Πανεπιστήμιο Πατρώνgtsiatas/files/1_theses/1_.pdfΠρόλογος Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάται η εφαρμογή

Ε.Μ.Π. ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

Μ. Σ. ΝΕΡΑΝΤΖΑΚΗ : Λέκτορας Ε.Μ.Π.

Ι. Θ. ΚΑΤΣΙΚΑΔΕΛΗΣ : Καθηγητής Ε.Μ.Π.

ΣΤΡΕΨΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΡΑΒΔΩΝ

ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

διπλωματική εργασία

ΤΣΙΑΤΑ Χ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ

ΑΘΗΝΑ,ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 1997

Στους γονείς μου, όχι μόνο για τη συνεχή και απεριόριστη συμπαράσταση τους αλλά και για την μεγάλη αγάπη τους

Πρόλογος

Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάται η εφαρμογή της μεθόδου των

συνοριακών στοιχείων στο πρόβλημα της στρέψης μη κυκλικών ράβδων από

ανισότροπο, μη ομογενές και μη ομογενές ανισότροπο υλικό.

Η εργασία αυτή ξεκίνησε το Μάρτιο του 1997 υπό την καθοδήγηση και

επίβλεψη του κ. Ι. Θ. Κατσικαδέλη, καθηγητού του εργαστηρίου Στατικής του

τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Ε.Μ.Π. και τελείωσε τον Οκτώβριο του

1997. Θα ήθελα να τον ευχαριστήσω θερμά όχι μόνο για το αμέριστο

ενδιαφέρον και τη συμπαράστασή του σε κάθε δυσκολία που αντιμετώπισα

αλλά και για την ενθάρρυνσή του σε αυτήν την πρώτη μου ερευνητική

προσπάθεια. Πιστεύω ειλικρινά ότι η συνεργασία μας με έκανε να

αναθεωρήσω πολλές απόψεις μου και να ορίσω νέους στόχους στη ζωή μου.

Επίσης θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στην Λέκτορα του

εργαστηρίου Στατικής κα. Μ. Σ. Νεραντζάκη για τη βοήθειά της.

Αθήνα, Οκτώβριος 1997

Περιεχόμενα


Πρόλογος

1. Εισαγωγικό κεφάλαιο

1.1. Εισαγωγή

1.2. Διατύπωση των προβλημάτων

1.2.1. Στρέψη ανισότροπων ράβδων

1.2.2. Στρέψη μη ομογενών ράβδων

1.2.3. Στρέψη μη ομογενών ανισότροπων ράβδων

1.2.4. Βελτιστοποίηση διατομών από ορθότροπο υλικό

1.3. Το πρόβλημα της στρέψης και η λύση του

2. Στρέψη ανισότροπων ράβδων


2.2. Στρέψη μη κυκλικών ράβδων

2.2.1. Η συνάρτηση στρεβλώσεως

2.2.2. Μετασχηματισμός των ελαστικών σταθερών

2.2.3. Στρεπτική σταθερά

2.2.4. Υπολογισμός των τάσεων

2.3. Η εφαρμογή της ΒΕΜ

2.3.1. Η ολοκληρωτική παράσταση της λύσεως

2.3.2. Η θεμελιώδης λύση

2.3.3. Η συνοριακή ολοκληρωτική εξίσωση

2.4. Υπολογισμός των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων

3. Υπολογιστική επίλυση της στρέψης ανισότροπων ράβδων


3.2. Πρόγραμμα υπολογιστή για την επίλυση του προβλήματος της

στρέψης ανισότροπων ράβδων χρησιμοποιώντας σταθερά στοιχεία

(TORSANI)

3.2.1. Η δομή του προγράμματος

3.2.2. Το πρόγραμμα TORSANI

3.3. Παραδείγματα

3.3.1. Παράδειγμα 1





4. Στρέψη μη ομογενών ράβδων









4.3.3. Η συνοριακή ολοκληρωτική παράσταση της λύσεως

4.4. Αριθμητική επίλυση του πεδιακού ολοκληρώματος

4.4.1. Μετατροπή του πεδιακού ολοκληρώματος σε συνοριακό

4.4.1.1. Αριθμητική μέθοδος επίλυσης του ολοκληρώματος

4.4.2. Απευθείας υπολογισμός του πεδιακού ολοκληρώματος

5. Υπολογιστική επίλυση της στρέψης μη ομογενών ράβδων



στρέψης μη ομογενών ράβδων χρησιμοποιώντας σταθερά στοιχεία

(TORNHOM)


5.2.2. Το πρόγραμμα TORNHOM

5.3. Εφαρμογή

6. Στρέψη μη ομογενών ράβδων




6.2.2. Η στρεπτική σταθερά









7. Υπολογιστική επίλυση της στρέψης μη ομογενών ανισότροπων ράβδων



στρέψης μη ομογενών ανισότροπων ράβδων χρησιμοποιώντας

σταθερά στοιχεία (TORNHOMANI)


7.2.2. Το πρόγραμμα TORNHOMANI

7.3. Εφαρμογή

8. Βελτιστοποίηση διατομών από ορθότροπων ράβδων


8.2. Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης


βελτιστοποίησης διατομών ράβδων από ορθότροπο υλικό (OPTIM)

8.3.1. H ρουτίνα BCPOL/DBCPOL

8.3.2. H χρήση της ρουτίνας BCPOL/DBCPOL

8.3.3. Το πρόγραμμα OPTIM




Βιβλιογραφία

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1. Εισαγωγή

Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστούν τα προβλήματα με τα οποία ασχολείται

η διπλωματική αυτή εργασία καθώς και ο τρόπος που θα χρησιμοποιηθεί για

την επίλυσή τους. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η δουλειά που έχει γίνει από

άλλους ερευνητές πάνω στην επιστημονική αυτή περιοχή.

1.2. Διατύπωση των προβλημάτων

Τα προβλήματα που θα απασχολήσουν το αντικείμενο αυτής της εργασίας

είναι τα εξής

1. Στρέψη ανισότροπων και ορθότροπων ράβδων

2. Στρέψη μη ομογενών ισότροπων ράβδων

3. Στρέψη μη ομογενών ανισότροπων ράβδων

4. Βελτιστοποίηση διατομών από ορθότροπο υλικό

1.2.1. Στρέψη ανισότροπων ράβδων

Το πρώτο πρόβλημα είναι η μελέτη του φαινομένου της στρέψης σε μη

κυκλικές ράβδους από ανισότροπο ή ορθότροπο υλικό. Διατυπώνονται οι

μαθηματικές εξισώσεις που περιγράφουν το φαινόμενο, ο τρόπος που

εφαρμόζεται η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων (BEM) καθώς και οι

αριθμητικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την υπολογιστική επίλυση του

Κεφάλαιο. 1 Εισαγωγικό κεφάλαιο

2

προβλήματος μέσω ηλεκτρονικού υπολογιστή. Τέλος παρατίθενται

παραδείγματα από την εφαρμογή της μεθόδου σε διάφορες διατομές.

1.2.2. Στρέψη μη ομογενών ράβδων

Το δεύτερο πρόβλημα είναι η μελέτη του φαινομένου της στρέψης σε μη

κυκλικές ράβδους από μη ομογενές ισότροπο υλικό. Κατά τον ίδιο τρόπο

διατυπώνονται οι μαθηματικές εξισώσεις, ο τρόπος εφαρμογής της (ΒΕΜ)

και η υπολογιστική επίλυση του φαινομένου. Τέλος εφαρμόζεται η μέθοδος σε

μία ορθογωνική διατομή.

1.2.3. Στρέψη μη ομογενών ανισότροπων ράβδων

Το τρίτο πρόβλημα είναι η στρέψη σε μη κυκλικές ράβδους από μη ομογενές

ανισότροπο υλικό. Η διαδικασία που ακολουθείται για την παρουσίαση του

προβλήματος είναι ίδια ως άνω.

1.2.4. Βελτιστοποίηση διατομών από ορθότροπο υλικό

Το τέταρτο και τελευταίο πρόβλημα είναι η βελτιστοποίηση ορθογωνικών ή

ελλειπτικών διατομών από ορθότροπο υλικό. Έχοντας σαν περιορισμούς τη

γεωμετρία της διατομής καθώς και τα μέτρα διάτμησης του υλικού στις δύο

διευθύνσεις υπολογίζουμε την ελάχιστη και τη μέγιστη στρεπτική ακαμψία της

δεδομένης διατομής.

1.3. Το πρόβλημα της στρέψης και η λύση του

Οι αναλυτικές λύσεις του προβλήματος της στρέψης, όπως έχει διατυπωθεί

από τον St. Venant , είναι εύκολο να βρεθούν στη διεθνή βιβλιογραφία μόνο

για απλές διατομές από ομογενές και ισότροπο υλικό, (Lekhnitskii,1963),

(Muskhelishvili,1953), (Sokolnikoff,1956), (Timoshenko and Goodier,1970).


3

Αναλυτική επίσης λύση για το πρόβλημα της στρέψης σε απλές διατομές από

ανισότροπο υλικό δίνεται από τον Lekhnitskii (Lekhnitskii,1963).

Λόγω των μαθηματικών δυσκολιών που εμφανίζονται στην ανεύρεση

αναλυτικής λύσης σε πολύπλοκες διατομές, πολλοί επιστήμονες έχουν

αναπτύξει προσεγγιστικές μεθόδους χρησιμοποιώντας αριθμητικές τεχνικές

για να ξεπεράσουν αυτές οι δυσκολίες; όπως είναι η μέθοδος των

πεπερασμένων διαφορών, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων και

πρόσφατα η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων.

Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών χρησιμοποιήθηκε από τον Shaw

,(Shaw,1944) , για την επίλυση της στρέψης ομογενών τμημάτων με απλά ή

πολλαπλώς συνδεδεμένα σύνορα, καθώς και από τους Ely και Zienkiewicz

,(Ely and Zienkiewicz,1960), για την επίλυση ομογενών και μη ομογενών

τμημάτων με απλά ή πολλαπλώς συνδεδεμένα σύνορα.

H μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιήθηκε από τους

Zienkiewicz και Cheung (Zienkiewicz and Cheung,1965), για την επίλυση

ομογενών και μη ομογενών διατομών από ισότροπο υλικό χρησιμοποιώντας

την τασική συνάρτηση , από τον Herrmann (Herrmann,1965), και από τους

Krahula και Lauterbach (Krahula and Lauterbach,1969), για την επίλυση

ισότροπων και ομογενών διατομών χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση

στρέβλωσης. Επίσης η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων

χρησιμοποιήθηκε από τους Somasundaram και Pulmano (Somasundaram

and Pulmano,1974) για την επίλυση διατομών από μη ομογενές ανισότροπο

υλικό.

Η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων χρησιμοποιήθηκε από τους

Κατσικαδέλη και Σαπουντζάκη (Katsikadelis and Sapountzakis,1986), για την

επίλυση διατομών από μη ομογενές υλικό, από τους Dumir και Rajendra

Kumar (Dumir and Rajendra Kumar,1993), για την επίλυση διατομών από

ανισότροπο υλικό χρησιμοποιώντας μιγαδικές μεταβλητές.

Στη διπλωματική αυτή εργασία αναπτύσσεται η μέθοδος των συνοριακών

στοιχείων για τα προβλήματα της στρέψης, όπως αναφέρθηκαν παραπάνω,

που διέπονται από την εξίσωση δυναμικού. Η λύση της εξίσωσης αναζητείται


4

σε ένα κλειστό χωρίο Ω ,στο σύνορο Γ του οποίου η παράγωγος της

συνάρτησης κατά την εξωτερική κάθετο είναι ορισμένη. Η λύση, πρέπει στο

σύνορο να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Έχουμε

δηλαδή ένα πρόβλημα Neumann

Στη συνέχεια αναπτύσσεται η διαδικασία αριθμητικής υλοποίησης της ΒΕΜ

για την επίλυση του προβλήματος του δυναμικού. Η επίλυση της

ολοκληρωτικής εξίσωσης ,στην οποία καταλήγουμε, με αναλυτική μέθοδο

είναι πρακτικά ανέφικτη. Είναι όμως δυνατή με αριθμητική μέθοδο. Θα

εξετάσουμε την περίπτωση που το χωρίο Ω είναι τυχαίο και το σύνορο Γ

διαιρείται σε πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Σε κάθε στοιχείο γίνονται δύο

προσεγγίσεις. Η μία αφορά τη γεωμετρία του συνόρου και η άλλη την

κατανομή της άγνωστης συνοριακής ποσότητας πάνω στο στοιχείο. Εδώ

χρησιμοποιείται το σταθερό στοιχείο. Στο σταθερό στοιχείο το τόξο

προσεγγίζεται με το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα άκρα του, η δε τιμή της

συνοριακής ποσότητας θεωρείται σταθερή και ίση με την τιμή του κομβικού

σημείου, που βρίσκεται στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΣΤΡΕΨΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΡΑΒΔΩΝ 2.1. Εισαγωγή

Σ’ αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τη μελέτη του φαινομένου της

στρέψης σε μη κυκλικές ράβδους από ανισότροπο υλικό. Θα διατυπωθούν οι

μαθηματικές εξισώσεις που περιγράφουν το φαινόμενο, θα δείξουμε τον

τρόπο με τον οποίο εφαρμόζεται η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων (BEM)

καθώς και τις αριθμητικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για την

υπολογιστική επίλυση του προβλήματος.


2.2.1. H συνάρτηση στρεβλώσεως

Θεωρούμε ράβδο τυχούσας διατομής , η οποία υποβάλλεται σε στρέψη από

ροπές Mt που εφαρμόζονται στα άκρα της. Σύμφωνα με τη θεωρία του Saint-

Venant η παραμόρφωση της ράβδου οφείλεται (α) σε στροφές των διατομών

και (β) σε στρέβλωση των διατομών, η οποία είναι ίδια σε όλες τις διατομές.

Λαμβάνοντας την αρχή των αξόνων σε μια ακραία διατομή η στροφή της

διατομής σε απόσταση z είναι θz ,όπου θ είναι σταθερά που εκφράζει την

ανά μονάδα μήκους γωνία στροφή. Οι μετατοπίσεις u , v ενός σημείου πού

οφείλονται στη στροφή της διατομής, με την παραδοχή ότι η στροφή είναι

μικρή, είναι (Κατσικαδέλης,1996)

Κεφάλαιο 2 Στρέψη ανισότροπων ράβδων

6

u zy= −θ (2.1a)

v zx= θ (2.1b)

H στρέβλωση της διατομής ορίζεται από την συνάρτηση

w x y= θϕ ( , ) (2.2)

Οι μετατοπίσεις (2.1) και (2.2) δίδουν τις παρακάτω συνιστώσες της

παραμορφώσεως

ε∂∂x

ux

= = 0 , ε∂∂y

vy

= = 0 , ε∂∂z

wz

= = 0 , γ xy = 0

γ∂∂

∂∂

θ∂φ∂xz

wx

uz x

y= + = −( ) (2.3)

γ∂∂

∂∂

θ∂φ∂yz

wy

vz y

x= + = +( )

Στην περίπτωση του γενικώς ανισότροπου υλικού , ο γενικευμένος νόμος του

Hooke απλουστεύεται και διατυπώνεται με τις παρακάτω σχέσεις

(Lekhnitskii,1963)

ε α σ α σ α σ α τx x y z xy= + + +11 12 13 16

ε α σ α σ α σ α τy x y z xy= + + +12 22 23 26

ε α σ α σ α σ α τz x y z xy= + + +13 23 33 36 (2.4)

γ α σ α σ α σ α τxy x y z xy= + + +16 26 36 66


7

γ α τ α τxz yz xz= +45 55

γ α τ α τyz yz xz= +44 45

Δηλαδή ο αριθμός των ανεξάρτητων ελαστικών σταθερών περιορίζεται από

21 σε 13.

Από τις εξισώσεις (2.3) και (2.4) προκύπτει ότι

σ σ σ τx y z xy= = = = 0 (2.5)

και

α τ α τ θ ∂φ∂45 55yz xz x

y+ = −( )

(2.6)

α τ α τ θ∂φ∂44 45yz xz y

x+ = +( )

Επιλύοντας τις εξισώσεις (2.6) ως προς τ xz και τ yz λαμβάνουμε

τθα

α∂φ∂

α∂φ∂xz x

yy

x= − − + ( ) ( )44 45

(2.7)

τθα

α∂φ∂

α∂φ∂yz x

yy

x= − − + + ( ) ( )45 55

όπου

α αα αα α

α α α= = = −det[ ] 55 45

45 4444 55 45

2

Οι εξισώσεις ισορροπίας για τρισδιάστατη ένταση όταν αμελούνται οι μαζικές

δυνάμεις γράφονται


8

∂σ∂

∂τ∂

∂τ∂

x xy xz

x y z+ + = 0

∂τ∂

∂σ∂

∂τ∂

xy y yz

x y z+ + = 0 (2.8)

∂τ∂

∂τ∂

∂σ∂

xz yz z

x y z+ + = 0

Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (2.5) και (2.7) στις εξισώσεις ισορροπίας

(2.8) λαμβάνουμε

α∂ φ∂

α∂ φ∂ ∂

α∂ φ∂44

2

2 45

2

55

2

22 0x x y y

− + = στο Ω (2.9)

Οι συνιστώσες των τάσεων πρέπει να ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες

στην εξωτερική επιφάνεια της ράβδου

σ τ τx x xy y xz zn n n X+ + =

τ σ τxy x y y yz zn n n Y+ + = (2.10)

τ τ σxz x yz y z zn n n Z+ + =

όπου nx , ny , nz είναι τα συνημίτονα διανύσματα κατευθύνσεως του

εξωτερικού κάθετου διανύσματος στην επιφάνεια της ράβδου και X , Y , Z

είναι οι συνιστώσες της επιφανειακής φόρτισης.

Εξετάζουμε πρώτα τις συνοριακές συνθήκες στην κυλινδρική επιφάνεια της

ράβδου. Επειδή αυτή είναι αφόρτιστη θα είναι X Y Z= = = 0 .Επίσης είναι

nz = 0 . Λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (2.5) και (2.7) παρατηρούμε ότι οι

δύο πρώτες συνοριακές συνθήκες ικανοποιούνται ταυτοτικά ενώ η τρίτη δίνει


9

∇ ⋅ = −φ m ym xmx y στο Γ (2.11)

όπου

m = − + − +( ) ( )α α α α44 45 45 55n n i n n jx y x y

είναι το διάνυσμα κατά την κατεύθυνση της συγκαθέτου. Η εξίσωση (2.9) με

την συνοριακή συνθήκη (2.11) επιτρέπει τον προσδιορισμό της

συναρτήσεως στρεβλώσεως φ ( , )x y λύνοντας ένα πρόβλημα Neumann.

2.2.2. Mετασχηματισμός των ελαστικών σταθερών

Οι τιμές των ελαστικών σταθερών a a a44 45 55, , επηρεάζουν την ακρίβεια των

αποτελεσμάτων. Γι΄ αυτό το λόγο πρέπει οι σταθερές αυτές να

αδιαστατοποιηθούν.

Θεωρώ τον παρακάτω μετασχηματισμό των ελαστικών σταθερών

aa

a4444= a

aa4545= a

aa5555= (2.12)

όπου α α α α= −44 55 452


Η συνισταμένη ροπή των εξωτερικών τάσεων στη διατομή z = 0 δίνει:

M x y d It yz xz t= − =∫ ( )τ τ θΩΩ

Το μέγεθος I t αποτελεί σταθερά της στρέψεως που εξαρτάται μόνο από το

σχήμα της διατομής


10

Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη σχέση τις εξισώσεις (2.7) και (2.12)

προκύπτει

M GIt t= θ

όπου

Ga

=1

σταθερά με διαστάσεις μέτρου διάτμησης και

I x xy y x yx

x yy

dt = + + − + + +∫ [ ( ) ( ) ]α α α α α ∂φ∂

α α ∂φ∂55

245 44

245 44 55 452

Ω

Ω

Για να αποφύγουμε τον υπολογισμό των παραγώγων στο εσωτερικό του Ω

που εμφανίζονται στην παραπάνω σχέση, μετατρέπουμε το πεδιακό

ολοκλήρωμα σε συνοριακό χρησιμοποιώντας το θεώρημα αποκλίσεως του

Gauss άρα έχω

I xy y x y x nt x= − + −∫ [ ( ) ( )]α φ α φ442

4521

2Γ

+ + + +[ ( ) ( )] α φ α φ552

4521

2x y x xy y n dsy (2.13)



11

Οι τάσεις τ xz και τ yz υπολογίζονται από τις σχέσεις (2.6) .Για τον

προσδιορισμό τους απαιτούνται οι παράγωγοι της συναρτήσεως φ .

Οι μέγιστες τιμές των τάσεων εμφανίζονται στο σύνορο. Η τάση τ nz είναι

μηδέν ενώ η τάση τ tz υπολογίζεται από τη σχέση

τ τ τtz xz y yz xn n= − +

η οποία με τη βοήθεια των σχέσεων (2.7) και (2.12) γράφεται

τ θ∂φ∂

α α∂φ∂

α αtz x y y xGx

n ny

n n= − + + +[ ( ) ( )45 44 45 55

+ + + +( ) ( ) ]α α α α55 45 45 44x y n x y nx y (2.14)

2.3 Η εφαρμογή της BEM

Στην παράγραφο αυτή θα αναπτύξουμε την BEM για την επίλυση του

παρακάτω προβλήματος συνοριακών τιμών (Κατσικαδέλης,1996)

ku

xk

ux y

ku

yf x yxx xy yy

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

2

2

2 2

22+ + = ( , ) στο Ω (2.15a)

∇ ⋅ =u qnm στο Γ (2.15b)

όπου

m= + + +( ) ( )k n k n i k n k n jxx x xy y xy x yy y

είναι διάνυσμα κατά τη διεύθυνση της συγκαθέτου του συνόρου και

kxx , k xy , k yy σταθερές που ικανοποιούν τη συνθήκη ελλειπτικότητας

k k kxy xx yy2 − .


12

Εδώ θα παρουσιαστεί η εφαρμογή της BEM για την γενικότερη περίπτωση

προβλήματος δυναμικού σε ανισότροπα σώματα και όχι συγκεκριμένα για το

πρόβλημα της στρέψης. Όμως είναι πολύ εύκολο να μεταβούμε από το ένα

πρόβλημα στο άλλο αν στις σχέσεις που παρατίθενται στο υπόλοιπο του

κεφαλαίου αντικαθιστήσουμε τα εξής

k xx = α44

k xy = −α45

k yy = α55


Η ολοκληρωτική παράσταση της λύσεως είναι

u P vfd v u m u v m ds( ) ( )= − ∇ ⋅ − ∇ ⋅∫∫ ΩΓΩ

(2.16)

όπου v είναι η θεμελιώδης λύση της (2.15a), δηλαδή μία μερική ιδιόμορφη

λύση της εξίσωσης

L v k vx

k vx y

k vy

q Pxx xy yy( ) ( )= + + = −∂∂

∂∂ ∂

∂∂

δ2

2

2 2

22 (2.17)


Για εύρεση της θεμελιώδους λύσεως μετασχηματίζουμε την εξίσωση (2.17)

στην κανονική μορφή. Για το σκοπό αυτό θεωρούμε το μετασχηματισμό

(Κατσικαδέλης,1996)

x y x= −α

(2.18)


13

y bx= −

όπου

α =kk

xy

xx και b

Dkxx

= (2.19)

Dk kk k k k kxx xy

xy yyxx yy xy= = − 2 (2.20)

Οι παράγωγοι μετασχηματίζονται

∂∂

∂∂

∂∂

vx

avx

bvy

= − +( )

∂∂

∂∂

vx

vx

=

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

2

22

2

2

22

2

22v

xa

vx

abv

x yb

vy

= + +

∂∂ ∂

∂∂

∂∂ ∂

2 2

2

2vx y

av

xb

vx y

= − +( )

∂∂

∂∂

2

2

2

2

vy

vx

=

και

L vDk

vx

vyxx

( ) ( )= +∂∂

∂∂

2

2

2

2 (2.21)

Η συνάρτηση δ ( )Q P− μετασχηματίζεται :


14

δδ

( )( )

P QQ P

J− =

−, Q P x y: , ), : , ξ η , Q P x y: , ), : , )ξ η

Οι σχέσεις (2.18) δίνουν

xb

y= −1

y xab

y= −

και η Ιακωβιανή είναι

Db

ab b

= − − =0 11 1

ή

Jk

Dxx= (2.22)

Επομένως

δ δ( ) ( )P QD

kQ P

xx− = − (2.23)

Λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (2.21) και (2.23) η (2.17) γίνεται

∇ = −2 1v

DQ Pδ ( ) (2.24)

Όπως γνωρίζουμε μία ιδιόμορφη μερική λύση της εξισώσεως


15

∇ = −2 v Q Pδ ( ) (2.25)

ονομάζεται θεμελιώδης λύση της εξισώσεως

∇ =2 u f x y, ∈ Ω

και είναι η εξής

v r=1

2πln

Συγκρίνοντας την εξίσωση (2.24) με την εξίσωση (2.25) συμπεραίνουμε

αμέσως ότι η θεμελιώδης λύση της (2.24) στο μετασχηματισμένο επίπεδο

x y, είναι

vD

r=1

2πln (2.26)

όπου

r x y= − + −( ) ( )ξ η2 2

ή στο επίπεδο x y,

r a b x a x y y= + − − − − + −( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 22ξ ξ η η

η οποία δυνάμει των (2.19) γίνεται

rk x k x y k y

kyy xy xx

xx

=− − − − + −( ) ( )( ) ( )ξ ξ η η2 22

(2.27)


16

Η θεμελιώδης λύση δεν μεταβάλλεται αν σ’ αυτή προστεθεί μία σταθερά. Έτσι

μπορούμε να γράψουμε

vD

rD

rkDxx= +

12

12π π

ln ln

ή

vD

r=1

2πln (2.28)

όπου τώρα

rk x k x y k y

Dyy xy xx

=− − − − + −( ) ( )( ) ( )ξ ξ η η2 22

(2.29)

Πρέπει να σημειωθεί ότι τα μεγέθη k D k Dyy xy/ , / και k Dxx / είναι τα

στοιχεία του μητρώου D−1 . Όταν το υλικό είναι ορθότροπο, τότε

k D k kxy xx yy= =0, και η εξίσωση (2.29) γίνεται

rx

ky

kxx yy=

−+

−( ) ( )ξ η2 2

(2.30)

Παραγωγίζοντας την σχέση (2.29) λαμβάνουμε

∂∂ξ

ξ ηrD

kx

rk

yryy xy=

−−

−1( ) (2.31)

∂∂η

ξ ηrD

kx

rk

yrxy xx= −

−+

−1( ) (2.32)

Με τη βοήθεια των ανωτέρω σχέσεων λαμβάνουμε


17

∇ ⋅ = +r mr

mr

mx y

∂∂ξ

∂∂η

(2.33)

Επομένως

∇ ⋅ =∇ ⋅

v mD

r mr

12π

(2.34)

2.3.3.H συνοριακή ολοκληρωτική εξίσωση

Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο η ολοκληρωτική

παράσταση της λύσεως είναι

u P vfd v u m u v m ds( ) ( )= − ∇ ⋅ − ∇ ⋅∫∫ ΩΓΩ

Στην ανωτέρω σχέση οι συναρτήσεις v και ∇ ⋅v m είναι γνωστές και δίδονται

ως

vD

r=1

2πln

∇ ⋅ =∇ ⋅

v mD

r mr

12π

Επομένως η σχέση (2.16) μας δίδει τη λύση της εξισώσεως (2.15a)

συναρτήσει των τιμών της και της παραγώγου κατά τη διεύθυνση της

συγκαθέτου στο σύνορο. Από τις συνοριακές συνθήκες (2.15b) είναι φανερό

ότι σ’ ένα σημείο q: , ξ η του συνόρου Γ δίδεται μόνο ένα από τα μεγέθη u

και ∇ ⋅u m .Συνεπώς δεν είναι δυνατό να προσδιορίσουμε τη λύση από την

ολοκληρωτική παράσταση. Για τον λόγο αυτό θα υπολογίσουμε τα συνοριακά

μεγέθη που δε δίνονται από τις συνοριακές συνθήκες διατυπώνοντας τη

σχέση (2.16) και για τα σημεία του συνόρου εργαζόμενοι ως κατωτέρω.


18

Εξετάζουμε την περίπτωση που το σύνορο είναι λείο και θεωρούμε το σημείο

P πάνω στο σύνορο , Σχ.2.1. Ακολούθως το χωρίο Ω * , το οποίο προκύπτει

από το Ω , αφού αφαιρέσουμε το μικρό κυκλικό τμήμα με κέντρο το P ,

ακτίνα ε και περατούμενο στα τόξα PA και PB . Δηλώνουμε με Γε το

κυκλικό τόξο AB και με l το άθροισμα των μηκών των τόξων AP και PB .

Η εξωτερική κάθετος στο Γε συμπίπτει με την ακτίνα. Επίσης η γωνία που

σχηματίζουν οι εφαπτόμενες του συνόρου στο σημείο P σχηματίζουν γωνία

π .Είναι φανερό ότι

lim( )ε

θ θ π→

− =0 1 2

limε ε→

=0

0Γ

lim( )ε→

− =0Γ Γl

X

Y

P

(Ω)

θ1

θ2

B

A

ε

Γε

n

n+s

+s


19

Σχ.2.1

Μετά τους παραπάνω συμβολισμούς και παρατηρήσεις εφαρμόζουμε την

ταυτότητα του Green για το χωρίο Ω * για τις συναρτήσεις u και v που

ικανοποιούν τις εξισώσεις (2.15a) και (2.24), αντιστοίχως. Επειδή το σημείο

P είναι έξω από το χωρίο Ω* ,έπεται ότι

uD

Q P d1

0δ ( )*

*

ΩΩ∫ − =

και επομένως η ταυτότητα Green δίνει

0 = ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅∫∫ −( ) ( )v u m u v m ds v u m u v m ds

l ΓΓ ε (2.35)

Θα εξετάσουμε τα παραπάνω ολοκληρώματα όταν ε → 0 . Είναι φανερό ότι

lim ( ) ( )ε→ −

∇ ⋅ − ∇ ⋅ = ∇ ⋅ − ∇ ⋅∫∫0v u m u v m ds v u m u v m ds

l ΓΓ (2.36)

Το δεύτερο ολοκλήρωμα της σχέσεως (2.35) γράφεται

( ) ( ) lnv u m u v m dsD

u m rds uD

r mr

ds∇ ⋅ − ∇ ⋅ = ∇ ⋅ −∇ ⋅

∫∫ ∫1

21

2π πεε εΓΓ Γ

= +I I1 2

(2.37)

Έστω ότι η ακτίνα του κυκλικού τόξου είναι ε ,τότε μπορούμε να γράψουμε

ξ ε θ− =x cos

η ε θ− =y sin


20

Με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων και των (2.29) και (2.33)

λαμβάνουμε

rD

k k kyy xy xx= − +ε

θ θ θ θcos cos sin sin2 22 (2.38)

∇ ⋅ = ⋅ − +r mD r

k k k kyy xy xx xy

εθ θ θ θ

1[( cos sin )( cos sin )

+ − + +( cos sin )( cos sin )]k k k kxy xx xy yyθ θ θ θ (2.39)

Επομένως το ολοκλήρωμα I1 γίνεται

ID

u m r d1

121

2= ∇ ⋅ ⋅ −∫ π

ε θθ

θ( ) ln ( ) (2.40)

Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού η τιμή

του ολοκληρώματος ισούται με την τιμή της ολοκληρωτέας συναρτήσεως σε

κάποιο σημείο Ο πάνω στο διάστημα ολοκληρώσεως, επί το μήκος του

διαστήματος. Άρα

ID

u m rO1 1 21

2= ∇ ⋅ ⋅ −

πε θ θ( ) ln ( )

Η σχέση (2.38) για δεδομένη γωνία θ μας δίνει

r = ⋅ε ζ

όπου

ζθ θ θ θ

=− +k k k

Dyy xy xxcos cos sin sin2 22


21

Όταν ε → 0 το σημείο Ο του τόξου τείνει στο P . Βέβαια η παράγωγος

( )∇ ⋅u m O είναι απροσδιόριστη πλην όμως φραγμένη. Επειδή όμως είναι

lim[ ln( )] lim[ln( )]

( )lim lim( )

ε ε ε εε ε ζ

ε ζ

ε

ε ζζ

ε

ε→ → → →

⋅ =⋅ ′

′=

⋅

−= − =

0 0 0

2

01

1

1 0

έπεται ότι

lime

I→

=0 1 0 (2.41)

Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I 2 πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε

τον όρο ∇ ⋅r m

r που με τη βοήθεια των σχέσεων (2.38) και (2.39) και

κατόπι πράξεων προκύπτει

∇ ⋅=

−

− +=

r mr

k k kk k k

Df

yy xx xy

yy xy xx

12

12

2 2ε θ θ θ θ ε θ( )

( cos cos sin sin ) ( )

Επομένως

ID

uD

fd2

12

11

2= − −∫ π ε θ

ε θθ

θ

( )( )

ή εφαρμόζοντας το θεώρημα μέσης τιμής

I D uf

dO21 2

21

1

2=

−∫

θ θπ θ

θθ

θ

( )

και


22

lim lim( )ε ε θ

θ

θθ

→ →= ∫0 2 0

12

11

2I D uf

dO

όπου

lim( )ε θ

θ

θθ

→ ∫ =0

1 11

2

fd

D

και τελικά έχω

lim ( )ε→

=0 2

12

I u p (2.42)

Με τη βοήθεια των σχέσεων (2.41) και (2.42) η (2.37) δίδει

lim ( ) ( )ε ε→

∇ ⋅ − ∇ ⋅ =∫0

12

v u m u v m ds u pΓ

(2.43)

Επομένως η συνοριακή ολοκληρωτική εξίσωση λαμβάνει τη μορφή

12

12

12

u pD

f rdD

u m r ur mr

ds( ) ln ( ) ln = − ∇ ⋅ −∇ ⋅

∫∫π πΩ

ΓΩ (2.44)

Η εξίσωση (2.44) επιτρέπει τον προσδιορισμό των μεγεθών u και ∇ ⋅u m

στα τμήματα του συνόρου Γ που είναι άγνωστα. Ακολούθως η λύση σε τυχόν

σημείο P∈Ω υπολογίζεται από τη σχέση (2.16).

2.4. Υπολογισμός των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων

Η επίλυση της ολοκληρωτικής εξισώσεως (2.44) με αναλυτική μέθοδο είναι

πρακτικά ανέφικτη όμως είναι δυνατή με αριθμητική μέθοδο. Η διαδικασία

αριθμητικής υλοποίησης της BEM για την επίλυση προβλημάτων δυναμικού

έχει αναπτυχθεί στο κεφάλαιο 3 (Κατσικαδέλης,1996). Για την αριθμητική


23

επίλυση του προβλήματος της στρέψης ανισότροπων ράβδων θα χρειαστεί η

κατάλληλη μετατροπή στον τρόπο υπολογισμού των επικαμπύλιων

ολοκληρωμάτων.

Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα Gij και H ij

∧

ορίζονται από τις παρακάτω

σχέσεις:

Hr mr

dsijj

∧

=∇ ⋅

∫Γ

G vdsijj

= ∫Γ

Ο υπολογισμός τους γίνεται αριθμητικά με τη μέθοδο ολοκληρώσεως Gauss η

οποία γίνεται στο διάστημα − ≤ ≤1 1ξ

f d w fk kk

n

( ) ( )ξ ξ ξ==

−∑∫

11

1

όπου n είναι ο αριθμός των σημείων ολοκληρώσεως, ξk είναι η τετμημένη

του σημείου ολοκληρώσεως k και wk ο αντίστοιχος συντελεστής βάρους.

Θεωρούμε το στοιχείο j πάνω στο οποίο θα γίνει η ολοκλήρωση με

συντεταγμένες αρχής ( , )x yj j και πέρατος ( , )x yj j+ +1 1 ως προς το καθολικό

σύστημα αξόνων x y, .Χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς της

παραγράφου 3.3 (Κατσικαδέλης,1996) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε

σημείου πάνω στο σημείο j μετασχηματίζονται επάνω στο διάστημα

ολοκληρώσεως [ , ]− +1 1 ως κάτωθεν:

xx x x xj j j j( )ξ ξ=

++

−+ +1 1

2 2

(2.45)

yy y y yj j j j( )ξ ξ=

++

−+ +1 1

2 2


24

όπου

l x x y yj J j J j= − + −+ +( ) ( )12

12

Επίσης έχουμε

ds dx dyx x y y

dl

dj j j j j= + =

−+

−=

+ +2 2 1 2 1 2

2 2 2( ) ( ) ξ ξ

Δηλαδή η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού είναι

Jl j( )ξ =2

Κατόπιν των ανωτέρω λαμβάνουμε:

(i) Ολοκλήρωμα Gij

α. Μη διαγώνια στοιχεία , i j≠

GD

rl

dl

Dr wij

j jk k

k

n

= =−

=∫ ∑1

2 2 41

1

1πξ ξ

πξln ( ) ln ( ) (2.46)

όπου

rk x x k x x y y k y y

Dkyy k i xy k i k i xx k i( )

[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] /ξ

ξ ξ ξ ξ=

− − − ⋅ − + −2 21 2

2

(2.47)

β. Διαγώνια στοιχεία , i j=

Στην περίπτωση αυτή το σημείο i ταυτίζεται με το σημείο j ,συνεπώς

ισχύει:


25

xx x

ij J

=+ +1

2

(2.48)

yy y

ij j

=+ +1

2

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2.45) και (2.48) στη σχέση (2.47), τελικά

παίρνω:

rRj( )ξ ξ=2

(2.49)

όπου

Rk x x k x x y y k y y

Dj

yy j j xy j j J j xx J j=

− − − ⋅ − + −+ + + +( ) ( ) ( ) ( )12

1 1 122

(2.50)

Επομένως

GR l

dl R

iij j j j

= = −−∫

12 2 2 2 2

11

1

πξ ξ

πln( ) [ln( ) ] (2.51)

(ii) Ολοκλήρωμα H ij

∧


HD

r mr

dsl

Dcr

wijj k

kk

k

n∧

=−

= ∇ ⋅ = ∑∫1

2 4 11

1

π π

ξξ

( )( )

(2.52)

όπου το r k( )ξ δίνεται από τη σχέση (2.47) ενώ το c k( )ξ από την

παρακάτω:


26

cD

kx x

rk

y yr

k n k nk yyk i

kxy

k i

kxx x xy y( ) (

( )( )

( )( )

) ( )ξξξ

ξξ

=−

−−

⋅ + +1

1D

kx x

rk

y yr

k n k nxyk i

kxx

k i

kxy x yy y(

( )( )

( )( )

) ( )−−

+−

⋅ +ξξ

ξξ

(2.53)


Στην περίπτωση αυτή το σημείο i ταυτίζεται με το σημείο j ,συνεπώς

ισχύoυν οι σχέσεις (2.48) με αντικατάσταση των οποίων στη σχέση (2.53)

έχω:

cC

R Dkj

j( )ξ

ξξ

= (2.54)

Το Rj δίνεται από τη σχέση (2.50) ενώ το C j από την παρακάτω σχέση

C k x x k y y k n k nj yy J j xy J j xx x xy y= − − − + ++ +[ ( ) ( )]( )1 1

[ ( ) ( )]( )− − + − ++ +k x x k y y k n k nxy J j xx J j xy x yy y1 1 (2.55)

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2.49) και (2.54) στη σχέση (2.52), τελικά

έχω :

Hl

D

CR D

R dl

D

CR

diij

j

j j j

j

∧

− −= =∫ ∫4

22

11

1

2 3 1

1

π

ξξ

ξξ

π ξξ/

Όμως

10

1

1

ξξd =

−∫

Άρα τελικά έχω


27

H ii

∧

= 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΕΨΗΣ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΡΑΒΔΩΝ 3.1. Εισαγωγή

Στο προηγούμενο κεφάλαιο περιγράφηκε το φαινόμενο της στρέψης σε μη

κυκλικές ράβδους από ανισότροπο υλικό. Σ’ αυτό το κεφάλαιο θα

παρουσιαστεί ο κώδικας που γράφηκε για την υπολογιστική επίλυση του

συγκεκριμένου φαινομένου, σε γλώσσα FORTRAN , καθώς και η εφαρμογή

του σε ορισμένες διατομές.

3.2.Πρόγραμμα υπολογιστή για την επίλυση του

προβλήματος της στρέψης ανισότροπων ράβδων

χρησιμοποιώντας σταθερά στοιχεία (TORSANI)


Το πρόγραμμα TORSANI γράφηκε σε γλώσσα FORTRAN για τη επίλυση του

συγκεκριμένου προβλήματος συνοριακών τιμών που διέπεται από την

εξίσωση (2.15a). Το πρόγραμμα χρησιμοποιεί σταθερά στοιχεία για την

προσέγγιση των συνοριακών ολοκληρωμάτων.

Το πρόγραμμα χωρίζεται σε δύο ενότητες, στο κύριο πρόγραμμα και στα

υποπρογράμματα Αποτελεί προσαρμογή του προγράμματος (TORSCON)

Κεφάλαιο. 3 Υπολογιστική επίλυση της στρέψης ανισότροπων ράβδων

29

,(Κατσικαδέλης,1996), για στρέψη ομογενών ράβδων, επιλύνοντας το ίδιο

πρόβλημα για ανισότροπες ράβδους.

Κύριο πρόγραμμα (Main program)

Το κύριο πρόγραμμα καθορίζει τις μέγιστες διαστάσεις των μητρώων ,τις τιμές

των ελαστικών σταθερών και ανοίγει δύο αρχεία. Το αρχείο το οποίο περιέχει

τα δεδομένα και το αρχείο στο οποίο θα γραφούν τα αποτελέσματα.

Υποπρογράμματα (Subroutines)

Στη συνέχεια το κύριο πρόγραμμα καλεί τα ακόλουθα υποπρογράμματα

INPUT - Το υποπρόγραμμα αυτό διαβάζει τα δεδομένα

GMATR - Το υποπρόγραμμα αυτό σχηματίζει το μητρώο [ ]G που

ορίζεται στη παράγραφο 2.4

HMATR - Το υποπρόγραμμα αυτό σχηματίζει το μητρώο [ ]H που

ορίζεται στη παράγραφο 2.4

ABMATR - Το υποπρόγραμμα αυτό αναδιατάσσει τα μητρώα [ ]H και [ ]G

βάσει των συνοριακών συνθηκών και σχηματίζει τα μητρώα [ ]A

και B [της εξισώσεως (3.9),(Κατσικαδέλης,1996)]

SOLVEQ - Το υποπρόγραμμα αυτό λύνει το σύστημα των γραμμικών

εξισώσεων [ ] A X B=

REORDER - Το υποπρόγραμμα αυτό αναδιατάσσει τα μητρώα των

συνοριακών τιμών και μορφώνει τα μητρώα u και un

UINTER - Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει τις τιμές του u στα

εσωτερικά σημεία

TORSTIF Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει την στρεπτική ακαμψία της

δεδομένης διατομής

TORSTRES Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει την τιμή της τάσεως στα

κομβικά σημεία του συνόρου της διατομής

3.2.2. Το πρόγραμμα TORSANI


30

Η λίστα του προγράμματος έχει ως εξής


31

C=================================================================== C PROGRAM TORSANI C C This program solves the TORSION problem for anisotropic C material as a Neumann problem for the Laplace equation C using the boundary element method with (CON)stant C boundary elements C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) CHARACTER*15 INPUTFILE,OUTPUTFILE C C Set the maximum dimensions C PARAMETER (N=[Put the value here]) PARAMETER (IN=[Put the value here]) C C N= Number of boundary elements equal to number of boundary C nodes C IN= Number of internal points where the function u is calculated C DIMENSION INDEX(N) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XM(N),YM(N),G(N,N),H(N,N),UB(N) DIMENSION A(N,N),UNB(N),XIN(IN+1),YIN(IN+1),UIN(IN+1),SL(N),TTZ(N) C C Read the names and open the input and output files C WRITE (*,'(A)')' Name of the INPUTFILE (max.15 characters)' READ (*,'(A)') INPUTFILE WRITE (*,'(A)')' Name of the OUTPUTFILE (max.15 characters)' READ (*,'(A)') OUTPUTFILE OPEN (1, FILE=INPUTFILE) OPEN (2, FILE=OUTPUTFILE) C C Set the elastic constants as they are given from Lekhnitskii C VKXX= a44

C VKXY=− a45

C VKYY= a55 C VKXX0=[Put the value here] VKXY0=[Put the value here] VKYY0=[Put the value here] D0=VKXX0*VKYY0-VKXY0**2 C C Transformation of the elastic constants C VKXX=VKXX0*(1/SQRT(D0)) VKXY=VKXY0*(1/SQRT(D0)) VKYY=VKYY0*(1/SQRT(D0)) D=VKXX*VKYY-VKXY**2 C C Read data from INPUTFILE C CALL INPUT(XL,YL,XIN,YIN,INDEX,UB,N,IN,VKXX,VKXY,VKYY) C C Compute the G matrix C CALL GMATR(XL,YL,XM,YM,G,N,VKXX,VKXY,VKYY,D) C C Compute the H matrix C CALL HMATR(XL,YL,XM,YM,H,N,VKXX,VKXY,VKYY,D)


32

C C Form the system of equations AX=B C CALL ABMATR(G,H,A,UNB,UB,INDEX,N) C C Solve the system of equations C CALL SOLVEQ(A,UNB,N,KS) C C Form the vectors U and UN of all the boundary values C CALL REORDER(UB,UNB,INDEX,N) C C Compute the coordinates of the weight center of the C cross-section C CALL WCENTER(XL,YL,N,XWC,YWC) C C Compute the values of U at the internal points C CALL UINTER(XL,YL,XIN,YIN,UB,UNB,UIN,N,IN,XWC,YWC, 1 VKXX,VKXY,VKYY,D) C C Compute the torsion constant D C CALL TORSTIF(XL,YL,N,UB,VKXX,VKXY,VKYY,D,D0,D1)C C C Compute the boundary stress Ttz C CALL TORSTRES(XL,YL,XM,YM,UB,UNB,TTZ,SL,N,VKXX,VKXY,VKYY,D,D0)C C C Print the results in the OUTPUTFILE C CALL OUTPUT (XM,YM,UB,UNB,XIN,YIN,UIN,D1,TTZ,N,IN) C C Close input and output files C CLOSE(1) CLOSE(2) STOP END C C C==================================================================== C SUBROUTINE INPUT (XL,YL,XIN,YIN,INDEX,UB,N,IN,VKXX,VKXY,VKYY) C C This subroutine reads the input data from the input file C and writes them in the output file C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) CHARACTER*80 NAME,TITLE DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XIN(IN),YIN(IN),INDEX(N),UB(N) C WRITE(2,100) 100 FORMAT(' ',79('*')) C C Read user's name C READ(1,'(A)')NAME C WRITE(2,'(A)')NAME C C Read the title of the program


33

C READ(1,'(A)')TITLE C WRITE(2,'(A)')TITLE C WRITE(2,200)N,IN 200 FORMAT(//'BASIC PARAMETERS'//2X,'NUMBER OF BOUNDARY ELEMENTS=' 1,I3/2X,'NUMBER OF INTERNAL POINTS WHERE THE FUNCTION IS CALCULATED 1=',I3) C C Read the coordinates of the extreme points of the boundary elements XL,YL C READ(1,*) (XL(I),YL(I),I=1,N) C C Write the coordinates in the output file C WRITE(2,300) 300 FORMAT(//2X,'COORDINATES OF THE EXTREME POINTS OF THE BOUNDARY ELE 1MENTS',//2X,'POINT',9X,'XL',15X,'YL') DO 20 I=1,N 20 WRITE(2,400) I,XL(I),YL(I) 400 FORMAT(2X,I3,2(3X,E14.5)) C C Compute the boundary values of Un and store in UB(I) (I=1,N-1),UB(N)=0. C PI=ACOS(-1.) DO 10 I=1,(N-1) INDEX(I)=1 DX=(XL(I+1)-XL(I))/2 DY=(YL(I+1)-YL(I))/2 XM=(XL(I+1)+XL(I))/2 YM=(YL(I+1)+YL(I))/2 ANGLE=ATAN2(DY,DX)-PI/2. FNX=COS(ANGLE) FNY=SIN(ANGLE) UB(I)=YM*(VKXX*FNX+VKXY*FNY)-XM*(VKXY*FNX+VKYY*FNY) 10 INDEX(I)=1 UB(N)=0 INDEX(N)=0 C C Write the boundary conditions in the output file C WRITE(2,500) 500 FORMAT(//2X,'BOUNDARY CONDITIONS'//2X,'NODE',6X,'INDEX', 1 7X,'PRESCRIBED VALUE') DO 30 I=1,N 30 WRITE(2,600) I,INDEX(I),UB(I) 600 FORMAT (2X,I3,9X,I1,8X,E14.5) C C Read the coordinates of the internal points C READ(1,*) (XIN(I),YIN(I),I=1,IN) RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE GMATR (XL,YL,XM,YM,G,N,VKXX,VKXY,VKYY,D) C


34

C This subroutine computes the elements of the G matrix C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XM(N),YM(N) DIMENSION G(N,N) C C Compute the nodal coordinates and store them in the arrays XM C and YM C XL(N+1)=XL(1) YL(N+1)=YL(1) DO 10 I=1,N XM(I)=(XL(I)+XL(I+1))/2. 10 YM(I)=(YL(I)+YL(I+1))/2. C C Compute the elements of matrix G C DO 20 I=1,N DO 20 J=1,N JP1=J+1 IF(I.NE.J)THEN CALL RLINTC(XM(I),YM(I),XL(J),YL(J),XL(JP1),YL(JP1),RESULT 1,VKXX,VKXY,VKYY,D) G(I,J)=RESULT ELSEIF(I.EQ.J)THEN CALL SLINTC(XL(J),YL(J),XL(JP1),YL(JP1),RESULT,VKXX,VKXY,VKYY,D) G(I,J)=RESULT ENDIF 20 CONTINUE RETURN END C C C================================================================ C SUBROUTINE RLINTC(X0,Y0,X1,Y1,X2,Y2,RESULT,VKXX,VKXY,VKYY,D) C C C This subroutine computes the off-diagonal elements of the C matrix G C C RA= The distance of the point O from the Gauss integration point C on the boundary element C C WG= The weights of the Gauss integration C C XI= The coordinates of the Gauss integration points in the C interval [-1,1] C C XC,YC= The global coordinates of the Gauss integration points C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XC(4),YC(4),XI(4),WG(4) DATA XI/-0.86113631,-0.33998104,0.33998104,0.86113631/ DATA WG/0.34785485,0.65214515,0.65214515,0.34785485/ PI=ACOS(-1.) AX=(X2-X1)/2. AY=(Y2-Y1)/2. BX=(X2+X1)/2. BY=(Y2+Y1)/2. C C Compute the line integral C


35

RESULT=0. C DO 30 I=1,4 XC(I)=AX*XI(I)+BX YC(I)=AY*XI(I)+BY RA=SQRT((VKYY*(XC(I)-X0)**2-2*VKXY*(XC(I)-X0)*(YC(I)-Y0)+VKXX*(YC( 1I)-Y0)**2)/D) 30 RESULT=RESULT+LOG(RA)*WG(I) SL=2.*SQRT(AX**2+AY**2) RESULT=RESULT*SL/(4.*PI)/SQRT(D) RETURN END C C C================================================================= C SUBROUTINE SLINTC(X1,Y1,X2,Y2,RESULT,VKXX,VKXY,VKYY,D) C C C This subroutines computes the diagonal elements of the matrix G C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) RJ=1/D*SQRT(VKYY*(X2-X1)**2-2*VKXY*(X2-X1)*(Y2-Y1)+VKXX*(Y2-Y1)**2 1) PI=ACOS(-1.) AX=(X2-X1)/2. AY=(Y2-Y1)/2. SL=SQRT(AX**2+AY**2) RESULT=SL*(LOG(RJ/2)-1.)/PI/SQRT(D) RETURN END C C C================================================================= C SUBROUTINE HMATR(XL,YL,XM,YM,H,N,VKXX,VKXY,VKYY,D) C C C This subroutine computes the element of the H matrix C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XM(N),YM(N) DIMENSION H(N,N) C PI=ACOS(-1.) C XL(N+1)=XL(1) YL(N+1)=YL(1) DO 10 I=1,N XM(I)=(XL(I)+XL(I+1))/2. 10 YM(I)=(YL(I)+YL(I+1))/2. C C Compute the elements of H matrix C DO 20 I=1,N DO 20 J=1,N IF (I.NE.J) THEN CALL DALPHA (XM(I),YM(I),XL(J),YL(J),XL(J+1),YL(J+1),RESULT 1,VKXX,VKXY,VKYY,D) H(I,J)=RESULT ELSEIF (I.EQ.J) THEN H(I,J)=-0.5


36

ENDIF 20 CONTINUE RETURN END C C C================================================================= C SUBROUTINE DALPHA(X0,Y0,X1,Y1,X2,Y2,RESULT,VKXX,VKXY,VKYY,D) C C C This subroutine computes the off diagonal elements of the C matrix H C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XC(4),YC(4),XI(4),WG(4) DATA XI/-0.86113631,-0.33998104,0.33998104,0.86113631/ DATA WG/0.34785485,0.65214515,0.65214515,0.34785485/ PI=ACOS(-1.) AX=(X2-X1)/2. AY=(Y2-Y1)/2. BX=(X2+X1)/2. BY=(Y2+Y1)/2. ANGLE=ATAN2(AY,AX)-PI/2. FNX=COS(ANGLE) FNY=SIN(ANGLE) C RESULT=0 C DO 30 I=1,4 XC(I)=AX*XI(I)+BX YC(I)=AY*XI(I)+BY RA=SQRT((VKYY*(XC(I)-X0)**2-2*VKXY*(XC(I)-X0)*(YC(I)-Y0)+VKXX*(YC( 1I)-Y0)**2)/D) CF=1/(D*RA)*((VKYY*(XC(I)-X0)-VKXY*(YC(I)-Y0))*(VKXX*FNX+VKXY*FNY) 1+(-VKXY*(XC(I)-X0)+VKXX*(YC(I)-Y0))*(VKXY*FNX+VKYY*FNY)) 30 RESULT=RESULT+CF/RA*WG(I) SL=2.*SQRT(AX**2+AY**2) RESULT=RESULT*SL/(4.*PI)/SQRT(D) RETURN END C C================================================================== C SUBROUTINE ABMATR (G,H,A,UNB,UB,INDEX,N) C C C This subroutine rearranges the matrices G and H and produces the C matrices A and B=UNB C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION G(N,N),H(N,N),A(N,N),UNB(N),UB(N),INDEX(N) C C Reorder the columns the system of equations and store them in A C DO 40 J=1,N IF(INDEX(J).EQ.0) THEN DO 20 I=1,N 20 A(I,J)=-G(I,J) ELSEIF(INDEX(J).NE.0) THEN DO 30 I=1,N 30 A(I,J)=H(I,J)


37

END IF 40 CONTINUE C C Compute the right hand side vector and store in UNB C DO 50 I=1,N UNB(I)=0. DO 60 J=1,N IF(INDEX(J).EQ.0) THEN UNB(I)=UNB(I)-H(I,J)*UB(J) ELSEIF(INDEX(J).NE.0)THEN UNB(I)=UNB(I)+G(I,J)*UB(J) ENDIF 60 CONTINUE 50 CONTINUE RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE SOLVEQ(A,UNB,N,KS) C C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION A(N,N),UNB(N) CALL SIMQ(A,UNB,N,KS) IF(KS.EQ.0)THEN WRITE(2,150) 150 FORMAT('',79('*')//'The system has been solved regularly'//) ELSEIF(KS.EQ.1)THEN WRITE(2,170) 170 FORMAT('',79('*')//1X'The system is singular'//) ENDIF RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE SIMQ(A,B,N,KS) C C C This subroutine solves a system of linear equations using C the gauss elimination method C C A : One-dimensional array which contains the occasionally row of C the two-dimensional array of the coefficients of the unknowns C B : One-dimensional array which contains the independent coefficients C N : An integer which contains the number of the unknowns C KS : An integer which takes the values : 0,1 C If KS = 0 the system has been solved regularly C If KS = 1 the system is singular C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION A(1),B(1) TOL=0.0 KS=0 JJ=-N DO 65 J=1,N JY=J+1 JJ=JJ+N+1 BIGA=0


38

IT=JJ-J DO 30 I=J,N IJ=IT+I IF(ABS(BIGA)-ABS(A(IJ))) 20,30,30 20 BIGA=A(IJ) IMAX=I 30 CONTINUE IF(ABS(BIGA)-TOL) 35,35,40 35 KS=1 RETURN 40 I1=J+N*(J-2) IT=IMAX-J DO 50 K=J,N I1=I1+N I2=I1+IT SAVE=A(I1) A(I1)=A(I2) A(I2)=SAVE 50 A(I1)=A(I1)/BIGA SAVE=B(IMAX) B(IMAX)=B(J) B(J)=SAVE/BIGA IF(J-N) 55,70,55 55 IQS=N*(J-1) DO 65 IX=JY,N IXJ=IQS+IX IT=J-IX DO 60 JX=JY,N IXJX=N*(JX-1)+IX JJX=IXJX+IT 60 A(IXJX)=A(IXJX)-(A(IXJ)*A(JJX)) 65 B(IX)=B(IX)-(B(J)*A(IXJ)) 70 NY=N-1 IT=N*N DO 80 J=1,NY IA=IT-J IB=N-J IC=N DO 80 K=1,J B(IB)=B(IB)-A(IA)*B(IC) IA=IA-N 80 IC=IC-1 RETURN END C C================================================================== C SUBROUTINE REORDER(UB,UNB,INDEX,N) C C C This subroutine rearranges the arrays UB and UNB in such a way C that all values of the function u are stored in UB while all C values of the normal derivative un are stored in UNB C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION UB(N),UNB(N),INDEX(N) C DO 20 I=1,N IF(INDEX(I))20,20,10 10 CH=UB(I) UB(I)=UNB(I) UNB(I)=CH 20 CONTINUE RETURN


39

END C C================================================================= C SUBROUTINE WCENTER (XL,YL,N,XWC,YWC) C C C This subroutine computes the coordinates of the weight C center of a plane area C IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1) DIMENSION XC(4),YC(4),XI(4),WG(4) C C N= Number of boundary elements C XL,YL= Coordinates of the extreme points of the C boundary elements C XWC,YWC= Coordinates of the weight center C WG= Weights of the Gauss integration C XI= Coordinates of the Gauss integration points C in the interval [-1,1] C XC,YC= Global coordinates of the gauss integration points C DATA XI/-0.86113631,-0.33998104,0.33998104,0.86113631/ DATA WG/0.34785485,0.65214515,0.65214515,0.34785485/ PI=ACOS(-1.) XL(N+1)=XL(1) YL(N+1)=YL(1) C AREA=0. SX=0. SY=0. C DO 10 I=1,N AX=(XL(I+1)-XL(I))/2. AY=(YL(I+1)-YL(I))/2. BX=(XL(I+1)+XL(I))/2. BY=(YL(I+1)+YL(I))/2. SL=SQRT(AX**2+AY**2) ANGLE=ATAN2(AY,AX)-PI/2. TERMA=0. TERMSX=0. TERMSY=0. DO 40 K=1,4 XC(K)=AX*XI(K)+BX YC(K)=AY*XI(K)+BY TERMA=TERMA+0.5*(XC(K)*COS(ANGLE)+YC(K)*SIN(ANGLE))*WG(K)*SL TERMSX=TERMSX+0.5*XC(K)**2*COS(ANGLE)*WG(K)*SL TERMSY=TERMSY+0.5*YC(K)**2*SIN(ANGLE)*WG(K)*SL 40 CONTINUE AREA=AREA+TERMA SX=SX+TERMSX SY=SY+TERMSY 10 CONTINUE C C Coordinates of the weight center C XWC=SX/AREA YWC=SY/AREA RETURN END C C================================================================== C


40

SUBROUTINE UINTER(XL,YL,XIN,YIN,UB,UNB,UIN,N,IN,XWC,YWC 1,VKXX,VKXY,VKYY,D) C C C This subroutine computes the values of u at the internal points C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XIN(IN+1),YIN(IN+1) DIMENSION UB(N),UNB(N),UIN(IN+1) C XIN(IN+1)=XWC YIN(IN+1)=YWC C C Compute the values of u at the internal points C DO 10 K=1,IN+1 UIN(K)=0. DO 20 J=1,N JP1=J+1 CALL DALPHA(XIN(K),YIN(K),XL(J),YL(J),XL(JP1),YL(JP1),RESH 1,VKXX,VKXY,VKYY,D) CALL RLINTC(XIN(K),YIN(K),XL(J),YL(J),XL(JP1),YL(JP1),RESG 1,VKXX,VKXY,VKYY,D) 20 UIN(K)=UIN(K)+RESH*UB(J)-RESG*UNB(J) 10 CONTINUE DO 30 K=1,N UB(K)=UB(K)-UIN(IN+1) 30 CONTINUE DO 40 K=1,IN+1 UIN(K)=UIN(K)-UIN(IN+1) 40 CONTINUE RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE TORSTIF (XL,YL,N,UB,VKXX,VKXY,VKYY,D,D0,D1) C C C This subroutine computes the torsion constant C IMPLICIT REAL*8 (A-H, O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),UB(N) DIMENSION XC(4),YC(4),XI(4),WG(4) C C C N= Number of boundary elements C XL, YL= Coordinates of the extreme points of the boundary elements C D1=Torsion constant C WG= Weights of the Gauss integration C XI= Coordinates of the Gauss integration points in the C interval [-1, 1] C XC,YC= Global coordinates of the gauss integration points C DATA XI/-0.86113631,-0.33998104,0.33998104,0.86113631/ DATA WG/0.34785485,0.65214515,0.65214515,0.34785485/ C PI=ACOS(-1.) XL(N+1)=XL(1) YL(N+1)=YL(1) D1=0. C


41

DO 10 I=1,N AX=(XL(I+1)-XL(I))/2. AY=(YL(I+1)-YL(I))/2. BX=(XL(I+1)+XL(I))/2. BY=(YL(I+1)+YL(I))/2. SL=SQRT(AX**2+AY**2) ANGLE=ATAN2(AY,AX)-PI/2. C TERM=0. DO 40 K=1,4 XC(K)=AX*XI(K)+BX YC(K)=AY*XI(K)+BY TERM=TERM+WG(K)*((VKXX*(XC(K)*YC(K)**2-YC(K)*UB(I))-VKXY*(0.5*Y 1C(K)*XC(K)**2-XC(K)*UB(I)))*COS(ANGLE)+(VKYY*(YC(K)*XC(K)**2 1+XC(K)*UB(I))-VKXY*(0.5*XC(K)*YC(K)**2+YC(K)*UB(I)))*SIN(ANG 1LE))*SL 40 CONTINUE D1=D1+TERM/D 10 CONTINUE D1=D1/SQRT(D0) RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE TORSTRES (XL,YL,XM,YM,UB,UNB,TTZ,SL,N, 1 VKXX,VKXY,VKYY,D,D0) C C C This subroutine computes the boundary shear stress Ttz in C tangential direction C C TTZ= Shear stresses at the boundary nodal points c SL= Distances between the boundary nodal points C IMPLICIT REAL*8 (A-H, O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XM(N),YM(N) DIMENSION TTZ(N),SL(N),UB(N),UNB(N) C XL(N+1)=XL(1) YL(N+1)=YL(1) PI=ACOS(-1.) DO 10 I=1,N AX=(XL(I+1)-XL(I))/2. AY=(YL(I+1)-YL(I))/2. SL(I)=SQRT(AX**2+AY**2) 10 CONTINUE C DO 20 I=1,N AX=(XL(I+1)-XL(I))/2. AY=(YL(I+1)-YL(I))/2 ANGLE=ATAN2(AY,AX)-PI/2. FNX=COS(ANGLE) FNY=SIN(ANGLE) IF (I.EQ.1) THEN S1=SL(N)+SL(1) S2=SL(I)+SL(I+1) B1=UB(N) B2=UB(1) B3=UB(2) ELSE IF (I.EQ.N) THEN S1=SL(N-1)+SL(N) S2=SL(N)+SL(1)


42

B1=UB(N-1) B2=UB(N) B3=UB(1) ELSE S1=SL(I-1)+SL(I) S2=SL(I)+SL(I+1) B1=UB(I-1) B2=UB(I) B3=UB(I+1) ENDIF UBT=(S1**2*B3-S2**2*B1+(S2**2-S1**2)*B2) 1 /(S1*S2*(S1+S2)) SMX=VKXX*FNX+VKXY*FNY SMY=VKXY*FNX+VKYY*FNY FY=(FNY*UNB(I)+SMX*UBT)/(SMY*FNY+SMX*FNX) FX=(FNX*UNB(I)-SMY*UBT)/(SMX*FNX+SMY*FNY) TTZ(I)=-(VKXX*(FX-YM(I))+VKXY*(FY+XM(I)))*FNY/D 1 +(VKXY*(FX-YM(I))+VKYY*(FY+XM(I)))*FNX/D

TTZ(I)=TTZ(I)*(1/SQRT(D0)) 20 CONTINUE RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE OUTPUT(XM,YM,UB,UNB,XIN,YIN,UIN,D1,TTZ,N,IN) C C C This subroutine prints the results in the output file. C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XM(N),YM(N),UB(N),UNB(N) DIMENSION XIN(IN+1),YIN(IN+1),UIN(IN+1),TTZ(N) C WRITE(2,100) 100 FORMAT('',79('*')//1X,'RESULTS'//2X,'BOUNDARY NODES'// 1 11X,'X',15X,'Y',15X,'U',15X,'Un'/) DO 10 I=1,N 10 WRITE(2,200) XM(I),YM(I),UB(I),UNB(I) 200 FORMAT(4(2X,E14.5)) C WRITE (2,300) 300 FORMAT(//,2X,'INTERNAL POINTS'//10X,'X',15X,'Y',11X, 1 'SOLUTION U'/) DO 20 K=1,IN+1 20 WRITE(2,400) XIN(K),YIN(K),UIN(K) 400 FORMAT(3(2X,E14.5)) WRITE(2,600) D1 600 FORMAT('',79('*')//2X,'TORSION CONSTANT It=',E14.5/) WRITE(2,700) 700 FORMAT('',79('*')//2X,'BOUNDARY STRESS Ttz'// 1 11X,'X',15X,'Y',15X,'Ttz'/) DO 30 I=1,N 30 WRITE(2,800) XM(I),YM(I),TTZ(I) 800 FORMAT(3(2X,E14.5)) WRITE(2,500) 500 FORMAT(' ',79('*')) RETURN END C C C==================================================================



43

Τα παραδείγματα που ακολουθούν έχουν σαν σκοπό να δείξουν τον τρόπο

που λειτουργεί το πρόγραμμα TORSANI για την επίλυση του φαινομένου της

στρέψης σε ράβδους από ανισότροπο ή ορθότροπο υλικό.


H ράβδος είναι ελλειπτικής διατομής από ανισότροπο υλικό και έχει

α =3.0

β =2.0

a44 =0.5*10-5

a45 =0.5*10-5

a55=1.0*10-5

Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που δίνει το

πρόγραμμα για διάφορους διαχωρισμούς του συνόρου. Στην τελευταία στήλη

δίνεται η ακριβής λύση (Lekhnitskii,1963)

Πίνακας 3.1

Α

y

x

B

β

α


44

Πλήθος συνοριακών σημείων N

50 100 150 200 400 Ακριβής

a I t554/α

0.7601 0.7613 0.7615 0.7615 0.7616 0.7616

( ) /τ θαtz A a55

0.7448 0.7314 0.7290 0.7282 0.7274 0.7273

( ) /τ θαtz B a55

1.0804 1.0872 1.0897 1.0903 1.0907 1.0909

Συγκρίνοντας τα αριθμητικά αποτελέσματα του προγράμματος TORSANI με

τις αναλυτικές επιλύσεις εδραιώνεται η εγκυρότητα και η ακρίβεια της

μεθόδου.

Παρατηρείται ότι η σύγκλιση των αποτελεσμάτων επιτυγχάνεται για μικρό

αριθμό συνοριακών σημείων.

Ακριβής λύση (Lekhnitskii,1963)

Σε ελλειπτική διατομή που η αρχή του συστήματος συντεταγμένων συμπίπτει

με το κέντρο βάρους της διατομής και α β, είναι στοιχεία της γεωμετρίας ενώ

a a44 55, είναι οι ελαστικές σταθερές του υλικού, η στρεπτική ακαμψία δίνεται

από τον τύπο

Ca at = +

πα ββ α

3 3

442

552

ενώ οι τάσεις

τπαβxz

tMy= −

23

τπα βyz

tMx=

23


45

Παρατηρείται ότι τόσο η στρεπτική ακαμψία όσο και τάσεις είναι ανεξάρτητες

της ελαστικής σταθεράς a45 .Συνεπώς οι σχέσεις ισχύουν και για ανισότροπο

αλλά και για ορθότροπο υλικό


y


46

H ράβδος είναι ελλειπτικής διατομής από ορθότροπο υλικό και έχει μέτρα

διάτμησης

G13 =100000

G23 =200000

άρα τα δεδομένα του προγράμματος είναι

α =3.0

β =2.0

a44 =0.5*10-5

a45 =0.

a55=1.0*10-5

αν λάβουμε υπόψη ότι

a G44 231= / και a G55 131= /

Τα αποτελέσματα του προγράμματος είναι

Πίνακας 3.2


Α x

B

β

α


47

50 100 150 200 400 Ακριβής

a I t554/α

0.7545 0.7598 0.7608 0.7612 0.7615 0.7616


0.7551 0.7345 0.7305 0.7292 0.7277 0.7273


1.0801 1.0885 1.0897 1.0903 1.0908 1.0909




y

ξη


48

H ράβδος είναι ελλειπτικής διατομής από ορθότροπο υλικό και έχει μέτρα

διάτμησης

G13 =100000

G23 =200000

ενώ ο άξονας των x σχηματίζει γωνία γ ίση με 45ο με τον άξονα της

ορθοτροπίας ξ έχοντας σαν μέτρο διάτμησης G13 . Τα μέτρα διάτμησης G13

και G23 σχετίζονται, κατά τις κύριες διευθύνσεις της ορθοτροπίας, με τις

ελαστικές σταθερές a44 , a55 και a45 από τις εξισώσεις (Lekhnitskii,1963)

aG G44

2

23

2

13= +

cos sinγ γ

aG G55

2

23

2

13= +

sin cosγ γ

aG G45

23 13

1 1= −( ) sin cosγ γ

άρα τα δεδομένα του προγράμματος είναι

α =3.0

β =2.0

a44 =0.75*10-5

a45 =-0.25*10-5

Α x

B

β

αγ


49

a55=0.75*10-5


Πίνακας 3.3


50 100 150 200 400 Ακριβής

a I t554/α

0.6372 0.6426 0.6436 0.6440 0.6443 0.6444


0.6210 0.6168 0.6161 0.6158 0.6155 0.6154


0.9150 0.9213 0.9222 0.9226 0.9230 0.9231




y

B

β


50

H ράβδος είναι ορθογωνικής διατομής από ορθότροπο υλικό με τους άξονες

συμμετρίας να συμπίπτουν με τους άξονες της ορθοτροπίας και έχει μέτρα

διάτμησης

G13 =100000

G23 =200000

Άρα τα δεδομένα του προγράμματος είναι

α =4.0

β =3.0

a44 =0.11111*10-5

a45 =0.

a55=1.0*10-5

αν λάβουμε υπόψη ότι

a G44 231= / και a G55 131= /


Πίνακας 3.4


50 100 150 200 400 Ακριβής

a I t554/α

1.9549 1.9093 1.9002 1.8971 1.8944 1.8955

Α x α


51


3.3454 3.3425 3.3407 3.3400 3.3397 3.3410


1.5000 1.4968 1.4961 1.4959 1.4956 1.4955



Ακριβής λύση (Lekhnitskii,1963)

Σε ορθογωνική διατομή, από ορθότροπο υλικό, που η αρχή του συστήματος

συντεταγμένων συμπίπτει με το κέντρο βάρους της διατομής και α β, είναι

στοιχεία της γεωμετρίας ενώ G G13 23, είναι τα μέτρα διάτμησης του υλικού, η

στρεπτική ακαμψία δίνεται από τον τύπο

C G a b ct = 133β ( )

ενώ οι τάσεις στο σύνορο για τα σημεία Α και Β αντίστοιχα είναι

ταβ( )A

tM GG

k= 223

132

ταβ( )B

tMk= 2 1

όπου οι συντελεστές b c k k( ), ,1 2 δίνονται από τον πίνακα 3. (σελ. 203) και

εξαρτώνται από την γεωμετρία της διατομής και τα μέτρα διάτμησης του

υλικού.

ΚΕΦAΛAΙΟ 4

ΣΤΡEΨΗ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΡΑΒΔΩΝ 4.1. Εισαγωγή

Το κεφάλαιο αυτό ασχολείται με το φαινόμενο της στρέψης σε μη κυκλικές

ράβδους από μη ομογενές υλικό. Στην περίπτωση αυτή το μέτρο διάτμησης

του υλικού δεν είναι σταθερό και μεταβάλλεται σε κάθε σημείο της διατομής.

Είναι μία συνάρτηση που εξαρτάται από τις συντεταγμένες ( , )x y του εκάστοτε

σημείου της διατομής.

Παρακάτω θα διατυπωθούν οι μαθηματικές εξισώσεις που περιγράφουν το

φαινόμενο, ο τρόπος εφαρμογής της μεθόδου των συνοριακών στοιχείων,

καθώς και οι ιδιαιτερότητες των αριθμητικών μεθόδων που χρησιμοποιούνται

για την υπολογιστική επίλυση του προβλήματος.



Όπως και στην παράγραφο 2.2.1. θεωρούμε ράβδο τυχούσας διατομής, η

οποία υποβάλλεται σε στρέψη από ροπές M t που εφαρμόζονται στα άκρα

της.

Οι συνιστώσες της παραμορφώσεως είναι:

ε∂∂x

ux

= = 0 , ε ∂∂y

vy

= = 0 , ε ∂∂z

wz

= = 0 , γ xy = 0

Κεφάλαιο. 4 Στρέψη μη ομογένων ράβδων

54

γ∂∂

∂∂

θ∂φ∂xz

wx

uz x

y= + = −( ) (4.1)

γ∂∂

∂∂

θ∂φ∂yz

wy

vz y

x= + = +( )

Οι αντίστοιχές συνιστώσες της τάσεως είναι

σ σ σ τx y z xy= = = = 0

τ θ∂φ∂xz Gx

y= −( ) (4.2)

τ θ∂φ∂yz Gy

x= +( )

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (4.2) στις εξισώσεις ισορροπίας (2.8)


∂τ∂

xz

z= 0

∂τ∂

yz

z= 0

( ) ( ) ( ) ( )G G Gy Gxx x y y x yφ φ+ = − (4.3)

Οι συνιστώσες της τάσεως πρέπει να ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες

στην εξωτερική επιφάνεια της ράβδου. Λαμβάνοντας υπόψη τις εξισώσεις

(2.10) και (4.2) παρατηρούμε ότι οι δύο πρώτες συνοριακές συνθήκες

ικανοποιούνται ταυτοτικά ενώ η τρίτη δίνει :


55

( ) ( ) ( ) ( )G n G n Gy n Gx nx x y y x yφ φ+ = − (4.4)

Η συνάρτηση του μέτρου διάτμησης του υλικού είναι της μορφής

G G G x y= 0 ( , )

όπου G0 είναι μία σταθερά που εκφράζει μία μερική τιμή της συναρτήσεως.

Για λόγους απλούστευσης μπορούμε να υποθέσουμε ότι

GG

G0= (4.5)

Αν τώρα θέσουμε (Κατσικαδέλης κ.α.,1997)

G x xφ ψ=

(4.6)

G y yφ ψ=

οι εξισώσεις (4.3) και (4.4) γίνονται :

∇ =2ψ f x y( , ) x y, ∈Ω

(4.7a)

ψ n g x y= ( , ) x y, ∈Γ

όπου

f x y Gy Gxx y( , ) ( ) ( )= −

(4.7b)

g x y Gy n Gx nx y( , ) ( ) ( )= −

Οι σχέσεις (4.7) επιτρέπουν τον προσδιορισμό της συναρτήσεως ψ

λύνοντας ένα πρόβλημα Neumann για την εξίσωση Poisson


56



M x y dt yz xz= −∫ ( )τ τ ΩΩ

Η παραπάνω σχέση με τη βοήθεια των σχέσεων (4.2),(4.5) και (4.6) γίνεται

M G x Gx y Gy d G It y x t= + − − =∫θ ψ ψ θ0 0[ ( ) ( )]Ω

Ω

όπου

I x Gx y Gy dt y x= + − −∫ [ ( ) ( )]ψ ψΩ

Ω

Το παραπάνω πεδιακό ολοκλήρωμα με τη βοήθεια του θεωρήματος

αποκλίσεως του Gauss μετασχηματίζεται σε συνοριακό ολοκλήρωμα και

μπορεί να γραφεί ως εξής

I y G y x G x dt x y= − + +∫ [( ) ( ) ]21

22ψ ψ Ω

Ω

= − + +∫ [( ) ( ) ]y G y n x G x n dsx y2

12

2ψ ψΓ

(4.8)

όπου

G Gdx1 = ∫


57

(4.9)

G Gdy2 = ∫

είναι αόριστα ολοκληρώματα της συνάρτησης G ως προς x και ως προς

y αντίστοιχα.





η οποία με τη βοήθεια των σχέσεων (4.2),(4.5) και (4.6) γίνεται

τ θ∂ψ∂tz x yGt

Gxn Gyn= + +0 ( ) (4.10)

4.3. Η εφαρμογή της BEM


παρακάτω προβλήματος συνοριακών τιμών

∇ = −2ψ ( ) ( )Gy Gxx y x y, ∈Ω

ψ n x yGy n Gx n= −( ) ( ) x y, ∈Γ




58

u P vfd vun

uvn

ds( ) ( )= − −∫ ∫ΩΩ Γ

∂∂

∂∂

(4.11)

όπου v είναι η θεμελιώδης λύση της (4.7a).


Όπως έχει αποδειχθεί στην παράγραφο 2.2,(Κατσικαδέλης,1996) η

θεμελιώδης λύση δίνεται από τη σχέση

v r=1

2πln (4.12)

όπου

r P q= −

Η θεμελιώδης λύση είναι γνωστή στη βιβλιογραφία και ως συνάρτηση Green

ελευθέρου χώρου (free space Green’s function)


Όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφο η ολοκληρωτική παράσταση

της λύσεως δίνεται από τη σχέση (4.11).

Στη σχέση αυτή οι συναρτήσεις v και ∂∂vn

είναι γνωστές και δίδονται η

πρώτη από τη σχέση (4.12) ενώ η δεύτερη από την παρακάτω σχέση

∂∂ π

φvn r=

12

cos (4.13)

όπου


59

r P q= − , φ = γωνία ( , )r n (βλέπε Παράρτημα Α,του [1])

Με τον ίδιο τρόπο που ακολουθήθηκε στο κεφάλαιο 2 (Κατσικαδέλης,1996) η

συνοριακή ολοκληρωτική εξίσωση παίρνει τη μορφή

12

12

12

u p f rdun

r ur

ds( ) ln ( lncos

)= − −∫ ∫π π∂∂

φΩ

Ω Γ (4.14)

Η εξίσωση (4.14) επιτρέπει τον υπολογισμό των μεγεθών u και un στα

τμήματα του συνόρου Γ που είναι άγνωστα.


4.4.1. Μετατροπή του πεδιακού ολοκληρώματος σε συνοριακό

Για την επίλυση της εξισώσεως (4.14) με τη μέθοδο των συνοριακών

στοιχείων εμφανίζεται πεδιακό ολοκλήρωμα της μορφής (Κατσικαδέλης,1996)

vfdΩΩ∫ (4.15)

Η ολοκληρωτέα συνάρτηση vf είναι μεν γνωστή, αλλά η μέθοδος χάνει τα

πλεονεκτήματα μίας καθαρά συνοριακής μεθόδου. Είναι δυνατό να

ξεπεράσουμε το μειονέκτημα αυτό, αν μετατρέψουμε το πεδιακό ολοκλήρωμα

(4.15) σε επικαμπύλιο ολοκλήρωμα πάνω στο σύνορο Γ . Αυτό

επιτυγχάνεται με την πιο κάτω μέθοδο

Προσδιορίζουμε μία συνάρτηση F που να ικανοποιεί την εξίσωση

∇ =2 F f (4.16)


60

και εφαρμόζουμε την ταυτότητα Green για τις συναρτήσεις v και F στο

χωρίο Ω .Θα έχουμε

( ) ( )v F F v d vFn

Fvn

ds∇ − ∇ = −∫ ∫2 2

Ω ΓΩ

∂∂

∂∂

η οποία γίνεται

vfd F vFn

Fvn

dsΩΩ Γ∫ ∫= + −( )

∂∂

∂∂

(4.17)

4.4.1.1. Αριθμητική μέθοδος επίλυσης του ολοκληρώματος

Ο υπολογισμός του πεδιακού ολοκληρώματος της σχέσεως (4.17) είναι

αδύνατο να επιτευχθεί με αναλυτικό τρόπο. Γι’ αυτό το λόγο θα

χρησιμοποιηθούν αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού των δύο συνοριακών

ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται στην παραπάνω σχέση

Τα συνοριακά αυτά ολοκληρώματα είναι

F v Fn

dsij

N

j

= ∫∑=

∂∂Γ

1

V F vn

dsij

N

j

= ∫∑=

∂∂Γ1

όπου N ο αριθμός των υποδιαιρέσεων του συνόρου

Ο υπολογισμός τους γίνεται αριθμητικά με τη μέθοδο ολοκληρώσεως Gauss η

οποία γίνεται στο διάστημα − ≤ ≤1 1ξ

Οι μετασχηματισμοί που θα χρησιμοποιηθούν είναι οι ίδιοι με αυτούς της

παραγράφου 2.4

Επομένως έχω

(i) Ολοκλήρωμα Fi


61


vFn

dsFn

rds rFn

ld

j j

j∂∂ π

∂∂ π

ξ∂∂

ξΓ Γ∫ ∫∫= =

−

12

12 21

1ln ln ( )

= ⋅ +=∑

lr F

xn F

yn wj

k x y kk

n

4 1πξ ∂

∂∂∂

ln ( ) ( ) (4.18)

όπου

r x x y yk k i k i( ) [ ( ) ] [ ( ) ] /ξ ξ ξ= − + −2 2 1 2 (4.19)


Όταν το σημείο i συμπέσει με το σημείο j το διάνυσμα της ακτίνας r

γίνεται συγγραμμικό με το ευθύγραμμο τμήμα του στοιχείου j . Συνεπώς το

r μηδενίζεται και δεν είναι εφικτός ο υπολογισμός της τιμής του

ολοκληρώματος από τη σχέση (4.18)

Η ακτίνα r υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση που προκύπτει αν στη

σχέση (4.19 αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (2.45) και (2.48)

rl j( )ξ ξ=2

(4.20)

Ο υπολογισμός τώρα του ολοκληρώματος μπορεί να γίνει με απλοποίηση

της ολοκληρωτέας συνάρτησης, δηλαδή

vFn

dsl

r F djn

j

∂∂ π

ξ ξ ξ=−∫∫ 4 1

1ln ( ) ( )

Γ

= − +−− ∫∫

lF F r d

lF r dj

n n ij

n i4 4 1

1

1

1

πξ ξ ξ ξ

πξ ξ ξ[ ( ) ( )] ln ( ) ( ) ln ( )

= +I I1 2 (4.21)


62

όπου ξi =0.

Το πρώτο ολοκλήρωμα της σχέσεως (4.21) είναι ομαλό όπως μπορεί

πολύ εύκολα να αποδειχθεί με τον κανόνα του L’Hospital και μπορεί να

υπολογισθεί με συνήθη ολοκλήρωση Gauss .Επειδή η μεταβολή της

συνάρτησης δεν παραμένει ομαλή σε όλο το μήκος του στοιχείου j αλλά

παρουσιάζει μία ανωμαλία στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος η

ολοκλήρωση Gauss γίνεται στα επιμέρους διαστήματα [ , ]02l j και [ , ]

llj

j2.

To δεύτερο ολοκλήρωμα παρουσιάζει λογαριθμική ανωμαλία, αλλά ο

υπολογισμός του γίνεται αναλυτικά ως εξής

I r dl

dj2 1

1

1

1

2= =

−− ∫∫ ln ( ) ln[ ]ξ ξ ξ ξ

= ⋅ −22

1[ln( ) ]l j (4.22)

(ii) Ολοκλήρωμα Vi


Fvn

Fr

ds Fr

ldj

jj

∂∂ π

φπ

φ ξξ

ξ= =−∫∫∫

12

12 21

1cos (cos )( )( )ΓΓ

(4.23)

όπου

cosφ∂∂

ξ η= =

−+

−rn

xr

ny

rnx y (4.24)

που με τη βοήθεια των σχέσεων (2.45) και (2.48) γίνεται

(cos )( )( )

( )( )

( )φ ξ

ξξ

ξξ

=−

+−x x

rn

y yr

nix

iy (4.25)


63

άρα η σχέση (4.25) με τη βοήθεια της σχέσης (4.23) γίνεται

Fvn

dsl F

rx x n y y n wj

kk i x k i y

k

n

kj

∂∂ π ξ

ξ ξ= − + −=∑∫ 4 2

1 ( )[ ( ) ] [ ( ) ]

Γ (4.26)

όπου το r k( )ξ δίνεται από τη σχέση (4.19)


Σ’ αυτή την περίπτωση το στοιχείο i συμπίπτει με το στοιχείο j . Το r

είναι συγγραμμικό με το στοιχείο, επομένως φ π= / 2 .Άρα

cosφ = 0

και σύμφωνα με τη σχέση (4.23) έχω

Fvn

dsj

∂∂

=∫ 0Γ

(4.27)


Σε πολλές περιπτώσεις το πεδιακό ολοκλήρωμα της σχέσης (4.15) δεν

προσφέρεται να μετατραπεί σε συνοριακό με τις μεθόδους που αναπτύχθηκαν

παραπάνω, τότε ο αριθμητικός του υπολογισμός είναι αναπόφευκτος. Τούτο

επιτυγχάνεται με διαχωρισμό του χωρίου Ω σε Μ στοιχεία, π.χ.

ορθογώνια και αριθμητικό υπολογισμό του ολοκληρώματος σε κάθε στοιχείο.

(Κατσικαδέλης,1996)

Αν στη σχέση (4.15) αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (4.7b) και (4.12) τότε

έχουμε


64

vfd r G y G x dx yΩ ΩΩ Ω∫ ∫= −

12π

ln ( ) (4.28)

ο διαχωρισμός του χωρίου γίνεται με ορθογωνικά στοιχεία διαστάσεων da db,

άρα η σχέση (4.28) γίνεται

vfd r G y G x dadbi j x j j y j jj

M

i

N

ΩΩ∫ ∑∑= −

=−

12 11π

ln [( ) ( ) ], (4.29)

όπου N ο αριθμός των διαχωρισμών του συνόρου, Μ ο αριθμός των

στοιχείων που διαχωρίζεται το χωρίο και

r x x y yi j i j i j,/[( ) ( ) ]= − + −2 2 1 2 (4.30)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΕΨΗΣ MH ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΡΑΒΔΩΝ 5.1 Εισαγωγή

Στο τέταρτο κεφάλαιο περιγράφηκε το φαινόμενο της στρέψης σε μη κυκλικές

ράβδους από μη ομογενές υλικό. Σ’ αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιαστεί ο

κώδικας που γράφηκε για την υπολογιστική επίλυση του συγκεκριμένου

φαινομένου, σε γλώσσα FORTRAN , καθώς και η εφαρμογή του.


προβλήματος της στρέψης μη ομογενών ράβδων

χρησιμοποιώντας σταθερά στοιχεία (TORNHOM)

5.2.1 Η δομή του προγράμματος

Το πρόγραμμα TORNHOM γράφηκε σε γλώσσα FORTRAN για τη επίλυση

του συγκεκριμένου προβλήματος συνοριακών τιμών που διέπεται από την

εξίσωση Poisson. Το πρόγραμμα χρησιμοποιεί σταθερά στοιχεία για την

προσέγγιση των συνοριακών ολοκληρωμάτων.


υποπρογράμματα

Κεφάλαιο. 5 Υπολογιστική επίλυση της στρέψης μη ομογενών ράβδων

66

Αποτελεί προσαρμογή του προγράμματος (TORSCON)

(Κατσικαδέλης,1996), για στρέψη ομογενών ράβδων, επιλύνοντας το ίδιο

πρόβλημα για μη ομογενείς ράβδους.


Το κύριο πρόγραμμα καθορίζει τις μέγιστες διαστάσεις των μητρώων και

ανοίγει δύο αρχεία. Το αρχείο το οποίο περιέχει τα δεδομένα και το αρχείο στο

οποίο θα γραφούν τα αποτελέσματα.



INPUT -Το υποπρόγραμμα αυτό διαβάζει τα δεδομένα

GMATR -Το υποπρόγραμμα αυτό σχηματίζει το μητρώο [ ]G

HMATR -Το υποπρόγραμμα αυτό σχηματίζει το μητρώο [ ]H

COMPVFS -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει το πεδιακό ολοκλήρωμα

που εμφανίζεται στην εξίσωση (4.14)

ABMATR -Το υποπρόγραμμα αυτό αναδιατάσσει τα μητρώα [ ]H και [ ]G



SOLVEQ -Το υποπρόγραμμα αυτό λύνει το σύστημα των γραμμικών


REORDER -Το υποπρόγραμμα αυτό αναδιατάσσει τα μητρώα των


UINTER -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει τις τιμές του u στα


TORSTIF -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει την στρεπτική ακαμψία της


TORSTRES -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει την τιμή της τάσεως στα

κομβικά σημεία του συνόρου της διατομής


67

Επίσης στο τέλος του προγράμματος υπάρχουν τα υποπρογράμματα

GG -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει την τιμή του G

GXY - Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει τις τιμές των ∂ ∂ ∂ ∂G x G y/ , /

FG1 -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει την τιμή του G1

FG2 -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει την τιμή του G 2

5.2.2. Το πρόγραμμα TORNHOM



68

C=================================================================== C PROGRAM TORNHOMO C C This program solves the TORSION problem for non-homogeneous C material a Neumann problem for the Poisson equation using C the boundary element method with (CON)stant C boundary elements C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) CHARACTER*15 INPUTFILE,OUTPUTFILE C C Set the maximum dimensions C PARAMETER (N=[Put the value here]) PARAMETER (IN=[Put the value here]) C C N= Number of boundary elements equal to number of boundary C nodes C IN= Number of internal points where the function u is calculated C DIMENSION INDEX(N) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XM(N),YM(N),G(N,N),H(N,N),UB(N) DIMENSION A(N,N),UNB(N),XIN(IN+1),YIN(IN+1),UIN(IN+1),SL(N),TTZ(N) DIMENSION VF(N),X(10000),Y(10000) C C Read the names and open the input and output files C WRITE (*,'(A)')' Name of the INPUTFILE (max.15 characters)' READ (*,'(A)') INPUTFILE WRITE (*,'(A)')' Name of the OUTPUTFILE (max.15 characters)' READ (*,'(A)') OUTPUTFILE OPEN (1, FILE=INPUTFILE) OPEN (2, FILE=OUTPUTFILE) C C Read data from INPUTFILE C CALL INPUT(XL,YL,XIN,YIN,INDEX,UB,N,IN) C C Compute the G matrix C CALL GMATR(XL,YL,XM,YM,G,N) C C Compute the H matrix C CALL HMATR(XL,YL,XM,YM,H,N) C

C Compute the integral vfdΩΩ∫

C CALL COMPVFS(XM,YM,X,Y,VF,N) C C Form the system of equations AX=B C CALL ABMATR(G,H,A,UNB,UB,INDEX,N,VF) C C Solve the system of equations C CALL SOLVEQ(A,UNB,N,KS) C C Form the vectors U and UN of all the boundary values C CALL REORDER(UB,UNB,INDEX,N) C


69

C Compute the co-ordinates of the weight center of the C cross-section C CALL WCENTER(XL,YL,N,XWC,YWC) C C Compute the values of U at the internal points C CALL UINTER(XL,YL,XIN,YIN,X,Y,UB,UNB,UIN,N,IN,XWC,YWC) C C Compute the torsion constant D C CALL TORSTIF(XL,YL,N,UB,D) C C Compute the boundary stress Ttz C CALL TORSTRES(XL,YL,XM,YM,UB,TTZ,SL,N) C C Print the results in the OUTPUTFILE C CALL OUTPUT (XM,YM,UB,UNB,XIN,YIN,UIN,D,TTZ,N,IN) C C Close input and output files C CLOSE(1) CLOSE(2) STOP END C C C==================================================================== C SUBROUTINE INPUT (XL,YL,XIN,YIN,INDEX,UB,N,IN) C C C This subroutine reads the input data from the input file C and writes them in the output file C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) CHARACTER*80 NAME,TITLE DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XIN(IN),YIN(IN),INDEX(N),UB(N) C WRITE(2,100) 100 FORMAT(' ',79('*')) C C Read user's name C READ(1,'(A)')NAME C WRITE(2,'(A)')NAME C C Read the title of the program C READ(1,'(A)')TITLE C WRITE(2,'(A)')TITLE C WRITE(2,200)N,IN 200 FORMAT(//'BASIC PARAMETERS'//2X,'NUMBER OF BOUNDARY ELEMENTS=' 1,I3/2X,'NUMBER OF INTERNAL POINTS WHERE THE FUNCTION IS CALCULATED 1=',I3) C C Read the coordinates of the extreme points of the boundary elements XL,YL C READ(1,*) (XL(I),YL(I),I=1,N)


70

C C Write the coordinates in the output file C WRITE(2,300) 300 FORMAT(//2X,'COORDINATES OF THE EXTREME POINTS OF THE BOUNDARY ELE 1MENTS',//2X,'POINT',9X,'XL',15X,'YL') DO 20 I=1,N 20 WRITE(2,400) I,XL(I),YL(I) 400 FORMAT(2X,I3,2(3X,E14.5)) C C Compute the boundary values of Un and store in UB(I) (I=1,N-1),UB(N)=0. C PI=ACOS(-1.) DO 10 I=1,N-1 DX=XL(I+1)-XL(I) DY=YL(I+1)-YL(I) ANGLE=ATAN2(DY,DX)-PI/2. XM=(XL(I)+XL(I+1))/2. YM=(YL(I)+YL(I+1))/2. FNX=COS(ANGLE) FNY=SIN(ANGLE) CALL GG (XM,YM,GK) UB(I)=GK*(YM*FNX-XM*FNY) C WRITE (2,*) GK,(YM*FNX-XM*FNY) 10 INDEX(I)=1 UB(N)=0. INDEX(N)=0 C C Write the boundary conditions in the output file C WRITE(2,500) 500 FORMAT(//2X,'BOUNDARY CONDITIONS'//2X,'NODE',6X,'INDEX', 1 7X,'PRESCRIBED VALUE') DO 30 I=1,N 30 WRITE(2,600) I,INDEX(I),UB(I) 600 FORMAT (2X,I3,9X,I1,8X,E14.5) C C Read the coordinates of the internal points C READ(1,*) (XIN(I),YIN(I),I=1,IN) RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE GMATR (XL,YL,XM,YM,G,N) C C This subroutine computes the elements of the G matrix C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XM(N),YM(N) DIMENSION G(N,N) C C Compute the nodal coordinates and store them in the arrays XM C and YM C XL(N+1)=XL(1) YL(N+1)=YL(1) DO 10 I=1,N XM(I)=(XL(I)+XL(I+1))/2. 10 YM(I)=(YL(I)+YL(I+1))/2. C


71

C Compute the elements of matrix G C DO 20 I=1,N DO 20 J=1,N JP1=J+1 IF(I.NE.J)THEN CALL RLINTC(XM(I),YM(I),XL(J),YL(J),XL(JP1),YL(JP1),RESULT) G(I,J)=RESULT ELSEIF(I.EQ.J)THEN CALL SLINTC(XL(J),YL(J),XL(JP1),YL(JP1),RESULT) G(I,J)=RESULT ENDIF 20 CONTINUE RETURN END C C C================================================================ C SUBROUTINE RLINTC(X0,Y0,X1,Y1,X2,Y2,RESULT) C C C This subroutine computes the off-diagonal elements of the C matrix G C C RA= The distance of the point O from the Gauss integration point C on the boundary element C C WG= The weights of the Gauss integration C C XI= The coordinates of the Gauss integration points in the C interval [-1,1] C C XC,YC= The global coordinates of the Gauss integration points C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XC(4),YC(4),XI(4),WG(4) DATA XI/-0.86113631,-0.33998104,0.33998104,0.86113631/ DATA WG/0.34785485,0.65214515,0.65214515,0.34785485/ PI=ACOS(-1.) AX=(X2-X1)/2. AY=(Y2-Y1)/2. BX=(X2+X1)/2. BY=(Y2+Y1)/2. C C Compute the line integral C RESULT=0. C DO 30 I=1,4 XC(I)=AX*XI(I)+BX YC(I)=AY*XI(I)+BY RA=SQRT((XC(I)-X0)**2+(YC(I)-Y0)**2) 30 RESULT=RESULT+LOG(RA)*WG(I) SL=2.*SQRT(AX**2+AY**2) RESULT=RESULT*SL/(4.*PI) RETURN END C C C================================================================= C SUBROUTINE SLINTC(X1,Y1,X2,Y2,RESULT) C


72

C C This subroutines computes the diagonal elements of the matrix G C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) PI=ACOS(-1.) AX=(X2-X1)/2. AY=(Y2-Y1)/2. SL=SQRT(AX**2+AY**2) RESULT=SL*(LOG(SL)-1.)/PI RETURN END C C C================================================================= C SUBROUTINE HMATR(XL,YL,XM,YM,H,N) C C C This subroutine computes the element of the H matrix C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XM(N),YM(N) DIMENSION H(N,N) C PI=ACOS(-1.) C XL(N+1)=XL(1) YL(N+1)=YL(1) DO 10 I=1,N XM(I)=(XL(I)+XL(I+1))/2. 10 YM(I)=(YL(I)+YL(I+1))/2. C C Compute the elements of H matrix C DO 20 I=1,N DO 20 J=1,N IF (I.NE.J) THEN CALL DALPHA (XM(I),YM(I),XL(J),YL(J),XL(J+1),YL(J+1),RESULT) H(I,J)=RESULT ELSEIF (I.EQ.J) THEN H(I,J)=-0.5 ENDIF 20 CONTINUE RETURN END C C C================================================================= C SUBROUTINE DALPHA(X0,Y0,X1,Y1,X2,Y2,RESULT) C C This subroutine computes the off diagonal elements of the C matrix H C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) PI=ACOS(-1.) DY1=Y1-Y0 DX1=X1-X0 DY2=Y2-Y0 DX2=X2-X0 DL1=SQRT(DX1**2+DY1**2) COS1=DX1/DL1 SIN1=DY1/DL1 DX2R=DX2*COS1+DY2*SIN1


73

DY2R=-DX2*SIN1+DY2*COS1 DA=ATAN2(DY2R,DX2R) RESULT=DA/(2.*PI) RETURN END C C================================================================ C C SUBROUTINE COMPVFS(XM,YM,X,Y,VF,N) C C This subroutine computes the integral vfdΩ C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XM(N),YM(N),VF(N) DIMENSION X(10000),Y(10000) C A=4. B=3. DA=A/100 DB=B/100 C DO 9 I=1,100 DO 9 J=1,100 K=K+1 X(K)=DA/2.+(J-1)*DA Y(K)=DB/2.+(I-1)*DB 9 CONTINUE C DO 10 I=1,N CALL COMPVF (XM(I),YM(I),X,Y,F) VF(I)=F WRITE (2,*) VF(I) C 10 CONTINUE C RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE COMPVF (X0,Y0,X,Y,F) C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION X(10000),Y(10000) C PI=ACOS(-1.) DA=4./100 DB=3./100 F=0. DO 10 I=1,10000 RA=SQRT((X0-X(I))**2+(Y0-Y(I))**2) C CALL GXY (X(I),Y(I),GGX,GGY) C 10 F=F+1./(2*PI)*LOG(RA)*(GGX*Y(I)-GGY*X(I))*DA*DB C RETURN END C C C================================================================== C


74

SUBROUTINE ABMATR (G,H,A,UNB,UB,INDEX,N,VF) C C C This subroutine rearranges the matrices G and H and produces the C matrices A and B=UNB C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION G(N,N),H(N,N),A(N,N),UNB(N),UB(N),INDEX(N),VF(N) C C Reorder the columns the system of equations and store them in A C DO 40 J=1,N IF(INDEX(J).EQ.0) THEN DO 20 I=1,N 20 A(I,J)=-G(I,J) ELSEIF(INDEX(J).NE.0) THEN DO 30 I=1,N 30 A(I,J)=H(I,J) END IF 40 CONTINUE C C Compute the right hand side vector and store in UNB C DO 50 I=1,N UNB(I)=0. DO 60 J=1,N IF(INDEX(J).EQ.0) THEN UNB(I)=UNB(I)-H(I,J)*UB(J) ELSEIF(INDEX(J).NE.0)THEN UNB(I)=UNB(I)+G(I,J)*UB(J) ENDIF 60 CONTINUE 50 CONTINUE DO 70 I=1,N 70 UNB(I)=UNB(I)-VF(I) RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE SOLVEQ(A,UNB,N,KS) C C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION A(N,N),UNB(N) CALL SIMQ(A,UNB,N,KS) IF(KS.EQ.0)THEN WRITE(2,150) 150 FORMAT('',79('*')//'The system has been solved regularly'//) ELSEIF(KS.EQ.1)THEN WRITE(2,170) 170 FORMAT('',79('*')//1X'The system is singular'//) ENDIF RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE SIMQ(A,B,N,KS) C C C This subroutine solves a system of linear equations using


75

C the gauss elimination method C C A : One-dimensional array which contains the occasionally row of C the two-dimensional array of the coefficients of the unknowns C B : One-dimensional array which contains the independent coefficients C N : An integer which contains the number of the unknowns C KS : An integer which takes the values : 0,1 C If KS = 0 the system has been solved regularly C If KS = 1 the system is singular C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION A(1),B(1) TOL=0.0 KS=0 JJ=-N DO 65 J=1,N JY=J+1 JJ=JJ+N+1 BIGA=0 IT=JJ-J DO 30 I=J,N IJ=IT+I IF(ABS(BIGA)-ABS(A(IJ))) 20,30,30 20 BIGA=A(IJ) IMAX=I 30 CONTINUE IF(ABS(BIGA)-TOL) 35,35,40 35 KS=1 RETURN 40 I1=J+N*(J-2) IT=IMAX-J DO 50 K=J,N I1=I1+N I2=I1+IT SAVE=A(I1) A(I1)=A(I2) A(I2)=SAVE 50 A(I1)=A(I1)/BIGA SAVE=B(IMAX) B(IMAX)=B(J) B(J)=SAVE/BIGA IF(J-N) 55,70,55 55 IQS=N*(J-1) DO 65 IX=JY,N IXJ=IQS+IX IT=J-IX DO 60 JX=JY,N IXJX=N*(JX-1)+IX JJX=IXJX+IT 60 A(IXJX)=A(IXJX)-(A(IXJ)*A(JJX)) 65 B(IX)=B(IX)-(B(J)*A(IXJ)) 70 NY=N-1 IT=N*N DO 80 J=1,NY IA=IT-J IB=N-J IC=N DO 80 K=1,J B(IB)=B(IB)-A(IA)*B(IC) IA=IA-N 80 IC=IC-1 RETURN END C


76

C================================================================== C SUBROUTINE REORDER(UB,UNB,INDEX,N) C C This subroutine rearranges the arrays UB and UNB in such a way C that all values of the function u are stored in UB while all C values of the normal derivative un are stored in UNB C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION UB(N),UNB(N),INDEX(N) C DO 20 I=1,N IF(INDEX(I))20,20,10 10 CH=UB(I) UB(I)=UNB(I) UNB(I)=CH 20 CONTINUE RETURN END C C================================================================= C SUBROUTINE WCENTER (XL,YL,N,XWC,YWC) C C C This subroutine computes the coordinates of the weight C center of a plane area C IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1) DIMENSION XC(4),YC(4),XI(4),WG(4) C C N= Number of boundary elements C XL,YL= Co-ordinates of the extreme points of the C boundary elements C XWC,YWC= Co-ordinates of the weight center C WG= Weights of the Gauss integration C XI= Co-ordinates of the Gauss integration points C in the interval [-1,1] C XC,YC= Global co-ordinates of the gauss integration points C DATA XI/-0.86113631,-0.33998104,0.33998104,0.86113631/ DATA WG/0.34785485,0.65214515,0.65214515,0.34785485/ PI=ACOS(-1.) XL(N+1)=XL(1) YL(N+1)=YL(1) C AREA=0. SX=0. SY=0. C DO 10 I=1,N AX=(XL(I+1)-XL(I))/2. AY=(YL(I+1)-YL(I))/2. BX=(XL(I+1)+XL(I))/2. BY=(YL(I+1)+YL(I))/2. SL=SQRT(AX**2+AY**2) ANGLE=ATAN2(AY,AX)-PI/2. TERMA=0. TERMSX=0. TERMSY=0. DO 40 K=1,4 XC(K)=AX*XI(K)+BX


77

YC(K)=AY*XI(K)+BY TERMA=TERMA+0.5*(XC(K)*COS(ANGLE)+YC(K)*SIN(ANGLE))*WG(K)*SL TERMSX=TERMSX+0.5*XC(K)**2*COS(ANGLE)*WG(K)*SL TERMSY=TERMSY+0.5*YC(K)**2*SIN(ANGLE)*WG(K)*SL 40 CONTINUE AREA=AREA+TERMA SX=SX+TERMSX SY=SY+TERMSY 10 CONTINUE C C Co-ordinates of the weight center C XWC=SX/AREA YWC=SY/AREA RETURN END C C================================================================== C SUBROUTINE UINTER(XL,YL,XIN,YIN,X,Y,UB,UNB,UIN,N,IN,XWC,YWC) C C C This subroutine computes the values of u at the internal points C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XIN(IN+1),YIN(IN+1) DIMENSION UB(N),UNB(N),UIN(IN+1) DIMENSION X(10000),Y(10000) C XIN(IN+1)=XWC YIN(IN+1)=YWC C C Compute the values of u at the internal points C DO 10 K=1,IN+1 UIN(K)=0. DO 20 J=1,N JP1=J+1 CALL DALPHA(XIN(K),YIN(K),XL(J),YL(J),XL(JP1),YL(JP1),RESH) CALL RLINTC(XIN(K),YIN(K),XL(J),YL(J),XL(JP1),YL(JP1),RESG) 20 UIN(K)=UIN(K)+RESH*UB(J)-RESG*UNB(J) 10 CONTINUE DO 9 M=1,IN+1 CALL COMPVF (XIN(M),YIN(M),X,Y,F) 9 UIN(M)=UIN(M)+F DO 30 K=1,N UB(K)=UB(K)-UIN(IN+1) 30 CONTINUE DO 40 K=1,IN+1 UIN(K)=UIN(K)-UIN(IN+1) 40 CONTINUE RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE TORSTIF (XL,YL,N,UB,D) C C This subroutine computes the torsion constant C IMPLICIT REAL*8 (A-H, O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),UB(N) DIMENSION XC(4),YC(4),XI(4),WG(4)


78

C C N= Number of boundary elements C XL, YL= Co-ordinates of the extreme points of the boundary elements C D=Torsion constant C WG= Weights of the Gauss integration C XI= Co-ordinates of the Gauss integration points in the C interval [-1, 1] C XC,YC= Global co-ordinates of the gauss integration points C DATA XI/-0.86113631,-0.33998104,0.33998104,0.86113631/ DATA WG/0.34785485,0.65214515,0.65214515,0.34785485/ PI=ACOS(-1.) XL(N+1)=XL(1) YL(N+1)=YL(1) D=0. C DO 10 I=1,N AX=(XL(I+1)-XL(I))/2. AY=(YL(I+1)-YL(I))/2. BX=(XL(I+1)+XL(I))/2. BY=(YL(I+1)+YL(I))/2. SL=SQRT(AX**2+AY**2) ANGLE=ATAN2(AY,AX)-PI/2. C TERM=0. C DO 40 K=1,4 XC(K)=AX*XI(K)+BX YC(K)=AY*XI(K)+BY C CALL FG1(XC(K),YC(K),G1) CALL FG2(XC(K),YC(K),G2) C TERM=TERM+((G1*YC(K)**2-YC(K)*UB(I))*COS(ANGLE)+(XC(K)**2 1*G2+XC(K)*UB(I))*SIN(ANGLE))*WG(K)*SL 40 CONTINUE D=D+TERM 10 CONTINUE RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE TORSTRES(XL,YL,XM,YM,UB,TTZ,SL,N) C C C This subroutine computes the boundary shear stress Ttz in C tangential direction C C TTZ= Shear stresses at the boundary nodal points c SL= Distances between the boundary nodal points C IMPLICIT REAL*8 (A-H, O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XM(N),YM(N) DIMENSION TTZ(N),SL(N),UB(N) C XL(N+1)=XL(1) YL(N+1)=YL(1) PI=ACOS(-1.) DO 10 I=1,N AX=(XL(I+1)-XL(I))/2. AY=(YL(I+1)-YL(I))/2. SL(I)=SQRT(AX**2+AY**2)


79

10 CONTINUE C DO 20 I=1,N AX=(XL(I+1)-XL(I))/2. AY=(YL(I+1)-YL(I))/2 ANGLE=ATAN2(AY,AX)-PI/2. FNX=COS(ANGLE) FNY=SIN(ANGLE) IF (I.EQ.1) THEN S1=SL(N)+SL(1) S2=SL(I)+SL(I+1) B1=UB(N) B2=UB(1) B3=UB(2) ELSE IF (I.EQ.N) THEN S1=SL(N-1)+SL(N) S2=SL(N)+SL(1) B1=UB(N-1) B2=UB(N) B3=UB(1) ELSE S1=SL(I-1)+SL(I) S2=SL(I)+SL(I+1) B1=UB(I-1) B2=UB(I) B3=UB(I+1) ENDIF UBT=(S1**2*B3-S2**2*B1+(S2**2-S1**2)*B2) 1 /(S1*S2*(S1+S2)) C CALL GG (XM(I),YM(I),GK) C TTZ(I)=UBT+GK*XM(I)*COS(ANGLE)+GK*YM(I)*SIN(ANGLE) C 20 CONTINUE RETURN END C C================================================================== C C SUBROUTINE OUTPUT(XM,YM,UB,UNB,XIN,YIN,UIN,D,TTZ,N,IN) C C C This subroutine prints the results in the output file. C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XM(N),YM(N),UB(N),UNB(N) DIMENSION XIN(IN+1),YIN(IN+1),UIN(IN+1),TTZ(N) C WRITE(2,100) 100 FORMAT('',79('*')//1X,'RESULTS'//2X,'BOUNDARY NODES'// 1 11X,'X',15X,'Y',15X,'U',15X,'Un'/) DO 10 I=1,N 10 WRITE(2,200) XM(I),YM(I),UB(I),UNB(I) 200 FORMAT(4(2X,E14.5)) C WRITE (2,300) 300 FORMAT(//,2X,'INTERNAL POINTS'//10X,'X',15X,'Y',11X, 1 'SOLUTION U'/) DO 20 K=1,IN+1 20 WRITE(2,400) XIN(K),YIN(K),UIN(K) 400 FORMAT(3(2X,E14.5))


80

WRITE(2,600) D 600 FORMAT('',79('*')//2X,'TORSION CONSTANT D=',E14.5/) WRITE(2,700) 700 FORMAT('',79('*')//2X,'BOUNDARY STRESS Ttz'// 1 11X,'X',15X,'Y',15X,'Ttz'/) DO 30 I=1,N 30 WRITE(2,800) XM(I),YM(I),TTZ(I) 800 FORMAT(3(2X,E14.5)) WRITE(2,500) 500 FORMAT(' ',79('*')) RETURN END C C C================================================================== C

SUBROUTINE GG (X1,Y1,GK) C

C This subroutine computes the value of G C

IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) C GK=[Put the expression here] C RETURN

END C C C=================================================================== C

SUBROUTINE GXY (X1,Y1,GGX,GGY) C

C This subroutine computes the values of ∂ ∂ ∂ ∂G x G y/ , / C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) C GGX=[Put the expression here]

GGY=[Put the expression here] C RETURN END C C C=================================================================== C SUBROUTINE FG1 (X1,Y1,G1) C

C This subroutine computes the value of G1 C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) C G1=[Put the expression here] C RETURN END C C C=================================================================== C SUBROUTINE FG2 (X1,Y1,G2) C


81

C This subroutine computes the value of G2 C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) C G2=[Put the expression here] C RETURN END C C C=================================================================== C


82

5.3. Εφαρμογή Η εφαρμογή αυτή έχει σκοπό να δείξει τη χρήση του προγράμματος

TORNHOM για την επίλυση του προβλήματος της στρέψης σε μία ράβδο

ορθογωνικής διατομής από μη ομογενές υλικό.

όπου α = 4.0 και β = 3.0

Το μέτρο διάτμησης του υλικού δίνεται από την παρακάτω συνάρτηση

G kx y= +1 2 2 (5.1)

όπου k σταθερά.

Μετατροπή σε συνοριακό

Η σχέση (4.16) με τη βοήθεια της παραπάνω σχέσης και της (4.7b) γίνεται

∇ = +2 2 22F xyk x y( ) (5.2)

Για τον υπολογισμό του πεδιακού ολοκληρώματος της σχέσης (4.17) είναι

απαραίτητη η επίλυση της εξισώσεως (5.2) ως προς F .Για να επιτευχθεί

Α

y

x

B

β

α


83

αυτό πρέπει να γίνει μετασχηματισμός της εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο.

Θεωρούμε τον μετασχηματισμό (Κατσικαδέλης,1996)

z x iy= +

(5.3) z x iy= −

όπου i 2 1= −

Εύκολα αποδεικνύεται ότι η εξίσωση (5.2) μετασχηματίζεται στην

42

22 2∂

∂ ∂F

z zk

i z z zz= −( ) (5.4)

από την οποία με δύο διαδοχικές ολοκληρώσεις προκύπτει η F z z( , ) .Στη

συνέχεια χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό (5.3) ,λαμβάνουμε την

F x y( , ) που δίνεται από την παρακάτω σχέση

Fk

xy x y= +16

2 2( ) (5.5)

Οι παράγωγοι της F που εμφανίζονται στη σχέση (4.17) υπολογίζονται

εύκολα

∂∂Fx

ky x y x y= + +

165 64 4 2 2( )

(5.6)

∂∂Fy

kx x y x y= + +

165 64 4 2 2( )

Απευθείας υπολογισμός


84

Σύμφωνα με τη σχέση (4.29) πρέπει να υπολογισθούν οι μερικές παράγωγοι

της συνάρτησης του μέτρου διάτμησης ως προς x και ως προς y

αντίστοιχα.

∂∂Gx

kxy=2 2

(5.7)

∂∂Gy

kyx=2 2

Επίσης τα αόριστα ολοκληρώματα της G που εμφανίζονται στη σχέση (4.8)

βρίσκεται ότι είναι

G x kyx

12

3

3= +

(5.8)

G y kxy

22

3

3= +


πρόγραμμα για διάφορους διαχωρισμούς του συνόρου έχοντας επιλέξει για

την σταθερά την τιμή k=0.1 και ο υπολογισμός του πεδιακού ολοκληρώματος

γίνεται απευθείας.

Πίνακας 5.1


85


50 100 150 200 400 600

Τιμές I t

96.700 96.695 96.689 96.685 96.672 96.668

Τιμή τ θtz G/ 0 στο σημείο Α

18.181 18.391 18.425 18.432 18.441 18.442

Τιμή τ θtz G/ 0 στο σημείο Β

17.741 17.777 17.780 17.782 17.784 17.784



Τα αποτελέσματα του προγράμματος μπορούν να επαληθευθούν εύκολα αν

δώσουμε στην σταθερά k μία πολύ μικρή τιμή. Οι τιμές που λαμβάνουμε

είναι ίδιες με αυτές που προκύπτουν για ράβδο της ίδιας διατομής από

ομογενές υλικό.

Στον παρακάτω πίνακα παρατίθενται τα αποτελέσματα για διάφορες τιμές της

σταθεράς k και για διαχωρισμό του συνόρου με 200 συνοριακά σημεία.

Παρατηρούμε ότι η σύγκλιση με την ακριβή μέθοδο επέρχεται για τιμή του k

ίση με 10 7− .Τα αποτελέσματα της ακριβής μεθόδου έχουν ληφθεί από το

πρόγραμμα TORSCON που επιλύει το πρόβλημα της στρέψης σε ομογενείς

ράβδους, για k=0.

Πίνακας 5.2


86

Πλήθος συνοριακών σημείων 200

Τιμές k

10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 0.

I t 20.288 19.594 19.524 19.517 19.516 19.516

( )τθ

tzAG0

2.3169 2.1704 2.1558 2.1543 2.1542 2.1541

( )τθ

tzBG0

2.5625 2.4241 2.4103 2.4089 2.4087 2.4087

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6

ΣΤΡEΨΗ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΡΑΒΔΩΝ 6.1. Εισαγωγή

Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται το φαινόμενο της στρέψης σε μη κυκλικές

διατομές ράβδων, από μη ομογενές ανισότροπο υλικό. Στην περίπτωση αυτή

οι ελαστικές σταθερές στον γενικευμένο νόμο του Hooke ,που ισχύει για το

γενικώς ανισότροπο υλικό, μεταβάλλονται σε κάθε σημείο της διατομής. Είναι

μία συνάρτηση που εξαρτάται από τις συντεταγμένες ( , )x y του εκάστοτε

σημείου της διατομής.

Παρακάτω θα διατυπωθούν οι μαθηματικές εξισώσεις που περιγράφουν το

φαινόμενο και ο τρόπος εφαρμογής της μεθόδου των συνοριακών στοιχείων.



Όπως και στην παράγραφο 4.2.1. θεωρούμε ράβδο τυχούσας διατομής, η

οποία υποβάλλεται σε στρέψη από ροπές M t που εφαρμόζονται στα άκρα

της.

Οι συνιστώσες της παραμορφώσεως δίνονται από τις σχέσεις (2.3) η οποία

με τη βοήθεια των σχέσεων (2.4) δίνουν τις αντίστοιχες συνιστώσες της

τάσεως

σ σ σ τx y z xy= = = = 0

Κεφάλαιο. 6 Στρέψη μη ομογενών ανισότροπων ράβδων

88

τθα

α∂φ∂

α∂φ∂xz x

yy

x= − − + ( ) ( )44 45

(6.1)

τθα

α∂φ∂

α∂φ∂yz x

yy

x= − − + + ( ) ( )45 55

όπου

α αα αα α

α α α= = = −det[ ] 55 45

45 4444 55 45

2

Αφού οι ελαστικές σταθερές α α α44 45 55, , είναι συναρτήσεις των

συντεταγμένων, ( , )x y του εκάστοτε σημείου της διατομής, μπορούμε να

θέσουμε

α 44

aA=

αα

55 = B (6.2)

α 45

aC=

Οι σχέσεις (6.1) με τη βοήθεια των ανωτέρω σχέσεων γίνονται

τ θ φ θ φxz x yA y C x= − − +( ) ( )

(6.3)

τ θ φ θ φyz x yC y B x= − − + +( ) ( )

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (6.3) στις εξισώσεις ισορροπίας (2.8)



89

∂τ∂

xz

z= 0

∂τ∂

yz

z= 0

( ) ( ) ( ) ( )A C B C Ay Cx Cy Bxx y x y x y x yφ φ φ φ− + − = + − + (6.4)

Οι συνιστώσες της τάσεως πρέπει να ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες

στην εξωτερική επιφάνεια της ράβδου. Λαμβάνοντας υπόψη τις εξισώσεις

(2.10) και (6.3) παρατηρούμε ότι οι δύο πρώτες συνοριακές συνθήκες

ικανοποιούνται ταυτοτικά ενώ η τρίτη δίνει

( ) ( ) ( ) ( )A C n B C n Ay Cx n Cy Bx nx y x y x y x yφ φ φ φ− + − = + − + (6.5)

Παρατηρώντας τις εξισώσεις (6.4) και (6.5) μπορούμε να θέσουμε

( )A Cx y xφ φ ψ− =

(6.6)

( )B Cy x yφ φ ψ− =

Οι εξισώσεις (6.4) και (6.5) γίνονται

∇ =2ψ f x y( , ) x y, ∈Ω

(6.7a)

ψ n g x y= ( , ) x y, ∈Γ

όπου

f x y Ay Cx Cy Bxx y( , ) ( ) ( )= + − +

(6.7b)


90

g x y Ay Cx n Cy Bx nx y( , ) ( ) ( )= + − +

Οι σχέσεις (6.7) επιτρέπουν τον προσδιορισμό της συναρτήσεως ψ

λύνοντας ένα πρόβλημα Neumann για την εξίσωση Poisson



M x y dt yz xz= −∫ ( )τ τ ΩΩ

Η παραπάνω σχέση με τη βοήθεια των σχέσεων (6.3) και (6.6) γίνεται

M x xB yC y yA xC d It y x t= + + − − − =∫θ ψ ψ θ[ ( ) ( )] ΩΩ

όπου

I x xB yC y yA xC dt y x= + + − − −∫ [ ( ) ( )]ψ ψ ΩΩ

Το παραπάνω πεδιακό ολοκλήρωμα με τη βοήθεια του θεωρήματος

αποκλίσεως του Gauss μετασχηματίζεται σε συνοριακό ολοκλήρωμα και

μπορεί να γραφεί ως εξής

I yC y A y xC x B x dt x y= + − + + +∫ [( ) ( ) ]12

1 22

1ψ ψ ΩΩ

= + − + + +∫ [( ) ( ) ]yC y A y n xC x B x n dsx y12

1 22

1ψ ψΓ

(6.8)

όπου


91

A Adx1 = ∫

B Bdy1 = ∫

(6.9)

C xCdx1 = ∫

C yCdy2 = ∫

είναι αόριστα ολοκληρώματα των συναρτήσεων A B C, , ως προς x ή ως

προς y ανάλογα.





η οποία με τη βοήθεια των σχέσεων (6.3) και (6.6) γίνεται

τ θ∂ψ∂tz x yt

Bx Cy n Ay Cx n= + + + +[ ( ) ( ) ] (6.10)

6.3. H εφαρμογή της BEM


παρακάτω προβλήματος συνοριακών τιμών

∇ = + − +2ψ ( ) ( )Ay Cx Cy Bxx y x y, ∈Ω


92

ψ n x yAy Cx n Cy Bx n= + − +( ) ( ) x y, ∈Γ

6.3.1 Η ολοκληρωτική παράσταση της λύσεως


u P vfd vun

uvn

ds( ) ( )= − −∫ ∫ΩΩ Γ

∂∂

∂∂

(6.11)

όπου v είναι η θεμελιώδης λύση της (6.7a).


Όπως έχει αποδειχθεί στην παράγραφο 2.2,(Κατσικαδέλης,1996) η

θεμελιώδης λύση δίνεται από τη σχέση

v r=1

2πln (6.12)

όπου

r P q= −

Η θεμελιώδης λύση είναι γνωστή στη βιβλιογραφία και ως συνάρτηση Green

ελευθέρου χώρου (free space Green’s function)


Όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφο η ολοκληρωτική παράσταση

της λύσεως δίνεται από τη σχέση (6.11).

Στη σχέση αυτή οι συναρτήσεις v και ∂∂vn

είναι γνωστές και δίδονται η

πρώτη από τη σχέση (4.12) ενώ η δεύτερη από την παρακάτω σχέση


93

∂∂ π

φvn r=

12

cos (6.13)

όπου

r P q= − , φ = γωνία ( , )r n [Bλ. Παράρτημα Α,(Κατσικαδέλης,1996)]

Με τον ίδιο τρόπο που ακολουθήθηκε στην παράγραφο (2.3.3.) η συνοριακή

ολοκληρωτική εξίσωση παίρνει τη μορφή

12

12

12

u p f rdun

r ur

ds( ) ln ( lncos

)= − −∫ ∫π π∂∂

φΩ

Ω Γ (6.14)

Η εξίσωση (4.14) επιτρέπει τον υπολογισμό των μεγεθών u και un στα

τμήματα του συνόρου Γ που είναι άγνωστα.


Για την αριθμητική επίλυση του πεδιακού ολοκληρώματος που εμφανίζεται

στην εξίσωση (6.14) ακολουθείται η διαδικασία που περιγράφεται στην

παράγραφο 4.4.1. του τετάρτου κεφαλαίου μετατρέποντάς το σε συνοριακό.


Αν στη σχέση (4.15) αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (6.7b) και (6.12) τότε

έχουμε

vfd r A C y B C x dx y y xΩ ΩΩ Ω∫ ∫= − − −

12π

ln [( ) ( ) ] (6.15)

ο διαχωρισμός του χωρίου γίνεται με ορθογωνικά στοιχεία διαστάσεων da db,

άρα η σχέση (4.28) γίνεται


94

vfd r A C y B C x dadbi j x y j j y x j jj

M

i

N

ΩΩ∫ ∑∑= − − −

=−

12 11π

ln [( ) ( ) ], (6.16)

όπου N ο αριθμός των διαχωρισμών του συνόρου, Μ ο αριθμός των

στοιχείων που διαχωρίζεται το χωρίο και το r δίνεται από την εξίσωση

(4.30)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΕΨΗΣ MH ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΡΑΒΔΩΝ 7.1 Εισαγωγή

Στο πέμπτο κεφάλαιο περιγράφηκε το φαινόμενο της στρέψης σε μη κυκλικές

ράβδους από μη ομογενές ανισότροπο υλικό. Σ’ αυτό το κεφάλαιο θα

παρουσιαστεί ο κώδικας που γράφηκε για την υπολογιστική επίλυση του

συγκεκριμένου φαινομένου, σε γλώσσα FORTRAN , καθώς και η εφαρμογή

του.


προβλήματος της στρέψης μη ομογενών ανισότροπων

ράβδων χρησιμοποιώντας σταθερά στοιχεία

(TORNHOMΑΝΙ)


Το πρόγραμμα TORNHOMΑΝI γράφηκε σε γλώσσα FORTRAN για τη

επίλυση του συγκεκριμένου προβλήματος συνοριακών τιμών που διέπεται

από την εξίσωση Poisson. Το πρόγραμμα χρησιμοποιεί σταθερά στοιχεία για

την προσέγγιση των συνοριακών ολοκληρωμάτων.

Κεφάλαιο. 7 Υπολογιστική επίλυση της στρέψης μή ομογενών ανισότροπων ράβδων

96


υποπρογράμματα

Αποτελεί προσαρμογή του προγράμματος (TORSCON)

,(Κατσικαδέλης,1996), για στρέψη ομογενών ράβδων, επιλύνοντας το ίδιο

πρόβλημα για μη ομογενείς ανισότροπες ράβδους.


Το κύριο πρόγραμμα καθορίζει τις μέγιστες διαστάσεις των μητρώων και

ανοίγει δύο αρχεία. Το αρχείο το οποίο περιέχει τα δεδομένα και το αρχείο στο

οποίο θα γραφούν τα αποτελέσματα.



INPUT -Το υποπρόγραμμα αυτό διαβάζει τα δεδομένα

GMATR -Το υποπρόγραμμα αυτό σχηματίζει το μητρώο [ ]G

HMATR -Το υποπρόγραμμα αυτό σχηματίζει το μητρώο [ ]H

COMPVFS -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει το πεδιακό ολοκλήρωμα

που εμφανίζεται στην εξίσωση (6.14)

ABMATR -Το υποπρόγραμμα αυτό αναδιατάσσει τα μητρώα [ ]H και [ ]G



SOLVEQ -Το υποπρόγραμμα αυτό λύνει το σύστημα των γραμμικών


REORDER -Το υποπρόγραμμα αυτό αναδιατάσσει τα μητρώα των


UINTER -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει τις τιμές του u στα


TORSTIF -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει την στρεπτική ακαμψία της



97

TORSTRES -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει την τιμή της τάσεως στα

κομβικά σημεία του συνόρου της διατομή

Επίσης στο τέλος του προγράμματος υπάρχουν τα υποπρογράμματα

GΑ -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει την τιμή των A B C, ,

GABC -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει την τιμή των

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂A x B y C x C y/ , / , / , /

FGΑ -Το υποπρόγραμμα αυτό υπολογίζει την τιμή των A B C C1 1 1 2, , ,

7.2.2. Το πρόγραμμα TORNHOMANI

Τα υποπρογράμματα που καλεί ο παρακάτω κώδικας είναι τα ίδια που

βρίσκονται στο πρόγραμμα TORΝΗΟΜ του πέμπτου κεφαλαίου και είναι τα

εξής

GMATR,HMATR,COMPVFS,ABMATR,SOLNEQ,REORDER,UINTER



98

C=================================================================== C PROGRAM TORNHOMANI C C C This program solves the TORSION problem for nonhomogeneous C anisotropic material as a Neumann problem for the Laplace C equation using the boundary element method with (CON)stant C boundary elements C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) CHARACTER*15 INPUTFILE,OUTPUTFILE C C Set the maximum dimensions C

PARAMETER (N=[Put the value here]) PARAMETER (IN=[Put the value here]) C C N= Number of boundary elements equal to number of boundary C nodes C IN= Number of internal points where the function u is calculated C DIMENSION INDEX(N) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XM(N),YM(N),G(N,N),H(N,N),UB(N) DIMENSION A(N,N),UNB(N),XIN(IN+1),YIN(IN+1),UIN(IN+1),SL(N),TTZ(N) DIMENSION VF(N),X(10000),Y(10000) C C Read the names and open the input and output files C WRITE (*,'(A)')' Name of the INPUTFILE (max.15 characters)' READ (*,'(A)') INPUTFILE WRITE (*,'(A)')' Name of the OUTPUTFILE (max.15 characters)' READ (*,'(A)') OUTPUTFILE OPEN (1, FILE=INPUTFILE) OPEN (2, FILE=OUTPUTFILE) C C Read data from INPUTFILE C CALL INPUT(XL,YL,XIN,YIN,INDEX,UB,N,IN) C C Compute the G matrix C CALL GMATR(XL,YL,XM,YM,G,N) C C Compute the H matrix C CALL HMATR(XL,YL,XM,YM,H,N) C

C Compute the integral vfdΩΩ∫

C CALL COMPVFS(XM,YM,X,Y,VF,N) C C Form the system of equations AX=B C CALL ABMATR(G,H,A,UNB,UB,INDEX,N,VF) C C Solve the system of equations C CALL SOLVEQ(A,UNB,N,KS) C C Form the vectors U and UN of all the boundary values C CALL REORDER(UB,UNB,INDEX,N)


99

C C Compute the co-ordinates of the weight center of the C cross-section C CALL WCENTER(XL,YL,N,XWC,YWC) C C Compute the values of U at the internal points C CALL UINTER(XL,YL,XIN,YIN,X,Y,UB,UNB,UIN,N,IN,XWC,YWC) C C Compute the torsion constant D C CALL TORSTIF(XL,YL,N,UB,D) C C Compute the boundary stress Ttz C CALL TORSTRESS(XL,YL,XM,YM,UB,TTZ,SL,N) C C Print the results in the OUTPUTFILE C CALL OUTPUT (XM,YM,UB,UNB,XIN,YIN,UIN,D,TTZ,N,IN) C C Close input and output files C CLOSE(1) CLOSE(2) STOP END C C C==================================================================== C SUBROUTINE INPUT (XL,YL,XIN,YIN,INDEX,UB,N,IN) C C C This subroutine reads the input data from the input file C and writes them in the output file C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) CHARACTER*80 NAME,TITLE DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XIN(IN),YIN(IN),INDEX(N),UB(N) C WRITE(2,100) 100 FORMAT(' ',79('*')) C C Read user's name C READ(1,'(A)')NAME C WRITE(2,'(A)')NAME C C Read the title of the program C READ(1,'(A)')TITLE C WRITE(2,'(A)')TITLE C WRITE(2,200)N,IN 200 FORMAT(//'BASIC PARAMETERS'//2X,'NUMBER OF BOUNDARY ELEMENTS=' 1,I3/2X,'NUMBER OF INTERNAL POINTS WHERE THE FUNCTION IS CALCULATED 1=',I3) C C Read the coordinates of the extreme points of the boundary elements XL,YL C


100

READ(1,*) (XL(I),YL(I),I=1,N) C C Write the coordinates in the output file C WRITE(2,300) 300 FORMAT(//2X,'COORDINATES OF THE EXTREME POINTS OF THE BOUNDARY ELE 1MENTS',//2X,'POINT',9X,'XL',15X,'YL') DO 20 I=1,N 20 WRITE(2,400) I,XL(I),YL(I) 400 FORMAT(2X,I3,2(3X,E14.5)) C C Compute the boundary values of Un and store in UB(I) (I=1,N-1),UB(N)=0. C PI=ACOS(-1.) DO 10 I=1,N-1 DX=XL(I+1)-XL(I) DY=YL(I+1)-YL(I) ANGLE=ATAN2(DY,DX)-PI/2. XM=(XL(I)+XL(I+1))/2. YM=(YL(I)+YL(I+1))/2. FNX=COS(ANGLE) FNY=SIN(ANGLE) CALL GA (XM,YM,A,B,C) UB(I)=(A*YM+C*XM)*FNX-(C*YM+B*XM)*FNY 10 INDEX(I)=1 UB(N)=0. INDEX(N)=0 C C Write the boundary conditions in the output file C WRITE(2,500) 500 FORMAT(//2X,'BOUNDARY CONDITIONS'//2X,'NODE',6X,'INDEX', 1 7X,'PRESCRIBED VALUE') DO 30 I=1,N 30 WRITE(2,600) I,INDEX(I),UB(I) 600 FORMAT (2X,I3,9X,I1,8X,E14.5) C C Read the coordinates of the internal points C READ(1,*) (XIN(I),YIN(I),I=1,IN) RETURN END C C C================================================================== C ................................................................... ................................................................... C C C================================================================== C SUBROUTINE TORSTIF (XL,YL,N,UB,D) C C This subroutine computes the torsion constant C IMPLICIT REAL*8 (A-H, O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),UB(N) DIMENSION XC(4),YC(4),XI(4),WG(4) C C C N= Number of boundary elements C XL, YL= Co-ordinates of the extreme points of the boundary elements


101

C D= Torsion constant C WG= Weights of the Gauss integration C XI= Co-ordinates of the Gauss integration points in the C interval [-1, 1] C XC,YC= Global co-ordinates of the gauss integration points C IMPLICIT REAL*8 (A-H, O-Z) DATA XI/-0.86113631,-0.33998104,0.33998104,0.86113631/ DATA WG/0.34785485,0.65214515,0.65214515,0.34785485/ PI=ACOS(-1.) XL(N+1)=XL(1) YL(N+1)=YL(1) D=0. C DO 10 I=1,N AX=(XL(I+1)-XL(I))/2. AY=(YL(I+1)-YL(I))/2. BX=(XL(I+1)+XL(I))/2. BY=(YL(I+1)+YL(I))/2. SL=SQRT(AX**2+AY**2) ANGLE=ATAN2(AY,AX)-PI/2. C TERM=0. C DO 40 K=1,4 XC(K)=AX*XI(K)+BX YC(K)=AY*XI(K)+BY CALL FGA (XC(K),YC(K),A1,B1,C1,C2) C TERM=TERM+((A1*YC(K)**2+YC(K)*C1-YC(K)*UB(I))*COS(ANGLE)+ 1 (XC(K)**2*B1+XC(K)*C2+XC(K)*UB(I))*SIN(ANGLE))*WG(K)*SL 40 CONTINUE D=D+TERM 10 CONTINUE RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE TORSTRESS (XL,YL,XM,YM,UB,TTZ,SL,N) C C C This subroutine computers the boundary shear stress Ttz in C tangential direction C C TTZ= Shear stresses at the boundary nodal points c SL= Distances between the boundary nodal points C IMPLICIT REAL*8 (A-H, O-Z) DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XM(N),YM(N) DIMENSION TTZ(N),SL(N),UB(N) C XL(N+1)=XL(1) YL(N+1)=YL(1) PI=ACOS(-1.) DO 10 I=1,N AX=(XL(I+1)-XL(I))/2. AY=(YL(I+1)-YL(I))/2. SL(I)=SQRT(AX**2+AY**2) 10 CONTINUE C DO 20 I=1,N AX=(XL(I+1)-XL(I))/2. AY=(YL(I+1)-YL(I))/2


102

ANGLE=ATAN2(AY,AX)-PI/2. IF (I.EQ.1) THEN S1=SL(N)+SL(1) S2=SL(I)+SL(I+1) B1=UB(N) B2=UB(1) B3=UB(2) ELSE IF (I.EQ.N) THEN S1=SL(N-1)+SL(N) S2=SL(N)+SL(1) B1=UB(N-1) B2=UB(N) B3=UB(1) ELSE S1=SL(I-1)+SL(I) S2=SL(I)+SL(I+1) B1=UB(I-1) B2=UB(I) B3=UB(I+1) ENDIF UBT=(S1**2*B3-S2**2*B1+(S2**2-S1**2)*B2) 1 /(S1*S2*(S1+S2)) CALL GA (XM(I),YM(I),A,B,C) TTZ(I)=UBT+(B*XM(I)+C*YM(I))*COS(ANGLE) 1 +(A*YM(I)+C*XM(I))*SIN(ANGLE) 20 CONTINUE RETURN END C C================================================================== C C SUBROUTINE OUTPUT(XM,YM,UB,UNB,XIN,YIN,UIN,D,TTZ,N,IN) C C C This subroutine prints the results in the output file. C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION XM(N),YM(N),UB(N),UNB(N) DIMENSION XIN(IN+1),YIN(IN+1),UIN(IN+1),TTZ(N) C WRITE(2,100) 100 FORMAT('',79('*')//1X,'RESULTS'//2X,'BOUNDARY NODES'// 1 11X,'X',15X,'Y',15X,'U',15X,'Un'/) DO 10 I=1,N 10 WRITE(2,200) XM(I),YM(I),UB(I),UNB(I) 200 FORMAT(4(2X,E14.5)) C WRITE (2,300) 300 FORMAT(//,2X,'INTERNAL POINTS'//10X,'X',15X,'Y',11X, 1 'SOLUTION U'/) DO 20 K=1,IN+1 20 WRITE(2,400) XIN(K),YIN(K),UIN(K) 400 FORMAT(3(2X,E14.5)) WRITE(2,600) D 600 FORMAT('',79('*')//2X,'TORSION CONSTANT D=',E14.7/) WRITE(2,700) 700 FORMAT('',79('*')//2X,'BOUNDARY STRESS Ttz'// 1 11X,'X',15X,'Y',15X,'Ttz'/) DO 30 I=1,N 30 WRITE(2,800) XM(I),YM(I),TTZ(I) 800 FORMAT(3(2X,E14.5)) WRITE(2,500)


103

500 FORMAT(' ',79('*')) RETURN END C C C================================================================== C SUBROUTINE GA (X,Y,A,B,C) C C This subroutine computes the values of A B C, , C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) C A=[Put the expression here] B=[Put the expression here] C=[Put the expression here] C RETURN END C C C=================================================================== C SUBROUTINE GABC (X,Y,AX,BY,CX,CY) C C This subroutine computes the values of ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂A x B y C x C y/ , / , / , / C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) C AX=[Put the expression here] BY=[Put the expression here] CX=[Put the expression here] CY=[Put the expression here] C RETURN END C C C=================================================================== C SUBROUTINE FF (X,Y,F) C C This subroutine computes the value of F C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) C F=[Put the expression here] C RETURN END C C C=================================================================== C SUBROUTINE FFX (X,Y,FX) C C This subroutine computes the value of ∂ ∂F x/ C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z)


104

C FX=[Put the expression here] C RETURN END C C C=================================================================== C SUBROUTINE FFY (X,Y,FY) C C This subroutine computes the value of ∂ ∂F y/ C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) C FY=[Put the expression here] C RETURN END C C C=================================================================== C SUBROUTINE FGA (X,Y,A1,B1,C1,C2) C C This subroutine computes the values of A B C C1 1 1 2, , , C IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) C A1=[Put the expression here] B1=[Put the expression here] C1=[Put the expression here] C2=[Put the expression here] C RETURN END C C C=================================================================== C

Κεφάλαιο. 7 Υπολογιστική επίλυση της στρέψης μη ομογενών ανισότροπων ράβδων

105

7.3 Εφαρμογή Η εφαρμογή αυτή έχει σκοπό να δείξει τη χρήση του προγράμματος

TORINHOMANI για την επίλυση του προβλήματος της στρέψης σε μία ράβδο

ορθογωνικής διατομής από μη ομογενές ανισότροπο υλικό.

όπου α = 4.0 και β = 3.0

Οι ελαστικές σταθερές του υλικού δίνονται από τις παρακάτω συναρτήσεις

A a k x y= + 12 2

B b k x y= + 22 2 (7.1)

C c k x y= + +32 2( )

όπου a b c k k k, , , , ,1 2 3 σταθερές.

Μετατροπή σε συνοριακό

Η σχέση (4.16) με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων και της (6.7b) γίνεται

∇ = − + −21

22

23

2 22 2F xy k y k x k x y( ) ( ) (7.2)

Α

y

x

B

β

α


106

Για τον υπολογισμό του πεδιακού ολοκληρώματος της σχέσης (4.17) είναι

απαραίτητη η επίλυση της εξισώσεως (7.2) ως προς F .Για να επιτευχθεί

αυτό πρέπει να γίνει μετασχηματισμός της εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο,

σύμφωνα με τις σχέσεις (5.3).

Αποδεικνύεται ότι η εξίσωση (7.2) μετασχηματίζεται στην

418

24

22 2

1 2 1 22 2 3 2 2∂

∂ ∂F

z zz z k k zz k k z z i

kz z= − − − + + + +( )[ ( ) ( )( )] ( )

(7.3)

από την οποία με δύο διαδοχικές ολοκληρώσεις προκύπτει η F z z( , ) .Στη

συνέχεια χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό (5.3) ,λαμβάνουμε την

F x y( , ) που δίνεται από την παρακάτω σχέση

F k k y x xy k k x y xyk

x y= + − + − + + −1

201

32 61 24 4

1 22 2 2 3 4 4( )( ) ( )( ) ( )

(7.4)

Οι παράγωγοι της F που εμφανίζονται στη σχέση (4.17) υπολογίζονται

εύκολα

∂∂Fx

k k y y x k k y x y x y k x= + − + − + + +120

51

325 6

231 2

4 41 2

4 4 2 23

3( ) ( ) ( ) ( )

(7.5)

∂∂Fy

k k x x y k k x y x x y k y= + − + − + + −120

51

326

231 2

4 41 2

4 4 2 23

3( ) ( ) ( ) (5 )

Απευθείας υπολογισμός

Σύμφωνα με τη σχέση (6.16) πρέπει να υπολογισθούν οι μερικές παράγωγοι

των συναρτήσεων A B C, , ως προς x ή ως προς y ανάλογα.


107

A k xyx =2 12

B k x yy =2 22

(7.6)

C k xx =2 3

C k yy =2 3

Επίσης τα αόριστα ολοκληρώματα που εμφανίζονται στη σχέση (6.9)

βρίσκεται ότι είναι

A axk

x y11 3 2

3= +

B byk

x y12 2 3

3= +

(7.7)

C cx

kx x y

1

2

3

4 2 2

2 4 2= + +( )

C cy

ky x y

2

2

3

4 2 2

2 4 2= + +( )


πρόγραμμα για διάφορους διαχωρισμούς του συνόρου έχοντας επιλέξει για

τις σταθερές τις τιμές k1=k2=k3=10. και a=37500 b=50000 c=25000

Πίνακας 7.1


108


50 100 150 200 400 600

Τιμές I t /104

88.026 86.747 86.446 86.342 86.214 86.185

Τιμή τ θtz / 104 στο σημείο Α

9.5543 9.6021 9.6082 9.6092 9.6100 9.6099

Τιμή τ θtz / 104 στο σημείο Β

10.6870 10.708 10.711 10.712 10.713 10.714



Τα αποτελέσματα του προγράμματος μπορούν να επαληθευθούν εύκολα αν

δώσουμε στις σταθερές k k k1 2= = μία πολύ μικρή τιμή και στη σταθερά k 3

την τιμή 0 ,ενώ a b= =1 και c =0 . Οι τιμές που λαμβάνουμε είναι ίδιες με

αυτές που προκύπτουν για ράβδο της ίδιας διατομής από ομογενές υλικό.

Στον παρακάτω πίνακα παρατίθενται τα αποτελέσματα για διάφορες τιμές της

σταθεράς k και για διαχωρισμό του συνόρου με 200 συνοριακά σημεία.

Παρατηρούμε ότι η σύγκλιση με την ακριβή μέθοδο επέρχεται για τιμή του k

ίση με 10 7− .Τα αποτελέσματα της ακριβής μεθόδου έχουν ληφθεί από το

πρόγραμμα TORSCON που επιλύει το πρόβλημα της στρέψης σε ομογενείς

ράβδους, για k=0.

Πίνακας 7.2


109

Πλήθος συνοριακών σημείων 200

Τιμές k

10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 Ακριβής

I t 20.288 19.594 19.524 19.517 19.516 19.516

( )τθ

tzAG0

2.3169 2.1704 2.1558 2.1543 2.1542 2.1541

( )τθ

tzBG0

2.5625 2.4241 2.4103 2.4089 2.4087 2.4087

ΚΕΦAΛAΙΟ 8

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΤΟΜΩΝ ΟΡΘΟΤΡΟΠΩΝ ΡΑΒΔΩΝ 8.1. Εισαγωγή

Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τη βελτιστοποίηση διατομών ράβδων

από ορθότροπο υλικό. Έχοντας σαν περιορισμούς τη γεωμετρία της διατομής

και τις τιμές των ελαστικών σταθερών υπολογίζεται η μέγιστη και η ελάχιστη

τιμή της στρεπτικής ακαμψίας της διατομής που υπόκειται στους παραπάνω

περιορισμούς.

8.2. Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης

Για τον υπολογισμό της στρεπτικής ακαμψίας ορθογωνικών ή ελλειπτικών

διατομών από ορθότροπο υλικό υπεισέρχονται οι εξής τέσσερις μεταβλητές

α β, , ,G G13 23

με τιμές οι οποίες είναι φραγμένες ως εξής

1 6< <α β, και 10 10513 23

6< <G G,

Οι δύο πρώτες περιγράφουν την γεωμετρία της διατομής, ενώ οι άλλες δύο

είναι τα μέτρα διάτμησης του υλικού.

Κεφάλαιο. 8 Βελτιστοποίηση διατομών ορθότροπων ράβδων

111

Για να βελτιστοποιηθεί η διατομή, δηλαδή να βρεθεί ο κατάλληλος

συνδυασμός των τεσσάρων μεταβλητών που δίνει την ελάχιστη ή τη μέγιστη

στρεπτική ακαμψία θέτω δύο περιορισμούς.

(i) Ορθογωνική διατομή

Το εμβαδόν της διατομής να είναι ίσο με E .

Επειδή όμως το σύστημα αξόνων ξεκινάει από το κέντρο βάρους της

διατομής πρέπει

αβ =E4

και η τετραγωνική ρίζα του γινομένου των μέτρων διάτμησης να είναι ίση με

G , δηλαδή

G G G13 23 =

(ii) Ελλειπτική διατομή

Το εμβαδόν της διατομής να είναι ίσο με E .

παβ = E

και η τετραγωνική ρίζα του γινομένου των μέτρων διάτμησης να είναι ίση με

G , δηλαδή

G G G13 23 =

Έτσι το αρχικό πρόβλημα της βελτιστοποίησης σε χώρο τεσσάρων

διαστάσεων μεταπίπτει σε χώρο δύο διαστάσεων εφόσον με τη χρήση των

δύο περιορισμών αν γνωρίζουμε τους δύο αγνώστους α , G13 μπορούμε

εύκολα να υπολογίσουμε τους άλλους δύο β , G23 .


112

Αν τώρα θέσουμε

G G13 13510= * και G G23 23

510= *

στις παραπάνω σχέσεις, τότε η τιμή της στρεπτικής ακαμψίας καθώς και τα

μέτρα διάτμησης αδιαστατοποιούνται ενώ η υπολογιστική επίλυση του

προβλήματος γίνεται λιγότερη επίπονη.


προβλήματος της βελτιστοποίησης διατομών ράβδων

από ορθότροπο υλικό (OPTIM)

Το πρόγραμμα βελτιστοποίησης OPTIM χρησιμοποιεί την ρουτίνα

BCPOL/DBCPOL (Single/Double precision) η οποία βρίσκεται στην

βιβλιοθήκη της Fortran Powerstation 4.0. Η ρουτίνα αυτή ελαχιστοποιεί μία

συνάρτηση NV μεταβλητών, οι οποίες υπόκεινται σε άνω και κάτω

φράγματα, χρησιμοποιώντας τον άμεσο αλγόριθμο της Complex.

8.3.1. Η ρουτίνα BCPOL/DBCPOL

Η ρουτίνα BCPOL/DBCPOL χρησιμοποιεί τη μέθοδο Complex για να βρει

την ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης n μεταβλητών. Η μέθοδος βασίζεται στη

σύγκριση της συνάρτησης; δεν θεωρείται καμία ομαλότητα. Ξεκινάει με 2n

σημεία x x x n1 2 2, ,..., . Σε κάθε επανάληψη, ένα νέο σημείο παράγεται για να

αντικαταστήσει το χειρότερο σημείο x j , που έχει τη μεγαλύτερη τιμή της

συνάρτησης ανάμεσα στα 2n σημεία. Το νέο σημείο παράγεται από την

παρακάτω σχέση

x c a c xk j= + −( )


113

όπου

cn

xii j=

− ≠∑12 1

και α ( )α > 0 είναι ο συντελεστής ανάκλασης. Όταν το xk είναι το καλύτερο σημείο, κι’ αυτό γίνεται όταν f x f xk i( ) ( )≤ για

j n=1 2 2, ,..., , υπολογίζεται ένα διευρυμένο σημείο x c x ce k= + −β( ) ,όπου

β β( )> 1 καλείται ο συντελεστής διεύρυνσης. Εάν το νέο σημείο είναι ένα

χειρότερο σημείο, τότε η μέθοδος Complex θα αναλάβει να βρει ένα νέο

καλύτερο σημείο. Εάν η εύρεση είναι ανεπιτυχής, τότε η μέθοδος

συρρικνώνεται μετατοπίζοντας τις κορυφές κατά το ήμισυ στο τρέχον

καλύτερο σημείο. Οποτεδήποτε το νέο σημείο παράγεται πέρα από το

σύνορο, θα τίθεται στο σύνορο. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι ένα από

τα κριτήρια που ακολουθούν να ικανοποιηθεί

Κριτήριο 1

f f fbest worst f best− ≤ +ε ( . )1

Κριτήριο 2

( )ff

ni

jj

n

i

n

f− ≤=

=

∑∑ 1

2

2

1

2

2ε

όπου f f xi i= ( ) , f f xj j= ( ) και ε f είναι μία δεδομένη ανεκτικότητα. Για

μια ολοκληρωμένη περιγραφή βλ. Nelder και Mead (1965) ή Gill et al. (1981).

8.3.2. Η χρήση της ρουτίνας BCPOL/DBCPOL

Η χρήση της ρουτίνας γίνεται ως εξής

CALL BCPOL(FCN, NV, XGUESS, IBTYPE, XLB, XUB, FTOL, MAXFCN,

X,FVALUE)


114

Μεταβλητές

FCN - To υποπρόγραμμα που χρησιμοποιεί ο χρήστης για υπολογίσει

τη συνάρτηση στο δεδομένο σημείο. Η χρήση της είναι

CALL FCN (NV,X,F) όπου

ΝV- Μήκος του X (Input)

Χ- Διάνυσμα μήκους NV στο οποίο υπολογίζεται η συνάρτηση.

Το Χ δεν πρέπει να αλλάζει από το FCN (Input)

F- H τιμή της συνάρτησης στο σημείο Χ (Output)

Η FCN πρέπει να δηλώνεται ως EXTERNAL στο πρόγραμμα

που την καλεί

ΝV - Αριθμός των μεταβλητών (Input)

XGUESS - Διάνυσμα μήκους N που περιέχει μία αρχική τιμή για το

ελάχιστο (Input)

IBTYPE - Βαθμωτό μέγεθος που δηλώνει τον τύπο του φράγματος των

μεταβλητών (Input) δηλαδή

0 Όλοι οι τύποι δίνονται

1 Όλες οι μεταβλητές είναι θετικές

2 Όλες οι μεταβλητές είναι αρνητικές

3 Δίδεται ο τύπος της πρώτης μεταβλητής; όλες οι άλλες

μεταβλητές έχουν τον ίδιο τύπο

XLB - Διάνυσμα μήκους N που περιέχει τα κάτω φράγματα των

μεταβλητών (Input, αν IBTYPE=0; output αν IBTYPE=1 ή 2;

input/output, αν IBTYPE=3).

XUB - Διάνυσμα μήκους N που περιέχει τα άνω φράγματα των

μεταβλητών (Input, αν IBTYPE=0; output αν IBTYPE=1 ή 2;

input/output, αν IBTYPE=3).

FTOL - Πρώτο κριτήριο σύγκλισης (Input)

Ο αλγόριθμος σταματάει όταν ένα συγκριτικό λάθος στις τιμές

της συνάρτησης είναι μικρότερο από το FTOL ,π.χ. όταν

( ( ) ( )) ( . ( ( )))F worst F best FTOL ABS F best− < +1 όπου F worst( ) και


115

F best( ) είναι οι τιμές της συνάρτησης στο τρέχον χειρότερο και

καλύτερο σημείο, αντίστοιχα.

Δεύτερο κριτήριο σύγκλισης

Ο αλγόριθμος σταματάει όταν η κανονική παρέκκλιση των τιμών

της συνάρτησης στα 2n τρέχοντα σημεία είναι μικρότερη της

FTOL . Ένα το υποπρόγραμμα σταματήσει πρόωρα, δοκιμάστε

ξανά με μικρότερη τιμή της FTOL .

MAXFCN - Όταν είναι Input, ο μέγιστος επιτρεπτός αριθμός υπολογισμού

της συνάρτησης

Όταν είναι Output, ο πραγματικός αριθμός υπολογισμού της

συνάρτησης που απαιτείται (Input/Output)

X - Διάνυσμα μήκους N που περιέχει την καλύτερη εκτίμηση του

ελαχίστου που έχει βρεθεί (Output)

FVALUE - Βαθμωτό μέγεθος που περιέχει την τιμή της αντικειμενικής

συνάρτησης στην υπολογιζόμενη λύση (Output)

8.3.3. Το πρόγραμμα OPTIM

Τα υποπρογράμματα που καλεί ο παρακάτω κώδικας είναι τα ίδια που

βρίσκονται στο πρόγραμμα TORSANI του τρίτου κεφαλαίου και είναι τα εξής

INPUT,GMATR,HMATR,ABMATR,SOLVEQ,REORDER,UINTER,TORSTIF

Το υποπρόγραμμα CREATE δημιουργεί τις συντεταγμένες των κομβικών

σημείων στο σύνορο της διατομής. Η διατομή της ράβδου μπορεί να είναι είτε

ορθογωνική είτε ελλειπτική όπως φαίνεται στα παραδείγματα που

ακολουθούν στη συνέχεια του κεφαλαίου.



116


117

C=======================================================================

C

PROGRAM OPTIM

C

C

C This program solves the OPTIMIZATION problem for cross-section,

C from orthotropic material. The program is based on routine

C BCPOL/DBCPOL from the library of Fortran Powerstation 4.0 .

C

USE MSIMSL

C

C NV= Number of variables

C NV=2

C

INTEGER NV

PARAMETER (NV=2)

C

INTEGER IBTYPE, K, MAXFCN, NOUT

REAL*8 FTOL, D1, X(NV), XGUESS(NV), XLB(NV), XUB(NV)

C

C D1=FVALUE,function value at the computed solution, here is

C the torsion rigidity

C

EXTERNAL FCN

C

C FCN is declared EXTERNAL in the calling program.

C

DATA XGUESS/[Put the value here]/, XLB/[Put the value here]/,

1 XUB/[Put the value here]/

C

C XGUESS= The initial guess for the minimum

C

FTOL = 1.0E-5

IBTYPE = 0

MAXFCN = 300

C

CALL DBCPOL (FCN, NV, XGUESS, IBTYPE, XLB, XUB, FTOL, MAXFCN, X,

& D1)

C

CALL UMACH (2, NOUT)

WRITE (NOUT,99999) (X(K),K=1,NV), D1

99999 FORMAT (' The best estimate for the minimum value of the', /,

& ' function is X = (', 2(2X,F4.2), ')', /, ' with ',


118

& 'function value FVALUE = ', E12.6)

C

END

C

C

C====================================================================

C

SUBROUTINE FCN (NV, X,D1)

C

C External function to be minimized. The solution is

C the computed torsion rigidity of an orthotropic bar

C with a rectangular or elliptical cross-section.

C

INTEGER NV

REAL*8 X(NV)

C

REAL*8 XL,YL,XM,YM,G,H,UB,A,UNB,XIN,YIN,UIN,XIL,YIL,SA,SB

1 ,VKXX,VKXY,VKYY,D,D1,XWC,YWC,D2,D0

C

PARAMETER (N=[Put the value here])

PARAMETER (IN=[Put the value here])

C

C N= Number of boundary elements equal to number of boundary

C nodes

C IN= Number of internal points where the function u is calculated

C

DIMENSION INDEX(N)

DIMENSION XL(N+1),YL(N+1),XM(N),YM(N),G(N,N),H(N,N),UB(N)

DIMENSION A(N,N),UNB(N),XIN(IN+1),YIN(IN+1),UIN(IN+1)

DIMENSION XIL(N+1),YIL(N+1)

C

C

C

SA=X(1)

SB=[Put the value E here]/(X(1))

VKXX0=1/([Put the value G here]/X(2))

VKYY0=1/X(2)

C

VKXY0=0.

D0=VKXX0*VKYY0-VKXY0**2

C

VKXX=VKXX0*(1/SQRT(D0))

VKYY=VKYY0*(1/SQRT(D0))


119

D=VKXX*VKYY-VKXY**2

C

C Create coordinates for a rectangular or elliptical cross-section

C

CALL CREATE(SA,SB,XIL,YIL,XL,YL,XIN,YIN,N,IN)

C

C Read data from INPUTFILE

C

CALL INPUT(XL,YL,INDEX,UB,N,VKXX,VKXY,VKYY)

C

C Compute the G matrix

C

CALL GMATR(XL,YL,XM,YM,G,N,VKXX,VKXY,VKYY,D)

C

C Compute the H matrix

C

CALL HMATR(XL,YL,XM,YM,H,N,VKXX,VKXY,VKYY,D)

C

C Form the system of equations AX=B

C

CALL ABMATR(G,H,A,UNB,UB,INDEX,N)

C

C Solve the system of equations

C

CALL SOLVEQ(A,UNB,N,KS)

C

C Form the vectors U and UN of all the boundary values

C

CALL REORDER(UB,UNB,INDEX,N)

C

C Compute the coordinates of the weight center of the

C cross-section

C

CALL WCENTER(XL,YL,N,XWC,YWC)

C

C Compute the values of U at the internal points

C

CALL UINTER(XL,YL,XIN,YIN,UB,UNB,UIN,N,IN,XWC,YWC,VKXX,VKXY,VKYY,D

1)

C

C Compute the torsion constant D1

C

CALL TORSTIF(XL,YL,N,UB,VKXX,VKXY,VKYY,D,D1,D2,D0)


120

C

RETURN

END

C

C

C====================================================================

C


123

8.4.Παραδείγματα


Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα OPTIM για ορθογωνική διατομή με τους

εξής περιορισμούς

αβ =E4

όπου E =24

και

G G G13 23 = όπου G = 10

με

1 6< <α β, και 1 1013 23< <G G,

τα αποτελέσματα είναι

(i) Ελάχιστο

Α

y

x

B

β

α


124

Η ελάχιστη στρεπτική ακαμψία είναι

min I t = 31.398485

για

α = 6.0

β = 1.0

G13 = 1.0

G23 = 10.0

(i) Μέγιστο

Η μέγιστη στρεπτική ακαμψία είναι

max I t = 256.063209

για

α = 4.268969

β = 1.405492

G13 = 9.580597

G23 = 1.043776

Όπως μπορεί να παρατηρηθεί τα αποτελέσματα του προγράμματος

συμπίπτουν με αυτά που προκύπτουν από την παρατήρηση των παρακάτω

δύο γραφημάτων, που απεικονίζουν τις τιμές της συνάρτησης πάνω σε ένα

κάνναβο σημείων με τις εξής δύο μορφές: (I) Ισοσταθμικών καμπυλών και (ii)

Τρισδιάστατης απεικόνισης της επιφάνειας.



125

Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα OPTIM για ελλειπτική διατομή με τους εξής

περιορισμούς

αβπ

=E

όπου E =24

και

G G G13 23 = όπου G = 10

με

1 6< <α β, και 1 1013 23< <G G,

τα αποτελέσματα είναι

(i) Ελάχιστο

Η ελάχιστη στρεπτική ακαμψία είναι

Α

y

x

B

β

α


126

min I t = 39.168379

για

α = 6.0

β = 1.273239

G13 = 1.0

G23 = 10.0

(i) Μέγιστο

Η μέγιστη στρεπτική ακαμψία είναι

max I t = 289.657224

για

α = 4.817929

β = 1.585627

G13 = 9.629706

G23 = 1.038453

Όπως μπορεί να παρατηρηθεί τα αποτελέσματα του προγράμματος

συμπίπτουν με αυτά που προκύπτουν από την παρατήρηση των παρακάτω

δύο γραφημάτων, που απεικονίζουν τις τιμές της συνάρτησης πάνω σε ένα

κάνναβο σημείων με τις εξής δύο μορφές: (I) Ισοσταθμικών καμπυλών και (ii)

Τρισδιάστατης απεικόνισης της επιφάνειας.

129

Βιβλιογραφία

[1] Ely, J. J., and Zienkiewicz, O. C., ‘Torsion of Compound Bars - A

Relaxation Solution’, International Journal of Mechanical Science, Vol.

1,1960, pp. 356-365.

[2] Dumir, P. C., and Kumar, Rajendra, ‘Complex variable boundary element

method for torsion of anisotropic bars.’, Applied Mathematical Modelling,

Vol. 17, No 2, Feb. 1993, pp. 80 - 88

[3] Herrmann, L. R., ‘Elastic Torsional Analysis of Irregular Shapes’, Journal

of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 91, No EM6, Proc.

Paper 4562, Dec. 1965, pp. 11 - 19

[4] Κατσικαδέλης, Ι. Θ., Η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων, 1996

[5] Katsikadelis, J. T., and Sapountzakis, E. J., ‘Numerical Evaluation of the

Green Function for the Laplace Equation with Applications to Linear and

Non-linear Potential Problems by the Boundary Element Method’,

Proceedings of the 3rd International Conference, Porto Carras, Greece,

September 1986

[6] Krahula, J. L., and Lauterbach, G. F., ‘A Finite Element Solution for Saint -

Venant Torsion’, American Institute of Aeronautics and Astronautics

Journal, Vol. 7, No 12, Dec. 1969, pp. 2200 - 2203

[7] Lekhnitskii, S. G., Theory of Elasticity of an Anisotropic Elastic Body,

Holden - Day Inc., San Francisco, Calif., 1963

[8] Muskhelishvili, N. I., Some Basic Problems of the Mathematical Theory of

Elasticity, P. Noordhoff, Groningen, Holland, 1953

[9] Shaw, F. S., ‘The Torsion of Solid and Hollow Prisms in the Elastic and

Plastic Range by Relaxation Methods’, Report No. ACA-11, Australian

Council for Aeronautics, Nov. 1944

[10] Sokolnikoff, I. S., Mathematical Theory of Elasticity, McGraw-Hill Book

Co., Inc., New York, N. Y., 1956

[11] Timoshenko, S., and Goodier, J. N., Theory of Elasticity, McGraw-Hill

Book Co., Inc., New York, N. Y., 1970

[11] Valliapan, S., and Pulmano, V., ‘Torsion of Nonhomogeneous Anisotropic

Bars’, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 100, No. ST1, Proc.

Paper 10264, Jan. 1974, pp. 286 - 295

130

[12] Zienkiewicz, O. C., and Cheung, Y. K., ‘Finite Elements in the Solution of

Field Problems’, The Engineer, Vol. 220, Sept. 1965, pp. 507-510

Documents

Πανεπιστήμιο Πατρώνgtsiatas/files/1_theses/1_.pdfΠρόλογος Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάται η εφαρμογή