隨機匯率下供應鏈的評價：實質選擇權分析法

Valuation of a supply chain under stochastic exchange rate:

A real options approach

王偉弘

Wei-Hong Wang

國立政治大學金融學系博士

Ph.D. of Department of Money and Banking, National Chengchi University

作者王偉弘，國立政治大學金融學系博士，為本文之通訊作者與發表人，22069 新北市板橋區三

民路二段 21 巷 93號 1 樓，電話：886-2-29621401；886-930823436；E-mail:g1352507@nccu.edu.tw。

1

隨機匯率下供應鏈的評價：實質選擇權分析法

王偉弘

國立政治大學金融學系博士

摘 要

匯率對跨國的供應鏈價值有決定性的影響。近年來，在供應鏈興起的趨勢

下，能否精確評價供應鏈的議題顯得越來越重要，雖然已經有探討供應鏈評價方

面的文獻，然而，有關於隨機匯率與供應鏈評價關係的相關文章卻付之闕如。本

研究的目的即在建立一個垂直整合式之二階序列式動態供應鏈模型，評價在隨機

匯率下，於最適決策之供應鏈的價值。本文有別於以淨現值法與間斷時間型態之

實質選擇權分析法評價供應鏈的方式，而採用連續時間型態之實質選擇權分析法

評價之。研究結果除了導出隨機匯率下供應鏈價值的封閉解外，亦得到了以外幣

計價之現貨價格和匯率的相關係數與最適決策下之供應鏈價值為正向相關的重

要結論。該結論讓我們深刻體認到，經營者面對以外國市場為消費客群的專案

時，必須同時考慮匯率和以外幣計價之現貨價格的連動程度，才能做出更有利於

供應鏈利益的決定。

關鍵詞：隨機匯率、供應鏈、實質選擇權、門檻值。

2

Valuation of a supply chain under stochastic exchange rate:

A real options approach

Wei-Hong Wang

Department of Money and Banking, National Chengchi University

Abstract

Exchange rate is an important factor for the value of a transnational supply chain.

In recent years, it has been more important to evaluate the value of a supply chain

actually in the developed tendency. However, there is a little literature which has

documented the link between stochastic exchange rate and pricing of a supply chain.

Therefore, the aim of this study construct a two echelon vertically sequential dynamic

supply chain model to evaluate the value of a supply chain in the optimal decision.

This research involved a real options approach in continuous time, and was different

from the net present value method and a real options approach in discrete time.

Results of this study derived the closed form of the value of a supply chain, and

obtained a positively correlated result between the value of a supply chain in the

optimal policy and the coefficient of the foreign spot price and exchange rate.

Managers consider the change between the foreign spot price and exchange rate, and

decided better strategies for a supply chain when they held a project in the foreign

market.

Keywords: stochastic exchange rate, supply chain, real option, threshold.

3

壹、前言

一、研究動機與目的

近年來，因電腦軟硬體的成熟與網際網路的興起，帶動了訊息傳播的速度，

消費市場在訊息充份的情況下，需求的轉變越來越快速。在此市場環境下，企業

為了發展，除了追求本身的內部成長外，亦嘗試以各種方式，追求外部成長以提

高競爭力。也因此，如策略聯盟、集團化經營、購併、供應鏈的組成等各種型態

的公司合作便如火如荼地展開。

將多個公司整合以截長補短，提高競爭優勢的供應鏈策略是近年集團經營的

方針。在現今國際化潮流的趨勢下，跨國型供應鏈幾乎成為企業集團開疆闢土以

獲取利潤的企業經營模式，當供應鏈發展成跨國型的供應鏈時，因為兩國之間幣

別的差異，就必須考慮到匯率對利潤的影響。當企業的經營牽涉到匯率時，對於

供應鏈所持有之隱含匯率的跨國性專案，如何精確地評價，以決定是否執行之，

就變得非常重要了。這也就是為何要撰寫本文的研究動機。

二、文獻探討

評估企業專案是否可行的方法，傳統上，以折現現金流量法(Discount Cash

Flow，簡稱 DCF法)最為常用。然而，該方法只能以未來所預估之現金流量來評

估，卻忽略了眾多影響專案價值的因素，如投資時機的選擇性、投資因素的不確

定性、設廠的不可逆性等等。也因此，改進折現現金流量法的實質選擇權分析法，

就被越來越多的企業採用。在文獻上，McDonald and Siegel (1985)就曾評價能改

變生產力或能停止生產之投資專案；Hodder and Triantis (1993)針對能選擇操作狀

態、可彈性決策的專案進行評價；Cortazar and Schwartz (1993)針對兩階段生產模

式之公司價值進行評價。近年來，供應鏈的興起與實質選擇權分析法的盛行，使

得在供應鏈所持有之專案價值的評價與實質選擇權之間，有越來越多的文獻進行

研究。如：Nembhard et al. (2005)就以實質選擇權分析法對在隨機匯率情況下，

4

具有彈性經營決策之供應鏈價值評價，並以蒙地卡羅法進行數值分析。Birge

(2007)則以間斷時間型態之實質選擇權方法評價供應鏈的投資專案價值。深入了

解以上以實質選擇權方法評價供應鏈價值的文獻後，我們發現，這些文獻多以間

斷時間型態之實質選擇權方法去評價供應鏈價值，因此，本文有別於傳統文獻，

嘗試以無窮期連續時間型態之實質選擇權方法，在隨機現貨價格與隨機匯率的假

設下，架構一個由單一供應商、單一零售商組成之集團與多個消費者組成之跨國

型垂直整合式的二階序列式動態供應鏈模型，以供應商商品的製造量與零售商商

品的銷售量為決策，於最適決策下，導出跨國型供應鏈價值的封閉解，並就市場

的無風險利率、現貨價格報酬率的波動度、匯率的波動度與現貨價格和匯率之間

的相關係數對零售商商品銷售價格的門檻值以及供應鏈價值之影響所產生的現

象進行敏感度分析。

後續架構安排如下：第二節為架構供應鏈模型；第三節為跨國型供應鏈價值

於最適決策下的封閉解；第四節為對最適決策下跨國型供應鏈價值及零售商產品

銷售價門檻值的比較靜態分析；文末為結論。

貳、模型架構

一、符號說明

我們先定義本模型之一些符號的意義。

於時點 t， 0t 時：

f

tS =以外幣計價之每單位商品的價格，也就是以外幣計價的現貨價格。

d

tS =以本國貨幣計價之每單位商品的價格，也就是以本國貨幣計價的現貨價格。

,s tS =供應商每單位商品的出貨價，該出貨價為以本國貨幣計價的出貨價。

,r tS =零售商每單位商品的銷售價，該銷售價為以本國貨幣計價的銷售價。

tX =以本國貨幣計價之每單位外幣的價格，也就是以本國貨幣計價之匯率。

5

,s tQ =供應商商品的產量。

sQ =供應商商品的最大產量， ,0 s t sQ Q 。

,r tQ =零售商商品的銷售量。

rQ =零售商商品的最大銷售量， ,0 r t r sQ Q Q 。

,s tA =供應商生產每單位商品的成本。當商品於時點 t 的製造量為 ,s tQ 時，供應商

每單位商品的製造成本為 , ,( )s t s tA Q 。

,r tA =零售商每單位商品的進貨成本。當零售商於時點 t 的進貨量為 ,r tQ 時，零售

商每單位商品的進貨成本為 , ,( )r t r tA Q 。

tI =零售商商品的庫存量； , ,t s t r tI Q Q 。

( )d

tP S =零售商所持有之每單位存貨、並以本國貨幣計價的存貨價值。

dr =本國的無風險利率， dr 為常數， 0dr 。

fr =外國的無風險利率， fr 為常數， 0fr 。

二、假設條件

該模型的基本假設如下：

假設(1)：

假設供應鏈所面對的市場，皆為完全競爭的消費市場。

假設(2)：

假設於時點 t， 0t ，以本國貨幣計價之匯率的動態過程如下：(Musiela and

Rutkowski (2004))

Xtd f X t

t

dXr r dt dW

X ， (1)

6

其中： d fr r 為匯率的期望成長率； X 為匯率的標準差； X

tW 為在風險中立

機率測度 P 之下的標準布朗運動。

另外，根據Musiela and Rutkowski (2004)，我們可以假設於時點 t， 0t ，

以外幣計價之現貨價格的動態過程如下：

*f

tf S X f X X tf

t

dSr c dt dW

S ， (2)

其中： f fX f Xr c 為以外幣計價之每單位現貨價格報酬率的期望成長

率，c為便利性收益率(convenience yield)； f 為以外幣計價之每單位

現貨價格報酬率的標準差； fX 為以外幣計價之每單位現貨價格與匯

率的相關係數， 1 1fX ； *

tW 為在風險中立機率測度 Q之下的標

準布朗運動。

藉由(1)式和(2)式，我們可以得到以本國貨幣計價之現貨價格的動態過程如

下：

2 2 2d

td f X fX f X td

t

dSr c dt dW

S ， (3)

其中： dr c 為以本國貨幣計價之每單位現貨價格報酬率的期望成長率；

2 2 2f X fX f X 為以本國貨幣計價之每單位現貨價格報酬率的

標準差； tW 為在風險中立機率測度 R 之下的標準布朗運動。

若供應商商品的生產技術滿足規模報酬不變的性質，無論供應商生產多少商

品，我們都可將供應商商品的製造總成本平均，將每單位商品的製造成本以平均

成本看待；而零售商商品的進貨總成本平均後，每單位商品的進貨成本亦可以平

均成本看待。因此，供應商每單位商品的製造成本與零售商每單位商品的進貨成

本可以假設如下：

假設(3)：

假設供應商每單位商品的製造成本與零售商每單位產品的進貨成本為常

7

數，表示如下：

, ,( )s t s s t sA A Q A ， (4)

, , ,( )r t r t r t rA A Q A 。 (5)

三、聯合利潤

供應鏈的聯合利潤(joint profit flow)是由供應商出貨給零售商的利潤、零售商

的銷售利潤與存貨的總價值組成，令 , ,( , , )d

t t s t r tS Q Q 為供應鏈於時點 t、 0t ，以

本國貨幣計價的聯合利潤，則：

, , , , , , ,( , , ) ( ) ( )d d d

t t s t r t s t s t s r t t r s t r t tS Q Q Q S A Q S A Q Q P S 。 (6)

零售商對商品有權利決定庫存或銷售，因此，持有一單位的存貨如同持有一

個美式買權，可在適當時機將存貨出清以獲得存貨售出後的報酬，所以每單位的

存貨價值可經由美式買權價值的概念計算而得。根據 Ingersoll(1987, p.375)，可

得 ( )d

tP S 為：

1

( ) , ( )

,

dd

dtr r t rd

t r

d d

t r t r

SS A S S

P S S

S A S S

當 時

當 時

(7)

其中：

12 2

1 1 22 2 2

21 11

2 2

d d dr c r c rd

，

12 2

2 1 22 2 2

21 10

2 2

d d dr c r c rd

，

1 2

1

2

dr c

，

12

2

2 1 2

2 dr

， 2 2 2 2f X fX f X 。

顯然地，(7)式告訴我們

1

1

dd

t

r

S

S

，所以

1

( )

dd

dtr r t r

r

SS A S A

S

。

8

四、供應商每單位商品銷售價的門檻值

假設供應商與零售商簽訂供貨合約，合約中言明供應商提供給零售商每單

位商品的供貨價，除非供應商與零售商議定再修合約，否則，此供貨價是固定不

變的，也不會因為市場現貨價格的變動而受到影響。所以，供應商銷售給零售商

每單位商品銷售的門檻值可訂為 s rS A 。

五、零售商每單位商品銷售價的門檻值

對零售商而言，當零售商持有存貨時，零售商將存貨出清的最低銷售價格就

是零售商商品銷售價的門檻值，因此，零售商每單位商品銷售價的門檻值為

1

1 1r r

dS A

d

。

因為供應商將商品出貨給零售商的出貨價格對零售商而言是進貨成本，所

以，當供應商商品出貨價格為出貨價格的門檻值時，此門檻值亦為零售商的進貨

成本，而零售商每單位商品的銷售價格不能低於其進貨成本才不會虧損，故在合

理的情況下， s rS S 。

六、最適決策下供應鏈的價值

令 F 為供應鏈在最適決策下，以本國貨幣計價的價值， ( )d

tF F S 。供應鏈

在時點 t 的價值為未來各個時點之現金流量折現至 t 時點後加總而得。所以：

1, 2,

( )

, ,,

max ( , , ) d

t t

r u td

t u u s u r uQ Q t

F S Q Q e du u t

， 。

此處之 t 為在 t 期訊息下的條件期望值。

由於在 ,t t dt 期間，供應鏈價值的總報酬為在風險中立環境下的總報酬，

因此，供應鏈於時點 t，經過 dt時間之總報酬為無風險報酬 rFdt，又在dt時段內，

9

供應鏈的價值為 t 時點的現金流量 , ,( , , )d

t t s t r tS Q Q 與預期之供應鏈價值增值

( )t dF 之和，所以，在供應商的最適製造量為 *

sQ 與零售商的最適銷售量為 *

rQ 之

下：

* *( , , ) ( )d

d t t s r tr Fdt S Q Q dF ，

2

2 2 * * * *

2

1( )

2

d d d d

t d t d r s r t s s r td d

t t

F FS r c S r F Q Q A P S Q A Q S

S S

。(8)

將(7)式代入(8)式後，得到：

1

22 2

2

* * * *

2

22 2 *

22

1

2

( ) ,

1 ,

2

d d

t d t dd d

t t

dd

d dtr s r r r s s r t t

r

d d d d

t d t d s s t td d

t t

F FS r c S r F

S S

SQ Q A S A Q A Q S S S

S

F FS r c S r F Q A S S S

S S

當 時

當 時

。 (9)

參、最適決策下供應鏈價值的封閉解

在聯合利潤不至為負的考量下，供應商和零售商依據現貨價格與兩者售價門

檻值之間的關係決定製造量和出貨量。就供應商而言，當 d

t sS S 時，由於現貨

價格未超過供應商商品出貨價格的門檻值，因此，供應商停止生產產品。當

d

t sS S 時，供應商立即製造商品且製造最大量並出貨給零售商；就零售商而言，

當 d

t rS S 時，因為現貨價格未超過零售商商品銷售價的門檻值，所以零售商先

庫存商品以等待未來商品價格上漲到一定程度時再銷售；當 d

t rS S 時，零售商

就將產品全部出售給消費者。當 d

t sS S 時，供應商皆生產並出貨以確保零售商

無論是否銷售商品，都不致於斷貨，而有充足的貨源。因此，綜合以上所述，我

們分成以下幾種情形探討供應鏈的價值：

第一種情況：當0 d

t s rS S S 時：

10

* * 0s rQ Q 。此時供應鏈於時點 t的利潤為： * *( ; , ) 0d

t t s rS Q Q 。此時(9)式成為：

2

2 2 1 112

10

2

d d

d dd d

F FS r c S r F

S S

。

該式的通解為：

1 1 2( )d d dF S c S c S 。 (10)

第二種情況：當 d

s t rS S S 時：

*

s sQ Q ； * 0rQ 。故公司在時點 t 的利潤為：

1

* *

1 2( ; , ) ( )

dd

t s r r s r

r

SS Q Q Q S C A A

S

。此時(9)式成為：

1

22 2 2 2

22

1( )

2

dd

d d

d d s s r r rd d

r

F F SS r c S r F Q A A S C

S S S

。

該式的通解為：

1 2

2 3 4( ) d dd d dF S c S c S

12

2

2

2 2

1ln

2

dd

r s dsr r

d r

A AQ SS A S

r S

。 (11)

第三種情況：當 d

s rS S S 時：

* *

s r sQ Q Q 。此時供應鏈於時點 t 的聯合利潤為：

* * *( ; , )d d

t s r s sS Q Q Q S A 。此時(9)式成為：

2

2 2 *3 332

1

2

d d d

d d s sd d

F FS r c S r F Q A S

S S

。

該式的通解為：

2

3 6( )d

dd d ss

d

ASF S c S Q

c r

。 (12)

(10)式、(11)式和(12)的邊界條件如下：

11

1.在 0dS 時， 1F 的價值為零，即 1(0) 0F 。

2.價值對等條件(value-matching condition)：

在 d

sS S 時， 1F 和 2F 的價值相等，即 1 2( ) ( )s sF S F S ，

在 d

rS S 時， 2F 和 3F 的價值相等，即 2 3( ) ( )r rF S F S 。

3.平滑相貼條件(smooth-pasting condition)：

在 d

sS S 時，因為 1 2( ) ( )s sF S F S ，所以 1 2( ) ( )s s

d d

F S F S

S S

，

在 d

rS S 時，因為 2 3( ) ( )r rF S F S ，所以 32( )( ) rr

d d

F SF S

S S

。

4. 3( )limd

d

dS

F S

S 。

藉由以上的邊界條件，我們可以解得 1F 、 2F 和 3F 的係數如下：

1

1 122 221 2 2

2 2

1ln

21

2 2 2 2

d

s sr r r r

d dr r sr rs r

r s

d d

S SS A S A

d S d A AS SQ d Ac S S

r c r

1223 2

2

2 ln1

2

dr r rrs rr

d

S A Sd SQ d Ac S

r c

。

1

21

4 2

2 22

d

sr r

dr s rs

s

d

SS A

d A A SQc S

r

。

1

2 21 116 2 2

2 2 2

1

2 2 2 2 2

d

sr r

d dr r s rs r r r

r s

d d

SS A

d S d A A SQ d A S Ac S S

r c r

。

12

肆、敏感度分析

一、零售商商品銷售價門檻值的敏感度分析

首先，我們先就市場的無風險利率、以外幣計價之現貨價格報酬率的波動

度、匯率的波動度與以外幣計價之現貨價格和匯率之間的相關係數的變動對零售

商商品銷售價格門檻值的影響進行敏感度分析。

由圖 1到圖 3 觀察，我們發現，市場的無風險利率、以外幣計價之現貨價格

報酬率的波動度、匯率的波動度和以外幣計價之現貨價格和匯率之間的相關係數

對零售商商品銷售價格門檻值都是屬於正向相關的影響。在此值得注意的是，以

外幣計價之現貨價格和匯率之間的相關係數對零售商商品銷售價格門檻值的正

向影響，代表的是以外幣計價的現貨價格和匯率必須同向變動，即當以外幣計價

的現貨價格跌價時，匯率須同時升值，零售商商品銷售價格的門檻值才會提高。

圖 1 市場的無風險利率和以外幣計價之現貨價格和匯率之間

的相關係數對零售商商品銷售價格門檻值的影響

13

圖 2 以外幣計價之現貨價格報酬率的波動度和以外幣計價之現貨價格

和匯率之間的相關係數對零售商商品銷售價格門檻值的影響

圖 3 匯率的波動度和以外幣計價之現貨價格和匯率之間

的相關係數對零售商商品銷售價格門檻值的影響

14

二、最適決策下供應鏈價值的敏感度分析

接著，我們就市場的無風險利率、以外幣計價之現貨價格報酬率的波動度、

匯率的波動度與以外幣計價之現貨價格和匯率之間的相關係數的變動對在最適

決策下跨國型供應鏈之價值的影響進行敏感度分析。

由圖 4到圖 9 觀察，我們發現，市場的無風險利率、以外幣計價之現貨價格

報酬率的波動度、匯率的波動度和以外幣計價之現貨價格和匯率之間的相關係數

對在最適決策下跨國型供應鏈之價值的影響也是屬於正向的相關。尤其是以外幣

計價之現貨價格和匯率之間的相關係數在最適決策下跨國型供應鏈之價值的影

響，說明了以外幣計價之現貨價格和匯率兩因子對供應鏈價值的影響有著連動的

關係，當以外幣計價之現貨價格上升、匯率走貶或是以外幣計價之現貨價格跌

價、匯率升值時，在最適決策下的供應鏈價值就會提高；反之，當以外幣計價之

現貨價格下降、匯率走貶或是以外幣計價之現貨價格漲價、匯率升值時，在最適

決策下的供應鏈價值就會提高。

圖 4 市場的無風險利率和以外幣計價之現貨價格和匯率之間

的相關係數對最適決策下跨國型供應鏈價值 1F 的影響

15

圖 5 以外幣計價之現貨價格報酬率的波動度和以外幣計價之現貨價格

和匯率之間的相關係數對最適決策下跨國型供應鏈價值 1F 的影響

圖 6 匯率的波動度和以外幣計價之現貨價格和匯率之間的

相關係數對最適決策下跨國型供應鏈價值 1F 的影響

16

圖 7 市場的無風險利率和以外幣計價之現貨價格和匯率之間

的相關係數對最適決策下跨國型供應鏈價值 2F 的影響

圖 8 以外幣計價之現貨價格報酬率的波動度和以外幣計價之現貨價格

和匯率之間的相關係數對最適決策下跨國型供應鏈價值 2F 的影響

17

圖 9 匯率的波動度和以外幣計價之現貨價格和匯率之間的

相關係數對最適決策下跨國型供應鏈價值 2F 的影響

伍、結論

本文在隨機現貨價格與隨機利率的情況下，建構一個以單一供應商、單一零

售商與多個消費者組成之跨國型的垂直整合式二階序列式動態供應鏈，評價出最

適決策下跨國型供應鏈的封閉解。藉由這個封閉解，我們針對一些市場上重要的

因子，如：市場的無風險利率、以外幣計價之現貨價格報酬率的波動度、匯率的

波動度和以外幣計價之現貨價格和匯率之間的相關係數對供應鏈價值進行敏感

度分析，以觀察分析後的現象。

本文主要的結論除了得到跨國型供應鍊價值的封閉解以外，最重要的是，由

以外幣計價之現貨價格和匯率之間的相關係數對供應鏈價值的影響所觀察到的

現象，說明了以外幣計價之現貨價格和匯率兩因子對供應鏈價值的影響有著連動

的關係，供應鏈的決策者在進行決策時，不能僅憑單一因子的變動作為決策的依

據，必須同時考量以外幣計價的現貨價格和匯率的走向，才會做出適當的決策

18

參考文獻

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Cortazar, G. and E. S. Schwartz, 1993, ‘‘A Compound Option Model of Production

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and Littlefield.

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