4. 푸리에 이론

푸리에(J. B. J. Fourier, 1768-1830)는 응용 수학자이자 이집트학 전문가로서 나폴레옹 시대에 활약했던 위대한 프랑스 과학자이다. 오늘날, 그는 푸리에 급수(Fourier series)로 가장 잘 기억되는데, 이것은 모든 주기함수는 주기가 같거나 진동수가 정수배인 조화함수를 더한 꼴로 나타낼 수 있다는 것이다. 이것을 확장하여 거의 모든 함수를 조화함수의 적분으로 나타내는 푸리에 변환(Fourier transform) 또는 푸리에 적분(Fourier integral)에도 그의 이름이 붙었다. 푸리에 방법은 과학 및 공학의 거의 모든 분야에서 쓰인다. 광학은 파동 현상을 다루므로, 그것을 분석하는데 푸리에 급수와 푸리에 변환이 특히 쓸모가 있는 것은 당연하다. 그래서, 이 장에서는 푸리에 이론의 요점을 설명한다: 기본 개념을 명쾌하게 알게 되면 이 책의 뒷부분에서 여러 현상을 설명하는 ‘언어’를 쉽게 이해할 수 있다. 더 온전한 설명과 수학적인 엄밀함을 원하면 다음 책을 보라: Brigham (1988), Walker (1988), Prestini (2004).

이 장에서는 다음을 배운다:

l 푸리에 급수란 무엇인가?l 푸리에 계수의 실수 표현 및 복소수 표현, 그리고 그것을 셈하는 방법l 푸리에 계수와 함수의 대칭성의 관계l 푸리에 계수를 파동벡터 공간의 흩어진 스펙트럼으로 나타내는 방법l 비주기 함수를 역공간에서 연속 연속 푸리에 변환으로 나타내는 방법l 푸리에 급수는 푸리에 변환의 특별한 꼴이라는 것l 디락 델타 함수l 간단한 실수함수 및 복소함수의 푸리에 변환l 2차원 및 3차원 푸리에 변환l 푸리에 역변환 정리, 함수와 푸리에 변환의 관계l 두 함수의 콘볼루션의 정의와 콘볼루션 정리l 실공간의 주기적인 격자의 푸리에 변환인 역공간의 역격자l 상관 및 자체상관 함수의 정의 및 상관정리

4.1 주기함수의 분석

푸리에는 열확산 문제 (§2.31)을 정해진 경계조건에서 풀다가 푸리에 급수법을 발명했다. 이 문제는 온도분포함수를 공간과 시간의 주기함수의 합으로 나타내는 것이었다. 이 장에서는, 공간함수 를 주로 쓰는데, 그 까닭은 이것을 2차원 및 3차원 함수로 확장할 것이기 때문이다. 물론 변수가 이든 이든 수학적으로는 다르지 않다. 파장의 역수를 공간 진동수(spatial frequency)로 해석한다.

4.1.1 푸리에 정리

푸리에 정리는 다음과 같다: 어떤 주기함수 도 그 함수의 파장 를 정수로 나눈 값을 파장으로 하는 싸인함수의 합으로 나타낼 수 있다. 이 명제를 온전하게 만들려면 0도 넣어 급수에 상수항이 들어가게 해야 한다:

cos

cos

⋯ cos

⋯

그림 4.1 네모꼴 파동과 그것의 푸리에 급수: (a) 1차 항만 남긴 것, (b) 3차 항까지 남긴 것, (c) 15차 항까지 남긴 것.

∞

cos (4.1)

여기에서 ≡ 는 기본 공간 진동수(fundamental spatial frequency)이다. 은 고차 조화파 항의 차수(order)이다. 다음 논리는 푸리에 정리의 타당성을 보여준다. 급수를 첫 항만 남기고 버리면, 의 값에 따라 위의 식이 몇 곳에서 맞다 – 한 파장 구간에 적어도 두 곳은 있다. 둘째 항을 덧붙이면 맞는 곳이 더 많아진다; 항을 계속 덧붙이면 애초의 함수와 만나는 곳이 점점 더 많아진다 (그림 4.1). 이것으로 항을 계속 늘려도 두 함수가 같아진다는 것이 증명되지는 않는다; 애초의 함수에 수렴하지 않는 예가 있다. 하지만, 오차 영역은 아주 작다.

이 추론은 물론 싸인 함수가 아닌 다른 기본함수에 대해서도 적용된다. 하지만 싸인 함수는 모든 파동방정식의 해이므로 물리학에서는 특히 중요하며, 따라서 푸리에 정리가 근본적으로 중요하다.

4.1.2 푸리에 계수

급수 (4.1)의 낱낱의 항에는 푸리에 계수(Fourier coefficient)가 두 개 - 진폭(amplitude) 과 위상각(phase angle) - 들어있다. 위상각은 급수의 항을 -축을 따라 옮길 때 필요한 자유도이다. 낱낱의 항에서 이 두 계수를 구하는 것이 푸리에 해석(Fourier analysis)이다.

푸리에 계수를 나타내는 또 다른 방법은 (4.1)을 싸인 및 코싸인 항의 합으로 나타내는 것이다:

∞

cos

∞

sin (4.2)

여기에서 = cos , = - sin이다.

4.1.3 복소 푸리에 계수

실수함수 cos와 sin는 복소 지수함수 expi의 실수부와 허수부로 볼 수 있다. 복소 지수함수를 쓰면 여러 가지로 편리하다. (4.2)는 다음과 같이 쓸 수 있다:

exp i (4.3)

여기에서 덧셈 구간은 정하지 않았다. 이제 실수함수 에 대해 (4.3)과 (4.2)를 비교하면 다음과 같다:

cos i sin

∞

cos sin (4.4)

덧셈의 범위가 같다면, 양쪽의 코싸인 항과 싸인 항이 똑같아야 하므로 다음 식을 얻는다:

, i (4.5)

따라서 다음 관계가 있다: i = . 그런데 과 모두 실수이므로 이 식은 맞지 않다! (4.3)의 복소수 덧셈을 = -∞ 에서 +∞까지 해야 이 문제를 풀 수 있다. 그러면 복소 계수 과 두 개가

과 에 대응되어, (4.4)의 항을 비교하면 다음 식을 얻는다:

, i (4.6)

따라서 다음 관계가 있다:

i

expi (4.7)

i

exp i (4.8)

그러므로 푸리에 급수는 복소수를 쓰면 다음과 같은 꼴이 된다:

∞

∞

exp i (4.9)

여기에서 = 이다. 지금까지 함수 , 따라서 과 은 실수라고 가정했다. 그러면 (4.7)과

(4.8)에서 과 은 복소수 짝이다.

(4.10)

그렇지만, 가 복소함수(complex function)이면, 과 도 복소수가 되고, 그 때는 위의 복소수 짝 관계가 없다.

4.2 푸리에 해석

푸리에 해석은 계수 을 구하는 것이며, 그 과정에서 싸인함수의 특성 – 한 파장구간에 대해 적분한 값은 0이다 – 을 쓴다. 따라서, 파장이 정수배인 두 싸인함수의 곱을 두 파장의 최소공배수의 구간에 대해 적분하면 두 싸인함수가 똑같을 때를 빼고는 값이 0이다. 그러므로 (파장이 인) 와 파장이 인 싸인함수의 곱을 적분하면, 의 푸리에 성분 가운데 파장이 인 성분을 뺀 나머지 모두에 대해서는 그 값이 0이다. 따라서 그 적분값에서 계수 의 값을 구할 수 있다.

이것을 수학적으로 나타내려면 에 exp i 를 곱하여 파장 인 구간에 대해 적분한다. 를 각

* 여기에서 쓴 방법은 모든 직교 함수 집합에 쓸 수 있다. 직교 함수 집합이란 서로 다른 두 함수의 곱의 적분 값이 0인 함수의 모임인 집합이다.

변수 = 로 바꾸면 적분구간은 다음과 같이 바뀐다: ≦ ≦ . 적분은 다음과 같다:

d exp i

d ∞

∞

exp i exp i (4.11)

덧셈의 항은 = 인 것만 빼고는 모두 싸인함수로서 파장은 이다. 싸인함수 항은 파장의 배의 구간에 대해 적분하면 0이 되므로 위 식은 다음과 같다:

d (4.12)

따라서 번째 푸리에 계수에 대한 일반식은 다음과 같다:

d exp i (4.13)

이 식에는 0차 항도 들어있고, 그것은 의 평균값이다:

d (4.14)

4.2.1 대칭성: 대칭 및 반대칭 함수

대칭(even 또는 symmetric) 함수는 다음 대칭성이 있다: = ; 마찬가지로 반대칭 (odd 또는 antisymmetric) 함수는 다음 대칭성이 있다: = (그림 4.2). 싸인함수와 코싸인함수로 전개한 푸리에 급수 (4.2)를 살펴보자. 주기적이고 대칭인 함수는 대칭인 코싸인함수 만으로 전개해야 할 것이다. 따라서 = 0이고, (4.7)과 (4.8)에서 다음 식이 나온다:

대칭함수: (4.17)

게다가 그 함수 값이 실수이며, (4.10)이 맞으므로 다음과 같다:

실수 대칭함수: (4.18)

이것은 이 실수임을 뜻한다.

마찬가지로, 반대칭인 함수에서는 = 0이고,

반대칭함수: (4.19)

그림 4.2 (a) 대칭인 네모꼴 파동. (b) 반대칭인 네모꼴 파동. 함수는 회색 영역에서 정의된다.

상자 4.1 예: 네모꼴 파동의 푸리에 해석

네모꼴 파동(square wave)을 분석하여 푸리에 해석하는 방법을 살펴보자. 이 파동의 값은 첫 반주기(-에서 까지)에서는 1, 나머지 반주기(에서 까지)에서는 –1이다 [그림 4.2(a)]. 이 함수는 대칭 실수함수이므로 은 실수이다. 원점을 함수가 대칭이 되도록 잡으며, 푸리에 변환의 실수부만 셈하면 된다; 또는 함수의 값이 -에서 0까지는 1, 0에서 까지는 -1이면 반대칭 함수가 되고, 이 때는 전개계수는 순허수가 된다 [그림 4.2(b)]. 이 효과 – 원점을 옮기면 모든 전개계수의 위상이 바뀌는 것 – 이 흔히 중요하다 (4.3.4). 함수의 꼴은 전개계수의 상대적 위상만을 바꾼다. 대칭함수라면, 그림 4.2(a)에서 다음과 같다:

≦ ≦

≦ ≦ (4.15)

d exp i

d exp i

d exp i

sin

exp i

(4.16)

(4.14)를 써서 을 셈하면 다음과 같다;

, ± , ± , ±

, ± , ± ,

실수 반대칭함수: (4.20)

이것은 이 순허수임을 뜻한다. 이 두 경우에서 의 대칭성이 에도 보존됨을 알 수 있다.

4.2.2 1차원 역공간

푸리에 계수 을 의 함수인 으로 볼 수 있다. 은 이 정수일 때만 값이 0이 아니므로, 이 함수는 변수가 실수인데, 정수가 아니면 값이 0이다. 그림 4.3은 네모꼴 파동을 나타내는 푸리에 급수의 함

그림 4.3 네모꼴 파동의 함수 과

그림 4.4 폭과 주기가 다른 네모꼴 파동과 그것의 푸리에 계수 .

* 어떤 함수를 파수 또는 역공간에서 기술하면 그 진동 특성이 강조된다. 그것은 음악 소리를 시간의 함수가 아니라 진동수 성분으로 나타내는 악보와 비슷하다.

수 을 양수 축에 그린 것이다. 이 그림이 있으면, 이에 따라 급수를 더하면 애초의 네모꼴 파동을 간단히 되살릴 수 있는데, 다만 파장 에 대한 정보는 없다. 이 문제는 간단히 고칠 수 있다. 에 대해 쓰면 에 관한 식은 다음과 같다:

d exp i (4.21)

(4.21)에는 파장 에 관한 정보가 들어있다: ≡ 이고 대신 변수 = 를 썼다 (그림 4.3). 이것은 파장 인 파동의 고차 조화파의 파장 에 해당한다. 변수 를 파수(wavenumber) 또는 공간 진동수(spatial frequency)라고 한다. (4.21)은 다음과 같이 바뀐다:

d exp i (4.22)

가 에 따라 어떻게 바뀌는지 살펴보자. 그림 4.4의 (a), (b), (c)에서 와 의 눈금은 같다. 의 수평축 눈금은 의 수평축 눈금의 역수에 비례하는 것이 명확하다. 그래서 (가 1/에 비례하므로) 를 좌표로 하는 공간을 역공간(reciprocal space)이라고 한다; 실공간의 좌표값은 이고 역공간의 좌표값은 이다. 지금까지는 물론 1차원 공간만을 다루었지만, 2차원 및 3차원 공간으로 확장하는 것은 간단하고, 나중에 하겠다.

4.3 비주기 함수

결정에서는 원자무리가 3차원 공간에서 거의 이상적으로 정확한 주기로 배열되어 있지만, 거시적 규모의

그림 4.5 푸리에 급수가 푸리에 변환으로 바뀌는 것을 보여준다. 줄이 바뀌면 주기는 길어지지만 파형의 요소는 같다. 그러므로 스펙트럼 에서는 표본 뽑기를 더 자주 한다.

물질은 보통 그렇지 않다. 천연 물체는 때로 주기적으로 성장하지만, 그것도 결코 정확하지는 않다. 광학적으로 다루는 물체(곧, 빛의 파장보다 큰 물체)는 대부분 완전히 비주기적이다. 이 책은 빛과 실제의 물체를 다루는데 왜 주기 함수를 다루는데 쓰는 푸리에 방법이 중요하다고 하는지 궁금할 것이다. 그 까닭은 이 이론을 확장하면 푸리에 자신도 생각하지 못했던 비주기 함수를 다룰 수 있기 때문이다. 이 확장은 푸리에 변환(Fourier transform)의 개념에 바탕을 둔다.

4.3.1 푸리에 변환

§ 4.1.1에서 주기함수는 파장이 ∞, , /2, /3, ⋯인 조화파동으로 분해할 수 있음을 배웠고, 그림 4.4에서는 함수 의 꼴이 의 크기에 따라 어떻게 달라지는가를 보았다. 비주기 함수에 관심이 있으면, 다음과 같이 한다. 파장이 이고, 낱낱의 단위는 비주기 함수인 파동을 꾸민다 (그림 4.5). 는 언제라도 충분히 늘려 함수에서 중요하지 않은 부분은 한-장 단위 밖으로 밀어낸다. 이제 를 한없이 늘려 비주기 함수의 간격을 점점 더 벌린다. 그러면 함수 는 어떻게 되나? 가 점점 길어지면, 봉우리가 점점 더 가까워지지만 뾰족끝의 싸개는 변하지 않는다; 그것은 애초의 비주기 함수에 의해서만 결정된다. → ∞인 극한에서는 뾰족끝은 한없이 가까워지고 함수 는 싸개가 된다. 이 싸개가 비주기 함수의 푸리에 변환(Fourier transform)이다. 그림 4.5는 이 극한 과정을 보여준다.

물론, 이것은 비주기 함수의 푸리에 급수는 연속함수라기보다는 간격이 한없이 작지만 따로따로 떨어진 봉우리의 무리임을 시사한다. 이 논리는 → ∞인 극한에서 함수가 연속이 된다는 것을 보여주지 못한다. 하지만 물리적으로는 그 차이가 중요하지 않다. 수학적으로 보면 거꾸로 하는 것이 더 낫다. 함수 의 푸리에 변환을 다음과 같이 정의한다:

∞

∞ d exp i (4.23)

이것은 공간 진동수 의 연속함수이다. 이것을 (4.13)과 비교하면, 가 떨어져 나갔는데, 그것은 물리적으로 중요하지 않다. 뒤에(§ 4.7.5) 콘볼루션의 개념을 쓸 때, 가 주기적이면 변환 는 어떤 주기적인 값에서만 함수 값이 0이 아님을 보일 것이다.

그림 4.5는 중요한 개념인 표본 뽑기(sampling)를 보여준다. 어떤 모양을 주기적으로 배열한 것은, 푸리에 변환에서는 그 모양의 푸리에 변환의 값을 일정 간격으로 뽑아 배열한 것과 같다. 모양이 되풀이 되는 주

그림 4.6 (a) 네모꼴 펄스, (b) 그것의 푸리에 변환, 싱크 함수

* 네모꼴 펄스는 실틈이나 구멍을 지나온 빛을 나타낼 때 흔히 쓴다. 또한 그것을 한없이 퍼진 함수에 곱하면 공간적으로 제한된 함수가 된다.

기 를 점점 늘리면 푸리에 변환에서는 값을 뽑는 간격이 점점 좁아진다. 이 개념은 디지털 연산에 특히 잘 맞는다. 수치셈에서는 함수(단위)는 유한한 영역에서만 정의된다. 수학에서는 이 단위가 주기적으로 되풀이된다고 ‘가정하고’, (4.13)을 써서 푸리에 급수를 셈한다. 그러므로 이 단위의 변환은 간격이 조밀하지만 떨어져 있는 점에서 뽑은 값이며, 그 간격은 주기에 따라 결정된다.

4.3.2 네모꼴 펄스의 푸리에 변환: ‘싱크’ 함수

푸리에 변환을 셈하는 첫 사례는 상자 4.1과 같은, 네모꼴 펄스 하나이다. 높이는 , 폭은 이고 그 밖에서는 0이다 [그림 4.6(a)].1 적분 (4.23)은 다음과 같다:

d exp i i

exp

exp

sin (4.24)

함수 sin 는 싱크(sinc) 함수로 푸리에 변환 이론에서 자주 나오므로 다음과 같이 나타낸다: sinc. 따라서 (4.24)는 다음과 같이 쓴다:

sinc (4.25)

이 변환은 그림 4.6(b)에 보였다. = 0에서의 값은 (펄스의 넓이)이고 가 커지면서 값이 줄어들어 = 때 0이 된다. 그 다음에는 값이 양수와 음수로 진동하면서 = ⋅마다 0이 된다 ( ≠ 0). 이 변환은 실수함수이다; 그 까닭은 이것이 대칭함수이기 때문이다. (§ 4.2.1과 § 4.5를 보라).

1 높이와 폭이 1인 네모꼴 펄스를 흔히 ‘rect’로 나타낸다: 이 함수이 값은 –1/2 < < +1/2에서는 1, 그 바깥에서는 0이다.

§ 4.2.2에서 설명한 변환의 역진성을 그림 4.7에서 볼 수 있다. 가 커지면, 변환의 값이 0이 되는 값은 작아지며, 근의 간격도 좁아진다; 함수가 엉성할수록 그것의 변환은 더 조밀하다. 거꾸로 가 작아지면, 변환은 더 넓게 퍼지며 가 0이 되면 변환에 꼬리가 사라져서 상수 가 된다.

4.3.3 규모의 변화

위의 설명은 함수의 눈금이 푸리에 변환에 미치는 효과를 정식으로 보여준다. -눈금을 인자 만큼 바꾸는 효과를 살펴보자. 함수의 눈금과 그것의 변환은 반비례함을 보았으므로, 변환이 만큼 바뀔 것을 예상한다. 실제로 그렇게 되는 것을 보이려면, 의 변환 를 셈해야 한다.

그림 4.7 네모꼴 펄스에서 로 진화하는 모양과, 그것의 푸리에 변환의 변화. 넓이 는 일정하게 유지된다.

* 함수를 축을 따라 오른쪽이나 왼쪽으로 옮기면 진폭은 그대로이지만 위상이 바뀐다.

∞

∞ d exp i ∞

∞ d exp i

(4.26~8)

진폭도 눈금에 맞추어 늘어나거나 줄어드는 것을 눈여겨보라.

4.3.4 원점 이동

함수 모양은 그대로 두고 -축을 따라 이동하면, 푸리에 변환은 위상만 달라진다. 이것을 보이려면 함수 = 의 푸리에 변환을 셈하면 된다. 를 ′으로 두면,

∞

∞ d exp i ∞

∞ d′ ′ exp i′

exp i ∞

∞ d′ ′ exp i′

exp i

(4.29)

이것은 에 위상인자 exp i 를 곱한 것이다. 특히 두 진폭 과 는 같다.

4.3.5 함수의 도함수의 푸리에 변환

함수 의 푸리에 변환을 알 때, 도함수 dd의 푸리에 변환은 아주 쉽게 구할 수 있다:

∞

∞ d dd exp i

∞

∞ dexp i (4.30)

이것을 부분적분하면 다음과 같다:

exp i ∞∞ i

∞

∞ d exp i i (4.31,32)

* 델타 함수는 광학에서 이상적인 점광원이나 실틈을 나타내는데 쓴다.

(4.31)의 첫 항이 0인 까닭은 의 푸리에 변환이 있으려면 ±∞에서 함수값이 0이 되어야 하기 때문이다. 그러므로 다음과 같다:

dd

→ i (4.33)

4.4 디락 델타 함수

§ 4.3.2에서 설명한 극한 과정에서 디락 델타 함수(Dirac -function)가 나오는데, 이것은 쓸모가 아주 많다. 이것은 네모꼴 펄스를 넓이 는 1로 유지한 채 폭 를 한없이 좁혀 얻는 극한 함수이다. 그러므로 이 함수의 값은 ≠ 0에서는 모두 0이고, = 0에서는 다음 조건에 따라 한없이 크다: lim

→. 델타

함수의 푸리에 변환은 위의 극한 과정을 써서 구한다; 먼저 폭 , 높이 인 네모꼴 펄스에서 시작하면, 그것의 푸리에 변환은 다음과 같다:

sinc (4.34)

→∞이면, 이 변환은 모든 값에 대해 1이 된다: 델타 함수의 푸리에 변환은 1이다.

델타 함수의 중요한 수학적 성질은 다음과 같다:

∞

∞ d (4.35)

이 적분은 의 값을 = 에서 뽑아낸다.

4.4.1 한 짝의 델타 함수

델타 함수 여러 개를 벌려 놓은 아래의 함수를 앞으로 자주 쓸 것이다:

(4.36)

이것의 변환은 다음과 같다 [(4.29)]:

exp i (4.37)

예를 들어, 두 델타 함수가 = ±에 있으면, 이것의 푸리에 변환은 다음과 같다:

expi exp i cos (4.38)

이것은 실수함수(대칭함수)이고 진동한다 (그림 4.8). 이것은 § 8.5.1에서 영의 줄무늬(Young’s fringes) 실

그림 4.8 (a) ±에 있는 두 델타 함수. (b) 이것의 푸리에 변환은 코싸인 함수이다.

그림 4.9 주기적으로 배열한 델타 함수의 푸리에 변환도 주기적 배열이다.

험을 설명할 때 쓴다.

4.4.2 델타 함수의 규칙적 배열

= ⋅에 규칙적으로 늘어선 델타함수의 푸리에 변환은 특히 중요하다 (그림 4.9):

∞

∞

⋅ (4.39)

이 함수는 흔히 빗 함수(comb function)라고 한다: = comb(). 이 함수의 푸리에 변환은 다음과 같다 [(4.37)]:

∞

∞ exp i (4.40)

함수 은 양쪽으로 한없이 펼쳐지므로 적분값은 무한이다. 그 결과 수학적으로 보면 이 함수는 푸리에 변환이 없다. 그렇지만, 수학이 나타내는 실제의 물리량은 퍼져 있는 범위가 유한하다.

따라서 (4.40)은 수학적으로 문제없이 다룰 수 있는 유한 급수의 극한으로 생각한다. 푸리에 변환을 구하려면 = 0을 중심으로 -에서 +까지 퍼져 있는 것을 더한다:

exp i (4.41)

이것은 쉽게 셈할 수 있고, 그 결과는 다음과 같다:

sin

sin

(4.42)

이 함수는 분모가 0인 곳, 곧 = ⋅인 곳 마다 높이 2+1인 봉우리가 주기적으로 배열되어 있다.

이 아주 크면 낱낱의 봉우리는 sinc 함수처럼 보인다: sin ≈ sinc . →∞인 극

한에서는, 낱낱의 봉우리가 델타 함수가 되고, 그 세기는 2× = 이다. 따라서 한 없이 많은 델타 함수가 간격 로 늘어선 함수 (4.39)의 푸리에 변환은 간격 로 늘어선 델타 함수이다:

* § 7.3에서 가우스 빛다발의 진행을 배울 때는, 의 값이 복소수이지만, 여기에서 얻은 수학적 결론이 그대로 적용된다.

* 델타 함수 배열은 광학에서 회절격자나 3차원 결정격자를 나타내는데 쓴다.

* 원점에 봉우리를 두고 매끄럽게 퍼져 있는 함수의 푸리에 변환은 가우스 함수와 비슷한 꼴이다.

∞

∞

⋅ ⇒

∞

∞

⋅ (4.43)

또는

comb ⇒ comb (4.44)

4.4.3 가우스 함수

광학에서 푸리에 변환이 특히 쓸모가 있는 또 다른 함수는 가우스 함수(Gaussian function)이다 (그림 4.10):

exp (4.45)

변환의 정의 (4.43)에서 다음 결과를 얻는다:

∞

∞ d exp exp i

exp

∞

∞ d exp

i

(4.46)

이 적분은 통계이론에서 자주 나타나는 표준적인 것이며, 그 값은 와는 무관한 상수이다:

∞

∞ d exp

(4.47)

따라서 다음과 같다:

exp

(4.48)

애초의 함수 (4.45)는 이산값이 인 가우스 함수이고, 이것의 푸리에 변환도 가우스 함수인데, 이산값은 이다. 가우스 함수의 반값폭(half-peak-width)은 2.36이다. 가우스 함수의 푸리에 변환이 가우스 함수이므로, 이 특별한 예는 어떤 함수와 그것의 푸리에 변환의 눈금이 반비례하는 것을 명확히 잘 보여준다.

그림 4.10 가우스 함수의 푸리에 변환도 가우스 함수이다. 그림에서 폭은 봉우리 높이의 = 0.60인 부분이다.

* 힐버트 변환은 망원경으로 받은 천체 영상의 상관관계를 셈하는 구경합성(§ 11.8)에서 중요하다.

4.5 복소 함수의 변환

4.2.1에서 여러가지 대칭성을 띤 주기함수의 과 의 관계를 설명했다. 이 때 에 복소함수도 넣었는데, 그 까닭은 복소함수가 파동광학 이론의 뼈대를 이루기 때문이다. 가 복소함수일 때도 푸리에 변환 는 똑같이 정의되며, 켤레 복소 함수 에 대한 푸리에 변환은 다음과 같다:

∞

∞ d exp i

∞

∞ d exp i

(4.49)

따라서 의 변환은 이다. 따라서 가 실수함수이면, = 이므로, (4.10)처럼

실수함수:

(4.50)

비슷한 방법으로 다음 관계식을 얻을 수 있다:

대칭함수: (4.51)

반대칭함수: (4.52)

실수함수에 대해 (4.50)과 결합하면 대칭인 실수함수의 변환도 실수함수이며, 반대칭인 실수함수의 변환은 순허수함수이다. 이 모든 경우에서 절대값 은 대칭이다:

(4.53)

4.5.1 힐버트 변환

뒤에 우리는 편의상 실수값의 물리량을 복소함수를 써서 나타낼 것이다. 힐버트 변환(Hilbert transform)은 실수함수와 관련된 복소함수를 정의하는 형식으로, 실수함수의 푸리에 변환을 써서 나타낼 수 있다. 실수함수가 R 이고, 그것의 푸리에 변환이 이면, 다음과 같다:

R ∞

∞ d exp i (4.54)

이것과 연관된 복소함수(associated complex function) = Re + iIm는 다음과 같다:

* 좌표 성분 (, )가 실공간의 벡터 r을 나타내듯이, 성분 (, )은 역공간의 벡터 k를 나타낸다.

∞d exp i (4.55)

힐버트 변환은 애초의 함수가 실수함수이므로 = 이어서 애매함이 없다. 따라서 가 음수인 부분에 대한 변환을 없애도 함수에 대한 정보가 사라지지 않는다.

4.5.2 2차원 푸리에 변환과 축대칭 특성

1차원 푸리에 변환과 급수에 관한 지금까지의 설명은 고차원에도 그대로 쓸 수 있다. 특히 2차원 (화면) 함수는 광학에서 아주 중요하다. 그 변환은 두 개의 공간 진동수 성분 와 에 대한 중적분으로 정의한다:

∞

∞ dd exp i (4.56)

함수 를 두 함수의 곱 의 꼴로 쓸 수 있으면, (4.56)의 적분은 두 개의 1차원 변환의 곱으로 인수분해할 수 있다:

∞

∞ d exp i ∞

∞ d exp i (4.57)

(4.56)과 (4.57)에 대한 3차원 대응식도 쓸 수 있다.

를 위와 같이 인수분해할 수 없으면, (4.56)을 해석적으로 셈하기가 어렵다. 인수분해가 되는 광학 문제 가운데 중요한 것은 가 광축 회전대칭일 때로서 극좌표 를 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(4.58)

이 문제의 예는 부록 A에서 설명했다.

2차원에서, 광축 회전대칭이 있으면 두드러진 특성이 있다. 가 중심대칭이면, 곧

(4.59)

이면, 푸리에 변환은 다음 특성이 있다:

(4.60)

마찬가지로,

(4.61)

상자 4.2 푸리에 알고리즘: 빠르고 이산적인 푸리에 변환

일반적으로 가 간단한 해석함수가 아니면, 푸리에 변환을 구할 때 수치셈을 해야 한다. 그 때는 함수 를 길이 인 유한한 영역에서 정의하고, 그 안에서 개의 점 = ⋅에서 값을 뽑아, 그것으로 푸리에 변환을 셈하여 역공간에서 개의 점에 대한 값을 구한다. 따라서 함수를 실질적인 주기함수로 보아 (4.13)을 써서 푸리에 계수를 구한다:

exp i (4.64)

과 이 크면, 이 셈을 곧바로 하는데 시간이 오래 걸린다. 1965년에 쿨리(Cooley)와 투키(Tukey)가 아주 효율적인 알고리즘인 빠른 푸리에 변환(fast Fourier transform: FFT)을 제시했는데, 이것은 = = 2n일 때 쓸 수 있는 것으로 행렬 인수분해를 쓰며, 지금은 아주 널리 쓰인다. 과 이 2의 멱수가 아니면, 행렬의 빈 곳에 0을 붙여 2의 멱수꼴로 만든다. 그렇지만, 빠른 푸리에 변환이 늘 가장 이상적인 도구는 아니다. 예를 드러, ≠ 인 곳이나, 제한된 영역에서만 푸리에 변환을 해야 하거나 함수값을 뽑는 구간이 고르지 않을 때도 있다. 그 때는 (4.64)를 곧바로 써서 구하는 것이 더 효율적이다. 이것이 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform; DFT)이다.

이면, 푸리에 변환은 다음 특성이 있다:

(4.62)

가 실수함수이면

(4.62)

이다. 따라서 은 중심 대칭성이 있다. (4.59)와 (4.60)은 함수와 푸리에 변환 모두 원점에 대해 180° 돌려도 같다. 더 일반적으로, 함수가 360°/ 회전에 대해 불변이면(-겹 회전 대칭), 그 변환도 마찬가지다. 끝으로, 이 홀수인 실수함수를 생각하자. 도 -겹 회전 대칭이고 또한 중심 대칭이므로 2-겹 회전 대칭이 된다. 예를 들어 정삼각형을 생각하면, 이것은 6겹 회전대칭이다. 거울면에 대한 대칭 또는 반대칭도 마찬가지다; = ± 이면, = ± 이고, 두 경우 모두 은 거울면 대칭이다.

4.6 푸리에 역변환 정리

푸리에 변환의 아주 좋은 특성은 변환 및 역변환의 꼴이 같은 것이다. 이 특성은 시시한 것이 아니며, 아래에 증명할 것이다. 또 달리 설명하면, 푸리에 변환의 푸리에 변환은 애초의 함수가 되는 것인데, 이것이 푸리에 역변환 정리(Fourier inversion theorem)이다.

* 푸리에 역변환 정리는 결상의 수학적 바탕이어서 (§ 12.1), 상은 물체를 뒤집은 꼴이 된다.

애초의 함수가 라면, 그것의 푸리에 변환의 푸리에 변환 ′ 은 다음과 같은 중적분으로 쓸 수 있다:

′ ∞

∞ d exp i′ ∞

∞ d exp i (4.65)

이것을 다음과 같이 구할 수 있다:

′ ∞

∞ d ∞

∞ d exp i

∞

∞ d

i ′exp i

∞

∞

(4.66)

′를 로 바꾸면, 네모꼴 괄호 속의 함수는 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다:

lim→∞sin

lim→∞sinc (4.67)

이 극한은 델타함수처럼 보이고, → ∞이면 봉우리가 더 좁아지고, 더 높아진다. 이 함수를 적분하면 적절한 델타함수를 구할 수 있다. 다음과 같은 정적분을 쓰면,

∞

∞ dsin

(4.68)

푸리에 변환 ′ 은 다음과 같다:

′ ∞

∞ d ′ ′ (4.69)

푸리에 변환을 다시 푸리에 변환하면, 애초의 함수가 되는데, 다만 원점을 중심으로 뒤집히고 (가 -로 바뀐다) 를 곱한 꼴이 된다.2 2차원 함수 의 푸리에 변환의 푸리에 변환은 원점에 대해 180° 돌린 꼴이 된다.3

2 이 인자는 4.3.1에서 푸리에 변환을 정의할 때 무시했던 1/2를 보상하는 것이다.

3 ‘푸리에 역변환(inverse Fourier transform)’을 정의할 때 대개 위의 두 가지 문제점을 ‘지워’, 푸리에 변환의 푸리에 변환은 애초의 함수가 되게 한다. 의 푸리에 변환 은 (4.23)과 같이 정의하고, 의 푸리에 역변환 ′ 는 다음과 같이 정의한다:

′

∞

∞ d exp i′

이렇게 하면, ′ 는 애초의 함수 와 똑같아진다. 물론, 물리학은 그러한 규약과는 무관하다. 푸리에 변환과 역변환을 광학계를 써서 구현하면(12.1.3), 상은 실제로 뒤집힌다!

* 콘볼루션은 낱낱의 점이 번진 것을 일반화하여 수학적으로 정의한 것이다.

4.6.1 푸리에 역변환의 예

§ 4.3.5에서 도함수 dd의 푸리에 변환은 i임을 보았다. 이제 푸리에 역변환을 써서 적분

의 변환이 i 임을 알 수 있다.

푸리에 역변환 정리는 푸리에 변환을 해석적으로 할 수 있고, 그것을 다시 해석적으로 푸리에 변환할 수 있는 모든 함수에 대해 보일 수 있다. 뻔한 예는 가우스 함수로서, 이것의 푸리에 변환은 다른 가우스 함수로 두 가우스 함수의 폭의 곱은 1이다 (4.4.3). 또 다른 예는 4.4.1의 델타 함수이다. 함수 + 의 푸리에 변환은 cos이다. 코싸인 함수의 역변환을 구하면 다음과 같다:

∞

∞ d cos expi

∞

∞ d expi exp

i

(4.70)

이것은 애초의 함수에 를 곱한 것이다. 위에서 지수함수를 적분할 때, 앞에서 4.6에서 했던 극한과정을 썼다. 푸리에 역변환 정리는 물론 푸리에 변환을 한쪽으로만 해석적으로 할 수 있을 때 특히 쓸모가 있다.

4.7 콘볼루션

광학에서 – 물리학 일반에서 - 자주 나타나는 연산은 콘볼루션(convolution) 또는 접힘(folding)이다. 두 실수함수 와 의 콘볼루션은 다음과 같이 정의한다:

∞

∞ d′ ′ ′ (4.71)

이 책에서는 콘볼루션 연산을 기호 ⊗으로 나타내며, 따라서 (4.71)은 다음과 같이 쓸 수 있다:

⊗ (4.72)

이 연산은 특히 푸리에 이론에서 중요하다: 두 함수의 콘볼루션의 푸리에 변환은 이들의 변환의 곱과 같기 때문이다 (§ 4.7.4).

4.7.1 델타 함수 배열과의 콘볼루션

델타 함수와의 콘볼루션을 구하는 것은 아주 쉽다. 함수 가 = 에 있는 델타 함수라고 하자: = . 그러면, 콘볼루션 적분 (4.71)은 다음과 같다:

∞

∞ d′ ′ ′ (4.73)

(4.35)의 표본 뽑기식은 다음과 같이 쓸 수 있다:

∞

∞ d′ ′ ′ (4.74)

따라서 다음과 같다:

(4.75)

함수의 원점은 = 로 옮겨졌다. 가 델타함수의 배열이라면, 와의 콘볼루션을 하면 이 함수를 낱낱의 델타함수로 옮겨다 놓는다. 이것이 결정구조학에서 콘볼루션이 중요한 까닭이다: 이것은 원자 배열이 주기적으로 되풀이되는 것을 자연스럽게 기술한다.

주기적인 배열 =

과 콘볼루션을 하면 주기함수의 푸리에 변환 및 푸리에 계수와 연결

된다. 낱낱의 주기를 로 기술하면, 간격 마다 콘볼루션이 되풀이되어, 주기적으로 되풀이되는 함수가 된다. § 4.7.5에서 푸리에 변환은 애초의 푸리에 계수를 회복시킴을 알게 된다.

4.7.2 ‘바늘구멍’ 사진기로 콘볼루션 보기

콘볼루션 함수는 가장 간단한 광학기기인 바늘구멍 사진기를 써서 잘 보여줄 수 있다. 큰 구멍이 난 바늘구멍 사진기를 써서 평면 물체의 사진을 찍는 것을 생각하자. 바늘구멍이 크면, 밝은 물점에 대해 상평면에는 상점 ′ 주변에 번진 상이 생긴다. 1차원에서는 이 번진 점을 ′에 중심을 둔 함수로 다음과 같이 기술한다: ′. 번진 상의 밝기분포는 ′에 생겼을 선명한 상의 밝기에 비례하므로, 다음과 같다:

′ ′ (4.76)

그리고 상 전체의 밝기분포는 다음과 같다:

∞

∞ d′ ′ ′ (4.77)

그림 4.11은 콘볼루션의 여러 특징을 드러내는 2차원 상이다. 2차원에서는 콘볼루션 함수가 다음과 같은 꼴이다:

∞

∞ d′d′ ′ ′ ′ ′ (4.78)

4.7.3 광학에서 콘볼루션의 중요성

콘볼루션 연산에 대한 설명을 많이 한 까닭은 광학에서 많이 쓰기 때문이다. 콘볼루션을 쓰면 연산이 아주 간단해지는 세 가지 예를 간단히 설명하겠다:

1. 회절격자는 실틈과 한 줄로 늘어놓은 델타함수의 콘볼루션으로 나타낼 수 있다 [(9.2)].

그림 4.11 4.7.2에서 설명한 바늘구멍 사진기로 보여주는 2차원 함수의 콘볼루션. 물체는 (a), (b), (c)이다; ‘바늘구멍’은 (b), (c)의 모양을 그린 투명판이다. (d)는 자체 콘볼루션 c⊗c, (e)는 a⊗b, (f)는 자체 콘볼루션 b⊗b, (g)는 b⊗c이다. (b)와 (c)는 중심 대칭꼴이므로 자체 콘볼루션(self-convolution)과 자체 상관(auto-correlation)이 같다.

* 콘볼루션 연산과 곱셈 연산은 서로 푸리에 변환 관계이다.

2. 결정의 전자밀도는 분자 하나의 전자밀도와 3차원 결정격자에 배열된 델타함수의 콘볼루션으로 나타낼 수 있다 (§ 8.6.1).

3. 프라운호퍼 회절 실험에서 보는 밝기분포는 물체의 자체상관의 푸리에 변환인데, 이것은 자체 콘볼루션이다 (§ 4.9.1)

4.7.4 콘볼루션의 푸리에 변환

콘볼루션은 물리학에서 자주 나오고 푸리에 변환이 특히 간단하여 매력적이다. 이제 다음 ‘콘볼루션 정리(convolution theorem)’을 증명한다: 두 함수의 콘볼루션의 푸리에 변환은 애초의 함수의 푸리에 변환의 곱이다.

함수 와 의 콘볼루션 의 푸리에 변환은 다음과 같다:

∞

∞ d

∞

∞ d′ ′ ′exp i

∞

∞ d′ d ′ ′ exp i (4.79)

= ′으로 잡으면, 윗식은 다음과 같이 쓸 수 있다:

∞

∞ d′ d ′ exp i′

∞

∞ d′ ′exp i′ ∞

∞ d exp i

(4.80-2)

이것이 원하던 결과이다.

이제 푸리에 역변환 정리(4.6)을 쓰면 ‘두 함수의 곱의 푸리에 변환은 낱낱의 변환의 콘볼루션과 같다’는 것을 바로 끌어낼 수 있고, 이것은 콘볼루션 정리를 달리 표현한 것이다.

그림 4.12 (a) (4.83) 파동뭉치의 실수부; (b) 푸리에 변환.

상자 4.3 파동뭉치를 콘볼루션으로 나타내기

어떤 함수는 푸리에 변환을 구할 때, 먼저 콘볼루션 또는 곱으로 나타낸 다음 변환하면 훨씬 쉽다. 여기에서는 간단한 예를 드는데, 이것을 모형으로 삼아 더 복잡한 상황을 나타낼 수 있다 (2.4와 11.1.2).

가우스 파동 뭉치를 나타내는 식은 다음과 같이 이산값이 인 가우스 함수를 곱한 꼴이다 [그림 4.12(a)]:

expiexp (4.83)

이 함수는 복소 지수함수 expi와 (4.45)의 가우스 함수를 곱한 것이다. 그러므로, 이것의 푸리에 변환은 두 함수의 푸리에 변환 와 exp 의 콘볼루션이다. 첫째 함수의 푸리에 변환은 = 에 있는 델타함수이므로, 이것을 가우스 함수와 콘볼루션하면 그 원점을 옮기는 셈이 되어 다음과 같다:

exp (4.84)

이것은 그림 4.12(b)와 같고, 이 결과는 2.7에서 썼다.

4.7.5 주기함수의 푸리에 변환: 푸리에 급수

콘볼루션 연산을 쓰면 푸리에 급수와 푸리에 변환을 다시 연결할 수 있다. § 4.7.1에서 보았듯이 주기함수는 한 주기 와 한 줄로 늘어놓은 델타함수의 콘볼루션으로 나타낼 수 있다 (그림 4.13):

⊗

(4.85)

이것의 푸리에 변환은 다음과 같다:

(4.86)

이것은 변환 를 의 간격으로 뽑는다. 이 값은 푸리에 계수 , 곧, = ⋅에서의 델타함수의 세기로 볼 수 있다.4

그림 4.13 (a) 주기적 네모꼴 파동을 네모꼴 파동과 델타함수 배열의 콘볼루션으로 나타낸 것. (b) 그것의 푸리에 변환으로 싱크 함수와 델타함수 배열의 푸리에 변환인 델타함수 배열의 곱이다.

* 2차원에 주기적으로 배열한 점의 푸리에 변환을 끌어내는 이 방법은 강의시간에 주기적인 격자 두 장을 겹친(곱한) 것의 회절무늬를 보여주다가 떠올랐다. 부록 B를 보라.

4 의 범위를 길이 인 구간으로 제한할 필요가 없음을 눈여겨 보자. 그렇게 하지 않아도 푸리에 계수는 바로 나온다. 파형(wave-form)이 똑같은 함수 가 여럿이 될 수 있는데; 이 함수의 푸리에 변환 의 차이는 ≠

⋅에서 나타나므로, 그 값은 뽑히지 않는다! 문제 2.1을 보라.

4.8 2차원 및 3차원 격자의 푸리에 변환

위에서 격자를 델타함수의 주기적 배열로 보았는데, 이 개념은 결정을 비롯한 여러 가지 물체를 기술할 때 중요하게 쓰인다. § 4.4.2에서는 1차원 격자, 곧 델타함수를 간격 로 배열한 것의 푸리에 변환을 셈했는데, 그 결과는 델타함수를 간격 로 배열한 것이었다. 이것을 나타내는 수식은 다음과 같다:

∞

∞

⇔ ∞

∞

(4.87)

또는

comb ⇔ comb (4.88)

이 결과를 써서 고차원 격자의 푸리에 변환을 구할 수 있다. 3차원 격자에 대한 수식은 이 장의 부록에 있다. 여기에서는 콘볼루션의 개념에서 곧바로 기하학적인 2차원 문제의 결과를 끌어내겠다.

먼저 -쪽으로는 델타함수 하나를 잡아, -쪽으로 고른 간격으로 늘어선 점을 그린다:

comb⋅ (4.89)

이제 이와 비슷하고 좌표축이 ′, ′인 둘째 함수를 그리고

′ ′ comb′ ⋅′ (4.90)

두 함수의 콘볼루션을 구한다:

⊗ ′ ′ (4.91)

그림 4.14 델타함수의 2차원 격자의 푸리에 변환. 윗줄은 공간에 격자를 만드는 연산을, 아랫줄은 그 윗줄의 함수와 연산의 푸리에 변환의 결과로 ‘역격자’가 생기는 것을 보여준다.

이것은 의 낱낱의 델타함수를 원점으로 삼아 배열 를 되풀이하여 늘어놓는 것이고, 그 결과는 델타함수의 2차원 배열로 격자 간격은 각각 와 이다. 되풀이되는 똑같은 꼴 가운데 가장 작은 것이 기본 단위 세포(primitive unit cell)이며, 여기에서는 각변이 와 인 평행사변형이고 꼭지각 는 -와 ′-축의 사이각이다 [그림 4.14(a)].

(4.89)의 푸리에 변환 은 콘볼루션 comb ⊗ 으로 -쪽 직선을 한 없이 배열한 것이며, -축과 나란한 -축에서의 간격은 이다. 마찬가지로 (4.90)의 푸리에 변환 는 ′와 나란한 직선을 ′ -축을 따라 간격 로 한 없이 배열한 것이다. 끝으로, 이 두 변환을 곱하면 의 변환 를 얻는

다 (4.91). 두 직선의 곱은 둘이 만나는 곳을 빼고는 0이므로 는 델타함수의 2차원 배열이다 [그림 4.14(b)]. 이것이 역격자(reciprocal lattice)이다. 기하학에서, 새 단위세포는 애초의 함수와 비슷한 평행사변형이지만, 돌아가 있다. 이것의 변의 길이는 ≡ sin와 ≡ sin로 이들은 각각 ′과 와 직교한다 (그림 4.15). 형식적으로는, 기본 단위세포를 벡터 a와 b로 나타내고, 역격자 벡터(reciprocal lattice vector)를 다음과 같이 정의한다:

a a×bz× b

b a×bz× a (4.92)

b⋅a a⋅b (4.93)

여기에서 z는 평면에 대한 법선벡터이다. 분모 a×b의 값은 기본 단위세포의 넓이이다. 3차원에서는, (4.112)에 보인 것처럼 다음과 같다:

a a×b⋅cb× c , 등 (4.94)

여기에서 세겹곱 a×b⋅c는 단위세포의 부피이다.

그림 4.15 직접 격자 벡터 a b와 역격자 벡터 a b 의 관계. a⋅b = 0이고 b⋅a = 0임을 눈여겨 보라. 빗금친 영역은 각각의 격자의 단위세포이다.

4.6 상관함수

통계학과 물리학에서 많이 쓰는 아주 중요한 콘볼루션 함수는 다음의 상관함수(correlation function)이다:

∞

∞ d′ ′ ′ (4.95)

이것은 와 의 콘볼루션이다. 이름이 시사하듯이, 이 함수는 두 함수 와 가 비슷한 정도를 잰다. 두 함수의 크기와 위상이 각각의 원점을 0와 에 잡을 때 비슷하다고 하자. = 로 두면, ′과 ′ 는 복소수 값이 비슷해지므로 ′ ′ 의 값은 실수이고 양수가 된다. 따라서 적분 는 값이 크고, 양수가 된다. 앞으로 11장에서 결맞음을 배울 때 이 함수를 많이 쓸 것이다. 이것의 푸리에 변환은 다음과 같다:

(4.96)

4.9.1 자체상관함수와 비이너-킨친 정리

자체상관함수(auto-correlation function), 는 특별한 상관함수로 (4.95)에서 ≡일 때이다:

∞

∞ d′ ′ ′ (4.97)

곧, ⊗ 이다. 두 함수의 원점이 같으므로, 자체상관함수는 = 0에 뾰족한 봉우리가 있다.

의 푸리에 변환은 다음과 같다:

(4.98)

다시 말해 (4.98)은 자상의 푸리에 변환은 함수의 푸리에 변환의 크기의 제곱이며, 이것이 일률 스펙트럼(power spectrum)이다. 푸리에 역변환 정리에서, 이 명제의 역도 참이다. 그것이 비너-킨친 정리(Wiener-Khinchin theorem)이며, 1차원 이상에서도 적용된다.

자체상관 함수에 관한 정보는 = 0에 있는 봉우리에만 들어있는 것은 아니다. 예를 들어, 어떤 함수가 파수 와 주기 = 로 강한 주기성이 있다고 하자. 그 함수 ′와 ′ 는 비슷할 것이

그림 4.16 2차원 함수의 자체상관. (왼쪽 회색) 세 원반은 델타함수를 나타낸다. 점선은 모양을 알아보기 쉽게 그은 것이다. 이것을 원점에 대해 뒤집어 자체 콘볼루션하면 자체상관이 된다. 원점에는 늘 높은 봉우리가 생긴다.

고, 따라서 그 곱은 양수가 될 것이다; 따라서 에 봉우리가 주기적으로 생길 것이다. 그것의 푸리에 변환인 일률 스펙트럼 도 = 에 대응되는 봉우리가 생긴다. 따라서 에 주기성이 있음을 알아내는데 쓸모가 있다.

2차원 및 3차원에서는 상관 함수가 모양인식(pattern recognition)에 많이 쓰이며, 자체상관 함수는 엑스선 회절 무늬를 해석할 때 널리 쓰이는데, 그것을 패터슨 함수(Patterson function)라고 한다. 간단한 2차원 문제에서 그것이 어떻게 되는지 살펴보자. 값이 실수인 똑같은 델타함수 3개로 된 함수 를 생각자자 (그림 4.16). 의 낱낱의 델타함수가 있는 점에 를 180° 돌린 함수 의 원점을 둔다. 그러면 원점에 높은 봉우리가 생김을 바로 알 수 있다. 이 높은 봉우리는 실수함수의 자체상관 함수의 고유한 특성이다. 공간 자체상관 함수를 실험에 쓰는 것을 § 12.7에서 간단히 설명한다.

4.9.2 에너지 보존: 팔스발 정리

어떤 함수 를 푸리에 변환하는 과정은 본질적으로 그것을 여러 싸인파동이 겹친 꼴로 나타내는 것이다. 뒤에 8장에서 보겠지만, 프라운호퍼 회절은 푸리에 변환으로 기술되며, 이 때 는 물체에서 나오는 빛의 진폭분포이고 는 회절무늬의 진폭분포이다. 이 과정에서 빛에너지를 잃지 않으므로, 물체에서 나오는 빛과 회절무늬에 들어오는 빛 둘 다 총 일률이 같아야 하고, 이것을 수식으로 나타내면 다음과 같다:

∞

∞ d ∞

∞ d (4.99)

여기에서 상수 는 푸리에 변환을 정의한 방식에 따라 값이 달라질 뿐 물리적은 내용은 없다. 이것이 팔스발 정리(Parseval’s theorem)이다. 이것은 4.9.1에서 설명한 자체상관 함수를 써서 쉽게 증명할 수 있다. (4.98)에 푸리에 역변환 정리를 쓰면, 의 역변환은 이다. 이것을 명확히 쓰면, (4.71)에서 다음과 같다:

∞

∞ d expi ∞

∞ d′ ′ ′ (4.100)

이제 이 식에 = 0을 넣으면 다음 식을 얻는다:

∞

∞ d ∞

∞ d′ ′ (4.101)

이것이 팔스발 정리이고, = 이다.

4.10 고급 주제: 자체 푸리에 함수

푸리에 변환을 함수에 작용하는 연산자로 보면, 다음 물음이 나온다: 이 연산자의 고유값과 고유함수는 무엇인가?:

ℱ (4.102)

이것은 수학적 문제처럼 보이겠지만, § 14.6.1에서 이 고유함수 또는 ‘자체 푸리에 함수’는 레이저의 공초점 공진기에서 수직 모우드를 정의하는 등 실제적 중요성이 있다. 이미 그러한 함수 두 가지를 보았다: 하나는 델타함수를 한없이 늘어놓은 것으로(§ 4.4.2) 고유값은 = 이고, 다른 하나는 가우스 함수로 고유값은 = 이다. 사실 이러한 함수는 한 없이 많으며, 다음의 논리에서 명확하다. 간단히 대칭 실수함수만 생각하자. 이 논리를 조금 더 꾸미면 모든 경우를 다룰 수 있다 [Caila (1991)]. 의 푸리에 변환은 이고 의 푸리에 변환은 이므로, + 의 푸리에 변환은 + = + 이다. 그렇지만, 이렇게 될 수 있는 여러 함수 가운데, 파수와 공간이 모두 제한된 함수가 있고, 실제로는 이들이 중요하다. 이들은 함수와 그것의 도함수의 푸리에 변환의 관계를 써서 끌어낼 수 있다 (문제 4.1):

d

exp i i (4.103)

이제 위에서 설명한 일반적인 방식을 써서 자체 푸리에 함수를 다음과 같이 만든다. 다음 미분방정식을 살펴보자:

i (4.104)

이 식의 푸리에 변환을 구하고, 푸리에 역변환 정리를 쓰면 -공간에서도 똑같은 미분방정식을 얻는다:

i

(4.105)

이 미분방정식의 해는 상수를 빼고는 앞의 미분방정식과 똑같다. 특히 = 2일 때의 해를 구하면 다음과 같은 레이저 모우드에 관한 미분방정식이 된다:

(4.106)

이것은 단순 조화 진동자에 관한 슈뢰딩거 방정식과 똑같고, 그 해는 잘 알려진 에르미트-가우스 함수이다. 첫째 해는 가우스 함수로 =

exp 이며, 넣어보면 고유값은 = 1이다. 이것

그림 4.17 2차원 자체 푸리에 함수: VCSEL의 모우드를 전산시늉한 결과와 관찰한 결과 비교.

은, 뒤에 홀 모우드 레이저의 진폭 단면에 해당한다. 그렇지만, 이 미분방정식에는 고차 모우드 해가 여러개 있다. 얇은 수직 공진통 표면 방사 레이저(vertical cavity surface emitting laser: VCSEL)는 (4.106)와 등가인 2차원 미분방정식의 해인 고차 모우드에서 발진할 수 있다:

∇ (4.107)

그림 4.17은 이 해 가운데 몇 몇과 관찰결과를 비교한 것이다.

요약이 장에서는 푸리에 이론을 전체적으로 훑어 보았는데, 수학 보다는 물리학의 측면을 강조했다. 광학에서 푸리에 이론을 많이 쓰는 까닭은 결국 빛이 파동이기 때문이다. 여기에서는 다음을 배웠다:

l 푸리에 급수(Fourier series)는 애초에 싸인함수꼴이 아닌 주기적 파형을 분석하려 한 것이지만, 나중에는 비주기 함수로 확장되어 푸리에 변환(Fouerier transform)이 되었다.

l 공간 함수의 푸리에 변환이 정의되는 공간은 역공간이고, 그곳의 변수는 공간 주파수이다.l 1차원 푸리에 변환의 정의와 몇 가지 보기: 네모꼴 펄스, 가우스 함수, 싸인 함수, 델타함수, 주기적으

로 배열된 델타함수 (그림 4.18).l 단순한 함수를 콘볼루션과 곱셈으로 묶어 만든 함수의 푸리에 변환과 구성 함수의 푸리에 변환의 관계.l 푸리에 역변환(Fourier inversion): 푸리에 변환의 푸리에 변환은 애초의 함수가 되며, 이것은 뒤에 결상

이론의 바탕이 된다.l 역격자(reciprocal lattice)는 실공간의 주기적 격자의 푸리에 변환이다. 이것을 3차원으로 확장하면 결정

구조학에서 중요한 개념이 된다.l 비너-킨친 정리: 자체상관함수의 푸리에 변환은 애초의 함수의 일률 스펙트럼이다.l 팔스발 정리: 일률 스펙트럼의 적분값과 애초의 함수의 세기의 적분값은 같다.l 자체 푸리에 함수: 함수 스스로가 푸리에 변환인 함수.

그림 4.18 앞에서 설명한 7가지 1차원 함수의 푸리에 변환으로 뒤에 많이 쓰인다. sin와 계단 함수는 반대칭 함수이고 푸리에 변환의 허수부가 반대칭이다. 실공간의 눈금 막대의 길이는 , 역공간의 눈금 막대의 길이는 이다. 함수와 푸리에 변환은 각각 다음과 같다: (a) rect ⇔ sinc, (b) ⇔ 1, ( c) cos ⇔

, (d) sin ⇔

, (e) exp ⇔ exp,

(f) ∞

∞

⇔ ∞

∞

, (g) signx ⇔ i.

부록: 3차원 공간의 역격자

3차원 공간의 역격자의 개념을 § 4.8에서 쓴 기하학적 방법 대신 대수적 방법을 써서 끌어낸다.

한없는 주기적 격자 속에 있는 델타함수의 위치를 직접 격자 벡터(direct lattice vector) a , b, c를 써서 다음과 같이 정의한다.

그림 4.19 3차원 공간의 직접 격자와 역격자 벡터의 관계

≡ r ∞

∞

r a b c (4.108)

이것은 세 변이 a , b, c인 평행육면체가 기본 단위세포인 주기적 격자점 마다 델타함수가 있는 것이다 [그림 4.19(a)].5

5 어떤 격자에 대해 a , b, c를 잡는 방법은 아주 많지만, 가장 간단한 것이 한 두 개 있다.

(4.108)의 푸리에 변환은, 벡터 k = 로 나타내면 다음과 같다:

k ∞

∞ exp ik⋅a b c (4.109)

새 벡터 a⋆ , b⋆ , c⋆ 를 다음과 같이 정의하여 쓰면 윗 식이 간단해진다:

a⋆⋅a b⋆⋅b c⋆⋅c (4.110)

a⋆⋅b a⋆⋅c b⋆⋅a b⋆⋅c c⋆⋅a c⋆⋅b (4.111)

다시 말해, a⋆ 는 b, c와 직교하고, b⋆ 는 a, c와 직교하고, c⋆ 는 a, b와 직교한다. a⋆ 를 다음과 같이 정의하면 이 조건이 맞는다:

a⋆ ≡ a⋅b× cb× c

b× c (4.112)

여기에서 는 단위세포의 부피이다. b⋆ 및 c⋆ 도 같은 식으로 정의한다.

벡터 a⋆ , b⋆ , c⋆ 는 나란하지 않으므로 k는 이들의 선형결합으로 나타낼 수 있다:

k ⋆a⋆

⋆b⋆ ⋆c⋆ (4.113)

여기에서 ⋆ , ⋆ , ⋆은 우선은 어떤 값도 된다. 그러면 (4.109)는 다음과 같이 쓸 수 있다:

k ∞

∞ exp i⋆a⋆⋅a ⋆b⋆⋅b ⋆c⋆⋅c

∞

∞ exp i⋆

⋆

⋆

(4.114)

이 합은 일반적인 ⋆ , ⋆ , ⋆에 대해서는 보통 0이다. 왜냐하면 단위원의 둘레를 따라 퍼져있는 수 많은 복소수를 더하면 서로 지워지기 때문이다. 그렇지만, ⋆ , ⋆ , ⋆이 정수이면, 낱낱의 항이 1이므로 k의 값은 한없이 커진다. 따라서 k는 벡터 a⋆ , b⋆ , c⋆ 로 정의된 격자에 델타함수가 3차원 배열된 것이며, 이것이 역격자(reciprocal lattice)이다. 2차원에서는 그림 4.15와 같고, 3차원 구조는 그림 4.19(b)와 같다.

4장 문제

4.1 의 푸리에 변환이 일 때, 다음 함수의 푸리에 변환을 구하라:

d′ ′.

4.2 실수함수 의 하틀리 변환(Hartley transform)은 다음과 같다:

∞

∞ d cos sin (4.115)

이것이 푸리에 변환과 다음 관계가 있음을 보여라:

Re Im (4.116)

푸리에 광학의 방법을 써서 하틀리 변환을 광학적으로 기록하는 방법을 고안하라. 이것은 하나의 실수함수에 푸리에 변환의 모든 정보를 담고 있지만, 실수함수에 대해서만 쓸 수 있다. 자세한 설명은 Bracewell(1986)을 보라; 실험 방법은 Villasenor와 Bracewell(1987)의 논문을 보라.

4.3 다음과 같이 감쇠되는 델타함수의 푸리에 변환을 구하라:

∞

(4.117)

이것을 패브리-피로 간섭계를 이해하는데 쓸 수 있는가?

4.4 다음 세모꼴 파동이 주기적으로 배열된 것의 푸리에 변환을 구하라: = ( ≦ ). 이것은 네모꼴 펄스의 자체상관과 어떤 관계가 있는가?

4.5 앞 문제의 결과를 써서 상자 2.1에서 설명한 기타줄의 실험결과를 시늉내라.

4.6 네모꼴 파동의 주기가 이고, 한 주기 속에서 기간 동안은 값이 1, 동안은 값이 0이다 [이것을 ‘’동작비율(duty cycle)’ = 라고 한다]. 콘볼루션 정리를 써서 이것의 푸리에 변환을 의 함수로 구

그림 4.20 비스듬한 직선의 디지털 표현

하라. → 1이면 어떻게 되는가? 4.7 sinc의 자체-콘볼루션은 같은 함수로 상수를 곱한 것임을 보여라.

4.8 함수 ⊗ × 와 ⊗ × 와 이들의 푸리에 변환을 비교하라. = ∞

∞

, =

rect, = expi이다.

4.9 콘볼루션은 특이한 성질이 있다. 예를 들어, 델타함수 세 개가 간격 로 늘어서 있으면, 한없이 긴 주기적 배열 에 rect를 곱한 것으로 나타낼 수 있다. 여기에서 < < 이다 (은 아주 작은 값). 이 변환은 콘볼루션으로 나타낼 수 있고, 가 그 범위 안에 있는 한 rect 함수의 변수와 무관함을 보여라 (이 문제는 쉽지 않다!) 이 해는 Collin (1991)이 자세히 설명했다.

4.10 델타함수가 주기적으로 배열되어 있는데, 다섯 번 째 마다 빠져 있다. 이것의 푸리에 변환은 무엇인가?

4.11 흰 배경 속에서 - 및 -축에 대해 기울어진 두꺼운 검은 선의 상을 × 네모꼴 그물 위에 이진값으로 나타내어, 검은 선으로 덮인 비율이 반을 넘으면 검은색, 그렇지 않으면 흰색이다 (그림 4.20). 이 영상을 디지털 푸리에 변환한다. 이 작으면, 변환은 주로 와 축을 따라 배열된다 (기본 네모꼴의 푸리에 변환). 이 커지면서, 변환은 주로 검은 선과 직교하는 축을 따라 간다. 어떻게 해서 그러한 변화가 생기는가?

4.12 ‘잔파동 변환(wavelet transform)’은 스펙트럼이 시간에 따라 변하는 함수의 푸리에 변환으로, 시간 동안 잰 푸리에 변환을 시간의 함수로 나타낸 것이다 [예: Combes et al. (1990)]. 이것은 흔히 소리와 음악 분석에 쓴다. 콘볼루션 정리를 써서 와 잔파동 변환의 진동수 분해능 는 다음 관계가 있음을 보여라: ⋅ ≈ .

4.13 다음 방법으로 델타함수를 거의 주기적으로 한 줄로 길게 배열한다. 기본 주기는 이고, 낱낱의 세포 속에서 = 0 또는 = 에 델타함수가 있다. 여기에서 < 이다. 낱낱의 확률은 50%이다. 자체상관 함수의 개념을 써서 이 배열의 일률 스펙트럼을 셈하라.