선형대수학의 개요 Introduction to Linear Algebra

Keon M. Lee

선형대수학

선형대수학 학습의 필요성

선형대수학의 응용사례

선형대수학

선형 대수학 (linear algebra, 線型 代數學) 벡터공간(vector space), 벡터공간 사이의 선형 변환(linear mapping)을 다루는 수학 분야

– 행렬, 벡터, 선형결합, 행렬연산, 행렬식(determinant), 역행렬, 벡터 공간, 부공간(subspace), 대칭행렬, 기저(basis)벡터, 좌표계, 계수(rank), 선형변환, 직교변환, 좌표계 변환, 행렬분해, 이차형식

선형대수학(線型 代數學)

선형 방정식 (linear equation) 변수(미지수)간의 관계가 1차방정식으로 표현

선형 변환 (linear mapping, linear transformation)

벡터공간 간의 변환이 선형 방정식으로 표현

선형대수학

행렬 行列 matrix /matrices 수, 기호, 수식을 행(row)과 열(column)이 있는 사각형 배열에 나타낸 것

row (행)

column (열)

column vector 열벡터

row vector 행벡터

선형대수학 학습의 필요성

데이터 표현 많은 데이터가 행렬을 통해 자연스럽게 표현 정형 데이터, 비정형 데이터

데이터 변환

다른 벡터 공간을 사용한 데이터 표현 좌표계 변환 코딩 변환 차원변환 : 차원축소

데이터처리

분석정보 획득 특징추출 - 행렬 분해

수학적 기술의 편의성

명확하고 간결한 표현

선형대수학의 응용

정형화된 데이터 표현 행렬 표현 및 행렬 연산

• 데이터의 표현 및 필요정보 추출

선형대수학의 응용

통계학적 데이터의 표현 및 분석 통계학적 이론 전개의 기초

선형대수학의 응용

이미지 처리(image processing) 이미지 자체가 2차원 행렬로 표현 다양한 이미지처리 작업이 행렬에 대한 처리

Image source: http://www.mathworks.co.kr/kr/help/images/image-types-in-the-toolbox.html

선형대수학의 응용

문서 데이터 표현 비정형 데이터의 행렬 표현

Image source: http://mlg.postech.ac.kr/research/nmf.html

documents term-document matrix

선형대수학의 응용

그래프 데이터의 표현

Königsberg 다리

인접행렬

선형대수학의 응용

네트워크 데이터 표현 소셜 네트워크(social network)

Image source: http://www.smartinsights.com/social-media-marketing/social-media-analytics/reporting-on-social-media-marketing-effectiveness/attachment/nt-social-network-big/

선형대수학의 응용

네트워크 데이터 표현 웹페이지의 중요도 : PageRank

http://en.wikipedia.org/wiki/PageRank

선형대수학의 응용

컴퓨터 그래픽의 모델 변환 데이터에 의한 물체의 모델을 통해 이미지 생성 모델의 변환

Image source: http://www.vrarchitect.net/anu/cg/Transformation/translations.en.html

선형대수학의 응용

좌표계 변환 컴퓨터 그래픽스에서 카메라 위치 및 방향 변환

선형대수학의 응용

로보틱스 (robotics) 운동학(Kinematics)

Puma 560

선형대수학의 응용

데이터 변환 : 코딩 (coding) Fourier 변환

• 시간 또는 공간 데이터를 주파수 공간에 표현 • 벡터공간의 선형변환 : 기저(basis) 변환 • 함수 f(x)를 eiwx를 기저로 하는 벡터공간에서 표현

선형대수학의 응용

차원축소(Dimensionality reduction) 고차원의 데이터를 저차원으로 변환하는 것

Image source : http://www.nlpca.org/fig_pca_principal_component_analysis.png

선형대수학의 응용

공학적 연산의 효과적 표현 Kalman Filter : 동적으로 변하는 시스템의 상태를 확률적으로 추정하는 기법

선형대수학의 응용

연립방정식

선형계획법(linear programming)

주어진 선형 조건들을 만족시키면서 선형인 목적 함수를 최적화하는 문제 스케줄링(scheduling), 물류계획(logistics) 문제

Image source: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24816-plotfeasible-m

선형대수학의 응용

네트워크의 흐름 분석

전기회로 분석

Image source: 선형대수학, 김대수

선형대수학의 응용

경제학 경제 수리 모델 : Leontief 입출력 모델

• 경제에서 생산량, 중간 수요량, 최종 수요량의 관계 모델

Summary

선형대수학은 벡터공간(vector space), 벡터공간 사이의 선형 변환(linear mapping)을 다루는 학문이다.

선형대수학은 데이터의 표현, 분석 및 변환에서 많이 활용되고 있으며, 수학적 기술의 편리함 때문에 많이 사용되고 있다.

선형대수학적 기법은 많은 공학, 과학 분야의 기반 도구로 활용되고 있다.