MĂSURAREA UNGHIURILOR

Principii şi metode de măsurare a unghiurilor

În practica topografică precizia măsurării suprafeţelor depinde exclusiv de precizia cu care s-a efectuat măsurarea distanţelor şi a unghiurilor de teren. De aceea este absolut necesar să cunoaştem tehnica măsurării unghiurilor şi a metodelor care ne conduc la rezultatele cele mai bune, mai precise şi cu randament mare.

Unghiul, prin definiţie, este deschiderea între două drepte ce se intersectează într-un punct. Prin urmare, la măsurarea unghiurilor în teren, trebuie să cunoaştem locul sau punctul de intersecţie al dreptelor şi în acelaşi timp şi câte un punct de pe fiecare dreaptă (direcţiune sau aliniament).

Tehnica măsurării unghiurilor în topografie constă, în principiu, în aşezarea instrumentului cu care executăm măsurătoarea în vârful unghiului (locul de intersecţie al direcţiilor sau aliniamentelor) şi în vizarea succesivă a celor două puncte cunoscute de pe laturile unghiului.

Aparatele folosite la măsurarea unghiurilor sunt cunoscute sub numele de goniometre, iar precizia lor va fi în funcţie de:

- precizia gradării limbului orizontal sau vertical, - -de aşezarea şi calarea instrumentului în staţie, - -starea atmosferică, - -dispoziţia şi priceperea operatorului etc.Aşezarea aparatului de măsurat unghiuri în staţie trebuie făcută cât mai corect pentru a

obţine valoarea unghiului dintre aliniamente cât mai real. Operaţiile principale care se fac la aşezarea instrumentului în staţie sunt:

Aşezarea trepiedului în staţie. Deasupra punctului materializat se instalează trepiedul fixând două din picioarele acestuia în teren iar al treilea picior prin mici deplasări într-o parte şi alta, se fixează astfel încât măsuţa trepiedului să fie cât mai orizontală. În acest timp, firul cu plumb trebuie să se proiecteze pe punctul materializat (bornă, ţăruş etc). Pentru orizontalizarea măsuţei, unele trepiede sunt dotate cu bule sferice.

Aşezarea şi centrarea aparatului în staţie. Această operaţie se face cu foarte mare grijă, ţinând tot timpul aparatul pe umerii lunetei. Fixarea aparatului pe trepied se face prin intermediul şurubului pompă ce se află la trepied. Pentru ca firul cu plumb să se proiecteze exact pe punctul materializat, se poate deplasa aparatul pe măsuţa trepiedului într-o parte sau alta până când se realizează această coincidenţă, după care se strânge bine şurubul pompă.

Orizontalizarea aparatului. Această operaţie se execută cu ajutorul şuruburilor de calare şi a nivelelor cu bulă de aer.

În acest scop, se dirijează nivela cu bulă de aer pe o direcţie paralelă cu două şuruburi de calare. Rotind cele două şuruburi de calare în sens invers unul faţă de celălalt, se aduce bula între reperele nivelei. Se roteşte apoi aparatul astfel încât nivela să fie perpendiculară pe prima direcţie de calare şi rotind cel de-al treilea şurub se aduce bula între repere.

Operaţia se repetă până când se realizează calarea perfectă a aparatului.

Fig.1. Măsurarea unghiului U

Măsurarea unghiurilor orizontale

Unghiurile orizontale se pot măsura cu ajutorul goniometrelor. Măsurarea unghiului cu ajutorul goniometrului se execută astfel:

- se aşează aparatul în staţie şi se calează acţionând din şuruburile de calare;

- se vizează un punct de pe prima latură, considerând sensul de rotaţie a aparatului, sensul acelor de ceasornic, şi se face prima citire C1 pe limbul gradat;

- se vizează punctul de pe latura a doua şi se citeşte din nou pe limb valoarea C2. Diferenţa dintre aceste citiri ne va indica valoarea unghiului

U=C2−C1

în care:C1 – prima citire 20g20c28cc;C2 – a doua citire 60g60c28cc;U – valoarea unghiului.U =60g 60c 28cc−20g 20c 28cc=40g 40c 00cc

.

Metode de măsurarea unghiurilorMăsurarea unghiurilor în lucrările topografice se face potrivit scopurilor şi precizărilor

pe care le urmăresc aceste lucrări: de mare precizie, în oraşe, mine etc.; de precizie obişnuită în extravilane sau numai cu scop informativ, documentar.

În funcţie de precizia ce ni se cere în efectuarea măsurării unghiurilor, putem folosi una din următoarele metode:

- metoda simplă sau directă;- metoda repetiţiei;- metoda reiteraţiei;- metoda orientărilor directe;- metoda orientărilor cu busola.Metode de măsurarea unghiurilor orizontale. Metoda simplă sau directă de măsurare

a unghiurilor orizontale constă în a măsura unghiul o singură dată. Ca procedee de măsurare a unghiurilor prin această metodă putem utiliza fie procedeul cu zero coincidenţă (zero de pe limbul gradat să fie în coincidenţă cu zero de pe vernier sau microscop), fie procedeul prin diferenţa citirilor pornindu-se pe prima direcţie cu un unghi oarecare.

Operaţiile de măsurare a unghiurilor prin această metodă se execută conform cu principiile enunţate.

Măsurarea unghiurilor prin metoda repetiţiilor. S-a numit metoda repetiţiei pentru că unghiul se măsoară de mai multe ori, având de fiecare dată drept origine de citire, valoarea unghiulară obţinută prin operaţia anterioară de măsurare.

În funcţie de precizia ce se cere, vom alege numărul repetiţiilor. În lucrările topografice sunt suficiente 3 – 4 repetiţii.

Executarea observaţiilor prin această metodă comportă următoarele faze:- instalarea şi calarea aparatului în punctul de staţie;- aducerea zero-ului în coincidenţă (zero de la vernier cu zero de pe limb);- cu mişcarea generală (neînregistratoare) liberă se vizează punctul B (fig.2);- se blochează apoi mişcarea generală şi cu ajutorul şurubului de fină mişcare

neînregistratoare se aduce imaginea semnalului pe firul vertical reticular. Se fac citirile la vernierul I şi II şi se notează în carnet;

Fig.2. Măsurarea unghiurilor prin metoda repetiţiei

- se deblochează mişcarea înregistratoare şi se vizează punctul C, înregistrându-se în aparat valoarea unghiului BAC = α;

- se deblochează mişcarea generală neînregistratoare şi în sens invers acelor de ceasornic se vizează punctul B (punctul iniţial vizat);

- se blochează mişcarea generală neînregistratoare şi se acţionează de şurubul de fină mişcare a mişcării generale neînregistratoare până aducem imaginea semnalului perfect pe imaginea firului vertical al reticulului,

- deblocăm mişcarea generală înregistratoare şi vizăm din nou punctul C după aceleaşi reguli arătate mai înainte.

Pe limbul gradat

(orizontal) s-a înregistrat valoarea unghiului BAC de două ori. Nu facem însă nici o citire.Blocăm iarăşi mişcarea înregistratoare şi dăm drumul mişcării neînregistratoare

(mişcării generale) şi tot în sens retrograd vizăm semnalul din B la fel ca mai înainte. Deblocăm mişcarea înregistratoare şi respectând aceleaşi reguli vizăm punctul C.

Dacă ne oprim la trei repetiţii, facem citirea la cele două verniere I şi II în prima poziţie a lunetei.

Operaţia de măsurare a unghiului se face identic în poziţia a doua a lunetei (peste cap) notându-se valorile existente la cele două verniere. Sensul de citire a unghiurilor va fi de data aceasta invers acelor de ceasornic sau invers primului tur (cu luneta în poziţia I). După ce repetarea a fost făcută tot de acelaşi număr de ori (în cazul de mai sus de trei ori), facem şi ultima citire la ambele verniere (I şi II).

Efectuăm calculul pentru aflarea valorii unghiului în poziţia I a lunetei.Se face media citirilor iniţiale

VernierI+VernierII2

=C1

şi media citirilor finale

VernierI+VernierII2

=C2.

În poziţia a doua a lunetei.- Se face media citirilor iniţiale,

VernierI−VernierII2

=C1

şi media citirilor finale

VernierI+VernierII2

=C2.

C1+C1

2=U 1

;

C2+C2

2=U2

Valoarea unghiului α=

U2−U1

3 (în cazul a trei repetiţii).Metoda reiteraţiei. Această metodă de măsurare a unghiurilor orizontale, se aseamănă

întrucâtva cu metoda repetiţiei, deoarece unghiurile se pot măsura de mai multe ori, deosebindu-se totuşi prin faptul că originile se stabilesc în funcţie de numărul reiteraţiilor. Originile se stabilesc cu formula:

I g=400g

m⋅rîn care:

I este intervalul între origini;m – numărul microscoapelor;r – numărul reiteraţiilor.

Originile cu care începem măsurarea unghiurilor se obţin înmulţind intervalul I cu şirul numerelor consecutive 0, 1, 2…(n-1).

Exemplu: Lucrând cu un aparat cu două microscoape şi dorind să efectuăm două reiteraţii, originile acestor reiteraţii vor fi date cu ajutorul intervalului I

I g=400g

2×2=100g

100g×0=0g reiteraţia întâi

100g×1=100g reiteraţia a doua.

Aflând intervalul I trecem la măsurarea unghiurilor astfel:- se aduce în coincidenţă zero de pe vernier cu zero de pe limb;- se fixează mişcarea generală înregistratoare, se deblochează mişcarea generală neînregistratoare şi se

vizează punctul B. Blocând mişcarea generală neînregistratoare acţionăm asupra şurubului de fină mişcare al mişcării neînregistratoare până aducem imaginea semnalului pe firul vertical al reticolului;

- se fac lecturile la cele două verniere şi se notează în carnetul de teren;- deblocăm mişcarea înregistratoare şi vizăm punctele din turul de orizont ca la celelalte metode. Se dă

luneta peste cap şi se vizează punctele din turul de orizont în sensul invers acelor de ceasornic. Operaţiile de măsurare a unghiurilor decurg în mod asemănător şi pentru reiteraţia a doua înn care originea turului de orizont în poziţia întâi a lunetei este 100g (fig.3).

În tabelul 3 se prezintă un exemplu numeric de măsurare a unghiurilor orizontale prin metoda reiteraţiei.Completarea carnetului s-a făcut în felul următor: reiteraţia I cu originea 0g00c50cc.S-au vizat din staţia A în prima poziţie a lunetei punctele 1, 2, 3, 1 obţinându-se valorile:

Vernier I Vernier II Media ICătr

epunctul 1 = 0g00c50cc 200g00c10cc 0g00c30cc

» » 2 = 60g70c70cc 260g70c80cc 60g70c75cc

» » 3 = 120g80c90cc 320g80c98cc 120g80c94cc

» (închidere) 1 = 0g00c25cc 200g00c35cc 0g00c30cc

Fig.3. Măsurarea unghiurilor prin metoda reiteraţiei

În poziţia a II-a lunetei, lecturile s-au făcut în sens invers acelor de ceasornic, obţinându-se:

Vernier I Vernier II Media IIDe la punctul A la 1 200g00c40cc 0g00c30cc 0g00c35cc

» » » A la 2 260g70c60cc 60g70c50cc 60g70c55cc

» » » A la 3 320g80c98cc 120g80c88cc 120g80c93cc

» » (închidere) A la 1 200g00c60cc 00g00c40cc 00g00c50cc

Media mediilor:

I + II2 se înscrie în coloana a 7-a.

Direcţia

dela

Ala 1 00g00c33cc

» » » A la 2 60g75c65cc

» » » A la 3 120g80c94cc

» » » A la 1 00g00c40cc

Se observă o neînchidere E = 0g00c33cc - 0g00c40cc = - 7cc pe care o aplicăm direcţiilor în mod progresiv (coloana a 8-a).

La direcţia A-2 minus 2cc 60g70c63cc

» » A-3 » 4cc 120g80c92cc

» » A-1 » 7cc 00g00c33cc

Staţia A Măsurarea unghiurilor orizontale prin metoda reiteraţiei Tabelul 3

Reiteraţia Pe. vizatPoziţia I a

luneteiMedia I

Poziţia a II-a a

lunetei

Media a II-a

Media I – a II-a

Compens. în tur

Media I şi II

corectată

Media reiteraţiei I şi a II-a

Corect de red. la 0

Reducerea direcţiunilor

la zerog c cc g c cc g c cc g c cc g c cc g c cc g c cc g c cc g c cc g c cc

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Reiteraţia I

100 00 50200 00 10

00 00 30200 00 4000 00 30

00 00 35 00 00 33 00 00 33 00 00 22 -22 00 00 00

260 70 70260 70 80

60 70 75260 70 6060 70 50

60 70 65 60 70 65 -2 60 70 63 60 70 47 -22 60 70 25

3120 80 90320 80 98

120 80 94320 80 98120 80 88

120 80 93 120 80 94 -4 120 80 90 120 80 74 -22 120 80 52

100 00 25200 00 35

00 00 30200 00 6000 00 40

00 00 50 00 00 40 -7 00 00 33 00 00 22 -22 00 00 00

Reiteraţia a II-a

1100 00 10300 00 04

100 00 07300 00 20100 00 08

100 00 14 100 00 10 - 100 00 10

2160 70 30360 70 16

160 70 23360 70 40160 70 30

160 70 35 160 70 29 +2 160 70 31

3220 80 5620 80 42

220 80 4920 80 66220 80 50

220 80 58 220 80 53 +4 220 80 57

1100 00 00300 00 00

100 00 00300 00 12100 00 00

100 00 06 100 00 03 +7 100 00 10

Fig.4. Măsurarea unghiurilor prin metoda orientărilor directe

Direcţiunii de plecare A-1 nu-i aplicăm nici o corecţie, considerând-o neafectată de erori.Reiteraţia a doua s-a făcut de pe direcţia de origine cu 100g00c10cc.Operaţiile de citire a direcţiilor s-au făcut la fel ca la prim reiteraţie, obţinându-se în coloana a 9-a valorile

medii:Direcţi

aA

la 1 100g00c10cc

» A la 2 160g70c31cc

» A la 3 220g80c57cc

» A la 1 100g00c10cc

Se face media între reiteraţia I şi reiteraţia a II-a eliminându-se 100g de la reiteraţia a II-a la toate unghiurile (ceea ce nu modifică cu nimic valoarea unghiurilor) înscriindu-se aceste valori în coloana 10

Direcţia

Ala 1 00g00c22cc

» A la 2 60g70c47cc

» A la 3 120g80c74cc

» A la 1 00g00c22cc

În practică se face reducerea direcţiilor la zero. În cazul de faţă se scad 22cc din toate direcţiunile.

Direcţia

Ala 1 00g00c00cc

» A la 2 60g70c25cc

» A la 3 120g80c52cc

» A la 1 00g00c00cc

Aceste valori se înscriu în coloana 12.Metoda orientărilor directe. Scopul pentru care se culeg unghiurile şi distanţele din

teren este acela de a determina coordonatele punctelor ce delimitează o suprafaţă spre a o calcula şi a o pune în valoare. Cum însă pentru calculul coordonatelor nu avem nevoie de unghiurile ce le fac aliniamentele între ele, ci de orientările acestora şi de distanţe, vom studia procedeul de determinare direct pe teren a orientărilor.

Pentru obţinerea orientărilor laturilor unei drumuiri se procedează în felul următor:- se calculează orientarea dreptei determinate de punctul de plecare a unei drumuiri şi un alt

punct cunoscut în teren. Fie în teren punctul de plecare al unei drumuiri A şi punctul pe care ne orientăm H de coordonate cunoscute

tgθ AH=ΔX AH

ΔY AH

sau

ctg θAH=ΔY AH

ΔX AH

- staţionăm în punctul A cu aparatul şi introducem pe cercul orizontal orientarea θAH în aparat, se blochează mişcarea înregistratoare şi se dă drumul mişcării generale neînregistratoare rotind

Fig.5. Metoda măsurării directe a unghiurilor cu ajutorul busolei

luneta până când aducem imaginea semnalului în câmpul ei. Fixăm mişcarea generală neînregistratoare şi acţionăm de şurubul de fină mişcare până realizăm suprapunerea firului reticular vertical peste imaginea semnalului vizat (H). În acest moment (fig.4) dăm drumul mişcării înregistratoare şi vizăm primul punct din drumuire B.

Prin operaţia de introducere a orientării în aparat şi a vizării unui punct cunoscut din teren realizăm introducerea diviziunii zero de pe limb pe direcţia nord. S-a obţinut în felul acesta

orientarea laturii AB . După ce efectuăm închiderea pe direcţiunea de origine AH ne deplasăm cu instrumentul în punctul B. Staţionând punctul B, introducem în instrument orientarea θBA=θAB±200g

şi vizăm punctul din urmă A.Rotind luneta în tur de orizont, vom citi către punctul următor C a drumuirii orientarea

θBC . Se face apoi închiderea turului de orizont pe punctul A. Operaţiile continuă în mod analog pentru toate staţiile drumuirii inclusiv punctul E de închidere.

- Staţionând în E, efectuăm închiderea pe direcţia determinată de punctele E şi K, de coordonate cunoscute.

Comparând orientarea citită în teren cu orientarea calculată din coordonate la închiderea drumuirii se va semnala o nepotrivire, numită eroare de închidere, pe orientări.

θEK (din coordonate) - θEK (din observaţii) = E0 (eroare de închidere pe orientări).

Calculul corecţiei q0 . Corecţia q0 care trebuie aplicată orientărilor laturilor din teren,

pentru a obţine închiderea pe orientarea θEK se calculează relaţia

q0=E0

n ,în care:

q0 este corecţia orientării;E0 – eroare de închidere pe orientări;n – numărul punctelor de staţie.

Orientarea definitivă a laturilor se calculează prin însumarea algebrică a corecţiei q0 la orientările de bază:

θAH nu i se aplică corecţieθAB = θ AB (citită în teren) ± q0

θBC= θ BC » » q0

±2q0

θCD= θCD » » q0

±3q0

θDE = θ DE » » q0±

4q0

θEK = θ EK » » q0±

5q0

Metoda orientărilor directe cu ajutorul busolei. Spre deosebire de metoda orientărilor directe faţă de meridianul geografic orientările magnetice cu ajutorul busolei, se

referă la unghiul ce-l face meridianul magnetic ce trece printr-un punct, cu o direcţie oarecare din teren.

Practic, odată cu instalarea aparatului în staţie se fixează pe aparat o busolă topografică şi se citeşte pentru fiecare direcţie în parte orientarea directă şi inversă încât pentru fiecare latură vom avea două valori, care vor diferi cu 200g. Unghiul de orientare definitiv va fi media aritmetică a acestor valori.

Fig.6. Unghi de pantă şi unghi zenital z

Fig.7. Eclimetru

Pentru determinarea azimutului geografic, orientările magnetice trebuie corectate cu unghiul de declinaţie δ, calculat pentru locul respectiv în timpul când se efectuează lucrarea (fig.5). Calculul unghiului de declinaţie δ se poate face de orice operator topografic, dacă în teren se cunosc două puncte de coordonate geodezice.

Pentru aceasta se calculează din coordonatele punctelor cunoscute orientarea θg şi se

determină orientarea θm a aceleiaşi direcţii cu ajutorul busolei. Diferenţa acestor două orientări va fi declinaţia magnetică

θg−θm=δ .

Metode de măsurare a unghiurilor verticale

Unghiurile verticale se pot măsura cu ajutorul instrumentelor prevăzute cu eclimetre sau cercuri verticale. Eclimetrul poate fi un cerc întreg sau numai un sector de cerc. După modul cum sunt numerotate gradaţiile pe cercul vertical se cunosc trei tipuri de instrumente şi anume:

- instrumente la care se citeşte la vernierul I şi vernierul II (0g şi respectiv 200g) când luneta are o poziţie orizontală;

- instrumente la care se citeşte la vernierul I, 100g şi vernierul II – 300g când luneta are o poziţie orizontală;

- instrumente care au eclimetrele constituite dintr-un semicerc la care gradaţiile cresc de o parte şi de alta, faţă de diviziunea zero.

Dat fiind modul diferit de gradare a eclimetrelor, vom avea sisteme diferite de citire a unghiurilor verticale, şi anume:

Eclimetrele care au la vernierul I 0g şi la vernierul II 200g când luneta este într-o poziţie orizontală, ne dau posibilitatea să citim unghiurile de pantă i sau unghiurile de înclinare formate de orizontala punctului de staţie şi dreapta ce uneşte punctul de staţie cu punctul vizat (fig.6).

La eclimetrele care au la vernier I 100g şi la vernier II 3000g când poziţia lunetei este orizontală, se măsoară unghiurile zenitale (adică unghiul format de verticala ce trece prin punctul de staţie cu dreapta ce uneşte punctul de staţie cu punctul vizat).

Între unghiul zenital şi unghiul de pantă există următoarea relaţie ig + zg = 100g (adică unghiul de pantă i şi unghiul zenital z sunt complementare). Citirea unghiurilor verticale la cele trei tipuri de eclimetre se face în felul următor:

Dacă punctul vizat este la o altitudine superioară punctului de staţie, citirea o notăm cu plus (+) (fig.7) şi cu minus (-) dacă punctul este la o altitudine inferioară punctului de staţie.

La aparatele cu eclimetrele formate dintr-un cerc întreg, este necesară stabilirea sistemului de gradare.

Fig.8. Diverse sisteme de gradare a cercului vertical

În acest scop, cu luneta în poziţia orizontală se fac lecturile la cele două verniere sau microscoape, identificându-se sistemul de gradare respectiv.

Pentru stabilirea poziţiei normale a lunetei, vom viza un punct situat deasupra orizontului şi vom face citirea la primul vernier. În cazul în care citirea făcută este 0g – 1g – 2g – 10g pentru aparatele ce dau unghiurile i de pantă (fig.8) sau valorile 80g – 90g – 100g pentru aparatele ce dau unghiurile zenitale z, înseamnă că aparatul este cu luneta în poziţie normală. În cazul când la vernierul I citim o valoare apropiată de 200g şi la vernierul II aproximativ 300g, atunci înseamnă că luneta este „peste cap”. De regulă eclimetrul se află în poziţie normală atunci când el este situat în partea stângă a lunetei.

În lucrările curente topografice citirile la eclimetru se fac o dată cu citirile la cercul orizontal.

Pentru citirea unghiurilor verticale se procedează astfel:- se staţionează cu aparatul în punctul respectiv, în poziţia normală a lunetei, şi se

vizează punctul stabilit din teren;- se aduce semnalul în câmpul lunetei şi apoi se blochează luneta cu ajutorul şurubului

de fixare a lunetei în plan vertical. Apoi cu şurubul de fină mişcare s lunetei în plan vertical se aduce semnalul la intersecţia firului reticular vertical cu firul mediu orizontal, efectuându-se lecturile la cele două verniere.

C1=V I+V II

2 în poziţie normală a lunetei

C2=V I+V II

2 în poziţia peste cap a luneteiîn care:

C1, C2 sunt mediile lecturilor efectuate la cele două verniere VI şi VII

Unghiul de pantă i va fi dat de relaţiile:

i1=C1−0g

i2=200g−C2 .

Valoarea cea mai probabilă a unghiului de pantă va fi dată de media aritmetică a celor două valori i1 şi i2

i=i1+i2

2=

C1−0g+(200g−C2 )2

i=100g+C1−C2

2 .

Exemplu practic: În vederea ridicării nivelitice a unor puncte, s-a staţionat în punctul A şi s-au vizat punctele 1, 2 şi 3 găsindu-se următoarele valori:

Seria I

În poziţia normală stânga (S)media vernier I şi II

În poziţia „peste cap” dreapta (D)media vernier I şi II

Din

A la 196g61c50cc (C1) 303g39c50cc (C2)

» A la 2 96g80c50cc (C1) 303g20c00cc (C2)» A la 3 96g62c50cc (C1) 303g38c00cc (C2)

Se calculează suma S + D400g01c00cc

400g00c50cc

400g00c50cc

Ca verificare, trebuie ca S + D = 400g. Nepotrivirile se datorează erorilor de colimaţie.

Unghiul zenital z=

C1+( 400−C2 )2

=C1−C2

2+200

.Deci:

z A−1=96g 61c 50cc−303g 39c 50cc

2+200g=96g 61c 00cc

z A−2=96g80c50cc−303g20c 00cc

2+200g=96g 80c 25cc

z A−3=96g 62c 50cc−303g 38c 00cc

2+200g=96g 62c25cc

Seria II

În poziţia normală stânga (S)media vernier I şi II

În poziţia „peste cap” dreapta (D)media vernier I şi II

Din A la 1 96g61c00cc 303g39c50cc

» A la 2 96g81c00cc 303g20c50cc

» A la 3 96g62c50cc 303g38c50cc

Se calculează suma S + D400g00c50cc

400g01c50cc

400g01c00cc

Unghiurile zenitale vor fi:

z A−1`` =96g 61c 00cc−303g 39c 50cc

2+200g=96g 60c75cc

z A−2`` =96g81c 00cc−303g20c 50cc

2+200g=96g80c 25cc

z A−3`` =96g 62c 50cc−303g 38c 50cc

2+200g=96g 62c 00cc

Valorile cele mai probabile ale unghiurilor zenitale vor fi:

z A−1=z A−1+z A−1

``

2=96g 60c 87cc

z A−2=z A−2+ z A−2

``

2=96g 80c 25cc

z A−3=z A−3+z A−3

``

2=96g 62c 13cc