Exercicios Gabarito Mi

Exerccios Captulo 8 Impulso e quantidade de movimento Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori

Impulso, quantidade de movimento e choques fcil mostrar que QUESTES PARA DISCUSSO Q8.1 Para dividir um tronco de lenha usando um martelo e uma cunha, um martelo pesado mais eficiente do que um martelo leve? Por qu? Q8.2 Suponha que voc agarre uma bola de beisebol e a seguir seja convidado a agarrar uma bola de boliche que possui o mesmo momento linear ou a mesma energia cintica da bola de beisebol. O que voc escolheria? Explique. Q8.3 Quando gotas de chuva caem do cu, em que se transforma a energia cintica das gotas no momento em que elas colidem com o solo? Sua resposta tambm seria vlida para o caso da famosa ma de Newton? Q8.4 Um carro possui a mesma energia cintica quando ele se desloca a 30 m/s do norte para o sul e quando ele se desloca a 30 mis do norte para o leste. O momento linear o mesmo nos dois casos? Explique. Q8.5 Um caminho acelera ao descer um elevado. Um sistema de referncia inercial est fixo no solo com origem em um poste. Um segundo sistema de referncia inercial est fixo no interior de um carro da polcia que est descendo o elevado com velocidade constante. O momento linear do caminho o mesmo nos dois sistemas? Explique. A taxa de variao do momento linear do caminho a mesma nos dois sistemas? Explique. Q8.6 Quando um caminho grande e pesado colide com um automvel, mais provvel que os ocupantes do automvel se machuquem mais do que os ocupantes do caminho. Por qu? Q8.7 Uma senhora segurando uma pedra grande est em p sobre uma camada de gelo horizontal sem atrito. Ela lana a pedra com uma velocidade v0 formando um ngulo acima da horizontal. Considere o sistema constitudo pela mulher juntamente com a pedra. Existe conservao do momento linear do sistema? Por que sim ou por que no? Nenhum componente do momento linear do sistema conservado? Novamente, por que sim ou por que no? Q8.8 No Exemplo 8.7 (Seo 8.4), no qual os dois cavaleiros da Figura 8.9a ficam colados aps a coliso, a coliso inelstica porque K2 < K1. No Exemplo 8.5 (Seo 8.3), a coliso inelstica? Explique. Q8.9 Em uma coliso completamente inelstica entre dois corpos, quando eles permanecem unidos aps a coliso, podemos achar um valor igual a zero para a energia cintica final do sistema? Caso sua resposta seja afirmativa, fornea um exemplo em que isso ocorre. Quando a energia cintica final do sistema for igual a zero, qual deve ser o momento linear inicial do sistema? A energia cintica inicial do sistema igual a zero? Explique. Q8.10 Como a energia cintica dada por

K

p2 . Ento, como possvel existir um 2m

evento para o qual o momento linear do sistema seja constante, porm a energia cintica total do sistema seja varivel? Q8.11 Em cada um dos Exemplos 8.10, 8.11, 8.12 e 8.13 (Seo 8.5), verifique se os vetores velocidade relativa antes e depois da coliso possuem o mesmo mdulo. Em cada um desses casos o que ocorre com a direo e o sentido do vetor velocidade relativa? Q8.12 A probabilidade de um copo quebrar quando ele cai sobre um piso de concreto maior do que quando ele cai sobre um piso de madeira. Por qu? (Tome como referncia a Figura 8.3.) Q8.13 Na Figura 8.18, a energia cintica da espaonave depois de sua interao com Saturno maior do que antes da interao. De onde provm este aumento de energia? Descreva o evento em termos da conservao da energia. Q8.14 Uma metralhadora dispara sobre uma placa de ao. A fora mdia oriunda do impacto da bala quando a bala refletida maior ou menor do que a fora quando a bala se amassa e fica colada na placa? Explique. Q8.15 Uma fora resultante de 4 N atua durante 0,25 s sobre um corpo que estava inicialmente em repouso fazendo-o atingir uma velocidade final igual a 5 m/s. Como uma fora resultante de 2 N poderia produzir a mesma velocidade final? Q8.16 Uma fora resultante com um componente x dado por

1

F , atua sobre um corpo durante o intervalo de F no igual a zero

tempo de t1 a t2. O componente x do momento linear possui o mesmo valor para t1, e para t2, porm respeito do grfico de em nenhum instante entre t1 e t2. O que voc pode afirmar a

F contra t?

Q8.17 Um jogador de tnis bate em uma bola de tnis com uma raquete. Considere o sistema bola e raquete. O momento linear total desse sistema o mesmo imediatamente antes e imediatamente depois da batida? O momento linear total do sistema imediatamente depois da batida o mesmo que o momento linear total do sistema dois segundos depois, quando a bola est no ponto superior de sua trajetria no ar? Explique qualquer diferena entre as duas situaes. Q8.18 No Exemplo 8.4 (Seo 8.3) considere o sistema rifle e bala. Qual a velocidade do centro de massa do sistema depois do disparo? Explique. Q8.19 Um ovo libertado do alto de um edifcio e cai at atingir o solo. medida que o ovo cai, o que ocorre com o momento linear do sistema ovo e Terra? Q8.20 Uma senhora est em p no meio da superfcie sem atrito de um lago gelado. Ela poderia se locomover atirando objetos, mas suponha que ela no possua nada para atirar. Ela poderia se locomover at a margem do lago sem jogar nada? Q8.21 Em um ambiente com gravidade igual a zero,

K

1 m v2 e o momento linear dado por p 2

m v,


pode uma espaonave movida por foguete atingir uma velocidade maior do que a velocidade relativa com a qual o combustvel queimado expelido? Q8.22 Estima-se que a Supenova 1987A, a uma distncia de 170.000 anos-luz da Terra, tenha emitido 10 neutrinos. Porm dois grandes detectores na Terra detectaram apenas 19 deles. Fornea pelo menos duas razes para explicar por que o nmero de neutrinos detectados foi muito menor do que o nmero emitido. EXERCCIOS SEO 8.2 MOMENTO LINEAR E IMPULSO 8.1 (a) Qual o mdulo do momento linear de um caminho de 10.000 kg que se desloca com velocidade de 12,0 m/s? (b) Qual deve ser a velocidade de um carro esportivo de 2000 kg para que ele tenha (i) o mesmo momento linear do caminho? (ii) a mesma energia cintica? 8.2 No Exemplo 8.1 (Seo 8.2), mostre que o barco de massa 2m possui, ao chegar na linha final, um momento linear

sentido do vetor momento linear total do sistema constitudo pelas duas bolas. 8.7 Fora sobre uma bola de golfe. Uma bola de golfe de 0.0450 kg que estava inicialmente em repouso passa a se deslocar a 25.0 m/s depois de receber um impulso do taco. Se o taco e a bola permaneceram em contato durante 2.00 ms, qual a fora mdia do taco sobre a bola? O efeito do peso da bola durante seu contato com o taco importante? Por que sim ou por que no? 8.8 Fora sobre uma bola de beisebol. Uma bola de beisebol possui massa igual a 0.145 kg. (a) Sabendo que a velocidade da bola arremessada de 45.0 m/s e a velocidade da bola rebatida de 55.0 m/s na mesma direo, mas em sentido contrrio, calcule o mdulo da variao do momento linear e do impulso aplicado pelo basto sobre a bola. (b) Se o basto e a bola permaneceram em contato durante 2.00 ms, qual o mdulo da fora mdia do basto sobre a bola? 8.9 Um disco de hquei de 0.160 kg se move sobre uma superfcie horizontal com gelo e sem atrito. No instante t = 0, o disco de hquei se move da esquerda para a direita a 3.00 m/s. (a) Determine o mdulo, a direo e o sentido da velocidade do disco de hquei depois que ele sofreu a ao de uma fora de 25.0 N aplicada durante 0.050 s da esquerda para a direita, (b) Se em vez dessa fosse aplicada uma fora de 12.0 N de t = 0 a t= 0.050 s da direita para a esquerda, qual seria a velocidade final do disco de hquei? 8.10 Um motor de um sistema de manobra orbital em

2

2 vezes maior do que o momento linear do barco de massam. 8.3 (a) Mostre que a energia cintica K e o mdulo do momento linear p de uma partcula de massa m so relacionados por

K

p2 . (b) Um cardeal (Richmondena cardinalis) com 2m

massa de 0.040 kg e uma bola de beisebol de 0.145 kg possuem a mesma energia cintica. Qual desses corpos possui o maior momento linear? Qual a razo entre o mdulo do momento linear do cardeal e o mdulo do momento linear da bola de beisebol? (c) Um homem com 700 N e uma garota com 450 N possuem o mesmo momento linear. Quem possui a maior energia cintica? Qual a razo entre a energia cintica do homem e a energia cintica da garota? 8.4 Uma bola de futebol com massa igual a 0.420 kg se desloca com velocidade de 4,50 m/s formando um ngulo de 20.0 no sentido anti-horrio em relao ao eixo +0x (Figura 8.30). Quais so os componentes x e v do momento linear? 4,50 m/s

j um nibus espacial exerce uma fora igual a (26.700 N) durante 3.90 s, ejetando uma quantidade de massa de combustvel desprezvel em relao massa de 95.000 kg do nibus espacial, (a) Qual o impulso da fora durante 3.90 s? (b) Qual a variao do momento linear do nibus espacial referente a esse impulso? (c) Qual a variao da velocidade do nibus espacial referente a esse impulso? (d) Por que no podemos calcular a variao da energia cintica do nibus espacial?8.11 O basto de um treinador de beisebol exerce sobre uma bola de beisebol de 0,145 kg uma fora dada por:

Fm = 0,420 kg FIGURA 8.30 Exerccio 8.4. 8.5 Uma bola de beisebol com massa igual a 0.145 kg se desloca ao longo do eixo +0y com velocidade de 1.30 m/s, e uma bola de tnis com massa igual a 0,0570 kg se desloca no sentido -Oy com velocidade de 7.80 m/s. Determine o mdulo, a direo e o sentido do vetor momento linear total do sistema constitudo pelas duas bolas. 8.6 Uma bola de golfe com massa igual a 0.045 kg se desloca ao longo do eixo +0x com velocidade de 9.00 m/s, e uma bola de beisebol com massa igual a 0.145 kg se desloca no sentido -Oy com velocidade de 7.00 m/s. Determine o mdulo, a direo e o

1.60 107 N s t

6.00 109 N s2 t 2 i

entre os instantes t = 0 e t = 2.50 ms. Para t = 0, a velocidade da bola de beisebol dada por

v

40.0 i 5.0 m s . j

(a) Ache o impulso exercido pelo basto sobre a bola, sabendo que o basto e a bola permaneceram em contato durante 2.50 ms. (b) Ache o impulso exercido pela gravidade sobre a bola durante esse intervalo de tempo, (c) Ache o mdulo da fora mdia do basto sobre a bola durante esse intervalo de tempo. (d) Ache o momento linear e a velocidade da bola de beisebol para t = 2.50 ms. 8.12 Uma bola de beisebol de 0.145 kg golpeada por um basto. Logo aps o impacto, a bola se desloca a 50.0 m/s horizontalmente da esquerda para a direita e abandona o basto


quando ele se move com velocidade de 65.0 m/s para a esquerda formando um ngulo de 30 acima da horizontal. Se o basto e a bola permaneceram em contato durante 1.75 ms, calcule o mdulo do componente horizontal e do componente vertical da fora mdia do basto sobre a bola. 8.13 Uma fora resultante

FIGURA 8.31 Exerccio 8.17.

Fx t

A B t 2 no

sentido do eixo +0x aplicada sobre uma garota que est sobre uma prancha de skate. A garota possui massa m. A fora comea a atuar no instante t1 = 0 e continua at t = t2. (a) Qual o impulso J, da fora? (b) A garota inicialmente est em repouso, qual a sua velocidade no instante t2? SEO 8.3 CONSERVAO DO MOMENTO LINEAR 8.14 Frustrado porque o goleiro bloqueou seu ataque, um jogador de hquei com 75.0 kg em p sobre o gelo arremessa um disco de hquei de 0.160 kg horizontalmente para a rede com velocidade de 20.0 m/s. Com que velocidade e em que direo o jogador de hquei dever se deslocar desprezando o atrito entre seus ps e o gelo? 8.15 Voc est em p sobre uma camada de gelo de um estdio de futebol em um pas frio; despreze o atrito entre seus ps e o gelo. Um amigo joga para voc uma bola de 0.400 kg que se desloca horizontalmente com velocidade de 10.0 m/s. Sua massa igual a 70.0 kg. (a) Se voc agarra a bola, com que velocidade voc e a bola se deslocaro logo a seguir? (b) Se a bola colide com voc, sendo refletida pelo seu peito e adquirindo uma velocidade horizontal de 8.0 m/s em sentido oposto ao inicial, qual sua velocidade aps a coliso? 8.16 Sobre uma mesa de ar horizontal sem atrito, o disco de hquei A (com massa igual a 0.250 kg) se desloca de encontro ao disco de hquei B (com massa igual a 0.350 kg), que inicialmente est em repouso. Depois da coliso, o disco de hquei A possui velocidade igual a 0.120 m/s da direita para a esquerda e o disco de hquei B possui velocidade igual a 0.650 m/s da esquerda para a direita, (a) Qual era a velocidade do disco de hquei A antes da coliso? (b) Calcule a variao da energia cintica total do sistema ocorrida durante a coliso. 8.17 Variao de energia durante uma coliso de dois jogadores. Gretzky, um famoso jogador de hquei no gelo, se aproxima sobre patins de um jogador da defesa com velocidade de 13.0 m/s, que por sua vez se aproxima de Gretzky com velocidade de 5,0 m/s (Figura 8.31). O peso de Gretzky igual a 756 N; o peso do jogador da defesa igual a 900 N. Imediatamente aps a coliso Gretzky se move com velocidade de 1.50 m/s no mesmo sentido original. Despreze as foras externas aplicadas pelo gelo sobre os patins durante a coliso, (a) Qual a velocidade do jogador da defesa imediatamente aps a coliso? (b) Calcule a variao da energia cintica total do sistema dos dois jogadores. 8.18 Os gases que se expandem ao abandonar o cano de um rifle tambm contribuem para o recuo. Uma bala de calibre 30 possui massa igual a 0.00720 kg e velocidade de 601 m/s em relao ao cano quando disparada de um rifle com massa igual a 2.80 kg. Um rifle apoiado frouxamente recua com velocidade de 1.85 m/s em relao Terra. Calcule o momento linear dos gases de propulso em relao a um sistema de coordenadas fixo na Terra no momento em que eles abandonam a boca do rifle. 8.19 O bloco A indicado na Figura 8.32 possui massa igual a 1.00 kg, e o bloco B possui massa igual a 3.00 kg. Os dois blocos se aproximam, comprimindo a mola S entre eles; a seguir o sistema libertado a partir do repouso sobre uma superfcie horizontal sem atrito. A mola possui massa desprezvel, no est presa a nenhum dos blocos e cai sobre a mesa depois que ela se expande. O bloco B adquire uma velocidade de 1.20 m/s. (a) Qual a velocidade final do bloco A? (b) Qual foi a energia potencial armazenada na mola comprimida? S

3

mA = 1.00 kg

mB = 3.00 kg

F1GURA8.32 Exerccio 8.19. 8.20 Um adversrio de James Bond est em p sobre um lago gelado; no h atrito entre seus ps e o gelo. Ele lana seu chapu revestido de ao com uma velocidade de 22.0 m/s formando um ngulo de 36.9 na esperana de atingir James Bond. Sabendo que sua massa de 120 kg e que seu chapu possui massa de 4.50 kg, qual ser sua velocidade de recuo horizontal? 8.21 Um pinguim de cermica apoiado sobre sua televiso repentinamente se parte em dois pedaos. Um pedao, com massa mA voa da direita para a esquerda com velocidade vA. O outro pedao, massa mB, voa da esquerda para a direita com velocidade vB. (a) Use a lei da conservao do momento linear para obter vB em termos de mA, de mB e de vA. (b) Use o resultado da parte (a) para mostrar que KA/KB = mB/mA onde KA e KB so as energias cinticas dos dois pedaos.


8.22 Daniel (massa de 65.0 kg) e Rebeca (massa de 45.0 kg) esto praticando patinao sobre uma pista de gelo. Enquanto est parado amarrando o cordo de seu patim, Daniel atingido por Rebeca, que se deslocava a 13.0 m/s antes de colidir com ele. Depois da coliso, a velocidade de Rebeca possui mdulo igual a 8.00 m/s e forma um ngulo de 53.1 com a direo de sua velocidade inicial. Ambos se movem sobre a superfcie horizontal sem atrito da pista de gelo. (a) Qual a velocidade de Daniel depois da coliso? (b) Qual a variao da energia cintica total dos dois patinadores em virtude da coliso? 8.23 Carlos e Maria esto patinando juntos sobre uma pista de gelo com velocidade de 3.00 m/s. Carlos pergunta a Maria quanto ela pesa. Aborrecida, Maria empurra Carlos de modo que ela se acelera at atingir 4.00 m/s e ele diminui sua velocidade para 2.25 m/s no mesmo sentido. O atrito, no sentido da fsica, desprezvel nesse drama. Se o peso de Carlos igual a 700 N, qual o peso de Maria? 8.24 Um vago de carga aberto na parte superior possui massa de 24.000 kg e se desloca sem atrito ao longo de um trilho horizontal. Est chovendo torrencialmente e as gotas caem verticalmente. No incio, o vago est vazio e se desloca com velocidade de 4.00 m/s. Qual ser a velocidade do vago depois de acumular 3000 kg de gua da chuva? 8.25 Um disco de hquei B est em repouso sobre uma superfcie lisa de gelo quando atingido por outro disco de hquei A que estava inicialmente se movendo a 40.0 m/s e que passa a se mover sofrendo um desvio de 30.0 da sua direo original (Figura 8.33). O disco de hquei B passa a se mover com velocidade formando um ngulo de 45.0 com a direo original de A. As massas dos discos so iguais, (a) Calcule o mdulo da velocidade de cada disco de hquei depois da coliso, (b) Qual a frao da energia cintica inicial do disco de hquei A que foi dissipada durante a coliso?

fazendo o caminho de 6320 kg colidir com o carro. Os dois veculos ficam engavetados aps a coliso, (a) Sabendo que o caminho se deslocava com velocidade igual a 10.0 m/s quando ele colidiu frontalmente com seu carro, qual a velocidade comum dos veculos (mdulo, direo e sentido da velocidade) logo aps a coliso? (b) Qual deveria ser a velocidade do caminho para que os dois veculos ficassem parados logo aps a coliso? (c) Calcule a variao da energia cintica total do sistema dos dois veculos para a situao descrita na parte (a) e para a situao descrita na parte (b). Em qual das duas situaes ocorre a maior variao da energia cintica total? 8.28 Em um campo de futebol com lama, um zagueiro de 110 kg se choca com um jogador meio-de-campo de 85 kg. Imediatamente antes da coliso, o zagueiro se desloca com velocidade de 8.8 m/s do sul para o norte e o outro jogador se desloca com velocidade de 7.2 m/s do oeste para o leste. Qual a velocidade (mdulo, direo e sentido) com a qual os dois jogadores se movem unidos aps a coliso? 8.29 Em Dlias, depois de uma tempestade de neve, um automvel de 1400 kg se deslocando a 35.0 km/h de leste para oeste colide em um cruzamento com uma caminhonete de 2800 kg se deslocando a 50.0 km/h do norte para o sul. Se os dois veculos ficam engavetados aps a coliso, determine o mdulo, a direo e o sentido da velocidade aps a coliso. Despreze o atrito entre os veculos e o gelo da estrada. 8.30 Em um cruzamento da cidade de So Paulo, um pequeno carro compacto com massa de 950 kg que se deslocava de oeste para leste colide com uma picape com massa de 1900 kg que se deslocava do sul para o norte avanando o sinal vermelho (Figura 8.34). Em virtude da coliso, os dois veculos ficam engavetados. e aps a coliso eles se deslocam a 16.0 m/s na direo a 24.0 nordeste. Calcule o mdulo da velocidade de cada veculo antes da coliso. Estava chovendo muito durante a coliso e o atrito entre os veculos e a estrada pode ser desprezado.

4

A

40.0 m/s

A B

30 45

FIGURA8.33 Exerccio 8.25. SEO 8.4 COLISES INELSTICAS 8.26 Sobre a superfcie oleosa sem atrito de um balco de uma lanchonete, um sanduche de 0.500 kg se movendo a 3.00 m/s da direita para a esquerda colide com um sanduche de queijo grelhado de 0.250 kg se movendo a 1.20 m/s da esquerda para a direita. (a) Sabendo que os dois sanduches ficam grudados, qual a velocidade final? (b) Qual a quantidade de energia mecnica dissipada durante a coliso? 8.27 O seu carro esportivo de 1050 kg, estacionado no alto de uma ladeira sem ter sido puxado o freio de mo, rola ladeira abaixo e passa a se deslocar com velocidade de 15.0 m/s de leste para oeste em uma estrada horizontal. O motorista de um caminho que se desloca de oeste para leste decide parar o carro

24.0

16.0 m/s

FIGURA 8.34 Exerccio 8.30. 8.31 Uma bala de 5.00 g disparada horizontalmente sobre um bloco de madeira que est em repouso sobre uma superfcie horizontal. O coeficiente de atrito cintico entre a superfcie e o bloco igual a 0.20. A bala fica cravada na madeira e observa-se que o bloco desliza 0.230 m at parar. Qual era a velocidade inicial da bala?


8.32 Um pndulo balstico. Uma bala de 12.0 g disparada com velocidade de 380 m/s sobre um pndulo balstico com massa igual a 6.00 kg, suspenso por uma corda de comprimento igual a 70.0 cm. (Veja o Exemplo 8.8 na Seo 8.4.) Calcule (a) a altura vertical atingida pelo pndulo; (b) a energia cintica inicial da bala: (c) a energia cintica inicial da bala e do pndulo imediatamente depois de a bala ficar retida no pndulo. SEO 8.5 COLISES ELSTICAS 8.33 Um cavaleiro de 0.150 kg se move a 0.80 m/s da esquerda para a direita sobre um trilho de ar horizontal sem atrito. Ele colide frontalmente com um cavaleiro de 0.300 kg que se move a 2.20 m/s da direita para a esquerda. Supondo coliso elstica. determine o mdulo, a direo e o sentido de cada cavaleiro depois da coliso. 8.34 Uma bola de gude de 10.0 g se desloca com velocidade de 0.400 m/s da direita para a esquerda sobre uma pista horizontal sem atrito e colide frontalmente com outra bola de gude de 30.0 g que se desloca com velocidade de 0.200 m/s da esquerda para a direita (Figura 8.35). (a) Determine o mdulo, a direo e o sentido de cada bola de gude depois da coliso. (Como a coliso frontal, todos os movimentos ocorrem ao longo da mesma linha reta.) (b) Calcule a variao do momento linear (isto , o momento linear depois da coliso menos o momento linear antes da coliso) para cada bola de gude. Compare os valores obtidos para cada bola de gude. (c) Calcule a variao de energia cintica (isto , a energia cintica depois da coliso menos a energia cintica antes da coliso) para cada bola de gude. Compare com os valores obtidos para cada bola de gude. 0.200 m/s 0.400 m/s

mostra que alguns prtons so rebatidos diretamente para trs depois de uma coliso com um ncleo do elemento desconhecido. Todos esses prtons so rebatidos para trs com velocidade igual 1.20.107 m/s. Despreze as velocidades iniciais dos ncleos dos alvos e suponha que as colises sejam elsticas, (a) Calcule a massa do ncleo do elemento desconhecido. Expresse sua resposta em funo da massa m do prton. (b) Qual a velocidade do ncleo do elemento desconhecido imediatamente depois dessa coliso? SEO 8.6 CENTRO DE MASSA 8.38 As massas e as coordenadas dos centros de massa de trs blocos de chocolate so dadas por: (l) 0.300 kg, (0.200 m, 0.300 m); (2) 0.400 kg, (0.100 m, -0.400m); (3) 0.200 kg, (-0.300 m, 0.600 m). Calcule as coordenadas do centro de massa do sistema constitudo por esses trs blocos de chocolate. 8.39 Determine a posio do centro de massa do sistema constitudo pelo Sol e por Jpiter. (Como a massa de Jpiter muito maior do que as massas dos demais planetas, esta resposta fornece essencialmente a posio do centro de massa do sistema solar.) A posio desse centro de massa est dentro ou fora do Sol? Use os dados do Apndice F. 8.40 Um utilitrio de 1200 kg se desloca a 12.0 m/s ao longo de um elevado retilneo. Outro carro de 1800 kg, e se deslocando a 20.0 m/s, tem seu centro de massa situado a uma distncia de 40.0 m na frente do centro de massa do utilitrio (Figura 8.36). (a) Calcule a posio do centro de massa do sistema constitudo pelos dois carros, (b) Calcule o mdulo do momento linear total do sistema usando os dados acima, (c) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema, (d) Calcule o mdulo do momento linear total do sistema usando a velocidade do centro de massa do sistema. Compare sua resposta com o resultado obtido no item (b). 8.41 Em um dado instante, o centro de massa de um sistema de duas partculas est localizado sobre o eixo Ox no ponto x =

5

30.0 g FIGURA 8.35 Exerccio 8.34.

10.0 g

8.35 Fornea os detalhes dos clculos de a e de f do Exemplo 8.13 (Seo 8.5). 8.36 Os reatores nucleares do Canad usam moderadores de gua pesada, nos quais ocorrem colises elsticas entre nutrons e duterons de massa 2,0 u. (Veja o Exemplo 8. l l da Seo 8.5). (a) Qual a velocidade de um nutron, expressa em funo de sua velocidade inicial, depois de uma coliso frontal com um duteron que estava inicialmente em repouso? (b) Qual sua energia cintica, expressa como uma frao de sua energia cintica inicial? (c) Quantas colises sucessivas iguais a essa seriam necessrias para reduzir a velocidade de um nutron ale 1/59.000 do seu valor original? 8.37 Voc est controlando um acelerador de partculas, enviando um feixe de 1.50.107 m/s de prtons (massa m) sobre um alvo gasoso de um elemento desconhecido. Seu detector

2.0 m e possui velocidade igual a (5.0 m/s) i . Uma das partculas est sobre a origem. A outra partcula possui massa de 0.10 kg e est em repouso sobre o eixo Ox no ponto x = 8.0 m. (a) Qual a massa da partcula que est sobre a origem? (b) Calcule o momento linear total do sistema, (c) Qual a velocidade da partcula que est sobre a origem?8.42 No Exemplo 8.15 (Seo 8.6) Rui puxa a corda atingindo uma velocidade de 0.70 m/s. Qual a velocidade de Jaime? 8.43 Um sistema possui duas partculas. No instante t = 0 uma das partculas est na origem; a outra, com massa igual a 0.50 kg, est sobre o eixo Oy no ponto x = 6.0 m. Para t = 0, o centro de massa do sistema est sobre o eixo Oy no ponto y = 2.4 m. A velocidade do centro de massa do sistema dada por

(0,75 m/s )t2 i . (a) Calcule a massa total do sistema, (b) Ache a acelerao do centro de massa em funo do tempo, (c) Calcule a fora externa resultante que atua sobre o


sistema no instante t = 3,0 s. 8.44 Um modelo de avio com controle remoto possui momento linear dado por: p 0.75 kg m s3 t 3 3.0 kg m s i 3.0 kg m s 2 t j (a) Quais so os componentes x, y e z da fora resultante que atua sobre o avio? (b) Em que instante t o componente x da fora resultante que atua sobre o avio igual a zero? SEO 8.7 PROPULSO DE UM FOGUETE 8.45 Um pequeno foguete queima 0.0500 kg de combustvel por segundo, expelindo-o como um gs cuja velocidade em relao ao foguete possui mdulo igual a 1600 m/s. (a) Qual a fora de propulso sobre o foguete? (b) O foguete poderia se deslocar no espao sideral, onde no existe atmosfera? Em caso afirmativo, como voc faria para mudar a direo do movimento? Voc poderia frear o foguete'? *8.46 Um astronauta de 70 kg flutuando no espao no interior de uma UMM (unidade de manobra manual) sofre uma acelerao de 0.029 m/s' quando ele aciona um dos motores de propulso. (a) Sabendo que a velocidade do gs N, emitido em relao ao astronauta igual a 490 m/s, qual foi a quantidade de gs usada pelo motor de propulso em 5.0 s? (b) Qual a fora de propulso desse motor? *8.47 Um foguete disparado no espao sideral, onde a gravidade desprezvel. Sabendo que a massa inicial do foguete igual a 6000 kg e que ele emite um gs cuja velocidade em relao ao foguete possui mdulo igual a 2000 m/s, qual a quantidade de gs expelida no primeiro segundo para que sua acelerao seja igual a 25.0 m/s2? *8.48 Um foguete disparado no espao sideral, onde a gravidade desprezvel. No primeiro segundo ele emite 1/160 da sua massa como gs de exausto e possui uma acelerao igual a 15.0 m/s. Qual o mdulo da velocidade do gs de exausto em relao ao foguete'? *8.49 Um modelo de motor de foguete C 6-5 possui um impulso igual a 10.0 N.s durante 1.70 s, enquanto queima 0.0125 kg de combustvel. Sua fora de propulso mxima igual a 13.3 N. A massa inicial do motor mais a massa do combustvel igual a 0.0258 kg. (a) A fora de propulso mdia corresponde a qual frao da fora de propulso mxima? (b) Calcule o mdulo da velocidade relativa do gs de exausto, considerando-o constante. (c) Supondo que a velocidade relativa do gs de exausto seja constante, ache a velocidade final do motor quando ele for disparado a partir do repouso no espao sideral sem gravidade, desprezando a massa da estrutura na qual ele est ligado. *8.50 Um foguete com estgio nico disparado a partir do repouso no espao sideral, onde a gravidade desprezvel. Sabendo que ele queima seu combustvel em 50.0 s e que a velocidade relativa do gs de exausto dada por vex = 2100 m/s, qual deve ser a razo m0/m para ele atingir uma velocidade final de 8.00 km/s (a velocidade orbital

aproximada de um satlite artificial da Terra)? *8.51 Obviamente um foguete pode ser acelerado at atingir velocidades muito elevadas, porm qual deve ser uma velocidade mxima razovel? Considere um foguete disparado a partir do repouso no espao sideral, onde a gravidade desprezvel, (a) Se a velocidade relativa do gs de exausto 2000 m/s e voc deseja que a velocidade final do foguete seja de 1.0010-3c, onde c a velocidade da luz, qual deve ser a frao da massa inicial do foguete e combustvel que no combustvel? (b) Qual deve ser essa frao para que a velocidade final do foguete seja de 3000 m/s? SEO 8.8 O NEUTRINO: UM TPICO DE FSICA MODERNA 8.52 Um ncleo de 232Th (trio) em repouso decai para um ncleo de 228Ra (rdio) com emisso de uma partcula alfa. A energia cintica total dos fragmentos da desintegrao igual a 6.54.10-13 J. A massa de uma partcula alfa 1.76% da massa de um ncleo de 228Ra. Calcule a energia cintica (a) do ncleo de 228Ra; (b) da partcula alfa. 8.53 Em um certo decaimento alfa, a energia cintica da partcula alfa igual a 9.650.10-13 J e o valor de Q para o decaimento 9.850.10-13 J. Qual a massa do ncleo que recua? 8.54 Um ncleo de 210Bi (bismuto) em repouso sofre decaimento beta para o ncleo de 210Po (polnio). Suponha que o eltron emitido se mova da esquerda para a direita com um momento linear (calculado pela teoria da relatividade) igual a 5.60.10-22 kg.m/s. O ncleo de 210Po, com massa igual a 3.50.10-25 kg, recua da direita para a esquerda com uma velocidade de 1.14.103 m/s. Determine o mdulo, a direo e o sentido do momento linear do antineutrino emitido nesse decaimento. (O ncleo de 210Po se move com velocidade muito menor do que a velocidade da luz, de modo que a teoria da relatividade no precisa ser usada para calcular seu momento linear. Em vez disso, a Equao (8.2) pode ser usada.) 8.55 Um ncleo de 210Bi (bismuto) em repouso sofre decaimento - para o ncleo de 210Po (polnio). Em um dado evento de decaimento, o eltron emitido ortogonalmente na direo da emisso do antineutrino. Os mdulos dos momentos lineares so 3.60.1022 kg.m/s para o eltron e 5.20.1022: kg.m/s para o antineutrino. O ncleo de 210Po possui massa de 3.50.10-25 kg. Calcule (a) o mdulo do momento linear do ncleo de 210Po que recua; (b) a energia cintica do ncleo de 210Po.

6


PROBLEMAS 8.56 Uma bola de ao de massa igual a 40.0 g largada de uma altura de 2.00 m sobre uma barra de ao horizontal. A bola rebatida at uma altura de 1.60 m. (a) Calcule o impulso comunicado para a bola durante a coliso, (b) Sabendo que a bola permanece em contato com a barra durante 2.00 ms, calcule a fora mdia exercida sobre a bola durante a coliso. 8.57 A fora resultante que atua sobre um disco de 2.00 kg durante seu lanamento igual a

desloquem a 0.50 m/s no sentido do eixo +0x aps a coliso? (b) Se C possui a velocidade encontrada no item (a), qual a variao da energia cintica do sistema das trs esferas ocasionada pela coliso?

Y

B

t

2

i

t

, onde j

= 25.0 N/s ,

2

= 30.0VC

VB = 0.50 M/S VA = 1.50 M/S

60 AX C

7

N e = 5.0 N/s. Sabendo que o disco estava inicialmente em repouso, qual sua velocidade depois que a fora resultante atuou durante 0.500 s? Expresse sua resposta em termos dos

j vetores unitrios i e .8.58 Imediatamente antes de colidir com a raquete, uma bola de tnis pesando 0.560 N possui uma velocidade igual aFIGURA 8.37

Problema 8.62.

20.0 m s iconstante e igual a

4.0 m s . Durante os 3.00 ms em que a j 380N i 110N , j

raquete ficou em contato com a bola, a fora resultante (a) Quais so os componentes x e y do impulso da fora resultante que atuam sobre a bola? (b) Quais so os componentes x e y da velocidade final da bola? 8.59 Trs vages conectados esto se movendo em uma estrada de ferro e se acoplam com um quarto vago, que estava inicialmente em repouso. Os quatro vages continuam se movendo e se acoplam com um quinto vago, que estava inicialmente em repouso. Esse processo continua at que a velocidade final do conjunto de vages seja igual a um quinto da velocidade inicial dos trs vages. Todos os vages so idnticos. Desprezando o atrito, quantos vages existem no conjunto final de vages? 8.60 Um automvel conversvel com massa igual a 1500 kg se desloca do norte para o sul. e um veculo utilitrio com massa igual a 2000 kg se desloca do leste para o oeste. Qual a velocidade de cada carro, sabendo que o momento linear total do sistema dos dois carros igual a 8000 kg. m/s formando um ngulo de 60.0 no sentido da rotao do sul para o oeste? 8.61 Trs discos de hquei idnticos possuindo ims que se repelem esto sobre uma mesa de ar horizontal. Eles so mantidos unidos, e a seguir so libertados simultaneamente. O mdulo da velocidade em cada instante sempre o mesmo para os discos. Um deles se move do leste para o oeste. Determine a direo e o sentido da velocidade de cada um dos outros discos. 8.62 As esferas A (massa 0.020 kg), B (massa 0.030 kg) e C (massa 0.050 kg) se aproximam da origem deslizando sobre uma mesa de ar sem atrito (Figura 8.37). As velocidades de A e de B so indicadas na figura. Todas as trs esferas atingem a origem no mesmo instante e ficam coladas, (a) Quais devem ser os componentes x e y da velocidade inicial de C para que os trs objetos unidos se

8.63 Um carrinho de estrada de ferro impulsionado manualmente se move ao longo de um trilho horizontal sem atrito e com resistncia do ar desprezvel. Nos casos a seguir, o carrinho possui massa total (carro mais tudo que est em seu interior) igual a 200 kg e se desloca a 5.00 m/s de oeste para leste. Calcule a velocidade final do carrinho em cada caso. supondo que ele no abandone os trilhos, (a) Um corpo com 25.0 kg de massa lanado lateralmente para fora com velocidade de mdulo igual a 2.00 m/s em relao velocidade inicial do carrinho, (b) Um corpo com 25.0 kg de massa lanado para fora do carrinho em sentido contrrio ao do seu movimento e com velocidade de mdulo igual a 5.00 m/s em relao velocidade inicial ao carrinho, (c) Um corpo com 25.0 kg de massa lanado para dentro do carrinho com velocidade de mdulo igual a 6.00 m/s em relao ao solo e com sentido contrrio ao da velocidade inicial do carrinho. 8.64 Um vago est cheio de areia e se desloca com uma velocidade inicial de 15,0 m/s sobre trilhos horizontais. Despreze o atrito com os trilhos. A massa total do vago cheio de areia igual a 85.000 kg. A porta do vago no est bem fechada e a areia comea a escoar para fora pela parte inferior. Depois de 20 minutos, 13.000 kg escaparam do vago. Qual ento a velocidade do vago? (Compare sua anlise com aquela que voc usou para resolver o Exerccio 8.24.) 8.65 Em uma corrida envolvendo automveis clssicos, um carro Nash Metropolitan 1955 com 840 kg se desloca com velocidade de 9.0 m/s, seguido de um carro Packard Clipping 1957 com 1620 kg roncando com uma velocidade de 5.0 m/s. (a) Qual dos dois carros possui a maior energia cintica? Qual a razo entre a energia cintica do Nash e a energia cintica do Packard. (b) Qual dos dois carros possui o maior mdulo do momento linear? Qual a razo entre o mdulo do momento linear do Nash e o mdulo do momento linear do Packard. (c) Seja FN a fora resultante necessria para fazer parar o Nash em um intervalo de tempo t1, e seja FP a fora resultante necessria para fazer parar o Packard no mesmo


intervalo de tempo. Qual das duas maior, FN ou FP? Qual a razo FN / FP. (d) Seja FN a fora resultante necessria para fazer parar o Nash em uma dada distncia d, e seja FP a fora resultante necessria para fazer parar o Packard na mesma distncia. Qual das duas maior, FN ou FP? Qual a razo FN / FP? 8.66 Um soldado dispara sua pistola automtica de 8 tiros com a taxa mxima de 1000 disparos por minuto. Cada bala possui massa igual a 7.45 g e velocidade igual a 293 m/s em relao ao solo no momento em que a bala sai do cano da arma. Calcule a fora mdia de recuo da arma durante esse disparo. 8.67 Uma armao contendo um prato estica a mola onde ela est suspensa at uma distncia de 0,050 m. Um pedao de massa pegajosa de 0.200 kg largado do repouso a uma altura de 30.0 cm em relao ao prato (Figura 8.38). Ache a distncia mxima que o prato pode se mover para baixo a partir da posio de equilbrio inicial.

kg), que est em p diretamente abaixo do candelabro. (Suponha que o centro de massa do duble se mova para baixo 50 m. Ele larga a corda no instante em que atinge o vilo.) (a) Com que velocidade os dois adversrios engalfinhados comeam a deslizar ao longo do piso? (b) Sabendo que o coeficiente de atrito cintico entre seus corpos e o piso dado por C = 0.250, at que distncia eles deslizam ao longo do piso?

8

5.00 m FIGURA 8.38 Problema 8.67. 8.68 Uma bala de 8.00 g disparada por um rifle penetra e fica retida em um bloco de 0.992 kg ligado a uma mola e apoiado sobre uma superfcie horizontal sem atrito (Figura 8.39). O impacto produz uma compresso de 15.0 cm na mola. A calibrao mostra que uma fora de 0.750 N comprime a mola 0.250 cm. (a) Calcule o mdulo da velocidade do bloco imediatamente aps o impacto. (b) Qual era a velocidade inicial da bala?V

m = 80.0 kg

m = 70.0 kg

FIGURA 8.40 Problema 8.70. 8.71 Uma bala de 4.00 g disparada horizontalmente com velocidade de 400 m/s contra um bloco de madeira de 0.800 kg, inicialmente em repouso sobre uma superfcie horizontal. A bala atravessa o bloco e emerge com uma velocidade reduzida para 120 m/s. O bloco desliza ao longo da superfcie at uma distncia de 45.0 cm da sua posio inicial, (a) Qual o coeficiente de atrito cintico entre o bloco superfcie? (b) Qual a diminuio da energia cintica da bala? (c) Qual a energia cintica do bloco no instante em que a bala emerge do bloco? 8.72 Uma bala de 5.00 g atravessa um bloco de madeira de 1.00 kg suspenso por um fio de comprimento igual a 2.000 m. O centro de massa do bloco sobe at uma altura de 0.45 cm. Sabendo que a velocidade inicial da bala era de 450 m/s, ache a velocidade da bala no instante em que ela emerge do bloco. 8.73 Um nutron de massa m colide frontalmente com um ncleo de massa M, que est inicialmente em repouso, (a) Mostre que se a energia cintica inicial do nutron era de K0 a energia cintica que ele perde durante a coliso dada por 4mMK0/(M + m)2. (b) Para qual valor de M o nutron incidente perde a maior energia?

Problema 8.68. 8.69 Uma bala ricocheteando. Uma pedra de 0.100 kg est em repouso sobre uma superfcie horizontal sem atrito. Uma bala de 6.00 g, se deslocando horizontalmente a 350 m/s, colide com a pedra e ricocheteia ao longo da superfcie com velocidade de 250 m/s em uma direo ortogonal sua velocidade inicial. (a) Determine o mdulo, a direo e o sentido da velocidade da pedra aps o impacto, (b) A coliso perfeitamente elstica? 8.70 Um duble de cinema (massa 80.0 kg) est em p sobre a borda de uma janela situada a 5.0 m acima do piso (Figura 8.40). Segurando uma corda amarrada a um candelabro, ele oscila para baixo para atingir o vilo do filme (massa 70.0

FIGURA 8.39


(c) Quando M possui o valor calculado na parte (b), qual a velocidade do nutron depois da coliso? 8.74 Um disco de hquei azul de massa 0.0400 kg, deslizando com velocidade igual a 0.200 m/s sobre uma mesa de ar horizontal sem atrito, sofre uma coliso frontal perfeitamente elstica com um disco de hquei vermelho de massa m, inicialmente em repouso. Depois da coliso, a velocidade do disco de hquei azul de 0.050 m/s no mesmo sentido da sua velocidade inicial. Determine (a) o mdulo, a direo e o sentido do disco de hquei vermelho depois da coliso; (b) a massa m do disco de hquei vermelho. 8.75 Dois asterides com massas mA e mB se movem com velocidades v A e v B em relao a um astrnomo que est em um veculo espacial, (a) Mostre que a energia cintica total medida pelo astrnomo dada por

e a seguir, alguns segundos depois, Jill pula na mesma direo e no mesmo sentido? (c) Qual a velocidade final do engradado se Jill pula primeiro e a seguir, alguns segundos depois, Jack pula na mesma direo e no mesmo sentido? 8.78 Um prton se deslocado ao longo do eixo +0x com velocidade vA1, sofre uma coliso elstica fora da linha central com outro prton idntico que est inicialmente em repouso. Depois desse impacto, o primeiro prton se desloca com velocidade vA2 no primeiro quadrante, formando um ngulo com o eixo +0x., e o segundo prton se desloca com velocidade vB2 no quarto quadrante formando um ngulo com o eixo +0x (veja a Figura 8.10). (a) Escreva as equaes que descrevem a lei da conservao do momento linear para os componentes x e y. (b) Eleve ao quadrado as equaes obtidas na parte (a) e some membro a membro os resultados, (c) Introduza agora o fato de a coliso ser elstica, (d) Demonstre que + = /2 .(Voc est demonstrando que esse resultado vlido para qualquer coliso elstica fora da linha central entre dois corpos de mesma massa quando um dos corpos est inicialmente em repouso.) 8.79 Um disco de hquei B, inicialmente em repouso sobre uma superfcie de gelo sem atrito, sofre uma coliso com outro disco de hquei A que possui a mesma massa do primeiro. O disco de hquei A estava inicialmente se deslocando a 15.0 m/s c sofre um desvio de 25.0 em relao direo inicial. Considere uma coliso perfeitamente elstica. Calcule o mdulo da velocidade final de cada disco de hquei e a direo e o sentido da velocidade final do disco de hquei B. (Sugesto: Use a relao deduzida na parte (d) do Problema 8.78). 8.80 Joo e Jos esto sentados em um tren que est inicialmente em repouso sobre uma superfcie de gelo sem atrito. O peso de Joo igual a 800 N, o peso de Jos igual a 600 N e o peso do tren igual a 1000 N. Ao notar a presena de uma aranha venenosa no interior do tren eles imediatamente pulam para fora. Joo pula para a esquerda com velocidade (em relao ao gelo) igual a 5.00 m/s formando um ngulo de 30.0 acima da horizontal, e Jos pula para a direita com velocidade (em relao ao gelo) igual a 7.00 m/s formando um ngulo de 36.9 acima da horizontal. Determine o mdulo, a direo e o sentido da velocidade do tren depois que eles pulam para fora. 8.81 Os objetos da Figura 8.41 foram feitos com arames uniformes e dobrados nas formas indicadas. Ache a posio do centro de massa de cada um destes objetos.

9

1 1 2 M vcm mA vA2 mB vB2 2 2 onde v cm e M so definidos como na Seo 8.6 e K

vA vA vcm e vB vB vcm .

Nessa expresso a energia

cintica total dos dois asterides a energia associada com o centro de massa mais a energia associada com o movimento em torno do centro de massa. (b) Se ocorrer uma coliso entre os dois asterides, qual deve ser a energia cintica mnima que eles podem possuir em relao ao astrnomo aps a coliso? Explique. 8.76 Suponha que voc mantenha uma bola pequena em contato com uma bola grande diretamente sobre seu centro. Se voc largar a bola pequena um pequeno intervalo de tempo aps largar a bola grande, a bola pequena ser rebatida para cima com uma velocidade surpreendente. Para exemplificar o caso extremo, despreze a resistncia do ar e suponha que a bola grande faa uma coliso elstica com o solo, a seguir suba e colida elasticamente com a bola pequena que ainda est descendo. Imediatamente antes da coliso entre as duas bolas, a bola grande sobe com velocidade v , e a bola pequena est descendo com velocidade - v ?. (Voc sabe por qu?) Suponha que a bola grande possua massa muito maior do que a da bola pequena, (a) Qual a velocidade da bola pequena imediatamente depois da coliso com a bola grande? (b) Usando a resposta do item (a), ache a razo entre a distncia percorrida pela bola pequena quando ela retoma para cima e a distncia que ela percorreu antes da coliso. 8.77 Jack e Jill esto em p sobre um engradado em repouso sobre a superfcie horizontal sem atrito de um lago gelado. A massa de Jack igual a 75.0 kg. Jill possui massa de 45.0 kg e o engradado possui massa de 15.0 kg. Eles se lembram de que deveriam pegar um balde de gua e pulam horizontalmente para fora do engradado. Em cada pulo, cada pessoa se afasta do engradado com velocidade de 4.00 m/s em relao ao engradado. (a) Qual a velocidade final do engradado se Jack e Jill pulam simultaneamente na mesma direo e no mesmo sentido? (Sugesto: Use um sistema de referncia inercial fixo no solo.) (b) Qual a velocidade final do engradado se Jack pula primeiro

L

L

L

L

(a)

(b)

L

L

L

L (c)FIGURA 8.41

L (d) Problema 8.81.


8.82 Um jovem de 45.0 kg est em p sobre uma canoa de 60.0 kg e comprimento igual a 5.00 m. Ele caminha a partir de um ponto situado a 1.00 m de uma das extremidades da canoa at atingir a outra extremidade da canoa (Figura 8.42). Desprezando a resistncia da gua ao movimento da canoa, qual a distncia que a canoa se move nesse processo? 8.83 Voc est em p sobre um bloco de concreto apoiado sobre um lago congelado. Suponha que no exista atrito entre o bloco e a superfcie do lago congelado. Voc possui um peso cinco vezes menor do que o peso do bloco. Se voc caminhar para a frente com velocidade de 2.00 m/s, com que velocidade o bloco se mover em relao ao gelo? 8.84 Um projtil de 20,0 kg disparado com velocidade de 80.0 m/s formando um ngulo de 60,0 acima da horizontal. No ponto mais elevado de sua trajetria o projtil explode se dividindo em dois fragmentos de mesma massa, um dos quais cai verticalmente com velocidade inicial igual a zero. Despreze a resistncia, (a) Supondo um solo horizontal, qual a distncia entre o ponto inicial do disparo e o ponto onde o segundo fragmento atinge o atinge o solo? (b) Qual a quantidade de energia libertada na exploso?1.00 m 3.00 m 1.00 m

Nutron em repouso

Nutron

Figura 8.43 - Problema 8.85. 8.86 Referencial do centro de massa. Um disco de hquei A (com massa igual a mA) se deslocando com velocidade v A ao longo do eixo +0x sobre uma mesa de ar horizontal sem atrito, sofre uma coliso frontal elstica com um disco de hquei B (massa mB) inicialmente em repouso. Depois da coliso, os dois discos se movem ao longo do eixo +0x. (a) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema dos dois discos antes da coliso, (b) Considere um sistema de coordenadas cuja origem localizada no centro de massa e que se move com ele. Esse sistema de coordenadas constitui um sistema de referncia inercial? (c) Quais so as velocidades iniciais u A1 e u B 1 neste referencial do centro de massa? Qual o momento linear total do sistema nesse referencial do centro de massa? (d) Use a lei da conservao do momento linear e a lei da conservao da energia, aplicando-as para o referencial do centro de massa, para obter relaes entre o momento linear final e o momento linear inicial de cada disco de hquei, e portanto entre a velocidade final e a velocidade inicial de cada disco de hquei. Os seus resultados mostraro que problemas envolvendo uma coliso frontal elstica em uma dimenso podem ser descritos de modo muito simples em relao ao referencial do centro de massa. (e) Considere mA = 0.400 kg, mB = 0.200 kg e vA1 = 6.00 m/s. Usando o resultado da parte (d), determine as velocidades do centro de massa u A1 e u B 1 e a seguir transforme as velocidades para o sistema estacionrio para achar as velocidades finais dos discos. Os seus resultados concordam com os obtidos nas Equaes (8.24) e (8.25)? 8.87 O coeficiente de restituio e de uma coliso frontal definido como a razo entre a velocidade relativa depois da coliso e a velocidade relativa antes da coliso, (a) Qual o valor de e para uma coliso completamente inelstica? (b) Qual o valor de e para uma coliso elstica? (c) Uma bola largada de uma altura h sobre uma superfcie estacionria e retorna at uma altura H1. Mostre que:

10

INCIO

FIM

FIGURA 8.42

Problema 8.82.

8.85 Uma reao nuclear. A fisso, o processo que fornece energia para um reator nuclear, ocorre quando um ncleo pesado dividido em dois ncleos com pesos mdios. Uma dessas reaes ocorre quando um nutron colide com um ncleo de 235U (urnio) dividindo-o em um ncleo de 141Ba (brio) e um ncleo de 92Kr (criptnio). Nessa reao, dois nutrons tambm so emitidos do ncleo de 235U original. Antes da coliso, a configurao indicada na Figura 8.43a. Depois da coliso o ncleo de 141Ba se move no sentido do eixo +0z e o ncleo de 92Kr se move no sentido do eixo -Oz. Os trs nutrons passam a se mover no plano xy como mostra a Figura 8.43b. Sabendo que o mdulo da velocidade do nutron original de 3.0.103 m/s e que o mdulo da sua velocidade final de 2.0.103 m/s com as direes indicadas, quais so as velocidades dos outros dois nutrons e o que voc pode afirmar sobre as velocidades dos ncleos 141Ba e 92Kr? (A massa do ncleo de 141 Ba aproximadamente igual a 2.3.10-25 kg e a do ncleo de 92 Kr aproximadamente igual a 1.5.10-25 kg.)

H1 h(d) Uma bola de basquete enchida com a presso apropriada possui um coeficiente de restituio igual a 0.85. Se essa bola largada de uma altura de 1.2 m acima de um piso de madeira at que altura ela retorna?


(e) Quando a bola rebatida depois da primeira coliso com o solo, a altura atingida H1. Supondo que e seja constante, mostre que a altura atingida quando a bola rebatida depois de n colises com o solo dada por:

Hn

2n

h

(f) Supondo que e seja constante, qual a altura atingida por uma bola de basquete enchida com a presso apropriada e largada de uma altura de 1.2 m? 8.88 Energia de ligao da molcula de hidrognio. Quando dois tomos de hidrognio de massa m se combinam para formar a molcula diatmica do hidrognio (H2), a energia potencial do sistema depois da combinao igual a - , onde uma grandeza positiva denominada energia de libao da molcula. (a) Mostre que em uma coliso envolvendo somente dois tomos de hidrognio impossvel formar uma molcula de H2, porque no poderia ocorrer simultaneamente conservao do momento linear e conservao da energia. {Sugesto: Se voc provar que essa afirmao vlida em um dado sistema de referncia, ento ela ser vlida em qualquer sistema de referncia. Voc sabe por qu?} (b) Em uma coliso envolvendo trs tomos de hidrognio, uma molcula de H2, pode ser formada. Suponha que antes da coliso cada um dos trs tomos se aproximem com velocidade igual a 1.00.103 m/s e que as direes dessas velocidades formem entre si ngulos iguais a 120. de modo que a cada instante os tomos estejam sobre os vrtices de um tringulo equiltero. Calcule a velocidade do tomo de hidrognio que sobra depois da coliso e a velocidade da molcula de H,. A energia de ligao da molcula de H2, dada por = 7.23.10-19 J e a massa do tomo de hidrognio igual a 1.67.10-27 kg. 8.89 Uma carroa com massa total de 300 kg com duas caixas de ouro estava em repouso no alto de uma ladeira com inclinao de 6.0 e a uma distncia de 50 m da base (Figura 8.44). Um bandido a separa dos cavalos que a puxavam, planejando fazer a carroa rolar ladeira abaixo e continuar se deslocando no terreno horizontal at cair em uma ribanceira, no fundo da qual os outros bandidos da quadrilha esperavam. Porm, Zorro (massa 75.0 kg) e Tonto (massa 60.0 kg) aguardavam no alto de uma rvore situada a uma distncia de 40 m da ribanceira. Eles saltaram verticalmente sobre a carroa no instante em que ela passava embaixo da rvore, (a) Sabendo que dispunham de apenas 5,0 s para pegar o ouro e pular da carroa antes que ela casse na ribanceira, teriam eles conseguido realizar a tarefa? Despreze o atrito de rolamento, (b) Quando os dois heris pulam para o interior da carroa, a energia cintica do sistema carroa mais heris conservada? Caso no seja conservada, de quanto ela aumenta ou diminui?

*8.90 Na Seo 8.7 consideramos um foguete disparado no espao sideral onde no existe gravidade nem resistncia do ar. Suponha agora que o foguete esteja sendo acelerado verticalmente a partir da superfcie terrestre. Continue desprezando a resistncia do ar e suponha que o foguete atinja uma altura no muito elevada de modo que o valor de g possa ser considerado constante. (a) Como a Equao (8.37) se modifica com a presena da fora da gravidade? (b) Deduza uma expresso anloga Equao (8.39) para a acelerao a do foguete, (c) Qual seria a acelerao do foguete no Exemplo 8.16 (Seo 8.7) supondo que ele esteja prximo da superfcie terrestre em vez de estar no espao sideral? Despreze a resistncia do ar. (d) Calcule a velocidade do foguete no Exemplo 8.16 (Seo 8.7) 90 s depois de ele ser disparado da superfcie terrestre em vez de estar no espao sideral. Despreze a resistncia do ar. Como suas respostas se comparam com as velocidades obtidas no Exemplo 8.17? *8.91 Um Foguete com muitos estgios. Suponha que o primeiro estgio de um foguete com dois estgios possua massa total de 12.000 kg, sendo de 9000 kg a massa do combustvel. A massa total do segundo estgio igual a 1000 kg, sendo de 700 kg a massa do combustvel. Suponha que a velocidade relativa vex do material expelido seja constante e despreze qualquer efeito da gravidade. (O ltimo efeito pequeno durante o perodo da combusto quando a taxa de consumo de combustvel elevada.) (a) Suponha que a massa total do combustvel transportado pelo foguete com dois estgios seja utilizada em um foguete com um nico estgio com a mesma massa total de 13.000 kg. Para um foguete partindo do repouso, qual seria, em termos de vex, sua velocidade no momento em que o combustvel termina? (b) Para um foguete com dois estgios, qual seria sua velocidade no momento em que o combustvel do primeiro estgio termina, sabendo que o primeiro estgio transporta o segundo at esse ponto? A seguir, essa velocidade toma-se a velocidade inicial do segundo estgio. Nesse ponto, o segundo estgio se separa do primeiro, (c) Qual a velocidade final do segundo estgio? (d) Qual deve ser o valor de vex para que o segundo estgio atinja uma velocidade final igual a 7.00 km/s? *8.92 A equao F=-vex(dm/dt) para a fora de propulso de um foguete tambm pode ser aplicada para um avio movido a hlice. De fato, existem duas contribuies para a fora de propulso: uma positiva e outra negativa. A contribuio positiva resulta do ar que empurrado para trs, afastando-o da hlice (logo dm/dt < 0), com uma velocidade vex relativa hlice. A contribuio negativa resulta da mesma quantidade de ar que escoa para a frente da hlice (logo dm/dt > 0), com uma velocidade v igual velocidade do avio atravs do ar. (a) Escreva uma equao para a fora de propulso resultante desenvolvida pela hlice de um avio em termos de v, vex e do valor absoluto |dm/dt|. (b) Para um Cessna 182 (um avio monomotor) voando a 130 km/h, 150 kg de ar fluem atravs da hlice em cada segundo c a hlice desenvolve uma propulso resultante igual a 1300 N. Calcule o incremento do mdulo da velocidade (em km/h) que a hlice fornece para o ar.

11

FIGURA 8.44 Problema 8.89.


*8.93 Suponha que a massa do foguete descrito nos Exemplos 8.16 e 8.17 (Seo 8.7) seja uma funo do tempo dada por

m0 para t m t m0 1

0 90 s

t para0 t 120s m0 para t 90 s 4

(a) Calcule e faa um grfico da velocidade em funo do tempo desde t = 0 at t = 100 s. (b) Calcule e faa um grfico da acelerao em funo do tempo desde t = 0 at t = 100 s. (c) Um astronauta de 75 kg est deitado sobre uma cadeira inclinada durante o lanamento do foguete. Qual a fora resultante mxima exercida pela cadeira sobre o astronauta durante o lanamento do foguete? Como se compara essa resposta com o peso do astronauta sobre a Terra?

12


PROBLEMAS DESAFIADORES

8.94 No dia do aniversrio de sua tia Maria, voc deseja diverti-la puxando a toalha da mesa sobre a qual se encontra o bolo. A mesa possui raio r = 0,90 m e o bolo est em repouso sobre a toalha no centro da mesa. A toalha da mesa possui o mesmo tamanho do topo da mesa. Voc puxa rapidamente a beirada da toalha. O bolo permanece em contato com a toalha durante um tempo t depois que voc comea a puxar. A seguir o bolo desliza um pouco e para (conforme voc y x espera) em virtude do atrito entre a mesa e o bolo. O coeficiente de atrito cintico entre o bolo e a toalha de mesa C1 = 0.30 e o a coeficiente de atrito cintico entre a mesa e o bolo C2 = 0.40. t Aplique o teorema do impulso-momento linear (Equao 8.9) e o teorema do trabalho-energia (Equao 6-6) a fim de calcular o valor mximo de t para que o bolo no caia sobre o solo. (Sugesto: Suponha que o bolo percorra uma distncia d quando FIGURA 8.45 Problema Desafiador 8.96. ainda est sobre a toalha de mesa e, portanto, a uma distncia r d da borda da mesa. Suponha que as foras de atrito sejam 8.97 Um quarto de uma corda de comprimento l est independentes da velocidade relativa entre as superfcies em contato. Voc poder facilmente realizar esse truque puxando suspensa no ar apoiada na borda de uma mesa sem atrito. A uma folha de papel sob um copo com gua, mas tenha corda possui uma densidade linear (massa por unidade de comprimento) uniforme ("lambda"), e sua extremidade que disponvel um pano para enxugar a gua se for preciso!). est sobre a mesa mantida em repouso por uma pessoa. Qual 8.95 Na Seo 8.6 calculamos o centro de massa trabalho realizado por essa pessoa para puxar a corda considerando objetos compostos por um nmero finito de lentamente e elevar a parte suspensa at que a corda fique massas puntiformes ou objetos que por simetria pudessem ser inteiramente sobre a mesa? Resolva o problema usando dois representados por um nmero finito de massas puntiformes. mtodos, como se segue, (a) Ache a fora necessria que a pessoa deve realizar Para um objeto cuja distribuio de massas no permite uma determinao simples do centro de massa mediante para elevar a corda e a partir da calcule o trabalho realizado. consideraes de simetria, as somas indicadas nas Equaes Note que essa fora varivel porque a cada instante diferentes fraes da corda ficam suspensas na borda da mesa. (8.28) devem ser generalizadas para integrais: (b) Suponha que o segmento da corda que inicialmente 1 1 xcm xdm ycm ydm estava suspenso na borda da mesa possui toda a sua massa M M concentrada em seu centro de massa. Calcule o trabalho onde x e y so as coordenadas de uma pequena poro do objeto necessrio para elevar essa massa at a altura da mesa. Talvez de massa dm. A integrao feita sobre o volume total do voc ache esse mtodo mais simples do que o usado na pane (a). objeto. Considere uma barra delgada de comprimento L, massa Como as duas respostas se comparam e por que voc obtm esse M, e seja A a rea da seo reta da barra. Suponha um sistema de resultado? coordenadas com origem na extremidade esquerda da barra e com o eixo +0.v ao longo da barra, *8.98 Uma gota de chuva com massa varivel. No (a) Sabendo que a densidade = M/V do objeto problema da propulso de um foguete, a massa varivel. Outro uniforme, integre as relaes anteriores para mostrar que a problema com massa varivel fornecido por uma gota de coordenada x do centro de massa da barra coincide com o seu chuva caindo no interior de uma nuvem que contm muitas centro, gotas minsculas. Algumas dessas gotculas aderem sobre a (b) Sabendo que a densidade varia linearmente com x, gota que cai, fazendo, portanto, aumentar sua massa medida ou seja, = x, onde uma constante positiva, determine a que ela cai. A fora sobre a gota de chuva dada por coordenada . do centro de massa da barra. dp dv dm

13

dt dt dt 8.96 Use o mtodo do Problema Desafiador 8.95 para Suponha que a massa da gota de chuva dependa da determinar as coordenadas x e y do centro de massa de uma placa metlica semicircular com densidade uniforme e distncia x percorrida durante sua queda. Ento, m = k x, onde k espessura t. Chame de a o raio da placa. Ento, a massa da placa uma constante, portanto: dm/dt = kV. Como Fext = mg, obtemos: : M 1 2 a2 t m g m dv v k v dt x g x dv 2 v dt

Fex

m

v

Use o sistema de coordenadas indicado na Figura 8.45.

Ou, dividindo por k:

Essa equao diferencial possui uma soluo da forma v = at. onde a uma acelerao constante. Considere a velocidade inicial da gota igual a zero.


(a) Usando a soluo proposta para v, determine a acelerao a. (b) Calcule a distncia percorrida pela gota at o instante t = 3.00 s. (c) Sabendo que k = 2.00 g/m, ache a massa da gota de chuva para t = 3.00 s. Para muitos outros aspectos intrigantes deste problema veja o artigo de K. S. Krane, Amer. Jour. Phys. Vol. 49 (1981), p. l 13-117.

14


Exerccio

Gabarito Exerccios mpares Gabarito (a)

Exerccio

Gabarito

8.1

1.2 105 kg m s

(b) (i) 60.0 m/s

8.43

(a)1.25kg (b) 1.5 m s3 t i

(ii) 26.8 m/s 8.3 8.5 8.7 8.9 8.11 (b) (c) (d) (b) beisebol, 0.525 (c) mulher 0.643

(c) 5.6N i8.45 8.47 8.49 8.51 8.53 8.55 8.57 (a) 80 N (b) sim 75 kg (a) 0.442 (b) 800 m/s (c) 530 m/s (a) 7.2 10 66 (b) 0.223

0.256kg m s , sentido: - Oy562 N, no (a)10.8 m/s para a direita (b) 0.75 m/s para a esquerda. (a)

3.21 10 25 kg(a) 6.32.10-22

18.8kg m s i3.55 10 3 kg m s j

kg.m/s (b) 5.71.10-19J

0.521 i 7.81 m s j15 30 no sentido norte para leste, 30 no sentido sul para leste (a) 5.00 m/s, leste. (b) 5.71 m/s, leste. (c) 3.78 m/s, leste. (a) Nash, 1.68 (b) Packard, 0.933 (c) Fp maior, 0.933 23.2 cm (a)

15

7.50 103 kg m s i

8.59 8.61 8.63 8.65 8.67 8.69 8.71 8.73 8.75 8.77

13.0 i 0.73 kg m s j 89.3 i 5.0 m s j

8.13 (b) 8.15

(a)

A t2

B3 t

3 2

25.8 m s ,35.5

A m t2(a)

3 B 3m t2

5.62 10 2 m s (b) 0.103m s

(b) no (a) 0.222 (b) -291 J (c) 0.784 J (b) M = m (c) 0

8.17

(a) 4.66m s sentido oposto ao sentido original do movimento do jogador de defesa (b) 6580J (a) (a)

(a)

1 2 M vcm 2 3.56m s (b) 5.22m s (c) 4.67m s2, ao longo do eixo

8.79 (a) (b) 8.81 (c)

A: 13.6 m/s; B: 6.34 m/s, 65

8.19 8.21 8.23 8.25 8.27 (a)

3.60m s (b) 8.64JvB mA mB vA525 N

L 2 cos

a partir do vrtice.

L 3 ,ao longo do eixo de simetriacentral a partir da base.

vA2(a) (c)

29.3m s , vB2(b) 0.196 = 19.6%

20.7 m s

L

8

,ao longo do eixo de simetria

central a partir da base. (d) 8.83 8.85 8.87 8.89 8.91 8.93v

6.44 m s

para o leste

L 12

, a partir de qualquer lado.

(b) 2.49 m/s

2.81 105 J ; 1.38 105 J

8.29 8.31 8.33

8.37 8.39 8.41

Na parte (a) 35.3 km/h, 19.3 no sentido do Sul para o oeste. 229 m/s Para o cavaleiro de 0.150 kg: 3.2 m/s da direita para a esquerda; para o cavaleiro de 0.300 kg: 0.20 m/s da direita para a esquerda. (a) 9.00 m (b) 3.00.106 m/s A uma distncia de 7.42.108 m do centro do Sol; for a do Sol

0.400 m/s 222 m/s, 1.01.103 m/s; vKr=1.5 vBa (a) 0 (b) 1 (d) 0.87m (f) 0.089m (a) sim (b) no; a energia cintica diminui de 4.8.103 J(a) 1.37 vex (b) 1.18 vex (c) 2.38 vex (d) 2.94 km/h

2400 ln

1 1 t 120

m s ,0 t 90 s

90 s

3.33 km h , t

(b) 20[1-t/120] para 0 t 8.95 8.97 (b) 2L/3 (a) l g/32; (b) l2 g/32

90 s

(a)0.30kg (b) 2.0kg m s i

(c) 6000 N VS. 735 N na Terra


Gabarito Exerccios Pares resolvidos Cortesia: Editora Pearson

(a) Antes da coliso, o disco B estava em repouso, ento todo o momento devido ao movimento do disco A ev P 0.1975 kg m / s 0.790 / s.

A1 8-2: Veja o Exerccio 8-3(a); o navio quebra-gelo tem a mA 0.250 kg mesma energia cintica, assim o 1 1 1 2 2 2 K K 2 K1 m A v A2 mB v B 2 ma v A1 barco com massa maior tem um valor maior de (b) 2 2 2 1 1 momento dado por um fator de (2m) /( m) (0.250 kg )( 0.120 m / s ) 2 (0.350 kg )(0.650 m / s ) 2 2.

2

8-4:

Da Eq. (8-2),

2 1 (0.250 kg )(0.7900 m / s ) 2 2 0.0023 J .

px mvx (0.420kg )(4.50 m / s ) cos 20.0o 1.78 kg m / s p y mvy (0.420kg )(4.50 m / s ) sen 20.0 0.6646kg m / s.o

Observe que algarismos significativos extras foram mantidos nos clculos intermedirios a fim de se evitar erros de arredondamento.

16

8-6: Da Eq. (8-2), py = -(0.145 kg)(7.00 m/s) = -1.015 8-18: Faa a direo do movimento da bala ser na direo kgm/s, e px = (0.045 kg)(9.00 m/s) = 0.405 kgm/s, ento que positiva. O momento total da bala, rifle, e o gs deve ser zero, o momento total tem o mdulo de : ento: (0.00720 kg)(601 m/s- 1.85 m/s) + (2.80 kg)(-1.85 m/s) + pgas = p px2 py2 ( 0.405kg m / s)2 ( 1.015kg m / s)2 1.09 kg m / s, e est em um ngulo de arctan usando o valor 0, e pgas = 0.866 kg m/s. Observe que a velocidade da bala 1.015 encontrada subtraindo-se a velocidade do rifle da velocidade da 68o , .405 bala relativo ao rifle. da funo arco-tangente no quarto quadrante (px > 0, py < 0). 8-20: Na ausncia da fora de atrito, a componente 8-8: (a) O valor da velocidade variou de: horizontal do sistema chapu-adversrio conservada, e a (45.0 m/s) (-55.0 m/s) = 100.0 m/s, e portanto a variao do velocidade do recuo momento : (0.145 kg)(100.0 m/s) = 14.500 kg m/s, ou 14.5 (4.50 kg )(22.0 m / s ) cos36.9o 0.66 m / s . kg m/s para trs algarismos significativos. Este tambm o (120kg ) mdulo do impulso. 8-22: Faa direo original do movimento de Rebecca ser na (b)Da Eq. (8-8), o mdulo da fora mdia aplicada : direo x (a) Da conservao da componente x do momento, 14.500kg m / s 7.25 x 103 N . 3 temos: (45.0 kg)(13.0 m/s) = 2.00 x 10 s (45.0 kg)(8.0 m/s) cos 53.1 + (65.0 kg)vx,ento vx = 5.67 m/s. Se o movimento final de Rebecca for considerado como tendo F t = (1.04 x 105 kg m/s) . j 8-10: (a) uma componente y positiva, ento j (b) (1.04 x 105 kg m/s) . (45.0 kg)(8.0 m / s) sin 53.1o vy 4.43 m / s. 5 (c) (1.04 x10 kg m / s) (65.0 kg) . j (1.10m / s) j A velocidade final de Daniel (95,000kg ) 2 2 (d) A velocidade inicial do nibus espacial desconhecida e, a vx v y (5.67m / s) 2 ( 4.43m / s) 2 7.20m / s, variao no quadrado da velocidade no o quadrado da 4.43 variao da velocidade. e sua direo arctan 38o a partir do eixo x, e o 5.67 8-12: A variao no momento da bola na direo x qual 91.1 a partir da direo do movimento final de Rebecca . (considerada ser positiva e para a direita) (0.145 kg)(-(65.0 K = 1 1 1 45.0 kg (8.0 m / s) 2 (65.0 kg)(7.195m / s) 2 (45.0 kg)(13.0 m / s) 2 2 2 2 m/s) cos 30o 50.0 m/s) = -15.41 kg m/s, ento a componente x = -680 J. da fora mdia 15.41kg m / s 8.81x103 N . Observe que algarismos significativos extras foram 3 1.75 x10 s mantidos durante os clculos intermedirios a fim de se evitar e a componente y da fora : erros de arredondamento. o 8-24: O momento original (24,000 kg) (4.00 m/s) = 9.60 x 104 kg m/s, a massa final 24,000 kg + 3000 kg = 27,000 kg, e 8-14: O impulso dado ao jogador em direo oposta mas de portanto a velocidade final : 9.60 x 10 4 kg m / s mesmo mdulo que aquele dado ao disco, ento a velocidade do 3.56 m / s. jogador (0.160kg )(20.0 m / s) na direo oposta 2.70 x 10 4 kg 4.27 cm / s, (75.0 kg ) 8-26: (a) De ao disco. 8-16: O momento final (0.250 kg)(-0.120 m/s) + (0.350 kg)(0.650 m/s) = 0.1975 kg m/s, considerando a direo positiva como sendo para a direita.m1v1 m2 v 2 m1v m2 v (m1 m2 )v, v m1v1 m2 v 2 . m1 m2

(0.145kg )(65.0 m / s) sen 30 (1.75 x 10 3 s)

2.7 x 103 N .

Considerando as velocidades como positivas e para a direita, v1 = -3.00 m/s and v2 = 1.20 m/s, ento v = -1.60 m/s.

Exerccios Captulo 8 Impulso e quantidade de movimento Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori1 (0.500 kg 0.250 kg )( 1.60 m / s ) 2 2 1 1 (0.500 kg )( 3.00 m / s ) 2 (0.250 kg )(1.20 m / s ) 2 2 2 1.47 J .

(b)

K

(c) KA = -4.5 x 10-4, KB = 4.5 x 10-4. Como a coliso elstica, os nmeros tm o mesmo valor . 8-36: (a) Utilizando a Eq. (8-24), vA 1 u 2 u 1 . v 1u 2 u 3

8-28: Considere o norte como sendo a direo positiva do eixo x e o leste a direo y (estas escolhas so arbitrrias). Ento, o momento final o mesmo que o momento inicial (para (b) A energia cintica proporcional ao quadrado da um campo suficientemente enlameado), e as componentes da KA 1 velocidade so : . velocidade, ento K 9 (110 kg)(8.8 m / s) vx 5.0 m / s (c) O valor da velocidade reduzido por um fator de 1 aps de (195 kg)

(85 kg)(7.2 m / s) vy 3.1 m / s. (195 kg) Portanto, o mdulo da velocidade :

3

cada coliso, ento aps N colises de N, a velocidade 13

N

17

de seu valor original. Para se encontrar N, considere que

(5.0 m / s) 2 (3.1 m / s) 2ngulo de arctan

5.9 m / s, em um

3 N 59,000 N ln( 3) ln( 59,000 ) 8-30: Como o caminho no tinha nenhuma componente inicial de momento, o momento inicial do carro deve ser a componente ln( 59,000 ) N 10. x do momento.Portanto: ln( 3) Px ( mca r mtru ck )v cos vca r como o inteiro mais prximo. Naturalmente, utilizar o mca r mca r logaritmo em qualquer a base conduz ao mesmo resultado. 2850 kg (16.0 m / s ) cos (90 o 24 o ) 8-38: Da Eq. (8-28), 950 kg

3.1 5.0

1 3

N

1 , or 59,000

32 o do leste para o norte .

19.5 m / s. Analogamente, vtruck 2850(16.0 m / s) sin66o 21.9 m / s. 19008-32: (a) A velocidade final da combinao bala-bloco : 12.0 x10 3 kg V (380 m / s) 0.758 m. / s. 6.012 kg A energia conservada aps a coliso, ento 1 (m M ) gy (m M )V 2 , e 2 1 V 2 1 (0.758 m / s) 2 y 0.0293 m 2.93 cm. 2 g 2 (9.80 m / s 2 ) (b)

xcm y cm

(0.30 kg )(0.20 m) (0.40 kg )(0.10 m) (0.20 kg )( 0.30 m) (0.90 kg )

0.044 m,

(0.30 kg )(0.30 m) (0.40 kg )( 0.40 m) (0.20 kg )(0.60 m) 0.056 m. (0.90 kg )

8-38:xcm y cm

Da Eq. (8-28),0.044 m,

(0.30 kg )(0.20 m) (0.40 kg )(0.10 m) (0.20 kg )( 0.30 m) (0.90 kg )

(0.30 kg )(0.30 m) (0.40 kg )( 0.40 m) (0.20 kg )(0.60 m) 0.056 m. (0.90 kg )

8-40: (a) Medidas a partir da traseira do carro, a posio do centro da massa , (da Eq. (8-28)):

K1

1 2 1 mv (12.0 x10 3 kg)(380m / s) 2 866J . 2 2(c)2

(1800 kg)(40.0 m) 24.0 m, (1200 kg 1800 kg)o qual esta 16.0 m atrs do carro lder . (b) (1200 kg)(12.0 m/s) + (1800 kg)(20.0 m/s) = 5.04 x 10 4 kg m/s.

Da parte

(a), K 1 6.012kg (0.758m / s) 2 1.73J . 2

8-34: (a) Na notao do exemplo 8-10, com a bola de gude maior (que se move originalmente para a direita) denotada (c) Da Eq. (8-30), (1200 kg)(12.0 m / s) (1800 kg)(20.0 m / s) como sendo A, temos (3.00)vA2 + (1.00)vB2 = 0.200 m/s. A v 16.8 m / s. velocidade relativa mudou de direo, ento vA2 vB2 = -0.600 cm (1200 kg 1800 kg) m/s. Somando-se estas, eliminamos vB2 resultando em (4.00)vA2 = -0.400 m/s, or vA2 = -0.100 m/s, com o sinal negativo (d) (1200 kg + 1800 kg)(16.8m/s) = 5.04 x 104 kg m/s. indicando uma velocidade final esquerda. Isto pode ser substitudo em qualquer uma das duas relaes acima, 8-42: Como no exemplo 8-15 o centro da massa permanece resultando em: vB2 = 0.500 m/s; ou , a segunda das relaes acima pode em repouso, ento existe um momento resultante nulo, e os ser multiplicado por 3,00 e ser subtrada da primeira resultando em: valores das velocidades esto relacionadas por: (4.00)vB2 = 2.00 m/s, que o mesmo resultado. m1v1 = m2v2, ou v2 = (m1/m2)v1 = (60.0 kg/90.0 (b) PA = -0.009 kg m/s, PB = 0.009 kg m/s kg)(0.70 m/s) = 0.47 m/s. 8-44: (a) pz = 0, ento Fz = 0. A componente x da fora


Fx

dp x dt Fy

( 1.50 N / s)t. dp y dt 0.25 N

v2 x v1x v2 y v1 y

J x / m (20.0 m / s)

( 1.14 N s) 0.05 m / s ((0.560 N ) /(9.80 m / s 2 )) (0.33 N s) J y / m ( 4.0 m / s) 1.78 m / s. ((0.560 N ) /(9.80 m / s 2 ))

(b) Fazendo-se Fx = 0 e resolvendo para t resulta em t = 8-60: O momento do conversvel deve ser a componente sul do momento total, ento (8000 kg m / s) cos 60.0 o vco n 2.67 m / s. 8-46: muito mais conveniente fazer primeiramente a (b); o (1500 kg) empurro a fora que acelera o astronauta e MMU, Analogamente, a velocidade do vago : F = ma = (70 kg + 100 kg)(0.029 m/s2) = 5.22 N. (8000 kg / s) sin 60.0 o (a) Resolvendo a Eq. (8-38) for |dm|, v 3.46 m / s. 0 s.

| dm |

F dt vex

(5.22 N )(5.0 s) 53 gm. (490 m / s)

sw

(2000 kg)

18

8-62:

(a)

mAvAx + mBvBx + mCvCx = mtotvx, portanto:

8-48: Resolvendo a Eq. (8-34) para vex e considerando o vCx mdulo para se encontrar a velocidade de exausto, temos:v

Cx m vex a (15.0 m / s 2 )(160s) 2.4 km / s. Nessa forma, a Analogamente, dm/ dt (0.100 kg)(0 m / s) (0.020 kg)(0 m / s) (0.030 kg)( 0.50 m / s) sin 60 o vCy m 0.050 kg quantidade aproximada por dm/ dt vCy 0.26 m / s m m (b) t 160s. 1 1 1 m/ t m K (0.100 kg )(0.5 m / s ) 2 (0.020 kg )(1.50 m / s ) 2 (0.030 kg )(0.50 m / s ) 2

(0.100 kg)(0.50 m / s) (0.020 kg)( 1.50 m / s) (0.030 kg)( 0.50 m / s) cos 60 o 0.050 kg 1.75 m / s

8-50:

Resolvendo a Eq. (8-40) para

m0 , com v0 = 0, m

2 2 1 2 (0.050 kg ) x [(1.75 / s ) (0.26 m / s ) 2 ] 2

2

0.092 J

m0 m8-52:

exp

v vex

exp

8.00 km / s 2.10 km / s

45.1.

As relaes que aparecem na Eq. (8-42) so

0.0176 1 e , ento as energias cinticas so: 1.0176 1.0176(a) (b)

8-66: A fora do recuo dada pelo produto entre o momento Observe que as energias no se adicionam exatamente a 6,54 x a entregue a cada bala pelo taxa em que as balas so disparadas. 10-13 J , devido aos arredondamentos dos nmeros. 1000 bullets / min Fa ve (7.45 x 10 3 kg )(293 m / s ) 36.4 N . 60 s / min 8-54: O momento em falta : 5.60 x 10-22 kg m/s (3.50 x 10-25 kg)(1.14 x 103 m/s) = 1.61 = 8-68: (a) Aps o impacto, a combinao bloco-bala tem uma massa total de 1,00 quilogramas, e a velocidade V do bloco 10-22 kg m/s. Desde que o eltron tem o momento direita, o momento do neutrino deve ser esquerda . k encontrada de: 1 M to ta lV 2 1 kX 2 , or V X. 2 2 m 8-56: (a) A velocidade da bola antes de depois de sua A constante k da mola determinada da calibrao: coliso com a placa so encontradas das alturas . O impulso a 0.75 N massa vezes a soma das velocidades, ou seja: k 300 N / m. 3

0.0176 (6.54 x10 13 J ) 1.13x10 14 J e 1.0176 1 (6.54 x 10 13 J ) 6.43x 10 13 J . 1.0176

8-64: A massa total do carro est mudando, mas a velocidade da areia quando ela deixa o carro a mesma que a velocidade do carro, portanto, no existe nenhuma variao na velocidade do carro ou da areia (a areia adquire uma velocidade para baixo depois que sai do carro, parando nas trilhas). Uma outra modo de considerar a situao que vex nulo nas equaes (8-37), (8-38) e (8-39) , e o carro no acelera. . Em qualquer situao a velocidade do carro permanece constante em 15,0 m/s. No exerccio 8-24, informado que a chuva cai verticalmente, ento a sua velocidade relativo ao carro, enquanto colide com o carro no nula.

2.50 x10 m

J m(v1 v2 ) m( 2 gy12

2 gy 2 ) 1.60 m ) 0.47 N s.

Combinando os resultados acima, temos:

(0.040) 2(9.80 m / s ) ( 2.00 m

V

(b) J (0.47 N s / 2.00 x10 3 s) 237N. t 8-58: (a)

300 N / m 15.0 x 10 1.00 kg

2

m

2.60 m / s.

Jx Jy

Fx t ( 380 N )(3.00 x 10 3 s)

1.14 N s

Fy t (110 N )(3.00 x 10 3 s) 0.33 N s.(b)

(b) Embora isto no seja um pndulo, a anlise da coliso no elstica a mesma; M to ta l 1.00 kg v V (2.60 m / s) 325 m / s. m 8.0 x 10 3 kg 8-70: (a) A velocidade dos dubles antes da coliso :


v02v

2gy 9.9 m / s. A velocidade aps a coliso :ms v0 s

v A1 v A2 cos

v B 2 cos

0 v A2 sin v B 2 sin . 80.0 kg (9.9 m / s ) 5.3 m / s. m s mv 80.0 kg 70.0 kg (b) O momento no conservado durante a queda. Do teorema (b) Aps um pouco 2de lgebra: 2 2 v A1 v A2 v B 2 2v A2 v B 2 (cos cos trabalho-energia, a distncia x encontrada de:

sen sen ) ).

1 mtotal v 2 2x v2 2kg

2 2 v A2 v B 2 2v A2 v B 2 cos (

k

mtotal gx, ou(c) Para uma coliso perfeitamente elstica temos:

(5.28 m / s) 2 5.7 m. 2(0.25)(9.80 m / s 2 )

1 2 1 2 1 2 2 2 2 mvA1 mvA2 mvB2 or v A1 v A1 v A2 2 2 2

2 vB 2 .

Observe que, para se evitar erros de arredondamento, Substituindo no resultado acima, temos: cos ( + ) = 0. foram utilizados algarismo significativos extras V na parte (b). (d) O nico ngulo positivo com coseno zero : (90o ). 2 8-72: A velocidade do bloco depois que a bala passou pelo bloco (mas antes que o bloco comeasse a se levantar; o que 8-80: Desde que a massa proporcional ao peso, os pesos supe-se grande fora grande aplicada em um pequeno dados podem ser usados para determinar as velocidades a partir intervalo de tempo, uma situao caractersticas das balas) : da conservao do momento. Considerando a direo positiva como sendo para a esquerda, temos: 2 2

19

V

2 gy

2(9.80 m / s )(0.45 x 10 m) 0.297 m / s.

A velocidade final v da bala ento:v P mv0 MV M v0 V m m m 1.00 kg 450 m / s (0.297 m / s) 390 .6 m / s, 5.00 x 10 3 kg

v

(800 N )(5.00 m / s) cos 30.0 o (600 N )(7.00 m / s) cos 36.9 o 1000 N

0.105 m / s,

8-82: O truque aqui deve observar que a configurao final a mesma como se a canoa (suposta ser simtrica) fosse girada sobre seu centro da massa. Inicialmente, o centro da massa est a uma distncia (45.0 kg)(1.5 m) 0.643 m do centro do

ou 390 m/s para dois algarismos significativos. 8-74: (a) Mesmo que uma das massas no seja conhecida, a anlise da seo (8-5) que leva a Eq. (8-26) , continua vlida, e vred = 0.200 m/s + 0.050 m/s = 0.250 m/s. A massa mred pode ser encontrada tanto das consideraes de energia como de momento . Da conservao de momento (0.040 kg)(0.200 m / s 0.050 m / s) temos: m 0.024 kg. red (0.250 m / s) Como verificao note que:

(105 kg)

canoa, ento ao girar sobre este ponto a canoa se movimentaria 2 x 0.643 m = 1.29 m.

8-84: O truque aqui perceber que o centro da massa continuar a se mover no trajetria parablica original, aterrizando na posio original (rea) prevista para o projtil. Desde que a exploso ocorre no ponto o mais alto da trajetria, e um fragmento dado possuir velocidade zero aps a exploso, nenhum fragmento possuir uma componente vertical de velocidade imediatamente aps a exploso, e o segundo 1 K1 (0.040 kg )(0.200 m / s ) 2 8.0 x 10 4 J , and fragmento possui duas vezes a velocidade que o projtil tinha 2 1 1 antes da exploso. 2 2 4 K2 (0.040 kg )(0.050 m / s ) (0.024 kg )(0.250 m / s ) 8.0 x 10 J , 2 2 (a) Os fragmentos aterrizam em posies simtricas do alvo ento K1 = K2, como deve ser para uma coliso perfeitamente original. Alguns aterrizam em 1 enquanto outros em R, elstica. 2 2 3 3 v0 3 (80 m / s) 2 sen 2 0 sen 120 o 848 m. (b) Em 8-76: (a) A velocidade relativa de aproximao antes da R 2 2 g 2 (9.80 m / s 2 ) coliso a velocidade relativa com a qual as bolas se separam aps a coliso. Antes da coliso, as bolas esto se aproximando termos da massa m do fragmento original e, a velocidade v antes com velocidade relativa 2v, e aps a coliso esto recuando com da exploso, temos: velocidade 2v. No limite em que a bola maior tem uma massa K 1 mv2 and K 1 m (2v) 2 , so K mv2 1 mv2 1 mv2 . 1 2 muito maior, sua velocidade depois que a coliso permanecer 2 22 2 2 inalterada (o limite como sendo mA >> mB na Eq. (8-24)), e A velocidade v est relacionada a v0 por v0 cos 0, ento 1 1 portanto a bola menor movimentar-se a para cima com 2 K mv0 cos2 0 (20.0 kg)((80m / s) cos 60.0o ) 2 1.60 x104 J . velocidade 3v. 2 2 (b) Com trs vezes a velocidade, a bola ir retornar a uma altura nove vezes maior que a altura inicial. 8-86: (a) Com o bloco B inicialmente em repouso, temos: 8-78: (a) Para as direes x e y, respectivamente, e sendo m a mA vcm v A1 . massa comum de um prton, temos:

mv A1 mv A2 cos 0 mv A2 sinou

mv2 cos mv B 2 sin

mA

mB

(b) Desde que no existe uma fora externa, o centro da massa move-se com velocidade constante, e assim um referencial que se movimenta com o centro da massa um sistema de referencial inercial (c) As velocidades possuem apenas a componente x , que so:


u A1 v A1 vcm

mB v A1 , m A mB

u B1

vcm

mA v A1 . m A mB

Ento, Pcm = mAuA1 = mBuB1 = 0. Desde que antes da coliso existe momento zero no centro de massa, aps a coliso no pode existir momento, ento o momento de cada bloco aps a coliso deve ter a direo invertida . A nica maneira de conservar a energia cintica se o momento de cada um tiver o mesmo valor, ento no referencial do centro de massa os blocos variam de direo mas conservam as mesmas velocidades. Simbolicamente: uA2 = -uA1, uB2 = -B1. (d) Todas as velocidades possuem apenas componentes na direo x, isto :u A1 u A2 0.200 0.400 6.00 m / s 2.00 m / s, u B1 6.00 / s 4.00 m / s, 0.600 0.600 2.00 m / s, u B 2 4.00 m / s, and v A2 2.00 m / s,

(d) 3327 m/s (9.80 m/s2)(90 s) = 2.45 km/s, a qual aproximadamente trs quartos da velocidade encontrada no Exemplo 8-17. 8-92: (a) Temos duas contribuies :

Fnet , Fnet vex | dm/ dt | v | dm/ dt |, or Fnet (vex v(| dm/ dt | .(b) Fnet / | dm/ dt | (1300 ) /( N 150kg / s) 8.66m / s 31km/ h. Esta igual a vex v. 8-94: O impulso aplicado ao bolo J = k1mgt = mv, onde m a massa do bolo e v a sua velocidade depois que o impulso foi aplicado. A distncia d que o bolo se move durante este tempo ento

20

d

1 2

k1

gt2 . Enquanto deslizando sobre a

v B 2 8.00 m / s.

mesa, o bolo deve perder sua energia cintica devido ao atrito, ou sejak2

A equao (8-24) prediz:

v A2 vB 2

1 v A1 , e a Eq. (8-25) prediz: 3 4 v A1 , as quais esto de acordo com o acima. 3

mg(r d )

1 2 Simplificando e substituindo mv . 21 g 22 k1 k2

para v temos: r d

t 2 , e substituindo para d em

termos de t2 resulta: 2 1 2 1 2 k1 8-88: (a) A diminuio da energia potencial (-

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