Optyka kwantowa – fotony i fale materiicmf.p.lodz.pl/iowczarek/materialy/fizyka/12wspolczesna1...O ewolucji w czasie stanu układu RównanieczasowejewolucjifunkcjifalowejΨ i~ ∂Ψ(x,t)

Optyka kwantowa – fotony i fale materii

dr inż. Ireneusz OwczarekCMF PŁ

[email protected]://cmf.p.lodz.pl/iowczarek

2012/13

Plan wykładu

Spis tresci

1. Narodziny mechaniki kwantowej 21.1. Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Rozkład widmowy promieniowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Zdolność emisyjna – prawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Pierwsze hipotezy 42.1. Oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Zjawisko fotoelektryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Doświadczenie Comptona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4. Fale i cząstki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Model korpuskularno-falowy 103.1. Założenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Fale i cząstki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4. Postulaty mechaniki kwantowej 134.1. Stan układu kwantowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2. Reprezentacja wielkości mechanicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3. Ewolucja w czasie stanu układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4. Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5. Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.6. Symetria funkcji falowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.7. Zasady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1. Narodziny mechaniki kwantowej

1.1. Podstawowe definicje

Wstep

Optyka kwantowa – dział optyki analizujący zjawiska, w których światło musi byćopisywane jako cząstka (foton) mająca cechy ciał fizycznych (energia, pęd).

Optyka kwantowa jest obszarem badań fizyki, zajmującym się zastosowaniem mechanikikwantowej do opisu zjawisk z dotyczących światła oraz jego oddziaływań z materią.

1.2. Rozkład widmowy promieniowania

Ciało doskonale czarneKlasyczny obraz świata, w którym materia składa się z punktowych cząstek, a pro-

mieniowanie składa się z fal, okazuje się niewystarczający do opisu ruchu elektronów i ichoddziaływania. Szczególnie uwidacznia to się w wymianie energii pomiędzy promieniowa-niem a materią. Należało znaleźć inny sposób opisu zjawisk. Każde ciało stałe, ciecz lub gaz,emituje promieniowanie termiczne w postaci fal elektromagnetycznych, a także absorbuje jez otoczenia.

Wg fizyki klasycznej

• widmo emitowane przez ciała stałe ma charakter ciągły,

• charakter tego widma prawie nie zależy od rodzaju substancji,

• widmo silnie zależy od temperatury.

Ciało doskonale czarneto ciało całkowicie pochłaniające promieniowanie elektromagnetyczne padające na jego po-wierzchnię.

Spektralna zdolność absorpcyjna ciała doskonale czarnego jest równa jedności dla każdejdługości absorbowanej fali.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 2

Prawo KirchoffaIloraz spektralnej zdolności emisyjnej do spektralnej zdolności absorpcyjnej nie zależy odrodzaju ciała i jest on dla wszystkich ciał jednakową, uniwersalną funkcją długości falii temperatury równą spektralnej zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego.

e(λ, T )a(λ, T )

= Rcdcλ (T ).

Rozkład widmowy promieniowania charakteryzuje funkcja Rν lub Rλ.

Zdolność emisyjna ciałajest równa energii promieniowania o częstotliwości leżącej w przedziale od ν do ν + dν,wysyłanego w ciągu jednostki czasu przez jednostkę powierzchni ciała mającego temperaturębezwzględną T .

• Częstotliwość odpowiadająca maksimum zdolności emisyjnej wzrasta liniowo ze wzro-stem temperatury.

• Całkowita moc wyemitowana przez powierzchnię jednostkową (pole pod krzywą) rośniez temperaturą.

1.3. Zdolnosc emisyjna – prawa

Zdolnosc emisyjnaCałkowita zdolność emisyjna R(T ) jest sumą zdolności emisyjnych R(ν, T ) dla wszystkich

częstotliwości ν. Jest ona równa całkowitej energii wyemitowanej w ciągu jednostki czasuz jednostki powierzchni ciała doskonale czarnego o temperaturze T .

Prawo StefanaCałkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego

R(T ) = σ · T 4

gdzie stała Stefana-Boltzmana

σ = 5, 67 · 10−8W

m2K4.

Teoria WienaDługość fali, dla której przypada maksimum emisji jest odwrotnie proporcjonalna do tem-

peratury ciała. Krzywe te zależą tylko od temperatury i są całkiem niezależne od materiałuoraz kształtu i wielkości ciała.

W 1900 roku Max Planck przedstawił empiryczny wzór opisujący widmową zdolność emi-syjną zgodną z doświadczeniem:

R(λ, T ) =c1λ5

1

ec2λT − 1

.

Wzór ten stanowił modyfikację


Prawo WienaIloczyn temperatury i długości fali odpowiadającej maksimum widmowej zdolności emisyjnejw tej temperaturze jest stały

λmax · T = 2898µmK.

lub

Prawo WienaZe wzrostem temperatury T częstotliwość νmax ulega przesunięciu w kierunku wyższychczęstotliwości.

2. Pierwsze hipotezy

2.1. Oscylator harmoniczny

Narodziny kwantówAtomy ścian ciała doskonale czarnego zachowują się jak oscylatory harmoniczne, które

emitują (i absorbują) energię, z których każdy ma charakterystyczną częstotliwość drgań.

Założenia Maxa Plancka

• energia oscylatora jest skwantowana i może przyjmować tylko ściśle określone wartości

E = nhν gdzie n = 1, 2, ...

• promieniowanie elektromagnetyczne jest emitowane lub absorbowane w postaci osob-nych porcji energii (kwantów ) o wartości

∆E = hν.

Oscylatory nie wypromieniowuję (ani pobierają) energii w sposób ciągły, lecz porcjami,czyli kwantami, podczas przejścia z jednego stanu w drugi.

Na podstawie swoich hipotez Planck otrzymał następującą funkcję rozkładu

R(ν, T ) =8πν2

c3hν

ehνkT − 1

.

Doświadczalna wartość stałej Planckah = 6, 62 · 10−34J · s


Skwantowany oscylator harmonicznyKwantowanie dotyczy wszelkich obiektów fizycznych o jednym stopniu swobody, które wy-konują proste drgania harmoniczne.

Energia całkowita oscylatora jest wielokrotnością hν. Raz wyemitowana energia roz-przestrzenia się w postaci fali elektromagnetycznej

Konsekwencje założeń Plancka

• jeżeli oscylator nie emituje i nie absorbuje energii, to znajduje się w stanie stacjonar-nym,

• poziomy energetyczne (stany stacjonarne) molekuł muszą być dyskretne,

• zmiana energii musi być wielokrotnością hν,

• fala elektromagnetyczna jest skwantowana.

Zastosowanie prawa promieniowaniaZ prawa Plancka wynika, że dla dwu ciał o temperaturach T1 i T2 iloraz natężeń promie-

niowania o długości fali λ wynosi

I1I2

=ehνkT1 − 1

ehνkT2 − 1

.

Narodziny kwantów - przykładCzy tą hipotezę można wykorzystać do znanych oscylatorów? Np. sprężyna o masie m =

1kg i stałej sprężystości k = 20Nm

wykonująca drgania o amplitudzie 1cm.Częstotliwość drgań własnych:

ν =1

2π

√k

m= 0, 71Hz.

Wartość energii całkowitej:

E =12kA2 = 1 · 10−3J.

Jeżeli energia jest skwantowana to jej zmiany dokonują się skokowo przy czym ∆E = hν.Względna zmiana energii wynosi więc:

∆EE

= 4, 7 · 10−31.

Żaden przyrząd pomiarowy nie jest wstanie zauważyć tak minimalnych zmian energii.


2.2. Zjawisko fotoelektryczne

FotoefektPolega na emisji elektronów z powierzchni ciała stałego pod wpływem padającego światła.

Jest zjawiskiem niewytłumaczalnym na gruncie fizyki klasycznej:

1. Energia fotoelektronów nie zależy od natężenia światła.

2. Zjawisko fotoelektryczne występuje powyżej pewnej progowej częstotliwości ν0, nieza-leżnie od natężenia światła.

3. Nie stwierdzono żadnego opóźnienia czasowego między padaniem światła a emisjąelektronów. Według teorii falowej powinien upłynąć pewien czas, aby została zaab-sorbowana przez elektron pewna energia wystarczająca do wydostania się elektronuz metalu.

Długofalowa granica fotoefektu

Wyniki eksperymentu

• prąd nie popłynie dopóki częstość padającego światła nie osiągnie pewnej, zależnej odmateriału katody wielkości zwanej długofalową granicą fotoefektu,

• maksymalna wartość energii kinetycznej emitowanych elektronów jest tym większa imwiększa jest częstotliwość fali, nie zależy jednak od natężenia oświetlenia,

Napiecie hamowania

• prąd płynie nawet wówczas, gdy napięcie między elektrodami jest równe zeru,

• natężenie prądu rośnie wraz ze wzrostem napięcia do wartości, tzw. prąd nasycenia,


• natężenie prądu nasycenia rośnie ze wzrostem strumienia padającej fali,

• przy dostatecznie dużym napięciu (U0) zwanym napięciem hamowania prąd zanika

Ekin = eU0,

• dla światła monochromatycznego napięcie hamujące zależy od częstotliwości padają-cego światła.

Doswiadczeniu Millikana (1914)U0 zależy od częstotliwości a nie od natężenia światła.

Równanie Einsteina

Założenia Einsteina

• fala elektromagnetyczna o częstotliwości ν jest strumieniem fotonów o energii E = hνkażdy,

• fotony mogą być pochłaniane tylko w całości, a maksymalna energia kinetyczna elek-tronu po opuszczeniu metalu

Ekin = hν −W.


Wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego

• jeżeli pochłonięta energia jest większa bądź równa pracy wyjściaW elektronu z metalu,elektron może opuścić powierzchnię katody,

• maksymalna energia kinetyczna fotoelektronów związana jest tylko z energią poszcze-gólnych fotonów, a nie z ich ilością (natężeniem oświetlenia),

• ze wzrostem oświetlenia powierzchni katody (tzn. wzrostem ilości fotonów padających)rośnie liczba elektronów emitowanych z powierzchni,

• różnicę energii pomiędzy energią fotonu a pracą wyjścia elektron unosi w postaci jegoenergii kinetycznej,

• energia dostarczana jest w postaci skupionej (kwant, porcja), a nie rozłożonej (fa-la), dlatego nie występuje ”gromadzenie” energii przez elektrony, które praktycznienatychmiast pochłaniają energię fotonu i ewentualnie opuszczają fotokatodę.

2.3. Doswiadczenie Comptona

Efekt ComptonaDoświadczalne potwierdzenie istnienia fotonu jako skończonej porcji energii zostało do-

starczone przez Comptona. Wiązka promieni X o dokładnie określonej długości fali pada

na blok grafitowy. Mierzono natężenie wiązki rozproszonej pod różnymi kątami jako funk-cję λ. Rozproszone promienie X mają maksimum dla dwóch długości fali. Jedna z nichjest identyczna jak λ fali padającej, druga λ′ jest większa o ∆λ. To tzw. przesunięcieComptona zmienia się z kątem obserwacji rozproszonego promieniowania X.


2.4. Fale i czastki

Jeżeli padające promieniowanie potraktujemy jako falę to pojawienie się fali rozproszonejo długości λ′ nie da się wyjaśnić. Fotony (jak cząstki) ulegają zderzeniu z elektronami

swobodnymi w bloku grafitu. Podobnie jak w typowych zderzeniach sprężystych zmienia siękierunek poruszania się fotonu oraz jego energia (część energii przekazana elektronowi), tooznacza zmianę częstotliwości i zarazem długości fali.

Stosując zasadę zachowania pędu oraz zasadę zachowania energii

∆λ = λ− λ′ =h

m0c(1− cosΘ) = Λc(1− cosΘ)

gdzie Λc = 2, 426 · 10−12m jest comptonowską długością fali.

FotonyŚwiatło wykazuje nie tylko własności falowe, ale również korpuskularne.


3. Model korpuskularno-falowy

3.1. Załozenia

Natura swiatłaW zjawiskach takich jak efekt Comptona czy efekt fotoelektryczny fala elektromagnetycz-

na wykazuje naturę korpuskularną, tzn. jest strumieniem cząstek zwanych fotonami.

Założenia modelu korpuskularnego (cząsteczkowego)Cząsteczki

• są traktowane jako obiekty punktowe,

• znajdują się w ciągłym chaotycznym ruchu,

• mają w danej chwili ściśle określone położenie, prędkość i pęd,

• poruszają się po ściśle określonym torze,

• całkowita energia jest sumą energii poszczególnych cząsteczek.

W zjawiskach takich jak dyfrakcja czy interferencja fala elektromagnetyczna wykazujetypowe własności falowe.

Założenia modelu falowegoFale

• rozpoznawane są poprzez zmiany w czasie i przestrzeni określonych wielkości fizycz-nych,

• do ich opisu stosuje się prędkość i długość (częstotliwość) fali w danym ośrodku,

• przenoszą energię, ale nie przenoszą materii. Przenoszona energia jest proporcjonalnado kwadratu amplitudy.

Znane fale mechaniczne muszą mieć jakiś ośrodek (sprężysty), nie rozchodzą się w próżni.Fale elektromagnetyczne w tym światło, rozchodzą się w próżni.

3.2. Fale i czastki

Hipoteza de Broglie’aDualizm korpuskularno-falowy jest własnością charakterystyczną nie tylko dla fali elek-

tromagnetycznej, ale również dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera. Oznacza to,że cząsteczki takie jak np. elektrony powinny również wykazywać własności falowe. Fale tenazwa się falami materii.

Długość fal materii

λ =h

p

Foton

p =h

λ= ~k

E = pc = hν

Elektron

p = mv = ~k

E =p2

2m= hν

k =2πλ

- liczba falowa

Foton (kwant światła) ma pęd równy

pf =hν

c.


Własnosci fal materiiPrędkość fazowa fali de Broglie’

vf =ω

k= λν =

h

p· Eh

=p2

2mp=v

2,

lub

vf =h

λ 2m=

h

2mλ,

zależy od długości fali, czyli fale te ulegają dyspersji. Prędkość grupowa fal de Broglie’

vg =dω

dk=

2πdν2πd( 1

λ)

=dν

d(mvh

)=

h

m

dν

dv=

h

m

1λ

= �h

��m��mv

�h,

to

vg = v.

Równanie dyspersyjne dla fal materii mozna uzyskać jeżeli

v(k) =dω

dk=

h

mλ=

h

m

k

2π=

h

2πk

m=

~mk,

wówczas

ω =

∫dω =

~m

∫kdk,

to

ω =~m

k2

2+ const.,

lub

~ω =~2k2

2m+ U = hν + U.

Dla cząstki swobodnej

~ω =~2k2

2m.

Fale materiiElektron

masa m = 9, 11 · 10−31kg, napięcie V = 1 000V , energia kinetyczna Ek = 1 000eV =1, 6 · 10−16J

λ =h

p=

h√2mEk

=6, 63 · 10−34Js√

2 · 9, 1 · 10−31kg · 1, 6 · 10−16=

= 4 · 10−11m.

Długość λ jest porównywalna z odległością między atomami w ciele stałym.Piłka

masa m = 1kg, prędkość v = 1ms

λ =h

mv=

6, 63 · 10−34

1kg · 1ms

=

= 6, 63 · 10−34m.

Wielkość niemożliwa do zmierzenia. Brak własności falowych ciał makroskopowych.


Doswiadczenie Davissona-GermeraWykazało rozkład natężenia rozproszonych elektronów z ostrymi maksymami dla pew-

nych wartości kąta rozpraszania. Kąty te zależały od napięcia przyspieszającego elektrony.Otrzymano zgodność (w granicach błędu pomiarowego) tak wyliczonych długości fali: zewzoru de Broglie’a

λ =h

p=

h√2meVba

= 165pm,

z dyfrakcjiλ = d sin θ = 165pm.

Było to pierwsze eksperymentalne potwierdzenie hipotezy de Broglie’a.

Mikroskop elektronowyMikroskop elektronowy – mikroskop wykorzystujący do obrazowania wiązkę elektronów.

Granica rozdzielczości mikroskopu optycznego wynosi ok. 200nm. Jedynym sposobemna poprawę zdolności rozdzielczej było znalezienie promieniowania o krótszej fali. Zdol-ność rozdzielcza transmisyjnego mikroskopu elektronowego (TME) – 0, 078nm, co pozwalana uzyskanie informacji o położeniu atomów. Do badań mikrostruktury wystarczająca jestrozdzielczość rzędu nm. Im większa energia elektronów tym krótsza ich fala i większa

rozdzielczość mikroskopu.


4. Postulaty mechaniki kwantowej

4.1. Stan układu kwantowego

Jezyk matematycznyKażdy dział fizyki ma swój specyficzny język matematyczny. Każda nauka opiera się na

pewnej liczbie postulatów (założeniach, aksjomatów). W mechanice kwantowej mate-ria może być opisana jako zbiór elektronów i jader atomowych, traktowanych jako cząstkipunktowe obdarzone masą i ładunkiem, będących w ruchu i oddziałujących ze sobą siłamielektrostatycznymi.

Postulat I

O stanie układu kwantowegoStan cząstki określa funkcja falowa Ψ(x, y, z, t) zależna od położenia cząstki i od czasu t.

Zgodnie z hipotezą de Broglie’a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własnościfalowe. Opisuje je tzw. funkcja falowa , która:

• musi być funkcją ciągłą, a także musi mieć ciągłą pochodną,

• w ogólnym przypadku jest funkcją zespoloną współrzędnych przestrzennych oraz czasu:

Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z) · e−iωt,

gdzie ψ(x, y, z) jest funkcją falową niezależną od czasu (“amplitudą” funkcji falowejΨ), a i2 = −1.

KlasycznieStan układu fizycznego fizycznego w każdej chwili czasu opisuje punkt w przestrzeni fazowej,a więc zarówno położenia jak i pęd każdej cząstki xi(t), pi(t).

Funkcja falowa ψZgodnie z zasadą superpozycji funkcja falowa wielu zdarzeń:

ψ = ψ1 + ψ2.

W przypadku jednowymiarowym, dla cząstek poruszających się w kierunku osi x

ψ = Aeikx = A(cos kx+ i sin kx).

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstkiw chwili t w elemencie objętości dxdydz

p(x, y, z, t) = ψ∗(x, y, z, t) · ψ(x, y, z, t)dxdydz .

Suma prawdopodobieństw znalezienia cząstki w poszczególnych elementach objętości roz-ciągnięta na całą przestrzeń musi spełniać tzw.

warunek normalizacji


∫V

ψ∗(x, y, z, t) · ψ(x, y, z, t)dV = 1.

Wówczasψ∗(x, y, z, t) · ψ(x, y, z, t) = |ψ(x, y, z, t)|2

nazywa się gęstością prawdopodobieństwa zdarzenia.

Formalnie funkcja falowa ψ = ψ(x, y, z, t) charakteryzuje się właściwościami klasycznych fal,lecz nie reprezentuje takich wielkości jak np. wychylenie cząstki z położenia równowagi.

Funkcja falowa musi spełniać następujące warunki:

1. ψ musi mieć tylko jedną wartość w każdym punkcie. Warunek zapobiega istnieniuwięcej niż jednego prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym miejscu,

2. ψ oraz pochodne dψdx

muszą być ciągłe. Warunek ten nie dotyczy miejsc, gdy energiapotencjalna dąży do nieskończoności (w pobliżu jądra atomowego),

3. całka ψ∗ψ po całej przestrzeni musi być równa 1. Funkcja musi być skończona dladużych x.

4.2. Reprezentacja wielkosci mechanicznych

Postulat II

O reprezentacji wielkości mechanicznychWielkości mechaniczne opisujące cząstkę (energia, współrzędne wektorów: położenia, pędu,momentu pędu itp.) reprezentowane są przez operatory liniowe działające w przestrzenifunkcji falowych.

Wielkość mechaniczna Operator wielkości mechanicznejx xpx px = −i~ ∂

∂x

T = p2

2m T = − ~22m∆

gdzie: i2 = −1, a ∆ to operator Laplace’a.

Operator Hamiltonanazywany również hamiltonianem lub operatorem energii

H = − ~2

2m∆ + U(~x).

Gdy układ jest odosobniony (izolowany, zachowawczy) to operator H jest operatoremenergii układu.


4.3. Ewolucja w czasie stanu układu

Postulat III

O ewolucji w czasie stanu układuRównanie czasowej ewolucji funkcji falowej Ψ

i~∂Ψ(x, t)∂t

= HΨ(x, t),

gdzie H jest hamiltonianem cząstki.

Jest to równanie Schrödingera zależne od czasu.Mechanika kwantowa daje możliwość wyznaczenia stanu w dowolnej późniejszej chwili

czasu, gdy znany jest stan początkowy.

KlasycznieZnając siły działające na układ fizyczny i warunki początkowe można wyznaczyć stan układuw dowolnej późniejszej chwili czasu.

Czastka w jednowymiarowej jamie potencjałuJamą potencjału nazywa się obszar przestrzeni, w którym energia potencjalna cząstki

U = U(x) jest mniejsza od pewnej wartości Umax. Dla studni potencjału o nieskończonej

głębokości

U = 0 dla 0 ¬ x ¬ L,Umax =∞ dla x ¬ 0 i x L.

Stacjonarne równanie Schrödingera

d2ψ

dx2+

2m~2

E ψ = 0,

z warunkami brzegowymi ψ(0) = ψ(L) = 0, które oznaczają, że poza obszarem

0 ¬ x ¬ L


prawdopodobieństwo znalezienia cząstki na zewnątrz jamy potencjału równe jest zeru, tj.ψ = 0 i |ψ|2 = 0.

Rozwiązanie równanie Schrödingera ma postać

ψ(x) = A cos kx+B sin kx,

gdzie A i B są stałymi. Z warunków brzegowych wynika, że A = 0, B 6= 0 oraz

sin kL = 0,

czyli liczba falowa przyjmuje szereg dyskretnych wartości, spełniających żądanie

knL = nπ, gdzie n = 1, 2, 3, ....

Oznacza to, że2πλn

=πn

L,

czyli

λn =2Ln.

W długości L jamy potencjału powinna mieścić się całkowita liczba połówek długości falide Broglie’a.

Wartości własne energii cząstki En można określić korzystając z tego, że energia cząstki

E =p2

2m=

~2k2

2m,

wobec tego

En =~2

2m

(2πλ

)2=

~2

2m4π2

4L2n2 =

=~2π2

2mL2n2,

dla n = 1, 2, 3, .., stanowią dyskretny szereg wartości energii, która jest wielkością skwanto-waną. Skwantowane wartości En nazywane są poziomami energii, a liczbę n określającąpoziom energetyczny cząstki w jamie potencjału – główną liczbą kwantową.

NormalizacjaPrzykład: Stałą normalizacji B można wyznaczyć korzystając z warunku normalizacji

L∫0

ψ∗ψdx = 1,

dla funkcji falowejψ(x) = B sin kx = B sin

(nπ

Lx),


oraz korzystając z tego, że sin2 α = 12 (1− cos 2α):

B2L∫0

sin2(nπ

Lx)d = B2

L∫0

12

[1− cos

(2nπL

x)]dx = 1.

Ponieważ sin(2nπ) = 0 i sin(0) = 0, to stała normalizacyjna wynosi B =√2L, a funkcja

falowa dla tej cząstki

ψ =

√2L

sin(nπ

Lx).

Liniowy oscylator harmoniczny

Liniowy (jednowymiarowy) oscylator harmonicznyto cząstka o masie m, która wykonuje drgania z własną częstością kołową ωo wzdłuż osi xpod wpływem quasi-sprężystej siły F = −kx.

Wartości własne energii (rozwiązania równania Schrödingera) tego oscylatora

En =(n+

12

)hνo =

(n+

12

)~ωo n = 0, 1, 2, ...,

Dla n >> 1n+

12≈ n,

i poziomy energetyczne oscylatora pokrywają się z wartościami energii skwantowanej, ja-kie postulował Planck. Najmniejszą energię jaką może mieć liniowy oscylator harmonicznynazywa się energią zerową (n = 0)

E0 =hν02

=~ωo2.

4.4. Interpretacja wyników pomiarów w mikroswiecie

Postulat IV

O interpretacji wyników pomiarów w mikroświeciePomiar dowolnej wielkości fizycznej zmienia na ogół stan układu kwantowego.

Postulat ten dotyczy pomiaru idealnego, a więc nie obarczonego błędem wynikającymz niedoskonałości przyrządu pomiarowego. Można policzyć prawdopodobieństwo uzyskaniadanego wyniku, ale nie można przewidzieć wyniku konkretnego pomiaru.

KlasyczniePomiar tylko rejestruje, ale nie zmienia układu fizycznego. Jeżeli więc w chwili pomiaruukład miał położenie xi(t) oraz pęd pi(t) to dokładnie te same wartości położenia i pęduukład będzie posiadać po dokonaniu pomiaru dowolnej wielkości fizycznej.

Zasada nieoznaczonosci Heisenberga

Mechanika klasyczna

• dokładność pomiaru jest zdeterminowana jedynie jakością aparatury pomiarowej,

• nie ma teoretycznych ograniczeń na dokładność z jaką mogą być wykonane pomiary.

Proces pomiaru zaburza stan układu

Mechanika kwantowaObowiązuje zasada nieoznaczoności: pewnych wielkości fizycznych nie można zmierzyćrównocześnie z dowolną dokładnością.


Zasada nieoznaczonościIloczyn niepewności jednoczesnego poznania pewnych wielkości (np. chwilowych wartościpędu ∆p i położenia ∆x, energii ∆E i czasu jej pomiaru ∆t) nie może być mniejszy odstałej Plancka h podzielonej przez 2π

∆x ·∆px ~

∆E ·∆t ~.

Zasada ta określa możliwości pomiarów fizycznych.

Przykład Pęd poruszającego się z prędkością v = 2, 05 · 106m/s elektronu zmierzonoz dokładnością 0, 5%. Z jaką maksymalną dokładnością można było wyznaczyć położenietego elektronu?

∆x =~

∆px=

(6, 63 · 10−34Js)/2π0, 005 · 9, 11 · 10−31 · 2, 05 · 106kgm/s

=

= 1, 13 · 10−8m ≈ 11nm

Jest to wartość 100 średnic atomowych. Położenie elektronu nie można wyznaczyć dokładniejniż 11nm.

Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru energii i czasu∆E ·∆t ~

Przykład Czas przebywania atomu sodu w stanie wzbudzonym zmierzono z dokładnością∆t = 1, 6 · 10−8s. Z jaką maksymalną dokładnością można było wyznaczyć wartość energiitego stanu?

∆E ~∆t

=6, 63 · 10−34Js

2 · π · 1, 6 · 10−8s=

= 0, 66 · 10−26J · 6, 24 · 1018eV/J =

= 4, 12 · 10−8eV.


4.5. Spin

Postulat V

O spinie cząstki elementarnejCząstka elementarna ma własny wewnętrzny moment pędu cząstki w układzie, w którymnie wykonuje ruchu postępowego, zwany spinowym momentem pędu lub spinem∣∣∣~S∣∣∣2 = S2x + S2y + S2z = s(s+ 1)~2

przy czym spinowa liczba kwantowa s = 12 .

Własny oznacza taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek,lecz tylko z samej natury tej cząstki.

KlasycznieGdy cząstka spoczywa, musi mieć zerowy moment pędu. Układ spoczynkowy istnieje tylko,gdy cząstka ma masę.

Gdy cząstka nie ma masy (np. foton), można jedynie określić rzut spinu na kierunekpropagacji cząstki.

Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają równieżswój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych.Wartość własnego moment pędu elektronu:

S = ~√s(s+ 1).

Rzut własnego momentu pędu na wybraną oś

Sz = ms~.


4.6. Symetria funkcji falowej

Postulat VI

O symetrii funkcji falowejCząstki identyczne są nierozróżnialne.

Nierozróżnialność ma poważne konsekwencje. Wynika z niej własność stanów kwantowych:

• Funkcja falowa ψ opisująca układ jednakowego rodzaju bozonów jest symetrycznawzględem zamiany współrzędnych, tzn. jeśli: x1 ↔ x2, y1 ↔ y2, z1 ↔ z2, to

ψ(1, 2, 3, ...., N) = ψ(2, 1, 3, ...., N).

• Jeśli cząstki 1 i 2 oznaczają fermiony jednakowego rodzaju, to funkcja falowa musibyć antysymetryczna, tzn.

ψ(1, 2, 3, ...., N) = −ψ(2, 1, 3, ...., N).

KlasycznieObiekty identyczne są rozróżnialne. Można śledzić ruch każdej cząstki nawet jeżeli jest onaidentyczna z innymi. Nie ma specjalnych konsekwencji identyczności cząstek.

Stany całkowicie symetryczne opisują cząstki o spinie całkowitym (bozony), stany anty-symetryczne opisują cząstki o spinie połówkowym (fermiony).

Zakaz PauliegoGęstość prawdopodobieństwa zastania dwóch jednakowych fermionów w jednym miejscui z jednakową współrzędną spinową jest równa 0.

W danym stanie kwantowym może znajdować się jeden fermion – lub – żadne dwa fer-miony nie mogą w jednej chwili występować w dokładnie tym samym stanie kwantowym.Konsekwencje zakazu Pauliego:

• Tworzenie się struktury orbitalowej poziomów elektronów wszystkich atomów, z którejz kolei wynikają wszystkie właściwości chemiczne pierwiastków chemicznych.

• Nieprzenikalność materii przez samą siebie. W wielu przypadkach zasada uniemożliwiawystępowanie pewnych konfiguracji przestrzennych orbitali blisko położonych atomówczy cząsteczek.

• Względna trwałość obiektów materialnych.

Zakaz nie dotyczy bozonów o dowolnych współrzędnych spinowych.

4.7. Zasady

Zasada wzajemnego uzupełniania sie

Zasada komplementarnościFotony, elektrony oraz obiekty mikroświata w jednych zjawiskach mogą zachowywać się jakfala, a w innych jak cząstka tzn. wykazują zarówno własności falowe jak i korpuskularne.Obie te cechy uzupełniają się wzajemnie, dając pełny opis danego obiektu.

W obrazie falowym natężenie promieniowania:

I ∝ E20 ,

w obrazie fotonowym — korpuskularnym:

I ∝ Nhν.


Zasada korespondencji

Zasada odpowiedniościDla dostatecznie dużych liczb kwantowych przewidywania fizyki kwantowej przechodząw sposób ciągły w przewidywania fizyki klasycznej.


Literatura

[1] Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 2005.

[2] Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagad-nień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007.

[3] Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t. 1-3. PWN, 1984.

[4] Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-Fizyka.Podstawy fizyki.

[5] Kąkol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizy-ki.


Documents

Optyka kwantowa – fotony i fale materiicmf.p.lodz.pl/iowczarek/materialy/fizyka/12wspolczesna1...O ewolucji w czasie stanu układu RównanieczasowejewolucjifunkcjifalowejΨ i~ ∂Ψ(x,t)