Fale cz. 1

dr inż. Ireneusz OwczarekCMF PŁ

ireneusz.owczarek@p.lodz.plhttp://cmf.p.lodz.pl/iowczarek

2012/13

Plan wykładu

Spis tresci

1. Procesy falowe 21.1. Klasyfikacja fal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Równanie fali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Energia i fala 52.1. Przenoszenie energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Np. tsunami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Równanie falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Interferencja 83.1. Zasada superpozycji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2. Fala stojąca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3. Przykłady fal stojących . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Dodawanie fal o róznych czestotliwosciach 144.1. Dudnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2. Prędkość grupowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1. Procesy falowe

1.1. Klasyfikacja fal

Co nazywa sie fala?

Falato zaburzenie lub zespół zaburzeń rozchodzących się w ośrodku lub przestrzeni ze skończonąprędkością i niosące ze sobą energię.

Cechą charakterystyczną faljest to, że przenoszą energię poprzez materię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w materii,a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii.

Ze względu na fizyczną naturę zachodzących zjawisk rozróżnia się:

• Fale mechaniczne powstają w ośrodkach sprężystych.

• Fale elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni lub ośrodku materialnym, wywo-łane są zmianami rozkładu przestrzennego ładunków elektrycznych.

• Fale materii lub fale de Broglie’a.

Falę stanowi rozchodzące się w ośrodku zaburzenie, zmiany jakiejś wielkości (powtarzającesię wielokrotnie i cyklicznie zmieniające swoje wychylenie).

Rodzaje fal

Podział fal

1. ze względu czoło fali

• płaskie,

• walcowe,

• kuliste (kołowe),

• mieszane,

2. ze względu na kierunek drgań

• fale podłużne,

• fale poprzeczne.

Fale podłużne związane są z odkształceniem objętości ośrodka sprężystego – mogą sięrozchodzić w dowolnym ośrodku. Fale poprzeczne związane są z odkształceniem ścinania– mogą powstawać i rozchodzić się w ośrodkach mających sprężystość postaci, tzn. w ciałachstałych.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 2

Fale mechaniczneRozchodzenie się fal mechanicznych nie jest związane z przenoszeniem – transportem

substancji.

Fala mechaniczna (sprężysta)to proces rozchodzenie się w ośrodku sprężystym zaburzenia stanu równowagi tego ośrodka,któremu towarzyszy przekazywanie energii pomiędzy różnymi punktami ośrodka.

Poruszające się zaburzenie jest funkcją położenia i czasu

ξ(x, y, z, t) = f(x, y, z, t).

Jeżeli, np. t = 0, toξ(x, t) = f(x, 0)

przedstawia profil fali, to jednowymiarowa funkcja falowa fali poruszającej się z prędkością~v

ξ(x, t) = f(x− vt).

Równanie fali poruszającej się z prędkością ~v w dodatnim kierunku osi x

ξ(x, t) = f(x− vt).

c© Ireneusz Owczarek, 2013 3

W układzie spoczywającym – drgania w dowolnym punkcie, gdzie stoi obserwator są opóź-nione o czas

τ =x

v

potrzebny dla przemieszczenia fali. Wówczas równanie drgań cząstek leżących w odległościx ma postać

f(x− vt) = F(− x− vt

v

)= F

(t− x

v

).

1.2. Równanie fali

Fala płaskaNajprostszym rodzajem fali jest fala harmoniczna biegnąca, rozchodząca się w ośrodku

jednowymiarowym. Długość faliλ = v · T.

Liczba falowak =

2πλ

=2πT· Tλ

=ω

v.

Fale biegnąceto fale przenoszące energię w przestrzeni.

Równanie fali biegnącej – przemieszczającej się w kierunku dodatnim osi xξ(x, t) = f(x− vt) = A · sin k(x− vt) = A · sin(kx− ωt) =

= A · sin 2π(x

λ− t

T

)=

= A · sinω(x

v− t).

Predkosc fazowaFali towarzyszą prędkości:

1. cząstek — to prędkość chwilowa v ruchu cząsteczek (punktów) ośrodka sprężystegowokół ustalonych położeń równowagi,

2. fazowa (falowa) — to prędkość vf z jaką przemieszcza się w ośrodku powierzchniastałej fazy drgań cząsteczek ośrodka,

c© Ireneusz Owczarek, 2013 4

3. grupowa — to prędkość vg pakietu (grupy, paczki) fal, prędkość z jaką przenoszonajest przez falę sprężystą energia.

Ponieważ faza zaburzenia ξ(x, t) jest stała

ϕ = kx− ωt = const.

to prędkość przemieszczania się fazy, tzw. prędkość fazowa (czoła fali, fali)

dϕ

dt= k

dx

dt− ω = 0

vf =dx

dt.

Prędkość propagacji fali v jest prędkością przemieszczania się fazy fali

v = vf =ω

k=λ

T.

Prędkość fazowa ma znak dodatni, gdy fala porusza się w kierunku dodatnim osi x, orazznak ujemny, gdy porusz się w kierunku przeciwnym. W próżni (ośrodek niedyspersyjny)– vf = const., tj.

dvfdk

= 0.

Jeżeli prędkość fazowa fali zależny od jej długości

dvfdk

=dvfdλ6= 0,

to występuje dyspersja prędkości fali, wówczas prędkość rozchodzenia się czoła fali, pacz-ki fali (prędkość grupowa) jest inna niż prędkość fazowa. Prędkość fazowa światła (falielektromagnetycznej) w próżni jest równa prędkości światła w próżni, w ośrodkach jest innai często większa od prędkości światła w próżni.

2. Energia i fala

2.1. Przenoszenie energii

Energia faliRuch falowy związany jest z dwoma procesami:

• transportem energii przez ośrodek od cząsteczki do cząsteczki,

• z ruchem drgającym poszczególnych cząsteczek dokoła ich położenia równowagi.

Nie jest natomiast związany z ruchem materii jako całości. W przypadku fali podłużnejenergia kinetyczna

Ek =12dm(dξ(x, y)dt

)2=

12ρdV

(dξ(x, y)dt

)2.

Energia potencjalna jest przenoszona przez falę z taką samą szybkością

EK = Ep.

Gęstość strumienia energii fali harmonicznej

w =d(Ek + Ep)

dV= ρ(dξ(x, y)dt

)2=

=12ρω2A2.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 5

Ponieważ średnia gęstość energii ruchu falowego

εw =1T

t+T∫t

ρ(dξ(x, y)dt

)2dt =

=1TρA2

t+T∫t

ω2 sin2(kx− ωt)dt =

=1TρA2 · ω2 T

2=

=12ρω2A2.

Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.

2.2. Np. tsunami

Czy fala przenosi energie?Tsunami (jap. tsunami – fala portowa) – fala oceaniczna, wywołana podwodnym trzę-

sieniem ziemi, wybuchem wulkanu bądź osuwiskiem ziemi.

Tsunami26 grudnia 2004, największe od 40 lat trzęsienie ziemi wystąpiło na Oceanie Indyjskim

(Tajlandia) pomiędzy płytami australijską i euroazjatycką. 27 lutego 2010, trzęsienie ziemiw Chile. 11 marca 2011 roku północno-wschodnią Japonię nawiedziło największe trzęsienie

ziemi od 140 lat. Wstrząsy o sile prawie 9 w skali Richtera wywołały falę tsunami, którąosiągała wysokość nawet 10 metrów i zmiatała z powierzchni budynki oraz samochody.

Prędkość i długość wędrującej fali ulegają zmianom w zależności od głębokości wody(okres fali jest stały). Ponieważ kierunek ruchu fali jest do brzegu prostopadły, to:

c© Ireneusz Owczarek, 2013 6

• gdy fala przechodzi na płytką wodę to: odległość między kolejnymi grzbietami fali(długość fali) zmniejsza się,

• fala zmienia kierunek ruchu,

• rośnie wysokość fali czyli amplituda fali.

Korzystając z przybliżeń równania rozchodzenia się fali

• dla wody głębokiej prędkość fazowa wynosi:

v =√g

k,

i zależy od długości fali. Długie fale przemieszczają się szybciej.

• dla wody płytkiej prędkość fazowa wynosi:

v =√gd,

nie zależy od jakichkolwiek parametrów fali – zależy wyłącznie od głębokości d akwenu.

Czym różnią się od zwykłych fal na wodzie?

Fala tsunami na głębokiej wodziemała amplituda, duża szybkość rozchodzenia się 800km/h.

Fala tsunami na płytkiej wodziemniejsza szybkość rozchodzenia się, ale duża amplituda (nawet do 30m).

PodsumowanieTsunami są falami płytkiej wody, a więc są zjawiskami objętościowymi, nie powierzchnio-

wymi.

Rodzaj fali Wysokość Długość PrędkośćTsunami na oceanie kilkadziesiąt cm > 100km > 700km/hTsunami przy brzegu do 30m ≈ 30m kilkadziesiąt km/hZwykła fala 3m 100m 4− 8km/h

c© Ireneusz Owczarek, 2013 7

2.3. Równanie falowe

Równanie rózniczkowe faliRównanie fali biegnącej ξ = ξ(x− vt) jest rozwiązaniem równania falowego.

Równanie falowedla fali rozchodzącej się w kierunku osi x

∂2ξ

∂x2=

1v2∂2ξ

∂t2.

Rozwiązania różniczkowego równania ruchu falowego spełniają zasadę superpozycji, tzn.,jeżeli

ξ1 = ξ1(x± vt) i ξ2 = ξ2(x± vt)

są funkcjami falowymi spełniającymi równanie ruchu falowego to ich suma .

ξ = ξ1 + ξ2

też jest rozwiązaniem tego równania. Zasadę superpozycji można rozszerzyć na dowolnąliczbę funkcji falowych.

3. Interferencja

3.1. Zasada superpozycji

Interferencja falJeżeli

ξ1 = ξ1(x− vt), ξ2 = ξ2(x− vt), · · · ξn = ξn(x− vt)

są funkcjami falowymi, to ich dowolna kombinacja liniowa

ξ = ξ(x− vt) =n∑i=1

ξi(x− vt),

też jest funkcją falową.

Zasada superpozycji (nakładania się) faldrganie każdego punktu jest sumą drgań pochodzących od każdej z fal.

Fale spójneto fale o tej samej częstotliwości, długości, prędkości i stałej w czasie różnicy faz.

Interferencja falto superpozycja fal spójnych, w wyniku której powstawanie nowy, przestrzenny rozkładamplitudy fali (wzmocnienia i wygaszenia).

Dla dwóch fal spójnych biegnących w dodatnim kierunku osi x

ξ1(x, t) = a · sin(ωt− kx) i ξ2(x, t) = a · sin(ωt− kx− φ)

zgodnie z zasadą superpozycji

ξ(x, t) = ξ1(x, t) + ξ2(x, t) = a · sin(ωt− kx) + a · sin(ωt− kx− φ).

c© Ireneusz Owczarek, 2013 8

Dla sumy dwóch kątów

sinα+ sinβ = 2 · sin 12

(α+ β) · cos12

(α− β).

Wówczasξ(x, t) = 2a · cos(

φ

2)︸ ︷︷ ︸

amplituda

· sin(ωt− kx− φ

2).

Amplituda fali wypadkowej nie zależy od czasu. Dlatego

cos(φ

2) = 1 cos(

φ

2) = 0.

φ

2= n · π φ

2= (2n+ 1) · π

2.

Efekt interferencji zależy od przesunięcia fazowego

• Interferencja całkowicie konstruktywna – wzmocnienie (maksimum), gdy

φ = 2n · π

• Interferencja całkowicie destruktywna – osłabienie (minimum), gdy

φ = (2n+ 1) · π

gdzie n = 0, 1, 2, ...

c© Ireneusz Owczarek, 2013 9

3.2. Fala stojaca

Powstawanie fali stojacejFala stojąca powstaje w wyniku interferencji dwóch fal spójnych biegnących w tym

samym kierunku, ale mających przeciwne zwroty

ξ1(x, t) = a · sin(ωt− kx) i ξ2(x, t) = a · sin(ωt+ kx).

Zgodnie z zasadą superpozycji

ξ(x, t) = ξ1(x, t) + ξ2(x, t) = 2a · cos(kx)︸ ︷︷ ︸amplituda

· sin(ωt).

2a · cos(kx) = 2a lub 2a · cos(kx) = 0.

Położenia

• węzłów

xw =2n+ 1

2· λ

2

• strzałekxs = n · λ

2

Własności fali stojącej

• powstaje w wyniku interferencji dwóch identycznych fal biegnących w przeciwnychkierunkach,

• wypadkowy przepływ energii jest równy zeru (fale niosą energię w strony przeciwne),

• amplituda drgań pewnych punktów ośrodka jest cały czas maksymalna (tzw. strzałki),inne punkty nie drgają w ogóle (tzw. węzły),

• strzałki i węzły występują na przemian co λ4 fali macierzystej,

• wszystkie punkty między sąsiednimi węzłami mają tę samą fazę drgań,

• przy przejściu przez węzeł faza zmienia się na przeciwną.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 10

Figury ChladniegoFigury tworzone przez piasek lub opiłki korka, gromadzące się w węzłach fali stojącej na

drgającej sprężystej płytce – to figury Chladniego.

Fale stojace – słup powietrza

Rura Kundta – rezonator akustyczny w kształcie długiej rury z jednej strony zamkniętej,z umieszczonym źródłem drgań.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 11

3.3. Przykłady fal stojacych

Fale stojace – słup powietrzaPrzykład Znaleźć częstotliwości rezonansowe fali stojącej. Amplituda fali stojącej

cos(kx) = 0

kx = nπ

22πλL = n

π

2

λ =2Ln.

Ponieważf =

v

λto

f = nv

2L.

Częstotliwości rezonansowe

fn = nv

2L

fn = (2n− 1)v

4L

fn = nv

2L.

Jaką długość powinna mieć obustronnie otwarta piszczałka organowa, by jej ton podsta-wowy miał częstotliwość f1 = 45Hz?

L =v

2f1=

340m/s90/s

= 3, 8m.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 12

Fala stojaca w strunieFale wzbudzane w strunach mają ściśle określone częstotliwości, tzw. rezonansowe. Do-

puszczalne są jedynie taki fale, które mieszczą się całkowicie na długości struny L

λn =2Ln

gdzie n = 1, 2, .... Częstotliwości rezonansowe odpowiadające tym długościom fali

fn = nv

2L

gdzie v jest prędkością fali biegnącej w strunie.

Z reguły powstaje w układzie kilka fal:

• fala podstawowa – o najniższej częstotliwości f1 – decydująca o częstotliwości dźwięku,

• wyższe harmoniczne – o częstotliwościach będących wielokrotnością podstawowej.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 13

4. Dodawanie fal o róznych czestotliwosciach

4.1. Dudnienia

Dudnienie

Dudnienieto okresowe zmiany amplitudy drgania wypadkowego powstałego ze złożenia dwóch drgań(lub fal) o zbliżonych częstotliwościach.

W jednym kierunku podążają dwie fale, różniące się nieznacznie częstością (i liczbą falo-wą):

ξ1(x, t) = a · cos(ω1t− k1x) i ξ2(x, t) = a · cos(ω2t− k2x).

Zgodnie z zasadą superpozycji w dowolnym punkcie x na drodze fal, wychylenie wypadkowew chwili czasu t wynosi

ξw(x, t) = ξ1(x, t) + ξ2(x, t) = a · cos(ω1t− k1x) + a · cos(ω2t− k2x) =

= 2a · cos(ω1t− k1x+ ω2t− k2x

2

)cos(ω1t− k1x− ω2t+ k2x

2

)= 2a · cos

(ω1 + ω2

2t− k1 + k2

2x)

cos(ω1 − ω2

2t− k1 − k2

2x).

Jeżeli wprowadzi się oznaczenia

∆ω =ω1 − ω2

2oraz ωsr =

ω1 + ω22

,

i odpowiednio dla

∆k =k1 − k2

2oraz ksr =

k1 + k22

,

wówczas równanie opisujące superpozycję dwóch fal biegnących

ξw(x, t) = 2a cos(ωsrt− ksrx

)cos(∆ω

2t− ∆k

2x)

= 2a cos(∆ω

2t− ∆k

2x)

︸ ︷︷ ︸A(x,t)

cos(ωsrt− ksrx

),

gdzie A(x, t) jest obwiednią, czyli funkcją modulującą.

4.2. Predkosc grupowa

Maksimum funkcji A(x, t) występuje, gdy

∆ω2t− ∆k

2x = 0,

to jest przy∆ω∆k

= vgrupy.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 14

Jest to prędkość przemieszczania się grzbietu obwiedni czyli prędkość grupowa

vg =dω

dk=dx

dt.

Prędkość grupowa jest prędkością rozprzestrzeniania się energii.Jeżeli dla fal monochromatycznych ω jest zależne od k, (tj. ω = ω(k)), prędkość grupowa

(uwzględniając, że λ = 2πk) określona jest w następujący sposób

vg =dω

dk=d(vfk)dk

= vf + kdv

dk=

= vf + k(dv

dλ

dλ

dk

)= vf + k

(dv

dλ

)dλ

dk= vf + k

d 2πλ

dk

(dv

dλ

)=

= vf + k(− 2πk2

)(dv

dλ

)= vf + k

(− λ

k

)dv

dλ,

vg = vf − λdv

dλ.

Prędkość grupowa może być mniejsze jak i większe od prędkości fazowej vf w zależności odznaku dv

dλ. Zależność prędkości fazowej od długości fali nazywa się dyspersją. W ośrodkach

niedyspersyjnych, tj. gdydv

dλ= 0

prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej

vg = vf .

Literatura

[1] Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 2005.

[2] Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagad-nień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007.

[3] Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t. 1-3. PWN, 1984.

[4] Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-Fizyka.Podstawy fizyki.

[5] Kąkol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizy-ki.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 15