concepto geomtrico de lo que es una pendiente y su relacin con las proporciones En los anexos al final se incluyen los contenidos matemticos que podran darse para lograr el objetivo as como algunos problemas resueltos y propuestos como asignacin

En las horas de campoHay que prever visitas a los lugares tpicos que presentan este tipo de situaciones. Se les pedir a los estudiantes que lleven cintas mtricas, lpices de grafito, papel y reglas milimetradas para hacer cotejos en sitio con la finalidad de resolver problemas reales.

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El termino recta aqu es alusivo a longitud, altura, ancho, es decir a una medida rectilnea

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Canal de riego

Acueducto de Segovia

El primer acueducto romano que transportaba el agua sobre la superficie del suelo fue el Aqua Marcia, en Roma; tena una longitud de 90 Km. y su altura mnima era de 2mts. En aquel entonces se utilizaba pendientes para el agua de 0.5 %. Podras calcular la altura mxima de este acueducto?

Forma de evaluarLa forma de evaluar ser mediante un informe de campo por equipo con valor del 40% en el cual deben exponer los pormenores de la clase y aspectos resaltantes sobre las visitas hechas a algunas edificaciones (teatros, auditorios, salones de clase con desniveles, entre otras) talleres de ensamblaje de viguetas, viviendas de una sola planta con techos inclinados. Durante las visitas los estudiantes harn levantamientos alusivos a situaciones donde el calcular pendientes, sus porcentajes y proporcionalidad geomtrica sean relevantes. En la ltima clase se volver a explicar las situaciones con problemas sacados de realidades dadas durante la primera clase. Al final se dejara como tarea problemas como los planteados en los anexos cuyo valor ser del 30%, dejndose para la siguiente hora un examen de 2 problemas alusivos a lo s vistos en toda la jornada (tanto terica como de practica en campo) cuyo valor ser del 30% sobre la nota total.

Anexo 01 Relativo a la parte 01Teorema de Torricelli

1Un depsito cilndrico, de seccin S1 tiene un orificio muy pequeo en el fondo de seccin S2 mucho ms pequea que S1. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior.

suponiendo que la velocidad del fluido en la seccin mayor S1 es despreciable v1= 0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la seccin menor S2.

Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 y S2 est en contacto con el aire a la misma presin. Luego, p1=p2=p0. La diferencia de alturas es y1-y2=h. Siendo h la altura de la columna de fluido Con estos datos la ecuacin de Bernoulli se escribe

De acuerdo con el teorema de Torricelli, la velocidad de salida de un lquido por un orificio practicado en su fondo es la misma que la que adquiere un cuerpo que cayese libremente en el vaco desde una altura h, siendo h la altura de la columna de fluido

A medida que el fluido sale por el orificio, la altura h de fluido en el depsito va disminuyendo. Si S es la seccin del orificio, el gasto Sv, o volumen de fluido que sale por el orificio en la unidad de tiempo no es constante.