- 1 -

학습

수열 수 산 뜻 알고 를 별할 수 다1. , , .

수열 극한에 한 본 질 해하고 를 하여 극한값 할 수 다2. , .

등비수열 극한값 할 수 다3. .

수 수 산 뜻 알고 를 별할 수 다4. , , .

등비 수 뜻 알고 그 합 할 수 다5. , .

등비 수를 활 하여 여러 가지 제를 해결할 수 다.

수열의 한

Ⅰ

정답의 길로, 다비오 수학

- 2 -

수열의 수렴과 발산1.

∙수열 수 산 뜻 알고 를 별할 수 다, , .

수열 수 란 엇1) ?

수열 산 란 었2) ?

한값의 계산2.

∙수열 극한에 한 본 질 해하고 를 하여 극한값 할 수 다, .

수열 극한에 한 본 질 엇1) ?

여러 가지 수열 극한값 어떻게 할2) ?

수열 극한값 를 비 할 수3) ?

등비수열의 한3.

∙등비수열 극한값 할 수 다.

등비수열 극한값 어떻게 할1) ?

1수열 극한수열의 수렴과 발산 한값의 계산 등비수열의 한1. 2. 3.ㅣ ㅣ

정답의 길로, 다비오 수학

- 3 -

1 수열의 수렴과 발산• 수열의 수렴 발산의 뜻을 알고 이를 판별할 수 있다, , .

수열 수 란 엇1) ?

수열 산 란 었2) ?

수열의 수렴이란 무엇일까1. ?

수열 에 한없 커질 항, 값 정한 값에 가 워지는 경우를 그

래프를 통하여 알아보 다 과 같 수열.

: ,

, , , ⋯ ,

, ⋯

: ,

,

,

, ⋯ ,

, ⋯

에 한없 커질 항 값 변하는 것 그래프 나타내 다 과 같다, .

그래프에 한없 커질 수열, 항

값 에 한없

가 워지고 수열, 항

값 양 호를 가지,

에 한없 가 워진다 여. 한없 커지는 것 호 ∞를 사 하여

→ ∞ 나타내고, ∞는 무한대라고 는다. ∞는 한없 커진다는 것 나타내는 호

수가 아니다 적 수열. 에 한없 커질 항, 값 정

한 값 에 한없 가 워지 수열 에 수렴한다고 한다. 를 수열

한값 는 한 라 하고 것 호, lim → ∞

는 → ∞ , → 같

나타낸다 를 들어. lim → ∞

, lim

→ ∞

다.특히 수열, 에 든 연수 에 하여 (는 상수)

수열, 에 수 한다. , lim → ∞

lim → ∞

다.

정답의 길로, 다비오 수학

- 4 -

수열의 발산이란 무엇일까2. ?

수열 에 한없 커질 항, 값 수 하지 않는 경우를 그래프를 통

하여 알아보 다 과 같 수열.

: , , , , ⋯ , , ⋯

: , , , , ⋯ , , ⋯

에 한없 커질 항 값 변하는 것 그래프 나타내 다 과 같다, .

그래프에 한없 커질 수열, 항 값도 한없 커지고 수열,

항 값 수 그 절 값 한없 커지므 수열

수 하지 않는다 같 어 수열 수 하지 않 그 수열. , 발산한다고 한

다 적 수열. 에 한없 커질 항, 값도 한없 커지 수열

양 한 산한다고 하 것 호, lim → ∞

∞ 는 → ∞ ,

→ ∞ 같 나타낸다 수열. , 에 한없 커질 항, 값

수 그 절 값 한없 커지 수열 한 산한다고 하 것,

호 lim → ∞

∞ 는 → ∞ , → ∞ 같 나타낸다.

를 들어 lim → ∞

∞ , lim → ∞

∞ 다.

한편 수열, 에 한없 커질 항, 값 수 하지도 않고 양 한,

는 한 산하지도 않는 경우가 다. 를 들어

수열 : , , , , ⋯ , , ⋯에 한없

커질 항 값 변하는 것 그래프 나타내 른,

쪽 그림과 같다 그래프에. 한없 커질 수열,

항 값 수 하지도 않고 양 한,

는 한 산하지도 않는다 같 진동하는.

수열 에는 산하는 수열 다.

수열※ 과 같은 수열을 동한다고 한다.

정답의 길로, 다비오 수학

- 5 -

적 수열 수 과 산 정리하 다 과 같다.

수열 의 수렴 발산,

① 수 lim → ∞

(는 정한 값)

② 산

lim → ∞

∞ 양의 무한대로 발산

lim → ∞

∞ 음의 무한대로 발산

진동하면 발산

2 한값의 계산• 수열의 한에 대한 기본 성 을 이해하고 이를 이용하여 한값을 할 수 있다, .

수열 극한에 한 본 질 엇1) ?

여러 가지 수열 극한값 어떻게 할2) ?

수열 극한값 를 비 할 수3) ?

1.수열의 한에 대한 기본 성 은 무엇일까?

수 하는 수열 극한에 한 본 질 알아보 다 과 같 수열.

: , ,

,

, ⋯ ,

, ⋯

: , , ,

, ⋯ ,

, ⋯

극한값 각각 다 과 같다. lim → ∞

lim → ∞

, lim

→ ∞ lim

→ ∞

수열 각 항 수열 각 항 한 것 므 알 수 다.

라 다 립한다. lim → ∞

lim → ∞

수열, , 각 항끼리 곱한 수열

항

×

고 를 그래프,

나타내 른쪽 그림과 같다.

lim → ∞

lim → ∞

알 수 다.

라 다 립한다.

lim → ∞

lim → ∞

× lim → ∞

적 수 하는 수열에 각 항 합 차 실수 곱 몫 항 가지는 수열, , , ,

극한에 하여 다 과 같 질 립한다.

정답의 길로, 다비오 수학

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수열의 한에 대한 기본 성

수 하는 수열 , 에 하여 lim → ∞

, lim → ∞

( , 는실수) ,

① lim → ∞

lim → ∞

lim → ∞

② lim → ∞

lim → ∞

lim → ∞

③ lim → ∞

lim → ∞

단( , 는 상수)

④ lim → ∞

lim → ∞

⋅ lim → ∞

⑤ lim → ∞

lim → ∞

lim → ∞

단( , ≠, ≠)

주의 수열의 한에 대한 기본 성 은 수렴하는 수열에 대하여 성립한다.

●보기 ⑴ lim → ∞

lim

→ ∞ lim

→ ∞

lim

→ ∞

⋅

⑵ lim → ∞ lim → ∞

⋅

lim → ∞

⋅ lim → ∞

⋅

⑶ lim → ∞

lim → ∞

lim → ∞

lim → ∞

lim → ∞

lim → ∞

lim → ∞

여러 가 수열의 한값은 어떻게 할까2. ?

복 한 수열 저 간단한 수열 합 차 곱 몫 변형한 다 수열 극한에 한, , , ,

본 질 하여 그 극한값 할 수 다.

※ ∞

∞꼴의 한은 분모에서 차수가 가장 높은 항으로 분자 분모를 각각 나눈다, .

※ 일반적으로 ∞∞ 꼴의 한에서 ∞는 수가 아니므로 ∞∞ 이라고 할 수 없다.

학 수학[ ]

≠일 때,

그럼 양 한 는 한 산하는 수열 극한에 하여 알아보^^ .

를 들어, lim → ∞

과 lim

→ ∞

를 살펴보 .

정답의 길로, 다비오 수학

- 7 -

lim → ∞

에 고차항 를 각각 나누,

lim → ∞

lim → ∞

그런 → ∞ ,

→ ∞ ,

→ 므

lim → ∞

∞ 라 주어진 수열 양 한 산한다.

lim → ∞

에 lim → ∞

lim → ∞

그런 → ∞ , →∞ ,

→ 므 lim

→ ∞

∞

라 주어진 수열 한 산한다.

※ lim→∞ (는상수), lim

→∞∞일 때, lim

→∞ ∞ 임이 알려져 있다.

※ lim→∞ ＜, lim

→∞∞일 때, lim

→∞∞ 임이 알려져 있다.

여러 가 수열의 한값은 어떻게 할까2. ?

적 수 하는 수열 극한값에 하여 다 과 같 계가 립한다.

수열의 한값의 대소 계

수 하는 수열 , 에 하여 lim → ∞

, lim → ∞

( , 는실수) ,

① 든 연수 에 하여 ≤ ≤ 다.

② 수열 든 연수 에 하여 ≤ ≤ 만족시키고

수열 수 하고 lim → ∞

다.

예를 들어 ,

,

일 때, ＜＜이 만 lim

→ ∞ lim

→ ∞ 이고,

lim → ∞

이다 수열의 한값의 대소 계는 모든 자연수. , 에 대하여 ＜이 만

lim → ∞

lim → ∞

인 경우가 있다.

또, ＜＜이 만 lim → ∞

lim → ∞

(는 실수 이면) lim → ∞

인 경우가 있다.

⋆ 부등식에 등호가 없더라도 lim가 붙으면 등호가 생긴다.

정답의 길로, 다비오 수학

- 8 -

개념 확장하기

⑴ ∞

∞꼴 : 고차항 는 고큰 수 를 나눈다( ) .

① 차수 차수 ⇒ □

□⇒ 고차항 계수끼리 비

⇒ 아닌 어 상수 수

② 차수 차수 ⇒ □

▫⇒ 한 수( )

③ 차수 차수 ⇒ ▫

□⇒ ∞ 는 ∞ 산

( ) lim→∞

lim→∞

lim

→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞

∞

lim→∞

lim→∞

∞

지수함수 극한 지수에 만 남 다 다항함수 극한처럼 한다: . .⇒∎

( ) ⇒ ⇒ ⋅

⇒

⋅

∎ ∞×

꼴 극한값 ⇒ ∞

∞꼴 변형

( ) lim→∞⋅

lim→∞

, lim

→∞

lim→∞

∞

⑵ ∞∞ 꼴 극한 : 가 는 경우 없는 경우 나누어 생각한다.

① 가 는 경우 : 는 쪽 리화 한다.

② 가 없는 경우 고차항 는 고 큰 수 는다 산한다: ( ) . .⇒

( ) lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim

→∞ ∞

정답의 길로, 다비오 수학

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수학확 경[ ]

래프를 이용한 수열의 한

다 과 같 정 수열 극한 그래프를 하여 알아보 .

수열 ,

⋯

정 직,

에 를 하여

에 치를 찾고 직, 를 하여

에 치를 찾는다 같. 에

, , , ⋯ 치를 차 찾아보

＞＞＞＞⋯＞＞⋯＞

를 만족시키고, 에 한없 가 워짐 알 수 다.

라 수열 직

, 점 좌 에 수 한다.

적 (, 는 실수, ≠ 꼴 정 는 수열) 극한 직

, 를 하여 다 과 같 조사할 수 다.

➊ ＜＜일 때 수열, 은 수렴하고,

한값은 두 선의 점의 좌표인

➋ ＞일 때, ≠이면 수열 은 발산

한다.

정답의 길로, 다비오 수학

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3 등비수열의 한• 등비수열의 한값을 할 수 있다.

등비수열 극한값 어떻게 할1) ?

1.등비수열의 한값은 어떻게 할까?

등비수열 ,

에 하여 한없 커질 항 값 변, 하는 것 그래프

나타내 수열 산하고 수열,

수 함 알 수 다.

제 등비수열 수 산 공비, 값에 라 알아보 .

① ＞ ,

＞ 등식 ≥ 가 립한다.

lim → ∞

∞ 므 lim → ∞

∞ 다.

※ ＞일 때 모든 자연수, 에 대하여 부등식 ≥ 가 성립함을 수학적 납법으로 명할

수 있다

② ,

든 연수 에 하여 므 다 립한다. lim → ∞

lim → ∞

③ ＜＜ ,

( )ⅰ 든 연수 에 하여 므 lim → ∞

다.

( )ⅱ ≠ ＞ 므 에 하여① lim

→ ∞

lim → ∞

∞ 다.

라 lim → ∞

, lim → ∞

다.

※ ＜＜, ≠이면 ＜ ＜이므로 ＞이다.

④ ≤ ,

( )ⅰ 수열 , , , , ⋯ 므 진동하 산한다.

( )ⅱ ＜ ＞ 므 에 하여① lim → ∞

lim → ∞

∞ 고,

수열 각 항 호가 변하므 진동하 산한다.

상 정리하 다 과 같다.

정답의 길로, 다비오 수학

- 11 -

등비수열 의 수렴 발산,

① ＞ , lim → ∞

∞ 산( )

② , lim → ∞

수( )

③ ＜＜ , lim → ∞

수( )

④ ≤ 수열, 진동하 산한다 산. ( )

참고) ＜≤ 일 때 등비수열, 은 수렴한다.

정답의 길로, 다비오 수학

- 12 -

실전 개념 다 기 수열의 한( )• 고난도 기출문제를 통해 통합적 사고력을 기르고 개념을 확고히 다 다.

01.

수열 에 하여 보 에 항상 것만 는 고른 것< > ?

보< >

수열.ㄱ 산하 수열 산한다.

수열.ㄴ , 수 하 수열 ,

도 수 한다.

수열.ㄷ , 수 하 수열 , 적어도 하나는 수 한다.

① ㄱ ② ㄷ , ,③ ㄱ ㄴ ④ ㄴ ㄷ , ,⑤ ㄱ ㄴ ㄷ

02.

수열 첫째항 제항 지 합 라 할 보 수열 수 하는 것만, < >

는 고른 것 ?

보 기< >

.ㄱ

.ㄴ

.ㄷ ⋯

① ㄴ ② ㄷ , , ,③ ㄱ ㄴ ④ ㄱ ㄷ ⑤ ㄴ ㄷ

정답의 길로, 다비오 수학

- 13 -

03.

좌 평 점 ( ⋯ 다 규칙 만족시킨다) .

가( ) 점 좌 는 다.

나( )

다( ) 점 는 점 지나고 직 에 수직 직 점 가

점 다.

수열 , 고, ( ⋯ ) ,

lim→∞ 값 ?

①

②

③

④ ⑤

정답의 길로, 다비오 수학

- 14 -

04.

연수 에 하여 곡 점 심 하고 에 접하는 원 라

하 원점 지나고 원. 에 접하는 직 에 아닌 직 울 를 라 할 ,

lim→∞

값 ?

①

②

③ ④

⑤

정답의 길로, 다비오 수학

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05.

그림과 같 ∠ 직각 등변삼각형 다. 에 꼭짓점 고 각,

를 낀 변에 꼭짓점 , 는 직사각형 도 그린

다. 에 꼭짓점 가 고 각, 를 낀 변에 꼭짓점 , 가 는 직사각형

를 가 도 그린다 같. 에 꼭짓점

고 각, 를 낀 변에 꼭짓점 , 는 직사각형

도 그린다. 를 라 할 , lim→∞

값 단 점? ( ,

에 다.)

①

②

③

④

⑤

정답의 길로, 다비오 수학

- 16 -

06.

좌 평 에 연수 에 하여 직

만나는 점 직, 과 만

나는 점 라 하 삼각형. 에 내접하는 원 심 라 하고 삼각형,

를 라 하 . lim→∞

값 ?

①

②

③

④

⑤

정답의 길로, 다비오 수학

- 17 -

07.

그림과 같 한 변 가 정사각형 한 변 가 정사각형 는 변 평

행하고, 각 점과 각 점 치하도 여 다. 내 에

내 를 제 한 역 라 하 . 상 연수 에 하여 한 변 가

정사각형 다 규칙에 라 에 그린다.

가( ) 정사각형 한 변 한 변에 평행하다.

나 정사각형들 내 는 겹치지 않도 한다( ) .

같 규칙에 라 에 그릴 수 는 한 변 가

정사각형 개수를

라 하 를 들어. , , 다.

lim→∞

라 할 , 값 하시 .

08.

다 조건 만족시키는 든 정수 값 합 하시 .

가( ) lim→∞

수 한다.

나( ) lim→∞