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Estructuras aritméticas propuesta de Encarnación Castro

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ESTRUCTURAS ARITMTICASELEMENTALES Y SU MODELIZACIN

ENCARNACIN CASTRO LUIS RICO ENRIQUE CASTRO

una empresa docente Bogot, 1995

Primera edicin, julio de 1995

ESTRUCTURAS ARITMTICAS ELEMENTALES Y SU MODELIZACIN Autores: Encarnacin Castro, Luis Rico y Enrique Castro D. R. 1995 una empresa docente & Grupo Editorial Iberoamrica, S.A. de C.V.Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma alguna o mediante algn sistema, ya sea electrnico, mecnico, de fotorreproduccin, de almacenamiento en memoria o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso por escrito de "una empresa docente", del Grupo Editorial Iberoamrica y de los autores.

Diseo cartula: una empresa docente Grupo Editorial Iberoamrica, S.A. de C.V. Serapio Rendn 125. Col. San Rafael, 06470 Mxico, D.F. Apartado 5-192, C.P. 06500 Tel. 705-05-85 Reg. CNIEM 1382 una empresa docente Universidad de los Andes Cra. 1 Este # 18 A - 70 Apartado Areo 4976 Tel. (57-1) 284-9911 ext. 2717. Fax: 284-1890 Servidor WWW: http: //ued. uniandes. edu.co Bogot. Colombia ISBN Impreso en Mxico / Printed in Mexico

Contenidoii

Contenido1. Adquisicin del concepto de nmeroIntroduccin Contextos numricosContexto cardinal Contexto de medida

11 23 4

Secuencia numrica Aspecto cardinal del nmero El proceso de contar Puntos de vista sobre la accin de contar Algunas investigacionesPrimer estadio de Schaeffer Segundo estadio de Schaeffer Tercer estadio de Schaeffer Cuarto estadio de Schaeffer Conclusiones de otros investigadores

5 6 7 8 911 11 12 12 12

Influencias en el currculoCapacidad para hacer comparaciones cuantitativas entre dos grupos de objetos Comprensin global de los efectos de aadir objetos a un grupo o de quitar objetos de ese grupo Capacidad para distinguir nmeros de atributos como: disposicin de color, tamao Comprender como funciona el sistema decimal

1313 14 14 14

Aprendizaje de los smbolos Consideraciones sobre el cero Carcter operatorio de los nmeros Etapas en el aprendizaje de las operacionesLas acciones iii

16 17 17 1818

Uso de modelos Simbolizacin Hechos numricos y tablas Algoritmos Aplicacin a la resolucin de problemas

19 19 19 19 20

Resolucin de problemasNiveles de abstraccin Tipos de variables

2022 24

2. Estructura aditivaIntroduccin Estrategias para sumar y restarPara la suma Para la resta

2727 2929 29

Modelos para la sumaModelos lineales Modelos cardinales Modelos con medidas Modelos funcionales

3030 31 31 31

El anlisis de cada nmero Relaciones entre nmeros Aprendizaje de los hechos numricos. Las tablas Elaboracin de la tabla de sumar Resolucin de problemas verbales aditivos Clasificacin de los problemas aditivos simplesCategora de cambio Categora de combinacin Categora de comparacin Categora de igualacin

32 33 34 35 36 3738 39 39 40

Dificultades de aprendizajeiv

41

Tareas y situaciones problemticas para nios Juegos

43 44

3. Estructura multiplicativaIntroduccin Modelos para el producto y divisinModelos lineales Modelos cardinales Modelos con medida Modelos numricos Modelos de razn aritmtica Modelos funcionales

4545 4646 47 48 49 49 50

La tabla de multiplicar Iniciacin a la divisin Elaboracin de la tabla de multiplicar La estructura multiplicativa como campo conceptual Clases de problemas de estructura multiplicativaEl somorfismo de medidas El producto de medidas

50 51 52 53 5454 57

Estructura multiplicativa y simetra Enfoque de estructura de cantidades Enfoque textualProblemas que denomina mapping rule Problemas de comparacin multiplicativa Problemas de multiplicacin cartesiana

58 59 6161 61 62

Modelos implcitos Errores asociados a la estructura multiplicativav

62 63

4. Trabajo con patronesIntroduccin Conceptos a utilizarModelo Patrn Configuracin puntual Patrn de puntos Nmeros figurados Nmero poligonal Nmero piramidal Nmeros triangulares Nmeros cuadrados Smbolo

6565 6767 68 70 71 72 72 72 73 73 75

Ejemplos de tareas

76

5. Referencias

81

vi

Adquisicin del concepto de nmero

1

INTRODUCCINCuando al hablar se dice tres, o cualquier otra palabra numrica parece que nos estamos refiriendo a una cuestin muy sencilla (quiz sea por la costumbre que tenemos de utilizarla), sin embargo un anlisis cuidadoso de la cuestin nos hace ver que la expresin tres o cualquiera otra expresin numrica encierran mltiples conceptos algunos de ellos complejos debido en parte a los distintos contextos en los que se utilizan los nmeros. Vamos a tratar los distintos contextos numricos y los procesos que siguen los nios en la adquisicin de cada uno de ellos hasta llegar al concepto de nmero, en este tratamiento partimos de los siguientes supuestos: Consideramos el aprendizaje del nmero como una base de aprendizaje informal, sobre el que se van a apoyar los conceptos de Aritmtica formal que posteriormente el nio va a desarrollar. Estamos de acuerdo con Baroody cuando asegura que el aprendizaje informal es la base fundamental para comprender y aprender las matemticas que se estudian en la escuela, ya que los nios tienden a

Castro E. Rico L. y Castro E.

abordar la matemtica formal en funcin de la matemtica informal que conocen. Creemos que la etapa infantil es de enorme trascendencia para la educacin matemtica posterior del nio. En ella se van a formar los conceptos bsicos o primarios y los primeros esquemas sobre los que, posteriormente, se construir todo el aprendizaje. Si estos esquemas bsicos estn mal formados o son frgiles, pueden llegar a impedir o a dificultar (en el mejor de los casos) el aprendizaje posterior. En la escuela infantil, el nio ha de ser encauzado para que evolucione hacia procesos ms abstractos de pensamiento. Est demostrado que, desde pequeos, los nios son capaces de desarrollar mtodos, a veces sofisticados, de contar y de resolver problemas sencillos. Cerramos este apartado con la siguiente cita de Montessori (1934). Se ha repetido siempre que la Aritmtica y en general la ciencia matemtica, tiene en la educacin el oficio importante de ordenar la mente juvenil, preparndola, con rigurosa disciplina, para ascender a las alturas de la abstraccin. Mas adelante aade: El clculo, despus, no es sino una ulterior abreviacin de la operacin de contar.

CONTEXTOS NUMRICOSLas palabras numricas se utilizan en distintos usos y contextos as: Uso en la secuencia convencional numrica Empleo de dicha secuencia para contar Asociacin de cada palabra con un smbolo Utilizacin para indicar la numerosidad de un conjunto Utilidad para indicar la posicin relativa de los objetos Funcin de cdigo En contexto de medida Segn el uso, o el contexto, en el que se utilicen las palabras numricas, tendrn un significado distinto. La secuencia. En un contexto de secuencia se emplean los nmeros en su orden habitual (uno, dos, tres, cuatro,...) sin referirlos a ningn ente u objeto externo. Se suelen emplear las secuencias numricas para conseguir distintos propsitos, como pueden ser los de practicarla, cronome2

Adquisicin del concepto de nmero

trar el tiempo (por ejemplo, diciendo los nmeros hasta 30 en el juego del escondite), atraer la atencin de los dems, sugerir otros contextos numricos (hallar el cardinal, el ordinal y la medida) y efectuar operaciones (sumar, restar, multiplicar y dividir). El recuento. En el contexto de contar, a diferencia del de secuencia, cada nmero se asocia con un elemento de un conjunto de objetos discretos. En la vida real ambos contextos estn identificados con el contar. Ms, para nuestras consideraciones importa resaltar esta diferencia, puesto que el contexto de contar conlleva el correcto empleo de la correspondencia biunvoca que a cada nmero asocia un objeto. En objetos que no estn fijados a una posicin, la accin de indicar se puede sustituir por trasladar al objeto que se cuenta del montn de los no contados al de los contados.

Contexto cardinal

Un contexto cardinal es aquel en el que un nmero natural describe la cantidad de elementos de un conjunto bien definido de objetos discretos (aislados) o sucesos. Nuestro idioma, como muchos otros, dispone de palabras especiales para indicar los cardinales en determinadas situaciones: duo, tro, cuarteto, etc. (en msica); gemelos, trillizos, cuatrillizos, etc.; doble, triple, cudruple, etc.; par, terna, cuaterna, etc. Para hallar el cardinal de un conjunto se puede proceder de distintas formas. La primera es preguntar a alguien para que nos lo diga. En caso de que esta va no sea posible o necesaria, nos vemos obligados a determinarlo por nosotros mismos, y dependiendo del tamao del conjunto actuamos de cuatro formas distintas. Si el tamao se puede percibir de una ojeada (caso de los puntos del domin) el nmero aparece en nuestra mente de forma instantnea. Esta forma de obtenerlo se llama subitizacin, derivado de la palabra latina subitus (sbito) Para conjuntos ms numerosos en los que nos falla la subitizacin empleamos el proceso de contar; el nmero con el que finalizamos el proceso de contar un conjunto determinado nos da su cardinal3

Castro E. Rico L. y Castro E.

En los casos en que la aproximacin numrica es suficiente se suelen emplear tcnicas de estimacin (nmero de asistentes a una manifestacin) Y finalmente, si disponemos de la suficiente informacin adicional, el cardinal de un conjunto tambin podr hallarse empleando con sentido las cuatro operaciones elementales y sus propiedades (as, conocidos los cardinales de una particin de un conjunto, podemos hallar por suma el cardinal de ste) Hay situaciones en que slo se necesita conocer el tamao de un conjunto, y otras en las que comparamos los de dos conjuntos. Se trata en este caso de decidir si los tamaos so