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Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2019/2020

Elettromagnetismo

Coefficienti di capacitàDielettrici. Campo elettrico del dipolo

Campi elettrici nella materia. Dipoli atomici

Lezione n. 11 – 8.11.2019

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 250

Coefficienti di capacità• Consideriamo un conduttore• Supponiamo abbia una carica q

distribuita sulla superficie• Avviciniamo un altro conduttore scarico• La carica del primo conduttore induce

cariche elettriche sul secondo• Alcune delle linee di campo che originano dal

primo conduttore terminano sul secondo• Intuitivamente, il fatto che alcune linee del primo conduttore finiscano sul secondo è il fenomeno alla base del concetto di capacità• Il condensatore è il caso speciale in cui tutte le linee (o quasi) del primo

conduttore finiscono sul secondo• Induzione completa

• Si può avvicinare anche un terzo conduttore • Le linee di campo adesso terminano anche sul terzo• Vogliamo studiare la relazione che esiste fra le cariche sui conduttori

e i loro potenziali• Una generalizzazione del condensatore che è formato solo da due conduttori


Coefficienti di capacità• Consideriamo adesso un sistema di n conduttori• Poniamo i conduttori all'interno di un conduttore

cavo posto a potenziale φ = 0• Utilizziamo il potenziale di questo conduttorecome potenziale di riferimento• Potremmo anche eliminare il conduttoreesterno e prendere come riferimento il potenziale all'infinito

• Il teorema di unicità ci assicura che fissati i potenziali φ1, … φn il campo elettrico all'interno della regione è univocamente determinato• Noto il campo elettrico possiamo determinare la carica su ogni conduttore• Pertanto, fissati i potenziali le cariche sui conduttori sono univocamente determinate

• Vogliamo trovare una relazione che ci permetta di determinare la carica su ogni conduttore noti i potenziali sui conduttori stessi• A tale fine consideriamo n problemi diversi in cui, a turno, il conduttore k

è posto a potenziale φk mentre tutti gli altri sono posti a potenziale nullo


Coefficienti di capacità• Mettiamo adesso a potenziale φ = 0 tutti i conduttori meno il primo, che rimane fissiamo a potenziale φ1

• I conduttori a potenziale φ = 0 sono collegaticon un filo (conduttore) al conduttore cavo• Per effetto del potenziale φ1 sui conduttori

appaiono le cariche q1, … qn• Sappiamo che le equazioni sono lineari• Se raddoppiamo il potenziale φ1 anche le

cariche q1, … qn saranno raddoppiate• Pertanto avremo

• Possiamo ripetere ponendo a potenziale φ2 il secondo conduttore

• Ovviamente le cariche q' sono diverse dalle cariche q• E così via …

• Ancora una volta utilizziamo la linearità delle equazioni dell'elettrostatica• Se tutti i potenziali sono diversi da zero contemporaneamente la carica su

ogni conduttore sarà la somma di tutte le cariche trovate con la procedura precedente

Carica sul conduttore kPotenziale sul conduttore 1


Coefficienti di capacità• Mettendo insieme le equazioni scritte

• Si può dimostrare che i coefficienti cjk sono simmetrici: cjk = ckj• I coefficienti che abbiamo definito prendono il nome

di coefficienti di capacità• Le relazioni trovate possono essere invertite

• I nuovi coefficienti ajk prendono il nome di coefficienti di potenziale


Coefficienti di capacità• Per meglio comprendere il significato e l'utilizzo dei coefficienti di capacità consideriamo l'esempio seguente• Due elettrodi piani di area A a distanza s

posti all'interno di una scatola metallica• La scatola è posta a potenziale φ = 0• I piani distano r e t dalle pareti della scatola

• Calcoliamo i coefficienti di capacità supponendoche le distanze siano tali da poter assumere che i campi elettrici siano uniformi (distanze piccole → piani infiniti)• Poniamo l'elettrodo 1 a potenziale nullo (φ1=0) e l'elettrodo 2 a potenziale φ2

• Nelle regioni r e s i campi elettrici sono uniformi• Nella ragione t il campo è nullo• Sulla superficie superiore del conduttore 2 ci sarà una densità superficiale σr• Sulla superficie inferiore del conduttore 2 la densità sarà σs• Sulla superficie superiore del conduttore 1 la densità di carica è −σs• Sulla superficie inferiore del conduttore 1 la densità di carica è nulla• Avremo


Coefficienti di capacità• Troviamo la relazione fra i campi elettrici e i potenziali• I campi sono uniformi

• Ricordando le relazioni fra campi e densità superficiali σr e σs

• E infine la relazione cercata fra carica e potenziale

• Sull'elettrodo 1


Coefficienti di capacità• Adesso poniamo a zero il potenziale dello elettrodo 2 e l'elettrodo 1 a potenziale φ1

• Adesso i campi saranno uniformi nelleregioni s e t• Il campo sarà nullo nella regione r• Sulla superficie superiore del conduttore 1 la densità è σ's• Sulla superficie inferiore del conduttore 1 la densità è σ't• Sulla superficie inferiore del conduttore 2 la densità di carica è −σ's• Sulla superficie superiore del conduttore 2 la densità di carica è nulla• Come nel caso precedente avremo per i campi

• E infine per le cariche

• E sull'elettrodo 2


Coefficienti di capacità• In definitiva abbiamo trovato per cij

• È interessante a questo punto studiare il caso limite in cui la scatola metallica va all'infinito• In questo caso r → ∞ e t → ∞• Diventa un condensatore piano

• Se assumiamo φ2 > φ1 allora

Q = CV


Dielettrici• Consideriamo un condensatore piano• Abbiamo definito la capacità come il rapporto

fra la carica sulle armature e la differenzadi potenziale fra le stesse

• Supponiamo adesso di inserire un materialeisolante: un dielettrico• Si scopre che la carica Q′

necessaria per raggiungere la stessa differenza di potenziale aumenta

• La capacità è

• L'effetto del dielettrico è stato di aumentare la capacità


Dielettrici• Il fenomeno ha una spiegazione qualitativa semplice• Il condensatore viene caricato senza dielettrico• Le densità di carica σ+ e σ− sulle armature

generano un campo elettrico nel condensatore• Inseriamo il materiale dielettrico• Il materiale è composto da cariche elettriche• Cariche positive: i nuclei• Cariche negative: gli elettroni• Le cariche non si possono muovere, a

differenza di quanto avviene per i conduttori• Complessivamente il materiale rimane neutro• Tuttavia sono possibili piccoli movimenti• La carica positiva è attratta verso l'armatura inferiore: Δσ+

• La carica negativa è attratta verso l'armatura superiore: Δσ−

• Questa carica compensa parte della carica sulle armature• Il campo elettrico diminuisce• La differenza di potenziale si calcola con un integrale di linea del campo• Dato che il campo elettrico si abbassa, anche il potenziale diminuisce• Per raggiungere il potenziale precedente ci vuole più carica sulle armature


Dielettrici• Infatti il modulo del campo elettrico fra le armature era, prima dell'inserimento del dielettrico• La differenza di potenziale

• L'introduzione del dielettrico fa comparire altracarica elettrica: Δσ• Il campo elettrico si riduce• La differenza di potenziale è inferiore

• Per raggiungere la stessa differenza di potenziale che si aveva prima dell'introduzione del dielettrico occorre che la carica elettrica sulle armature sia più grande di quella precedente• La carica in più neutralizza quella del dielettrico• La differenza di potenziale diventa uguale a quella

che si aveva prima dell'introduzione del dielettrico• La capacità è aumentata

• Il fatto che sperimentalmente si noti che Q' = κQ significa che la quantità di carica del dielettrico è proporzionale al campo elettrico esterno


Dielettrici• Per avere una comprensione più profonda del fenomeno ci serve un modello più accurato della struttura atomica della materia• La teoria del campo elettrico nei dielettrici è stata sviluppata nel XIX secolo• In assenza di una conoscenza adeguata della struttura della materia la

formulazione del problema è fatta utilizzando quantità macroscopiche• La descrizione è adeguata per risolvere i problemi• Tuttavia vogliamo avere anche una comprensione a livello microscopico

• Preliminarmente dobbiamo formulare un modo efficiente per descrivere il campo elettrico di un atomo (e delle molecole)• Abbiamo spesso rappresentato un atomo come• Un nucleo positivo puntiforme di carica +q• Una distribuzione di carica negativa a simmetria sferica di valore totale −q

• All'esterno dell'atomo calcoliamo il campo elettrico usando la proprietà che abbiamo verificato più volte• Il campo della distribuzione sferica negativa è uguale a quello di una carica

puntiforme −q posta al centro della distribuzione sferica• Il campo totale è nullo


Dielettrici• Abbiamo visto che in presenza di un campo elettrico esterno la distribuzione delle cariche del materiale si modifica• Sono comparse delle densità superficiali di carica• Possiamo supporre che la presenza del campo elettricoesterno sposti in modo indipendente le due cariche• Può anche succedere che la forma

della distribuzione della carica negativarisulti deformata

• A grandi distanze dall'atomo possiamo sempre calcolare il campo elettrico come se tutta la carica negativa fosse concentrata in un punto al centro della distribuzione• Vale la pena sottolineare che la distanza d

fra le due cariche è dell'ordine delledimensioni dell'atomo• Dell'ordine di 1Å (angstrom 1 Å = 10−10 m)• Non siamo interessati ai valori del campo in posizioni

vicine all'atomo ma a distanze r molto grandi


Dipolo elettrico

x

z

y

• Studiamo adesso il campo elettrico prodotto da un sistema di due cariche uguali poste a distanza d• Abbiamo già visto questo sistema in un altro contesto• È semplice da analizzare (usiamo ψ invece di φ per

evitare in seguito confusione con l'angolo azimutale)

• Tuttavia questa formula ci dice molto di più diquello che ci interessa• Non mette in evidenza quello che ci interessa• Il campo a distanze

molto grandi rispettoalla dimensionedell'atomo

• Cerchiamo allorauna formula approssimata


Approssimazioni importanti• Sviluppo in serie di Taylor

• Sviluppo di intorno a x0 = 0

• Pertanto, per 0 ≤ x < 1


Approssimazioni importanti• Altre serie importanti da ricordare, almeno al primo ordine

Numeri di Bernoulli


Dipolo elettrico

• Consideriamo il potenziale in un punto r• In coordinate sferiche r = (r, θ, φ)• C'è simmetria per rotazioni intorno a z• Non c'è dipendenza dall'angolo azimutale• Esaminiamo i denominatori della formula (nel piano φ = 0)

• Trascurando

• Analogamente

z


Dipolo elettrico: potenziale

• Introduciamo nella formula del potenziale

• I due termini si elidono

• Osserviamo che il potenziale dipende solo dal prodotto qd• Definiamo il momento di dipolo p = qd• Si definisce dipolo ideale un sistema nel quale

z


Dipolo elettrico: potenziale• Sottolineiamo che la formula trovata descrive il sistema originale solo per distanze molto maggiori della distanza fra le cariche

• Osserviamo che il potenziale del dipolo varia come 1/r2• Si attenua più rapidamente del potenziale di una carica puntiforme• La componente del potenziale delle singole cariche che varia come 1/r si cancella e rimane solo la componente che si attenua più rapidamente

• Notiamo infine che il potenziale dipende dall'angolo polare θ• Era prevedibile che il potenziale non avesse più la simmetria sferica della carica puntiforme• Il dipolo ha una direzione privilegiata• L'asse delle due cariche• Nel nostro caso coincide con l'asse z

• Si definisce il vettore momento di dipolo p diretto dalla carica negativa alla carica positiva e modulo |p| = qd• In funzione del vettore p il potenziale diventa

z


Dipolo elettrico: campo elettrico• Calcoliamo il campo elettrico del dipolo• Utilizziamo le coordinate sferiche• Ricordiamo il potenziale• Non dipende da φ: simmetria azimutale Eφ = 0

• Confrontiamolo inoltre con il potenziale della sfera conduttrice in campo uniforme (diapositiva )• La carica superficiale della sfera genera un campo dipolare• Calcoliamo il campo elettrico

• Notiamo che il campo decresce come 1/r3

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Forze sul dipolo elettrico• Consideriamo un dipolo in un campo elettrico uniforme• Sulle due cariche agiscono due forze che si elidono• Calcoliamo il lavoro fatto per ruotare il dipolo da unaposizione parallela ad una che fa un angolo θ• Le due forze hanno adesso un momento meccanico

• Il lavoro compiuto da un momento delle forze peruna rotazione dα è

• Pertanto per ruotare il dipolo di un angolo θ sideve compiere un lavoro W

• Come al solito il lavoro fatto dalla forza esterna è uguale all'energia potenziale U del sistema• In realtà è il lavoro del momento della forza • Il grafico mostra l'andamento dell'energia U• Si preferisce definire U(θ) in modo che U(π/2) = 0


Forze sul dipolo elettrico• Se il campo elettrico non è uniforme la risultante delle forze non è nulla• Calcoliamo la forza totale lungo l'asse z• Semplifichiamo limitandoci a un caso bidimensionale

• Analogamente, per la forza 2

• Calcoliamo la componente z della forza totale sul dipolo


Forze sul dipolo elettrico

• Generalizzando a tre dimensioni

• Si trovano equazioni analoghe per le altre componenti

• Le equazioni possono essere riassunte in un'unica formula vettoriale

• Sottolineiamo che la forza sul dipolo è proporzionale al gradiente del campo• Ribadiamo che se il campo è uniforme la forza è nulla


Dipoli atomici• Il semplice modello "planetario" di atomo ha le caratteristiche di un dipolo• Consideriamo ad esempio un atomo di idrogeno• L'elettrone e il nucleo costituirebbero un dipolo• Sarebbe un dipolo ruotante molto rapidamente• Il momento di dipolo mediato nel tempo sarebbe nullo• Tuttavia dovrebbe emettere radiazione• Uno dei problemi insolubili dalla elettrodinamica

classica• Risolto con la meccanica quantistica

• Utilizziamo un modello più aderente alla realtà• Lo abbiamo già visto• Un nucleo positivo puntiforme di carica +q• Una distribuzione sferica di carica negativa −q

• Se non lo perturbiamo ha una simmetria sferica• Il momento di dipolo è nullo• Tuttavia un campo elettrico esterno può alterare la simmetria• Spostare le cariche elettriche: negativa verso il basso, positiva verso l'alto• L'atomo così perturbato ha un momento di dipolo• Calcoliamo il momento di dipolo in funzione del campo elettrico esterno E


Dipoli atomici• Consideriamo il campo elettrico generato dalla distribuzione sferica e uniforme di carica negativa (l'elettrone)• Supponiamo che il campo esterno non modifichi la forma

sferica della distribuzione di carica degli elettroni• Abbiamo visto che l'effetto netto del campo elettrico esterno

è spostare il nucleo positivo rispetto al centro della sfera di elettroni • La carica negativa attrae il nucleo verso il centro della carica elettronica• Il campo esterno respinge il nucleo dal centro della carica elettronica• Otteniamo l'equilibrio quando il nucleo è ad una distanza d dal centro dove il campo esterno è uguale al campo della distribuzione sferica di elettroni

• Abbiamo già risolto questo problema (vedi diapositiva )• Per una sfera di raggio R e carica totale q, il campo ad una distanza d dal

centro della sfera è dato da

• La distanza d è determinata dalla condizione

• Otteniamo

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Dipoli atomici• Se il nucleo positivo è spostato di una distanza d l'atomoè equivalente ad un dipolo di due cariche ±q a distanza d• L'atomo è pertanto equivalente ad un dipolo elettrico

• La relazione appena trovata diventa

• Il coefficiente α prende il nome di polarizzabilità atomica• Un calcolo esatto utilizzando la meccanica quantistica dà il seguente risultato

• La tabella nella diapositiva seguente mostra le polarizzabilità di alcuni atomi• Spesso invece di α si definisce polarizzabilità atomica il rapporto

• Si misura in m3

• Per l'idrogeno

a0 raggio di Bohr


Dipoli atomici


Momenti di dipolo permanente• La tabella precedente può essere interpretata qualitativamente con il semplice modello classico che abbiamo visto nelle diapositive precedenti• Gli elementi del I gruppo (metalli alcalini) hanno un elettrone esterno• La distribuzione di carica risulta facilmente deformabile, poco rigida• Gli elementi dell'ultimo gruppo (i gas nobili) hanno una struttura elettronica

molto rigida• Poco deformabili

• Le molecole possono esibire dei momenti di dipolo permanenti• I legami molecolari rendono le distribuzioni

della carica degli elettroni asimmetriche• Si formano delle regioni "positive" e regioni "negative"• Normalmente i momenti di dipolo sono orientati

casualmente• La somma di tutti i dipoli è in media nulla• La presenza di un campo elettrico esterno li

allinea, in media, in una direzione• Per comprendere a fondo l'allineamento occorreun modello termodinamico (lo faremo …. forse)

• In entrambi i casi la materia viene polarizzata• Il materiale ha un momento di dipolo totale non nullo


Momenti di dipolo permanente• Le molecole delle figure precedenti hanno momenti di dipolo elettrico che, come vedremo fra poco, sono molto elevati• HCl p = 3.4 × 10−30 coulomb-metro• H2O p = 6.1 × 10−30 coulomb-metro• Calcoliamo per confronto il momento di dipolo indotto in un atomo di idrogeno

• Se applicassimo un campo di 1 megavolt/m ( 1000 V su 1 mm) il momento di dipolo indotto sarebbe

• Come si vede se una molecola ha un momento di dipolo permanente questo è di solito enormemente superiore a quello indotto un atomo simmetrico• Questa è la distinzione fra molecole polari e molecole normali

• Per finire vale la pena notare quanto vale il campo elettrico di un protone a distanze di circa 1 Å

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