La Scoala Cu Ceas Rm. Valcea 23-03-2012 Cl. v Viii Enunturi Si Bareme

8/17/2019 La Scoala Cu Ceas Rm. Valcea 23-03-2012 Cl. v Viii Enunturi Si Bareme

http://slidepdf.com/reader/full/la-scoala-cu-ceas-rm-valcea-23-03-2012-cl-v-viii-enunturi-si-bareme 1/14

International Mathematical“THE CLOCK – TOWER SCHOOL”

Contestth

14 Edition 25!"2!##

R$mnic% &$lceaCL'S' a &(a

# )rin *m+,r-irea %n%i n%m,r nat%ral d la 5 se o.-ine c$t%l a/i rest%l "0

iar +rin *m+,r-irea l%i d la 1 se o.-ine c$t%l b /i rest%l 50%nde N∈ba, a )oate 3 d e4al c% 2!#" 6%sti3ca-i7. '8a-i rest%l *m+,r-irii l%i d la "5

c 'r,ta-i c, b 9 M5 : ;d <emonstra-i c, .2012≠+ ba Mari%s

Ma=il%0 Rm &$lcea

2 >ie m%l-imea

∈⋅= Nba A ba ,75

a) <etermina-i cele mai mici +atr% elemente din A care a%+ro+rietatea c, s%nt +,trate +er?ecte

b) <emonstra-i c, +rintre oricare 5 elemente din m%l-imea Ae@ist, cel +%-in do%, al c,ror +rod%s este +,trat +er?ect

>lorin Sme%rean% /i <%mitr%<o.re0 Rm &$lcea

" A%merele nat%rale nen%le s%nt a/e=ate *ntr(%n ta.lo% ast?elB

# 2"

; 5 1D

#! ##

#2

#" #;#5

# #1 #D

FFFFFFFFFFF

a)C$te n%mere s%nt +e linia n0 %nde n ∈ 20 ;0 0 D0 b)Care este al =ecelea n%m,r de +e linia "!

c) <emonstra-i c, +e linia 2!#! s%nt %n n%m,r im+ar de n%mereim+are

2011



Constantin G,r,sc%0 Rm &$lcea; ntr(%n an oarecare0 trei l%ni consec%tie con-in e@act c$te ;

d%minici 3ecare <emostra-i c, %na dintre aceste l%ni este?e.r%arie

Marcel Tele%c,0 Chi/in,% Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.SJCCES7


Contestth14 Edition

25!"2!##

R$mnic% &$lceaCL'S' a &I(a

# S, se determine a 0 N∈b 0 c% +ro+rietatea c,[ ] ( ) 30;25;2 +⋅+⋅=⋅ bababa 0 %nde [ ]ba; este cel mai mic m%lti+l%

com%n al n%merelor a /i b 0 iar ( )ba; este cel mai mare dii=orcom%n al n%merelor a /i b

Maria )o+ – Cl% Aa+oca

2 >ie n%m,r%l n 9 ;2!## a <etermina-i rest%l *m+,r-irii n%m,r%l%i n la "

. <emonstra-i c, n are cel +%-in #2!1 ci?re c Elimin,m c$tea ci?re de la *nce+%t%l n%m,r%l%i n0 +e care

le ad%n,m lan%m,r%l r,mas Contin%,m +rocede%l +$n, o.-inem %nn%m,r de =ece ci?re <emonstra-i c, acest n%m,r are cel+%-in do%, ci?re e4ale

Constantin G,r,sc%0 Rm &$lcea

" Tri%n4hi%l 'GC este dre+t%n4hic isoscel c% ( ) 0=∠ ABC m 0 iartri%n4hi%l GC<

este dre+t%n4hic isoscel c% ( ) 0=∠ BCDm a Sta.ili-i dac, G< este .isectoarea %n4hi%l%i ABC ∠ . >ie ( ) BC P ∈ 0 ( )CDQ∈ <ac, BQ AP ⊥ 0 demonstra-i c, DP AQ ⊥

Aot,B Se consider, c%nosc%t ?a+t%l c, s%ma m,s%rilor%n4hi%rilor %n%i

tri%n4hi este 1!0 <%mitr% <o.re /i Nte?an Sm,r,ndoi% – Rm &$lcea

2011



; Ceas%l Ncolii Take Ionescu” indic, tim+%l s%. ?orma de la!!B!! +$n, la

2"B5 Care este tim+%l minim t 0 %nde "N∈t 0 t e@+rimat *n

min%te0 sc%rs *ntre

do%, a3/,ri ale ceas%l%i0 ast?el *nc$t acestea s, con-in, D ci?redi?erite *ntreele 6%sti3ca-i7

Marcel Tele%c,0 Chi/in,%

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.

SJCCES7


Contestth14 Edition

25!"2!##R$mnic% &$lcea

CL'S' a &II(a

# a <emonstra-i c, ( ) ",1221

N∈∀−−< k k k k

. S, se arate c, 201122011

1...

4

1

3

1

2

11220122 <+++++<−

Ion )reda – Rm &$lcea

2 a <etermina-i N∈n 0 ast?el *nc$t 20112

−n s, 3e n%m,rnat%ral . <emonstra-i c, e@ist, o in3nitate de n%mere Q∈a ast?el

*nc$tQ∈+ 2010ka /i Q∈+ 2011ka 0 %nde "Q∈k


" >ie tri%n4hi%l ABC c% #$#$2 CBAm BCAm ∠=∠ )e mediatoarease4ment%l%i

%& BC se consider, +%nctele P /i Q ast?el *nc*t.QAB PAQCAP ∠≡∠≡∠

2011



>ie '( D AC PQ =∩ a 'r,ta-i c, . PQ AD DP AQ ⋅=⋅

. <emonstra-i c, .QBQP =

c 'r,ta-i c, °≠∠ 15#$ ACBm

Cheian <inis0 Chi/in,%; La o con?erin-, a% +artici+at #!! de s+eciali/ti – chimi/ti /ialchimi/ti

>iec,r%ia dintre ei i(a ?ost adresat, *ntre.areaB”Dacă nu luăm în considerare persoana dumneavoastră,

printre participanţiirămaşi sunt mai mulţi cimişti sau mai mulţi alcimişti !”

'% ?ost intero4a-i 5# de +artici+an-i >iecare dintre ei ar,s+%ns c, s%nt mai

m%l-i alchimi/ti Ntiind c, alchimi/tii *ntotdea%na mint0 iarchimi/tii s+%n *ntotdea%na ade,r%l0 care e n%m,r%l de chimi/ti +rintre

+artici+an-i Marcel Tele%c,0

Chi/in,%

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.

SUCCES !International Mathematical“THE CLOCK – TOWER SCHOOL”

Contestth14 Edition

25!"2!##R$mnic% &$lceaCL'S' a &III(a

# a '8a-i N∈a 0 ast?el *nc$t n%m,r%l 2)70)2!4 234 +−+− aaaa

s, 3e +,trat +er?ect. <etermina-i N∈n +entr% care n%m,r%l 157#144#$2$ +++ nnn

este c%. +er?ect Nte?an Sm,r,ndoi% /i &asilePor4ot,0 Rm &$lcea

2 n tri%n4hi%l ABC 0 3e =∠ #$ BAC m °20 /i =∠ #$ ACBm °30 Îninteriorul

tri%n4hi%l%i se ia %n +%nct M 0 ast?el ca =∠ #$ MAC m =∠ #$ MCAm

°10

2011



<etermina-i #$ BMC m ∠ Iailo Korte=o /i

Setlo=ar <oiche0 So3a

" >ie *** C B ABCA o +rism, tri%n4hi%lar, re4%lat, Consider,m

+%nctele#$ AC M ∈ 0 #**$* B A N ∈ ast?el *nc$t ** N ACM = a Calc%la-i ( ) ( )( )( )**,* N CC M BBm ∠ . <ac, ( ) ( ) **** II N CC M BB =∩ 0 %nde #$ ABC I ∈ /i #***$* C B A I ∈ 0

demonstra-i c, ******3 C B ABCA I C BCIB V V ≤⋅ Sta.ili-i +o=i-ia +%nct%l%i M +entr% care ine4alitatea deine

e4alitate


; Jn ceas mecanic aea 4eam%l s+art La orele #2B!!B!! treim%/te s(a% a/e=at +e c$te %n se4ment re+re=entat de ac%l orar0min%tar0 res+ecti sec%ndar al ceas%l%i /i a% r,mas a/e=ate +e elela aceea/i distan-, di?erit, de =ero0 de centr%l disc%l%i determinatde cadran%l ceas%l%i C$nd +o=i-iile oric,ror do%, ace indicatoarecoincidea%0 cele 2 m%/te a/e=ate +e ele trecea% %na *n loc%lceleilalte n ca=%l *n care coincidea% +o=i-iile la toate cele " aceindicatoare0 doar m%/tele de +e ac%l orar /i cel sec%ndar */ischim.a% loc%l

C$te rota-ii com+lete de ?orma %n%i cerc ima4inar 4enerat demi/carea ac%l%i +e care se a8a 0 a e?ect%at 3ecare m%sc, +$n, laora 2;B!!B!! Marcel

Tele%c,0 Chi/in,% Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.

SUCCES !

CLASA a V-a

Bareme

Problema 1

a# 340252013 +⋅= ++++++++++++++++++++++++. 0,5p

5742!772013 +≠+⋅= b ++++++++++++++++++++. 0,5p

inali-are: 2013≠d ................................................................................................... 0,5p

b# #1$5552 +=+=+ aad

352#1$7772 M d bbd =+→+=+=+ ............................................................. 1p

inali-are: →+= 3335 M d restul mpăr/irii lui d la 35 este 33 ........................ 0,5p



c# 3335573335 +=+→+= cb M d +++++++++++++++...++ 1p

eci 452!357 +=→+= cbcb ++++++++++++++++++ 1p

d# nmul/ind rela/ia 35 += ad cu 7 i rela/ia 57 += bd cu 5 i adunnd cele douărela/ii se ob/ine 4)#$3512 ++= bad +++++++++++++++++ 1p

resupunnd, prin reducere la absurd, că →+⋅=→=+ 4)201235122012 d ba

N∉→+⋅= d d 12:#4)201235$ $contradic/ie#→ inali-are ++++++.... 1p

Problema 2

a) Numerele căutate sunt 1, 52, 72 i 54............................................................................... 2p

b) N65m .7n este pătrat perect ↔ m i n numere pare ..................................................... 1p

n unc/ie de paritatea eponen/ilor a i b distingem patru situa/ii asupra ormei

elementelor din mul/imea A:

............. 2p

8legnd 5 elemente din mul/imea A, conorm principiului lui iric9let cel pu/in două dintre

ele or i de aceeai ormă .................................................................................................. 1p

rodusul acestora a i de orma 5 par .7 par 6 pătrat perect ............................................... 1p

Problema 3

a# e o linie de rang k 2 $ "#N∈k sunt k numere ................................................................

2p

b) e primele 2! linii sunt $1;2;3;...;14# ; 2.14 6 133 numere

8l -ecelea număr de pe linia 30 este 133 ; 2 ; 10 6 145 ........................................................... 2p

c) <inia 2010 are 1005 elemente .

=ltimul număr de pe linia 2010 este $1 ; 2 ; 3 ; ... ; 1005# ; 2.1005 6 1005.505 6 impar ...... 1p

>um pe linie sunt 1005 numere consecutie→ primul număr pe linia 2010 este tot impar...... 1p

inali-are .................................................................................................................................... 1p

5 par .7 par 5 par .7impar 5impar .7impar 5impar .7 par



Problema 4

?ricare 3 luni consecutie printre care nu este ebruarie con/in cel pu/in 1303130 =++

-ile .................................................................................................... 2p

eci ar i cel pu/in 13 săptămni ......................................................................... 1p

8stel numărul duminicilor din componen/a lor a i minim 13 contradic/ie ..... 2p

n conclu-ie, pentru a i eriicate datele problemei, una dintre cele trei luni trebuie să ie

ebruarie ..................................................................................................... 2p

Clasa a VI-a

Bareme

Problema 1

ie 6 ( )ba; i @ 6 [ ]ba; . Aident x y $"#olosim rela/ia ( ) [ ]bababa ;; ⋅=⋅ ++++++++++++++++++++++. 1p

Agalitatea deine @ 6 2@ ; 25 ; 30 ⇔ @ B 25 B 2@ 6 30⇔ $ C 2#$@ C 25# 6 !0 ++.. 1p >um 1≥ x , obserăm că pentru 1= x i 2= x ecua/ia nu are solu/ii ................................... 1p

$ C 2#$@ C 25# 6 !0

( ) ∈∀ x { }2;1" −N "#2$ N∈−⇒ x ⇒

( ) ZN ∈−⇒∈∀ #25$" y y

..... 2p

C2 1 2 4 5 ! 10 1) 20 40 !0@C25 !0 40 20 1) 10 ! 5 4 2 1

3 4 ) 7 10 12 1! 22 42 !2@ 105 )5 45 41 35 33 30 2 27 2)



>onorm rela/iei $"# re-ultă că 3= x i 105= y

3= x ( )∃⇒ ", N ut ∈ astel nct t a 3= , ub 3= , ( ) 1, =ut ................................................1p

105= y 1053 =⋅⋅⇒ ut 35=⋅⇒ ut ⇒ ", N ut ∈

eci ecua/ia admite 4 solu/ii: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3;105;15;21;21;15;105;3; ∈ba ........................................1p

Problema 2

a) →+=+=+= 11#13$46n 32011

320112011 M M restul cerut este 1 ....................................... 2p

b) ( ) 120)40240240210402020102011 101000102422446n =>===> ............................................1p

inali-are →> 120)10n n are cel pu/in 1207 cire .............................................................. 1p

c) ie pk k aaaaaa ......n1321 +

= .

>onorm a# aem că →+= 1n 3 M ( ) 1a...aa...aa 3 p1D D 21 +=++++++ + M ............... 0,5p

ie D 21 a,...,a,a cirele eliminate. 8tunci 1#...$... 3211 +=+++++ M aaaaa k pk .....................

0,5p

eci noul număr ob/inut este 13 + M $inariant#

Eepetnd ra/ionamentul, numărul de 10 cire ob/inut după mai mul/i pai a i 13 + M ....... 0,5pacă numărul ar aea toate cirele dierite, suma lor ar i 0;1;2;...;6456 3 M $als#..............

1p

eci cel pu/in două cire sunt egale ....................................................................................... 0,5p

Problema 3

a) Cazul 1. acă 8 i se găsesc situate n semiplane opuse n raport cu dreapta F>, &F

nu poate i bisectoarea ung9iului 8F> +++++++++................+ 1p

Cazul 2. acă 8 i sunt situate n acelai semiplan

Ge arată că ( ) 45=∠ ABDm sau ( ) 45=∠CBDm ................................................1p

Ge demonstrea-ă că &F este bisectoarea ung9iului ABC ∠ ............................... 1p

b) Cazul 1. acă 8 i se găsesc situate n semiplane opuse n raport cu dreapta F>,

ipote-a nu se eriică .......................................................................................... 1p

t 1 5 7 35u 35 7 5 1a 3 15 21 105b 105 21 15 3



Cazul 2. acă 8 i sunt situate n acelai semiplan

Ge demonstrea-ă că BCQ ABP ∆≡∆ $>.=.# ....................................................... 1p

Ge demonstrea-ă că QDA PCD ∆≡∆ $>.=.#....................................................... 1p

( ) ( ) ( ) DP AQ J m PDAm DAQm ⊥⇒=∠⇒=∠+∠ 00 , unde { } J DP AQ =∩

.................................................................................................... 1p

Problema 4

entru ca la aiarea celor 2 ore să ie utili-ate 4 cire dierite, timpul minim se ob/ine doar n

ca-ul orelor 1 i 20 ..................................................................................................................... 2p

Numărul minim ce poate i ormat din cirele rămase este 34, deci cea deCa doua aiare este

20:34 ............................................................................................................................................ 2p

in cirele rămase numărul cel mai mare care poate i indicatorul minutelor este 5! ................ 2p

inali-are: timpul scurs ntre 1:5! i 20:34 este de 3) de minute ............................................. 1p

Clasa a VII-a

BaremeProblema 1

a# 122#1$21

221−−=−−=

−+<

+= k k k k

k k k k k +++++ 2p

b# k k k k k k k k k

212#1$21

221−+=−+=

++>

+= ...++++ 2p

eci k k 212 −+ Hk

1H 122 −− k k $"#

nd lui k alorile de la 1 la 2011 i adunnd membru cu membru inegalită/ile ob/inute seob/ine inegalitatea cerută.................................................................... 3p



Problema 2

a# ie 2011##$$2011,2011 222=+−→=−→∈=− k nk nk nk k n N ............. 1p

>um 2011 este număr prim =+ =−→ 2011

1k nk n

inali-are 100)=n ............................................................................................................. 1p

b# >um Q∈+ 2010kx i +∈∃→∈+ QQ nmkx ,2011 astel nct

=+=+

2

2

2011

2010

nkx

mkx1##$$122 =+−→=−→ mnmnmn , cu mn > .............................. 1p

Notăm ++ ∈=+→∈=− QQa

bmn

b

amn ........................................................................ 2p

eci

∈

−=

∈

+=

Q

Q

b

a

a

bm

b

a

a

bn

2

1

2

1

....................................................................................................... 1p

inali-are

−

−= 2010

2

11 2

b

a

a

b

k x ............................................................................ 1p

Problema 3

reapta PQ intersectea-ă AC n D. >um D se ală pe mediatoare, re-ultă CD = DB , deci DBC DCB ∠≡∠ i D se ală pe bisectoarea ung9iului CBA.

ie E proiec/ia punctului A pe dreapta PQ.

a# in &8 bisectoare in PQ AD DP AQ AQ

AD

PQ

PD DAQ ⋅=⋅→=→∆ ++++. 2p

b# >um ADE ∆ asemenea cu CDM ∆ $unde M este miIlocul laturii BC # →

CB AB

CD AD

BC EA ==

2

$din asemănare i din teorema bisectoarei#, prin urmare AB = 2AE ++++++++++.. 1p

=or de obserat că °=∠+∠ )0#$#$ ACBm DAP m , nsă BC AE JJ ACBCAE ∠≡∠→ , de unde°=∠ )0#$ PAE m .

>um triung9iul este dreptung9ic re-ultă ca PA=2AE → AP=AB+++++++++++ 1p

eci & AQ este bisectoare i mediatoare in triung9iul PAB i cum Q apar/ine mediatoareisegmentului & PB% re-ultă că QP=QB ++++++++++++++++++++++ 1p

c# resupunem că 0#$45#$15#$ =∠→=∠→=∠ CAQmCAP m ACBm $als#inali-are 15#$ ≠∠ ACBm ................................................................................................... 2p



Problema 4

acă numărul alchm tl!" ș ar i mai mare dect cel al c9imi tilor, atunci printre cei 51 deș

interoga i cel pu in unul esteț ț alchm#t , care min/ind ar trebui să airme că printre participan iiț

răma i sunt mai mul i c9imi ti, contradic ie ..............................................................................ș ț ș ț 3p acă numărul chm tl!" ș ar i mai mare, atunci printre cei 51 de interoga i cel pu in unulț ț

este chm#t , care ar trebui să mărturisească că numărul de c9imi ti printre cei răma i este mai mare,ș ș

contradic ie......................................................................................................................ț 3p eci numărul c9imi tilor este egal cu numărul alc9imitilor, adică 50 .........................ș 1p



Clasa a VIII-a BaremeProblema 1

>ie = p 2)70)2!4 234 +−+− aaaa

a 1#572$ 22

++−= aa p #+

p e +,trat +er?ect N∈∃⇒ k #$ a* 222 1#572$ k aa =++− ⇒ ⇒1#572$ 222 −=−+− k aa 1#572#$572$ 22 −=++−−+−⇔ k aak aa Q# !05+

C%m k /i N∈a ⇒ Z∈−+− k aa 572 2 /i Z∈++− k aa 572 2 c%

Q2 !05+

<−+− k aa 572 2

k aa ++− 572 2

Q" !05+ <in rela-iile Q#("⇒ 1572 2 −=−+− k aa /i 1572

2 +=++− k aa

!05+



ns%m$nd o.-inem c, 2K5=a 0 care n% conine /i ,1=a care estesol%-ie !05+

. >ie =c 157#2#$72$2 +++ nnn 15712))4! 23 +++=⇒ nnnc

#50!$#)2$ 23 ++−+= nnnc 3#)2$ +n 0 N∈∀ n#$

!05+#32244$#52$ 23 +−++= nnnc ⇒ 4#3$4#52$ 23 −−++= nnc

!05+<ac, '4;3;2(−∈Nn 0 at%nci 33 #)2$#52$ +<<+ ncn /i at%nci c n% estec%.+er?ect #+<ac, 3=n 0 at%nci 33

1110 << c /i at%nci c n% e c%.+er?ect !05+

<ac, ,2=n at%nci3=c 0 este c%. +er?ect

!05+<ac, ,4=n at%nci 3

13=c 0 este c%. +er?ect !05+

Problema 3

>ie O centr%l cerc%l%icirc%mscris . ABC ∆

O /i M se a8, *n semi+lane o+%se?a-, de de drea+ta 'C #+

=∠ #$ A$C m °100

FFFFFFF #+ OM este mediatoarease4ment%l%i %& AC

FFFFFFF #+ A$B∆ este echilateral

FFFFFFF #+

GM este mediatoarease4ment%l%i %& A$ FFFFFFF #+

=∠ #$ MB$m °30 FFFFFFF !05 +=∠ #$ $BC m °70 FFFFFFF !05 +

=∠ #$ BMC m °)0 FFFFFFF #+

Problema 3

L

?

>F

8



M

M

8

N

L

F

N

L

F

8

>

>

a# *#**$#*$ MM A ACC M BB =∩ , unde #**$* C A M ∈ i **C M MC =*#**$#**$ NN A ABB N CC =∩ , unde #$ AB N ∈ i ** A N NA =

'( I CN BM =∩ i '*(**** I N C M B =∩

>um →⊥→ #$**** ABC II CC MM II

BI II ⊥* i →⊥ NI II *

( ) ( )( )( ) ( )( ) BIN m N CC M BBm ∠=∠ **,* 1)

( )( ) ( )( ) NCAm MBC m %& %CAN BCM ∠=∠→∆≡∆ .#..$

i ( )( ) ( )( ) →=∠+∠ 120 MBC m BMC m

( )( ) ( )( ) ( )( ) )0120 =∠→=∠+∠ BIN m MCI m IMC m

inali-are ( ) ( )( )( ) )0**,* =∠ N CC M BBm +++++++3p

b# >um ( )( ) 120=∠ BIC m , n cercul circumscristriung9iului

MF> de ra-ă3

BC aem #,$#,$ BC ' d BC I d ≤ unde T

este miIlocul arcului F>→ →=≤ ∆∆∆ ABC 'BC IBC ( ( ( 3

1

******3 C B ABCA I C BCIB V V ≤⋅ ++++++.. 3p

?b/inem egalitate pentru M 6 T → M centrul de greutate n →∆ ABC L miIlocul lui &8>%++++. 1p

Problema 4

>ie #m! ,, n%m,r%l de rota-ii com+lete de ?orma %n%i cerc0 +ecare le(a% e?ect%at m%/tele a/e=ate ini-ial +e ac%l orar0 min%tar0

res+ecti sec%ndar0 +$n, la ora 2;B!!B!!m! − 0 #! − /i #m − ';1;0(∈

2+n #2 ore B

cele trei ace ale ceas%l%i se rotesc de 733720121 =++ deori 2+

244=! #+

244=m

#+ 245= # #

Documents

La Scoala Cu Ceas Rm. Valcea 23-03-2012 Cl. v Viii Enunturi Si Bareme