교육학석사학위청구논문

백색광 마이켈슨 간섭계의 이해와 굴절률 측정에의 응용

Understanding of white-light Michelson interferometers and its

application to refractive index measurements

2011년 8월

인하대학교 교육대학원

물리교육전공

안지호

교육학석사학위청구논문

백색광 마이켈슨 간섭계의 이해와 굴절률 측정에의 응용

Understanding of white-light Michelson interferometers and its

application to refractive index measurements

2011년 8월

인하대학교 교육대학원

물리교육전공

안지호

지도교수 : 김경헌

이 논문을 교육학석사학위 논문으로 제출함.

이 논문을 안지호의 교육학석사학위논문으로 인정함.

2011 년 8 월 일

주 심 차 동 우

부 심 김 경 헌

부 심 노 재 우

- i -

목 차

그림 목차 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ ⅱ

표 목차 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ ⅲ

국문 요약 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ ⅳ

영문 요약 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ ⅴ

제 1 장 서론 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 1

제 2 장 본론 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 3

2-1. 마이켈슨 간섭계 이론의 이해 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 3

2-2. 회전에 따른 광경로 변화 및

굴절률 계산 이론․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 11

2-3. 실험 장치 및 데이터 수집 과정․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 15

2-4. 데이터 측정 결과 및 분석 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 18

2-5. 실험 결과 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 23

2-6. 오차 분석 및 개선점 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 24

제 3 장 결론 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 26

참고문헌 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 27

부록1. 광간섭계 이론 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 29

부록2. 시간평균 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 33

- ii -

그림 목차

[그림 1] 파동의 표시

[그림 2] 파동의 이동과 위상 차이

[그림 3] 파동의 중첩

[그림 4] 이중 슬릿에 의한 빛의 간섭

[그림 5] 마이켈슨 간섭계 구도

[그림 6] (a) 이중 슬릿 간섭계와 (b) 마이켈슨 간섭계의 비교

[그림 7] 백색광원을 이용한 마이켈슨 간섭계

[그림 8] 평행판 모양의 측정 시료를 삽입한 마이켈슨 간섭계 구도

[그림 9] 각도 θ로 회전된 평판형 샘플 내에서의 광경로 길이

[그림 10] 실험에 사용된 마이켈슨 간섭계 구도

[그림 11] 샘플과 광경로가 이루는 각이 수직일 때 측정된 간섭무늬

[그림 12] 샘플을 20도 회전했을 때 얻어진 간섭무늬

[그림 13] [그림 11]에서 측정된 데이터를 푸리에 필터링 한 결과

[그림 14] [그림 12]에서 측정된 데이터를 푸리에 필터링 한 결과

[그림 15] [그림 13]의 푸리에 필터링을 한 데이터의 정규화된 결과

[그림 16] [그림14]의 푸리에 필터링한 데이터의 정규화 결과

[그림 17] 샘플과 광경로가 이루는 각이 수직일 때 위상차 그래프

[그림 18] 샘플과 광경로가 이루는 각이 20도일 때 위상차 그래프

[그림 19] 이론값과 실험측정값 굴절률 비교 그래프

[그림 20] sinc 함수의 그래프; 변수가 증가함에 따라 함수는 0으로

수렴한다.

- iii -

표 목차

[표 1] 백색광을 이용한 굴절률 측정치와 이론치 비교

[표 2] 굴절률 측정치의 오차 유발 요인 분석

- iv -

초 록

고등학교 물리 교과에서 다루는 영의 이중슬릿간섭계의 원리와 파동의

중첩,그리고 수학교과에서 다루는 삼각함수의 개념을 기반으로 백색광원

을 사용하는 마이켈슨 간섭계의 원리를 이해시킬 수 있는 교육 방법과 이

의 이해를 기반으로 실제 광학매질의 굴절률 측정에 응용할 수 있는 연구

방법을 구현해 보았다.특히 심화 단계에 있는 고등학교 학생들이 이해할

수 있는 이론적인 전개 방법과 실제 굴절률 측정에서의 응용법에 대해 구

체적으로 알아보았다.가시광역대의 백색광을 이용한 마이켈슨 간섭계내에

평면형의 광학 샘플을 설치하고,이 샘플의 각도 조절에 따른 간섭무늬의

위상 변화를 측정하여 넓은 파장 영역에서 파장에 따른 샘플의 절대 굴절

률을 측정하였다.이 방법에 의한 샘플의 굴절률 측정 방법은 어떤 기준

굴절률 샘플을 필요로 하지 않는 장점을 가지고 있다.그러나 이 방법의

정확도는 회전 각도와 샘플의 두께의 측정 정밀도에 크게 의존하고 있다.

또한 굴절률의 측정 파장 범위는 사용하는 백색광 광원의 대역폭에 의해

결정된다.

본 연구에서는 평평한 소다라임 (sodalime)유리판의 파장에 따른 굴절

률 분포를 500nm에서 780nm 까지의 파장 범위에서 측정하였으며,이렇

게 측정된 굴절률 값을 국제적으로 잘 알려진 표준기술연구소인 미국

NIST에서 제공한 표준값과 비교하였다.우리 측정값과 그 표준값 간의 차

이는 0.08% 이내로 측정되었다.그 차이는 주로 회전 스테이지의 회전각과

샘플의 두께 등의 부정확성에 기인된다고 본다.향후 회전각과 샘플 두께

등의 정확도가 향상된다면 좀 더 정확한 굴절률 측정이 이루어질 수 있을

것으로 기대된다.

- v -

Abstract

A way to understand the operating principle of a Michelson

interferometers based on the concept of the Young's double slit

interferometer,superpositionofwaves,andtriangularmathematicsina

high-schoollevelhasbeeninvestigated,andanapplicationmethodof

the interferometertechnology formeasuring refractive index ofan

optical flat sample has been also demonstrated. The theoretical

derivationoftheMichelsoninterferometer'sprincipleanditsapplication

processeshavebeenstudiedindetails.A whitelightinterferometric

method based on the Michelson interferometer has been used to

measure spectralprofiles ofthe absolute phase refractive index of

opticalflatsamplesoverabroadbandwavelengthrangeinthevisible

wavelength.Thephasechangeoftheinterferencefringesduringthe

samplerotationlocatedinoneoftheinterferometerarmsisusedto

determinetherefractiveindexprofilewithoutanyreferencestandard.

However,the accuracy of this measurement method depends on

precision of the rotation angle and the sample thickness. The

wavelengthcoverageofthemeasurableindexprofileisalsodependent

onthebandwidthofthewhitelightsource.

In thisresearch aflatsodalimeglassplateweretested forthe

measurementofthespectralrefractiveindexprofileoverawavelength

rangefrom 500nm to780nm,andthemeasuredrefractiveindexof

theglasssamplewascomparedwiththestandardvalueprovidedbyan

internationally well-known standard research institute (NIST).The

relativedifferenceofourmeasuredvaluesfrom thosestandardvalues

waswithin0.08%.Thisdifferencemayberesultedfrom uncertaintyof

- vi -

the angle measurementofourrotation stage and ofthe thickness

measurementofoursample.Furtherimprovementmaybeachievable

withaccurateangleandthicknessmeasurements.

- 1 -

제 1장 서론

빛의 간섭 현상은 우리 주위에서 일어나는 자연 현상의 하나이면서, 또한

정밀 광계측 기술로도 사용되고 있다. 날씨가 맑은 날 물 위에 떠 있는 기름

막으로부터 무지개 무늬가 보인다던지, 문 틈 사이로 들어오는 나트륨 가로

등 빛에 의해 어두운 방안 벽에 보이는 줄 무늬 등이 우리 주위에서 관측되

는 빛의 대표적인 간섭 현상들이다. 이러한 현상들은 고등학교 물리나 대학

의 일반물리에서 다루는 파동의 중첩 및 간섭이론과 영 (Young)의 이중슬

릿 실험, 바늘 구멍에 의한 회절 및 간섭 무늬에 대한 이론들을 바탕으로 설

명이 가능하다 [1]. 이러한 빛의 간섭 이론을 확장하여 마이켈슨

(Michelson) 간섭계의 원리를 이해하고, 이 마이켈슨 간섭계를 광학 평행판

의 굴절률을 측정하는데 응용하는 연구 내용을 본 논문에서 소개하고자 한

다.

광학 소재의 굴절률은 그 소재를 광학적으로 응용하기 위해 알아야 할 가

장 기본적인 특성이며, 이의 측정 방법에 있어서는 여러 가지 방법들이 개발

되어 있다. 그 종류로는 타원계측법(ellipsometry)[2], 프리즘 커플링 방식

[3], 최소 편차각을 이용한 방법 [4], 아베 굴절률 방법 [5], 단일 파장 간

섭계 방식 [6], 넓은 파장 대역을 가진 낮은 결맞음 광원 간섭계 방식 [7]

등이 있다. 타원 계측법은 얇은 샘플에 입사하는 빛의 각도에 따른 반사광의

세기를 측정하여 굴절률을 측정하는 방식이며, 단일 파장 광원으로 박막 샘

플의 경우에만 측정이 가능하고 일정한 파장 영역에서의 굴절률 분포를 측

정하기 위해서는 광원의 파장을 바꾸어 주어야 하는 제한적인 특성이 있다.

프리즘 커플링 방식의 경우에는 박막의 샘플위에 프리즘을 올려놓고 프리즘

에 빛의 입사각을 변화시키면서 반사되는 빛의 세기를 측정하여 굴절률을

측정하는 방법으로, 각도를 변화시키면서 측정을 해야 하며 한 번에 한 파장

만을 측정 할 수 있다. 빛의 최소 편차각을 이용하는 방법은 샘플을 프리즘

과 같은 특정한 모양으로 만들어 빛의 입사각과 굴절각의 편차가 가장 작은

각도를 측정하는 방식으로 굴절률을 측정한다. 이 방법은 샘플의 준비가 어

렵고 단일 파장에서의 측정만이 가능하며, 각도를 변화시키면서 계속 측정을

해야 한다. 아베 굴절률 방식은 샘플의 굴절률에 따른 굴절률의 범위가 결정

되며, 단일파장에서의 전반사 조건을 일일이 찾아야 한다. 단일 파장 간섭계

방식은 샘플을 회전시키면서 단일 파장에서의 굴절률을 측정하는 방법이다.

- 2 -

이들 상기 방법들은 넓은 파장 영역에서의 굴절률 분포를 알기 위해서는 광

원의 파장을 바꾸어 줄 수 있는 파장가변 광원이 필요한 단점이 있다. 또 다

른 방법으로 넓은 파장 대역을 가진 낮은 결맞음 광원 간섭계 방식은 넓은

파장에서의 굴절률을 각각의 파장에 대하여 측정하지 못하고 군 굴절률만을

측정할 수 있다.

본 연구에서는 넓은 파장 영역에서 빛을 내는 백색 광원을 이용한 마이켈

슨 간섭계의 한 팔에 평행판 모양의 샘플을 설치하고, 이 샘플의 회전 전과

후의 간섭무늬의 위상 변화를 측정하여 이 샘플의 굴절률의 파장 분포를 측

정하는 방법을 수행해 왔다. 이미 적외선 영역(IR)의 넓은 파장 대역에서 낮

은 결맞음 (incoherent) 빛을 내는 광원를 이용한 간섭계로 평행판 형태의

광학 샘플의 굴절률을 측정한 연구 결과는 이미 보고된 바 있다. 그러나 가

시광 영역에서는 아직 이 방법이 시도된 바가 없어, 본 연구에서는 할로겐등

을 광원으로 사용하여 500 nm에서 780 nm 파장영역에서 소다 라임 유리

(soda lime glass) 샘플의 굴절률을 측정하였다. 이 가시광 파장대에서는

소다 라임 유리의 굴절률이 국제적인 공인 기관에서 측정된 표준 값이 있으

므로, 실제 측정한 결과와 이 표준 값을 비교하여 본 측정법의 정확성을 검

증해보았으며 그 결과를 다음 절들에서 보고하고자 한다.

- 3 -

[그림 1] 파동의 표시

제 2장 본론

2-1.마이켈슨 광간섭계 이론의 이해

가.파동

간섭계의 원리를 이해하기 위해서는 먼저 파동의 성질을 확인해 본다. 다

음 [그림 1]과 같이 줄을 따라 진행하는 파동의 진폭 변화는 파가 진행하는

거리에 따라 사인 (sine) 함수나 코사인 (cosine) 함수로 기술될 수 있다.

(1)

상기 식에서 ym은 파동의 진폭이고, k = 2π/λ로써 파수이다. λ는 파동의

파장을 나타내며, 이는 파동의 진동수 f및 속도 v와 v = fλ의 관계식으로

나타낼 수 있다. 또한 파동의 파고점 사이는 파장 간격으로 x가 λ일 때이

며, 사인 함수의 각도가 360도 즉 2π 라디안일 때가 해당된다. 파의 모든

지점은 시간에 따라서도 진동을 하고 있으므로, 실제의 파동에 대한 식은

로 기술되어야 한다. 그러나 시간에 대한 진동은 항상 모든

점에서 같이 일어나고 있으므로, 일단 여기에서는 어느 특정한 순간에 공간

상의 파동의 분포를 알아보고자 한다.

이 파동이 [그림 2]에서와 같이 파1에서 파2로 거리 Δx 만큼 이동하였

을 때에는 상기 식(1)은 다음과 나타내어 질 수 있다.

′

(2)

- 4 -

[그림 2] 파동의 이동과 위상 차이

이 식(2)에서 φ는 파1에 대한 파2의 위상변화를 나타내며, Δx 와는 다음

과 같은 관계식을 갖는다.

(3)

이 위상변화φ가 2π의 정수배가 될 때마다, 파2는 파1과 파고는 파고와 파

저는 파저와 만나는 동일한 위상 관계를 갖게 된다.

동일한 파장과 주파수를 가진 2개의 파동이 [그림 3(a)]에서와 같이 서

로 간의 위상이 φ 만큼 차이가 난 상태에서 겹치는 경우를 생각해 보자. 이

경우를 식으로 나타내면,

(4)

(5)

(6)

가 된다. 이 합쳐진 파의 진폭은

가 되며, 이들 두 파동 간의 위상차

φ=0 또는 2π의 정수배일 때 최대가 되며 [그림 3(b)의 경우], φ=π 또

는 π의 홀 수배일 때 최소가 된다[그림 3(c)의 경우]. 최대일 경우를 우리

는 파동의 보강 간섭이 일어난 경우이라고 하고, 최소일 경우를 상쇄 간섭이

일어난 경우라고 명칭한다. 이는 상기 식(3)의 관계식을 참고로 해 보면 두

파동 간의 경로차이 Δx가 파장 λ의 정수배일 때가 보강 간섭이 일어나고,

λ/2의 홀수배일 때는 상쇄 간섭이 일어남을 알 수 있다 [1].

- 5 -

[그림 3] 파동의 중첩

나.영(Young)의 이중 슬릿 간섭

아래 [그림 4]에 보여지는 바와 같이 단색 광원의 빛이 단일 슬릿 S에

의해 나누어진 뒤 이중 슬릿을 지나 멀리 떨어진 스크린에 비추어질 때 스

크린에 간섭무늬 모양이 보이는 현상은 영의 이중 슬릿 간섭으로 이미 잘

알려져 있다. 이 구도에서 이중 슬릿을 지나 스크린 상의 한 점 P에서 빛이

만날 때 서로 간의 경로차, 즉 S1-P와 S2-P의 경로차가 앞서 설명된 파동

의 중첩일 때와 마찬가지로 파장 λ의 정수배일 때가 보강 간섭이 일어나고,

λ/2의 홀수배일 때는 상쇄 간섭이 일어난다. 그림에서와 같이 두 슬릿 간의

간격을 d 라 하면 P점에서의 경로차는 d·sinθ가 됨을 알 수 있다. 그러므로

보강 및 상쇄 간섭이 일어나는 경우는

- 6 -

[그림 4] 이중 슬릿에 의한 빛의 간섭

[그림 5] 마이켈슨 간섭계 구도

∙∙∙ : 보강간섭 (7)

∙∙∙ : 상쇄간섭 (8)

[그림 4]의 스크린 상에서 P점이 O점을 중심으로 아래 위로 움직일 때,

즉 x가 변할 때, 스크린 상에는 보강 간섭과 상쇄 간섭에 의한 무늬가 [그림

4]의 우측에 보여지는 바와 같은 밝은 무늬와 어두운 무늬들의 간섭 무늬

분포가 보인다.

다.마이켈슨 간섭계

- 7 -

마이켈슨 간섭계는 [그림 5]에 보여지는 구도와 같이 구성된다. 광원에서

나온 빛이 빔 분파기에서 2개의 빔으로 나누어져 각각 거울 1과 거울 2로

진행한 뒤, 각 거울에서 반사되어 되돌아 와 빔 분파기에서 만나 광검출기에

서 광세기가 검출이 된다. [8] 만약 광원에서 나오는 빛이 단일 파장을 가진

빛이라면 빔 분파기에서 2개의 빔으로 나누어져 각 거울로 거리 l1과 l2를

왕복을 한 뒤 광검출기에서 합쳐진 빛 세기가 검출이 된다. 즉, 두 빛의 왕

복 경로차 2(l1-l2)가 파장의 정수배이면 보강간섭, 반파장의 홀수배이면 상

쇄 간섭이 일어난다. 즉 이 들을 식으로 나타내면

∙∙∙ : 보강간섭 (9)

∙∙∙ : 상쇄간섭 (10)

가 된다.

식 (9)와 (10)의 결과에 따르면 마이켈슨 간섭계의 두 팔 중에 한 쪽 팔

의 거리를 움직이면, 이 두 팔을 지나온 광 경로차 2(l1-l2)와 파장과의 비

교에 따라 광검출기에서 검출되는 빛의 세기가 밝아졌다가 어두워졌다가 한

다. 그러나 간섭계의 두 팔의 길이 변화가 없으면, 그 상태에서의 광경로차

에 따라 광검출기에서 고정된 빛 세기가 검출이 된다.

만약 [그림 5]의 광원이 여러가지 빛을 내는 백색광원일 경우에는 식(9)

를 만족하는 파장의 경우에는 밝은 간섭무늬가 검출되고, 식(10)을 만족하

는 파장의 경우에는 어두운 간섭무늬가 검출될 것이다. 다음 [그림 6]은 영

의 이중 슬릿 간섭계와 백색광원을 이용하는 마이켈슨 간섭계의 특성을 비

교하여 보여주는 그림이다. 영의 이중 슬릿 간섭계는 스크린의 공간 상에서

단일 색깔( 파장 또는 주파수 )의 명암 무늬의 간섭무늬를 보여주고 있는

반면에, 백색광원을 이용하는 마이켈슨 간섭계는 파장 분포 (또는 주파수 분

포 f = c/λ) 상에 파장 (또는 주파수)에 따른 간섭 무늬를 보여주고 있다.

[1]

라.백색광 마이켈슨 간섭계의 출력 간섭 무늬

본 연구에서는 마이켈슨 간섭계를 사용하여 광학 샘플의 굴절률을 측정하

였다. 마이켈슨 간섭계는 [그림 7]과 같이 광원에서 나오는 빛을 빔 분파기

(beam splitter)를 통해 2개의 빔으로 나누고, 이 들 빔들이 각각 다른 광

- 8 -

[그림 6] (a) 이중 슬릿 간섭계와 (b) 마이켈슨 간섭계의 비교경로로 진행하여 각각 거울로 반사되어 되돌아 와서 이 빔 분파기에서 다시

만날 때 이들 간의 광경로차에 따른 간섭이 생기는 현상을 이용하는 간섭계

이다. 빔 분파기를 지나면서 나눠진 두 빔이 각각 거울 M1과 M2에 반사되

어 다시 빔 분파기를 거쳐 광검출기에서 합쳐질 때 두 빔의 경로차가

의

홀수배가 되는 경우 상쇄간섭을

의 짝수배가 되는 경우 보강간섭을 일으

킨다. 여기서 는 입사광의 파장이다.

- 9 -

[그림 7] 백색광원을 이용한 마이켈슨 간섭계

거울 M1을 거리 s 만큼 이동하면, 광경로차는 2s 만큼 생긴다. 빛의 주

어진 파장 에 대해서 거울 M1을 이동하기 전에 보강 간섭이 보이고 이동

중에 한 번의 상쇄간섭이 관측되며 이동을 마친 후 다시 보강간섭을 일으킨

다면, 이 때 생긴 광경로차는 이다. 여기에서 는 공기의 굴절률을

나타낸다. 거울 M1의 위치가 에서 로 변하는 과정 중에 간섭 무늬가 N

번 변한다면, 거울 M1의 이동거리 에 따른 무늬의 개수 은

이다.

[그림 7]의 구도에서 M1, M2를 보강 간섭이 생기도록 고정시켜놓고 [그

림 8]에서와 같이 거울 M2앞에 두께 d 의 샘플을 두었을 때에도 보강 간섭

이 생긴다면, 시료에 의한 경로차는 가 될 것이다. 여기서

와 을 알면 시료의 굴절률을 구할 수 있다. 이러한 방법은 광경로

에 시료를 넣는 과정에서 불연속적으로 값이 계속 변하므로 값을 정확하

게 측정할 수 없다. 따라서 본 연구에서는 광경로에 시료를 넣어놓고 회전하

는 방법으로 물질의 굴절률을 측정하는 방법을 이용하였다. 또한 기존에는

레이저나 적외선 파장대 광원을 이용하여 굴절률을 측정한 결과가 보고된

바 있으므로, 이번 실험에서는 파장이 넓은 영역에 걸쳐있는 가시광대 백색

광을 이용하였다.

- 10 -

[그림 8] 평행판 모양의 측정 시료를 삽입한 마이켈슨 간섭계 구도

간섭계의 출력 간섭무늬는 식 (11)과 같이 나타낼 수 있다. [부록 1 식

(46) 참조]

(11)

여기서 는 광 간섭계를 통과한 후의 출력 광의 세기이며, 는 기준팔을

지나온 간섭계 출력단에서의 광 세기와 샘플팔을 지나온 간섭계 출력단에서

의 광세기 간의 비를 나타낸다. 는 간섭계 출력단에서 두 광신호들간의

위상차를 나타낸다. 식(11)에 따르면 간섭계의 출력 간섭무늬는 파장에 따

라 cosine 함수로 변함을 알 수 있다. cosine 함수는 위상 가 2π (즉

360도)가 변할 때 마다 원래 모양을 되풀이하기 때문에 cosine 함수의 최

고점 (또는 최저점) 간의 간격은 2π (즉 360도)임을 알 수 있다. 즉, 간섭

무늬의 특정 최고점 (또는 최저점)으로부터 다음 최고점 (또는 최저점)들간

의 간격은 2π (즉 360도)의 정수배로 늘어남을 알 수 있다. 이로부터 특정

최고점 (또는 최저점)의 파장으로부터 다음 최고점 (또는 최저점) 파장들에

대한 위상차이 2π (즉 360도)의 정수배로 나타내면, 이 위상차 를 파

장의 함수로 나타낼 수 있다.

- 11 -

2-2.측정 시료의 회전과 굴절률 관계 이론

마이켈슨 간섭계의 한 팔에 두께 d인 샘플을 설치한 쪽을 샘플팔이라고

명명하면 [그림 9]와 같이 이 샘플팔 내에서의 광경로에 대해 의 각도로

샘플이 위치해 있을 때, 파장이 인 빛이 이 샘플을 지나는 총 광경로

는 다음과 같이 나타낼 수 있다

[그림 9] 각도 θ로 회전된 평판형 샘플 내에서의 광경로 길이

′ (12)

여기서 는 파장이 인 광파가 지나는 경로 중에 샘플이 위의 그림처

럼 회전각이 일 때 지나가는 경로에 해당하는 공기 중의 길이이며, ′은 파

장이 인 광파가 샘플이 위의 그림처럼 회전각이 로 놓여 있을 때 샘플 안

에서 실제로 지나가는 경로의 길이이며 은 빛이 지나는 경로의 총 길이,

는 공기의 굴절률, 은 샘플을 이루는 물질의 굴절률이다[9][10][11].

[그림 9]에서 보듯이 광경로에 대해 기울어져 있는 샘플에 입사하는 광파

의 입사각이 일 때, 샘플 내에서의 굴절각을 ′으로 정의하면 ′와 의 관

계를 정의하면

′ ′

(13)

- 12 -

′′ ′′′ ′ ′ (14)

이 된다. 여기서 ′와 ′는 스넬의 법칙에 의해 다음과 같은 과정으로

유도할 수 있다. 먼저 입사각과 굴절각의 관계를 스넬의 법칙을 이용하여 정

의하면

′ (15)

이 된다. 이것을 ′에 대해 정리하고 삼각공식을 이용하여 이항하면

′

′ (16)

의 관계를 얻게 된다. 다시 ′에 관해 정리하면

′

(17)

을 얻게 되고, 여기서 얻은 ′를 위의 식(13)에 대입하면 ′관한 식을 얻

게 된다.

′ ′

(18)

또한 여기에서

′ ′ ′

(19)

이 유도되고, 이 식에 다시 식(16)을 이용하면

- 13 -

(20)

을 얻는다. 이제 위에서 얻은 식(20)을 식(12)에 대입하여 최종적인 모습을

구하면 다음과 같은 샘플팔에서의 광경로에 관한 식이 도출된다.

이므로

(21)

이 식은 두께가 인 양면이 평행하고 평평한 굴절률 인 물질로 이루어

진 샘플이 광경로상에 존재하고 광경로를 지나는 광파가 샘플에 로 입사할

때, 즉 임의의 각도의 샘플이 샘플팔의 광경로 상에 존재할 때 샘플팔에서의

광경로를 나타내어 준다.

여기서 샘플의 각도가 에서 로 변경되면 광경로 길이가 바뀌게 되고,

이로 인하여 기준팔과 샘플팔의 위상차가 바뀌어 간섭무늬가 변하게 된다.

이때 광경로 길이의 변화량은 다음과 같이 표현된다.

이므로

(22)

또한 일 때의 위상을 , 일 때의 위상을 Ψ라고 하고, 와 Ψ의 위상

차의 변화량을 광경로 길이의 변화량을 이용하여 표현하면,

(23)

(24)

- 14 -

이 되며, 이때

(25)

라 놓으면, 위 식(24)는

(26)

가 되며 이 식은 다시

(27)

이 된다. 이 식의 양변을 제곱하면

(28)

이 되고, 정리하면

(29)

가 된다. 이 식을 에 대해 정리하면 다음과 같다.

(30)

샘플의 각도를 변화시키면서 간섭무늬를 측정하고 각도가 변할 때 위상의

차이가 얼마나 나는지 세어서 이 식에 대입하면 굴절률을 측정할 수 있다.

이때 을 0도로 하면 계산 및 실험을 간단히 할 수 있다.

- 15 -

2-3.실험 장치 및 데이터 수집 과정

사용한 광원으로는 가시광대에서 넓은 파장 분포를 갖는 할로겐 광원을 이

용하였으며, 빔 분파기 (Beam Splitter)를 통해 나뉘어진 빛을 거울 M1과

거울 M2로 입사시킨다. 거울 M1으로 입사하는 빛은 샘플을 통과하여 다시

분광기에 연결된 광검출기 (Detector) 로 들어가도록 하였으며, 거울 M2로

입사한 빛은 다시 빔 분파기를 통해 광신호 파장 분석기로 들어가도록 하였

다.

[그림 10] 실험에 사용된 마이켈슨 간섭계 구도

이때 백색광의 가간섭성 (coherence)이 낮아 가간섭성 길이 (coherence

length)가 짧으므로 빔 분파기와 거울 M1 사이의 거리와 빔 분파기와 거울

M2 사이의 거리를 거의 같게 맞춘 후 거울 M2의 미세한 거리 조절을 통해

샘플을 통과하면서 변한 광경로에 따른 간섭무늬를 얻도록 하였다.

다음은 대략적인 실험장치 세팅 및 데이터 수집 과정이다.

(1) 대략적인 위치 세팅이 끝난 후 He-Ne 레이저 빔이 광원 위치에서

나올 수 있도록 하여 이 빛이 빔 분파기와 샘플 및 거울 M1, 거울 M2를

적절히 통과하도록 높이 조절을 한다.

(2) 그 후 회전 스테이지에 올려 진 샘플의 방향을 회전하여 광 경로에

- 16 -

수직이 되도록 맞춘다. 레이저에서 수직으로 오는 빛의 각도를 0으로 맞춘

후 -10도로 입사한 빛이 샘플에 의해 반사된 위치와 170도로 입사한 빛

이 반사된 위치의 수직 위치 및 좌우 위치를 맞춘다. 스테이지 회전은

APT 프로그램을 이용하여 컴퓨터로 제어하도록 한다.

(3) 샘플을 다시 광원에서 레이저가 수직으로 입사하도록 맞춘 후 광원에

서 나온 빛이 샘플을 통해 다시 광원으로 입사하도록 정렬을 하고 파장 분

석기쪽 광검출기에도 수직으로 입사하도록 정렬한다. 파장 분석기 쪽 광경

로 위치에도 레이저를 설치하여 파장 분석기와 샘플 및 광원과의 각도 및

위치를 정확하게 정렬한다.

(4) 백색광을 광원 위치에 설치하여 거울 M1과 광원 및 파장 분석기와의

위치를 정렬한다. 이때에는 간섭계 출력 쪽의 파장 분석기에서 검출되는

백색광의 출력 스펙트럼의 세기가 최대가 되도록 잘 정렬한다.

(5) 거울 M1 쪽은 빛을 차단하고 M2에 의해 반사되는 빛에 대해서도 백

색광의 출력 스펙트럼의 세기가 최대가 되도록 정렬한다.

(6) 거울 M1과 M2를 거친 빛들이 파장 분석기에 최대로 들어오도록 미

세 조절을 한다.

(7) 파장 분석기에 간섭계 출력 신호가 제대로 들어오면 거울 M2의 거리

를 미세하게 조절하여 간섭무늬에 의한 포락선이 잘 나타나도록 한다.

(8) 포락선이 잘 나타났을 때 간섭무늬 스펙트럼 데이터를 컴퓨터에 저장

한다. 저장된 간섭무늬는 식 (11)에서 언급된 바와 같이 간섭 피크점, 즉

최고점 (또는 최저점) 들간의 위상차이가 2π (360도)의 정수배가 되므

로, 어느 특정 피크점 (또는 최저점) 파장에 대해서 다음 최고점 (또는 최

저점) 파장들 간의 위상차이를 2π (360도)의 정수배로 나타낼 수 있다.

이 데이터는 결국 식(11)의 위상차 에 해당되며, 샘플이 회전하기 전

의 위상차이로 식(23)의 로 둔다.

(9) 샘플을 천천히 회전하면서 어느 한 파장에서 간섭무늬가 변화하는 횟

수를 세어본다.

(10) 샘플이 어느 일정한 각도로 회전한 상태에서 새로 얻어진 간섭무늬

에 대한 자료를 저장한다. 이 데이터로부터 앞서 언급한 방법과 동일하게

간섭무늬의 어느 특정 피크점 (또는 최저점) 파장에 대해서 다음 최고점

(또는 최저점) 파장들 간의 위상차이를 2π (360도)의 정수배로 나타내어

- 17 -

식(23)의 로 나타낼 수 있다.

(11) 앞서 단계 (10) 에서 얻어진 결과 와 단계 (8) 에서 얻어진

결과 를 이용하여 식 (25)와 식 (30)을 이용하여 파장에 따른 굴절률

을 계산할 수 있다. 상기 단계 (8) 과 단계 (10) 에서 위상차 와

를 얻는 과정에 간섭 무늬에서의 잡음과 백그라운드 신호를 제거하고

순수한 간섭무늬 스펙트럼을 얻기 위해 푸리에 변환 및 힐버트 변환 등을

통해 정규화하는 과정을 거치고 최종적으로 파장에 따른 굴절률 값들을 계

산한다. 이러한 일련의 과정은 Labview 프로그램을 이용한다. 최종적으로

얻어진 굴절률 값들을 알려진 표준 값들과 비교하여 본 측정법의 정확성을

검토해 본다.

- 18 -

2-4.데이터 측정 결과 및 분석

광신호 파장 분석기에서 측정된 데이터를 컴퓨터로 이송하여 기존의 상용

프로그램인 Origin8.0과 LabVIEW2010 프로그램을 이용하여 분석하였다.

(1) 마이켈슨 간섭계의 간섭무늬

[그림11]샘플과 광경로가 이루는 각이 수직일 때 측정된 간섭무늬

앞서 기술된 [그림 10]과 같은 마이켈슨 간섭계를 구성한 뒤 거울의 위

치를 미세하게 조절하면서 두 거울에 의한 경로간의 광경로차가 가간섭거리

의 범위 안에 들도록 하면 위의 [그림 11]과 같은 간섭무늬를 얻을 수 있

다. [그림 11]에서 얻어진 그래프는 샘플과 광경로가 이루는 각이 수직일

때 얻은 데이터를 그래프로 나타낸 것이다.

또한 [그림 11]에 보여지는 바와 같이 간섭무늬가 측정될 수 있는 가능

한 파장 대역이 대략 500 nm에서 780 nm 정도이므로, 이 파장 영역 내에

서 샘플의 굴절률을 측정할 수 있는 적당한 기준 파장을 설정한다. 이 파장

에서 샘플의 각도가 변할 때 간섭무늬의 세기 변화 갯수를 셀 수 있도록 그

래프를 확대한 후 각도를 변화시키면서 간섭무늬의 세기 변화 갯수를 세어

본다. 본 실험에서는 샘플의 각도를 20도 돌리는 동안에 간섭무늬의 세기

변화 갯수는 총 130개 이었다. 그리고 샘플의 각도를 20도 변화시켜서 얻

- 19 -

어진 간섭무늬는 아래 [그림 12]와 같다. 간섭무늬의 변화가 회전 각도가

커지는 동안 조금씩 빠르게 변해갔으며 전체적으로 간섭무늬의 중심점 또한

오른쪽(파장이 긴 쪽)으로 이동하였다.

[그림 12] 샘플을 20도 회전했을 때 얻어진 간섭무늬

(2) 푸리에 필터링 (Fourier filtering)을 이용한 잡음 제거

푸리에 필터링 방법을 이용하면 출력신호에 섞여서 나오는 검출장비에

의한 암전류 (dark current) 등의 여러 가지 잡음 신호들을 제거 할 수 있

다. [그림 11]의 데이터를 이렇게 필터링한 결과는 [그림 13]과 같은 모습

을 하게 되며, [그림12]의 데이터를 필터링한 결과는 [그림 14]와 같이 된

다.

[그림 13] [그림 11]에서 측정된 데이터를 푸리에 필터링 한 결과

- 20 -

힐버트 변환 과정을 통한 후 최종 간섭 무늬를 얻기 전에 차후 간섭무늬

의 위상차 를 얻는 과정에서의 에러를 최소화하기 위해 푸리에 밴드

패스 필터링을 사용하였다.

[그림 14] [그림 12]에서 측정된 데이터를 푸리에 필터링 한 결과

(3) 힐버트 변환을 이용한 포락선 추출 및 데이터 정규화

푸리에 필터링된 데이터에서 힐버트 변환을 이용해 간섭무늬를 제외한

포락선을 구할 수 있다. 이렇게 얻은 포락선을 이용해서 [그림 15]와 [그

림16]과 같은 정규화된 간섭무늬를 얻게 된다. 이렇게 얻은 정규화된 간섭

무늬는 보충자료1의 식 (46)로 표현이 가능하다. 즉 간섭무늬 피크간의 위

상차가 ±±⋯임을 알 수 있다.

[그림 15] [그림 13]의 푸리에 필터링을 한 데이터의 정규화된 결과

- 21 -

[그림 16] [그림14]의 푸리에 필터링한 데이터의 정규화 결과

(4) 피크점을 이용한 위상 피팅

피크간의 위상차를 이용해 얻은 [그림 15]와 [그림16]과 같은 위상차

그래프에서는 피크점이 존재하는 파장에서만 위상차 값을 구할 수 있다. 전

파장 영역에서 위상차를 구하기 위해서는 피팅과정이 필요하다. 피크 사이

의 위상차값을 피팅하고 데이터를 채우는 방법으로는 LabVIEW 프로그램

내에 내장되어 있는 스플라인 보간법과 3차 에르미트 보간법을 이용하였다.

[그림 17] 샘플과 광경로가 이루는 각이 수직일 때 위상차 그래프

- 22 -

[그림 18] 샘플과 광경로가 이루는 각이 20도일 때 위상차 그래프

(5) 두 위상간의 위상차를 이용한 굴절률 측정

위에 기술된 과정을 통해 샘플이 광경로와 수직을 이룰 때 측정된 간섭

무늬로부터 얻은 파장에 따른 위상차 값들과 샘플이 초기위치로부터 임의의

각도를 회전하고 난 후의 파장에 따른 위상차를 각각 구하면, 각 파장에서

의 위상차의 변화량을 구할 수 있게 된다. 그렇게 구한 위상차의 변화량을

식 (25)에 대입하여 A값을 구할 수 있고 이 값을 식(30)에 대입하면 굴절

률 값을 구할 수 있다.

다음은 식 (25)와 식(30)에 대입하는 값들이다. n0 는 공기의 굴절률로

값은 1로 두었고, 샘플과 수직으로 입사할 때의 회전각 은 0도를, 회전

각 는 20도로 하였으며, 샘플의 두께는 1.5228 mm이므로 왕복두께는

3.0456 mm 이므로 d = 3.0456 mm 로 하였으며, 측정 파장 영역은

500nm에서 780 nm 로 설정하였다. 회전각이 0도에서 20도로 변할 때의

위상차 변화 개수는 130개로 측정되어 이 값들을 식 (25)와 식(30)에 대

입하였다.

- 23 -

2-5.실험 결과

[표 1] 백색광을 이용한 굴절률 측정치와 이론치 비교

표본의 종류측정된

굴절률(n)

표준

굴절률(n')

굴절률차

이(n-n')

오차

((n-n')/n')

표준샘플 (@ λ = 504.183 nm)

1.52449 1.52429 0.0002 0.00013

표준샘플 (@ λ = 640.213 nm)

1.51866 1.51741 0.00125 0.00082

표준샘플 (@ λ = 770.562 nm)

1.51485 1.51373 0.00112 0.00074

[그림 19] 이론값과 실험측정값 굴절률 비교 그래프

측정된 굴절률은 식 (30)에 측정된 값을 대입하여 얻은 값이며, 표준 굴

절률은 참고문헌 [13]의 굴절률을 구하는 식을 이용하여 계산한 값이다.

의 식에서

× ×

× 이고 이

식에 파장() 값을 대입하여 표준 굴절률값을 얻었다.

위의 실험 결과에서 보듯이 특정 파장 504.183 nm에서 A값은 대략

- 24 -

- 0.03879이며, 이때 측정된 굴절률은 1.52449이며, 이론적인 굴절률은

1.52429이다. 이로 인해 오차가 0.00013 정도 나왔다. 또한 파장

640.213 nm에서는 측정된 굴절률은 1.51866 이며, 이론적인 굴절률은

1.51741으로 오차가 0.00082 정도 나왔다. 파장이 770.562 nm 에서서

는 측정된 굴절률은 1.51485 이고 이론적인 굴절률은 1.51373 이므로 오

차가 0.00074 정도 나왔다. 대략 이번 실험의 오차는 대략 0.08 % 이내

로 꽤 정확하게 굴절률을 측정할 수 있었다.

2-6.오차 분석 및 개선점

샘플의 수직과 수평의 정확도가 영향을 미칠 수 있다. 실험과정에서 수

직을 맞출 때 좀 더 정밀한 눈금자를 이용하여 수직을 맞추고 수평 또한 반

사광이 광원과 광신호 파장 분석기에 잘 맞도록 조절하는 방법을 고안한다

면 오차를 줄일 수 있을 것이다.

빔 분파기 및 거울 등의 광학적 정렬도가 적절하지 않았을 수 있다. 빔

분파기와 거울의 광학 정렬도에 따른 광경로의 오차가 측정 결과의 정확도

를 낮추었을 가능성이 있다. 실험 직전에 빔 분파기와 거울 받침대의 수직,

수평 등을 정확하게 하는 점검실험이 이루어진다면 좀 더 오차가 줄어 들

수도 있을 것이다.

공기의 굴절률 또한 실험상에 오차를 발생시킬 수 있다. 실험하는 과정

에서의 공기의 흐름이나 온도 변화 등에 의해 공기의 굴절률이 미세하게 변

할 수 있다. 그러나 이 또한 오차를 많이 만들지는 않을 것으로 생각되며,

이를 줄이기 위해서는 밀폐된 안정한 공간에서 실험을 하면 될 것이다.

회전 스테이지의 회전각의 정확도가 가장 큰 오차 발생 원인으로 생각

된다. 본 회전 스테이지는 5 arcmin　의 정밀도를 가지고 있다. 그러나 스

테이지와 그 위의 샘플의 일치, 백색광과의 수직 일치 등의 확인이 정밀하

게 이루어지지 않은 상태에서 Thorlab 기계의 회전 프로그램에 의해 회전

각을 변화시켰기 때문에 오차가 발생할 수 있었다. 보다 정밀한 회전 스테

이지를 이용하여 측정한다면 가장 큰 오차의 원인을 줄일 수 있을 것으로

생각된다.

- 25 -

또한 샘플의 회전각이 얼마냐에 따라서 위상수가 변하며, 이로 인한 위

상차가 좀 더 정밀하게 측정될 수 있기 때문에 샘플의 최대 회전각을 구한

후 그 회전각만큼 회전을 하면서 실험을 한다면 좀 더 정확한 값을 얻을 수

있을 것으로 기대된다.

[표 2] 굴절률 측정치의 오차 유발 요인 분석

오차 원인 원인 오차 유발 오차

공기 굴절률 ±0.0003 ±0.5%

샘플 두께 ±0.3 um ±0.001%

회전 스테이지 ±5 arcmin ±6.24%

- 26 -

제 3장 결론

본 연구에서는 고등학교 물리 교과에서 다루는 영의 이중슬릿간섭계의

원리와 파동의 중첩, 그리고 수학교과에서 다루는 삼각함수의 개념을 기반

으로 백색광원을 사용하는 마이켈슨 간섭계의 원리를 이해시킬 수 있는지를

비교 검토해 보았다. 또한 이러한 백색광원을 사용하는 마이켈슨 간섭계의

이해를 기반으로 실제 광학매질의 굴절률 측정에 응용할 수 있는 연구 방법

을 실험적으로 구현해 보았다. 가시광대역에서 넓은 파장의 빛을 내는 낮은

간섭성을 가진 (incoherent) 광원을 이용한 마이켈슨 간섭계에 굴절률을

측정하고자 하는 평판형 샘플을 삽입하여 샘플의 각도 변환에 따른 간섭무

늬의 위상변화를 이용한 굴절률 측정법을 실험적으로 구현하고 이론적으로

검토해 보았다. 표준 굴절률이 알려진 평행한 샘플에 대해서도 측정을 해

봄으로써 본 측정법의 정확도를 분석해 보았다. 본 논문에 소개된 굴절률

측정 방법은 샘플의 회전을 통해 굴절률을 알아본 것이기 때문에 샘플을 넣

고 빼지 않아 위상변화 측정에서의 정확도를 높였으며, 굴절률이 보통 가시

광역대에 있기 때문에 가시광선영역대의 백색광을 이용한 실험으로서 보다

정밀한 실험이 이루어질 수 있었다. 본 논문과 관련하여 더 짧은 파장대역

에서의 굴절률 측정을 해 보진 않았지만, 더 짧다고 하여 정밀도가 높다고

생각되지는 않는 바 물질의 기본 특성인 굴절률을 보다 정확하게 측정할 수

있는 방법으로 본 가시광선영역대의 백색광을 이용한 굴절률 실험이 유용하

다고 생각된다. 또한 본 실험을 통해 굴절률의 정확도를 높이기 위해서는

샘플의 회전 각도를 최대로 늘여서 측정하는 방법이 측정 오차를 줄일 수

있는 방법으로 생각되며 회전각의 정밀 측정이 최종 굴절률 측정값의 정확

도를 높일 수 있는 것으로 판단된다.

본 논문에서는 가시광대역에서의 백색광 간섭계를 이용한 정밀 굴절률

측정에 대한 방법을 구현해 보았으며, 향후 이 측정법의 정확도를 높일 수

있는 여지가 있다. 이 방법은 향후 다양한 광소자에 사용되는 신물질 재료

의 굴절률 측정에 있어서 매우 유용하게 사용될 수 있을 것으로 기대된다.

그러기 위해서는 앞으로 더욱 정밀하고 정확한 결과를 얻기 위한 실험이 추

후 진행되어야 할 것이다.

- 27 -

참고문헌

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연구소, pp. 154-209 (2011)

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[12] 윤효근, "기준 샘플의 백색광 마이켈슨 간섭계 무늬를 이용한 정밀

- 28 -

회전각 측정 연구", 인하대학교 학사학위논문, 10-34 (2010)

[13] NIST, " Standard Reference Material 1882a, Refractive Index

Standard", NIST, 1-4 (2008)

- 29 -

부록 1.광간섭계 이론

(1) 복사조도 (irradiance 또는 intensity)

어떤 면을 비추는 빛의 총량을 언급할 때 복사조도를 사용한다. 보통

‘’라고 표기하는 복사조도는 단위시간당 단위면적당 평균에너지를 말한

다. 이는 전기장 를 직접 검출하는 것보다 용이하기 때문이다. 는 유한

한 시간 동안의 포인팅 벡터의 크기의 시간 평균치로 정의된다.

〈〉 ×〈

∙〉

× 〈

〉 ≫

(31)

식 (20)의 마지막 항으로 부터 다음의 관계를 얻게 된다.( 진동주기)

〈 〉 (32)

이 식에 나타나 있듯이 단위시간당 단위면적당 평균에너지, 즉 복사조도

는 전기장의 진폭의 제곱에 비례한다는 것을 알 수 있다. [8]

(2) 간섭

두 개의 광파의 전기장 , 가 한 점 에서 중첩될 때 관찰점 에 형

성된 합성파의 총 전기장 는 중첩의 원리에 의해서

(33)

과 같이 주어진다. 합성파의 총 전기장 의 복사조도는 다음과 같이 주어

진다.

- 30 -

〈 〉 (34)

만일 같은 매질 내에서 상대 복사조도만을 고려한다면 상수를 무시할 수

있고 는

〈 〉 (35)

로 나타낼 수 있다. 동일한 광원 로부터 분리되어 나온 두 광파의 전기장

이 관찰점에서 만나 간섭을 일으키는 경우로서 두 광파의 전기장이 선형

편광 되었고 두 광파가 평행하다면, 두 광파의 전기장 과 는 각각 다

음과 같이 표현될 수 있다.

, (36)

여기에서 , 는 각 광파의 초기 위상을 나타낸다. 두 파의 편광이 평행

하므로 통합 전기장은

(37)

이고,

(38)

으로 나타낼 수 있다. 상기 식의 양변에 시간 평균을 취하면 복사조도에

대한 다음과 같은 식을 얻게 된다.

〈 〉 〈 〉〈〉〈 〉 (39)

위의 식에서 우변 세 번째 항을 간섭항(interference term)이라고 하는데,

이 항의 의 값을 구해보면

- 31 -

(40)

가 된다.

시간 T가 전기장의 진동 주기 τ 보다 충분히 클 때, 즉 ≫ 일 때

〈 〉

, 〈 〉

, 〈 〉 (41)

이다. 이 식 (41)과 삼각공식을 이용하여 식(40)을 풀면

(42)

의 모습으로 전개된다. 식(39)의 간섭항을 구하기 위해 식(42)의 시간평

균을 구하면(보충자료2 참고)

〈〉

〈

〉

- 32 -

〈 〉

〈 〉

〈 〉

∙

(43)

의 결과를 얻게 된다. 위의 식(43)의 괄호안을 으로

정의하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

〈 〉 (44)

여기서 이고, 이것은 경로차와 초기 위상차에 의해서

발생하는 합성 위상차이다.

〈〉

, 〈〉

(45)

이고 식(44)과 식(45)를 식(39)에 대입하여 정리하면

- 33 -

(46)

여기에서

로써, a는 간섭계의 양팔을 지나는 빛의 전기

장 세기 사이의 비율을 나타낸다. 상기 식(46)로부터 비율 a가 1이면, 위

상차 φ 가 0과 2π이 정수배일 때는 가 되고 π의 홀수 배

일 때는 가 됨을 알 수 있다 [8][12].

부록 2.시간평균

주기 에 대한 어떤 함수 의 시간평균값은 〈〉라고 적고, 다음

과 같이 계산한다 [12].

〈〉

(47)

이 결과 〈〉의 값은 에 매우 크게 의존한다. 본 논문에 필요한 조

화함수들의 평균을 찾기 위하여 식(47)에 각각 대입하여 값을 구해보자.

〈〉 〈 〉

- 34 -

(48)

위 과정의 첫 번째 줄에서 삼각함수의 배각공식을 사용하였고 네 번째 줄

에서는 삼각함수의 합․차에 관한 공식을 이용하였다. 이렇게 도출된 식

(48)의 마지막 항의 괄호안과 같은 형태의 함수를 광학에서는 sinc 함수

라 이름 지으며 sinc 함수가 0에 수렴하는 것을 [그림 20]을 통해 쉽게

이해할 수 있다.

식(48)의 마지막 항의 괄호안의 값을 생각해 보면 주기 가 커질수록 그

값은 0에 수렴한다. 그리고 의 모든 주기들에 대한 평균 또한 0이

된다. 그러므로

〈 〉 (49)

이 된다.

또한 이와 비슷하게 〈 〉에 대해서 정의할 수 있다.

〈 〉

- 35 -

[그림 20] sinc 함수의 그래프; 변수가 증가함에 따라

함수는 0으로 수렴한다.

(50)

식(40)의 우변 첫 번째 줄에서 삼각함수의 배각 공식을 이용하였으며 네

번째 줄에서는 삼각함수의 합․차에 관한 공식을 이용하였다. 식(50)의 마

지막 줄을 보면 두 번째 항에서 sinc 함수가 나오는 것을 볼 수 있는데 그

로인해 뒷항은 “0”이 되고 결국 1/2만 남는다. 이러한 전개는

〈 〉에 대해서도 같은 양상을 보이며 결국

- 36 -

〈 〉 〈 〉

(51)

의 결과를 가지게 된다 [2].

제 1 장 서론 제 2 장 본론 2-1. 마이켈슨 간섭계 이론의 이해 2-2. 회전에 따른 광경로 변화 및 굴절률 계산 이론 2-3. 실험 장치 및 데이터 수집 과정 2-4. 데이터 측정 결과 및 분석 2-5. 실험 결과 2-6. 오차 분석 및 개선점

제 3 장 결론 참고문헌 부록1. 광간섭계 이론 부록2. 시간평균