Feszültségek és rezgések rugalmas közegekbenSzilárd testeken külső erők hatására

Rugalmas egy test ha

az erőhatás lassú megszünése esetén a test eredeti alakját veszi fel

alakváltozás (deformációk) észlelhetőkBelső feszütségek keletkeznek és

Hook törvény: kapcsolat a feszültségek és a megnyúlások között

Homogén, izotróp rugalmas közeg esetén:

„Merőleges” feszültségek zyx ,,

„Nyiró” feszültségek yzxzxy ,,

2m

N

Húzás, nyomás, csavarás időben állandó erővel-nyomatékkal

Milyen belső erők, feszültségek keletkeznek az anyagban?

Milyen alakváltozás következik be?

Rugalmasságtan „sztatikája”: SZILÁRDSÁGTAN

Adott egy hosszú rugalmas rúd, amelyen longitudinális rezgések alakulhatnak ki

Közelitsük (modelezzük) ezt a problémát egymástól a távolságra lévő azonos tömegpontok és k állandójú rugók hosszú láncával.

A rendszer kinetikus energiája:

n

iikin ηmW

1

2

2

1

A potenciális energia :

n

iiipot ηηkW

1

212

1

A Lagrange függvény:

i

iiipotkin ηηkηmWWL 21

2

2

1

i

iiipotkin a

ηηkaη

a

maWWL

2

12

2

1

A mozgásegyenlet:

02

12

1

a

ηηka

a

ηηkaη

a

m iiiii

A mozgásegyenlet: 02

12

1

a

ηηka

a

ηηkaη

a

m iiiii

μa

mhosszegységre eső tömeg

Hooke törvény:

a

ηηka

a

ηηYξYF iiii 11

Erő = Young konstans x Egységnyi hosszra eső megnyúlás kaY

x

η

a

aηaxη

a

ηη ii

d

d1

0a

xx

ηYημWWL potkin dd

d

2

12

2

A mozgásegyenlet:

0d

d

d

d2

2

2

2

x

ηY

t

ημ

Hullámegyenlet !

Terjedési sebsesség :μ

Yv

0d

d

d

d2

2

2

2

x

ηY

t

ημ

0

d

,d

d

,d2

2

2

2

x

txηY

t

txημ

μ

Yv

2

22

2

2

d

,d

d

,d

x

txηv

t

txη

txηvtxη xxtt ,, 2

),(),( 2 txηatxη xxtt Keressük a megoldást )()(),( tψxφtxη alakban

)(

)(

)(

)( ''2

x

xa

t

t

constx

xaconst

t

t

)(

)(,

)(

)( ''2

2const

0)()( 2 tt 0)()(2

2'' x

ax

0)()0( l„Határfeltételek”:

„Kezdeti feltételek”: )()0,(),()0,( 00 xηxηxηxη t

tn

tnn

nn eCeCt j2

j1)( xkBxkAx nnnnn sincos)(

2

22

ak nn

nnn xφtψtxη )()(),(

0)()0( l 00sin0cos)0( nnnnn kBkA

0sin)( lkBl nnn

0 nA

l

nknlk nn

,2,1n

xl

πntωBtωAtxη

nnnnn sin)sincos(),(

l

ann

n

l

knn

22

na

lT

nn

122

nl

an 2

Időben periodikus

l

nkn

Körfrekvencia

Frekvencia

Periodus idő

Hullámszám

Hullámhossz

a Terjedési sebsség

Térben periodikus

HULLÁM

xl

πntωBtωAtxη

nnnnn sinsincos),(

1

nn BA , együtthatókat a kezdeti feltétlek határozzák meg

)()0,( xFxη )(0

xGt

η

tx

:nA )()0,( xFxη Fourier sora

:nn B )(

0

xGt

u

tx

Fourier sora

xxl

nxF

lA

l

n dsin)(2

0

xx

l

nxG

lB

l

nn dsin)(

2

0

Rugalmasságtan „DINAMIKÁJA”

Hullámmozgás a kifeszitett rezgő húron

A húr minden elemi szakasza csak érintő irányú húzóerőt képes közvetiteni

Feszitsük ki a húrt F húzóerővel az A és B pontok között

„Alapállapot” Tömegpontok helye alapállapotban x

Feszültség a húrban:2N/m

A húr sűrűsége3kg/m

Rezgő állapot: ),( txu Kitérés az alapállapotból

Mozgásegyenlet (Hullámegyenlet) Feltéve, hogy a kitésések „kicsik”

A rezgések során fellépő deformációfeszültségváltozásai kicsik σ-hoz képest

2

2

2

2 ),(),(

x

txu

t

txu

aa2 xxtt uau 2

1

1

22

A hullámegyenlet levezetése1. ρ állandó. A Δx szakasz tömege

2

22 1

x

uxuxss

2. Az kitérés kicsi),( txu xs

3. Csak a belső feszültség hat a húr-elemre, a gravitációt elhanyagolhatjuk.

4. Az erő iránya tangenciális (érintő irányú)x

u

A s szakasz baloldalán az erő vizszintes illetve függőeleges komponense

1111 sincos es

a jobboldalon

2222 sincos es

1

2

1211

11

22

222

2

tantancos

sin

cos

sin

t

ux

Mivel feltettük, hogy a vizszintes irányú elmozdulás elhanyagolható

const 2211 coscosAz eredő erő

1122 sinsin

Newton mozgásegyenlete: 11222

2

sinsin

t

ux

Elosztva az egyenlet mindkét oldalát 2211 coscos

xx

u

x

u

x

u

xxx

2

2

12 tantan

2

2

2

2 ),(),(

x

txu

t

txu

),(),( txutxu xxtt