El teorema de Godel.pdf

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el üéol.ernade gódel

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CONSEJO NACIONAL DE CIENCIA Y TECNOLOGIAMEXICO

fitulo origin¡lz Qlifold's Praf,l{er Yorl ünivcrsity Prcs,l95E . Editorial Tecnc, S.A.

@ C.onrcjo N.cion¡l de Ciencia y TecnologíaInsurgentes Sü 1677, M€rico 20, D. F., lgEl

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Di¡cño ile port d¡: txús Mogu Grl,i$Ioúl

Iry'¡.ro y hccüocn MéricoMoú¡tdci* lWcxü,o

A Bertrand Russett

íaiir i l :

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Agradecimientos ll

l. Introducción 13

2. El problema de la consistenci a 2l

3. Pruebas absolutas de consistencia 4l

4. La cod.ificación sistemática de lalógica formal 58

5. Ejemplo de prueba absoluta deconsistencia 63

6. La idea de representación y su empleo en lasmatemáticas 77

7, Las pruebas de Gódel 89

A) In numeración il,e 6d,el 9lB) Ia aritmetizrciún il,e ta m,etamatñticaC) EI nítcleo ¡le la argumentacifut ¡le H¡Icl

8. Reflexiones finales ll9

Ap,énüce. Notas 125

Bibliografia 137 -

Indice d.e autores y materias 139

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AGRADECIMIENTOS

Los autores mnnifiestan srt reconocimiento por la genero-sa ayuda que recibieron del profesor John C. Cooley, deln, Unfuersidad d.e Columbin. Se prestó amablemente a LaIectura de un primer manuscrito de esta obra y formulóobsenaciones que contribuyeron a. clarificar l,as líneas ge-nerales de la argumentaciún y afundamentar lógícamen-te ln exposición de sus funtos principales.

Desean igualmente hacer público su agradecirniento aScientific American por el permiso obtenido para repro-ducir tmrios de los diagramas contenidos en el texto, queaparecieron en un artículo sobre el teorema de Gódel

fublicado en eInúmero de junio de 1956 de dicharevista.Agradecen, por último, al profesor Morris Kline, de Ia

Uniaersidad de Nuew York, sus aaliosas indicaciones conrespecto aI manuscrita original.

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INTRODUCCION

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En l95l apareció en una publicación científica alemanaun trabaj,o, relativamente corto, que llevaba el impresio-nante título de "g6sr formal unentscheidbare Sátze derPrincipia Mathematica und verwandter Systeme, usobrelas proposiciones formalmente indecidibles de los hinci-pia Mathematica y sistemas conexo$'. Su autor era KurtGódel, a la saz6n un joven matemático de veinticincoaños de la Universidad de Viena y, desde 1938, miembroperynanente del Instituto de Estuáios Avanzados de Prin-ceton. Dicho trabajo constituye una piedra miliaria en lahistoria de la lógica y las matemáticas. Cuando la Univer-sidad de Harvard le invistió como doctor honoris causa, en1952,la mención describió la obra como uno de los másimportantes avances que en el campo de la lógica se hanrealizado en los tiempos modernos.

En la época de su publicación, sin embargo, ni el títulodel trabajo de Gódel ni su contenido eran inteligibles pa-ra la mayorla de los matemáticos. Los Principia Mathe-matica mencionados en eI título son el monumental tra-tado en tres volúmenes debido a Alfred North Whiteheady Bertrand Russell sobre la lógica matemática y los fun-damentos de las matemáticas, y el conocimiento de esaobra es un requisito indispensable para la realización deuna fructuosa investigación en la mayorfa de las ramas de

16 ELTEOREMADEGÓDEL

la ciencia matemática' Además' el trabajo de Gidel versa

,o¡r" uira serie de cuesdones que nunca han atraldo más

;;; "" gr"p" relativamenre reducido de estudiosos. El

i"rorr"*iJtro a.t teorema era tan nuevo en el momento

J. ,o publicación' que sólo quienes se hallaban pertre-

chados con un profundo conocimiento de la literatura

técnica sumamente especializada podían seguir y com-

prender plenamente la línea argumentativa del mismo'

i.tout-*te, sin embargo, las conclusiones establecidas

por Gódel son Por todos reconocidas como verdadera-

-.rr," revolucionarias por su honda significación filosófi-

ca. Lafinalidad del presente ensayo es hacer accesibles-a

los no especialistas ei núcleo esencial de los hallazgos de

Gódel y las líneas generales de su teorema' '

H fámoso trabajo de Gódel se centró sobre un impor-

tante problema raáicado en el fundamento mismo de las

matemáticas. Antes de entrar de lleno en su exposición'

será conveniente dar una breve explicación del terreno en

que se desenvuelve dicho problema' Todo el que haya es'

ü¿iu¿o geometría elemental recordará, sin duda' que és-

ta es enseñada como una disciplina deducú¿'a¿. No se la

presenta como una ciencia experimental, cuyos teoremas

áeban ser aceptados por hallarse de acuerdo con lo que

enseña la observación. Esta idea de que una proposición

puede ser establecida como conclusión de una prueba ló-

gica explicita se remonta a los antiguos griegos, los cuales

áescubrieron lo que se conoce con el nombre de <método

axiomático" y lo utilizaron para obtener un desarrollo sis-

temático de ia geometía. fu método axiomático consiste

en aceptar sen piueba ciertas proposiciones como axiomas

o portoludos (pot ejemplo, el axioma de que entre dos

pü,ot sólo puide trazarse una línea recta), y en derivar

io"go de .sos axiomas todas las demás proposiciones del

INTRODUCCION 17

sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas constitu-yen los ucimientos' ¿.1 sistema; los teoremas son la<superestructura), y se obtienen a partir de los axiomassirviéndoce, exilusivamente, de los principios de la lógica.

El desarrollo axiomático de la geometría produjo unapoderosa impresión en los pensadores de todos los tiem-pos, ya que el relativamente pequeño número de axiomassoporta el peso de las infinitamente numerosas proposi-ciones que de ellos podían derivarse. Además, si puededemostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas-), en efecto, durante cerca de dos mil años la mayoríade los estudiosos han creído sin discusión que son absolu-tamente ciertos-, quedan automáticamente garantiza-das tanto la verdad como la consistencia mutua de todoslos teoremas. Por estas razones la forma axiomática de lageometría se presentó a muchas generaciones de destaca-dos pensadores como el más excelente modelo de conoci-miento científico. Era natural preguntar, por tanto, siera posible asentar sobre un sólido cimiento axiomáticootras ramas de pensamiento además de la geometría. Noobstante, aunque en la antigüedad se dio una formula-ción axiomática a ciertas partes de la física (verbigracia:por Arquímedes), hasta los tiempos modernos la geome-tría era la única rama de las matemáticas dotada de loque la mayoría de los estudiosos consideraban una ade-cuada base axiomática.

Pero durante los dos últimos siglos el método axiomáti-co ha ido adquiriendo fuerza y vigor crecientes. Nuevas yviejas ramas de las matemáticas, incluyendo la familiararitmética de los números cardinales (o uenteros,r), fueronprovistas de lo que parecían ser unos adecuados conjuntosde axiomas. Nació así un estado de opinión en el que seadmitía tácitamente que todos los sectores del pensa-

18 EL TEOREMA DE GODEL

miento matemático podrÍan ser dotados de unos con-juntos de axiomas susceptibles de desarrollar sistemática-mente la infinita totalidad de proposiciones veidaderas

suscitadas en el campo sujeto a investigación.El trabajo de Gódel demostró que esta suposición es in-

sostenible. Puso frente a los matemáticos la asombrosa ymelancólica conclusión de que el método axiornático po-see ciertas limitaciones intrlnsecas que excluyen la posi-bilidad de que ni siquiera la aritmética ordinaria de losnúmeros enteros pueda llegar a ser plenamente axiomati-zada. Y aún más, demostró que es imposible establecer laconsistencia lógica interna de una amp[ia clase de siste-mas deductivos -la aritmética elemental, por ejem-plo , a menos que se adopten principios tan complejosde razonamiento que su consistencia interna quede tansujeta a la duda como la de los propios sistemas. A la luzde estas conclusiones, resulta inalcanzable una completasistematización final de muchas y muy importantes zonasde las matemáticas y no puede darse ninguna garantiaabsolutamente impecable de que muchas de las más sig-nificativas ramas del pensamiento matemático se ha{lenenteramente libres de toda contradicción interna.

Los descubrimientos de Gidel socavaron, así, Pre-juicios profundamente arraigados y demolieron las anti-

guas esperanzas que estaban siendo nuevamente alimen-tadas por la investigación en torno a los fundamentos delas matemáticas. Pero su estudio no era totalmente nega-

tivo. Introdujo en el examen de las cuestiones planteadasen torno al fundamento de las matemáticas una nueva

técnica de análisis, comparable por su naturaleza y su fe-

cundidad al método algebraico que René Descartes intro-

dujo en la geometría. Esta técnica sugería y planteabanuevos problemas para la investigación lógica y matemá'

INTRODUCCION I9

tica. Provocó una nueva valoración, todavía en trance dedesarrollo, de una extendida filosofía de la matemática yde la filosofía del conocimiento en general.

Sin una considerable formación matemática es dema-siado difícil seguir los detalles de las demostraciones da-das por Gódel en su ya histórico trabajo. Pero la estmctu-ra básica de sus razonamientos y el aspecto esencial de susconclusiones pueden ser hechos accesibles a los lectoresque se hallen dotados de una limitada preparación lógicay matemática. Para lograr esta comprensión puede que lesea útil al lector una breve exposición de ciertos relevan-tes progresos realizados en la historia de las matemáticasy de la moderna lógica formal. Los cuatro capítulos si-guientes de este ensayo se hallan consagrados a dicha ex-posición.

-ll

2EL PROBLEMA

DE LA CONSISTENCIA

El siglo XIX presenció una prodigiosa expansión e in-tensificación de la investigación matemática. Fueron re-sueltos muchos problemas fundamentales que durantelargo tiempo habían resistido los esfuerzos de los pensado-res anteriores: se crearon nuevos sectores de estudio mate-mático y se establecieron nuevos cimientos en diversasramas de la disciplina o se reformaron por completo losantiguos con la ayuda de técnicas analíticas más precisas.Sirva de ejemplo lo siguiente. Los griegos habían pro-puesto tres problemas de geometría elemental: con reglay compás, dividir en tres partes iguales un ángulo cual-quiera, construir un cubo de doble volumen que el volu-men de un cubo dado y construir un cuadrado de áreaigual a la de un cífculo dado. Durante más de dos milaños se hicieron infructuosos esfuerzos por resolver estosproblemas. Y, finalmente, en el siglo XIX, se demostróque tales construcciones son lógicamente imposibles. Seobtuvo, además, un valioso resultado secundario de esostrabajos. Puesto que las soluciones dependen esencial-mente de determinar la clase de raíces que satisfacen aciertas ecuaciones, el interés suscitado por los famososejercicios planteados en la antigüedad estimuló la realiza-ción de profundas investigaciones acerca de la naturalezade los números y sobre la estructura del continuo numéri-


co. Los números negativos, comPlejos e irracionales fue-

ron definidos con rigototu precisión; se construyó una ba-

;; iód." para el sistáma de números reales y se fundó una

,ro.á ru*u de las matemáticas: la teoría de los números

transfinitos'Pero el Progreso más importante por sus rePercuslones

sobre t" ,ofrig.,iente enoluiión de la ciencia matemática

foe, quizá, la solución de otro problema que los griegos

habían planteado sin darle una respuesta' Uno de los

"*io*as qoe Euclides utilizó para sistematizar la geome-

tría se refiere a las paralelas' El axioma que adoptó es ló-

gicamente equivalente (aunque no idéntico) a la hipótesis

de que por un punto exterior a una línea dada solamente

prr"d. trururr. una paralela a esa línea' Por varias razo-

nes, este axioma no pareció *evidente por sí mismon a los

antiguos. Trataron, Por tanto, de deducirlo de otros

ariÁas euclidianos que consideraban claramente auto-

evidentes.l ¿Puede hallarse una demostración del axioma

de las paralelas? Generaciones enteras de matemáticos

forcejeáron sin resultado con esta cuestión' Pero el reite-

.ado"fra.aso en el intento de construir una prueba no sig-

I La razi¡principal de esta suPuesta falta de autoevidencia parece haber

sido el hecho d" que el axioma de las paralelas formula una afirmación acer-

ca de regiones infinitamente remotas del espacio' Euclides define las líneas

paralelas como llneas rectas situadas en un plano que oprolongándose indefi-

riidamente en ambas direcciones' no se encuentran' Por consiguiente' decir

que dos llneas son paralelas es sentar la afirmación de que esas dos líneas no

seencontraránnisiquierauenelinf initoo'Perolosantiguosconocían}íneasque, aunque no se cortan en ninguna región finita del plano' se encuentran

oen el infinitoo' De tales líneas se dice que son uasintóticas"' Así' una hipérbo-

la es asintótica respecto a sus ejes' A los geómetras antiguos no les resultaba

intuitivamente evidente, Por tanto, que desde un Punto exterior a una línea

recta dada solamente pudiera trazarse una línea recta que no se encontrara

con aquélla ni siquiera en el infinito'

EL PROBLEMA DE LA CONSISTENCIA 25

nifica que no pueda ser encontrada ninguna en absoluto,del mismo modo que el reiterado fracaso en el intento dehallar un remedio para el resfriado común no demuestrade forma indudable qu.e la humanidad haya de sufrireternamente sus molestias. Fue solamente en el sigloXIX, principalmente por la obra de Gauss, Bolyai, I,o-bachevsky y Riemann, cuando se demostríla imposibili-dad de deducir de otros axiomas el axioma de las parale-Ias. Este resultado tuvo una . importancia intelectualextraordinaria. En primer lugar, llamó clamoiosamentela atención hacia el hecho de que puede demostrarse laimposíbilidad de demostrar ciertas proposiciones denrrode un determinado sistema. Como u...*os, el trabajo deGódel es una demostración de la imposibilidad de de-mostrar ciertas importantes proposiciones de la aritméti-ca. En segundo lugar, la resolución de Ia cuesrión plante-ada por el axioma de las paralelas obligó a admitir queEuclides no habÍa dicho la última palabra acerca de lageometría, ya que pueden construirse nuevos sistemas degeometría utilizando cierto número de axiomas distintosde los adoptados por Euclides e incompatibles con ellos.En particular, como es bien sabido, se obtienen resulta-dos extraordinariamente interesantes y fructíferos cuan-do se sustituye el axioma de las paraleias de Euclides porla hipótesis de que, por un punto dado, puede trazarsemás de una paralela a una línea determinada, o, alterna-tivamente, por la hipótesis de que no puede trazarse nin-guna paralela. La creencia tradicional de que los axio-mas de la geometría (o, lo que es lo mismo, los axiornasde cualquier disciplina) pueden ser establecidos como ta-les por su aparente autoevidencia fue así destruida en sumisma base. Además, fue haciéndose cada vez más claroque la tarea propia del matemático puro es deducir teore-


rnas a partir de hipótesis postuladas, y gue, como mate-mático, no le atañe la cuestión de decidir si los axiomasque acepta son realmente verdaderos. Y, finalníente, es-tas modificaciones de la geometría ortodoxa estimularonla revisión y perfección de las bases axiomáticas de otrosmuchos sistemas matemáticos. Se dio un fundamentoaxiomático a campos de investigación que hasta entonceshabían sido cultivados de una forma más o menos intuiti-va (uéase apéndice número l).

La conciusión dominante desprendida de estos estudioscríticos de los fundamentos de las matemáticas es que laantigua concepción de las matemáticas como uciencia dela cantidad, es equivocada, además de engañosa. Pues sehizo evidente que la matemática es, simplemente, la dis-ciplina por excelencia que extrae las conclusiones lógica-mente implicadas en cualquier conjunto dado de axiomaso postulados. Llegó, de hecho, a reconocerse que la vali-dez de una deducción matemática no depende en absolutode ningún significado especial que pueda estar asociadocon los términos o expresiones contenidos en los pos-tulados. Se admitió así que las matemáticas eran algomucho más abstracto y formal de lo que traücionalmentese había supuesto; más abstracto, porque las afirma-ciones matemáticas pueden ser hechas en principio sobrecualquier objeto, sin estar esencialmente circunscritas aun determinado conjunto de objetos o de propiedades delobjeto, y más formal, porque la validez de las demostra-

ciones matemáticas se asienta en la estructura de las afirma-ciones más que en la naturaleza especial de su contenidq.Los postulados de cualquier rama de la matemática de-mostrativa nunca versan intúrsecamente sobre el espacio,la cantidad, manzanas, ángulos o presupuestos finan-cieros; y ningún significado especial que pueda asociarse


con los términos (o "predicados descriptivou) contenidosen los postulados desempeña papel esencial alguno en elproceso de deducir teoremas. Repetimos que la únicacuestión a la que se enfrenta el matemático puro (encuanto diferente del científico que hace uso de las mate-máticas en la investigación de un determinado objeto deestudio) no es si los postulados de que parte o las conclu-siones que de ellos deduce son verdaderos, sino si lasconclusiones obtenidas son realmente las consecuenciaslógicas necesarias de las hipótesis iniciales.

Consideremos un ejemplo. Entre los términos no defini-dos (o nprimitivosu) empleados por el destacado matemá-tico alemán David Hilbert en su famosa axiomatizaciónde la geometría (publicada en 1899) se hallan <punto>,olínean, <estar situado en) y <entrer. Podemos admitir quelos significados habituales relacionados con estas expre-siones desempeñan un papel en el proceso de descubrir yaprender teoremas. Puesto que los significados nos sonfamiliares nos damos cuenta de que comprendemos susdiversas relaciones mutuas y ellos también motivan laformulación y selección de axiomas; además, sugieren yfacilitan la formulación de las afirmaciones que espera-mos demostrar como teoremas. Sin embargo, como pala-dinamente declara Hilbert, mientras estemos interesadosen la fundamental labor matemática de explorar las rela-ciones estrictamente lógicas de dependencia entre afir-maciones debemos prescincir de las connotaciones familia-res de los términos primitivosz, y los únicos osignificados"

2 Dicho en un lenguaje más técnico, los términos primitivos quedan

"implícitamenten definidos por los axiomas, y todo lo que no se hallatomprendido por las definiciones impllcitas es irrelevante para la demostra-ción de los teoremas.


que se deben asociar con ellos son los que se hallan deter-minados por los axiomas en que están contenidos. A estoes a lo que se refiere el famoso epigrama'de Russell: lamatemática pura es la ciencia en la que no sabemos dequé estamos hablando ni si lo que estamos diciendo esverdadero.

No es fácil, desde luego, adentrarse en un terreno derigurosa abstracción, carente de toda clase de mojones se-ñaladores. Pero ofrece compensaciones importantes en for-ma de una nueva libertad de movimientos y de renovadasperspectivas. La acentuada formalización de las mate-máticas emancipó la mente de los hombres de las restric-ciones que la habitual interpretación de las expresionesestablecía para la construcción de nuevos sistemas de pos-tulados. Surgieron nuevas especies de álgebras y de geo-metrías que señalaron importantes desviaciones respectode las matemáticas tradicionales. Al hacerse más gene-rales los significados de ciertos términos se hizo másamplia su utilización y menos limitadas las deduccionesque podían extraerse de ellos. La formalizaciln condujoa una gran variedad de sistemas de considerable interésmatemático y de un valor extraordinario. preciso esadmitir que algunos de estos sistemas no se prestaban ainterpretaciones tan evidentemente intuitivas (esto es,conformes al sentido común) como las de la geometríaeuclidiana o de la aritmética, pero este hecho no causóninguna alarma. La intuición, en realidad, es una facul-tad elástica; nuestros hijos no encontrarán, probable-mente, dificultad alguna en aceptar como intuitivamenteevidentes las paradojas de la relatividad, del mismo modoque nosotros no retrocedemos ante ideas que eran consi-deradas completamente no intuitivas hace un par degeneraciones. Además, como todos sabemos, la intuición


no es una guía segura: no puede ser utilizada adecuada-mente como criterio de verdad ni de fecundidad en lasexploraciones científicas.

La creciente abstracción de las matemáticas planteó,empero, un problema más serio. Suscitó la cuestión de siun determinado conjunto de postulados erigidos comobases de un sistema es internamente consist€nte, de talmodo que no puedan deducirse teoremas mutuamentecontradictorios a partir de esos postulados. El problemano parece apremiante cuando se considera un conjuntode axiomas que versan sobre una especie concreta y cono-cida de objetos, ya que entonces no sólo es significativopreguntar, sino que puede ser posible asegurarse de ello,si los axiomas son verdaderos referidos a tales objetos. Co-mo se daba generalmente por supuesto que los axiomaseuclidianos eran afirmaciones verdaderas respecto al es-pacio (o a los objetos en el espacio), ningún matemáticoanterior al siglo XIX se detuvo siquiera a considerar lacuestión de si podría deducirse algún día de tales axiomasun par de teoremas contradictorios. El fundamento de es-ta confianza en la consistencia de la geometría euclidianaes el recto principio de que no pueden ser simultáne-amente verdaderas afirmaciones lógicamente incompa-tibles; por consiguiente, si es verdadero un conjunto deafirmaciones (que es lo que se daba por supuesto respectode los axiomas euclidianos), esas afirmaciones son mu-tuamente consistentes.

Las geometúas no euclidianas pertenecían a una cate-goría diferente. Sus axiomas fueron considerados inicial-mente como siendo claramente falsos respecto del espacio y,por este motivo, dudosamente verdaderos respecto de cual-quier otra cosa; por ello fue considerado notablementearduo, a la par que decisivo, el problema de establecer la

30 EL TEOREMA DE GÓDEL

consistencia interna de los sistemas no euclidianos. En lageometría riemanniana, por ejemplo, el postulado de lasparalelas de Euclides es sustituido por la hipótesis de quepor un punto dado exterior a una línea no puede trazarseninguna paralela a ella. Planteémonod ahora la cuesriónde si es consistente el conjunto riemanniano de postula-dos. Aparentemente, los postulados no son verdaderos re-feridos al espacio de la experiencia ordinaria. ¿Cómopuede entonces mostrarse su consistencia? ¿Cómo puededemostrarse que no conducirán a teoremas contra-dictorios? Evidentemente, la cuestión no queda resueltapor el hecho de que los teoremas ya deducidos no se con-tradicen entre sí, sino que subsiste la posibiüdad de queel próximo teorema deducido introduzca la discordia enel sistema. Pero hasta que se resuelva esa cuestión nopuede haber certeza de que Ia geometría reimannianaconstituya una verdadera alternativa al sistema eucli-diano, esto es, que sea igualmente válida matemática-mente. La posibilidad misma de la existencia de geome-trías no euclidianas pasó así a depender de la resoluciónde este problema.

Se ideó un método general para su resolución. La ideabásica consiste en encontrar un "modelor' (o uinterpreta-ciónu) para los postulados abstractos de un sistema, de talmo<io que cada postulado se convierta en una afirmaciónverdadera respecto del modelo. En el caso de la geo-metría euclidiana, corno hemos visto, el modelo era el es-pacio ordinario. Se utilizó el método para encontrar otrosmodelos cuyos elementos pudiesen servir de puntos deapoyo para determinar la consistencia de postulados abs-tractos. El procedimiento viene a ser el siguiente. Desig-nemos con la palabra *clase, un conjunto o colección deelementos distintos, cada uno de los cuales recibe la deno-

EL PROBLEMA DE LA CONSISTENCIA 3I

minación de miembro de la clase. Así, la clase de núme-ros primos menores de l0 es el conjunto cuyos miembrosson 2, 3,5 y 7. Consideremos la siguiente serie de postula-dos concernientes a dos clases, K y L, cuya naturalezaconcreta se deja indeterminada excepto en lo que resultauimplícitamente, definido por los postulados:

1. Dob miembros cualesquiera de K se hallan conteni-dos.en un solo miembro de L.

2- Ningún miembro de K se halla contenido en más dedos miembros de L.

3. No todos los miembros de K se hallan contenidos enun único miembro de L.

4. Dos miembros cualesquiera de L contienen a un so-lo miembro de K.

5. Ningun miembro de L contiene a más de dosmiembros de K.

De este pequeño conjunto podemos derivar, aplicandolas reglas corrientes de deducción, cierto número de teo-remas. Puede demostrarse, por ejemplo, que K contienetres miembros solamente. Pero ¿se halla dotado este con-junto de c.onsistencia, hasta el punto de que nuncapuedan deducirse de él teoremas mutuamente contradic-torios? Puede responderse prontamente a la cuestión conayuda del modelo siguiente:

Sea K la clase de puntos que componen los vérticesde un triángulo, y L la clase de llneas que forman suslados. Entendamos la frase uun miembro de K se hallacontenido en un miembro de L, en el sentido de queun punto que es un vértice está situado en una líneaque es un lado. Cada uno de los cinco postulados abs-


tractos se convierte entonies en una afirmación verda-dera. Por ejemplo, el primer postulad.o afirma que dospuntos cualesquiera que sean vértices del tríángulo ra_dican solamente en una misma línea que sea un lado.(aéasefigural). De esta forma queda demostrada laconsistencia del conjunto de postulados.

V 1 \ , ,

LFigura I

EI modelo para una serie de postulados acerca de dos clases, K y L, es untriángulo cuyos vértices son los miembros de K y cuyos lados son los miembrosde L. El modelo geométrico hace ostensibl" t" .orrrirt.rr.ia de los postulados.

La consistencia de la geometría plana .iemannianapuede también demostrarse ostensiblemente mediante unmodelo en que encarnen los postülados. podemos in-terpretar la expresión ..plano, de los axiomas rieman_nianos como (significativa de) una esfera euclidiana, laexpresión <punto> como un punto de esta superficie, laexpresión "línea recta> como el arco de un círiulo máxi-mo de esta superficie, es decir, de la esfera, y así sucesiva-mente. Cada postulado riemanniano se traduce entoncespor un teorema de Euclides. Así, por ejemplo, según estainterpretación el postulado riemanniano de las paralelaspresenta el siguiente enunciado: por un punto de la su_


perficie de una esfera no puede trazarse ningún arco decírculo máximo paralelo a un arco dado de cí¡culo máxi-llao. (aéase fígura 2).

A primera vista puede parecer concluyente esta pruebade la consistencia de la geometria riemanniana. Pero si seexamina más atentamente surge el desconcierto, puesse descubrirá entonces que el problema no ha sido resuel-to, sino simplemente desplazado a otro terreno. Se inten-

ta demostrar la consistencia de la geometúa riemannianaapelando a la consistencia de la geometría euclidiana. Lo

que se desprende entonces es solamente que la geometríariemanniana es consistente.si es consistente la geometríaeuclidiana. Resulta así que se invoca la autoridad de

Euclides para demostrar la consistencia de un sistema que

discute la validez exclusiva de Euclides. La insoslayablecuestión es: ¿son consistentes por sí mismos los axiomasdel sistema euclidiano?

Una respuesta a esta cuestión, consagrada, como he-

mos visto, por una larga tradición, es que los axiomaseuclidianos son verdaderos y, por tanto, consistentes. Esta

respuesta no se considera ya aceptable. Volveremos luego

sobre ella y explicaremos por qué no es satisfactoria. Otra

contestación es que los axiomas están de acuerdo connuestra actual, aunque limitada, experiencia del espacioy que se halla perfectamente justificado hacer una extra-

polación de lo particular a lo universal. Pero, por muchaspruebas inductivas que puedan aducirse en apoyo de esta

postura, nuestra mejor demostración sería lógicamenteincompleta, pues aun cuando todos los hechos observadosmantengan su concordancia con los axiomas, subsiste la

posibilidad de que un hecho hasta ahora inobservadopueda contradecirlos y destruir asÍ su Pretensión de uni-

versalidad. Lo más que pueden mostrar las conside'

Figura 2

La geometía no euclidiana de Bernhard Riemann puede ser representadamediante un modelo euclidiano. El prano riemanniano se convierte en la su-perficie de una esfera euclidiana, ros puntos der plano se convierten en pun-tos de esa superlicie, las líneas rectas del plano se corruierten en c-rrculos máxi-mos, Asl, una porción del plano riemanniano limitada por segmentos delíneas recras queda representado como una porción de h Áfera limitada porarcos de círculos máximos (centro). Dos segmentos de línea recta en el pranoreimanniano son dos segmentos de círculos máximos en la esfera eucriáiana(debajo), y éstos, si se prolongan, se cortan efectivamente, contradiciendo asíel postulado de las paralelas.


raciones inductivas es que los axiomas son plausibles, oprobablemente verdaderos.

Hilbert hizo un ensayo en otra dirección. La idea bási-ca del misrno se apoya en la geometúa de coordenadas car-tesianas. En su interpretación, los axiomas de Euclides setransformaban simplemente en verdades algebraicas.Así, por ejemplo, tomando los axiomas de la geometríaplana, hace que la expresión (puntoD siguifique un par denúmeros, la expresión ulínea recta¡> la relación (lineal)entre números expresada por una ecuación de primergrado con dos incógnitas, la expresión ucírculou la rela-ción entre números expresada por una ecuación de se-gundo grado de cierta forma, y así sucesivamente. Laafirmación geométrica de que dos puntos distintos deter-minan solamente una línea recta se transforma entoncesen la verdad algebraica de que dos pares distintos de nú-meros determinan solamente una relación lineál; el teore-ma geométrico de que una línea recta corta a un círculoen dos puntos como máximo, en el teorema algebraico deque un par de simultáneas ecuaciones con dos incógnitas(una de las cuales es lineal y la otra de segundo grado decierto tipo) determinan dos pares de números reales comomáximo, y así sucesivamente. En resumen, la consistenciade los postulados euclidianos se demuestra haciendo verque satisfacen a un modelo algebraico. Este método dedemostrar la consistencia es válido y efrcaz. Sin embargo,es también vulnerable a la objeción ya expuesta, puestambién aquí se resuelve el problema planteado en unterreno desplazándolo a otro. La argumentación de Hil-

bert en favor de la consistencia de sus postulados geométri-cos demuestra que si el álgebra es consistente también loes su sistema geométrico.

La prueba se halla en una clara dependencia de la su-

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I


puesta consisteneia de otro sistema y no es una prueba<absoluta>.

En los diversos intentos realizados para resolver el pro-blema de la consistencia late siempre una pennanentefuente de dificultad, la cual radica en el hecho de que losaxiomas son interpretados por modelos compuestos de unnúmero infinito de elementos. Esto hace imposible en-cerrar los modelos en un número finito de observaciones;de ahí que la verdad de los axiomas sea objeto de duda.En la argumentación inductiva en favor de la verdad dela geometría euclidiana un número finito de hechos ob-servados acerca del espacio se hallan presumiblemente deacuerdo con los axiomas, Pero la conclusión que se tratade demostrar implica una extrapolación de una serie fini-ta de datos a otra infinita. ¿Cómo podemos justificar estesalto? Por otra parte, la dificultad queda minimizada, sino completamente eliminada, allá donde pueda idearseun modelo que contenga solamente un número limitadode elementos. El triángulo modelo utilizado para demos-trar la consistencia de los cinco postulados abstractosreferidos a las clases K y L es finito; y es relativarnentesencillo determinar por medio de una inspección si todoslos elementos del modelo satisfacen realmente a los postu-lados y, por consiguiente, si son verdaderos (y, pot tanto,consistentes). Por ejemplo: examinando sucesivamentetodos los vértices del triángulo modelo puede verse si secumple el enunciado de que dos cualesquiera de ellos ra-dican únicamente en un solo lado, con lo que queda de-mostrado como verdadero el primer postulado. Puestoque todos los elementos del modelo, así como las rela-ciones relevantes existentes entre ellos, se prestan a unadirecta y exhaustiva inspección, y puesto que es práctica-mente nula la probabilidad de que se produzcan errores


al inspeccionarlos, la consistencia de los postulados no

suscita en este caso duda alguna.

Desafortunadamente, la mayoría de los sistemas de

postulados que constituyen los fundamentos de numero--sas

e importántes ramas de las matemáticas no pueden ser

reflejados en modelos finitos. considérese el postulado de

la aritmética elemental que afirma que todo número en-

tero tiene un inmediato sucesor, distinto de todo otro nú-

mero anterior. Resulta evidente que el modelo necesario

para comProbar el conjunto a que pertenece este Postula-

io.o puede ser finito, sino que debe contener una infini-

dad de elementos. De ello se desprende que la verdad (y'

por tanto, la consistencia) del conjunto no puede de-

Lostrarse mediante una inspección exhaustiva de un nú'

mero limitado de elementos. Hemos llegado, al parecer'

a un callejón sin salida. Los modelos finitos bastan' en

principio, para demostrar la consistencia de ciertos con-

juntos de postulados, pero éstos tienen una muy escasa

i-portutt.ia matemática. Lbs modelos no finitos' necesa-

rios para la interpretación de la mayorla de los sistemas

de ptstulados matemáticamente importantes, sólo pue-

den ser descritos en términos gener4les; y no podemos dar

por sentado que las descripciones se hallen exentas de

ocultas contradicciones.Al llegar a este punto se siente uno tentado a sugerir

qoe podemos estai seguros de la consistencia de las for-

muliciones en que se describen los modelos no finitos si

las nociones básicas empleadas son transparentemente

,.claras,, y udistintasu. Pero la historia del pensamiento no

ha solido admitir la doctrina de las ideas claras y distintas

ni la teoría del conocimiento intuitivo implícita en la su-

gerencia. En ciertas zonas de la investigación m1t1máti-ca

I. qo" las hipótesis acerca de los conjuntos infinitos de-

¡,, .It

ri


sempeñan un imPortante Papel han surgido contradiccio-

nes radicales, pese a la intuitiva claridad de las nociones

implicadas en las hipótesis y pese al carácter aparente-

mente consistente de las cofistrucciones intelectuales rea-

lizadas. Contradicciones de éstas (denominadas técnica-mente <antinomias") han aparecido en la teoúa de losnúmeros transfinitos, desarrollada por Georg Cantor enel siglo XIX; y la presencia de estas contradicciones ha

hecho evidente que la aparente claridad de ni siquierauna noción tan elemental como la de clase (o conjunto)garantiza la consistencia de cualquier sistema concretoque se edifique sobre ella. Puesto que la teoría matemáti-ca de las clases, ![ue versa sobre las propiedades y rela-

ciones de los agregados o colecciones de elementos, es

frecuentemente adoptada como fundamento para otrasramas de las matemáticas, y, en particular, para la arit-mética elemental, es oportuno plantearse la cuestión de sino se hallarán afectadas las formulaciones de otras Partesde las matemáticas de contradicciones similares a las en-contradas en la teoúa de las clases infinitas.

A este respecto, Bertand Russell construyó una cohtra-dicción dentro del sistema mismo de la lógica elemental,que es precisamente análoga a la contradicción primera-mente desarrollada en la teoría cantoriana de las clasesinfinitas. La antinomia de Russell puede ser enunciadadel modo siguiente. Las clases parecen ser de dos tipos:las que no se contienen a sí mismas como miembros y lasque sÍ se contienen. Una clase será llamada unormal, si, ysolamente si, no se contiene a sl misma como miembro;en otro caso se la llamará <<no nonnalr. Un ejemplo declase normal es la clase de los matemáticos, ya que, evi-dentemente, la.clase misma no es un matemático y, portanto, no es un miembro de sí misma. Un ejemplo de cla-


se no normal es la clase de todas las cosas pensables, yaque la clase de todas las cosas pensables es, a su vez, pen-sable y, por consiguiente, un miembro de sí misma. SeauN', por definición, la clase de tod,u las clases normales.Preguntamos si N mismo es una clase normal. Si N esnormal, es un miembro de sf misma (pues, por defini-ción, N contiene a todas las clases normales); pero, en esecaso, N es no normal, porque, por definición, una claseque se contiene a sf misma es no noÍnal. Por otra parte,si N es no normal, es un miembro de sí misma (por la difi-nición de no normal); pero, eR ese caso, N es normal por-que, por definición, los miembros de N son las clases nor-males. En resumen, N es normal si, y solamente si, N esno normal. De lo que se desprende que la afirmación "Nes normal,' es verdadera y falsa ala vez. Esta fatal contra-dicción se produce como consecuencia de utilizar sinespíritu crítico una noción aparentemente diáfana de cla-se. Posteriormente fueron encontrándose otras paradojas,construidas todas por medio de familiares y aparente-mente convincentes modos de razonamiento. Los mate-máticos acabaron comprendiendo que, en la tarea dedesarrollar sistemas consistentes, la familiaridad y la clari-dad intuitiva son soportes harto débiles en que apoyarse.

Hemos visto la importancia del problema de la consis-tencia y hemos trabado conqcimiento con el método clási-co de resolverlo con ayuda de modelos. Se ha mostradoque, en la mayoría de los casos, el problema requiere eluso de un modelo no finito, cuya descripción puede con-tener ella misma inconsistencias. Debemos concluir que,si bien el método del modelo constituye una valiosa herra-mienta matemática, no suministra una respuesta definiti-va al problema que trataba de resolver.

3PRUEBAS

I ABSOTUTAS,t DE coNsrsrnl\crA

Las limitaciones inherentes a la utiiización de modelospara demostrar la consistencia y la creciente aprensión deque las formulaciones clásicas de muchos sistemas mate-máticos pudiesen albergar contradicciones internas con-dujeron a nuevas formas de abordar el problema. Hilbertpropuso una alternativa a las pruebas relativas de consis-tencia. Trató de construir pruebas oabsolutasu con lasque pudiera demostrarse la consistencia de los sistemassin necesidad de dar por supuesta la consistencia de algúnotro sistema. Explicaremos brevemente este método conel fin de que pueda comprenderse mejor la realización deGódel.

El primer paso en la construcción de una prueba abso-luta, tal como concibió Hilbert la cuestión, es la completa

formalización de un sistema deductivo. Esto impiica laextracción de todo significado de las expresiones existentesdentro del sistema: se las debe considerar, simplemente,como signos vacíos. La forma en que se deben manipulary combinar estos signos ha de ser plasmada en un conjun-to de reglas enunciadas con toda precisión. La finalidadde este procedimiento estriba en construir un sistema designos (llamado un "cálculor) que no oculte nada y quesolamente contenga lo que expresamente se haya puestoen é1. Los postulados y los teoremas de un sistema

U ELTEOREMADEGODEL

completamente foünalizado son uhilerasu (o sucesiones delongitud finita) de signos carentes de sigrrificado cons-truidas conforme a las reglas establecidas pára combinarlos signos elementales del. sistema hasta formar másamplios conjuntos. Además, cuando un sistema ha sidocompletamente formalizado, la derivación de teoremas apartir de los postulados se limita, simplemente, a la trans-formación (siguiendo la regla) de un conjunto de estasuhileras" en otro conjunto de ohilerasu. De esta manera seelimina el peligro de utilizar cualesquiera reglas no decla-radas de razonamiento. La formalización es difícil y.exigeun buen número de tretas, pero sirve a una valiosa finali-dad. Revela con desnuda claridad la estructura y la fun-ción, del mismo modo que el nítido modelo de una má-quina. Cuando ha sido formalizado un sistema, quedan ala vista las relaciones lógicas existentes entre las proposi-ciones matemáticas; pueden verse los módulos estrucjturales de las diversas uhileras" de signos (carentes designificado'r, cómo permanecen unidas, cómo se combi-nan, cómo se alojan una en otra, etcétera.

Una página entera cubierta con los signos ocarentes designificado> de este tipo de matemáticas formalizadas noafirma nada; es, simplemente, el diseño abstracto de unmosaico que posee una determinada estructura. Sin em-bargo, es perfectamente posible describir las configura-ciones de un sistema asÍ y formular declaraciones acercade las configuraciones y de ,sus diversas relaciones mu-tuas. Puede uno decir que una uhilera, es bonita, o que separece a otra uhilerau, o que una uhilera) parece estarhecha de otras tres distintas, etcétera. Estas declaracionesposeen, evidentemente, significado y pueden suministrarinformación importante acerca del sistema formal. Es-preciso observar, no obstante, que tales declaraciones sig-

PRUEBAS DE ABSOLUTA CONSISTENCIA 45

nificativas acerca de un sistema matemático carente designificado (o formalizado) no pertenecen plenamente adicho sistema. Pertenecen a lo que Hilbert denominó<metamatemáticas", al lenguaje que se formula acerca delas matemáticas. Las declaraciones metamatemáticas sondeclaraciones acerca de los signos existentes dentro de unsistema matemático formalizado (es decir, un cálculo),acerca de las especies y disposición de tales signos cuandose combinan para formar hileras más largas de signos lla-madas ufórmulas", o acerca de las relaciones entre fórmu-las que pueden obtenerse como consecuencia de las reglasde manipulación establecidas para ellas.

Unos cuantos ejemplos ayudarán a comprender la dis-tinción de Hilbert entre matemáticas (es decir, un sistemade signos carente de significado) y metamatemáticas (de-claraciones significativas acerca de las matemáticas, lossignos introducidos en el cálculo, su ordenación y sus re-laciones). Consideremos la expresión:

2*3=ú.

Esta expresión pertenece a las matemáticas (aritméti-ca) y está formada exclusivamente de signos aritméticoselementales. Por otra parte,la proposición

'2 + 3 = 5' es una fórmula aritmética,

afirma algo acerca de la expresión indicada. La proposi-ción no expresa un hecho aritmético ni pertenece allenguaje formal de la aritmética; pertenece a la metama-temática porque caractenza como fórmula a una determi-nada hilera de signos aritméticos. Pertenece también a lametamatemática la siguiente proposición:


Si se usa eI signo ':' en unafórmul'a aritmética, el

signo d,ebe hallarseflanquead'o a dereclw e izquierda

por expresiones numéricas-

Esta proposición establece una condición necesaria pa-

ra utiliiar un determinado signo aritmético en fórmulas

aritméticas: la estructura que debe poseer una fórmu-

la aritmética si ha de incluir dicho signo.

Consideremos ahora las tres fórmulas siguientes:

cada una de estas fómulas pertenece a las matemáticas

(aritmética), porque cada una de ellas está formada

exclusivamente de signos aritméticos. Pero la afirmación

x' es una variable

pertenece a las metamatemáticas, toda vez que carácteri-

,u u,rn determinado signo aritmético como perteneciente

a una clase específica de'signos (esto es, a la clase de las

variables). Igualmente pertenece a las metamatemáticas

la siguiente afirmación:

La fórmula '0 : 0' puede deriuarse de Ia fórmula')c = ,c' sustituyendo por la cifra '0' Ia uariable 'x''

Aquí se especifica de qué modo puede obtenerse una

fórmula aritmética a Partir de otra fórmula, con lo que se

describe la forma en que se encuentran relacionadas en-

tre sí dos fórmulas. De modo semejante, la afirmación

x=rc0=00+0

PRUEBASABSOLUTASDECONSISTENCIA 47

'0 + 0' no es un teorema

pertenece a las metamatemáticas, ya que dice que ciertafórmula no es derivable de los axiomas de la aritmética yafirma, por tanto, que no existe una determinada rela-ción entre las dos fórmulas indicadas del sistema. Final-mente, la siguiente afirmación pertenece a las metamate-máticas:

La aritmética es consistente

(esto es, no es posible derivar de los axiomas d.e la aritmé-tica dos fórmulas formalmente contraüctorias, como,por ejemplo, las fórmulas'0 : 0'y'0 + 0'). Esto se hallareferido a la aritmética, y afirma que pares de fórmulasde cierto tipo no se hallan en una específica relación conlas fórmulas que constituyen los axiomas de laaritmética.3

5 Debe hacerse notar que las proposiciones metamatemáticas presentadasen el texto no contienen como partes constitutivas ninguno d.elos signos y fór-mulns matemótecos que aparecen en los ejemplos. A primera vista esta afima-ción parece palpablemente falsa, ya que son ciaramente visibles los signos ylas fórmulas. Pero, si se analizan Ias proposiciones con espíritu analítico, ve-remos que lo dicho es cierto. Las proposiciones metamatemáticas contienenlos nombres de ciertas expresiones aritméticas, pero no las expresiones arit-méticas mismas. La distinción es suril, pero válida e importante. Proviene dela circunstancia de que las reglas de la gramática exigen que ninguna oracióncontenga literalmente el objeto a que pueda referirse la misma, sino solamen-te los nornbres de tales objetos. Evidentemente, cuando hablamos de unaciudad no introducimos la ciudad misma en una oración, sino solamente elnombre de la ciudad; y, análogamente, si queremos decir algo acerca de unapalabra (u otro signo lingülstico) no es la palabra misma (o el signo) lo quepuede aparecer en la oración, sino solamente el nombre de la palabra (o sig-no). De acuerdo con una convención establecida. construimos un nombre

48 ELTEqREMADEGÓDEL

Puede que el lector encuentre intimidante la palabra<metamatemáticas> y un tanto confuso su concePto. No

vamos a decir que la palabra sea bonita, pero la idea en sí

no resultará oscura para nadie si hacemos not¿r que se

utiliza en relación a un caso concreto de una conocida

distinción, la que hace referencia a la diferencia existenteentre un objeto determinado que constituye materia de

estudio y un raciocinio acerca de dicho objeto. La afir-mación €ntre los falaropos son los machos los que incu-

ban los huevosu concierne al objeto investigado por los

zoólogos y pertenece a la zoologla; pero si decimos que es-ta a{irmación acerca de los falaropos demuestra que la

zoología es irracional, nuestra declaración no se refiere alos falaropos, sino a la afirmación enunciada y a la dis-

ciplina en que tiene lugar, y es ya metazoología. Si de-

cimos que el ad es más poderoso que el ¿go, nuestraspalabras pertenecen al psicoanálisis ortodoxo; pero si cri-

ticamos esa declaración como absurda e indemostrable,nuestra crítica pertenece al metapsicoanálisis. Y lo mismoocurre en el caso de la matemática y la metamatemática.Los sistemas formales que construyen los matemáticospertenecen al grupo denominado (matemáticasu; la des-

para una expresión lingüística colocándola entre comillas. Nuestro texto se

adhiere a esta convención. Fs correcto escribir:

Chicago es una ciudad populosa.

Pero es incorrecto escribir:Chicago es trisílaba.

Para expresar lo que se quiere decir con esta oración, se debe escribir:'Chicago'es trisflaba.

Igualmente' es incorrecto

res:n:t:, una ecuación.En vez de ello' debemos

?T"f:H:':"'j":cscribiendo:

PRUEBASABSOLUTASDECONSISTENCIA 49

cripción, discusión y teorización realizadas en torno a lossistemas pertenecen al grupo que lleva el epígrafe de ..me-tamatemáticas".

Nunca se recalcará bastante la importancia que para elobjeto que nos ocupa tiene el que se llegue a apreciar ladistinción entre matemáticas y metamatemáticas. El fra-caso en este sentido ha dado lugar a numerosas paradojasy a una extraordinaria confusión. La comprensión de susigni{icado ha hecho posible mostrar con toda claridad laestructura lógica del razonamiento matemático. El valorde la distinción radica en que da origen a una minuciosacodificación de los diversos signos que entran en la com-posición de un cálculo formal, libre de engañosas suposi-ciones y de irrelevantes asociaciones de ideas. Exige, ade-más, disponer de definiciones exactas de las operaciones y.de las reglas lógicas de la construcción y la deducción ma-temática, muchas de las cuales habían estado siendo apli-cadas por los matemáticos sin que éstos se hallaran plena-mente conscientes de qüé era lo que estaban utilizando.

Hilbert captó el núcleo de la cuestión y basó su intentode construir pruebas uabsolutas> de consistencia en la dis-tinción entre un cálculo formal y su descripción. Concre-tamente, trató de desarrollar un método que produjerademostraciones de consistencia tan ajenas a una auténticaduda lógica como el uso de modelos finitos para demos-trar la consistencia de ciertos conjuntos de postulados,y ello mediante el análisis de un número finito de ca-racterísticas estmcturales de las expresiones contenidasen cálculos completamente formalizados. El análisis con-siste en anotar los diversos tipos de signo¡ que se dan enun cálculo, indicar cómo combinarlos en fórmulas, pres-cribir cómo pueden obtenerse nuevas fórmulas a partir deotras y determinar si fórmulas de una determinada clase

50 ELTEOREMADEGODEL

pueden derivarse de otras mediante reglas operativas ex-plícitamente enunciadas. Hilbert creía posible presentarcualquier cálculo matemático como una'especie de es-quema ugeométrico, de fórmulas, en el que las fórmulasse relacionaran mutuamente en número finito de rela-ciones estructurales. Esperaba, por consiguiente, demos-trar, examinando exhaustivamente estas propiedades es-tructurales de las expresiones encerradas en un sistema,que no pueden obtenerse fórmulas formalmente contra-dictorias a partir de los axiomas de cálculos dados. Re-quisito esencial del programa de Hilbert en su primitivaconcepción era que las demostraciones de consistenciaimplicaran únicamente procedimientos que no hicieranreferencia ni a un número infinito de propiedades estruc-turales de fórmulas ni a un número infinito de opera-ciones con fórmulas. Tales procedimientos son denorni-nados ufinitistasu, y una prueba de consistencia que sehalle en adecuación a dicho requisito recibe el nombre deuabsolutar. Una prueba uabsolutao logra sus objetivos uti-lizando un mínimo de principios de deducción y no pre-supone la consistencia de ningún otro conjunto deaxiomas. Una prueba absoluta de la consistencia de laaritmética, si pudiera construirse alguna,' demostraría,pues, mediante un procedimiento metamatemático fini-tista, que dos fórmulas contradictorias tales como'0 : 0'y su negación formal '- (0 = 0)' -en la que el signo 'rv'significa (no)-, no pueden derivarse de los axiomas (ofórmulas iniciales) mediante reglas explícitamente enun-ciadas.a

a Hilbert no dio una eiplicación precisa de qué procedimientos metamate-máticcs deben considerarse ñnitistas. En la versión original de su programa,los requisitos para una prueba absoluta de congruencia eran más estrictos

PRUEBAS ABSOLUTAS DE CONSISTENCIA 5I

Puede resultar útil, por vía de ejemplo, comparar lasmetamatemáticas como teoría de la demostración conla teoúa del ajedrez. El ajedrez se juega con 32 piezas deuna forma determinada sobre un tablero cuadrado quecontiene 64 subdivisiones cuadradas, en el que se puedenmover las piezas conforme a unas reglas establecidas. Evi-

dentemente, el juego puede desarrollarse sin atribuir nin-

guna .interpretación> a las piezas ni a sus diversas posi-ciones sobre el tablero, si bien podría introducirse talinterpretación si así se deseara. Podemos estipular, porejemplo, que un determinado peón representa a cierto re-

gimiento de un ejército, que un escaque determinado fi-

gura ser una cierta región geográfica, etc. Pero semejan-tes estipulaciones (o interpretaciones) no son habituales, yni las piezas, ni los escaques, ni las posiciones de las piezas

sobre el tablero significan nada ajeno al juego. En estesentido, las piezas y su configuración sobre el tablero son<carentes de significadou. El juego es, pues, análogo a un

cálculo matemático formalizado. Las piezas y los cuadra-

dos del tablero corresponden a los signos elementales del

cálculo; las posiciortes permitidas de las piezas sobre el

tablero, a las fórmulas del cálculo; las posiciones iniciales

de las piezas sobre el tablero, a los'axiomas, o fórmulas

iniciales, del cálculo; las subsiguientes posiciones de

las piezas sobre el tablero, a las fórmulas derivadas de los

axiomas (esto es, a los teoremas), y las reglas del juego, a

las reglas de deducción (o derivación) establecidas para el

cálculo. El paralelismo continúa. Aunque las respectivas

situaciones de las piezas en el tablero, como las fórmulas

del cálculo, sean rcarentes de signi{icador', las declara-

que en las posteriores exposiciones del programa llevadas a cabo por los

miembros de su escuela.

¡¡

52 EL TEOREMA DE GODEL

ciones acerca de estas situaciones, como las declaracionesmetamatemáticas acerca de las fórmulas se hallan plena-mente dotadas de significado. Una declaración umetaaje-drecística, puede afirmar que hay veinte movimientos po-sibles de apertura para las piezas blancas, o que, dadauna determinada configuración de las piezas sobre eltablero, y correspondiéndoles mover a las blancas, éstasdan mate a las negras en tres jugadas. Además, puedenestablecerse teoremas <metaajedreclsticosu generales cuyadomostración requiere solamente un número finito deconfiguraciones permisibles sobre el tablero. De este mo-do puede establecerse el teorema <metaajedrecísticouacerca del número de posibles movimientos de aperturade que disponen las .blancas; y también el teoremametaajedrecístico de que si las blancas tienen sólo dos ca-ballos y el rey, y las negras sólo su rey, a aquéllas les es to-talmente imposible dar mate a éstas. Estos y otros teore-mas <metaajedrecísticssu pueden, en otras palabras, serdemostrados mediante métodos finitistas de razonamien-to, esto es, examinando sucesivamente cada una de lasconfiguraciones que, en número finito, pueden darse ba-jo las condiciones previstas. De modo análogo, el propósi-to de la teoría de prueba de Hilbert era demostrar conesos métodos finitistas la imposibilidad de derivar ciertasfórmulas contradictorias en un cálculo matemático dado.

LA CODIFICACIONSISTEMATICA DE LA

LOGICA FORMAL

Quedan dos puentes más por cnrzar antes de llegar al teo-rema de Gidel propiamente dicho. Debemos indicar cómoy por qué surgieron a la luz los Principia Mathematica deWhitehead y Russell; y debemos presentar una breve ilus-tración de la formalización de un sistema deductivo -to-maremos un fragmento de lu hincipio- y explicar cómopuede demostrarse su absoluta consistencia.

Corrientemente, aun cuando las demostraciones mate-máticas se hallen conformes con los niveles admitidos derigor profesional, adolecen de una importante omisión.Incorporan principios (o reglas) de deducción no formu-lados explícitamente que, frecuentemente, pasan inad-vertidos a los matemáticos. Tomemos el teorema de Eu-clides de que no existe ningún número que sea el númeroprimo mayor de todos los posibles (un número es primo sino es divisible sin resto más que entre sí mismo y por l).La argumentación, desarrollada en la forma de una re-ductio ad absurdu,rn, es la siguiente:

Supongamos, en contradicción con lo que el teorematrata de demostrarr eu€ existe un número primo máxi-mo. Lo llamamos'tr'. Entonces:

r es el número primo máximo.Fórmese el producto de todos los números primos

1.2.


menores o iguales a x'y añádase I al producto. Estoda un nuevo número, y, donde

y=(2x3x5x7x. xx)+ I

t. Siy es primo, entonces tr no es el mayor número pri-mo, ya que ) es evidentemente mayor que r.

4. Si y es compuesto (es decir, no primo), entoncestampoco r es el mayor número primo. Porque si Ies compuesto, tiene que haber un divisor primo z, yz tiene que ser distinto de cada uno de los númerosprimos 2, 3, 5, 7, . . ., ff, menor o igual a tr: porconsiguiente, z tiene que ser un número primo ma-yor que .r.

5. Pero y, o es primo o es compuesto.6. Por consiguiente, ¡ no es el mayor número primo.7. No existe ningún número primo que sea el mayor

de todos.

Hemos manifestado solamente los eslabones principa-les de la demostración. Puede hacerse ver, no obst4nte,que para forjar Ia cadena completa se requiere un grannúmero de reglas de deducción tácitamente aceptadas,así como teoremas de la lógica. Algunas de ellas pertene-cen a la parte más elemental de la lógica formal, otras aramas más avanzadas; por ejemplo, se incorporan reglas yteoremas que pertenecen a la uteoría de la cuantificación".Esta hace referencia a las relaciones entre proposicionesque contienen partículas ..cuantificadorasu tales como<todo$, "algunos> y sus sinónimos. Mostraremos un teo-rema elemental de la lógica y una regla de deducción, ca-da uno de los cuales es partícipe necesario pero silenciosoen la demostración-

LA CODIFICACION SISTEMATICA DE LA LOGICA FORMAL 57

Obsérvese el punto número 5 de la argumentación' ¿De

dónde procede? La respuesta es: del teorema lógico (o

verdad necesaria) oo p o no pr, en el que se denomina 'p'

a una variable proposicional- Pero ¿cómo obtenemos el

punto número 5 de este teorema? La respuesta es: altili-

lando la regla de deducción conocida como uRegla de

sustitución para variables proposicionalesu, según la cual

una proposición puede deriva¡se de cualquiera otra que

contenga variables de este tipo, sustituyendo por cual-

quier proposición (en este caso, 'y es primo') cada presen-

tación de utta variable distinta (en este caso, la variable

'p').El uso de estas reglas y de estos teoremas lógicos es

frecuentemente, como hemos dicho, una acción casi por

completo inconsciente. Y el análisis que los revela, aun en

demostraciones tan relativamente sencillas como la de

Euclides, se aPoya en los progresos hechos en la teoría ló-

gica durante los últimos cien años.5 Como el señor Jour-áain, de Moliére, que hablaba en Prosa sin saberlo, los

matemáticos han estado razonando durante dos milenios

por lo menos sin darse cuenta de todos los principios que

iubyacían bajo lo que estaban haciendo. Sólo en tiemPos

recientes se ha hecho evidente la naturaleza de las herra-

mientas de su oficio.Durante casi dos mil años la codificación de Aristóteles

de las formas válidas de deducción fue universalmente

considerada como completa e incapaz de mejora esencial'

En 1?87, el filósofo alemán Emmanuel Kant pudo decir

que desde Aristóteles la lógica formal uno ha sido capaz

d. unu*", un solo Paso, y, según todas las apariencias, es

5 para un examen más detallado de las reglas de deducción y de los teore-

mas lógicos necesarios para obtener las líneas 6 y 7 de la demostración que

antecede, consúltese el número 2 del apéndice.


un cuerpo de doctrina cerrado y completor. Lo cierto es quela lógica tradicional es gravemente incompleta e inclu-so deja de dar una explicación a muchos principios dededucción empleados en razonamientos matemátics to-talmente elementales.s Con la publicación en 1847 deThe Mathematical Analysis of Logic, de George Boole,comenzó en los tiempoe modernm un renacimiento de losestudios lógicos. El objetivo primordial de Boole y de sussucesores inmediatos era desarrollar un álgebra de la lógicaque suministrase una notación precisa para manejar tiposmás generales y variados de deducción que los abarcadospor los principios tradicionales.lógicos. Supóngase que seobserva que en una determinada escuela quienes obtie-nen mención honoúfica en su examen de grado son preci-samente los muchachos que destacan'en matemáticas ylas muchachas que no destacan en esta materia. ¿Cómo seforma la clase de destacados en matemáticas en relacióna las otras clases de estudiantes? La respuesta no surgepronta si uno se sirve únicamente de la lógica tradicional.Pero con ayuda del álgebra de Boole puede demostrarsefácilmente que la clase de los destacados en matemáti-cas se compone exactamente de muchachos graduadoscon mención honorífica'y de muchachas graduadas sintal mención.

Otra línea de investigación, estrechamente relacionadacon los trabajos de los matemáticos del siglo XIX sobrelos fundamentos del análisis, vino más tarde a asociarse alprograma de Boole. Este nuevo desarrollo trató de mos-trar la matemática pura como un capltulo de la lógicaformal, y quedó encarnado en los Principia Mathem,ati-

6 Aú, por ejemplo, de los principios irnplicados en la deducción: 5 es mayorque 3; por consiguiente, el cuadrado de 5 es mayor que el cuadrado de 3.

LA CODIFICACION SISTEMATICA DE LA LOGICA FORMAL 59

Todos los caballerm son educados.Ningún banquero es educado.Ningún caballero es banquero.

Tabla I

cCbCcC

gb:o

La lógica simbóüca fue inventada a mediados del siglo XIX por el matemáticoinglés George Boole. En este ejemplo se traduce un silogismo por su notaciónde dos maneras distintas. En el grupo superior de fórmulas el símbolo'C"es-tá contenido en'. Así, 'c C e'quiere decir que la clase de los caballeros estáincluida en la clase de las personas educadas. En el grupo inferior de fórmu-las dos. letras juntas significan la clase de cosas que poseen ambascaracterísticas. Por ejemplo, 'áe' significa la clase de individuos que son ban-queros y educados; y la ecuación'be = 0'indica que esta clase no tiene nin-gún miembro. Una línea colocada sobre una letra significa 'no'. ('e', porejemplo, significa.ineducado).

ca de Whitehead y Russell en 1910. Los matemáticos delsiglo XIX consiguieron uaritmetizan, el álgebra y lo que so-lÍa llarnarse el <cálculo infinitesimalu, demostrando quelas diversas nociones empleadas en el análisis matemáticoson definibles en términos exclusivamente aritméticos (es-to es, con números enteros y con operaciones aritméticasrealizadas con ellos). Por ejemplo, en vez de aceptar elnúmero imaginario ú-l como una uentidad> un tantomisteriosa fue definido como un ordenado par de núme-

ea6

cd:0be:0

60 ELTEOREMADECÓDEL

ros enteros (0, l) sobre el que se realizan ciertas opera-

ciones de uadición, y umultiplicaciónu' Análogamente' el

número irracional y' Z fue definido como una cierta clase

de números racionales, la clase de números racionales cu-

yo cuadrado es menor de 2. Lo que Russell (y, antes que

á1, .l -u,.mático

alemán Gottlob Frege) trataba de de-

mostrar era que todas lns nociones aritmética.s pueden ser

definidas en ideas estrictamente lógicas y que todos los

axiomas de la aritmética pueden ser deducidos de un pe-

queño número de proposiciones básicas certificables co-

mo verdades estrictamente lógicas.

Así, por ejemplo, la noción de clase Pertenece a la lógi-

ca genéral. bos clases son definidas como <semejantes> si

existe una correspondencia biunívoca entre sus miem-

bros, pudiéndose explicar la noción de tal corresponden-

cia acudiendo a otras ideas lógicas. De una clase que

tiene un solo miembro se dice que es una oclase unidad"

(verbigracia: la clase de satélites del planeta Tierra); y el

númeio cardinal 1 puede ser definido como la clase de to-

das las clases semejantes a una clase unidad. Definiciones

análogas pueden darse de los otros números cardinales, y

las diversás operaciones aritméticas, tales como la adición

y la multiplicación, pueden ser definidas en términos de

ia lógica formal. Una proposición aritmética, verbigra-

cia: I * I : 2', puede entonces ser mostrada como la

transcripción condensada de una ProPosición que con-

tenga e"presiones pertenecientes únicamente a la lógica

geniral; y puede demostrarse que tales proposiciones

estrictamente lógicas pueden ser deducidas de ciertos

axiomas lógicos.Principia Mathematica pareci1 así adelantar la solu-

ción final del problema de la consistencia de los sistemas

matemáticos, y en particular de la aritmética, mediante

LA CODIFICACION SISTEMATTCA DE LA LOGICA FORMAL 6I

el expediente de reducir el problema al de la consistenciade la lógica formal misma. Porque, si los axiomas de la arit-mética son simples rranscripciones de teoremas de la lógi-ca, la cuestión de si dichos axiomas son consistentes esequivalente a la cuestión de si son consistentes los axiomasfundamentales de la lógica.

La tesis Frege-Russell de que las matemáticas son úni-camente un capÍtulo de la lógica no ha obtenido, por di-versas razones de detalle, aceptación universal por partede los matemáticos. Por otra parte, como ya hemos hechonotar, las antinomias de la teoría cantoriana de los núme-ros transfinitos pueden resultar reproducidas dentro de lalógica misma, a no ser que se tomen especiales precau-ciones para impedir tal resultad.o. pero ¿son adecuadaspara excluir todas las formas de construcciones auto-contradictorias las medidas adoptadas en principiaMathematica parasoslayar las antinomias? No puede ase-gurarse concluyentemente. Por eso la reducción de laaritmética a la lógica practicada por Frege y Russell noproporciona una respuesta final al problema de la consis-tencia; en realidad, el problema surge simplemente enuna forma más general. Mas, prescindiendo de la validezde la tesis Frege-Russell, existen en principia doselemen-tos que poseen un valor inestimable para el ulterior estu-dio de la cuestión de la consisrencia. principiasuministraun sistema notablemente comprensivo de notación, conayuda del cual se pueden coilificar todas las proposicionesde la matemática pura (y en particular de la aritmética),al tiempo que revela de un modo explícito la mayoría delas reglas de deducción formal utilizadas en las demostra-ciones matemáticas (reglas que, finalmente, fueroncompletadas y dotadas de ,rrru ,rruyor precisión). pr,in-cipia, en suma, creó el instrumento esencial para investi-

62 EL TE,OREMA DE CóDEL

gar todo el sistema de la aritmética como un cálculo no

interpretado, esto'es, como un sistema d9 signos carentes

de significado, cuyas fórmulas (o uhilerasn) setombinany

transforman de acuerdo con reglas operativÍlt¡ exPresas.

5EJEMPLO

DE PRUEBAABSOLUTA DE

CONSISTENCIA

Debemos abordar ahora la segunda tarea mencionada alprincipio del capítulo anterior y familiarizarnos con unimportante aunque fácilmente comprensible ejemplo deuna prueba absoluta de consistencia. Una vez conocida laprueba, el lector se encontrará en condiciones de apreciarla significación del trabajo realizado por Gódel en 1.931.

Pondremos de relieve cómo puede ser formalizada unapequeña porción de los Principia: la lógica elemental delas proposiciones. Esto supone la conversión del sistemafragmentario en un cálculo de signos no interpretados.Desarrollaremos entonces una prueba absoluta de consis-tencia.

La formalización se lleva a cabo en cuatro fases. Pri-mero se prepara un catálogo completo de los signos que sehan de usar en el cálculo. Son su vocabulario. En segundolugar se establecen las ureglas de formaciónu. Estas decla-ran qué combinaciones de los signos del vocabulario pue-den ser aceptadas como ..fórmulasu (en realidad, comoproposiciones). Las reglas pueden ser consideradas comoconstitutivas de la gramática del sistema. En tercer lugarse expresan las ureglas de transformaciónu, que describenla estructura precisa de las fórmulas de las cuales puedenderivarse otras fórmulas de estructura determinada. Estasreglas son, en efecto, las reglas de deducción.'Finalmente

66 ELTEOREMADEGÓDXL

se seleccionan ciertas fórmulas como axiomas (o ofórmu'

las primitivas,). Estas sirven de fundamento a todo el sis-tema. Emplearemos la expresión uteorema del. sistema>para designar cualqüer fórmula que pueda ser derivadade los axiomas aplicando sucesivamente las reglas detransformación. Por grueba" (o udemostracióm) formaldesignaremos una serie finita de fórmulas, cada una delas cuales o es un axioma o puede ser derivada de otrasfórmulas airteriores de la serie mediante las reglas detransformación.T

Para la lógica de las proposiciones (frecuentemente lla-mada el cálculo sentencial), el vocabulario (o lista de.aignos elementalesrr) es extremadamente sencillo. Se com-pone de variables y de signos constantes. Las variables pue-den ser sustituidas por sentencias y reciben por ello elnombre de uvariables sentencialesu. Son las letras

'9 ' , 'q ' r ' r ' , etc.

Los signos constantes son o (enlaces sentenciales" o sig-nos de puntuación. Los enlaces sentenciales son:

'rv' que quiere decir 'no' (y se llama la otilder);'V' que quiere decir 'o';')' que quiere decir'si. . entonces. , .', y' ' q.r. quiere decir 'y'.

Los signos de puntuación son los paréntesis de aperturay de cierre'(' y')', respectivamente.

? De donde se sigue inmediaramente que los axiomas deben ser contadosentre los teoremas.

EJEMPLO DE PRUEBA ABSOLUTA DE CONSTSTENCIA 67

Las reglas de formación están diseñadas de modo quelas combinaciones de signos elementales, que normal-mente tendrían forma de proposiciones, se llamen fórmu-las. Igualmente, cada variable sentencial vale como unafórmula. Además, si la letra'S'representa una fórmula,su negación formal, es decir,

- (S), es también una fór-

mula. Análogamente, si S, y S" son fórmulas, también loson (S,) V (Sr), (S,) ) (SJ y (S,) . (Sr). Cada una de lassiguientes expiesiones es una fórmula: '0', '* (p)','(p) ) (q)', '((q) > (r)) ) (P)'. Pero ni '(p)(* (q))' ri'((p) f (q)) V' son una fórmula; no lo es la primeraexpresión porque si bien '(f)' y'(- (g))' son fórmulas, noexiste ningún enlace sentencial.entre ellas ; y no lo es lasegunda porque el enlace 'V' no está flanqueado a de-recha e izquierda por una fórmula, como exigen lasreglas.s

Se adoptan dos reglas de transformación. Una de ellas,la regl,a de sustitución (paru variables sentenciales), diceque de una fórmula que contenga variables sentencialespuede siempre derivarse otra fórmula sustituyendo uni-formemente con fórmulas las variables. Queda entendidoque cuando se sustituye una variable en una fórmula de-be hacerse la misma sustitución en todos los lugares enque esté presente dicha variable. Por ejemplo, suponien-do que ha quedado establecido ya que ? ) 1b', podemossustituir la variable 'p' con la fórmula 'q' para obtener'q. ) q'; o podemos sustituirla con la fórmula 'P Y q' pa-ra obtener '(p > q) ) (p ) q)'. O bien, si sustituimos'f' por frases reales podemos obtener cualquiera de las si-

s Donde no haya posibilidad de confusión puede prescindirse de los signosde puntuación (esto es, de los paréntesit.Así, en vez de escribir'- (f)', essuficiente escribir '* ?' , y en vez de '(f) ) (q)', simplemente 'p ) q'.

68 EL TEOREMA DE @DEL

guientes expresiones a partir de 'f ) p': 'las ranas sonruidosas ) las ranas son ruidosas'; '(los murciélagos sonciegos V los murciélagos comen ratones) ) (los murciéla-gos son ciegos V los murciélagos comen ratones)'.e La se-gunda regla de transformación es la regh de separación(o modus ponens). Fsta regla dice que de dos fiórmulasque tengan la forma S, I S, ) S, se puede derivar siemprela fórmula Sr. Por ejemplo, de las dos fórmulas'p V ,vp' y '(.p V "p) ) (p ) p)' podemos derivar'p ) p'. .

Finalmente, los axiomas del cálculo (esencialmente losde Principea) son las cuatro fórmulas siguientes:

1.(p v p)) po, en español corriente,si f o p, entonces p.

2.p)( fv q)esto es, si p entonces o poq.

/. Si (Enrique VIII era unpatán o Enrique VIII eraun patán), entoncesEnrique VIII era un pa-tán.

2. Si el psicoanálisis está'demoda, entonces (o el psi-coanálisis está de moda olos polvos para el dolorde cabeza son baratos).

eSupongamos, por otra parte, que se ha establecido ya la fórmula'@ ) d ) (- q )* p)'y que decidimos sustituir la variable 'p' por'r' ylavariable 'q'por'p V r'. Mediante esta sustitución no podemos obtener la fór-mula '[r ) (p > r)] ) (.v q ),w r)', porque no hemos realizado la mismasustitución a cada presencia de la variable 'g'. La sustitución correcta es' Í, ) (p V r)l f I* @.v r) ).v rl '.

EJEMPLO DE PRUEBA ABSOLUTA DE CONS¡STENCTA 69

7. Wv q))(qv ?)esto es, si o p o q, enton-cesoqop.

4.(p)q)) [ ("vp)) (r V q)] esto es, si (sip, entonces q), entonces(si (o r o p) entonces (o ro q.)).

,. Si (o Emmanuel Kantera puntual o Hollywoodes pecaminoso), entonces(o Hollywood es pecami-noso o Emmanuel Kantera puntual).

a. Si (si los patos anadeanentonces 5 es un númeroprimo), entonces [si (oChurchill bebe coñac olos patos anadean) en-tonces (o Churchill bebecoñac o 5 es un. númeroprimo)1.

En la columna de la izquierda hemos expresado losaxiomas con su correspondiente traducción. En la colum-na de la derecha hemos dado un ejemplo para cadaaxioma. La tosquedad de las traducciones, especialmenteen el caso del último axioma, ayudará tal vez al lector acomprender las ventajas de utilizar un simbolismo espe-cial en Ia lógica formal. Es importante también observarque las disparatadas ilustraciones utilizadas como ejem-plos de sustitución de los axiomas y el hecho de quelos consiguientes no guarden relación con los anteceden-tes en manera alguna afectan la validez de las conexioneslógicas establecidas en los ejemplos.

Cada uno de estos axiomas puede parecer uevidenteu ytrivial. Sin embargo, con ayuda de las reglas de transfor-mación expresadas es posible derivar de ellos una clase in-

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7O EL TEOREMA DE GODEL

finitamente grande de teoremas que están lejos de ser evi-dentes o triviales. Por ejemplo, la fórmula

' l (p ) q) ) l ( r . ) s) ) ú) l r l . ( " ) [ ( r )s) ) t ) ]) l (P )z) )s ) t l ) l '

puede ser derivada como teorema. No nos interesa, em-pero, por el momento derivar teoremas de los axiomas.Nuestro propósito es demostrar que este conjunto deaxiomas no es contradictorio, es decir, demostrar uabso-lutamente, que, utilizando las reglas de transformación,es imposible derivar de los axiomas una fórmula S junta-mente con su negación formal .v S.

Ahora bien, ocurre que 'p ) (- P ) q)'(en palabras:'si p, entonces si no 1b entonces q') es un teorema del cál:culo. (Aceptaremos esto como un hecho sin exponer laderivación). Supongamos ahora que pudiera deducirse delos axiomas alguna fórmula S juntamente con su contra-dictoria n S. Sustituyendo la variable 'f' por S en el teo-rema (como lo permire la regla de sustitución) y aplic4n-do por dos veces la regla de separación, seúa deducible lafórmula'q'.to P..o si la fórmula que se compone de la va-riable 'q' es demostrable, Se sigue inmediatamente que,sustituyendo 'q' por una fórmul.a cualquiera, cualquier

fórrnula es deducible de los axiomas. Resulta así claroque, si tanto una fórmula S como su contradictoria ,v Sfuesen deducibles de los axiomas, sería también dedu-cible cualquier fórmula. En resumen, si el cálculo no es

r0 Sustituyendo 'P' por S obtenemos en primer lugar: S ) (- S f C). epartir de aqul, juntamente con S, que se supone es demostrable, obrenemospor la regla de separación: ,w S J q. Finalmente, puesto que se supone quetambién'v S es demostrable, utilizando una vez más la regla de separación,obtenemos g.

EJEMPLO DE PRUEBA ABSOLUTA DE CONSTSTENCIA 7l

consistente, toda fórmula es un teorema, lo que equivalea decir que de un conjunto contradictorio de axiomaspuede ser derivada cualquier fórmula. Pero esto tieneuna contrapartida: si no toda fórmula es un teorema (esdecir, si existe por lo menos una fórmula que no sea deri-vable de los axiomas), entonces el cálculo es consistente.Lo que hace folta, por consiguiente, es demostrar queexiste por lo rnenos unafórmula que no puede ser deriua-da de los axiomas.

La forma de hacerlo es emplear un razonamiento me-tamatemático sobre el sistema que tenemos delante. Elprocedimiento no carece de elegancia. Consiste en encon-trar una característica o propiedad estructural de las fór-mulas que satisfaga las tres condiciones siguientes: l)La propiedad debe ser común a todos los axiomas. (Unapropiedad de este tipo es la de no conrener más de 2b sig-nos elementales; esta propiedad, sin embargo, no satisfa-ce la condición siguiente.) 2) La propiedad debe ser uhe-reditariao, según las reglas de transformación, esto es, sitodos los axiomas poseen la propiedad, cualquier fórmulaadecuadamente derivada de ellos mediante las reglas detransformación debe poseerla también. Puesto que cual-quier fórmula así derivada es por definición un teorema,esta condición estipula en esencia que todo teorema debeposeer esa propiedad. -?) La propiedad no debe pertene-cer a toda fórmula que pueda construirse de acuerdo conlas reglas de formación del sistema; esto es, debemos tra-tar de mostrar una fórmula por lo menos que no poseaesa propiedad. Si logramos éxito en esta triple rareahabremos conseguido una prueba absoluta de consisten-cia. El razonamiento viene a ser el siguiente: la propiedadhereditaria se transmite desde los axiomas a todos los teo-remas; pero si puede encontrarse un, conjunto de signos


que sea adecuado a las exigencias de ser una fórmula delsistema y que, sin embargo, no posea esa'determinadapropiedad hereditaria, tal fórmula no puede ser un teo-rema. (Lo que es lo mismo, si un hijo dudoso [fórmula]carece de un rasgo invariablemente hereditario de los an-tepasados [axioma], no puede ser realmente su descen-diente [teorema].) Pero si descubrimos una fórmula queno es un teorema, hemos demostrado la consistencia delsistema, ya que, como hemos hecho notar hace un mo-mento, si el sistema no fuese consistente todas las fórmu-las podrían ser derivadas de los axiomas (esto es, toda fór-mula seúa un teorema). En resumen, lo que se necesita esmostrar una sola fórmula que carezca de la propiedad he-reditaria.

Identifiquemos una propiedad de la clase requerida.La que elegimos es la propiedad de ser una <tautología>.En el lerrguaje corriente, se dice que una expresión es tau-tológica si contiene una redundancia y manifiesta dos ve-ces la misma cosa con diferentes palabras, como, porejemplo, ,juan es el padre de Carlos, y Carlos es hijq de

Juanu. Pero en lógica se define la tautología como unaproposición que no excluye ninguna posibilidad lógica,por ejemplo, u6 está lloviendo o no está lloviendor. Otraforma de expresar esto mismo es decir que una tautologíaes uverdadera en todos los mundos posiblesu. Nadie duda-rá que, independientemente del estado real del tiempo(esto es, prescindiendo de si la afirmación de que estálloviendo es verdadera o falsa), la proposición "o está llo,viendo o no está lloviendo, es necesariamente aerdadera.

Hacemos aplicación de esta idea para definir una tau-tología en nuestro sistema. Obsérvese primero que todafórmula se halla construida de componentes elementales,'f','(I','r', etc. Una fórmula es una tautología si es inva-

EJEMPLO DE PRUEBA ABSOLUTA DE CONSISTENCIA 7E

riablemente verd^ahera, independientemente de que sus

componentes elementales sean verdaderos o falsos. Así,

en el primer axioma '(P V p) ) p', elúnico componenteelemental es'p'; pero no importa en absoluto que se su-

Ponga que ?' es verdadero o que se suPonga que es falso;el primer axioma es verdadero en cualquiera de amboscasos. Ptrede darse una mayor evidencia a esto si susti-tuimos 'F' por la proposición'el monte Rainier tiene vein-

te mil pies de altura'; dq e-ste modo obtenemos comoejemplo del primer axioma la proposición 'si el monteRainier tiene veinte mil pies de altura o el monte Rainiertiene veinte mil pies de altura, entonces el monte Rainiertiene veinte mil pies de altura'. El lector no encontraráninguna dificultad para admitir que esta declaración es

verdadera, aun cuando ignore si lo es la proposición cons-

titutiva 'el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura'.Evidentemente, pues, el primer axioma es una tautolo-gía, es decir, uverdadero en todos los mundos posiblestt'Puede demostrarse fácilmente que cada uno de los demás

axiomas es también una tautología.Después, es posible demostrar que la propiedad de ser

una tautología es heréditaria por las reglas de transfor-mación, aunque no nos detendremos a dar la demostra'

ci6n (uéase apéndice númeio 3). De aquí se desprendeque toda fórmula correctamente derivada de los axiomas(esto es, todo teorema) debe ser una tautología.

Se ha demostrado ya que la propiedad de ser tautológi-ca satisface dos de las tres condiciones anteriormentemencionadas, con lo que estamos ya en situación de dar

el tercer paso. Debemos buscar una fórmula que perte'nezca al sistema (esto es, que se halle formada con los sig'

nos mencionados en el vocabulario, de conformidad con

las reglas de formación) y que, no obstante, por no Poseer

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R¡E¡l'

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l_¡:i?)

+.l:

,H?1'

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la propiedad de ser una tautologÍa, no pueda ser un teo-

rema (.s decir, que no pueda ser derivada. de los

axiomas). No se necesita buscar mucho; es fácil mostrar

una fórmula de esta clase. Por ejemplo,'p V q'se ajusta

a los requisitos. Quiere ser ansarón, pero no pasa de pato;

no pertenece a la familia; es unafórmula, pero no es un

teorema. Evidentemente, no es una tautología. Cualquier

ejemplo de sustitución (o interpretación) lo demuestra en

seguida. Sustituyendo las variables de p V q' podemos

obtener la proposición 'Napoleón murió de cáncer o aBismarck le gustaba el café'. Esto no es una verdad de lalógica, ya que sería falsa si fuesen falsas las dos cláusulas

presentes en ella; /, ?un cuando se tratase de una Propo-sición verdadera, no lo es independientemente de la ver-dad o falsedad de sus proposiciones constitutivas (aéase

apéndice número 3).Hemos alcanzado nuestro objetivo. Hemos encontrado

una fórmula por lo menos que no es un teorema. Tal fór-mula no podría existir si los axiomas fuesen contradicto-rios. Por consiguiente, no es posible derivar de losaxiomas del cálculo sentencial tanto una fórmula comosu negación. En resumidas cuentas, hemos mostrado unaprueba absoluta de la consistencia del sistema.rr

rr El lector puede encontrar de utilidad la siguiente recapitulación del ca-mino seguido hasta aquí:

Todo axioma del sistema es una tautología.El ser tautología es una propiedad hereditaria.Toda fórmula correctamente derivada de los axiomas (esto es, todoteorema) es también una tautologÍa.Por ello, cualquier fórmula que no sea una tautología no es un teorema.Se ha encont¡ado una fórmula (verbigracia: 'fr V q') que no es unatautologla.

6. Esta fórmula, por tanto, no es un teorema.

EJEMPLO DE PRUEBA ABSOLUTA DE CONSTSTENCTA 75

Antes de abandonar el cálculo sentencial debemosmencionar una última cuestión. Puesto que todo teoremade este cálculo es una tautología, una verdad de la lógica,es natural preguntar si, inversamente, toda verdad lógicasusceptible de ser expresada en el vocabulario del cálculo(es decir, toda tautologfa) es también un teorema (esto es,derivable de los axiomas). La respuesta es afirmativa,aunque su demostración es demasiado larga para presen-tarla aquí. La cuestión que aquí nos interesa, sin embar-go, no depende del conocimiento de la demostración. Lacuestión es que, a la luz de esta conclusión, los axiomasson suficientes para engendrar todas las fórmulas tautoló-gicas, todas las verdades lógicas susceptibles de ser expre-sadas en el sistema. De tales axiomas se dice que son<completoo.

Ahora bien: frecuentemente ofrece un interés extraor-dinario determinar si un sistema axiomatizado es comple-to. En efecto, un poderoso motivo para la axiomatizaciónde diversas ramas de las matemáticas ha sido el deseo deestablecer un conjunto de presunciones iniciales, a partirde las cuales puedan deducirse todas las declaracionesverdaderas de algún campo de investigación. CuandoEuclides axiomatizó la geometría elemental, seleccionó,aparentemente, sus axiomas de modo que fuese posiblederivar de ellos todas las verdades geométricas;rz esto es, las

Pero si loo axiomas fuesen inconsistentes. toda fórmula sería un teorema.Por consiguiente, los axiomas son consistentes,

l2 Euclides demostró una notable perspicacia al tratar su famoso axioma delas paralelas como una hipótesis lógicamente independiente de sus demásgigmas. Porque, como se probó posteriornenre, este axioma no puede serderivado de las otras hipótesis, de modo que sin él sería incompletó el grupode axiomas.

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3.

4.3.

76 EL.T.EOREMA DE GÓDEL

que ya hablan sido establecidas, así como cualesquiera

otras que pudieran descubrirse en el futuro. Hastatiempos muy recientes sd admitla como algo incontrover-

tiblemente cierto la poibilidad de reunir un conjunto

completo de axiomas para cualquier rama de las mate-

máticas. Los matemáticos creían en particular que el

conjunto propuesto en el pasado para la aritÍtética era

realmente completo, o, en todo caso, podía completarsemediante el sencillo expediente de agregar un número fi-

nito de axiomas a la lista original. El descubrimiento de

que esto no surtirla efecto es uno de los más importanteslogros de Giidel.

LA IDEA DEREPRESENTACION Y

SU EMPLEO ENLAS MATEMATICAS

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El cálculo proposicional constituye un ejemplo de un sis-tema matemático en el que se alcanzan plenamente losobjetivosde la teoría de la demostración de Hilbert. Cier-tamente, este cálculo codifica solamente un fragmento dela lógica formal, y su vocabulario y su aparato formal noson suficientes para desarrollar ni siquiera la aritméticaelemental, pero el programa de Hilbert no es tan limita-do. Puede ser aplicado con éxito a sistemas más amplios,cuyo carácter, a lavez consiste.nte y completo, puede serdemostrado mediante un razonamiento metamatemáti-co. Una prueba absoluta de consistencia, por ejemplo, seha logrado para un sistema de aritmética que permita laadición de números cardinales, aunque no la multiplica-ción. Pero ¿es el método finitista de Hilbert lo suficiente-mente potente como para demostrar la consistencia de unsistema como Principia, cuyo vocabulario y cuyo aparatológico son adecuados para expresar toda la aritmética yno simplemente un fragmento de ella? Los repetidos in-tentos de construir una prueba de este tipo resultaroninfructuosos; y la publicación en l93l del trabajo de Gó-del demostró finalmente que no podían por menos de fra-casar todos los esfuerzos que se desarrollaran dentro delos estrictos límites del primitivo programa de Hilbert.

¿Qué es lo que estableció Gódel y cómo demostró sus

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80 ELTEOREMADEGODEL

resultados? Sus principales conclusiones son dos' En pri-

mer lugar (aunque no sea éste el puesto que ocupa en el

razonamiento de Gódel) demostró que es irnposible pre-

sentar una prueba metamatemática de la consistencia de

un sistema lo bastante comprensivo como Para contener

toda la aritmética, a menos que se empleen en la prueba

reglas de deducción que difieran en ciertos aqPectos esen-

ciales de las reglas de transformación utilizadas para deri-

var teoremas dentro del sistema. Indudablemente, una

prueba así posee gtan valor e importancia. Sin embargo, '

,i .l ,urott"miento se basa en reglas de deducción mucho

más potentes que las reglas del cálculo aritmético, de tal

modó que la consistencia de las hipótesis contenidas en el

razonamiento esté tan sujeta a la duda como lo está la

consistencia de la aritmética, la prueba no producirla si-

no un especioso triunfo; sería matar un dragón solamente

pur".r"á, otro. En cualquier caso, si la prueba no es fini-

tista, no cubre los objetivos del Programa original de

Hilbert; y la argumentación de Gódel hace que sea im-

probable el que pueda darse una prueba finitista de la

consistencia de la aritmética.La segunda importante conclusión de Gódel es aítn

más sorprendente y revolucionaria, Porque demuestra la

existencia de una fundamental limitación en la potencia

del método axiorrático. Gódel demostró que los Princi'

pia, o cualquier otro sistema dentro del cual pueda de-

sarrollarse la aritmética, es esencialment e in c omplet o' En

otras palabras: dado cualquier conjunto consistente de

axiomas aritméticos, existen proposiciones aritméticas

verdaderas que no pueden ser derivadas de dicho conjun-

to. Este decisivo punto merece ser ilustrado con un

ejemplo. Las matemáticas abundan en proposiciones ge-

nerales a las que no se ha encontrado ninguna excepción

LA IDEA DE REPRESENTACION EI

que hasta ahora haya frustrado todo intento de prueba.Un ejemplo clásico es el conocido como <teorema deGoldbachu, el cual afirma que todo número par es la su-ma de dos números primos. Jamás se ha enContrado nin-gún número par que no sea la suma de dos números pri-mos; sin embargo, nadie ha logrado encontrar unaprueba de que la conjetura de Goldbach se aplique sinexcepción a todos los números pares. Tenemos, pues,aquí un ejemplo de una proposición aritmética quepuede ser verdadera, pero que puede no ser derivable delos axiomas de la aritmética. Supongamos ahora que laconjetura de Goldbach fuese, en efecto, universalmenteverdadera, aunque no derivable de los axiomas. ¿Qué de-cir ante la sugerencia de que, en este caso, los axiomaspodrían ser modificados o aumentados hasta hacer quelas proposiciones hasta el momento indemostrables (talcomo la de Goldbach en nuesria hipótesis) fuesen deri-vables en el sistema ampliado? Los resultados obtenidospor Gódel demuestran Ílue, aunque la hipótesis fuesecorrecta, la sugerencia no suministraría remedio definiti-vo a la dificultad. Es decir, que aun cuando los axiomasde la aritmética sean ampliados con un número indefini-do de otros axiomas verdaderos, siempre quedarán verda-des aritméticas que no son formalmente derivables delconjunto ampliado.tr

It Como veremos, tales verdades pueden ser demostradas mediante algunaforma de razonamiento metamatemático acerca de un sistema aritmérico.Pero este procedimiento no se ajr¡sta al requisito de que el cálculo debe ser,por así decirlo, autcuficiente y de que las verdades de que se trata deben sermostradas como las consecuencias formales de los axiomas especificadosdentro del sistema. Existe, pues, una limitación intrínseca en el métodoaxiomático considerado como un medio de sistematizar todo el conjunto dela aritmética.

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¿Cómo demostró Gódel estas conclusiones? Hasta cierto

punto, la estructura de su argumentación está moldeada,

.o-o él mismo hizo notar, sobre el razonamiento impli-

cado en una de las antinomias lógicas conocida como lauparadoja richardiana>, propuesta por el matemáticq

francésJules Richard en 1905. Explicaremos en qué con-

siste esta paradoja.Considérese un lenguaje (por ejemplo, el español) en el

que se puedan formular y definir las propiedades pura-mente aritméticas de los números cardinales. Examine-mos las definiciones que pueden ser expresadas en dicholenguaje. Resulta claro que, so pena de caer en clrculo vi-cioso o regreso al infinito, no pueden definirseexplícitamente algunos términos que hacen referencia apropiedades aritméticas ---ya que no podemos definirlotodo y debemos empezar en alguna parte-, aunque, pre-sumiblemente, pueden ser comprendidos de alguna otramanera. Para el objeto que nos ocupa, es indiferentecuáles sean los términos no definidos o uprimitivosu; po-demos, por ejemplo, dar por supuesto que comprendemoslo que se quiere decir con (un número entero es divisiblepor otro), etc. La propiedad de ser un número primopuede ser definida como uno divisible por ningún otronúmero entero más que por sí mismo y la unidadu; la pro-piedad de ser un cuadrado perfecto puede ser definidacomo user el producto de algún número entero por sí mis-mo>, etc.

Fácilmente podemos ver que cada una de tales defini-ciones contendrá solamente un número finito de palabrasy, por consiguiente, sólo un número finito de letras del al-fabeto. Siendo esto así, las definiciones pueden ser orde-nadas en una serie: una definición precederá a otra si elnúmero de letras de la primera es menor que el número

LA IDEA DE REPRESENTACION EE

de letras de la segunda; y si dos definiciones tienen el mis-mo número de letras, una de ellas precederá a la otraatendiendo al orden alfabético de las letras contenidas encada una. Sobre la base de este orden, a cada definicióncorresponderá un único número entero, que representaráel lugar.que ocupa la definición en la serie. De este modo,la definición que menos letras tenga corresponderá al nú_mero l, la siguiente definición de la serieiorresponderáal2, y así sucesivamente. Dado que cada definición estáasociada a un único número entero, puede ocurrir en al-gunos casos que un número entero posea la misma pro-piedad expresada por la definición ion la cual está aso-ciado.t+ Supongamos, por ejemplo, que la expresión defi-nidora uno divisible por ningún .rri"ro.mái que por símismo y por la unidad, se halla en correlación con.t

",i_mero de orden 17; evidentemerrte, el l? tiene la pro-piedad designada por esa éxpresión. por orra pu.r", ,,r-pongamos que la expresión definidora user el producto dealgún número entero por sí mismo, se halla en correla-ción con el número de orden lb; está claro que l5 no po-see la propiedad designada por la expresión. Describire-mos la situación exisrente en el segunáo ejemplo diciendoque el número'l5 tiene la propiedad de ser rechard,iano, yla del primer ejemplo, diciendo que el número L7 notiene la propiedad de ser richardiano. Hablando en tér-minos más generales, definimos .,* es richardiano) comouna forma abreviada de declarar <oc no tiene la propiedaddesignada por la expresión definidora con la q.r" r" ttutturelacionado en la serie ordenada de definicionesrr.

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lo misrno que ocurrifa si apareciese la patabra 'corta' en una lista depalabras y caracterizáramrn cada palabra de la lista con los rótulos descripti-vos'corta'o'larga'. La palabra'corta'ostentaría entonces el rótulo."ort"'.

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rt1pi l

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i;E


Llegamos ahora a un punto curioso, pero caracte-rístico, de la proposición en que consiste la paradojarichardiana. La expresión definidora de la propiedad deser richardiano describe ostensiblemente una propiedadnumérica de los enteros. La expresión misma pertenece,por tanto, a la serie de definiciones ya enunciadas antes.De aquí se desprende que la expresión está relacionadacon un número entero determinador de su posición. Su-pongamos que este número es z. Y ahora planteamos lacuestión, con ciertas reminiscencias de la antinomia deRussell: ¿Es n richardiano? El lector puede, sin duda al-guna, anticipar la fatal contradicción que amenaza aho-ra, Porque n es richardiano si, y solamente si, n carecede la propiedad designada por la expresión (definidora)con la que está relacionado (esto es, si carece de la pro-piedad de ser richardiano). En resumen, n es richardianosi, y solamente si, n no es richardiano; de modo que ladeclaración <r¿ es richardiano, es verdadera y falsa a lavez.

Debemos hacer notar ahora que la contradicción es, encierto sentido, una consecuencia derivada de no jugar deltodo limpio. Se ha deslizado, por ser útil, una esencial pe-ro tácita hipótesis subyacente bajo la ordenación sucesivade las definiciones. Se había acordado considerar las defi-niciones de las propiedades estrictamente aritméticas delos números enteros, es decir, propiedades que puedenformularse con ayuda de nociones tales como las de adi-ción aritmética, multiplicación, etc. Pero entonces, sinprevio aviso, se nos invita a que metamos dentro de la se-rie una definición que se refiere a la notación utilizadapara formular las propiedades aritméticas. Más concreta-mente, la definición de la propiedad de ser richardianono pertenece a la serie inicialmente proyectada, porque

LA IDEA DE REPRESENTACION 85

esta definición implica nociones metamatemáticas talescomo el número de letras (o signos) que se dan en lasexpresiones. Podemos soslayar la paradoja de Richard

distinguiendo cuidadosamente entre las proposicionesque se producen dentro de la aritrnética (que no hacenninguna referencia a sistema alguno de notación) y las

proposiciones acerca de algún sistema de notación en el

que se codifica la aritmética.Existe una evidente falacia en el razonamiento emplea-

do para la construcción de la paradoja de Richard. La

construcción sugiere, no obstante, la idea de que cabe la

posibilidad de urepresentaD o "reflejaru declaracionesmetamatemáticas acerca de un sistema formal suficiente-mente amplio dentro del sistema mismo. La idea de la(representación, es sobradamente conocida y desempeñaun papel fundamental en muchas ramas de las matemáti-cas. Se utiliza para la construcción de los mapas ordina-rios, en la que las formas existentes en la superficie de

una esfera se proyectan sobre un plano, de tal modo quelas relaciones entre las figuras del plano reflejan las rela-

ciones entre las figuras de la superficie esférica. Se utiliza

en la geometría de coordenadas, que traduce Ia geome-tría al álgebra de modo que las relaciones geométricasquedan representadas por otras algebraicas. (El lector re-

cordará la exposiciónrealizada en el capítulo segundo, en

el.que se explicaba cómo empleó Hilbert el álgebra parademostrar la consistencia de sus axiomas aplicados a la

geometría. Lo que en realidad hizo Hilbert fue representarla geometría en el álgebra.) La representación desempe-ña también un importante papel en la física matemática,donde, por ejemplo, las relaciones entre las propieda-des de las corrientes eléctricas se plasman en el lenguaje

de la hidrodinámica. Y existe también representación

¡g

!t :

,iF,,: i

t'¡:


cuando se construye una maqueta antes de abordar larealización de la máquina a su tamaño natural, cuandose somete a observación una pequeña superficie del ala deun avión en un túnel de viento con objeto de apreciar suspropiedades aerodinámicas, o cuando se utiliza unequipo de laboratorio hecho de circuitos eléctricos paraestudiar las relaciones entre masas de gran tamaño enmovimiento. En la figura -7 se presenta un llamativoejemplo visual que tiene lugar en la rama de las matemá-ticas que se conoce con el nombre de geometúa proyectiva.

La caracteística fundamental de la repiesentación esque puede demostrarse que una estructura abstracta derelaciones existente en un campo de uobjetos, existe tam-bién entre uobjetosu (generalmente de un tipo distintoque los del primer grupo) pertenecientes a otro campo di-ferente. Esta característica es lo que impulsó a Gódel aconstruir sus pruebas. Si, como él esperaba, unas compli-cadas proposiciones metamatemáticas acerca de un siste-ma formalizado de aritmética pudiesen ser traducidas a(o reflejadas por) proposiciones aritméticas contonidasdentro del propio sistema, se habría dado un gran pasoen el camino de facilitar las dernostraciones metamate-máticas. Porque, así como es más fácil manejar las fór-mulas algebraicas que representan (o reflejan) intrinca-das relaciones geométricas entre curvas y superficies en elespacio que manejar las propias relaciones geométricas,del mismo rnodo manejar las contrapartidas aritméticas(o "imágenes reflejadasu) de complejas relaciones lógicases más fácil que manejar las relaciones lógicas mismas.

La explotación de la idea de la representación es la clavede la argumentación del famoso trabajo de Gódel. Siguien-do el estilo de la paradoja richardiana, pero evitandocuidadosamente la falacia involucrada en su construc-

(")

'ilxl. i.?;,f,1

ir.:¡¿

't1i l, | rili t i

B'

Figwa 3

La figura I (a) ilustra el teorema de Pappus: Si A, B y C son tres puntos

disiintos cualesquiera de una línea !, y A', B' y C' tres puntos distintos

cualesquiera de ótra línea ll, los tres puntos R, S, T, determinados por el par

de líneas AB' y A' 8, BC' y B' C, CA' y C' A, respectivamente, son colinea'

res (esto es, radican en la línea III).Lafigura I (b) ilustra el .dual, del teorema mencionado. Si A' B y C son

t.ilínrot distintas cualesquiera concurrentes er.un punto I, y A', B', C',

treslíneasdistintascualesquieracorlculTentes e¡.otropuntoll,lastresl;íneasR, S, T, determinadas poilot p"."t de puntos AB' y A'B, BC' y B'C' CA.'

y C'A, respectivamenté, son copuntwles (ex;to es, se citan en el punto lll)'

Las dos figuras tienen la mioorra estructura abstracta, aunque en -aparien-

cia son acrisadamente diferentes. Lafigura I (a) está tan relacionada con la

figura i (b), que los puntos de la primera corresponden a las líneas de la se-'gunda,

mientias qu. las líneas de la primera corresponden a los puntos de la

s=egottda. En efecto, (b) es un mapa de (a); un punto de (b) representa. (o es la

"iñragen reflejada") a una l'¡nea de (a), mientras que una línea de (b) repre-

senta a un punto de (a).

i,

B, t if'|,hFBli

8E ELTEOREMADEGÓDEL

ción, Gódel demostró que las proposiciones metamate-

máticas a.cerca, de un cálculo aritmético formalizado

pueden efectivamente- ser representadas por 'fórmulas

aritméticas dentro del cálculo. Como con más detalleexplicaremos en el capítulo siguiente, ideó un método derepresentación tal, que ni la fórmula aritmética corris-ponüente a una determinada proposición metamate-mática verdadera acerca de la fórmula ni la fórmula arit-mética correspondiente a la negación de la proposiciónson demostrables dentro del cálculo. Como quiera queuna de estas fórmulas aritméticas debe codificar una ver-dad aritmética, ninguna de las cuales es, sin embargo,derivable de los axiomas, los axiomas son incompletos. Elmétodo de representación de Gódel le permitió tambiénconstruir una fórmula aritmética correspondiente a laproposición metamatemática uel cálculo es consistente, ydemostrar que esta fórmula no es demostrable dentro delcálculo. De ahí se desprende que la proposición metama-temática no puede ser demostrada a no ser que se utilicenreglas de deducción que no puedan ser representadasdenro del cálculo, de tal modo que, al demostrar la pro-posición, se deben emplear reglas cuya propia consisten-cia pueda ser tan discutible como la consistencia de lamisma aritmética. Gódel demostró y estableció estas im-portantes conclusiones utilizando una forma sumamenteingeniosa de representación.

I

LAS PRUEBASDE GODEL

El estudio realizado por Gódel es sumamente complejo.Antes de llegar a los resultados principales es necesariocomprender y dominar perfectamente cuarenta y seisdefiniciones preliminares, juntamente con varios e im-portantes teoremas preliminares. Nosotros seguiremos uncamino mucho más fácil; en é1, sin embargo, podrá ellector tener varios atisbos del ascenso y de la estructura fi-nal de la cumbre.

A) La numeraeión d,e Giid,el

Gódel describió un cálculo fórmalizado dentro del cualpueden expresarse todas las acostumbradas notacionesaritméticas y establecer las relaciones aritméticas ya co-nocidas.15 Las fórmulas del cálculo están construidas conuna clase de signos elementales que constituyen el voca-bulario fundamental. Los cimientos están formados porun conjunto de fórmulas primitivas (o axiomas), y los teo-remas del cálculo son fórmulas que pueden derivarse delos axiomas con ayuda de una serie de reglas de transfor-

15 Utilizó una adaptación del sistema desarrollado en hincipia Mathemati-ca. Pero cualquier cálculo dentro del que pudiera construirse el sistema delos números cardinales habrla servido a zu finalidad.

kFi ,If: ,t:

$

I; l

Lrt


mación (o reglas de deducción) cuidadosamente especifi-

cadas.Gódel demostró en primer lugar que es pcisible asignar

unúnico número a cada signo elemental, a cada fórmula(o sucesión de signos) y a cada prueba (o sucesión finitade fórmulas). Este número que sirve de rótulo distintivorecibe el nombre de unúmero Gódel, del signo, fórmula oprueba.t6

Los signos elementales pertenecientes al vocabulariofundamental son de dos clases: los signos constantes y lasvariables. Supondremos que hay exactamente diez signosconstantes,rT a los que se asocian, como números Gódel,los números enteros que van del I al 10. La mayoría deestos signos son ya conocidos del lector: 'n' (que quieredecir'no'); 'V' (que quiere decir 'o'); ')' (que quiere de-cir 's i . .entonces. . . ' ) ; '= ' (qu€ quiere decir ' igual a ' ) ;'0' (el numeral para el número cero); y tres signos de pun-tuación, el paréntesis de apertura, '(', el paréntesis de cie-rre ')', y la coma, ','. Se utilizarán además otros dos sig-nos: la letra invertida 'f', que puede leerse como'existe'yque se da en los ocuantificadores existenciale$), I la mi-núscula's', que se agrega a las expresiones numéricas pa-ra designar el inmediato sucesor de un número. Por ejem-plo, la fórmula'(3x)(r - s0)'puede leerse'existe un ¡ talque tr es el sucesor inmediato de 0'. La tabla que inserta-mos a continuación muestra los diez signos constantes,

16 Hay muchas formas diferentes de asignar números Giidel, y es indiferen-te para el nudo de la argumentación cuál de ellas se adopte. Damos unejemplo.concreto de cómo pueden asigñarse los núme¡os para ayudar al lec-tor a seguir la exposición. EI método de numeración utilizado en el texto fueempleado por Gódel en su estudio de 1931.

17 EI número de signos constantes depende de có1no se construya el cálculoformal. G6del utilizó en su estudio solamente siete signos constantes. El textoutiliza diez para evitar ciertas complejidades en la exposición.

LAs PRUEBAS DE GÓDEL 93

expresa el número Gódel asociado con cada uno de ellos eindica los significados usuales de los signos.

Signosconstantes

V)

l:

0s(

)

Tabla 2

NúmeroGódel

I2343

678Il0

SignificadonooSi. . .entonces.. .Existe un.igual aceroel sucesor inmediato deSigno de puntuaciónSigno de puntuaciónSigno de puntuación

Además de los signos elementales constantes, aparecentres clases de variables en el vocabulario fundamental delcálculo: las aariables numérico,s, 'cc', 'y','z', etc., con lasque se puede sustituir a los numerales y expresiones nu-méricas; las uariables sentenciales, 'p' , 'q' , 'r' , etc. , con lasque se puede sustituir a las fórmulas (sentencias), y las aa-r iables predicat iaas, 'P' , 'Q, 'R' , etc,con las que sepueden sustituir los predicados tales como 'primo' o'ma-yor que'. A las variables se asignan números Gódel deacuerdo con las siguientes reglas: asociar(1) a cada varia-ble numérica un número primo distinto mayor de l0; (Qa cada variable sentencial el cuadrado de un número pri-mo mayor de 10, y (IIDa cada variable preücativa el cubode un número primo mayor de 10. La tabla que a conti-nuación se inserta ilustra el uso de estas reglas para espe-cificar los números Gódel de unas cuantas variables.


Tabla 3

Número Un posible éjemploGódel de sustitución

l l 0l3 s017v

numéricas se asocian a números primos

Un posible ejemplode sustitución

0=0(:lx)(* = sy)

P)q

Las variables sentenciales se asocian a los cuadrados denúmeros primos mayores de 10.

Variablenumérica

tc

v

Las variablesmayores de 10.

Variablesentencial

pqr

Variablepredicativa

P

aR

NúmeroGódel

l l ,13217,

NúmeroGódel

l l3

133

175

Un posible ejemplode sustitución.

PrimoCompuestoMayor que

Las variables predicativas se asocian a los cubos de nú-meros primos mayores de 10.

Consideremos ahora una fórmula del sistenta, porejemirlo, '(3x)(,r - sy)'. (Traducida literalmente, dice:'Existe un r tal que r es el sucesor inmediato de y', lo quequiere decir, en realidad, que todo número tiene un suce-sor inmediato.) Los números asociados a sus diez signoselementales constitutivos son, respectivamente, 8, 4,11, 9,

8,11,5, 7, 13, g. Aesquemáticamente:

LAs PRUEBAS DE GÓDEL 95

continuación mostramos esto mismo

Es deseable, sin embargo, asiguar a la fórmula un soto

número en vez de un conjunto de números. Esto puede

hacerse fácilmente. Convenimos en asociar a Ia fórmula

el único número que es el producto de los diez primeros

números primos en orden de magnitud, estando cada uno

de ellos elevado a una potencia igual al número Gódel del

correspondiente signo elemental. De acuerdo con esto, la

fórmula anterior queda asociada con el número

2sx34X $rr ¡ 7e x l l8 x 13n x 17r x lg7 x23tsx29s;

llamemos m a este número. De manera similar, se puede

asignar a toda sucesión finita de signos elementales y, en

particular, a toda fórmula, un único número, el produc-

to de tantos números primos como signos haya (estando

elevado cada número primo a una potencia igual al nú-

mero Gódel del signo correspondiente).18

18 Se pueden Presentar en el cálculo signos que no aParezcan en el vocabu'

lario fundamental; éstos son introducidos deliniéndolos con ayuda de los sig-

nc del vocabulario. Por ejemplo, el signo.', el enlace proposicional utili"aCn

como abreviatura de 'y', puede ser definido en el contexto del moco sr-

guiente: p . g'equivale"'- (- FV - q)'. ¿Q.uénúmeroGiidelseasignaa

un signo definiáo? La ,.rprr"rt" ., -"uidente

si observamos que las expresiones

que iontienen signos definidos pueden ser eliminadas a favor de sus equiva-

lentes definidores; y está claro que un número Gódel puede serdtterminadopara la expresión tiansformada. Por consiguiente, el número Gódel de la fór-

mula p' q' es el número Gódel de la fórmula '* (* p 7 rv q)' Aruiloga'

ment , Iosáiversos numerales pueden ser introducidos por definición del mo-

Hü,f l

Hll

il'í :i :i :

( I tc ) ( ,c = s) )

t+JrJ+tt +{8411981157139

l r

*a¿.!

¡I

El: '

;J

96 EL TEOREMA DE C'ODEL

Consideremos, finalmente, una sucesión de fórmulas

s))s0)

tal como puede presentarse en alguna demostración. Así,por ejemplo,

(3.r)(r =(3.r)(r =

La segunda fórmula, una vez traducida, dice: '0 tiene unsucesor inmediato'; es derivable de la primera sustituyen-do la variable numérica'y'por el numeral'O'.re Ya hemosdeterminado el número Gódel de la primera fórmula; es?t¿; y supongamos que n es el número Gódel de la segundafórmula. Igual que'antes, es conveniente disponer de unsolo número que sirva de rótulo a la sucesión. Conveni-mos, por tanto, en asociarla con el número que es el pro-ducto de los dos primeros números primos en orden demagnitud (esto es, los números primos 2y 3), estando ele-vado cada uno de los números primos a una potenciaigual al número Gódel de la fórmula correspondiente. Sillamamos á a este número podemos escribir k - 2^ x 8".Por este procedimiento de condensación podemos oÉte-ner un número para cada serie de fórmulas. En resumen,

do siguiente: 'l' abreviatura de's0', '2' abreviatura de'ssO', '3'abreviatura de'sss0', y así sucesivamente. Para obtener el número Gidel de la fórmula'rw (2 = 3)', eliminamos los signos definidos, obteniendo así la fórmula'n (ssO = sssO)', y obtenemos su número Gódel siguiendo las reglas expresa-das en el texto.

le Recordará el lector que hemos definido una prueba como una sucesión{inita de fórmulas, cada una de las cuales o es un axioma o puede ser deriva-da de las fórmulas anteriores de ia sucesión con ayuda de las reglas de trans-formación. Con esta definición, la sucesión antes indicada no es una prueba,ya que la primera fórmula no es un axioma ni se demuestra su derivación delos axiomas: la sucesión es solamente un fragmento de una prueba. Llevaríademasiado tiempo exponer un ejemplo completo de prueba, y para los finesilustrativos que se pretenden es suficiente la sucesión expresada.

IJ\S PRUEBAS DE GÓDEL Y'

toda expresión contenida en el sistema, sea un signo ele-mental, una sucesión de signos o una sucesión de suce-siones, puede llevar asignado un único número Gódel.

Lo que se ha hecho hasta aquí es establecer un métodopara (aritmetizan completamente el cálculo formal. Elmétodo consiste esencialmente en un conjunto de reglaspara establecer una coreq)ondencia biunívoca entre lasexpresiones del óálculo y una cierta subclase de los núme-ros enteros.zo Dada .una expresión, Puede calcularseunívocamente el número Gódel que corresponde a ella.Pero esto es sólo la mitad de la historia. Dado un número,podemos determinar si es un número Gidel, y, si lo es, laexpresión que representa puede ser exactamente analiza-da o orestablecidau. Si un número dado es igual o menorque 10, es el número Gódel de un signo constante elemen-tal. El signo puede ser identificado. Si el número es ma-yor de 10, puede ser descompuesto en sus factores primosde una manera precisa (como sabemos por un famosoteorema de la aritmética).zt Si es un número primo mayorde 10, o la segunda o tercera potencia de un número pri-

20 No todo número entero es un número Gódel. Consideremos, por

ejemplo, el número 100; 100 es mayor que 10, y, por consiguiente, no puedeser el número Gódel de un signo constante elemental; y Puesto que no es unnúmero primo mayor de l0 ni el cuadrado ni el cubo de un número primoque reúna esa circunstancia, no puede ser el número Giidel de una variable.Al descomponer 100 en sus factores primos, encontramos que es igual a22 x 52; y el número primo 3 no aparece como.factor de la descomposición,sino que queda omitido. De acuerdo con las reglas establecidas, sin embargo,el número Giidel de una fórmula (o de una sucesión de fórmulas) debe ser el

producto de varios números primos sucesa'r.ns, elevado cada uno de ellos a al-

guna potencia. El número 100 no satisface esta condición. Es decir, que 100

no puede ser asignado a signos conttantes, variables o fórmulas; por consi'guiente, no es un número Gódel.

2l Este teorema es conocido como el teorema fundamental de la aritmética.Dice que si un número entero es compuesto (o sea, que no es primo), tiene

una sola descomposición en factores primos.

i : ¡ !

: , :: i

i,.i

t :

f i i

l : ,

i i :

i,ii:

: , i ;

aqE¡+

ut

:i, :i i i .


mo que r€úna esa cualidad, es el número Gódel de una

variable identificable. Si es el producto de números pri-

mos sucesivos, elevado cada uno de ellos a a'lguna Poten-cia, puede ser el número G)del o de una fórmula o de

una sucesión de fórmulas. En tal caso, puede determinar-

se exactamente la expresión a que corresponde. Siguien-

do este método podemos desmontar cualquier número

dado como si fuese una máquina, descubrir cómo estáconstruido y averiguar qué elementos lo integran; y,

puesto que cada uno de sus elementos corresponde a unelemento de la expresión que representa, podemos re-constituir la expresión, analizar su estructura, etc. Latabla 4 muestra cómo podemos averiguar, en relación aun número determinado, si es un número 6del y, en ca-so afirmativo, cuál es la expresión que simboliza.

Tabla 4

A 243.000.000

64x 243 x 15.625

C 26X35)(56

E 0=0

La fórmula aritmética 'cero igual a cero'tiene el número Gódel 243.000.000.Leyendo en sentido descendente desde A hasa E, la ilustración muestra có-mo se transforma el número en Ia expresión que representa; haciéndolo ensentido inverso, cómo se obtiene el número correspondiente a la fórmula.

LAS PRI,EBAS DE GÓDEL 99

B) Lo aritmetiz.rción d,e la, metamatenútica

El paso siguiente de Gódel es una ingeniosa aplicación dela idea de la representación. Demostró que todas las pro-

¡losiciones metamatemáticas acerca de las propiedadesestructurales de las expresiones contenidas en el cálculopueden ser adecuadamente reflejadas dentro del cálcu-lo mismo. La ideabásica subyacente en su procedimientoes la siguiente: püesto que toda expresión del cálculo estáasociada a un núrnero (Gódel), puede construirse unaproposición metamatemática acerca de las expresiones yde sus recíprocas relaciones como una proposición acercade los correspondientes números (Gódel) y de sus recípro-cas relaciones aritméticas. De esta manera queda comple-tamente uaritmetizadau la metamatemática. Valga comoanalogla el siguiente ejemplo: En un supennercado muyconcurrido se suele dar a los clientes, en el momento deentrar, unas fichas numeradas, cuyo orden determina elorden en que habrán de ser atendidos los clientes. Obser-vando los números es fácil decir cuántas personas han si-do servidas, cuántas están esperando, quién precede aquién y por cuántos clientes, etc. Si, por ejemplo, la seño-ra Smith tiene el número 37 yla señora Brown el número53, en vez de explicar a la señora Brown que tiene queaguardar su turno después de la señora Smith, basta conindicarle que 37 es menor que 53.

Lo mismo que en el supermercado ocurre en la meta-matemática. Cada proposición metamatemática se hallarepresentada por una única fórmula dentro de la aritmé-tica; y las relaciones de dependencia lógica entre las pro-posiciones metamatemáticas se reflejan plenamente enlas relaciones numéricas de dependencia entre sus corres-pondientes fórmulas aritméticas. Una vez más, la repre-

t,

t l l

ili

656

i l t0=0

D

tlt i

rOO EL TEOR.E,MA DE GÓDEL

sentación facilita una investigación de la estructura. La

exploración de las cuestiones metamatemáticas puede serdesarrollada investigando las propiedades aritméticas ylas relaciones de ciertos números enteros.

Ilustraremos estas observaciones generales con unejemplo elemental. Consideremos el primer axioma delcálculo proposicional, que es, además, un axioma del sis-tema formal sujeto a examen: '(p V P) ) P'. Su númeroGidel es Zex 3ut ¡ 5z x Zuz x lls x 135 X lfrrr, que de-signaremos con la letra'¿'. Consideremos también la fór-mula '(7t V p)', cuyo número üidel es 28 x !,u2 ¡ $z ¡Itt?¡ lls, la designaremos con la letra 'b'. Enunciamos

ahora la proposición metamatemática de que la fórmula'(p V f)'es una parte inicial del axioma. ¿A qué fórmulaaritmética del sistema formal corresponde esta proposi-ción? Es eüdente que la fórmula más pequeñ^'(P V p)'

puede ser una parte inicial de la fórmula mayor, que es elaxioma, si, y solamente si, el número (Giidel) ó, querepresenta a la primera, es un factor del número (Gódel)¿, que representa a la segunda. Supuesto que la expresión'factor de'esté convencionalmente definida en el sistemaaritmético formalizado, la única fórmula aritmética quecorresponde a la declaración metamatemática antesenunciada es: 'ó es un factor de a'. Además, si esta fór-mula es verdadera, esto es, si b es un factor de a, entonceses cierto que '(p V p)' es una parte inicial de' (pv p))p ' .

Fijemos nuestra atención en la proposición metamate-mática: nLa sucesión de fórmulas con número Gódel ¡ esuna prueba de la fórmula con número Gódel z.> Estadeclaración está representada (reflejada) por una fórmu-la definida del cálculo aritmético que expresa una rela-cién estrictamente aritmética entre r y z. (Podemos

LAS PRUEBAS DE GÓDEL IOI

hacern<is cierta idea de Ia complejidad de esta relaciónrecordando el ei'rnplo empleado anteriormente, en el cualse asignaba el número G6del k = 2- x 3" ala (fragmentode) prueba cuya conclusión tiene el número Gidel n.Unapequeña reflexión hace ver que existe aqul una relaciónaritmética definida, aunque en manera alguna sencilla,entre á, el número Gódel de la prueb^, y n, el númeroGtidel de la conclusión. Escribimos esta relación entre r yz cop.la fórmula'Dem (x, z)', para tener presente la pro-posición metamatemática a que corresponde (esto es, laproposición metamatemática 'La sucesión de fórmulascon número Gódel tr es una prueba (o demostración) de lafórmula con número Gódel z').22 Rogamos ahora al lectorque observe que una proposición metamatemática quedice que una cierta sucesión de fórmulas constituye unaprueba de una fórmula dada es verdadera si, y solamentesi, el número Gódel de la pretendida prueba está con elnúmero Gódel de la conclusión en la relación aritméticaaquí designada como 'Dem'. Por consiguiente, para es-tablecer la verdad o la falsedad de la proposición meta-matemática sujeta a examen sólo nos interesa la cuestiónde si la relación Dem se mantiene entre dos números. In-versamente, podemos establecer que la relación aritméti-ca se cumple entre un par de números demostrando quees verdadera la declaración metamatemática reflejadapor dicha relación entre dos números. Análogamente, laproposición metamatemática 'La sucesión de fórmulas

22 El lector debe tener presente con toda claridad que, aunque'Dem (r, z)'representa la proposición metamatemática, la fórmula misma pertenece alcálculo aritmético, La fórmula podrla ser escrita con una notación más habi-tual como T@, ,) : 0', donde la letra f denota una compleja serie de ope-raciones aritméticas realizadas con números. Pero esta notación más corrienteno zugiere inmediatamente la interpretación metamaternática de la fórrnula.

IO2 ELTEOREMADEGÓDEL

con el número Gidel Jc no esuna prueba para la fórmulacon número Giidel z'se representa en el sistema aritméti-co formalizado con una fórmula definida. Tal fórmula esla contradictoria formal de 'Dem (x, ,)', o sea, 'n, Dem(*,

")'.Es necesario agregar un poco más de esta notación es-pecial para exponer el punto clave del argumento de Gó-del. Comencerrtos por un ejemplo. La fórmula'(3*)(r = s))' tiene como número Gidel m (uéose pógina94 ), mientras que el número de Gódel de la variable'y'es 13. En dicha fórmula sustitúyase la variable de númeroGidel 13 (o sea, ')') por el numeral de m. El resultado esla fórmula '(3r)(r = srrü)', que dice literalmente queexiste un número r tal quex es el sucesor inmediato de m.Esta última fórmula tiene también un número Gódel,que puede calcularse muy fácilmente. Pero, en vez de ha-cer el cálculo, podemos identificar el número medianteuna inequívoca caracterización metamatemática: es elnúmero Gódel de la fórmula que se obtiene a parrir de lafórmula de número Gidel ?m, sustiruyendo la variable denúmero Gódel l3 por el numeral de m. Esta caractériza-ción metamatemática determina unívocamente un nú-mero definido, que es una cierta función aritmética de losnúmeros m y 13, en la que puede ser expresada la funciónmisma dentro del sistema formalizado.zs El número

¡¡ Esta función es sumamente compleja. Su complejidad resulta eüdente sitratamos de formularla con más detalle. Intentémoslo, sin llevarlo a sus últi-m6 extremos. En la pógiw 94 se demostró que n¿, el número G6del de'(l*)(* = sy)', es:

28x3{x5l t x7e x l l8x lSl t x 175 lgr x23tr ¡ 2gs.

Para hallar el niinero G6del de'(.fuXr = szl)'(la fórmula obtenida sustitu-yendo en la antcrior Ia variable'lt por el numeral de m) prilcedemm del mo-

LAS PRUEBAS DE GÓDEL TO3

puede, por consiguiente, ser designa do d'entro del cálcu'lo. Esta designación será escrita como 'sust (rz, 13, m)'siendo la finalidad de esta fo.rma recordar la caracteriza'

ción metamatemática que representa, es decir, 'el núme-

ro Gidel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de

número Gódel ??r, sustituyendo la variable de número Gti-

del l3 por el numeral de m'. Podemos ahora dejar a un

Iado el ejemplo y generalizar. El lector se dará cuenta en

seguida de que la expresión'sust (y, 13, 3t)' es la imagen

reflejada dmtro del cálculo aritmético formalizado de la

caracterización metamatemática'el número Gódel de la

fórmula que se obtiene a paftir de la fórmula de número

Gódel y, sustituyendo la variable de número GÓdel l3 por

el numeral dey'. Se observará también que cuando se sus-

tituye 3l' pot un numeral definido en 'sust (-y, 13,))'

do siguiente: Esta fórmula contiene el numeral'nt', que es un signo definido,

y, de conformidad con el contenido de la nota 18, ¡n debe ser remplazado por

su equivalente definidor. Una vez hecho esto, obtenemos la fórmula:

(3.r)(r = ssssss . . .s0),

donde la letra's'se da r¿ f I veces. Esta fórmula contiene solamente los sig-

noS elementales pertenecientes al vocabulario elemental, con lo que puede

calcularse su número Gidel. Para ello, obtenemos primeramente la serie de

númeroc Giidel asociados con los signos elementales de la fórmula:

. , 7, 6, 9,

en la que el número 7 aparece zl * I veces. Tomamos luego el producto de

los primeros m * l0 t úmetos primos por orden de magnitud, elevado cada

,tno de ellos a una potencia igual al número Q'5rdel del correspondiente signo

elemental. Llamemos r a erite número, con lo que

r = 28 x 34 x 5rl x ?e x l l8 x l3¡ l x 175 x 197 x2{ xx297x317x.- .xf^*rn,

donde p-*ro es el número primd que hace el (m + l0)'tu en el orden de

magnitud.

TIN EL TEOR.E¡I{A DE GÓDEL

-por ejemplo, el nume¡al de m o el numeral de doscien-tos cuarenta y tres millones- la expresión resultante de-signa un número entero definido, que es el número Gódelde una determinada fórmula.za

C) EI núcleo ¡Ie l"a argumentnción d,e G6¡lel

Nos encontramos preparados, I¡or fin, para seguir enlíneas generales la argumentación principal de Gódel.Comenzaremos enumerando de forma genérica los pasosfundamentales para que el lector pueda captar una vistapanorámica de la secuencia del argumento.

Comparemos ahora los dos números Gidel z¿ y r; nr contiene un factorpnmo'elewdo a In potenctb.l.l; r contiene todos los factores primos de rn yotrc muchos más, pero ninguno de állos estó ebudo a Ia potencia lJ. Delnúmero zr puede así obtenerse el número r, remplazando al factor primo dern que está elevado a la potencia 13 con otros números primos elevados a po-tencias distintas de 13. No es posible manifestar exactamente y con todo de-talle cómo se relaciona r con rn sin introducir un aparato notativo adicionalconsiderablemente complejo; se halla expresado en el trabajo original de Gó-del. Pero se ha dicho lo suficiente para indicar que el número ¡ es una fun-ción aritmética definida de rn y 13.

zaCabe la posibilidad de que se le ocurran al lector varias cuestiones que esnecesario contestar. Puede preguntarse por qué, en la caracterizaciónmeta-matemática recién mencionada, decimos Que es rel numeral de yu el que sus-tituye a cierta variable, en vez de "el númeroJlr. La contestación depende dela distinción, ya examinada, entre matemática y metamatemática, y exigeuna breve aclaración de diferencia entre números y numerales (o cifras). Unnumeral eó un slgno, una expresión lingüística, algo que se puede escribir,borrar, etc.U¡número, en cambio, es algo que vienenombrado o designadopor r¡n'numeral y que no puede, literalmente, ser escrito, borrado, copiado,etc. Aú, decimos que l0 es el número de dedos qlre tenemos en las manos, y,al hacer esta declaración, esnmos atribuyendo una cierta *propiedadu a laclase de nuestroo dedos; pero seúa evidentemente absurdo afirmar que estapropiedad es un numeral. Asimismo, el número l0 viene designado por elnumeral arábigo'10', al igual que por la letra romana 'X'; estas designa-ciones son distintas aunque designan al mismo número. Fs decir, que cuandosustituimos una variable numérica (que es una letra o un signo), estamos po-niendo un signo en lugar de otro signo. No podemos sustituir literalmente unsigno por un número, porque un número es una propiedad de las clases (y a

LAS PRUEBAS DE GÓDEL IO5

Gidel mosrró (I) cómo construir una fórmula aritméti-ca G que represente la declaración metamatemática 'La

fórmula G no es demostrable'. Esta fórmula G dice, asl,ostensiblemente de sí misma que no es demostrable. Has-

ta cierto punto, G está construida de forma análoga a laparadoja de Richard. En esa paradoja la expresión 'ri-

chardiano' se asocia a cierto número n, y queda cons-tn¡ida la oración'rl es richardiano'. En la argumentaciónde Gódel, la fórmula G se asocia también a un cierto nú-mero h y está construida de modo que corresponda a ladeclaración'la fórmula que tiene el número asociado h

no es demostrable'. Pero (II) Giidel mostró también que Ges demostrable si, y solamente si, es demostrable su nega-

veces se dice que es un concepto), no algo que podamos poner sobre el papel.De donde se deduce que al sustituir una variable numérica sólo podemos ha-cerlo con un numeral (o alguna otra expresión numérica, tal como 's0' o'7 + 5') y no con un número. Esto explica por qué en la caracterización me-tamatemática mencionada declaramos que sustituimos la variable por elnu'meral de (el número)1t, en vez de por el propio número y.

Quizá se pregunte el lector qué número se designa por'sust (y, 13, y)' sida la casualidad de que la fórmula cuyo número Gddel es 1 no contiene la va-riable de número Gódel 13 -esto es, si la fórmula no contiene a la variable'1r'-. Así, sust (243.000.000, 13,243.000.000) es el número Gódel de la fór-mula obtenida a partir de la fórmula de número Gidel 243,000.000, sustitu-yendo la variable y'por el numeral'243.000.000'. Pero si el lector consulta latabla 4, hallará que 243.000.000 es el oúmero G)del de la fórmula '0 = 0',que no contiene a la variable y'. ¿Cuál es entonces la fórmula que.se obtienede '0 = 0' sustituyendo la variable J¡' por el numeral del número243.000,000? La rispuesta, bien sencilla, es que, puesto que'0 = 0'no con-tiene a esta variable, no puede hacerse ninguna sustitución, o, lo que es lomismo, que la fórmula obtenida de'0 = 0' x esta mismaf.ilrmula. En conse-cuencia, el número designado por'sust (243.000.000, 13,243.000.000)' es24$.000.000.

Puede también que el lector se sienta asaltado por la duda de si 'sust

0, 13, f)' es unafórmula. dentro del sistema aritmético en el sentido que sonfórmulas, por ejemplo, '(3x)(x = sy)', 'O = 0'y'Dem (x, z)'. La resPuesta esnegativa por la razón siguiente. La expresón'0 = 0'recibe la denominaciónde fórmula porque afirma una relación entre dos núneros y es, Por tanto,susceptible de que se le atribuya significativamente la cualidad de verdad o

106 ELTEOREMADEGODEL

ción formal "v G. Este paso de la argumentación es tam-bién análogo al paso de la paradoja de Richard en el quese demostró que n es richardiano si, y solamenté si, z noes richardiano. De cualquier modo, si una fórmula y sunegación son ambas formalmente demostrables, el cálcu-lo artmético no es consistente. Por consiguiente, si el cál-culo es consistente, ni G ni .v G son formalmente deri-vables de los axiomas de la aritmética. Por tanto, si laaritmética es consistente, G es una fórmula formalmenteindecidible. Gidel demostró luego (III) que, aunque G no

sea formalmente demostrable, es, sin embargo, una fór-mula aritméticauerdadera.F.s verdadera en el sentido deque afirma que todo número entero posee una cierta pro-

falsedad. Análogamente, cuando las variables de 'Dem (x, z)' son sustituidaspor numerales definidos, esta expresión formula una relación entre dos nú-meros, con lo que se convierte en nna proposición que o es verdadera o es fal-sa. Lo mismo puede decirse para'(3r)(.r = s,)'. Por otra parte, aun cuandose sustituya y' por un numeral definido en'sust (1, 13, y)', la expresión resul-tante no afirma nada y no puede, por tanto, ser verdadera ni falsa. Simple-mente, d.enomina o designa un número describiéndolo como una determina-da fimcúón de otro números. La diferencia entre una fónnula (que es enrealidad una proposición acerca de números y, por ende, verdadera o falsa) yl;na función-nombre (qwe es un nombre que identifica a un número y, porende, ni es verdadera ni falsa) quedará más clara si añadimos algunosejemplos: '5 = 3'es una fórrnula que, ar¡nque falsa, declara que los números5 y 3 son iguales; '52 = 42 + 32'es también una fórmula que afirma la exis-tencia de una definida relación entre los números 5, 4 y 3; y, en un sentidomás general, 'y = f (x)' es una fórmula que afirma la existencia de una de-terminada relación entre los números no especificados x e y. Por otra parte,'2 + t'expresa una función de los números 2 y 3 y, por tanto, denomina aun cierto número (de hecho, el número 5); no es una fórmula, ya que seúaevidenteniente absurdo preguntar si '2 + 3' es verdadero o falso.'(7 x 5) f 8'expresa otra {unción de los tres números 5, 7 y 8 y desigrra alnúme¡o 43. Y, en términos más generales, f(x)' expresa una función de x eidentifica a cierto número cuando s€ s¡rstituye'r'por un numeral definido ycuando se atribuye un definido significado al signo de función f . Resumien-do, mientras que'Dem (*, z)'es una fórmula porque aenelaforma de unaproposicúín.acerca de números 'sust (1r, 13, 1)' no es una fórmula porque sólotienelafmma de un nombre para los'números.

LAS PRUEBAS DE GÓDEL IO7

piedad aritmética que puede ser exact:rmente definid.a vpresentada en cualquier número entero que se examine.(IV) Puesto que G es al misrno riempo verd.adera y formal_mente indecidible, los axiomas de la aritmética son in-comPletos. En otras palabras: no podemos deducir todaslas verdades aritméticas de los axiomas. Gódel demostróademás que la aritniética es esencia,hnente incompleta:aun cuando se admitiesen nuevos axiomas, de tal modoque la fórmula verdadera G pudiera ser formalmente de-rivada de Ia incrementada serie de los mismos, todavÍapodría construirse otra fórmula verdadera pero formal_mente indecidible. (V) Gódel describió después cómoconstruir una fórmula aritmética A que represente a laproposición metamatemática , la aritmética esconsistente', y demostró que la fórmula ,A ) G' es for_malmente demostrable. y, finalmente, demostró que lafórmula A no es demostrable. De aquí se desprende quela consistencia de la aritmética no puede ser establecidapor un argumento que pueda hallarse representado en elcálculo arirmérico formal.

Exponemos a continuación detalladamente la sustan_cia de la argumentación:

(I) Ya ha sido identificada la fórmula .,v Dem (x, z),.Representa, dentro de la aritmética formalizada,la pro_posición metamatemática 'la sucesión de fórmulas connúmero Gidel tr no es una prueba de la fórmula con nú_mero Gódel z'. Ahora se introduce el prefijo .(x)' en la fór_mula Dem. Fste prefijo realiza en el sistema formalizad.ola misma función que Ia frase,para todo r'. Anteponien-do este prefijo obtenemos una nueva fórmula,'(x)

-Dem (x, z)', que representa, dentro de la aritméti-

ca, a la proposición metamatemática ,para todo *, la su-cesión de fórmulas con número Gódel f, no es una prueba

IOE ELTEOREMA DEGÓDEL

de la fórmula con número Gódel z'. Lanueva fórmula es,por tanto, la paráfrasis formal (estrictamente hablando,es la única representativa), dentro del cáiculo, de la pro-posición metamatemática 'la fórmula con número Gódelz no es demostrable', o, por decirlo de otra manera, ,no

puede aducirse ninguna prueba para la fórmula con nú-mero Gódel z'.

Lo que Gódel d^emostró es que un determinado caso es-pecial de esta fórmula no es formalrneqte demostrable.Para construir este caso especial empecemos con la fór-mula señalada como línea (I):

r) (r) -

Dem (r, sust [¡r, 13,y])

F,sta fórmula pertenece al cálculo aritmético, pero repre-senta una proposición metamatemática. La cuestión es:¿cuál? El lector debe recordar ante todo que la expresión'sust (y, 13, .y)'designa un número. Fste número es el nú-mero Gódel de la fórmula obtenida a parrir de la fórmulade número Gódel y, susrituyendo la variable de númeroGidel l3 por el numeral de.y,tu Resulta entonces evidenteque la fórmula de la línea (I) representa a la proposiciónmetamatemática 'la fórmula de número Gódel sust(-y, 13, 3l) no es demostrable'.2o

25 Es-de suma importancia advertir que'sust (-y, 13, f)', aunque es unaexpresión de la aritmética formalizada, no es una fórmula, sino más bien unafunció¡-üombre para la identificación de wnúmero (aéase Ia nota explicati-w 2\. El número así identificado, sin embargo, es el número G6,clel de unafórmula, de la fórmula obtenida a partir de É fórmula de número G6del y,sustituyendo la variable y' por el numeral de y.

zb Fsta proposición puede ser expresada más extensamente del modo si-guiente: 'La fórmula (cuyo número Gtidel es el número de la fórmula) obte-nida a partir de la fórmula de número Gi'del y, sustituyendo la variáble denúmero Gidel 13 por él numeral de 1, no es áemostrable'.

LAS PRUEBAS DEGÓDEL IO9

Pe.o, dado que la fórmula de la línea (I) pertenece al

cálculo aritmético, tiene un número Gódel que Puede ser

efectivamente calculado. Supongamos que el número es

z¿. Sustituimos ahora la variable de número Gódel 13 (es-

to es, la variable y') d.la fórmula de la línea (I) por el

numeral de rz. Se obtiene así una nueva fórmula, que lla-

maremos'G'(de Giidel), rotulándola con esa letra:

G) (i) ,' Derñ (x, sust [n, 13, n])

La fórmula G es el caso especial que habíamos Prometidoconstruir.

Ahora bien: esta fórmula se produce dentro del cálculo

aritmético y debe, por consiguiente, tener un número Gó-

del. ¿Cuál es el número? Una breve reflexión nos hace ver

qo.., sust (2, 13, z). Para comprenderlo debemos recor-

dar que sust (n, 13, n) es el número GÓdel de la fórmula

que se obtiene a Partir de la fórmula de número Gódel n,

sustituyendo la variable de número Gódel l3 (o sea, la va-

riable )') por el numeral de r¿. Pero la fórmula G ha sido

obtenida a partir de la fórmula de número Gódel n (o

Puede-.que el lector se sienta PerPl+ ante el hecho de que en ta foeo¡-ción metimatemática'La fórmula de número Giidel sust (y' t3' f) no es de-

mostrabÍé'no aparezca entrecomillada la expresión'sust (¡r, 13, y)',.no obs-

tante haberse afirmado repetidamente en el texto que 'sust (1, 13, 3r)' es una

expresión. Es ésta una cuestión que depende una vez más de la distinción

entre utilizar una expresión para hablar acerca de lo que la expresión designa

(en cuyo caso la expiesión no va entrecomillada) y hablar acerca de la expre-

riótt *it-u (en cuyo caso debemos utilizar un nombre para la expresióny,-de

acuerdo con la convención establecida para construir tales nombres, debe-

mos eutrecomillar la expresión). Un ejemplo servirá para comprenderlo me-

jor: '7 + 5' es una expresión que designa a un número; por otra paÉe'

l + 5 o un número y no una exPresión. Igualmente, 'sust (243'000'000'

13,243.000.000)'es una expresión que desigrra el número Gódel de una fór-

mlla (téase Tabla 4), peto tott (243.000'000, 13,243'000'000) es el número

Gidel de una fórmula y no es una expresión

t l l

:

I IO ELTEOREMADEGÓDEL

sea, de la fórmula de la línea [I]), sustituyendo la va-riable'y'existente en ella por el numeral de n. En conse-cuencia, el número Gódel de G es, eh efecto, sust(n, 13, n).

Pero debemos recordar también que la fórmula G es la

imagen reflejada dentro del cálculo aritmético de la pro-posición metamatemitica:'La fórmula de número Gódelsust (2, 13, n) no es demostrable'. De donde se sigue quela fórmula aritmética '(ry)

- D9m (x, sust [n, 13, n])'

representa en el cálculo la proposiqiún rnetamatemática:'La fórmula '(r) 'v Dem (x, sust ln, 13, n])' no es de-mostrable'. En cierto sentido, por tanto, esta fórmulaaritmética G puede ser construida como afirmando de símisma que no es demostrable.

(II) Llegamos ahora al pasosiguiente: la prueba de queG no es formalmente demostrable. La demostración deGódel se asemeja al desarrollo de la paradoja de Richard,pero se mantiene libre de su falaz razonamiento.2T La ar-

27 quizesea conveniente explicar la semejanza, así como la desemejanza,de esta argumentación con la empleada en la paradoja de Richard. La cues-tión principal a observar es que la fórmula G no es idéntica a la proposiciónmetamatemática con la que está asociada, sino.que solamente la representa(o refleja) dentro del cálculo aritmético. En la paradoja de Richard (como seexplicó enla pÍgirw 85), el número ¿ es el número asociado con una deter-minada expresión metamatemtítica. En la construcción de Gilel, el númeroz está asociado a una determinadafrmula aritmétúa perteneciente al cál-culo formal, aunque esta fórmula aritmética representa en realidad una Pro-posición metamatemática. (La fórmula representa esta proposición porquela metamatemática de la aritmética ha sido proyectada en la aritmética.) Aldesanollar la paradoja de Richard se plantea la cuestión de si el número nposee la propiedad ,netornaterruít¿'c¿ de ser richardiano. En la construcciónde G6del, la cuestión que surge es la de si el número sust (n, 13, z) posee unadeterminada propiedad anlmética,la propiedad aritmética expresada por lafórmula'(r)

- D"- (*, z)'. En la construcción de G6del no existe, Por tanto,

confusión alguna entre pÍoposicions d.mho de la aritmética y proposicionesacerca d,e la aritmética, como ocurre en Ia paradoja de Richard.

. LAS PRUEBAS DE GÓDEL III

gumentación es rerativamente sencilla. se d.esenvuervehaciendo ver que si la fórmula G fuese demostrable, en_tonces su contradictoria formal [a saber: la fórmula'- (¡) rv Dem (r, sust ln, ll,n])'f también seúa de_mostrable; e, inversamente, que s¿ la contraüctoria for-mal de G fuese demostrable, entonces también la propiaGsería demostrable- Tenemos, pues, G es demosribl. si,y sólo si, n, 6 es demostrable.zs pero, como hemos hechonotar anteriormente, si de un conjunto de axiomas pue-den ser derivadas tanto una fórmula como su negaciónformal, esos axiomas no son consistentes. De lo quele de-duce que si los axiomas del sistema formalizad.o áe la arit-mética son consistentes, ni la fórmula G ni su negaciónson demostrables. En resumen, si los axiomas son fonsis-

* Esto.no es Io que demostró realmente Góder, y la declaración der texro,adaptación de un reorema obtenido en 1936 porJ.'Barkrey Rosser, se empreaaquí a efectos de una mayor sencill.. de

""posilión. Lo'que:r;;il;;-r.i.-

mostróGiidel es que si G es demostrabre, enionces es demostrable ,w G (conro que la antmética es inconsistente); y si tu G es demostr,able, entonc; raaritmética es a¡-inconsistente ¿eué es lá <,¡-irrconsistencia? sea ,p, alsún ore-dicado aritmético. Entonces ra iritmética t.rí" ;-;;;;;r;;;,; .t ;i;."p".sible demostrar ranro la f91nu_ta (:r)p(r)' (esro es, .exisre

por lo _.rr*.rr'lT":. .qu-.

tt tr: la propiedad P), como igualmente cada una de la seriem¡rruta de tórmulas '- P(0)', .lpjt)', ,- p(Z)', etc. (esto es, ,0 no tiene la pro_piedad P','l no tiene la propiedaá p,,,z'io tiene la p-pi.d;á ¡, r'"í'*cesivamente). una breve reflenión basta para hacer ver qú. ,i .l

"a"ub ., io.-r-

sistelte, entonces es también @-inconsüente; pero lo iontrario ,ro o ,r*ou-riamente cierto: un sistema puede ser o¡-inco'nsistente sin ser inconsistente..l:T::.pu." que un sisrema sea inconsistente deben ser demostrables tanro

-!?_t).. .t'"t 1:) -

Pq):. Sin ernbargo, ".r'q,r. J;--;,;;".q'-rncon$$ente son derncu-¿bles tanto'(3*, p(r)'como cada una de la serie infi-nita de fórmulas',v p(0)', .- p(l)', ,- p(2), .tá, lu tAr-ula.(r) rv p(¡t;;;.,

no obstante, no ser derno$rabh, con io q". .l ,h;;; i" t#S;.

-^ Vamos a esbozarla primera parte de la'argumentación de Gider, cuandoa'rrna que sr G es demostrable entonces es demostrabre ru G. supongamos

que la fórmula G fuese demostrable. Tendúa en ral caso que haber'un""ro..-sión de fórmulas denrro de la aritmétic, qo..orrrtit,ry.*i;;;;;;ft,Sea É el número Gódel de esta prueba. Ei.orrse"rr"r,cia, Ia relación aritméti-

II2 EL TEOREMA DE GÓDEL

tentes, G es formalmente indecidible, en el preciso senti-do técnico de que ni G ni su contradictoria pueden serformalmente deducidas de los axiomas.

(III) Puede que a primera vista esta conclusión no parez-ca de capital importancia. ¿Por qué es tan digno de men-ción, podrla preguntarse, que pueda construirse dentrode la aritmética una fórmula que sea indecidible? Quedapor revelar algo que ilumina las hondas implicaciones deeste resultado. Porque, aunflue Ia fórmula G es indeci-dible, si los axiomas del sistema son consistentes, puede,no obstante, demostrarse mediante un razonamiento m,e-ta¡natemótico que G es aerdadera. Fs decir, puede de-mostrarse que G formula una compleja pero definidapropiedad numérica que se da necesariamente en todoslos números enteros, del mismo modo que la fórmula'(¡)

- (x + 3 - 2)'(qo., interpretada en la forma habi-

tual, dice que ningún número cardinal al que se añada 3da una suma igual a 2) expresa otra propiedad igualmen-te necesaria (aunque mucho más sencilla) de todos los nú-meros enteros. El razonamiento que da validez a la ver-

ca designada por'Dem (x, z)' debe mantenerse entre É, número Gidel de laprueba, y sust (2, 13, nl número Gódel de G, lo que equivale a decir que'Dem(¿, sust (n, 13, z))' tiene que ser una fórmula aritmética verdadera. Sinembargo, puede demostrarse que esta relación aritmética es de un tipo talque, si dicha relación se da entre un par definido de números, la fórmula queexpresa este hecho es demostrable. Por consiguiente, la fórmula'Dem (&, sust(n, 13, n))' es no sólo verdadera, sino también formalmente demostrable; esdecir, la fórmula 6\nteorerna. Pero, sirviéndonos de las reglas de transfor-mación de la lógica elemental, podemos derivar inmediatamente de este teo-rema la fórmula "v (r) rv Dem (*, sust (2, 13, z))'. Hemos demostrado, portÍrnto, que si la fórmula G es demostrable, su negación formal es también de-most¡able. De donde se sigue que si el sistema formal es consistente, la fór-mula G no es demostrable.

Un razonamiento en cierto modo análogo, aunque más complicado, esnecesario para demostrar que si ,w G es demostrable, entonces también G esdemostrable. Prescindiremos de exponerlo aquí.

LAs PRUEBAS DE GÓDEL ITE

dad de la fórrnula indecidible G es impecable. Primero,bajo la hipótesis de que la aritmética es consistente se hademostrado la verdad de la proposición metamaremática'La fórmula '(r).'v Dem (x, sust [n, 13, nf)' no es de-mostrable'. Segundo, esta proposición se halla represen-tada dentro de la aritmética por la misma fórmula men-cionada en la proposición. Tercero, recordemos que laspropo,siciones metamatemáticas han sido representadasen el formalismo aritmético de tal modo que las proposi-ciones metamatemáticas verdaderas correspondan a fór-mulas aritméticas verdaderas. (En reaiidad, el estableci-miento de tal correspondencia es la raison d'étre de larepresentación; al igual que ocurre, por ejemplo, en lageometría analÍtica, en la que, por virtud de este proceso,las proposiciones geométricas verdaderas correspondensiempre a proposiciones algebraicas verdaderas.) De ahíse desprende que la fórmula G, que corresponde a unaproposición metamatemática verdadera, debe ser tam-bién verdadera. Ha de hacerse notar, no obstante, quehemos establecido una verdad aritmética, no deducién-dola formalmente de los axiomas de la aritmética, sinopor un argumento metamatemático.

(IV) Recordamos ahora lector la noción de la ucompleti-tud' introducida en la exposición del cálculo proposi-cional. Se explicó allí que los axiomas de un sistemadeductivo son <completo$,' si todas las proposiciones verda-deras que pueden expresarse en el sistema son formal-mente deducibles de los axiomas. Si no es éste el caso, esdecir, si no toda proposición expresable en el sistema esdeducible, los axiomas son uincompletos". Pero, dadoque acabamos de demostrar que G es una fórmula verda-dera de la aritmética no deducible formalmente dentrode ella, se deduce que los axiomas de la aritmética son in-

II4 ELTEORTMADEGÓDEL

completos, sobre la hipótesis, naturalmente, de que sean

corxistentes. Son, además, esencialmente incompletos;

aun cuando fuera introducida G como un nuevo axioma,

el conjunto así aumentado sería todavía insuficiente para

producir todas las verdades aritméticas. Porque, si los

axiomas iniciales fuesen ampliados de la manera indica-

da, aún podría construirse otra fórmula aritmética verda-

dera, pero indecidible dentro del ensanchado sistema; tal

fórmula podría ser constmida limitándose a rePetir en eI

nuevo sistema el procedimiento empleado originariamen-

te para hallar una fórmula verdadera, pero indecidible

en el sistema inicial. Esta importante conclusión se man-

tiene con independencia de las veces que se amplía el sis-

tema inicial. Nos vemos, Pues, obligados a admitir una

fundamental limitación en la eficacia del método axio-

mático. En contra de previas suposiciones, el vasto conti-

nente de la verdad aritmética no puede ser reducido a un

orden sistemático sentando de una vez para siempre un

conjunto de axiomas del que pueda derivarse formalmen-

te toda proposición aritmética verdadera.

(V) Y llegamos a la coda de la asombrosa sinfonía inte-

lectual de Gódel. Hemos seguido los pasos por los que él .llegó a establecer la proposición metamatemática: uSi la

aritmética es consistente, es incompleta.,' Pero puede de-

mostrarse también que esta proposición condicional, to'

madn corno un todo, está rePresentada Por una fórmula

de¡nostrable dentro de la aritmética formalizada.

Esta fórmula crucial puede ser fácilmente construida.

Como ya hemos explicado en el capítulo quinto, la pro-

posición metamatemática'la aritmética es consistente' es

equivalente a la proposición'existe por lo menos una fór-

mula de la aritmética que no es demostrable'. En el cál-

ít

LAs PRUEBAS DE GÓDEL II5

culo formal se representa a ésta con la siguiente fórmula,que denominaremos'A':

A) (lyX")'w Dem (x, y).

Traducida, dice: 'Existe por lo menos un número y talque, para todo número fr, & no se mantiene en la relaciónDem ay'. Interpretada metamatemáticamente, la fórmu_la afirma: 'Existe por lo menos una fórmula d.e la aritmé-tica para la cual oitrg.,tr" sucesíón de fórmulas constituyeuna prueba'. La fórmula A, por tanto, representa lacláusula antecedente de la proposición metamatemática'si la aritmética es consistente, es incompleta'. por otraparte, la cláusula consiguipnte de esta proposición _esdecir, '(la aritmética) es incompletu'- pr*.de directa-mente de 'existe una proposición aritmética verdaderaque no es formalmente demostrable en la aritmética'; yésta, como advertirá el lector, se halla representada en elcálculo aritmético por una vieja conocida, la fórmula G.En consecuencia, la proposición metamatemática condi_cional 'si la aritmética es consistente, es incompleta'estárepresentada por Ia fórmula

(ly)(") rv Dem (*, y) f (r) n¡ Dem (r, sust ln, l3,nl)

que, en aras de la brevedad, simbolizaremos por,A J G'.(Puede probarse que esta fórmula es formalmente demos-trable, pero prescindirernos de hacerlo en estas páginas.)

Vamos a demostrar ahora que la fórmula A nols de_mostrable. Supongamos que lo fuese. Entonces, puestoque A J G es demostrable, aplicando la regla de separa-ción serla demostrable la fórmula G. perol salvo que elcálculo sea inconsistente, G es formalmente indeciáible.


esto es, no demostrable. Por consiguiente, si la aritméticaes consistente, la fórmula A no es dernostrable.

¿Qué significa esto? La fórmula A representa la propo-sición metamatemática 'la aritmética es consistente'. Si,por consiguiente, esta proposición pudiera ser demostra-da con una argumentación susceptible de ser plasmadaen una sucesión de fórmulas, gue constituye una pruebaen el cálculo aritmético, seúa demostrable la propia fór-mula A. Pero, como hemos visto, esto es imposible si laaritmética es consistente. Y el gran paso final está ya antenosotros: debemos coneluir que si la aritmética es consis-tente, su consistencia no puede ser demostrada por nin-gún razonamiento metamatemático susceptible de serrepresentado dentro del formalismo de la aritmética.

Es preciso evitar una errónea interpretación de este im-portante resultado del análisis de Gódel: no excluye unaprueba metamatemática de la consistencia de la aritméti-ca. Lo que excluye es la posibilidad de que una prueba deconsistencia sea reflejada sobre las deducciones formalesde la aritmética.2e De hecho, se han construido pruebasmetamatemáticas de la consistencia de la aritmética, enparticular por Gerhard Gentzen, miembro de la escuelade Hilbert, en 1936, y por otros estudiosos posteriores.3o

tt qoirá le sea útil aquí al lector recordar que, igualmente, la prueba deque es imposible dividir un ángulo en tres partes iguales con regla y compásno significa que un ángulo no pueda dividine en tres partes iguales por cual-quier otro medio. Por el contrario, puede dividirse en tres partes iguales cual-quier ángulo si, por ejemplo, además del empleo de regla y compás, se per-mite utiliza¡ una disrancia fija marcada sobre la regla.

t0 La prueba de Gentzen se basa en disponer todaslas demostraciones de laaritmética en un orden lineal según su grado de .simplicidadu. La disposiciónresulta tener un módulo que es.de un cierto tipo uordinal transfiniioo. (Lateoúa de los números ordinales transfinitos fue creada en el siglo XIX por elmatemático alemán Georg Cantor.) La prueba de consistencia se obtiene

LAS PRTJEBAS DE GÓDEL II7

Estas pruebas poseen una gran importaricia lógica, entreotras razones porque proponen nuevas formas de cons_trucciones metamatemáticas y porque, en consecuencia,iluminan la cuestión de cómo es preciso ampliar ra clasede reglas de deducción para demostrar la consistencia d.eIa aritmética. Pero estas pruebas no pued.en ser represen_tadas dentro del cálculo aritmético; y, como no son fini-tistas, no alcanzan los anunciados obietivos d.el primitivoprograma de Hilbert

aplicando a este orden lineal una regla de deducción llamada *el principio deinducción transfinitap- El razonamiánto de Gentzen no puede r"ir"prd.rr,.-do en el formalismo de la aritmética. Además,

"orqrr. la mayoia de los

estudiosos no discuten la fuer¿a tógica de la prueba, ésta no es finitista en elsgntilo previsto por las condiciones originales de Hilbert para una pruebaabsoluta de consistencia.

8REFLEXIONES

FINALES

I

La importancia de las conclusiones de Gódel es de unatrascendencia que todavÍa no ha sido plenamente explo-rada. Estas conclusiones señalan que la perspectiva de en-contrar para todo sistema deductivo (y, en particular, pa-ra un sistema en que pueda expresarse toda la aritmética)una prueba absoluta de consistencia que satisfaga los re-quisitos finitistas propuestos en el programa de Hilbertes, aunÍlue no lógicamente imposible, sumamente impro-bable.st Señalan también que existe un núrnero infinitode proposiciones aritméticas verdaderas que no puedenser deducidas formalmente de ningún conjunto dado deaxiomas mediante un conjunto cerrado de reglas de de-ducción. De donde resulta que un tratamiento axiomáti-co de la teoúa de los números, por ejemplo, no puedeagotar el campo de la verdad aritmética. Resulta tam-bién que lo que entendemos por proceso de la prueba ma-temática no coincide con la explotación de un método

3t Las conclusiones de Gódel no excluyen la posibilidad de construir unaprueba absoluta y finitista de consistencia para la aritmética. Gódel de-mostró que ninguna prueba de este tipo puede ser representada dentro de laaritmética. Su argumentación no elimina la posibilidad de pruebas estricta-mente finitistas que no puedan ser representadas dentro de la aritmética. Pe-ro nadie parece tener hoy día una clara idea de cómo hab¡ía de s_er unaprueba finitista que no fuese susceptible de formulación dentro de la aritmé-tica.

I22 ELTEOREMADEGÓDEL

axiomático formalizado. Un procedimiento axiomáticoformalizado se basa en un conjunto, .inicialmente fijo ydeterminado, de axiomas y de reglas de transformación.Como la propia argumentación de Gódel señala, no esposible trazar ningún límite previo a la inventiva de losmatemáticos en la ideación de nuevas reglas de prueba.Por cgnsiguiente, no puede darse ninguna descripcióndefinitiva de Ia forma lógica precisa de las demostracio-nes matemáticas válidas. Teniendo en cuenta estas cir-cuntancias, la cuestión de si puede enunciarse unaomnicomprensiva deñnición de la verdad lógica o mate-mática, y si, como el propio Gidel parece creer, sólo unabsoluto *realismoo fildfico del viejo tipo platónico pue-de suministrar una definición adecuada, constituye unconjunto de problemas aún no resueltos y demasiadocomplejos para examinarlos aquí.32

Las conclusiones de Gódel conducen a la cuestión de si

32 El realismo platónico sostiene la idea de que las matemáticas no crean niinventan sus "objetos", sino que los descubren como Colón descubrió Améri-ca. Ahora bien: si esto es cierto, los objetos deben tener en cierto sentido una@xistencia> anterior a su descubrimiento. Conforme a la doctrina platónica,los objetos de estudio matemático no se encuentran en el orden espacio-temporal. Son formas etern¡rs incorpóreas o arquetipos, que mor¿rn en unmundo distinto, accesible solamente al intelecto. De acuerdo con este puntode üsta, las formas triangulares o circulares de los cuerpos ffsicos perceptiblespor los sentidos no constituyen los objetos verdaderos de las matemáticas.Esas formas son, sirnplemente, encarnaciones imperfectas de un indivisibletriángulo uperfecto', o círculo gerfecto", que es increado, no se halla jamásplenamente manifestado por las cosas materiales y únicamente puede sercaptado por la mente exploradora del matemático, G)del parece sostener unpunto de vista semejante cuando dice: "Las clases y los conceptos pueden, , .ser concebidos como objetc reales. . ., existentes con independencia denuestras definiciones y construcciones. Yo creo que la hipótesis de tales obje-tos es tan legítima como la hipótesis de los cuerpos Iisicos y que hay las mis-mas razones para creer en su existenciao (Kurt ffidel, "Russell's Mathemati-cal Logic', en The Philosophy of Bertrand, Ru.ssell, ed. Paul A. Schilpp,Evanston y Chicago, l9aa, p. f37).

RE¡'LEXIONESFINALES IzE

podría construirse una máquina calculadora que llegaraa equipararse en inteligencia matemática al cerebro hu-mano. Las calculadoras actuales poseen en su interior unconjunto de directivas o instrucciones; estas instruccionescorresponden a las reglas fijas de deducción del proceü-miento axiomático formalizado. Las máquinas contes-tan, pues, a los problemas operando Por pasos meüdos,cada uno de los c,uales se halla controlado por las directi-vas introducidas en ellas. Pero, como demostró Gódel ensu teor€ma de la. ausencia de completitud.., existenmuchos problemas de la teoría elemental de los númerosque caen fuera del ámbito de un método axiomático fijo yque tales máquinas son incapaces de resolver por intrin-cados e ingeniosos que puedan ser sus mecanismos y Porrápidas que sean sus operaciones. Dado un determinadoproblema, podúa construirse una máquina de este tiPoque lo resolviese; pero no puede constn¡irse una máquinaque resuelva todos los problemas. El cerebro humano

puede, indudablemente, hallarse afectado de limita-

ciones inherentes al mismo, y pueden darse Problemasmatemáticos que sea incapaz de resolver. Pero, aun así, el

cerebro parece incorporar una estructura de reglas deoperación mucho más poderosa que la estructura de las

máquinas artificiales. No hay nada que permita suPoneruna próxima sustitución de la mente humana por robots.

No debe considerarse el teorema de Gódel como unainvitación a la desesperarrza ni como una excusa para la

alusión al misterio. El descubrimiento de que existen ver-

dades aritméticas que no pueden ser demostradas formal-mente no significa que existan verdades que hayan de

peñnanecer en una eterna imposibilidad de ser conocidasni que una intuición <mística" (de especie y autoridad ra-

dicalmente distintas de la habitualmente operativa en los

I24 EL TEOREMA DE C'ODEL

progresos intelectuales) deba remplazar a la prueba con-vincente. No significa, como ha pretendido recientemen-te un autor, que existan ..lfmites inelüctables a la raz6nhumanau. Significa que los recursos del intelecto humanono han sido, ni pueden ser, plenamente formalizados, yque subsiste la posibilidad de descubrir nuevos principiosde demostración. Hemos üsto que las proposiciones ma-temáticas que no pueden ser demostradas por deducciónformal a partir de un conjunto dado de axiomas pueden,sin embargo, ser demostradas mediante un razonamientometamatemático uinformal". Sería irresponsable preten-der que estas verdades formalmente indemostrables es-tablecidas por argumentos metamatemáticos no se basanen nada más que en la pura intuición.

Y las inherentes limitaciones de las máquinas calcula-doras tampoco implican que no podamos esperar llegar auna explicación de la materia viva y de la raz6n humanaen términos fisicos y químicos. La posibilidad de talesexplicaciones no se halla excluida ni afirmada por el teo-rema de incompletitud de Gódel. El teorema indica quela estructura y la potencia de la mente humarla sonmucho más complejas y sutiles que cualquier máquinaexistente hasta el momento. La misma obra de Gódelconstituye un notable ejemplo de esa sutileza y compleji-dad. Fs un motivo no para el desaliento, sino para unarenovada apreciación de los poderes de la raz6n creado-ra.

APENDICE

NOTAS

l. (página 26) La aritmética de los números cardinales

,ro fu. axiomatizada sino hasta 1899 por elmatemático ita-

liano Giuseppe Peano. Sus axiomas son cinco. Se formu-

lan con ayuda de tres términos no definidos, el conoci-

miento del último de los cuales se da Por supuesto. Los

términos son: 'número', 'cero' y 's7.lcesor inrnediato de' .

Los axiomas de Peano pueden exPresarse del modo si-

guiente:

1. Cero es un número.2. El sucesor inmediato de un número es un número.

). Cero no es el sucesor inmedia¡o de un número.

4. No hay dos nrlmeros que tengan el mismo sucesor

inmediato5. Cualquier propiedad que Pertenezca a cero y tam-

bién al sucesor inmediato de todo número que ten-

ga esa propiedad Pertenece a todos los números.

El último axioma formula lo que suele denominarse el

"principio de inducción matemática".

2. (pógina 5?) Es muy posible que le interese al lector

disponer de una explicación más completa que la sumi-

nistrada en el texto en torno a los teoremas lógicos y

reglas de deducción tácitamente empleados incluso en

demostraciones matemáticas elementales. Analizaremos


primeramente el razonamiento que d.a lugar a la línea 6del teorema de Euclides a partir de las líneas 3, 4 y 5.

Designamos corrio "variables proposicionales' a lasletras 'F', 'q.' y 'r' porque pueden ser sustituidas por lasproposiciones o sentencias. Asimismo, para economizarespacio, escribimos las proposiciones condicionales del ti-po de 'si p entonces g' como '0 ) q'; y denominamos a laexpresión situada a la izquierda del signo con forma deherradura ')' el uantecedento y a la expresión situada ala derecha el (consecuento'. Análogamente escribimos'P Y q' como abreviatura de Ia forma alternativa'o P o q ' .

Existe un teorema de la lógica elemental que dice:

(p ) r ) ) l (q) r ) ) ( (p v q) ) r ) l

Puede demostrarse que este teorema formula una aerdadnecesaria. EI lector advertirá que esta fórmula declaramás brevemente lo mismo que la siguiente proposición,mucho más larga:

Si (si p entonces r), entonces [si (si q entonces r)entonces (si o p o q) entonces r)J

Tal como se ha indicado en el texto, existe en la lógicauna regla de deducción llamada la regla de sustitución devariables proposicionales. De conformidad con esta regla,una proposición S, procede lógicamente de una proposi-ción S' que contiene variables proposicionales, si la pri-mera se obtiene a partir de la segunda susrituyendo uni-formemente las variables por proposiciones. Si aplicamosesta regla al teorema que acabamos de mencionar, susti-tuyendo 'y es primo' en lugar de'p','y es compuesto' en

APENDICE I27

lugar d.'q'e y no es el mayor número primo'en lugar de'r', obtenemos lo siguiente:

(y es primo f y no es el mayor número primo)) tb es compuesto ) ¡ no es el mayor número primo)) ((3l es primo V y es compuesto) ) * no es el mayor

número primo)l

El lector se dará cuenta en seguida de que la proposi-ción condicional incluida dentro del primer par de pa-réntesis (presente en la primera línea de este ejemplo delteorema) se limita a repetir la línea 3 de la prueba deEuclides. Igualmente, la proposición condicional inclui-

da deirtro del primer par de paréntesis comprendidosentre los cofchetes (segunda línea del ejemplo del teo-

rema) repite la línea 4 de la prueba. También la proposi'

ción alternativa que está dentro de los corchetes repite la

línea 5 de la prueba.Utilizamos ahora otra regla de deducción, conocida co-

mo regla de separación (o modus ponens). Esta regla nos

permite deducir una proposición S, a partir de otras dos

proposiciones, una de las cuales es S, y la otra Sr J Sz.Aplicamos tres veces esta regla: primero, utilizando la

línea 3 de la prueba de Euclides y el ejemplo anterior del

teorema lógico; después, el resultado obtenido mediante

esta aplicación y la línea 4 de la demostración; y, final-

mente, este último resultado de la aplicación y la línea 5

de la demostración. El resultado es la línea 6 de la de-

mostración.La derivación de la línea 6 a partir de las líneas 3,4y 5

implica, por tanto, el uso tácito de dos reglas de deduc-gión y de un teorema de la lógica. El teorema y las reglas

pertenecen a la parte elemental de la teoría lógica: el cál-

.I28 EL TEOREMA DE GÓDEL

culo proposicional. Este versa sobre las relaciones lógicasexistentes entre proposiciones formadas de otras prolosi-ciones mediante la ayuda de enlaces ptoposicio.r-"r"r,ejemplo de los cuales son 'l'y . V'. Otro enlace de este ti_po es la conjunción']', que se representa con el punto ,.';la proposición copulatla'p y q, se escribe, po.i, ,? . q, .El signo '^r' representa la parúcula negativa ,no'; urí, ,iop' se escribe',rt F'.

Examinemos la transición que en la demostración deEuclides se verifica de la línea 6 a la Z. Este-paso nopuede ser analizado con la sola ayuda del cálculo proposi-cional. Se necesita una regla de deducción que p..r"rr"."a una parte más avanzada de Ia teoría lógica, la que tieneen cuenta la complejidad interna de las proposiciones quecontienen expresiones tales como .todo', .ád" orro', Ll-guno' y sus sinónimos. Reciben tradicionalmente elnombre de cuantificadores, y la rama de la teoría lógicaque estudia la función que realizan es la teoría dá lacuantificación.

Como preliminar al análisis de la transición que nosocupa es necesario explicar, aunque sea sumariamentela notación empleada en este sector *a, uuurruJ;t;;-i;lógica. Además de Ias variables proposicionales, en lugarde las cuales pueden ser colocadas las proposiciorr.r, á.-bemos considerar la categoría d.e las ..variables indivi-dualesr, tales como ')c','y','z', etc., en lugar de las cualespueden ser colocados los nombres de los individuos. utili-zando estas variables, la proposición universal 'todos losnúmeros primos mayores de 2 son impares'puede ser tra_ducida como'para todo *, si¡ es un número primo mayorde 2, entonces,x es impar'. La expresión .paia todo r' re_cibe el nombre d.e cuantificad,or uniaersál y ,n la acos-tumbrada notación lógica se representa abreviadamente

APENDICE I29

con el signo'(r)'. Dicha proposición universal puede, porconsiguiente, escribirse:

(x)(x es un número primo mayor de 2 f x es impar).

Por otra parte, la proposición "particular, (o uexisten-cialu)'algunos números enteros son comPuestos'puede sertraducida por'existe por lo menos un* tal que f, es un nú-mero entero y* es compuesto'. La expresión'existe por lomenos un *'recibe el nombre de cuantificador existencialy suele representarse abreviadamente por la notación'3*)'. La proposición existencial mencionada puede,pues, transcribirse:

(3r[* es un número entero ' .r es compuesto)

Debe hacerse notar que muchas proposiciones utilizanimplícitamente más de un cuantificador, de modo que almostrarse. su verdadera estructura tienen que aparecervarim cuantificadores. Antes de ilustrar este punto adopte-mos ciertas abreüaturas, para las que suelen denominarseexpresiones predicadas o, más sencillamente, predica-dos. Emplearemos 'Pr (.r)' para designar 'Í es un núme-ro primo', 'Gr (x, z)' para designar 'r es mayor que z'.

Consideremos la proposición: '¡ es el mayor número primo';su significado puede ser hecho más explícito por mediode la frase siguiente: 'Í es un número primo y Para to-do z que es un número primo pero diferente de f,,¡ es ma-yor que z'. Recurriendo a nuestras diversas abreviaturas,la proposición'x es el mayor número primo'puede escri-

birse:

Pr (x) ' (z) [(Pr (r) ' * (* = z)) J Gr (*, ,)]

r'O ELTEOREMADEGÓDEL

Literalmente, esto dice: '* es un número primo, y paratodo z, si z es un número primo y z ng es igual a fi, enton-ces f, es mayor que z'. En esta secuencia sii.nbólica adverti-mos una versión formal y laboriosamente explícita de lalínea I de la demotración de Euclides.

Consideremos ahora la cuestión de cómo expresar ennuestra notación la propmición'r no es el mayor númeroprimo' que aparece en la línea 6 de la demostración.Puede transcribirse así:

Pr (x) . (3r) [Pr (z) . Gr (2, x))

Literalmente, dice: 'fi es un número primo y existe por lomenos un z tal que z es un número primo y z es mayor quetc' .

Finalmente, la conclusión de la demostración de Eucli-des, línea 7, que afirma que no existe ningún número pri-mo que sea el mayor de todos, se transcribe simbólica-mente por

(x) [Pr (") ) (3"r)(Pr (z) . Gr (r, *)))

que d.ice: 'para todo x, si ¡ es un número primo, existepor lo menos un z tal que z es un número primo y z es ma-yor que r'. El lector observará que la conclusión de Eucli-des conlleva impllcitamenre el uso de más de un cuantifi-cador.

Y estamos ya preparados para examinar el paso de lalínea 6 de Euclides a la 7 . Existe un teorema de la lógicaque dice:

APENDICE I3I

o, una vez traducido, 'si a la vez f y q, entonces (si fentonces q)'. Utilizando la regla de sustitución y sustituyen-do'F' por 'Pr (*)' y 3'q' por'(z)[Pr (z) ' Gr (2, x)j', obte-nemos:

(Pr (r) . (:lz)[Pr (z) ' Gr (2, .r)])Pr (r) f (:lz)[Pr (z) ' Gr (2,

")])

El antecedente (primera lfnea) de este ejemplo del teo-rema se limita a repetir Ia línea 6 de la demostración deEuclides; si aplicamos la regla de separación obtenemos:

(Pt (x) )-(32)[Pr (z) ' Gr (2, x)])

Conforme a la regla de deducción de la teorfa Iógica de la

cuantificación, una proposición S, que tenga la forma'(*X. , . ,c . ..)' puede siempre deducirse de una proposi-ción S, que tenga la forma '(. . . x . . .)'. En otras pa-labras: la proposición que tenga como prefijo el cuantifi-cador f(r)' puede ser derivada de la proposición que no

contenga ese prefijo Pero que sea semejante a ella en otros

aspectos. Aplicando esta regla a la última proposición mos-

trada, tenemos la línea 7 de la demostración de Euclides.

La lección que se extrae de todo esto es que la demos-tración del teorema de Euclides implica tácitamente el

uso no sólo de teoremas y reglas de deducción que perte-necen al cálculo proposicional, sino también de una regla

de deducción de la teoúa de la cuantificación.

3. (pógina 73) Cabe que el lector minucioso Presenteobjeciones en este punto. Sus reservas pueden ser algo pa-

recido a lo siguiente. La propiedad de ser una tautología

ha sido definida en ideas de verdad y falsedad. Sin em-( f 'q))(p)q)

I32 ELTEOREMADEGÓDEL

' bargo' estas ideas imprican eüdentemente una referenciau

"lgo exterior al cálculo formal. por consigui.*t", .tprocedimiento mencionado en er texto ofreóe en realidad

una interpretaci'n der cálculo, suminisrrando un moderopara el sistema. Siendo esto así, los autores no han cum_plido'lo que habían prometido, a saber: d.firri.oou p.o-piedad de las fórmulas atendiendo a las característicasestrictamente estructurales de las fórmulas mismas. pare-ce-gug, después de todo, no se ha logrado salvar la difi-cultad apuntada en el capítulo segurido del texto * n".las pruebas de consistencia que se turu" en moderos y dis-curren desde Ia verdad de los axiomas hasta ,o .orrrír,"rr_cia no hacen sino despla zar ra rocarización del probr.;".¿Por qué, entonces, Ilamar a la prueba <absoluta> en vezde relativa?

I,a objeción está justificada si va dirigida contra la ex_posición seguida en el texto. pero h"*?r-;;;;;;;,"forma para no abrumar al lector poco acostumbrado auna presentación sumamente abstracia qrr. aar.u.rru

".,una prueba intuitivamente incomprensibie. como ñ0"haber lecto¡es más arriesgudo, qrr. deseen enfrenfarsecon las cosas tal cual,o., pilu u..,irru ¿.firriciOr.;;.nos que no se halle sujeta a las críticas expuestas, l";;.sentaremos.

, Recué.rdese que una fórmula del cálculo es o una de lasletras udlizadas ccesreriporu,¿",,o,,iil:iil:?:,:'Jü:"iTff ili:ll:combinación de estas lerras, d.e los signos ._pf.uá* .o_mo enlaces proposicionales y de los paréntesis. conveni_mos en colocar cada fórmulaelementil

"., una d.e ao,

"iu_ses, mutuamente excluyentes y exhausdvas, f, y Xr. i",fórmulas que no son elemenruí.r r. colocan en estas clasessiguiendo las siguientes convenciones:

APENDICE T3,

1.) La fórmula que tenga la forma Sr V Sz va colocadaen la clase \ si tanto Sr. como S, están en \; enotro caso, se coloca en Kr.

2.') La fórmula que tenga la forma Sr J Sz va colocada

en Iq si Sr'está en K, y S, estáen I!; * otro caso, se

la coloca en K,.t:\ La fórmula que tenga la forma S, ' S, va colocada

en K, si tanto S, como S, están en Kr; en otro caso'

se la coloca en I!.

4.) Lafórmula que tenga la forma ru S va colocada,en

I! ti S está en Kr; en otÍo caso' se la coloca en K,'

Definimos ahora la propiedad de ser tautológica: Una

fórmula es una tautología si, y solamente si, encaja en la

clase K,, independientemente de cuál de las dos clases sea

aquélla .n la que estén situados sus constituyentes ele-

mentales. Es evidente que la propiedad de ser una tauto-

logía ha sido definida ahora sin utilizar ningún modelo-de

irrlerpretación del sistema' Podemos averiguar si una fór-

mula es o no una tautología comprobando, simplemente'

su estructura conforme a las convenciones indicadas'

Un examen de este tipo hace ver que cada uno de los

cuatro axiomas es una tautología. Es un procedimiento

conveniente el de construir una tabla que contenga todas

las formas posibles en que los constituyentes elementales

de una fórmula dada pueden ser colocados en las dos cla-

ses. Valiéndonos de esta lista, podemos determinar' para

cada posibilidad, a qué clase pertenecen las fórmulas

componentes no elemintales de la fórmula dada y a qué

.lase^ pert.nece la fórmula completa' Tomemos el primer

a"ioma. Su tabla consta de tres columnas, cada una de

las cuales se halla encabezada Por una de las fórmulas

componentes elementales o no elementales del axioma'

' - ,

. : : , ,

I34 EL TEOREMA DE GÓDEL

así como por el axioma mismo. Debajo de cada cabecerase indica la clase a que pertenece el concepto de que setrate para cada una de las posibles asignácione, á" lo,constituyentes elementales a üs dos crases. La tabla revis-te Ia forma siguiente:

APENDICE I35

una de las cuatro formas posibles en que pueden ser clasi-

ficados los constituyentes elementales' El axioma, por

tanto, es una tautología. De manera análoga puede de-

mostrarse que los dos axiornas restantes son también

tautologías.Vamos a demostrar también que la propiedad de ser

una tautología es hereditaria bajo la regla de separación'

(Dejaremo, "l

l..ror la tarea de demostrar que es heredi'

taria bajo la regla de sustitución.) Supongamos qu: :ontautologíasdosiórmulascualesqr. l ieraS,YS,)S,;debe.>mos dÁos'ar que en tal caso S, es una tautología' Su-

pongamos que S, no fuese una tautología' Entonces' Por

unallasificación al menos de sus constituyentes elemen-

tales, S, encajará en \. Pero, por hipótesis, S, :s

u.na

tautología, de modo que encajará en K, para todas las

clasificaciones de sus constituyentes elementales' y' en

particular, Para la clasificación que exige la colocación

áe S, en \. Consiguientemente, para esta última clasifi-

ca.iá.t, Sr J Sz debe encajar en I! debido a la segunda

convención. Esto contradice, sin embargo, la hipótesis de

que S, ) S, es una tautología. En consecuencia' S, tiene

que ser una tautología, so Pena de permitir esta contra-

dicción. La propiedad'de ser una tautología se ve.así

transferida p"t la regla de separación desde las premisas

hasta la conclusión derivable de ellas por esta regla'

un comentario final a la definición de tautología dada

en el texto. Las dos clases K, Y & utilizadas en la presente

explicación pueden ser construidas como las clases de las

prlposicionás verdaderas y falsas, respectivamente' Pero

ia explicación no depende en manera alguna, como aca-

bamós de ver, de una tal interpretación, si bien se

comprende mucho más fácilmente la exposición cuando

se entiende de esa manera a las clases'

pKrq

@v p'¡Krq

(pv p))pKrKr

q) p)(p"v q)KrKrKrKr

La primera columna menciona las formas posibles declasificar eI único constituyente elemental del axioma. Lasegunda columna asigna.t irr¿i.J componente no ele_menral a una clase sobre la base de la convención (I). Laúltima columna asigna el axioma mismo a una clasesobre la base de Ia convención (II). La columna finalmuestra que el axioma encaja en la clase K,, prescindien-do de la clase en que va situado su único constituyenteelemental. EI axioma, por tanto, es una tautología.

Para el segundo axioma, Ia tabla es:

qKrIlKr

&

pK¡KrIEq

@vK,KrKrq

Las dos primeras columnas contienen las cuatro formasposibles de clasificar los dos constituyenres erementaresdel axioma. La tercera columna asigna el componente noelemental a una clase sobre la baseie lu .orr.r.octó;li)La última columna hace lo mismo para el axioma sobrela base de la convención (II). La .oirr*rr" final muestratambién que el axioma. encaja en la clase K, p"r, ."i,

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Il. \ffilder, R;L.: Introduction to the boundotto¡u of Mathematics,Nueva York, 1952.

INDICE DE AUTORES Y MATERIAS

A

Antinomias, 38-39, 65-66.

Aristóteles, 57

Aritmética:

carácter inco:npleto de la, 18, 105,

n3-115.

consistencia de la, 79-80, ll4-117,

tzt.Aritmetización:

de la metamatemática, 99-105.de las matemáticas, 58-60.

del cálculó formal de la a¡itmética,

9l-97.

y iepresentación, 98-99.

Arqufmedes, 17.

Autoevidencia:

de axiomas eucliüanos, 24-25.

e intuición, 28.Axioma de las paralelas:

euclidiano, 16-17.

no euclidiano, 50^3f, 33-34.

Axiomas:

de la aritmética, 125.

del cálculo sentencial, 68-69.

signiñcado de los, 15-16.

B

Bolyai, Janos, 25.Boole, George, 58, 59.

c

Cálculo y formalización, 43-44, 50-51.

Cantor, Georg, 38, Il6n.

Clar:

noción de la, 30-31.

teorla matemática de la, 38-39.

Comillas en los nombres de

expresiones, 48n.

Complet i tud, 75-76, 1 l5-114.

Conjetura de Goldbach, 81.

Conocimiento intuitivo, 24, 37 -38, 123-

r24.Consistencia:

de la aútmét ica, 79-80, 114, 117,

l2 l .

de la geometría euclidiana, 28-29,

32-35.

de la geometrla no euclidiana, 50-

31,32-36.definición formalizada de. 57-69.

del cálculo sentencial, 65-76, f3f-

135.

problema de la, 23-39.

pruebas absolutas de, 43-51.

pruebas relativas de, 30-59.

significado de la, 18.

y verdad, 29.

Constantes lógicas, 65-66.

Cuantificación:

teorfa de la, 55-56, l3l-152.

Cua¡tificadores, 108-109, 128-130.

I4O INDICE DE AÜTORES Y MATERIAS

D

I),efinición implfcita, 29n.

Demostración:

definición de, 65-66.

Descartes, René, 18.

E

Enlaces proporcionales, 65-66.

Euclides; 24,25, 29,50, 55, 35, 56, 57,

tJ.

su demostración de que no existe

ningún número primo que sea el

rnayor de todos, 55-56, 125-131.

F

Forma proporcional, 104-105.Formalización:

de sistemas deductivos, 27.-28, 43 -44.del cálculo sentencial, 65-70, 130-

134.

l ímites de la, I23-124.Formas de nombre, 106n, I08.Fórmula de un cálculo,46, 50-5I , 65-

67.

Fórmula pr imit iva, 65-66, 67-69.Frege, Gott lob,60-6L

G

Gauss, Karl F., 25.Genzen, Gerhard, l16, l17.Geomet¡ía no euclidiana:

, consistencia de la, 29-33.Giidel, Kurt, 15, 16, 18, 19,25,43, 55,

65,76,79,80, 8t ,88,91, 92,93, 94,95, 96, 97, 98, 99, 100, l0l , 102,105, 104, 105, 106, 107, 108, 109,l l0, l l6, tzl , r22, t23, t24.su realisino platónico, 121,122-

II

Hilbert, Dav¡,dt27, 55, 45, 45, 49, 50,50o, 52,79,8O,85, 116, l l7.

I

Incompletitud, 7 5-7 6, 105-107.de Ia arinnética, 18, 105-f07, lf5-I 15.esencial, ?9-8f , f 05-107, ll3-l 15.

Indecidibüdad, r05-r07, l12-114. .Inducción matemática:

axioma de la, 125.Inducción transñnita:

principio de la, ll6n, ll7n.

K

Kant, Emmanuel, 57.

L

Lobachevsky, Nikotai, 25.

Lógica formal:

su codificación,55-62.

M

Máquinas calculadoras y la inteligenciahumana, 123.

Matemáticas:

como ciencia de la cantidad, 26.puras y aplicadas, 27.

Metamatemáúcas, 44-50.

y la teorla del ajedrez, 5l-52.Método axiomát ico, l6-17.

limitaciones del, 18, 80-81, 122.Modelos:

.finitos y no finitos, 36-39.y pruebas de consisrencia, 30-36, 39,

129-130.

Modus ponerc, 68, 127.

N

Nombres de exPresiones, 47n' 48n-

Nur¡eración de Gódel, 9l'93.

Numeral:

cifra y número, 103-104.

Número:

definición de, 58-62.

o

Omeg:a-consi*encia, I l0n, I 12¡.

Ordinales transf;nitos, ll6n, ll7.

P

Pappus:

teoiema de, 86-88,

Paradojas, 57-39, 82-86.

de Richard, 82-86, 88, 105-106,

l l0n, l l ln.

de Russell, 38-39, 83-84.

Peano, Giuseppe, 125.

Predicadbs descriptivos, 27.

hincipia Mathemtítica,l5, 55, 58, 60'

61,65, 9ln.

Propiedad heredi tar ia, 70-71, 134-135.

Prueba:

def in ic ión de, 65-66, 92n.

teoría de Hilbert de la, 49-52.

Pruebas:

absolutas de consistencia, 43-50, 65-

76, r3l-135.

finitistas, 50-51, 50n.

relativas de corsistencia, 30-39.

R

Reducción de la aritmética a la lógica,

58-60.

Reglas:

de deducción, 55-58.

de formación, 65-67.

TNDICE DE AI,.TTORES Y MATERIAS I4I

de separación' 67-68, 69-80, f27-

128.de sustitución, 57'58' 66-68' 69-70'

125-127.de transformación' 56'58, 66-68, 69-

70, 125-r28.Representación:

de la metamatemática, 99'106' lf 2-

u3.idea de la, 79-88.

Richard:paradoja de, 82-86' 88' 105-f06'

I l0n.Richard, Jules,.82.Riemann, Bernhard,25' 30, 32'33.

Rosser,J. BarkleY, ll,on' llln'

Russell, Berrand, 15, 28, 38, 55' 59'

60,6l-

sSignos elementales, 65-66, 92.

T

Tautología. 7 l '74, l3 l -135.

Teorema:

def in ic ión de, 65'66.

U

Uso y mención, 108n, 109n, ll0n,

l l ln.

vVariables, 46, 57-58, 65-66.

numéricas, 93.

predicativas, 93'94.

proporcionales, 93-94.

wWhitehead, Alfred N., l5' 55' 59'

t

YIi

I

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