Eletrostatica´ - DEE complementares/eletrostatica.pdfPara que a esfera esteja aterrada os potenciais gerados pelas duas cargas deve ser iguais e opostos, V +V0=0 = = + + Campo El´etrico

Campo EletricoPotencial Eletrico

CondutoresCapacitancia

Eletrostatica

Antonio Carlos Siqueira de Lima

Universidade Federal do Rio de JaneiroEscola Politecnica Departamento de Engenharia Eletrica

Agosto 2008

Lima, A. C. S. ELETROSTATICA



1 Campo EletricoCampo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss

2 Potencial Eletrico

3 CondutoresImagensAlguns Exemplos

4 CapacitanciaCapacitor de placas paralelasCapacitor de esferas concentricasCapacitor de cilindros concentricos




Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss

Lei de Coulomb

Qual a forca que atua sobre uma carga Q devido a uma cargapontual q estacionaria a uma distancia r , supondo que o meioque envolve ambas as cargas e o vacuo

F =1

4πε0

q Qr2 r (1)





Campo Eletrico

Se tivermos diversas cargas qi , a distancias ri , (i,1, · · · n) de umacarga Q

A forca total em Q e dada por

F =n

∑i=1

Fi =Q

4πε0

n

∑i=1

qi

r2i

ri (2)

ou simplesmente

F = Q E (3)

onde

E =1

4πε0

n

∑i=1

qi

r2i

ri (4)





Distribuicoes contınuas de cargas

A solucao anterior supoe cargas conhecidas qi

Caso a carga seja distribuıda continuamente sobre algumaregiao o somatorio se torna uma integral

E =1

4πε0

Z1r2 rdq (5)





Distribuicao Linear de Carga

Se a carga for distribuıda uniformemente ao longo de uma linha,com uma carga por unidade de comprimento λ, o diferencial decarga e dado por (dl⇒ diferencial de comprimento)

dq = λdl (6)

E =1

4πε0

Z`

λ

r2 rdl (7)





Distribuicao Superficial de Carga

Densidade superficial de carga σ

dq = σds (8)

E =1

4πε0

ZZS

σ

r2 rds (9)





Densidade Volumetrica

Densidade volumetrica de carga ρ

dq = ρdv

E =1

4πε0

ZZZV

ρ

r2 rdv (10)





Exemplo 1

Considere um segmento de reta de comprimento 2L que possui umadensidade de carga λ. Calcule o potencial eletrico a uma distancia zacima do ponto medio do segmento de reta (ponto P na figura abaixo)

P

x

z

r

Pela simetria do problema epossıvel perceber que oscomponentes na direcao x secancelem

No ponto P temos

dE =2

4πε0

(λdxr2

)cosθ z (11)

onde cosθ = z/r





Exemplo 1 – cont.

A intensidade do campo eletrico e obtida pela integracao de (11) comx variando de 0 a L.

E =1

4πε0

Z L

0

2λz

(z2 + x2)3/2dx =

14πε0

2λL

z√

z2 +L2(12)

Para pontos muito afastados do segmento de reta condutor z� L,temos

E ≈ 14πε0

2λLz2 (13)

E portanto a reta condutora se comporta como uma carga pontual! Nocaso de uma reta infinita L→ ∞

E ≈ 14πε0

2λ

z(14)

Nesse caso z e a distancia do ponto ao fioLima, A. C. S. ELETROSTATICA




Linhas de Fluxo & Lei de Gauss

Com o ferramental apresentado temos todos os dados pararesolver a maioria dos problemas de eletrostatica, admitindo-seque e possıvel resolver a integral

As linhas de fluxo podem ser uteis na visualizacao e naidentificacao do comportamento do campo eletrico.

E possıvel calcular as linhas de fluxo pelos tubos de forca oupela solucao da equacao diferencial que define o campo em todoo espaco





Lei de Gauss

O Fluxo e uma forma de “medir” o numero de linhas de campopassando por uma superfıcie. O Fluxo por qq superfıcie fechada euma medida da carga total armazenada dentro dessa superfıcie

IS

E ·ds =1ε0

Qdentro (15)

Qdentro =ZZZ

V

ρdv (16)

Na forma diferencial obtemos (a partir do teorema de Green)

∇·E =ρ

ε(17)





Exemplo 2

Calcule o campo exterior a uma esfera solida uniformementecarregada de raio r e carga total q.Pela aplicacao direta da definicao de fluxo de campo eletrico

IS

Eds = E 4π r2 (18)

Logo E 4π r2 = q/ε0

E =1

4πε0

qr2 (19)





Rotacional do Campo Eletrico

Vamos supor uma carga pontual na origem. A integral de linha docampo devido por essa carga pontual e dada porZ b

aE · d l =

q4πε0

(1ra− 1

rb

)(20)

onde ra e rb sao as distancias entre os pontos a e b. No caso daintegral de linha temos I

E · d l = 0 (21)

Aplicando o teorema de Stokes temos

∇×E = 0 (22)




Potencial Eletrico

O campo eletrico (devido a Cargas Estacionarias) e conservativo

O fato do rotacional do campo eletrico ser nulo implica naexistencia de uma funcao potencial

V (P ) = φ =−Z r

PE · d l (23)

Se o ponto P for levado ao infinito, o potencial no ponto rdepende apenas do ponto, fazendo o caminho “inverso”

E =−∇φ (24)

Ha algumas vantagens em usar (24), derivaadas sao faceis decalcular, e potenciais sao usualmente faceis de medir (De umescalar calcula-se um vetor!!)




Potencial Eletrico

O rotacional nulo implica tambem em relacao entre oscomponentes do campo eletrico

∂Ex

∂y=

∂Ey

∂x∂Ez

∂y=

∂Ey

∂z∂Ex

∂z=

∂Ez

∂x(25)

Mudanca de referencial implica na adicao de uma constante aopotencial

V1 = φ1 =−Z P

OE · d l−

Z r

PE · d lV1 = k +V (P ) (26)

Mas nao muda o campo eletrico....

∇V1 = ∇V (27)




Potencial de uma distribuicao de carga

O potencial de uma carga pontual e dado por

V =− 14πε0

Z r1

∞

qr2 dr =

14πε0

qr1

(28)

Para um conjunto de cargas

V =1

4πε0

n

∑i=1

qri

(29)

Para uma distribuicao linear λ de cargas

V =1

4πε0

Zλ

rdl (30)

No caso de uma distribuicao volumetrica

V =1

4πε0

ZZZρ

rdV (31)

As integrais em sao mais simples que as do campo eletricoLima, A. C. S. ELETROSTATICA



Potencial & Polaridade

Apesar de ser escalar, a polaridade da tensao implica emindicativo de direcao do campo eletrico

V

V

0




ImagensAlguns Exemplos

Carga Pontual + Plano Infinito

No caso de uma carga pontual q colocada a uma distancia a deum plano infinito (aterrado), a imagem sera a carga −q, colocadaa uma distancia −a desse plano.

Se o plano separa os meios, a inclusao da imagem implica emum meio apenas, sendo esse meio o qual esta a carga original

V = φ(x ,y) =q

4πε0

(1r1− 1

r2

)(32)

r1 e a distancia do ponto onde e efetuado a medicao do potencial atea carga positivar2 e a distancia do ponto onde e efetuado a medicao do potencial atea carga imagem





Carga Pontual + Plano Infinito





Linha de Carga +Plano Infinito

Ha uma linha de carga a uma altura h do solo, com densidadelinear constante

Supondo o plano infinito aterrado, surge uma imagem comdensidade de carga negativa a uma distancia −h

A inclusao da imagem implica em um meio apenas, sendo essemeio o qual esta a carga original

V = φ =q

2πε0ln

(√x2 +(y +h)2

x2 +(y−h)2

)=

q4πε0

ln

(x2 +(y +h)2

x2 +(y−h)2

)(33)

A projecao bidimensional desse caso e identica ao do caso comcargas pontuais





Linha de Carga + Cilindro

Se uma carga linear paralela a um cilindro condutor, supondo ocomprimento de ambos infinito. A carga imagem pode ser obtidaatraves da tangente a secao trasnversal do cilindro que passa noponto onde esta a carga realA posicao da carga imagem e dada pela razao

R2

b(34)

onde R e o raio do cırculo que forma a secao reta do cilindro, e b e adistancia que separa o centro do cilindro ao ponto onde se encontra acarga.Se o cilindro for dieletrico, muda alguma coisa?





Imagem em Condutor Esferico

r1

r2R

d qimag

q1

b e a distancia que separa os centros, V na superfıcie da esferadevido a q e

V =q1

4πε0 r2(35)

V ′ devido a carga imagem qimag e

V ′ =1

4πε0

qimag

r1=

qimag

4πε0

b/R√R2 +b2−2Rb cosθ

(36)





Imagem em Condutor Esferico

Para que a esfera esteja aterrada os potenciais gerados pelas duascargas deve ser iguais e opostos, V +V ′ = 0Logo, a carga imagem deve ser

qimag = qRb

(37)

O potencial em qualquer ponto passa a ser

Vt =q

4πε0

[1√

r2 +b2−2b r cosθ− R√

b2r2 +R4−2R2b r cosθ

](38)

Qual e a densidade superificial de carga na superfıcie da esfera?





Anel Circular com Distribuicao Linear de Carga

Condutor cilındrico de raio a ecomprimento ` e com carga total Q emum anel circular de raio R, sendoR� a.

A funcao potencial φ num pontogenerico P de coordenadas (x ,y ,z) e

φ(x ,y ,z) =1

4πε

Z`

qD

dl (39)

sendo q = Q/(2πR) a densidade linearde carga

Projecoes da espira condutora no planoy = 0 e no plano z = 0

Rr

Α

P

D

dP’

x

x

z

y





Anel Circular — cont.

Utilizando a transformacao de variavel

α = π−2ϕ

o diferencial de comprimento pode ser expresso por

dl = |R dα|= 2|R dϕ|

a distancia entre um ponto na superfıcie da espira e o ponto P ′ e

d =√

R2 + r2−2Rr cosα (40)

e a distancia entre o centro da espira ao mesmo ponto e dada por

r =√

x2 + y2

distancia entre um ponto na superfıcie da espira e o ponto P e

D =√

d2 + z2





Anel Circular — cont.

Utilizando a relacao trigonometrica

cosα =−1+2sin 2ϕ

e possıvel escrever a distancia D como

D =√

(R + r)2 + z2−4Rr sin 2ϕ

logo o potencial eletrostatico pode ser dado por

φ =Q

4πε

22π

Zπ

0

dϕ√(R + r)2 + z2−4Rr sin 2ϕ

(41)





Anel Circular – Integral Elıptica

Fazendo k =√

4Rr(R+r)2+z2 e possıvel rescrever (41) como

φ =Q

4π2ε

2√(R + r)2 + z2

Zπ/2

0

dϕ√1− k2 sin 2ϕ

=Q

2π2ε

F(k)√(R + r)2 + z2

(42)

A funcao F(k) e conhecida como integral elıptico completo deprimeira especie definida por

F(k) =Z

π/2

0

dϕ√1− k2 sin 2ϕ

(43)





Para o calculo do potencial na superfıcie do condutor consideremoscomo representativo um ponto de coordenadas x = R, y = 0, z = a,neste caso

k =

√4R2

4R2 +a2 =1√

1+(

a2R

)2⇒ k2 =

1

1+(

a2R

)2∼= 1−

( a2R

)2

Como ( a2R

)2� 1

E possıvel obter uma solucao para integral na forma de

F(k) = ln

(4√

1− k2

)∼= ln

(8Ra

)logo, o potencial na superfıcie do condutor φc e aproximadamente

φc∼=

Q4π2εR

ln

(8Ra

)(44)




Capacitor de placas paralelasCapacitor de esferas concentricasCapacitor de cilindros concentricos

Capacitancia

Um capacitor consiste de dois condutores carregando cargas desinais iguais e contrarios, separados por um meio dieletrico. Acapacitancia C pode ser definida por

C =QV

=−

HS

εE · dSR BA E · d l

(45)

Nada mais e que uma constante relacionando carga e potencial. Esempre positivaA relacao inversa e dada pela Elastancia S

Q = C (V1−V2) V1−V2 = S Q (46)





Capacitancia

Em diversos casos simples podemos obter a capacitancia de umdispositivo atraves da Lei de Gauss. Vamos ver alguns exemplos:

Capacitor de placas paralelas

Capacitor de esferas concentricas

Capacitor de cilindros concentricos





Capacitor de placas paralelas

Considere duas placas paralelas de area A separados de umadistancia d .O campo eletrico e normal a superfıcie (desprezando efeitos de ponta)Uma densidade de carga σ numa das placas implica em −σ na outraplacaA intensidade do campo entre as placas e E = σ/ε, ja a diferenca depotencial e V = E d , e a carga total Q = σA, logo a capacitancia entreas placas e

C =σA

σd/ε= ε

Ad

(47)





Capacitor de esferas concentricas

Considere duas esferas concentricas de raios r1 e r2, sendo r2 > r1,possuindo cargas Q e −Q respectivamenteO campo e radial e orientado para o centro da esfera menor como sea carga estivesse no centro e de valor dado por

E =Q

4πε r2 (48)

A diferenca de potencial entre as esferas e

V =−Z r2

r1

Q4πε

drr2 =

Q4πε

(1r1− 1

r2

)(49)

C =4πε

1/r1−1/r2(50)





Capacitor de cilindros concentricos

Considere dois cilindros concentricas de raios r1 e r2, sendo r2 > r1 ede comprimento L.O condutor interno possui carga −Q e o externo Q.O campo eletrico e dado pela Lei de Gauss e de intensidade

E =−Q/L2πε

1r

(51)

O potencial entre os cilindros e dado por

V =Q/L2πε

lnr2

r1(52)

e a capacitancia entre os cilindros e

C =2πεL

ln(r2/r1)(53)


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