ELK 308 İletişim Kuramı-II

Nihat KABAOĞLU

Ders 2

Dersin İçeriği

Örnekleme ve Darbe Modülasyonları Örnekleme Teoremi Zaman Bölmeli Çoğullama Frekans Bölmeli Çoğullama Darbe Modülasyonları: PAM, PPM, PWM, PCM Bantgenişliği, Bilgi İletim Hızı, Kanal Kapasitesi

Kısım-3

Örnekleme ve Darbe Modülasyonları

Örnekleme Teoremi Analog bir sinyali sayısal dönüştürmenin ilk adımı

olması nedeniyle, örnekleme teoremi haberleşmede oldukça önemlidir. Şunu ifade eder:

B Hz ile bant sınırlı bir sinyal, 1/2B sn’ den az olan düzgün aralıklarla kendisinden alınan örneklerden

tam ve tek olarak yeniden oluşturulabilir.

Bu teorem, Shannon örnekleme teoremi veya Nyguist örnekleme teoremi olarak da adlandırılır. Teorem temel olarak sınırlı bantlı bir f(t) analog işaretinin yeniden ve bozulmadan elde edilebilmesi için, örnekleme işleminin nasıl olması gerektiğini belirtmektedir.

Örnekleme Teoremi

Bir işaretten örnek almak, işaretin belirli zamanlardaki değerlerini elde etmek demektir.

X( )f t ( ) ( ) ( )sf t f t s t=

( )s t

Zamanın her hangi bir işlevi olan bir işaretin örneklenmesi için bu işaret bir kapı devresinden geçirilir; örnek alınması istenen zamanlarda kapı bir süre için açılarak işaretin o süredeki değeri, devrenin çıkışında elde edilir.

Aşağıda örnekleme işlemi şematik olarak gösterilmektedir.

f t

t

Giriş İşareti Örnekleme Devresi

f t sf t

sf tÇıkışGiriş

sf t

t

Örneklenmiş İşaret

sT

Örnekleme Teoremi

Örnekleme Teoremi Örneklenmiş işaretin, asıl işaretin birçok özelliğini

üzerinde taşıdığı görülmektedir. Örnekleme frekansı ne kadar büyük olursa, asıl işarete benzerlik o kadar artar. Bu benzerliğin sağlanması için örnekleme frekansının hangi ölçüler içinde olması gerektiğini örnekleme teoremi şu şekilde açıklar:

Eğer f(t) işareti B ile bant sınırlandırılmış ise, örnekleme frekansı fs ≥2B = BG seçildiğinde, asıl işaretin taşıdığı tüm bilgi, örneklenmiş işarette bulunur.

Örnekleme Teoremi

2

sT

2

sT

sT

İdeal Örnekleme

Enerjisi sonlu keyfi bir sinyalini saniyede bir örnekleyerek örnek değerlerini elde edelim.

g t sT sg nT

: Örnekleme Periyodu =1 :Örnekleme Frekansıs s sT f T

Örneklenmiş Sinyalin Spektrumu

1s

n ns s

nt nT f

T f

Bağıntısı kullanılarak örneklenmiş sinyalin spektrumu

olarak bulunur.

veya s s s sn n

g t f G f nf G f f G f nf

Örneklenmiş Sinyalin Spektrumu

Örneklenmiş Sinyalin Spektrumu

Geri Kazanımın İnterpolasyon Yorumu

Geri Sentezleme(İnterpolasyon)

Örnekleme Teoremi

Enerjisi sonlu ve W Hz frekansına bant sınırlı bir sinyal,kendisinin 1/2W sn aralıklarla alınmış örnekleri ile tam olarak temsil edilebilir.

Başka bir ifadeyle Enerjisi sonlu ve W Hz frekansına bant sınırlı bir

sinyal,kendisinin saniyede 2W hızında alınmış örneklerinden tekrar geri elde edilebilir.

Dikkat edilirse: Örnekleme teoreminden, örneklenecek sinyallerin kesinlikle bant sınırlı olmaları gerektiği anlaşılmaktadır.

Nyquist Frekansı ve Örtüşme

W Hz frekansına bant sınırlı bir sinyal için, 2W Hz

örnekleme frekansına Nyquist frekansı veya hızı denir. Eğer bir sinyal Nyquist hızından daha düşük bir hızda

örneklenirse, spektral örtüşme meydana gelir.

Örtüşmeyi Önleme

Uygulamada sinyallerin büyük bir kısmı tamamen bant sınırlı değildir. Bu nedenle seçilen örnekleme frekansı Nyquist hızından daha düşük kalır ve bir miktar örtüşme meydana gelir.

Bunu önlemek için, örneklenecek sinyal AGS’ den geçirilip önemsiz sayılabilecek yüksek frekans bileşenleri atılarak bant sınırlı hale getirilir ve ondan sonra uygun hızda (Nyquist hızından biraz daha yüksek) örneklenir. Bu AGS’ ye örtüşme önleyici süzgeç denir.

Örtüşmesiz Örnekleme

Düz Tepeli Örnekleme

Alınan örnek değerlerinin gerçek darbeler ile temsil edilmesine, düz tepeli örnekleme denir. Buna ayrıca Darbe Genlik Modülasyonu (DGM, Pulse Ampltude Modulation: PAM) da denir. Örnekle ve tut devresiyle yapılır.

s sn

s t m nT h t nT

1 , 0

1, 0,

20 ,

t T

h t t t T

diğer

Düz Tepeli Örnekleme

-

-

=

sinc exp

s sn

s sn

s t m t h t

S f M f H f

M f f M f nf

S f f M f nf H f

H f T f T j f T

m(t) sinyalini geri elde etmek için s(t) sinyali AGS’ten geçirilirse, elde edilen sinyal artık m(t) değil m(t)*h(t) olacaktır.

DGM sinyalini elde etmek, görüldüğü gibi m(t) sinyali üzerinde Genlik Bozulması ve de T/2 lik bir gecikme meydana getirmiş oldu.

Bu bozulmaya Açıklık Etkisi denir.

Düz Tepeli Örnekleme

Açıklık etkisinin neden olduğu bozulmayı transfer fonksiyonu

olan bir denkleştirici kullanarak düzeltilebilir.

1 1 1

sinc sin

f T

T f T T f TH f

AGS Denkleştirici

DGM Sinyali

s t

Mesaj Sinyali

m t

0.1sT T durumunda oluşan bozulma ihmal edilebilir.

Darbe Modülasyonları

1. Darbe Genlik Modülasyonu (Pulse-Amplitude-Modulated, PAM) : Sabit süreli, sabit konumlu bir darbenin genliği, bilgi işaretine bağlı olarak değiştirilir.

2. Darbe Genişliği Modülasyonu (Pulse-Width- Modülation- PWM) : Bu yönteme bazen darbe süresi modülasyon (PDM), ya da darbe uzunluğu modülasyonu (PLM) da denir. Bu yöntemde darbe genişliği, bilgi işaretinin genliği ile orantılıdır. (PWM = PDM = PLM).

Darbe Modülasyonları

3. Darbe Konumu Modülasyonu (Pulse-Position-Modulation, PPM) : Sabit genişlikli bir darbenin konumu, önceden belirlenmiş bir zaman bölmesi içinde bilgi işaretinin genliği ile orantılı olarak değiştirilir.

4. Darbe Kod Modülasyonu (Pulse-Code-Modülation, PCM) : PCM’de bilgi işareti örneklenir ve iletim için sabit uzunlukta, seri ikili bir sayıya dönüştürülür. İkili sayı, analog sinyalin genliğine uygun olarak değişir.

Darbe Modülasyonları

Darbe Modülasyonunun Üç Türünde (PAM, PWM, PPM) Gürültünün Etkisi

Gürültü altında PWM ve PPM’nin başarımları PAM’a göre daha iyidir.

PPM'in başarımı ise PWM’e göre daha iyidir. Bunun nedenini şöyle açıklayabiliriz; her iki modülasyon türünde de bilgi, darbelerin kendilerinde değil, darbelerin kenarlarında taşınır. PPM’ in performansı FM’ in performansına benzer.

Güç açısından PPM’in PWM’e göre daha verimli olduğu söylenebilir. Çünkü, PPM darbeyi değil de yalnız kenarı göndermeye daha yakındır.

PWM boşuna enerji harcar.

Darbe Kod Modülasyonu: PCM Darbe kod modülasyonu üç aşamalı bir işlemdir:

Örnekleme Kuvantalama Kodlama

Analogdan sayısala dönüştürme işlemiyle aynı aşamalardan oluşmaktadır:

Örnekleme Nicemleme Kodlama

Analog Sayısal Dönüştürücü, ADCAnalog Sinyal Girişi Sayısal

Sinyal Çıkışı

Darbe Kod Modülasyonu: PCM

Örnekleme: Sinyali ayrık zamanlı yapar.

Soru: Analog giriş sinyalinin bant genişliği W Hz ise, bozulmasız olarak sinyalin tekrar elde edilebileceği minimum örnekleme frekansı nedir?

Nicemleme: Sinyal genliğini ayrık yapar Genliği q seviyeden herhangi birine yuvarlar.

Kodlama: Nicemlenmiş değerleri, her biri ν-bit olan sayısal kelimelere dönüştürür.

Eğer Örnekleme Teoremi’ne uygun bir örnekleme yapılırsa, sinyaldeki bozulma sadece nicemleme işlemi sırasında oluşur.

Nicemleme

Örnekleyici çıkışı genliği hala süreklidir. Örnek değerleri herhangi bir değer alabilir.

Örneğin, 3.752, 0.001, v.s. Mümkün değerlerin sayısı sonsuzdur.

Mesajı sayısal sinyal olarak gönderebilmek için, mümkün seviye sayısını sınırlamak gerekir.

Nicemleme örnek değerini bir kurala göre “yuvarlatma” işlemidir. Örneğin,

3.752 --> 3.8

0.001 --> 0

Nicemleme Çözünürlüğü Herbir örneği temsil etmek için kullanılan bit sayısı ν,

nicemleyicinin çözünürlüğüdür. Seviyelerin sayısı q özellikle 2’ nin kuvveti seçilir, ki bu da ν’ yi bir

tamsayı yapar.

Bit sayısı ne kadar çok ise o kadar kalite artar. Buna karşılık da ihtiyaç duyulan bant genişliği artar. Tipik olarak Telefon sistemleri 8 bit çözünürlük kullanır.

64 kbps (8 kHz örnekleme hızı)

CD çalıcılar kanal başına16 bit çözünürlük kullanır. 1.4112 Mbps (44.1 kHz örnekleme hızı, 2 kanal)

2log

2vv q

q

Düzgün (Uniform) Nicemleme Çoğu ADC ler düzgün

nicemleyici kullanır. Bir biçimli nicemleyicide,

nicemleme seviyeleri eşit aralıklıdır.

Birbiçimli nicemleyiciler, giriş sinyalinin düzgün olması durumunda optimumdur. Yani, nicemleyicinin dinamik

aralığı içindeki bütün değerler eşit olasılıklı ise optimumdur.Örnek: Uniform ν =3 bit nicemleyici

q=8 ve XQ = {±1,±3,±5,±7}

Nicemleme Gürültüsü Nicemleme işlemi bir toplamsal gürültü süreci olarak

yorumlanabilir.

Dolayısı ile sinyal-nicemleme gürültüsü oranı (SNR)Q

Qn

QXX

2

2

2

2

'

'

QQ

Q

Q

X in GücüSNR

n nun Gücü

E X

E X X

E X

E X X

Düzgün Nicemleme ve Düzgün Giriş Dağılımı Giriş sinyali X [-A ,+A] arasında düzgün olsun

q-seviyeli nicemleyici şu dağılımı kapsasın:

Sinyal gücü ise:

( )1

,20 ,

X

A x Ap x A

Diğer

ìïï - < £ï=íïïïî

( )2 1 2, 1 ,

2Q

k h AX A k q h

q

ì ü-ï ïï ïÎ - £ £ =í ýï ïï ïî þ

{ }2

2 21

2 3

A

A

AE X x dx

A-

= =ò

Düzgün Nicemleme ve Düzgün Giriş Dağılımı Gürültü gücü:

Dolayısı ile Sinyal-Gürültü oranı da:

2 2

2

2

1 1

2 2 2

2 2 21

1

2

1 2 1

2 2

1

2 3 2 3 3

A

Q Q

A

kh Aq

k k h A

q

k

E X X x x dxA

kx h A dx

A

hA q hA A

A q A q q

2

22 2

3

3Q

ASNR q

A q

6dB/bit Kuralı Dolayısı ile, düzgün giriş dağılımlı, q-seviyeli bir düzgün

nicemleyici için en iyi SNR :

Bu SNR değerini elde edebilmek için, nicemleyici bütün mümkün giriş sevilerini kapsamalıdır. Yani, nicemleyici (-A , A) aralığını q tane eşit aralıklı nicemleme

seviyesine bölmelidir. Diğer bir değişle, nicemleyicinin dinamik aralığı giriş dağılımına

uydurulmuş olmalıdır.

2 2

22

v

v

Q QqSNR q SNR

2 210log 2 20 log 2 6 dBv

dBSNR v v

Düzgün Olmayan (Nonuniform) Nicemleme

Ses gibi bir çok sinyal düzgün olmayan dağılıma sahiptir. Genliğin sıfıra yakın bir seviyede

olması uzak olmasından daha olasıdır.

Düzgün dağılımlı olmayan Nicemleyicilerin seviyeleri eşit aralıklı değildir. Aralıklar belli bir sinyal için SNR’ ı

optimum yapacak şekilde seçilebilir.

Bu durumda, düzgün olmayan bir nicemleyicinin SNR’ ı:

Örnek: Nonuniform 3 bit nicemleyici

2

2Q

Q

E XSNR

E X X

Sıkıştırma Genleştirme Düzgün olmayan nicemleyicilerin yapımı zor ve pahalıdır. Alternatif bir yol, ses sinyalini önce doğrusal olmayan bir

sistemden geçirdikten sonra düzgün olarak nicemlemektir. Doğrusal olmayış (non-linearity) sinyal genliğini sıkıştırır

(compressing). Nicemleyici girişi daha uniform bir dağılıma sahip olur.

Alıcıda, non-lineerliğin tersine genleştirilir (expanding). Compressing and Expanding işlemi Companding

olarak adlandırılır.

A ve µ Kuralı ABD, Kanada veJaponya’da μ-kuralı companding kullanılır:

Avrupada ise A-kuralı companding kullanılır:

log 1

log 1

mv

1, 0

1 log

1 log 1, 1

1 log

A mm

A Av

A mm

A A

Sıkıştırma Genleştirme Özeğrileri

Kodlama

Nicemleyici çıkışı q mümkün sinyal seviyesinden biridir. Eğer ikili iletim kullanmak istiyorsak, her bir

nicemlenmiş örneği ν-bitlik ikili kelimeye dönüştürmeliyiz.

Kodlama her bir nicemlenmiş örneği ν-bitlik ikili bir kelimeye dönüştürme işlemidir. Dönüştürme bire bir olduğundan kodlama herhangi bir

bozulmaya sebep olmaz. Bazı dönüştürücüler diğerlerinden daha iyidir.

Darbe Kod Modülasyonu

ADC nin çıkışı bir temelbant kanalı üzerinden gönderilebilir.

Buna Darbe Kod Kodülasyonu (PCM) diyoruz.

Sayısal veri öncelikle fiziksel bir sinyale dönüştürülmelidir. Fiziksel sinyal hat kodu olarak

adlandırılır. Hat kodlayıcılar ikili 1 için mark ve

ikili 0 için space terminolojisini kullanırlar.

Hat Kodlamanın Amaçları

Hat kodları çeşitli amaçlar için kullanılırlar: Kendinden eşzamanlama(self- synchronisation).

Zamanlama bilgisinin sinyalin kendisinden elde edilmesi. Uzun sıfır ve bir dizileri sorun çıkarabilir.

Düşük bit hatası olasılığı. Kanalda bozulma ve yüksek oranda gürültü olsa dahi, alıcı

mark’ı temsil eden sinyalden space’i temsil eden sinyali ayırt edebilmelidir.

Kanala uygun spektrum. Bazı durumlarda DC bileşenlerden kaçınmak gerekir.

Örneğin,DC blokaj kapasitesi olabilir.

Transmisyon bant genişliği en aza indirilmelidir.

Hat Kodlayıcı

Hat kodlayıcının girişi veri bitinin bir fonksiyonu olan ak değerlerinin oluşturduğu bir dizidir.

Hat kodlayıcının çıkışı bir dalga şeklidir:

Burada p(t) darbe şekli ve Tb ise bit peryodudur. Tb =Ts/n, n-bit nicemleyici için (parite biti yok). Rb =1/Tb=nfs, n-bit nicemleyici için (parite biti yok).

Bu fonksiyonun uygulama detayları kullanılan hat kodu tarafından belirlenir.

( ) ( )k bk

x t a p t kT¥

=- ¥

= -å

Hat Kodunun Tipleri

( ) ( )k bk

x t a p t kT¥

=- ¥

= -å

Her hat kodu bir sembol dönüştürme fonksiyonu ak ve bir darbe şekli p(t) ile tanımlanır:

Hat kodlarının kategorileri: Sembol dönüştürme fonksiyonu (ak).

Tek kutuplu (Unipolar) Kutuplu (Polar) Çift kutuplu (Bipolar) (alternate mark inversion, üçlümsü)

Darbe şekli ( p(t) ). Sıfıra dönmeyen (NRZ) (Nonreturn-to-zero) Sıfıra dönen (RZ) (Return to Zero) Manchester (veya split phase (ayrışık-evre) de denir)

Tek Kutuplu NRZ Hat Kodları

Unipolar nonreturn-to-zero hat kodu unipolar dönüştürme ile tanımlanır:

Burada Xk k’ncı data bitidir.

Ek olarak, unipolar NRZ için darbe şekli:

Burada Tb bit peryodu’dur.

, 1

0 , 0k

kk

A Xa

X

b

tp t

T

DC bileşene dikkat ediniz!

Sembol eşzamanlama ardışık uzun 0 ve 1 durumunda çok zor

Tek Kutuplu RZ Hat Kodları

Tek kutuplu return-to-zero, tek kutuplu NRZ ile aynı sembol dönüşümü fakat farklı darbe şekline sahiptir:

, 1

0 , 0k

kk

A Xa

X

2b

tp t

T

Uzun 1 dizileri artık eşzamanlamada sorun olmaz. Ancak, 0 dizileri hala problemDarbe süresi NRZ darbe süresinin

yarısı. Dolayısı ile bantgenişliği ise iki katıdır.

Kutuplu Hat Kodları

Kutuplu hat kodları: Antipodal dönüştürücü kullanır.

RZ veya NRZ darbe şekli kullanır.

, 1

, 0k

kk

A Xa

A X

DC bileşen yok

Bu durumda uzun 0 dizileri de olsa eşzamanlama yönünden sorun yok.

Manchester Hat Kodları

Manchester hat kodları antipodal dönüştürme aşağıdaki ayrışık-evre darbe şeklini kullanır:

4 4

2 2b b

b b

t T t Tp t

T T

Kutuplu RZ koduna göre, daha kolay eşzamanlamave daha iyi spektral özelliğe sahiptir.

Çift Kutuplu Hat Kodları

Çift kutuplu hat kodları ile space sıfır seviyesine, mark ise sıra ile -A ve +A seviyelerine dönüştürülür:

Üçlümsü (pseudoternary) veya alternate mark inversion (AMI) sinyalleşme olarak da adlandırılır.

RZ veya NRZ darbe şekilleri ile kullanılabilirler.

0 , 0

, 1 ve bir önceki mark +A

, 1 ve bir önceki mark -A

k

k k

k

X

a A X

A X

Hat Kodlarının Karşılaştırılması

Kendinden Eşzamanlama: Manchester kodları kendi yapılarında eşzamanlama bilgisi

taşırlar. Çünkü, her zaman darbe ortalarında sıfır geçişleri vardır. Kutuplu RZ kodları iyidir. Çünkü, sinyal seviyesi darbenin ikinci

yarısında her zaman sıfıra gider. NRZ sinyalleri kendinden eş zamanlama için iyi değildir.

Hata Olasılığı: Kutuplu kodlar, tek kutuplu ve çift kutuplu kodlara göre daha

iyidir.

Kanal Karakteristiği: Buna cevap verebilmek için hat kodlarının Güç Spektral

Yoğunluklarını bulmak gerekir …

Hat Kodunun Güç Spektral Yoğunluğu “Brute-force” metodu

x(t) yi bir WSS rastsal süreç olarak modelle x(t) nin özilinti fonksiyonunu bul

Bu kısım da dikkatli olmak gerekir! GSY bulmak için Wiener-Khintchine teoremini uygula

Örnek: Kutuplu NRZ

2

22 sinc

b dk

k b

xb

x b b

t kT Tx t a

T

R AT

G f A T fT

Burada:

• P[ak=A] = P[ak= -A]• ak’lar bağımsız • d [0,Tb) aralığında uniform • Td , x(t) yi WSS yapmak için gerekli

GSY’ yi Bulmanın Kısa Yolu

Eğer bir hat kodunun veri sembolleri eşit olasılıklı ve birbirinden bağımsız ise:

Kutuplu Hat Kodları

Tek Kutuplu Hat Kodları

Çift Kutuplu Hat Kodları

2

2

xb

AG f P f

T

2

2 11

4xkb b b

A kG f P f f

T T T

2

2 2sinx bb

AG f P f f T

T

Örnekler

Kutuplu NRZ hat kodunun GSY’sini kestirme yöntem ile bulalım:

sincb bb

tp t P f T f T

T

F

22

22

2 2

sinc

sinc

xb

b bb

b b

AG f P f

T

AT f T

T

A T f T

Tek Kutuplu NRZ Hat Kodlarının GSY’ su Tek kutuplu hat kodlarının GSY’ su:

Eğer darbe şekli NRZ ise:

Dolayısı ile tek kutuplu NRZ kodun GSY’ su:

2

2 11

4xkb b b

A kG f P f f

T T T

0 0 olduğunda içinb

nP f n f

T

2

2 11

4xb b

AG f P f f

T T

Bazı Hat Kodlarının GSY’ su