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XI. HIPÉRBOLA

Lugar geométrico de todos los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (focos), es una cantidad constante y menor que la distancia entre los focos.

En una hipérbola siempre se cumple

2 2 2c a b

excentricidad: c

ea

Lado Recto: LR = 22b

a

C centro V y V’ vértices F y F’ focos L eje de la hipérbola

'V V Eje transverso = 2a

'B B Eje conjugado = 2b

'a CV CV

'b CB CB

'c CF CF

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A. HIPÉRBOLA

Una vez que ya estudiaste parábola y elipse estarás de acuerdo que no es difícil entender cómo obtener la ecuación de estas curvas dados algunos elementos de ellas y viceversa. Ahora es turno de la hipérbola, la cual tiene algunos conceptos (elementos) más que la elipse, que es con la que más se parece, sin embargo, la forma de proceder en su estudio es muy similar a como se hizo en el estudio de la elipse.

1. ECUACIÓN DE UNA HIPERBOLA DADOS ALGUNOS DE SUS ELEMENTOS

Prepara tu formulario e identifica la parte que te señala la hipérbola. Realicemos primero un ejemplo donde se nos proporcionen focos y vértices de la hipérbola y tengamos que encontrar la ecuación.

Ejemplo 1. Encontrar la ecuación de la hipérbola si sus focos y vértices son

respectivamente 0,3 , ' 0, 3 , 0,2 y ' 0, 2F F V V .

Bueno, como podrás recordar lo primero que debemos hacer es representar nuestros datos en el plano cartesiano.

De la situación anterior vemos que se trata de una hipérbola vertical con centro en el origen, recurre a tu formulario y verás que su ecuación deberá tener la

forma 2 2

2 21

y x

a b

Observación: en la elipse, la ecuación siempre tenía en el numerador primero a x:

2 2

2 21

x y

a b ;

2 2

2 21

x y

b a ;

2 2

2 21

x h y k

a b

;

2 2

2 21

x h y k

b a

Lo que cambia es la posición de a y b, dependiendo si es horizontal o vertical (horizontales: la a2 está debajo de las x, además siempre a>b). Ahora en la hipérbola la situación se invierte, es decir, los denominadores siempre empiezan con a2:

2 2

2 21

x y

a b ;

2 2

2 21

y x

a b ;

2 2

2 21

x h y k

a b

;

2 2

2 21

y k x h

a b

Y lo que cambia de posición (además del signo entre los términos) son x e y, cuando x2 está encima de a2 son horizontales, además ahora no necesariamente a>b.

Regresando a nuestro ejemplo, de nuestros datos obtenemos que 2a y 3c y el

centro 0,0C , al igual que en elipse, hay que encontrar el valor de b, solo que ahora,

la condición que cumple la hipérbola (la puedes consultar en tu formulario) es 2 2 2c a b

Sustituyendo los valores:

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2 2 2

2

2

2

3 2

9 4

9 4

5

5 2.2

b

b

b

b

b

Una vez encontrada b se puede encontrar la ecuación sustituyendo en

2 2 2 2 2 2

2 22 21 1 1

4 52 5

y x y x y x

a b forma ordinaria.

Como siempre, en una ecuación no debe de haber fracciones, convertimos a veinteavos, primero poniendo un 1 debajo del uno de la derecha:

2 22 25 4 20

5 4 20

15 4 20

4 5 1

y xy x

es decir 2 25 4 20 0y x forma general.

Sin embargo, como estamos aprendiendo, aunque inicialmente no se nos pide graficar la hipérbola, la graficaremos para futuras situaciones.

Como tenemos que 5b , encontremos el lado recto:

2 22bLR

a

2

5

25

Excentricidad: 3

2

ce

a

Para graficarla, como y sabemos que es vertical, primero tracemos un rectángulo de ancho 2b (eje conjugado) y de alto 2a (eje transverso)

En los cuatro vértices del rectángulo anterior pasarán las asíntotas. Represen-taremos ahora a los focos y el lado recto:

aprox.

2a=4

2b= 2 5 4.4

Ojo: si fuera horizon-tal, el largo sería 2a y lo largo del rectán-gulo sería 2b

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Finalmente si trazamos nuestra hipérbola que pase por las “cruces” marcadas nos queda:

Para corroborar nuestros cálculos (no es necesario hacerlo si confías en tus cuentas) tomemos algunos puntos marcados con crucecitas y evaluemos sus coordenadas en nuestra ecuación encontrada

5,3 :

2

2

2 55 3 4 20 0

2

45 25 20 0

0 0

0, 2 :

225 2 4 0 20 0

20 0 20 0

0 0

25, 5 :

2

2

22 5

5 5 4 20 02

25 5 20 0

0 0

2.5

2.52.5

2.52.5 Lado Recto LR = 5

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Ejemplo 2. Encontrar l ecuación de la hipérbola cuyos focos son los puntos 5,2F y

3,2F y su lado recto es igual a 14

3.

Primero como siempre representamos nuestros datos

Sin problema alguno podemos darnos cuenta que se trata de una hipérbola

horizontal con centro , 1,2C h k C es decir: 1, 2 h k . Vemos nuestro

formulario y la ecuación es de la forma:

2 2

2 21

x h y k

a b

De la cual, como ya conocemos h y k, nos falta saber a y b.

De nuestros datos graficados tenemos que 4c y el dato del lado recto 14

. .3

L R ,

no lo graficamos. Si no tenemos:

2

2

2 14. .

3

2 14

3

bL R

a

b

a

y como 4c , con

2 2 2

2 2 2

2 2

4

16

c a b

a b

a b

despejando 2b de 2 216 a b 2 216 a b

ahora lo sustituimos en

22 14

3

b

a

22 16 14

3

a

a

aplicando una propiedad de las fracciones (quebrados)

Resuelve el sistema de ecuaciones

8

4 4 ' 3, 2F 5, 2F

1, 2C

El centro está a la mitad

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6

2

2

3 2 16 14

96 6 14

a a

a a

Esto es una ecuación cuadrática, la cual siempre debe tener un cero de un lado de la igualdad.

296 6 14a a

20 6 14 96a a mitad a todos los términos

20 3 7 48a a factorizando

10 3 6 3a a

entonces: 3 16 0

16

3

a

a

ó

3 0

3

a

a

como a es una distancia (del centro al vértice), NO puede ser negativa, entonces 3a .

Sustituimos a=3 en 2 216 a b y nos queda:

2 2

2 2

2

16 3

16 9 16 9

7

7

b

b b

b

b

finalmente, sustituyendo en nuestra ecuación:

2 2

2 2

1 21

3 7

x y (forma canónica)

desarrollando los cuadrados

2 22 1 4 41

9 7

x x y y

convirtiendo a 63-avos

6

3

2

3

6

27 9 7 9

7 9

2 1 4 4 1

9 7 1 7 9

x x y y

Recuerda:

si a c a c

a d c bb d b d

la pasamos a la derecha para que sea positiva.

16 –9

16–9=7

Recuerda:

2 2 2

2 2 22

a b a b

a b a ab b

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2 2

2 2

2 2

7 2 1 9 4 4 63

7 14 7 9 36 36 63

7 9 14 36 92 0

x x y y

x x y y

x y x y

Sólo para comprobar, un vértice que tiene coordenadas 4,2V , del centro a la

derecha hay 3 ( 3a ) unidades 1,2 1 3 ,2 4,2a

C V . Si lo sustituimos en

nuestra ecuación veremos que efectivamente la satisface:

2 2

7 4 9 2 14 4 36 2 92 0

112 36 56 72 92 0

0 0

Ejercicios.- Encontrar la ecuación de la hipérbola con las siguientes características

a) 0,3 , ' 0, 3 , 0,4 , ' 0, 4V V F F

b) 4,0 , ' 4,0 , 5,0 , ' 5,0V V F F

c) 52

6,2 , ' 6,2 ,V V e

d) 252

3, 4 , ' 3, 4 ,F F LR

2. DADA LA ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA, ENCONTRAR TODOS SUS ELEMENTOS Y GRAFICARLA

Bueno, esto y lo hemos hecho con la elipse, y ahora con la hipérbola es exactamente lo mismo, comencemos con un ejemplo:

Ejemplo 1.- Encontrar todos los elementos y graficar la hipérbola cuya ecuación es: 2 24 9 8 54 113 0y x y x

Como ya sabemos, hay que completar 2 trinomios cuadrados perfectos (lo hicimos en circunferencia y en elipse), pero no hay que olvidar que para poder completar un T.C.P.’s el coeficiente del término cuadrático debe ser uno.

2 24 9 8 54 113 0y x y x

separamos los términos con x’s y con y’s

2 24 8 ___ 9 54 ___ 113y y x x estos espacios son para completarlos T.C.P.’s que todavía no podemos

factorizando por separado

2 24 2 ___ 9 6 ___ 113y y x x

(forma general)

Tiene varios términos, lo que nos indica que es una hipérbola con centro en C(h, k) y no una con centro en C(0,0)

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ahora completando trinomios cuadrados perfectos

2 24 2 1 9 6 9 113 4 81y y x x

observa que aunque se metió un uno y un nueve, están dentro del paréntesis

afectados por el 4 y -9 respectivamente.

2 2

4 1 9 3 36y x

observa las ecuaciones de hipérbolas en tu formulario y estarás de acuerdo que del lado derecho siempre hay un uno, por tanto, dividiendo nuestra ecuación por 36

2 2

4 1 9 3 36

36 36 36

y x

2 2

1 31

9 4

y x

La ecuación corresponde (ve tu formulario) a una hipérbola vertical con centro C(–3, –1), además siempre la ecuación empieza en los denominadores con a2, es decir:

2 9

3

a

a

2 4

2

b

b

Si encontramos a c tenemos:

2 2 2

2 22

2

2

3 2

9 4

13

13 3.6

c a b

c

c

c

c

Ahora localicemos el centro C(–3,–1) y tracemos un rectángulo centrado en dicho punto. De alto 2 6a y largo 2 4b

La ecuación empieza con y

k = –1 h = –3

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si calculamos el lado recto:

22 2 22 8

3 3

bLR

a , entonces en los focos 3, 1 3 y

3, 1 3 se traza el lado recto con 43 a la izquierda y 4

3 a la derecha para que en

total mida 83

para arriba un foco

x = –3 1 13y 3, 2V

3

3

C(–3,–1) 2 2

4 ' 3, 4V para abajo otro foco

x = –3 1 13y

6

13

13

Observación: si la hipérbola es horizontal vertical

largo 2a

alto 2b

largo 2b

alto 2a

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Las ecuaciones de las asíntotas son:

3, 1 y 5,2

2 1 3

5 3 2m

31 3

2

2 1 3 3

2 2 3 9

3 2 11 0

y x

y x

y x

x y

3, 1 y 1,2

2 1 3

1 3 2m

31 3

2

2 1 3 3

2 2 3 9

0 3 2 7

y x

y x

y x

x y

Ejercicios.- Encontrar todos los elementos de la hipérbola y graficarla si su ecuación es:

a) 2 24 5 20 0x y

b) 2 24 9 144 0x y

c) 2 29 16 36 32 124 0x y x y

d) 2 26 5 12 30 9 0x y x y

13

3

ce

a 5, 2 1, 2

3, 1 3F

3, 1C

43 Asíntota que pasa por 3, 1 y 5, 2

Asíntota que pasa por

3, 1 y 1, 2

' 3, 1 3F

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